Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học

Chia sẻ: Nguyễn Thị Phương Phương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng được tạo bởi một lớp điện môi có chỉ số khúc xạ n1 và độ dày d. Nó được bao phủ bởi hai môi trường điện môi bán vô hạn (semi-infini), chất nền và lớp phía trên đều có chỉ số khúc xạ nhỏ hơn n1. Nếu hai môi trường này có cùng một chiết suất n2 thì linh kiện dẫn sóng như vậy được gọi là đối xứng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học

http://violet.vn/phamvanhai_ts Nhập môn Quang học dẫn sóng và sợi quang học Jean-Michel JONATHAN Viện Quang học Lý thuyết và Ứng dụng Phòng Thí nghiệm Charles Fabry (Trung tâm Quốc Gia NCKH Pháp, Đơn vị nghiên cứu hỗn hợp số 8501) Trường Đại Học Paris XI Trung tâm Khoa học Orsay – Nhà 503 91403 Orsay cedex Jean.michel.jonathan@iota.u-psud.fr http://violet.vn/phamvanhai_ts 143
J.M. Jonathan Sau khi theo học Maîtrise về Vật lý cơ bản ở Trường Đại Học Paris VI và DEA về Quang học kết hợp ở Trường Đại Học Paris–Sud (Orsay), Jean-Michel Jonathan bảo vệ năm 1981 luận án Tiến sĩ Quốc gia với công trình nghiên cứu về các ứng dụng của hiệu ứng Weigert (hiện tượng lưỡng sắc bởi cảm ứng quang học) vào xử lý thông tin bằng phương pháp quang học. Ông thực hiện giai đoạn đầu sự nghiệp nghiên cứu của mình ở Trung tâm Quốc gia Nghiên cứu Khoa học Pháp (CNRS), trong Phòng Thí nghiệm Quang học của Giáo sư Maurice Françon tại Paris và sau đó ông về làm việc trong nhóm nghiên cứu của Alain Brun và Gérald Roosen ở Viện Quang học Orsay. Khi đó ông nghiên cứu về hiệu ứng quang khúc xạ (photoréfractif), hiện tượng mà ông đã đóng góp vào việc mô hình hoá, ở Viện Quang học và có 3 năm nghiên cứu trong nhóm của Robert W. Hellwarth, ở Trường Đại Học Nam California, tại Los Angeles. Nhận chức vụ Giám đốc Nghiên cứu của CNRS, ở Viện Quang học, ông làm việc trong nhóm của Gérald Roosen, về sự mở rộng các tính chất quang khúc xạ của titanate baryum ở trong vùng phổ hồng ngoại gần và ứng dụng của nó trong việc thực hiện các gương dùng liên hợp pha tự bơm (miroirs à conjugaison de phase auto-pompés). Sau đó, ông đóng góp vào việc thiết kế các bộ cộng hưởng laser mới theo cơ chế tự tổ chức (auto-organisées) dùng các hôlôgram động lực (hologrammes dynamiques). Song song với hoạt động nghiên cứu khoa học, ông trở thành người phụ trách của DEA « Quang học và Phôtônic » (là chương trình đào tạo các nghiên cứu sinh tương lai) của Trường Đại Học Paris-Sud. Năm 1999, ông rời CNRS để trở thành Giáo sư đại học và Phó hiệu trưởng của Trường Đại học Kỹ thuật Quang học (Ecole Supérieure d’Optique). Ông giảng dạy các hiệu ứng điện- quang và hiệu ứng quang âm, quang học dẫn sóng và quang học phi tuyến. Từ tháng 9 năm 2003, ông là Hiệu trưởng Trường Đại học Kỹ thuật Quang học. Từ năm 1995 đến năm 2003, ông là thành viên của hội đồng quản trị và sau đó là Chủ tịch của Hội Quang học Pháp. 144 http://violet.vn/phamvanhai_ts
J.M. Jonathan MỤC LỤC MỤC LỤC Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản 1. Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương 1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn (sóng TE) 1.2. Cấu trúc của các trường dẫn 1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide) 1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng 1.5. Số lượng các mode 2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng 2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần 2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE) 2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE) 2.4. Phân bố của trường (đối với TE) 2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm Chương II. Điện từ trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng 1. Khái niệm chung 1.1. Các phương trình Maxwell 1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng 1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng 2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice) 2.1. Phương trình truyền các mode TE 2.2. Mode dẫn TE 2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE 2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa 2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất 2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất 2.7. Tính ngang của trường dẫn sóng 2.8. Công suất được truyền tải (puissance transportée) bởi mode 2.9. Kích thích các mode dẫn sóng 3. Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc bai 3.1. Mode của linh kiện dẫn sóng bậc hai 3.2. Kết hợp (couplage) của một sóng gauss 3.3. Tán xạ giữa các mode (inter-modes) trong linh kiện dẫn sóng bậc hai 4. Khái niệm về dẫn sóng yếu 4.1. Phương trình truyền sóng 4.2. Các thành phần ngang và dọc 4.3. Gần đúng của sự truyền dẫn yếu Chương III. Sợi quang học 1. Cấu trúc mode 1.1. Phương trình truyền 1.2. Sợi quang học tiết diện tròn có hố chiết suất 1.3. Các mode dẫn LP 1.4. Mô tả chuẩn 1.5. Cấu trúc của các mode http://violet.vn/phamvanhai_ts 145
J.M. Jonathan 2. Gần đúng Gausse của mode LP01 và các ứng dụng của nó 2.1. Sự tương đương của hai sợi quang học có bán kính khác nhau 2.2. Sự mất mát bởi kết hợp giữa hai sợi 3. Tán xạ và sự suy giảm trong một sợi quang học đơn mode 3.1. Vận tốc nhóm 3.2. Độ tán sắc liên quan đến linh kiện dẫn 3.3. Độ tán sắc gây bởi vật liệu 3.4. Độ tán sắc toàn phần của sợi quang Chương IV. Kết hợp của các mode 1. Lý thuyết của các mode kết hợp 1.1. Môi trường không nhiễu loạn 1.2. Môi trường nhiễu loạn 1.3. Giải phương trình nhiễu loạn 1.4. Khái niệm về kết hợp cộng hưởng 2. Kết hợp giữa các linh kiện dẫn sóng 2.1. Kết hợp giữa hai linh kiện dẫn sóng 2.2. Trường hợp hai linh kiện dẫn sóng giống nhau 2.3. Ước lượng các hằng số kết hợp 2.4. Các ví dụ 3. Kết hợp bằng cách tử 3.1. Kết hợp đ`ồng hướng của hai mode được dẫn 3.2. Kết hợp của một mode được dẫn và một mode bức xạ 3.3. Kết hợp ngược chiều 146 http://violet.vn/phamvanhai_ts
J.M. Jonathan Chương I. Giới thiệu chung và các khái niệm cơ bản 1. Tổng quan: linh kiện dẫn sóng (waveguide) dùng gương Sự nghiên cứu về một mặt phẳng dẫn tạo bởi hai mặt phản xạ kim loại giả thiết là phẳng tuyệt đối, song song, cách nhau một khoảng d, cho phép đưa ra những khái niệm quan trọng sẽ sử dụng ở những phần sau. y x B’ A d/2 θ d B -d/2 z θ Hình I-1. Hình học của linh kiện dẫn sóng dùng gương và điều kiện dẫn Như trên hình I-1, một mô tả khá thô sơ là xét các phản xạ liên tiếp của một chùm sáng hẹp trên hai thành phản xạ lý tưởng cho mọi góc θ giữa chùm sáng này và hướng truyền trung bình z. Cách mô tả này khiến người ta nghĩ một cách sai lệch rằng mọi chùm sáng đều có thể truyền đi nhờ một dẫn sáng như vậy. Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn khi chiều dày d của linh kiện dẫn sóng lớn hơn độ dài kết hợp của ánh sáng. Còn trong trường hợp ngược lại thì cần phải tính đến sự giao thoa giữa các sóng phẳng gần như đơn sắc, mà các tia sáng thể hiện hướng truyền sóng. Như vậy, sóng phẳng tiến lên ở phía sau điểm B xuất phát từ sóng phẳng tiến lên đến điểm A; một phần bởi một lộ trình có quang lộ (AB’), một phần bởi lộ trình có quang lộ AB thông qua hai lần phản xạ (hình I-1). Vì vậy hai quang lộ này cần phải khác nhau một số nguyên lần của bước sóng. 1.1. Điều kiện của việc truyền dẫn sóng (sóng TE) Hình I-1 đặt ra các giả thuyết tính toán trong trường hợp một sóng phân cực song song với mặt phẳng của linh kiện dẫn sóng (sóng TE). Sự khác nhau về độ dài hình học có thể viết như sau: ( AB) − ( AB') = 2d sin θ (1.1) và với mỗi phản xạ, khi tính tới sự lệch pha φr = π độc lập với sóng tới, điều kiện giao thoa 2π [( AB ) − ( AB')] − 2φ r = m 2π k 0 (1.2) λ0 sẽ buộc góc θ chỉ được nhận một vài giá trị đặc biệt xác định bởi công thức: λ sin θ m = m 0 (1.3) 2d Chúng ta cũng có thể diễn đạt lại điều kiện đối với góc θ này thành điều kiện cho các vectơ r r sóng tương ứng k1 và k 2 của các sóng phẳng đi lên và đi xuống. r Gọi kym là thành phần ngang (theo y) của k1 và βm là thành phần dọc (theo x), ta tìm được :  β = k cos θm r  m 0 r  βm = k0 cos θm  k1 =  k2 =  k ym = k0 sin θm  kym = − k0 sin θm  (1.4) 147
J.M. Jonathan 2π với k 0 = λ0 Hình I-2. Các thành phần dọc và ngang của hằng số lan truyền của các sóng dẫn Trước tiên chúng ta nhận thấy rằng, hai sóng ứng với cùng một giá trị m sẽ có cùng hằng số lan truyền dọc và các hằng số lan truyền ngang đối nhau. Hình vẽ I-2 cho chúng ta biết các nghiệm được thể hiện bằng hình. Nó cho ta biết rằng thành phần ngang của hằng số λ lan truyền là bội của π 0 và hằng số lan truyền dọc nhận các giá trị nằm giữa 0 và k0. d 1.2. Cấu trúc của các trường dẫn Độ lệch pha π khi phản xạ chỉ ra rằng trường được tạo thành do sự chồng chập của các sóng phẳng có cùng hằng số lan truyền dọc βm bằng 0. Điều kiện đồng bộ pha (1.2) là kết quả của việc hai sóng này có hằng số lan truyền ngang đối nhau (hệ thức 1.4). Sự chồng chập của hai sóng phẳng này tạo ra một cấu trúc trường có các đặc trưng ngang được xác định bởi kym và lan truyền theo z một cách không đổi về không gian với hằng số lan truyền βm. Người ta gọi đó là một mode truyền: một sóng ngang truyền không biến dạng theo hướng z. Cấu trúc này có thể được đặc trưng một cách đơn giản từ hai sóng phẳng đang nói đến: r E + x ( y, z ) = Am exp− jk ym y exp− iβ m z r E − x ( y, z ) = Am exp+ jk ym y exp− iβ m z exp j (m − 1)π (1.5) φm là độ lệch pha giữa hai sóng tại điểm y = 0. Hệ thức (1.2) chỉ ra rằng: φm = (m+1)π Nhờ có hệ số pha này chúng ta có thể tìm thấy các mode “đối xứng” và các mode “phản đối xứng”. Thực vậy, trường hình thành từ sự chồng chập của hai sóng phẳng là: r Nếu m lẻ : E x ( y, z ) = 2 Am cos k ym y exp− iβ m z r Nếu m chẵn : E x ( y, z ) = 2i Am sin k ym y exp− iβ m z (1.6) 148
J.M. Jonathan Hình I-3. a) mode m = 1,2,3 ; b) chu kỳ lộ trình của một tia sáng Như hình I-3 ở trên cho thấy, các mode lẻ thì đối xứng và các mode chẵn thì bất đối xứng. Các hệ thức (1.6) thể hiện rõ các mode như là các cẩu trúc ngang truyền không biến dạng theo z. m là giá trị của số cực trị mà ta quan sát được. 1.3. Sự tán sắc của linh kiện dẫn sóng (dispersion du guide) m cũng xác định hằng số lan truyền βm của mode : ω2 m 2π 2 βm = 2 − (1.7) c2 d2 Hệ thức này là một “hệ thức tán sắc” vì nó thể hiện mối tương quan giữa sự truyền sóng và tần số của nó. Hệ thức chỉ ra rằng βm giảm khi bậc m tăng. Về mặt này, nó phản ánh việc trường lan truyền trong linh kiện dẫn sóng càng chậm nếu như sóng phẳng càng nghiêng nhiều so với trục của linh kiện dẫn sóng. Chúng ta có thể biểu diễn kết quả này bằng cách tính vận tốc nhóm từ biểu thức (1.7) dω vg = = c. cos θ m (1.8) dβ Ta cũng có thể tìm thấy kết quả này khi tính tốc độ lan truyền của một thông tin được mang bởi một tia sáng bằng hình học. Thực vậy, hình I-3-b chỉ ra rằng để vượt qua khoảng d 2 cách l = 2d cot θ m thì cần một thời gian t = . sin θ m c 1.4. Tính trực giao của các mode dẫn sóng Đối với phần tiếp theo, một điều quan trọng cần lưu ý là các mode được định nghĩa bởi các hệ thức (1.6) trực giao với nhau. Thực vậy : nếu l ≠ m, khi ấy : d /2 ∫−d / 2 Am . cos k ym y. sin k yl y.dy = 0 (1.9) Đặt : E x ( y, z ) = am.um exp− iβ m z (1.10) 2 mπ với m lẻ : a m = j 2d um ( y ) = sin y d d 149
J.M. Jonathan 2 mπ m chẵn : a m = 2d um ( y) = cos y (1.11) d d ta định nghĩa các mode um(y) trực giao và chuẩn hóa. Thực vậy: nếu l ≠ m, thì: d 2 d 2 ∫ u ( y ) u ( y ) dy = 0 ∫ u ( y ) dy = 1 2 l m và m (1.12) −d 2 −d 2 Như vậy trường tổng cộng trong linh kiện dẫn sóng được viết dưới dạng tổng quát như một sự chồng chập của các mode được hỗ trợ bởi linh kiện dẫn sóng này: r max E x ( y, z ) = ∑ a'm u m ( y ) exp− iβ m z (1.13) m =0 Tích phân: d/2 r ∫ E x ( y, z ) um ( y ) dy = a'm . exp− iβ m z (1.14) −d / 2 được gọi là tích phân xen phủ giữa trường trong linh kiện dẫn sóng và mode m. Chúng ta chú ý rằng nếu như mode (theo định nghĩa) là một cấu trúc ngang bất biến khi lan truyền, thì sự chồng chập của hai mode lại không có tính chất này. Ví dụ như cấu trúc thu được từ sự chồng chập của các mode m = 1 và m = 2 là biến đổi tuần hoàn dọc theo hướng lan truyền. 1.5. Số lượng các mode Tùy theo các điều kiện khác nhau, cần phải định nghĩa số lượng của các mode có khả năng tồn tại trong linh kiện dẫn sóng. Trước hết, ta sẽ nhận thẩy rằng trong một linh kiện dẫn sóng đã cho, trường là bằng 0 trên các mặt. Vì thế mode m = 0 không thể tồn tại, bởi vì nó tương ứng với trường bằng không ở khắp nơi. Mặt khác, giá trị cực đại của m được xác định bởi điều kiện: λ  2d  sin θm = m ≤ 1 vậy O < m < mmax = Ent  λ   (1.15) 2d  0 2d Mode m chỉ có thể tồn tại nếu ≥ m , tức là nếu: λ0 2d c λ 0 ≤ λ max = hay ν ≥ ν min = m (1.16) m 2d νmin được gọi là tần số cắt của mode m. Vậy số mode trong linh kiện dẫn sóng tăng khi tần số của sóng truyền qua tăng (hay khi bước sóng của sóng truyền qua giảm). 2. Linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng đối xứng Một linh kiện dẫn sóng điện môi phẳng được tạo bởi một lớp điện môi có chỉ số khúc xạ n1 và độ dày d. Nó được bao phủ bởi hai môi trường điện môi bán vô hạn (semi-infini), chất nền và lớp phía trên đều có chỉ số khúc xạ nhỏ hơn n1. Nếu hai môi trường này có cùng một chiết suất n2 thì linh kiện dẫn sóng như vậy được gọi là đối xứng. Môi trường hỗn hợp như vậy là bất biến khi tịnh tiến theo các hướng x và z. Nó có hai “hố chiết suất” theo hướng y. Các gương trong chương trước được thay thế bằng mặt phẳng 150
J.M. Jonathan các lưỡng chất (dioptres) phân tách hai môi trường chất điện môi. Ngược lại với trường hợp trước, các tính chất phản xạ của chúng phụ thuộc chặt chẽ vào góc tới của các tia sáng lên mặt phân cách này. 2.1. Dẫn sóng bằng phản xạ toàn phần Nếu góc θ giữa tia sáng và trục z lớn, ánh sáng sẽ được truyền qua một phần và phản xạ một phần. Ánh sáng không bị giam giữ trong môi trường có chiều dày d. Điều kiện để nhận được độ phản xạ toàn phần trên các mặt phân cách chính là điều kiện phản xạ toàn phần. Thông thường nó được biểu thị theo hàm của góc tới i. Nhưng trong trường hợp các dẫn sóng thì người ta thường biểu diễn theo hàm của góc θ như sau: n  π n  i ≥ ic = sin −1  2  n  hoặc θ ≤ θc = − sin −1  2 n   (1.17)  1 2  1  Môi trường không mất mát n1 >n2 Lớp trên Dẫn sóng n2 Lớp d dưới n1 n2 θ θ n2 n1 θ Tia không Tia được dẫn i được dẫn Hình I-4 : Cấu trúc của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng và các cách ký hiệu 2.2. Điều kiện dẫn sóng (đối với TE) Điều kiện dẫn sóng có thể được thiết lập hoàn toàn tương tự như trong trường hợp trước. Điều khác biệt duy nhất là ở chỗ độ lệch pha φr được đưa vào bởi sự phản xạ trên các bề mặt phân cách bây giờ lại phụ thuộc vào góc tới và độ phân cực của sóng quang học. Khi phân cực là phân cực điện ngang (sóng TE) thì độ lệch pha khi phản xạ được xác định khi θ ≤ θc bởi: 1/ 2 1/ 2 φr  cos 2 ic   sin 2 θ c  tan =   cos 2 i − 1  =  sin 2 θ − 1  (1.18) 2     Như vậy điều kiện dẫn sóng sẽ là: 1/ 2  π  2d   sin θ c  2 tan   sin θ − m  =   sin 2 θ − 1  với θ ≤ θ c (1.19) 2  λ    151
J.M. Jonathan 2.3. Các hằng số lan truyền và số lượng mode (đối với TE) m=0 2 4 6 8 ky 10 n1k0 8 n2k0 n1k0 sin θ c M θc 6 4 m θm 2 sinθ 0 λ n2k0 n1k0 β 2d sinθc Hình I-5: Các mode TE của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng. Nghiệm hình học và sơ đồ của các hằng số lan truyền Đường biểu diễn hai vế trong phương trình (1.18) theo hàm sinθ cho phép biểu thị các λ nghiệm theo hình học. Vế trái là một chuỗi tuần hoàn (chu kỳ ) các nhánh (branche) 2d dương của hàm tan. Vế phải là hàm nghịch biến được xác định trong khoảng 0≤θ≤θ c. Chúng ta lưu ý trên hình I-5, có ba điều khác so với linh kiện dẫn sóng trước: - các giá trị của θm không còn cách đều nhau, các hằng số lan truyền lại có tiếp 2 thành phần dọc và ngang: β m = n1k 0 cos θ m và k ym = n1k 0 sin θ m (1.20) với các điều kiện cho θm: n2 ≤ cos θ m ≤ 1 và 0 ≤ sin θ m ≤ sin θ c (1.21) n1 θm cần phải nhỏ hơn θc. Vậy số lượng các mode TE được xác định bởi:  n   2  sin θ c  2d M = 1 + Ent  = 1 + Ent  1−  2   n   (1.22)  λ / 2d  λ  1   - Mode m = 0 (mode cơ bản) luôn luôn tồn tại với bất kỳ bước sóng ánh sáng nào: tần số cắt của mode cơ bản bằng không. Linh kiện dẫn sóng là đơn mode (chỉ có duy nhất mode m = 0) nếu: λ0 d≤ 2 O.N . khi đưa vào khẩu độ số của sợi quang: O.N . = n12 − n2 2 (1.23) - Vì điều kiện phản xạ toàn phần giới hạn giá trị lớn nhất của θm nên nó sẽ phản ánh giới hạn độ mở số của sợi quang. Vậy số lượng các mode TE là:  2d   2d  M = 1 + Ent  O.N . = 1 + Ent  O.N .ν  (1.24)  λ0   c  c 1 Tần số cắt của mode m là: ν m = m (1.25) 2d O.N . 152
J.M. Jonathan 2.4. Phân bố của trường (đối với TE) Cùng ý tưởng trong chương trước, ta có thể mô tả phân bố của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng. Tuy nhiên, cần phải mô tả một cách riêng biệt ba môi trường cấu thành linh kiện dẫn sóng. d d Trong linh kiện dẫn sóng ( − ≤ y ≤ ) 2 2 Trường là sự chồng chập của hai sóng phẳng lệch pha π tại y = 0: Ta nhận thấy rằng số lượng cực trị của trường trong linh kiện dẫn sóng là m + 1.  2π n1 sin θ m cos m = 0,2,4,...  λ0 E x ( y , z ) = am .u m ( y ). exp − iβ m z với um ( y ) ∝  int (1.26) 2π n1 sin θ m  sin m = 1,3,5,...   λ0 d d Ngoài linh kiện dẫn sóng ( y ≤ − và y ≥ ) 2 2 Các nghiệm có dạng E x ( x, y ) = a ′ u m ( y ) exp− iβ m x được xác định bởi phương trình ext m ′ Helmoltz: ∆E x ( y, z ) + n2 k 02 E x ( y, z ) = 0 . Chúng ta dễ dàng nhận được: ext 2 ext d 2u'm ( y ) 2  cos 2 θ m  2 − γ m u ' m ( y ) = 0 với γ m = β m − n2 k 02 = n2 k 0  2 2 2  cos θ 2 − 1  (1.27) dy  c  Các nghiệm thu được là các sóng tắt dần có biên độ phải tiến dần về 0 khi khoảng cách càng xa trong dẫn sóng. Vậy ta có: Các hệ số am và am’ được xác định bởi tính liên tục của các mặt phân cách.  exp− γ m y khi y ≥ d / 2 E x ( y, z ) = am .u 'm ( y ). exp − iβ m z với u ' m ( y ) =  ext (1.28) exp + γ m y khi y ≤ − d / 2 Hình I-6: Các ví dụ về cấu trúc của các mode γm được gọi là hệ số dập tắt. Đây là hàm nghịch biến của m, tức là trường càng trải rộng ra ngoài linh kiện dẫn sóng khi m càng lớn. Như vậy, một điều rất thú vị là chúng ta có thể thêm vào một đại lượng mới miêu tả chất lượng giam giữ (confinement) của trường bên trong linh kiện dẫn sóng. Đó là hệ số giam Γm. Giá trị này chính là phần công suất được giam trong linh kiện dẫn sóng: d /2 2 d /2 ∫ E(m)x( y, z ) dy ∫ um( y )dy 2 Γm = −d / 2 +∞ = −d / 2 +∞ 2 ∫ E (m) ( y, z ) dy x ∫ um( y )dy 2 −∞ −∞ (1.29) 153
J.M. Jonathan 2.5. Quan hệ của sự tán sắc và tốc độ nhóm Điều kiện dẫn sóng cho phép ta nhận được hệ thức tán sắc. Khi sử dụng: c n cos θ m = β và cos θ m = 2 n1ω n1 ta tìm được: 1/ 2  2 n2 ω 2  2  d n 2ω 2 π  β − 2  tan  1 −β2 −m  =  2 2 c  (1.30) 2  c 2 2   n1 ω   2 − β2    c  Phương trình này chỉ có nghiệm khi số hạng dưới căn bậc hai của vế phải là dương. Trong c c mặt phẳng (β,ω), chúng cần phải nằm giữa hai đường thẳng ω = β và ω = β . Vậy vận n2 n1 c c tốc nhóm sẽ nằm trong khoảng và . Dạng chung của các nghiệm được biểu diễn trên n1 n2 hình I-7-a. Đặc biệt, hình vẽ cho thấy với một ω cho trước thì mode thấp nhất sẽ có vận tốc c nhóm vào khoảng v g ≈ , đó chính là vận tốc nhóm mà mode đó có được khi nó được giam n1 giữ hoàn toàn trong linh kiện dẫn sóng. Trong các điều kiện tương tự như vậy, mode cao nhất c c sẽ có vận tốc vào khoảng v g ≈ > , giống như nếu nó truyền chủ yếu ra ngoài linh kiện n 2 n1 dẫn sóng. ω ωn2 < β < ωn1 ∆z c c ω> c β d n2 a) m=2 b) sinθm m=1 m=0 ω< cβ n1 β d cotθm Hình I-7: a) biểu diễn sơ đồ của các nghiệm của hệ thức tán xạ ; b) Các ký hiệu cho phép tính hình học của vận tốc nhóm Ta có thể biểu diễn sự thay đổi của vận tốc nhóm giữa các mode bằng cách tính đạo hàm toàn phần theo β từ điều kiện dẫn (1.2): n12 ω c2 ∂ω β ∂φr ∂φr ∂ω d − = + (1.31) n12ω 2 ∂β ∂ω ∂β ∂ω ∂β −β2 − β c2 ∂β 154
J.M. Jonathan ∂φ r Hai đại lượng đầu tiên của vế trái làm xuất hiện hai hàm đã biết trước của θm. là ∂β ∂φ r đồng nhất (homogene) trên chiều dài ∆z và đồng nhất trong khoảng thời gian -∆t. Vậy ∂ω biểu thức này được viết như sau: n 1 1  d 1  c sin θ v g − tan θ  = ∆z − ∆ t v g   m m  Ta có thể biểu diễn vận tốc nhóm dưới dạng: d cot θ m + ∆z vg = (1.32) d n1 + ∆t sin θ m c Chính tỉ lệ giữa quãng đường hiệu dụng (parcours effectif) và thời gian hiệu dụng: 0 d cot θ m vg = d n1 sin θ m c là tốc độ nhóm trong linh kiện dẫn quang dùng gương có chiết suất n1. Vậy trong một chu kỳ quỹ đạo của tia sáng, ta có thể biểu diễn (hình I-7-b) biểu thức của vg là kết quả của quãng đường trong linh kiện dẫn quang dùng gương được tăng thêm một quãng đường có chiều dài ∆z thực hiện được trong khoảng thời gian ∆t. Vậy độ lệch pha khi phản xạ là bằng sự lan ∂φ truyền phụ ∆z = r ở bên ngoài linh kiện dẫn sóng: đây là độ dịch chuyển Goos-Hânchen. ∂β Tương tự như vậy, ta cũng có thể định nghĩa chiều dày hiệu dụng của linh kiện dẫn sóng là: d eff = d + ∆z tan θ m (1.33) ∆z c Chúng ta có thể chỉ ra rằng = , tức là tốc độ lan truyền trong đường đi phụ này sẽ ∆t n 2 cos θ càng lớn khi góc θ tăng. 155
J.M. Jonathan Chương II. Trường điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng Ở đây ta nghiên cứu về linh kiện dẫn sóng phẳng (guide plan) dưới quan điểm trường điện từ bằng cách mô tả quá trình truyền sóng trong môi trường có chỉ số khúc xạ bất biến theo các hướng y và z, nhưng lại thay đổi theo hướng x. Đầu tiên, chúng ta xét trường hợp linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất (saut indice) là linh kiện dẫn sóng đã được nghiên cứu đến ở chương trước, sau đó ta sẽ nghiên cứu linh kiện dẫn quang có tiết diện parabol. Nghiên cứu này sẽ cho phép ta định nghĩa một cách chính xác hơn các khái niệm đã được đưa ra từ trước đến nay. 1. Khái niệm chung 1.1. Các phương trình Maxwell Từ đây trở đi, các khái niệm điện trường E , từ trường H , cảm ứng điện D và cảm ứng từ B , là các đại lượng vectơ có các thành phần thực. Môi trường mà các sóng được truyền qua được giả thiết là môi trường tuyến tính, đẳng hướng và không dẫn điện cũng như không nhiễm từ. Tuy nhiên, cấu trúc hình thành linh kiện dẫn sóng không thể coi là đồng chất. Với các điều kiện này, các phương trình Maxwell được viết như sau: ∂B RotE = − (a) divD = 0 (c) ∂t ∂D RotH = (b) divB = 0 (d) (2.1) ∂t Các phương trình cấu thành môi trường được viết như sau: B = µ0 H (a) D = ε 0 n 2 ( x, y , z ) E (b) (2.2) Chúng ta nhớ lại rằng: µ 0 = 4π 10 −7 ε 0 = 8,84.10 −12 và ε 0 µ0c 2 = 1 (2.3) 1.2. Phân bố ngang của trường trong linh kiện dẫn sóng phẳng Ta tìm nghiệm của các phương trình truyền của các trường lan truyền theo hướng z là một trong các hướng mà cấu trúc bất biến theo hướng đó. Vậy chúng có dạng: r E (x, y, z , t ) = E (x, y ) e i (ωt − βz ) r H ( x, y, z , t ) = H ( x, y ) e i (ωt − βz ) r r β là hằng số lan truyền theo z. E ( x, y ) và H ( x, y ) là các phân bố ngang của trường được lan truyền theo z, không bị biến dạng. Sự bất biến của cấu trúc theo y khiến cho các phân bố này cũng bất biến theo y. Như vậy, các thành phần của trường được viết như sau: E j ( x, y, z, t ) = E j ( x ) e i (ωt − βz ) j = x, y , z (2.4) j ( x, y , z , t ) = H j ( x ) e i (ωt − βz ) H j = x, y , z 1.3. Các mode TE và TM của linh kiện dẫn sóng Khi thay thế các trường bởi các biểu thức của chúng trong (2.4) vào các phương trình: 156
J.M. Jonathan ∂H ∂E RotE = − µ O RotH = ε 0 n 2 ∂t ∂t ta nhận được 2 nhóm chứa 3 phương trình độc lập. Nhóm thứ nhất mô tả các mode điện ngang (mode TE), có nghĩa là các mode mà điện trường (Ey) của chúng trực giao với phương truyền, giống như đối với trường hợp của một sóng phẳng: iβ E y = −iωµ 0 H x -a - ∂ Ey = −iωµ 0 H z -b- (2.5) ∂x ∂Hz − iβ H x − = iωε 0 n 2 (x ) E y -c- ∂x Nhóm thứ 2 liên kết thành phần Hy của từ trường với các thành phần Ex và Ez của điện trường. Chúng mô tả các mode từ ngang (mode TM) mà từ trường (Hy) của chúng trực giao với phương truyền: iβ H y = iωε 0 n 2 ( x )E x ∂ Hy = iωε 0 n 2 ( x ) E z (2.6) ∂x ∂ Ez − iβ E x − = −iωµ 0 H y ∂x Vậy nghiệm chung của các phương trình Maxwell trong linh kiện dẫn sóng sẽ là sự kết hợp tuyến tính của các mode TE và mode TM. Ta không có các mode điện từ ngang (mode TEM) của sự lan truyền tự do: các sóng điện từ được dẫn thường là không phải là sóng ngang; điện trường hay từ trường hoặc là cả từ trường và điện trường đều có thể chứa các thành phần khác 0 theo phương truyền. 2. Linh kiện dẫn sóng có hố chiết suất (guide à saut indice) Đầu tiên, chúng ta sử dụng các kết quả này vào trong trường hợp linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất (hình II-1). Linh kiện dẫn sóng có bề dày là d và chỉ số khúc xạ n1 đồng nhất, lớp nền và lớp phía trên đều là môi trường bán vô hạn và có cùng một chiết suất n2 nhỏ hơn n1. Hình II-1: Phân bố của chiết suất của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất Chúng ta sẽ diễn giải chi tiết các tính toán và các kết quả thu được trong trường hợp các mode TE, sau đó sẽ chỉ đưa ra kết quả đối với các mode TM. 2.1. Phương trình truyền các mode TE Các phương trình (2.5) trực tiếp cho chúng ta phương trình truyền của điện trường ngang: 157
J.M. Jonathan ∂2 Ey ∂x 2 ( ) + ω 2ε 0 µ 0 n 2 ( x ) − β 2 E y = 0 (2.7) phương trình này tồn tại k 0 = ω ε 0 η 0 là hằng số lan truyền trong chân không, của sóng điện từ có tần số góc là ω. Phương trình này sẽ thay đổi khác nhau tùy theo ở trong linh kiện dẫn sóng (chiết suất n1) hay là ở ngoài linh kiện dẫn sóng (chiết suất n2). Điện trường tổng cần phải thỏa mãn hai phương trình sau: Trong linh d ∂2 Ey -a- kiện dẫn x < 2 ( ) + k 02 n12 − β 2 E y = 0 ∂x 2 (2.8) Ngoài linh d ∂2 Ey -b- kiện dẫn x > 2 ( + k 02 n2 − β 2 E y = 0 2 ) ∂ x2 Sau đó, các thành phần của từ trường được định nghĩa từ hai phương trình đầu tiên của (2.5). Cuối cùng, các thành phần tiếp tuyến của hai trường (Ey và Hx) cần phải liên tục trên dE y ( x) d các bề mặt. Điều này làm cho các hàm Ey(x) và phải liên tục khi x = ± . dx 2 Trước khi giải các phương trình này, ta cần phải lưu ý rằng bản chất của các sóng phụ thuộc chủ yếu vào giá trị của hằng số lan truyền dọc β. Các dạng nghiệm có thể nhận đựợc của các phương trình (2.8) được tóm tắt trong bảng sau đây: Giá trị của β d d Nghiệm tổng quát x < x > 2 2 β 2 < k 02 n2 < k 02 n12 nghiệm dao động nghiệm dao động 2 mode bức xạ (2.9) k n
J.M. Jonathan d ∂2 Ey x > − κ 2 Ey = 0 κ 2 = β 2 − k 02 n2 ≥ 0 2 -b- (2.10) 2 ∂x 2 tính đến việc các hàm e mũ phải giảm về vô cùng, các nghiệm là: d x< E y (x ) = A cos αx + B sin αx -a- 2 d x> E y ( x ) = D exp− κx -b- (2.11) 2 d x E y ( x ) = C exp− κx (2.12) 2 phải thỏa mãn các phương trình liên tục của trường và đạo hàm của nó: d d d d A cos α = C exp− κ và − αA sin α = −κ .C exp− κ (2.13) 2 2 2 2 Chúng ta thường giản lược các phương trình trên bằng cách đưa vào các đại lượng chuẩn hóa không có đơn vị mà các đại lượng này sẽ được sử dụng một cách có hệ thống trong phần tiếp theo: αd u= 2 κd v= hệ số dập tắt rút gọn (2.14) 2 d V = k0 n12 − n2 2 tần số rút gọn 2 mà ta sẽ nhận thấy rằng các đại lượng này liên hệ với nhau bởi hệ thức: u 2 + v2 = V 2 (2.15) Vậy các phương trình (2.13) có nghiệm khi: u tan u = V 2 − u 2 (2.16) Mode dẫn sóng TE phản đối xứng Các nghiệm phản đối xứng: d x < E y ( x ) = B sin αx 2 d x x > E y ( x ) = D exp− κ x (2.17) 2 x 159
J.M. Jonathan cần phải thỏa mãn các phương trình liên tục: d d d d B sin α = − D exp− κ và αB cos α = κD exp− κ (2.18) 2 2 2 2 Hệ này có nghiệm nếu: − u cot u = V 2 − u 2 (2.19) 2.3. Xác định đồ thị của các mode dẫn sóng TE Đối với mỗi giá trị của tham số V, các phương trình (2.16) và (2.19) cho phép xác định các giá trị của tham số u sao cho tồn tại các mode dẫn sóng điện ngang, chẵn hay lẻ. Việc giải phương trình có thể thực hiện bằng đồ thị. - Tham số V gọi là tần số rút gọn (fréquence réduite) được xác định bởi các đặc trưng của linh kiện dẫn (bao gồm độ dày d và các chỉ số khúc xạ n1 và n2), và bởi bước sóng của ánh sáng trong chân không. - Tham số u xác định dạng của trường trong linh kiện dẫn sóng nhận được thông qua một trung gian α Ta vẽ trên cùng một đồ thị hai hàm của u: - Hàm V 2 − u 2 biểu thị bằng một vòng cung tròn có bán kính V (đường chấm chấm trên đồ thị) - Hàm u tan u (đường kẻ liền), các giao điểm của nó với đường trước sẽ xác định các mode đối xứng có thể. - Hàm –ucotu (đường chấm gạch), các giao điểm của nó với đồ thị thứ nhất sẽ xác định các mode bất đối xứng có thể. Cũng như vậy với mỗi giá trị của V, ta xác định số lượng các mode đối xứng và phản đối xứng có thể và các giá trị tương ứng của u. Kết quả của cách giải này được đưa lên hình II-2 để cho ta các giá trị của u theo hàm của V. Chúng ta nhận thấy rằng số lượng các mode là hàm đồng biến của V. Đồ thị sẽ biểu thị với mỗi mode (được đánh số m) một tần số cắt Vm. Từ các giá trị này của u chúng ta có thể dễ dàng tính được hằng số lan truyền β của mode tương ứng. f (u ) V =5 u(V) m=5 8 m=4 V =2 6 m=3 u m=2 4 2 4 6 m=1 2 m=0 0 V 0 5 10 15 20 Hình II-2: Giải bằng đồ thị và biểu diễn các nghiệm u(V) 160
J.M. Jonathan 2.4. Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hóa Khái niệm chiết suất hiệu dụng cho thấy rằng nếu một sóng lan truyền trong chân không với hằng số k0 và chính sóng này lan truyền trong linh kiện dẫn sóng với hằng số lan truyền β thì chiết suất hiệu dụng được định nghĩa một cách tự nhiên là: β neff = (2.20) k0 và được biểu diễn theo hàm của các tham số u và V: 2 n =n − n −n   2 eff 2 1 ( u 2 1 2 2 ) (2.21) V  Điều kiện dẫn sóng được viết với chiết suất hiệu dụng là: n2 ≤ neff ≤ n1 (2.22) Tương tự như vậy, ta thường sử dụng hằng số lan truyền chuẩn b: β 2 / k 02 − n2 2 neff − n2 2 2 u 2 b≡ = = 1−   (2.23) n12 − n2 2 n12 − n2 2 V  Vậy một mode sẽ được dẫn nếu như hằng số lan truyền chuẩn hóa của nó nằm trong khoảng 0 và 1. Giá trị b = 0 biểu thị trường hợp đặc biệt là tần số cắt của mỗi mode. Hình II-3 là một ví dụ biểu diễn biến thiên của chiết suất hiệu dụng theo hàm của V. Đường biểu diễn biến thiên của b hoàn toàn tương tự như vậy được biểu diễn trên hình bên cạnh. Hình II-3: Biến thiên của chiết suất hiệu dụng neff và của hằng số lan truyền rút gọn b theo hàm của tần số rút gọn V 2.5. Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất Tương tự như phần trước, chúng ta có thể giải bài toán biểu diễn sự tồn tại của các mode dẫn sóng TM trong linh kiện dẫn sóng đối xứng có hố chiết suất. Như vậy ta phải giải các phương trình định nghĩa các thành phần ngang của từ trường: d ∂2 H y x< +α2 Hy = 0 α 2 = k02 n12 − β 2 2 ∂ x2 d ∂2 H y x > −κ2 Hy = 0 κ 2 = β 2 − k 02 n2 2 (2.24) 2 ∂ x2 1 dH y và viết tính liên tục của hàm Hy(x) và của , ta thu được các điều kiện tồn tại như sau: n 2 dx 161
J.M. Jonathan 2 n  Mode TM đối xứng [ u tan u =  1  V 2 − u 2 n  ] 1/ 2  2 2 n  Mode TM bất đối [ − u cot u =  1  V 2 − u 2 n  1/ 2 ] (2.25)  2 và chúng ta có thể giải bằng đồ thị các phương trình này tương tự như ở phần trước để nhận được các hằng số lan truyền của các mode dẫn sóng TM. 2.6. Tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng phẳng hố chiết suất Các kết quả tính toán chỉ ra rằng các hằng số lan truyền là khác nhau với các mode TE và TM cùng bậc. Điều này được thể hiện rất rõ trong hình II-4. Hình II-4: Độ nhạy của hằng số lan truyền rút gọn b khi phân cực; các mode TE được biểu diễn bằng các đường kẻ liền, các mode TM được biểu diễn bằng đường chấm chấm Một nhận xét nữa là một linh kiện dẫn sóng phẳng đơn mode sẽ có một mode TE và một mode TM. Cả hai mode này đều có các hằng số lan truyền khác nhau, điều này tương ứng với tính lưỡng chiết. Ví dụ như chúng ta xét một linh kiện dẫn sóng có chiết suất n1 = 1,5 và độ dày d = 0,555 µm, được đặt trong một môi trường có chiết suất n2 = 1. Chúng ta tìm cách cho một bước sóng λ0 = 1,3µm truyền qua linh kiện dẫn này. Trong trường hợp này, tần số rút gọn là V ≈ 3. Chúng ta có một linh kiện dẫn đơn mode: nó chỉ chứa một mode cơ bản và: mode b neff TE 0,6280 1,336 TM 0,4491 1,2495 Vậy ta có một lưỡng chiết ∆n ≈ 0,09. Độ lệch pha của các mode cơ bản TE và TM là π đối với một độ dài truyền: 2π Lb = ≈ 15µm ∆β Như vậy, tính lưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng là rất lớn. 162