GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1
Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM
https://www.facebook.com/nganhangdethibkhcm
1 Câu 1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
y=3
√x3−2x2
1.1 Hướng dẫn giải
- Tập xác định của hàm số: D=R
- Ta viết lại hàm số: y= (x3−2x2)1
3
- Đạo hàm của hàm số:
y′=1
3(x3−2x2)−2
3(3x2−4x) = 1
3
3x2−4x
3
p(x3−2x2)2=1
3
3x2−4x
3
px4(x−2)2
=1
3
3x−4
3
px(x−2)2
y′= 0 ⇔x=4
3
+ Điểm làm đạo hàm không xác định là: x= 0 và x= 2
- Bảng biến thiên:
x
y′
y
−∞ 04
32+∞
+−0++
−∞−∞
00
−3
√32
3
−3
√32
3
00 +∞+∞
- Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên: (−∞,0] ∪4
3,+∞
+ Hàm số nghịch biến trên: 0,4
31
+ Hàm số đạt cực đại tại x= 0 và yCĐ = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x=4
3và yCT =−3
√32
3
- Tìm điểm uốn:
+ Ta có:
y′=1
3
3x−4
3
px(x−2)2=1
3(3x−4)x−1
3(x−2)−2
3
+ Logarith hóa 2 vế:
ln(y′) = ln 1
3+ln|3x−4| − 1
3ln|x| − 2
3ln|x−2|
⇒y′′
y′=3
3x−4−1
3x−2
3(x−2)
=27(x2−2x)−3(3x−4)(x−2) −6(3x2−4x)
9x(x−2)(3x−4)
=−8
3x(x−2)(3x−4) ⇒y′′ =1
3
3x−4
3
px(x−2)2−8
3x(x−2)(3x−4)
⇒y′′ =−8
93
px4(x−2)5
- Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị:
x
y′′
−∞ 0 2 +∞
++−
- Các điểm mà làm cho y′′ đổi dấu là các điểm uốn.
- Các khoảng mà làm cho y′′ mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−)là lồi.
- Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị:
x= 0 ⇒y= 0
x=4
3⇒y=−
3
√32
3≈ −1,0582
x= 2 ⇒y= 0
- TIỆM CẬN ĐỨNG:
+ Do tập xác định của hàm số là Rnên:
2
⇒hàm số không có tiệm cận đứng.
- TIỆM CẬN XIÊN:
a= lim
x→∞
3
√x3−2x2
x= lim
x→∞
3
r1−2
x= 1
b= lim
x→∞ (3
√x3−2x2−x) = lim
x→∞ "x 3
r1−2
x−1!#
= lim
x→∞
3
q1−2
x−1
1
x
= lim
x→∞ −2
33
q1−2
x2=−2
3
⇒tiệm cận xiên là y=x−2
3
⇒không có tiệm cận ngang.
- ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
+ Lưu ý là ta vẽ tiệm cận xiên trước.
2 Câu 2
Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung
y=e−x
2,0≤x≤+∞
quay quanh trục Ox.
3
2.1 Hướng dẫn giải
- Ta có công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi cung quay quanh trục
Ox là:
S= 2πZb
a|f(x)|p1 + [f′(x)]2dx
- Do hàm f(x) = e−x
2luôn dương với mọi xnên |f(x)|=e−x
2.
- Đạo hàm của hàm f(x):
f′(x) = −1
2e−x
2
- Lúc đó ta có:
S= 2πZ+∞
0
e−x
2r1 + 1
4e−xdx
+ Đặt:
t=e−x
2⇒t2=e−x⇒2tdt =−e−xdx ⇒dx =−2
tdt
+ Đổi cận:
x= 0 ⇒t= 1 ; x= +∞ ⇒ t= 0
+ Tích phân trở thành:
S= 2πZ0
1
t
2√4 + t2−2
tdt = 2πZ1
0
√4 + t2dt = 2πI1
+ Đặt:
u=√4 + t2⇒du =t
√4 + t2dt
dv =dt ⇒v=t
+ Vậy tích phân I1trở thành:
I1=t√4 + t2|1
0−Z1
0
t2
√4 + t2dt
=√5−Z1
0
√4 + t2dt +Z1
0
−4
√4 + t2dt
⇒2I1=√5 + Z1
0
4
√4 + t2dt
4
⇒I1=√5
2+ 2 Z1
0
dt
√4 + t2
+ Mà ta đã biết công thức tích phân bất định sau:
Zdx
√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C
+ Nên suy ra:
⇒I1=√5
2+ 2ln(t+√t2+ 4)|1
0=√5
2+ 2ln 1 + √5
2!
- Vậy diện tích cần tính là:
S= 2π"√5
2+ 2ln 1 + √5
2!#=π"√5 + 4ln 1 + √5
2!#
3 Câu 3
Tìm αđể tích phân sau hội tụ
I=Z1
2
0
dx
xα√1−4x2
Tính tích phân khi α=−2
3.1 Hướng dẫn giải
- Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không
xác định. Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau:
I=Z1
4
0
dx
xα√1−4x2+Z1
2
1
4
dx
xα√1−4x2=I1+I2
- Xét tích phân I1:
I1=Z1
4
0
dx
xα√1−4x2
5