( 45 ti(cid:1)t ) Ch(cid:2)(cid:3)ng 1 : Phép tính vi phân hàm m(cid:4)t bi(cid:1)n Ch(cid:2)(cid:3)ng 2 : Phép tính tích phân hàm m(cid:4)t bi(cid:1)n Ch(cid:2)(cid:3)ng 3 : Lý thuy(cid:1)t chu(cid:5)i Ch(cid:2)(cid:3)ng 4 : Phép tính vi phân hàm nhi(cid:6)u bi(cid:1)n Ch(cid:2)(cid:3)ng 5 : (cid:7)ng d(cid:8)ng c(cid:9)a hàm nhi(cid:6)u bi(cid:1)n
[1] Toán h(cid:12)c cao c(cid:13)p, t(cid:14)p 2&3, Nguy(cid:15)n (cid:16)ình Trí (ch(cid:9) biên), NXB Giáo d(cid:8)c, 2009 [2] Toán cao c(cid:13)p, Gi(cid:17)i tích hàm m(cid:4)t bi(cid:1)n & Gi(cid:17)i tích hàm nhi(cid:6)u bi(cid:1)n, (cid:16)(cid:5) Công Khanh (ch(cid:9) biên), NXB (cid:16)HQG TP.HCM, 2010
TÀI LI(cid:10)U THAM KH(cid:11)O
Ch(cid:2)(cid:3)ng 1. Phép tính vi phân hàm m(cid:4)t bi(cid:1)n
1.1. Các khái ni(cid:1)m c(cid:2) b(cid:3)n v(cid:4) hàm s(cid:5) m(cid:6)t bi(cid:7)n
1.1.1. (cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a. (cid:1) Cho X và Y là các t(cid:14)p h(cid:18)p khác r(cid:5)ng. M(cid:4)t ánh x(cid:1) t(cid:19) t(cid:14)p X vào t(cid:14)p
Y là m(cid:4)t quy t(cid:20)c (cid:21)(cid:22)t t(cid:2)(cid:3)ng (cid:23)ng m(cid:5)i ph(cid:24)n t(cid:25) c(cid:9)a X v(cid:26)i duy nh(cid:13)t m(cid:4)t
f : X
x
f x
Y (cid:1) (cid:4)(cid:2) y
(cid:2) (cid:3)
ph(cid:24)n t(cid:25) c(cid:9)a Y. Ký hi(cid:27)u là
trong (cid:21)ó: y (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là (cid:17)nh c(cid:9)a x qua ánh x(cid:28) f
(cid:1)
(cid:1)
x (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là t(cid:28)o (cid:17)nh c(cid:9)a y qua ánh x(cid:28) f
f :
f :
(cid:1)(cid:1)
2
(cid:1)(cid:1) (cid:2)
x
x
VD. là ánh x(cid:28); không là ánh x(cid:28) (vì s(cid:29) 0
(cid:2)
x
1 x
không có (cid:17)nh)
1
(cid:6)
x X f x
y
f
(cid:4)
(cid:4)
(cid:10)
y Y(cid:9) (cid:10)
(cid:2) (cid:3)
(cid:1) N(cid:1)u ta có t(cid:14)p h(cid:18)p (cid:2) (cid:3) y
(cid:12) x
(cid:11) (cid:4)
(cid:2) f x có không quá m(cid:4)t ph(cid:24)n t(cid:25) (ho(cid:22)c )
(cid:2) f x
(cid:3)
(cid:3)
x (cid:5) (cid:4) 1
2
1
2
1
(cid:6)
Y(cid:4)
f
y Y(cid:9) (cid:10)
(cid:7) (cid:8)
(cid:2) f X
(cid:3)
(cid:2) (cid:3) y
thì f là (cid:2)(cid:3)n ánh. (cid:1) N(cid:1)u ta có t(cid:14)p h(cid:18)p (ho(cid:22)c ) thì
x X(cid:10)
y Y(cid:10)
f là toàn ánh. (cid:1) N(cid:1)u f v(cid:19)a (cid:21)(cid:3)n ánh v(cid:19)a toàn ánh thì f là song ánh. T(cid:23)c v(cid:26)i m(cid:5)i
(cid:1)
, t(cid:30)n t(cid:28)i duy nh(cid:13)t m(cid:4)t ph(cid:24)n t(cid:25) sao cho f(x) = y.
f :
3
(cid:1)(cid:1) (cid:2)
x
x
(cid:1)
(cid:31) VD. là song ánh
f :
2
(cid:1)(cid:1) (cid:2)
x
x
(cid:31) không (cid:21)(cid:3)n ánh, không toàn ánh
f : X
Y(cid:1)
y Y(cid:10)
1
(cid:6)
: Y
f
X
(cid:1) Cho là song ánh. Khi (cid:21)ó, v(cid:26)i m(cid:5)i , t(cid:30)n t(cid:28)i
(cid:1)
x X(cid:10)
duy nh(cid:13)t m(cid:4)t ph(cid:24)n t(cid:25) sao cho f(x) = y. Ánh x(cid:28)
(cid:21)(cid:22)t t(cid:2)(cid:3)ng (cid:23)ng ph(cid:24)n t(cid:25) y v(cid:26)i ngh ch (cid:17)nh x c(cid:9)a nó (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là ánh
1
(cid:6)
x(cid:1) ng(cid:4)(cid:5)c c(cid:9)a f.
y Y , f
f x
y
(cid:9) (cid:10)
x (cid:4) (cid:14)
(cid:4)
(cid:2) (cid:3)
1
(cid:2) (cid:3) y f (cid:6)
V(cid:14)y:
f : X
Y(cid:1)
(Ánh x(cid:28) ng(cid:2)(cid:18)c c(cid:9)a f c!ng là song ánh)
(cid:1) Cho hai t(cid:14)p khác r(cid:5)ng . Ánh x(cid:28) (cid:21)(cid:2)(cid:18)c X , Y (cid:13) (cid:1)
f x x X
Y
y
(cid:4)
(cid:4)
(cid:10)
(cid:2) (cid:3)
g(cid:12)i là m(cid:4)t hàm s(cid:6). Ký hi(cid:27)u y = f(x).
(cid:11)
T(cid:14)p X (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là t(cid:14)p xác (cid:21) nh c(cid:9)a f, ký hi(cid:27)u Df. (cid:12) T(cid:14)p (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là mi(cid:6)n giá tr c(cid:9)a f.
1.1.2. Hàm s(cid:5) ng(cid:11)(cid:12)c
Y(cid:1)
1
(cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a. Cho song ánh . Ánh x(cid:28) ng(cid:2)(cid:18)c c(cid:9)a f là f : X
f (cid:6) (cid:4) (cid:15)
x
(cid:4) (cid:15)
1
g(cid:12)i là hàm s(cid:6) ng(cid:4)(cid:5)c c(cid:9)a hàm y = f(x), và vi(cid:1)t là
(cid:2) (cid:3) y ; y Y (cid:9) (cid:10) (cid:6)(cid:4) (cid:2) (cid:3) f x y
(cid:31) N(cid:1)u là hàm s(cid:29) ng(cid:2)(cid:18)c c(cid:9)a hàm y = f(x) thì (cid:21)(cid:30) th
c(cid:9)a chúng (cid:21)(cid:29)i x(cid:23)ng qua (cid:21)(cid:2)"ng th#ng y = x.
1
(cid:6)
VD.
f x
f
lo g x ; x 0
x 2 (cid:4) (cid:5)
(cid:4)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3) x
2
>
1.1.3. Hàm s(cid:5) l(cid:11)(cid:12)ng giác ng(cid:11)(cid:12)c
sin x ;
1
y
y
1
;
(cid:4)
(cid:16) (cid:6) (cid:17) (cid:17) (cid:6) (cid:17) (cid:17) 2
(cid:16) 2
(cid:13) Hàm s(cid:29) có hàm x
y
a rcs in x ;
1
x
y
(cid:4)
1; (cid:6) (cid:17) (cid:17) (cid:6) (cid:17) (cid:17)
(cid:16) 2
(cid:16) 2
ng(cid:2)(cid:18)c là
y
c o sx ; 0
y
1
x
1
(cid:4)
; (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:6) (cid:17) (cid:17)
(cid:13) Hàm s(cid:29)
y
a rcco sx ;
y
x
1
(cid:4)
1; 0 (cid:6) (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:16)
(cid:1)
ta n x ; x
y
có hàm ng(cid:2)(cid:18)c là
(cid:4)
(cid:10)
(cid:18) (cid:21) (cid:10) (cid:6) (cid:21) (cid:21)(cid:22)
(cid:19)(cid:16) (cid:16) (cid:20) ; ; y (cid:20) (cid:20) (cid:23) 2 2
(cid:13) Hàm s(cid:29)
(cid:1)
y
a rcta n x ; x
; y
(cid:4)
(cid:10)
(cid:24) (cid:26) (cid:10) (cid:6) (cid:26) (cid:28)
arctan
có hàm ng(cid:2)(cid:18)c là
(cid:2) (cid:3) (cid:6) (cid:30) (cid:4) (cid:6)
(cid:25)(cid:16) (cid:16) ; (cid:27) (cid:27) 2 2 (cid:29) (cid:16) 2
arctan
(cid:2) (cid:31) (cid:30) (cid:4)
(cid:3)
(cid:16) 2
Quy (cid:2)(cid:26)c:
c o t x ; x
; y
y
(cid:4)
(cid:10)
(cid:16)
(cid:10) (cid:1)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:1)
y
a rc c o t x ; x
; y
0;
(cid:4)
(cid:10)
(cid:10)
(cid:16)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:13) Hàm s(cid:29) có hàm ng(cid:2)(cid:18)c là 0;
arctan
arctan
0
(cid:2) (cid:3) (cid:6) (cid:30) (cid:4) (cid:16) (cid:2) (cid:3) (cid:31) (cid:30) (cid:4)
Quy (cid:2)(cid:26)c:
1.2. Gi(cid:14)i h(cid:15)n c(cid:16)a hàm s(cid:5) m(cid:6)t bi(cid:7)n
D (cid:13) (cid:1)
x
(cid:2)
1.1.1. (cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a.
o
(cid:13) Cho là t(cid:14)p s(cid:29) th$c. (cid:16)i%m xo (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là (cid:2)i(cid:7)m gi(cid:8)i h(cid:1)n (hay (cid:2)i(cid:7)m t(cid:9)) c(cid:9)a t(cid:14)p D n(cid:1)u trong m(cid:12)i kho(cid:17)ng (cid:3) , x(cid:6) (cid:31) o
(cid:21)(cid:6)u ch(cid:23)a vô s(cid:29) các ph(cid:24)n t(cid:25) c(cid:9)a t(cid:14)p D.
D
0 ,1
(cid:4)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:3)
D
; n
VD. (cid:16)i%m t(cid:8) c(cid:9)a D là [0, 1]
(cid:4)
(cid:10)
1 n
! # # $ # # &
" # # % # # ’
(cid:3)
D có duy nh(cid:13)t m(cid:4)t (cid:21)i%m t(cid:8) là 0
D
1
; n
(cid:10)
(cid:3)n n n
1 2
(cid:31) (cid:31)
! # # (cid:2) (cid:4) (cid:6) $ # # &
" # # % # # ’
D có 2 (cid:21)i%m t(cid:8) là 1 và –1
(cid:6) (
X (cid:13) (cid:1)
(cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a 1. (theo ngôn ng(cid:17) “ ”)
l (cid:10) (cid:1)
Cho hàm s(cid:29) y = f(x) xác (cid:21) nh trên t(cid:14)p và xo là (cid:21)i%m gi(cid:26)i h(cid:28)n c(cid:9)a t(cid:14)p X. S(cid:29) (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là gi(cid:26)i h(cid:28)n c(cid:9)a hàm s(cid:29) f khi x
(cid:1) 0 : x X (cid:9) ) ( (cid:9) (cid:10)
f x
x
((cid:5)
(cid:6)
l (cid:6) (cid:2)
o
x
x(cid:1)
f x
l
l(cid:1)
(cid:4)
o
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) 0 x (cid:2) d(cid:24)n (cid:21)(cid:1)n xo n(cid:1)u mà (cid:1) 0, (cid:2) (cid:3)
x
lim f x x (cid:1)
o
Khi (cid:21)ó ký hi(cid:27)u: hay khi (cid:2) (cid:3)
Chú ý.
2
Trong (cid:16) nh ngh&a không (cid:21)òi h’i hàm f ph(cid:17)i xác (cid:21) nh t(cid:28)i xo.
4
(cid:4)
lim x 2 (cid:1)
x x
4 2
(cid:6) (cid:6)
VD. m(cid:22)c dù hàm không xác (cid:21) nh t(cid:28)i x = 2.
(cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a 2. (theo ngôn ng(cid:17) dãy)
Hàm f (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là có gi(cid:26)i h(cid:28)n l khi x d(cid:24)n (cid:21)(cid:1)n xo n(cid:1)u v(cid:26)i m(cid:12)i dãy
x
x(cid:1)
n (cid:1) (cid:30)
X(cid:13)
x (cid:9) (cid:7) n
o
n
o
n (cid:1) (cid:30)
n khi
(cid:11) (cid:12)n x l(cid:1)
(cid:2) f x
(cid:3)n
s(cid:29) th$c mà và khi thì x
Chú ý. Th(cid:2)"ng dùng (cid:16) nh ngh&a này (cid:21)% ch(cid:23)ng t’ hàm không có
x
* (cid:1) (N(cid:1)u tìm (cid:21)(cid:2)(cid:18)c hai dãy mà h(cid:4)i n
o
n
(cid:2) f x
(cid:3)
(cid:11) (cid:12) (cid:11) (cid:12) , x x
n
(cid:2) , f x * n
(cid:3)
gi(cid:26)i h(cid:28)n.
t(cid:8) v(cid:6) hai s(cid:29) khác nhau thì hàm không có gi(cid:26)i h(cid:28)n).
lim sin x 0 (cid:1)
1 x
VD. Ch(cid:23)ng t’ không t(cid:30)n t(cid:28)i gi(cid:26)i h(cid:28)n
x
x(cid:1)
o
(cid:8)(cid:9)nh lý. Gi(cid:26)i h(cid:28)n c(cid:9)a hàm s(cid:29) f khi n(cid:1)u có là duy nh(cid:13)t.
1.1.2. Gi(cid:14)i h(cid:15)n (cid:18) vô cùng và gi(cid:14)i h(cid:15)n vô cùng. (Xem giáo trình)
1.1.3. Gi(cid:14)i h(cid:15)n m(cid:6)t phía.
l (cid:10) (cid:1)
x
0 , (cid:1)
(cid:13) Cho hàm s(cid:29) y = f(x) xác (cid:21) nh trên X. S(cid:29) (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là gi(cid:8)i
x(cid:1)
(cid:6)
f x
x (cid:2) (cid:6) ((cid:5)
l (cid:6) (cid:2)
0 x (cid:2)
l (cid:4) (cid:4)
(cid:2) (cid:3)
o
(cid:2) (cid:3)
(cid:1) 0 : x X (cid:9) ) ( (cid:9) (cid:10)
(cid:3)o
x
(cid:6) o
h(cid:1)n trái c(cid:9)a hàm f khi n(cid:1)u mà o (cid:2) f x . Ký hi(cid:27)u: lim f x x (cid:1)
l (cid:10) (cid:1)
(cid:13) Cho hàm s(cid:29) y = f(x) xác (cid:21) nh trên X. S(cid:29) (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là gi(cid:8)i
X
x
x(cid:1)
(cid:31)
f x
((cid:5)
(cid:6)
l (cid:6) (cid:2)
0 x (cid:2)
l (cid:4) (cid:4)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:1) 0 , (cid:1) 0 : x (cid:9) ) ( (cid:9) (cid:10)
(cid:3)o
x
(cid:31) o
(cid:2) x o h(cid:1)n ph(cid:10)i c(cid:9)a hàm f khi n(cid:1)u mà o (cid:2) f x . Ký hi(cid:27)u: lim f x x (cid:1)
l
l (cid:4) (cid:14)
(cid:4)
(cid:4)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
x
lim f x x (cid:1)
x
x
lim f x x (cid:1)
lim f x x (cid:1)
o
(cid:31) o
(cid:6) o
(cid:8)(cid:9)nh lý.
Chú ý. (cid:16) nh lý trên th(cid:2)"ng (cid:21)(cid:2)(cid:18)c dùng (cid:21)% ch(cid:23)ng t’ hàm không có
gi(cid:26)i h(cid:28)n. Gi(cid:26)i h(cid:28)n m(cid:4)t phía th(cid:2)"ng (cid:21)(cid:2)(cid:18)c dùng trong các tr(cid:2)"ng
lim x 0 (cid:1)
sin x x
h(cid:18)p hàm ch(cid:23)a c(n b(cid:14)c ch)n, ch(cid:23)a tr tuy(cid:27)t (cid:21)(cid:29)i ho(cid:22)c hàm ghép.
3; x
2 x
+
(cid:31)
f x
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
lim f x x 0 (cid:1)
x sin
(cid:2) ; x 0
1 x
VD 1. Ch(cid:23)ng t’ không t(cid:30)n t(cid:28)i gi(cid:26)i h(cid:28)n 0
! ###(cid:4) $ VD 2. Cho . Tìm ###&
1.1.4. Tính ch(cid:19)t và các phép toán c(cid:16)a gi(cid:14)i h(cid:15)n hàm s(cid:5).
(Xem Giáo trình)
f x
g x
h x
x
(cid:17)
(cid:17)
(cid:8)(cid:9)nh lý. Gi(cid:17) s(cid:25) ba hàm s(cid:29) f, g, h th’a mãn b(cid:13)t (cid:21)#ng th(cid:23)c:
(cid:10)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2)
(cid:3)
l
(cid:4)
l
(cid:4)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
x
x
lim h x x (cid:1)
lim f x x (cid:1)
x
v(cid:26)i a , b
o
o
o
Khi (cid:21)ó, n(cid:1)u thì (cid:4) lim g x x (cid:1)
x
(cid:3)
(cid:2) ln 1
1)
1
(cid:4)
(cid:4)
x
x
e 6 ) lim 0 (cid:1)
(cid:18) (cid:21) (cid:31) lim 1 (cid:21) (cid:21)(cid:22) (cid:1) ,(cid:30)
1 x
x (cid:19) (cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:23) 1 x
x
1
(cid:31)
(cid:4)
(cid:4)
(cid:3)
0
x
(cid:2) 2) lim 1 x (cid:1)
e 7 ) lim 0 (cid:1)
(cid:31) x tan x x
1 x
x
1
(cid:6)
(cid:4)
(cid:4)
(cid:3)
0
x
(cid:2) 3) lim 1 x (cid:1)
8) lim 0 (cid:1)
1 e
1
(cid:4)
(cid:4)
x
4) lim x 0 (cid:1)
1 9 ) lim 0 (cid:1)
x
e
1
1
(cid:6)
(cid:4)
(cid:4)
x
5) lim x 0 (cid:1)
1 1 0 ) lim 0 (cid:1)
sin x x (cid:6) x
arcsin x x arctan x x cos x 2 x
1 2
1.1.5. M(cid:6)t s(cid:5) k(cid:7)t qu(cid:3) gi(cid:14)i h(cid:15)n c(cid:20)n nh(cid:14).
x
x(cid:1)
o
(cid:4)
(cid:2) (cid:3)
x
1.3. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng l(cid:14)n (VCL)
o
x
x(cid:1)
o
(cid:8)(cid:9)nh ngh(cid:10)a. (cid:1) Hàm f (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là m(cid:4)t VCB khi (xo có th% là h*u h(cid:28)n ho(cid:22)c vô cùng) n(cid:1)u 0 lim f x x (cid:1)
(cid:4) (cid:31) (cid:30)
(cid:2) (cid:3)
x
lim f x x (cid:1)
o
x
0(cid:1)
(cid:1) Hàm f (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là m(cid:4)t VCL khi (xo có th% là h*u h(cid:28)n ho(cid:22)c vô cùng) n(cid:1)u
x (cid:1) (cid:31) (cid:30)
VD. x, sinx, tanx, ex – 1, ln(1+x), 1 – cosx là các VCB khi
x, lnx, ex là các VCL khi
x(cid:1)
x(cid:1)
o
o
x
x(cid:1)
o
x
x(cid:1)
o
x
x(cid:1)
(cid:1) T+ng ho(cid:22)c tích c(cid:9)a hai VCB khi là m(cid:4)t VCB khi x x (cid:1) Tích c(cid:9)a m(cid:4)t VCB khi và m(cid:4)t hàm b ch(cid:22)n trong lân c(cid:14)n c(cid:9)a
f x
g x
l (cid:4) (cid:14)
l (cid:4) (cid:31)
o
(cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3)
x
lim f x x (cid:1)
o
f x
l
; trong (cid:21)ó g là VCB khi xo là m(cid:4)t VCB khi . (cid:1) (cid:2) (cid:3)
(cid:4)
x(cid:1)
o
lim x x (cid:1)
o
g x
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
(cid:30)
* Gi(cid:17) s(cid:25) f và g là hai VCB khi và . Khi (cid:21)ó x
0
l(cid:7) (cid:7) (cid:30)
(cid:1) N(cid:1)u l = 0 thì ta nói f là VCB b(cid:14)c cao h(cid:3)n g, ký hi(cid:27)u là f = o(g) (cid:1) N(cid:1)u l = thì ta nói f là VCB b(cid:14)c th(cid:13)p h(cid:3)n g (cid:1) N(cid:1)u thì ta nói f và g là các VCB cùng b(cid:14)c, ký hi(cid:27)u là
f
g(cid:4)
f = O(g) (cid:1) (cid:16)(cid:22)c bi(cid:27)t, n(cid:1)u l = 1 thì ta nói f và g là các VCB t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng, ký hi(cid:27)u
là
f
g(cid:4)
f
h(cid:4)
– Các VCB t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng có tính ch(cid:13)t b(cid:20)c c(cid:24)u, t(cid:23)c n(cid:1)u và
g
h(cid:4)
x
0(cid:1)
thì
(cid:4)
(cid:4)
(cid:4)
(cid:4)
s in x
x ; a rcsin x
x ; a rctan x
x ;
x
(cid:4)
(cid:4)
e
1
x
x
(cid:6)
(cid:31)
x ; ta n x (cid:2) x ; ln 1
(cid:3)
0 * Ta có th% dùng các VCB t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)% kh(cid:25) các d(cid:28)ng vô (cid:21) nh . 0
VD. Các VCB t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng c(cid:24)n nh(cid:26) khi
C(cid:8) th% ta dùng các k(cid:1)t qu(cid:17) sau:
(cid:8)(cid:9)nh lý. (cid:16)i(cid:6)u ki(cid:27)n c(cid:24)n và (cid:21)(cid:9) (cid:21)% f, g là hai VCB t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng là
f – g là VCB b(cid:14)c cao h(cid:3)n f ho(cid:22)c g
*
x
f
x(cid:1)
o
g *(cid:4)
g
(cid:4)
lim x x (cid:1)
lim x x (cid:1)
o
o
*
thì
f *(cid:4) M(cid:1)nh (cid:21)(cid:4). a) N(cid:1)u là các VCB khi và , * f g
f x g x
f , g , f , g* (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
(cid:2) (cid:3) x (cid:2) (cid:3) x
b) N(cid:1)u f, g là hai VCB khác b(cid:14)c thì f + g t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng v(cid:26)i VCB b(cid:14)c
x
x(cid:1)
th(cid:13)p h(cid:3)n
o
c) N(cid:1)u f, g là hai VCB khi và chúng (cid:21)(cid:6)u là t+ng c(cid:9)a nhi(cid:6)u
lim x x (cid:1)
o
f x g x
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
VCB. Khi (cid:21)ó b,ng gi(cid:26)i h(cid:28)n c(cid:9)a t- s(cid:29) c(cid:9)a hai VCB b(cid:14)c
th(cid:13)p nh(cid:13)t . t(cid:25) và . m/u (V(cid:23)t b’ các VCB b(cid:14)c cao h(cid:3)n)
2
x
; c ) lim 0
x
a ) lim x 0 (cid:1)
(cid:1)
(cid:31) 3 x
3 ta n x 6 9 x
3 sin x 2 x (cid:31)
(cid:31) (cid:31)
x s in x 3 x
1
(cid:31)
b ) lim x 0
(cid:1)
(cid:6) x
co s x 4 2 x (cid:31)
VD. Tìm gi(cid:26)i h(cid:28)n:
* T(cid:19) (cid:21) nh ngh&a suy ra: ngh ch (cid:21)(cid:17)o c(cid:9)a m(cid:4)t VCB là m(cid:4)t VCL và
ngh ch (cid:21)(cid:17)o c(cid:9)a m(cid:4)t VCL là m(cid:4)t VCB nên ta c!ng có các k(cid:1)t qu(cid:17)
t(cid:2)(cid:3)ng t$ nh(cid:2) trên (cid:21)(cid:29)i v(cid:26)i VCL và ta dùng các VCL t(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)(cid:2)(cid:3)ng (cid:21)%
(cid:30) (cid:30)
kh(cid:25) các d(cid:28)ng vô (cid:21) nh
2
x
2 x
3 x
(cid:31)
VD 1. Tìm gi(cid:26)i h(cid:28)n
4 (cid:31) (cid:31) 2
lim x (cid:1) (cid:31) (cid:30)
x
x
4 (cid:6) (cid:31)
(v(cid:23)t b’ các VCL b(cid:14)c th(cid:13)p h(cid:3)n)
x 1 (cid:6)
(cid:6)
(cid:31)
(cid:3)
(cid:3) 1
4) I
1) I
(cid:4)
(cid:4)
lim x 1 (cid:1)
lim x 0 (cid:1)
(cid:2) sin e ln x
sin x
sin 5 x
2) I
5) I
(cid:4)
(cid:4)
(cid:2) ln 1 2 x (cid:31) ln cos x 2
lim x 0 (cid:1)
lim x 0 (cid:1)
e 2 x
(cid:6) (cid:31)
x
(cid:31)
e (cid:2) ln 1
(cid:3)
x tan x 3 sin x (cid:3) (cid:3)
(cid:2) (cid:2) ln 1
2
x
x
e
(cid:6)
(cid:3) 1
e
(cid:2)
3) I
6) I
(cid:4)
(cid:4)
(cid:6) 4
lim x 0 (cid:1)
lim x 0 (cid:1)
(cid:3)(cid:2) 1 cos x 3 sin x
cos x (cid:6) 2 sin x
2 x(cid:31)
VD 2. Tìm gi(cid:26)i h(cid:28)n
1.4. (cid:8)(cid:15)o hàm và vi phân hàm m(cid:6)t bi(cid:7)n. (Xem giáo trình)
1
x
x a ln a 4) arccos x
(cid:4)
(cid:4) (cid:6)
* (cid:3)
(cid:2)
(cid:13) M(cid:6)t s(cid:5) công th(cid:22)c (cid:21)(cid:15)o hàm c(cid:2) b(cid:3)n.
(cid:2) 1) a
* (cid:3)
2
1 x (cid:6)
5) arctan x
(cid:4)
(cid:4)
(cid:2) 2) log x
* (cid:3)
* (cid:3)
(cid:2)
a
2
1
1 (cid:31)
1 x ln a 1
3) arcsin x
(cid:4)
(cid:4) (cid:6)
(cid:2)
* (cid:3)
(cid:2) 6) arc cot x
* (cid:3)
2
2
1
x
x 1 (cid:31)
1 x (cid:6)
1.5. Công th(cid:22)c Taylor
(cid:8)(cid:9)nh lý.
(cid:1)(cid:2)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:31)
(cid:4)
(cid:4) (cid:3) (cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:6) (cid:31) (cid:31)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:6) (cid:31) (cid:1)
(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:6) (cid:31) (cid:1)
(cid:2) (cid:2) (cid:1)
(cid:2) (cid:5) (cid:2) (cid:1)
(cid:3)
(cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:6) (cid:1)
(cid:1)(cid:2) Khi (cid:21)ó ta có công th(cid:23)c Taylor c(cid:9)a hàm f (cid:21)(cid:1)n c(cid:13)p n t(cid:28)i là: (cid:2) (cid:3) ** (cid:5) (cid:2) (cid:1) (cid:4)(cid:9)
(cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:2) (cid:5) (cid:1) (cid:3)(cid:9)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:1) (cid:8)(cid:9)
N(cid:1)u hàm f có (cid:21)(cid:28)o hàm (cid:21)(cid:1)n c(cid:13)p n + 1 trong lân c(cid:14)n c(cid:9)a (cid:21)i%m .
(cid:2)
(cid:3) (cid:3) (cid:8) (cid:31)
(cid:5)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8) (cid:31)
(cid:1)
(cid:3) (cid:3)
(cid:2)
(cid:5)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:11)
(cid:6)
(cid:4)
(cid:6)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:10)(cid:7) (cid:2) (cid:3)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:1) (cid:3)
(cid:2) (cid:2)
Trong (cid:21)ó: Rn(x – xo) (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là ph(cid:24)n d(cid:2) th(cid:23) n, ta có:
(cid:3)
(cid:5)
(cid:2)
(cid:2)
0 < <1 - (d(cid:28)ng Lagrange)
(cid:6)
(cid:4)
(cid:6)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2) (cid:10)(cid:7) (cid:2) (cid:3)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:2) (cid:2) (cid:31) - (cid:6) (cid:3) (cid:8) (cid:9) (cid:31) (cid:3)
(d(cid:28)ng Peano)
(cid:2) (cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
**
(cid:5)
(cid:5)
(cid:4)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:4)
(cid:31)
(cid:31)
(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:31) (cid:31)
(cid:31)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:12)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:12) (cid:8)(cid:9)
(cid:2) (cid:3) (cid:12) (cid:4) (cid:9)
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:12) (cid:3) (cid:9)
– Khai tri%n Taylor t(cid:28)i (cid:21)i%m xo = 0 (cid:21)(cid:2)(cid:18)c g(cid:12)i là khai tri%n Maclaurin c(cid:9)a hàm f. Khi (cid:21)ó ta có:
(cid:4)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:3)
– Khai tri%n Maclaurin c(cid:9)a m(cid:4)t s(cid:29) hàm s(cid:3) c(cid:13)p:
(cid:13)
(cid:8)
(cid:4) (cid:31) (cid:31)
(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:31) (cid:31)
(cid:31)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:8)(cid:9) (cid:4) (cid:9)
(cid:2) (cid:3) (cid:9)
(cid:14)
(cid:15)
(cid:4) (cid:3) (cid:8) (cid:31)
(cid:3)
(cid:4) (cid:3)
(cid:4)
(cid:31)
(cid:16)(cid:17)(cid:3)(cid:2)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)
(cid:2)
a)
(cid:31)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:14)(cid:9) (cid:15)(cid:9)
(cid:2) (cid:4) (cid:3)
(cid:31)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8) (cid:9)
(cid:4)
(cid:18)
(cid:4) (cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:4) (cid:3) (cid:8)
b)
(cid:19)(cid:1)(cid:16)(cid:2)
(cid:8) (cid:4) (cid:6)
(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:6) (cid:31) (cid:6)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)(cid:31)
(cid:2) (cid:31) (cid:4) (cid:9) (cid:18)(cid:9)
(cid:2) (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:9)
(cid:2)
c)
(cid:2) . .(cid:6)
(cid:8)
(cid:3) (cid:2)
. (cid:31) (cid:4) (cid:31)
(cid:31)
(cid:4) (cid:2) (cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:31) (cid:31)
(cid:31)
(cid:2) (cid:3) (cid:8) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
. (cid:2) (cid:8)(cid:9)
(cid:3) (cid:2) (cid:8) . .(cid:6) (cid:4)(cid:9)
(cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:8) (cid:8) (cid:6)(cid:6)(cid:6) .(cid:6) (cid:6) (cid:3)(cid:9)
(cid:4)
(cid:14)
(cid:3)
(cid:3) (cid:8) (cid:6)
(cid:3)
d)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:31) (cid:6)
(cid:31)
(cid:2) (cid:20)(cid:3) (cid:8)
(cid:3) (cid:31) (cid:4) (cid:6)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:4)
(cid:2) (cid:14)
(cid:2) (cid:3)
(cid:3)
(cid:3)
e)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)
(cid:2)
(cid:8)
(cid:4) (cid:2) (cid:4) (cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:31) (cid:6)
(cid:31)
(cid:2)
(cid:3) (cid:3) (cid:8) (cid:2)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:8)
(cid:2)
(cid:8) (cid:31)
(cid:3)
(cid:3)
f)
(cid:6)(cid:6)(cid:6) (cid:2)
(cid:2)
(cid:2)
(cid:8)
(cid:4) (cid:4) (cid:31) (cid:31) (cid:31) (cid:31) (cid:31)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:8)
(cid:2)
(cid:8) (cid:6)
(cid:14)
(cid:15)
(cid:4) (cid:3) (cid:8) (cid:31)
(cid:3)
(cid:4) (cid:3)
(cid:4)
(cid:31)
g)
(cid:21)(cid:22)(cid:19)(cid:23)(cid:21)(cid:3) (cid:2)
(cid:6)(cid:6)(cid:6)
(cid:2)
(cid:31)
(cid:2)
(cid:3) (cid:8)
(cid:2) (cid:1) (cid:2)
(cid:3)
(cid:2) (cid:4) (cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:31) (cid:6) (cid:15)
(cid:2) (cid:14)
(cid:2) (cid:4)(cid:3)
(cid:8)
(cid:31)
h)
Chú ý. Công th(cid:23)c Taylor (cid:21)(cid:2)(cid:18)c (cid:23)ng d(cid:8)ng (cid:21)% tính g(cid:24)n (cid:21)úng và tính
gi(cid:26)i h(cid:28)n (Xem giáo trình)
(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:5) (cid:2)
(cid:4)
(cid:2)
(cid:8) (cid:15)(cid:2) (cid:24) (cid:6) (cid:31)
VD 1. Tìm khai tri%n Maclaurin (cid:21)(cid:1)n c(cid:13)p 3 c(cid:9)a hàm
(cid:4)
(cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:6)(cid:4) (cid:13)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2)
(cid:4)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2)
VD 2. Tìm khai tri%n Maclaurin (cid:21)(cid:1)n c(cid:13)p 5 c(cid:9)a hàm
(cid:8) (cid:6) (cid:8) (cid:6)
VD 3. Tìm khai tri%n Taylor t(cid:28)i xo = 2 (cid:21)(cid:1)n c(cid:13)p 3 c(cid:9)a hàm (cid:4)(cid:2) (cid:2)
1.6. Quy t(cid:23)c L’Hospital
(cid:8)(cid:9)nh lý.
Gi(cid:17) s(cid:25) f, g là hai hàm s(cid:29) xác (cid:21) nh trong lân c(cid:14)n c(cid:9)a (cid:21)i%m
(cid:10) (cid:1)
(cid:2) (cid:5) (cid:2)
(cid:2) (cid:25) (cid:2)
(cid:3)
(cid:3) (cid:4)(cid:1)
(cid:1)
(cid:1)(cid:2)
và . N(cid:1)u t(cid:30)n t(cid:28)i (cid:21)(cid:28)o hàm h*u h(cid:28)n
*
(cid:12)
(cid:7)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:26)(cid:25) (cid:2)
(cid:2)
(cid:3)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:4)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:2) (cid:1)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:2) (cid:1)
(cid:1)
(cid:1)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:25) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
thì
(cid:12) (cid:12)
(cid:8)(cid:9)nh lý. (Quy t(cid:20)c L’Hospital )
Gi(cid:17) s(cid:25) f, g là hai hàm s(cid:29) xác (cid:21) nh, kh(cid:17) vi trên kho(cid:17)ng (a, b) và
(cid:4)
(cid:12)
(cid:7)
(cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) (cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:5) (cid:2) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) (cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:25) (cid:2) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
trên kho(cid:17)ng này. N(cid:1)u
)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
(cid:12) (cid:4) (cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:25) (cid:2)
và t(cid:30)n t(cid:28)i (h*u h(cid:28)n hay vô h(cid:28)n) thì
(cid:4)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:25) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
và
(cid:30) (cid:30)
(cid:8)(cid:9)nh lý. (Quy t(cid:20)c L’Hospital )
Gi(cid:17) s(cid:25) f, g là hai hàm s(cid:29) xác (cid:21) nh, kh(cid:17) vi trên kho(cid:17)ng (a, b) và
(cid:4)
(cid:12)
(cid:7)
(cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) (cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:5) (cid:2) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) (cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:25) (cid:2) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
trên kho(cid:17)ng này. N(cid:1)u
)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
(cid:4) (cid:30) (cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:25) (cid:2)
và t(cid:30)n t(cid:28)i (h*u h(cid:28)n hay vô h(cid:28)n) thì
(cid:4)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:10)(cid:2) (cid:21) (cid:1)
(cid:2) (cid:3) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:25) (cid:2)
(cid:2) (cid:3) * (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:3) * (cid:25) (cid:2)
và
(cid:12) (cid:30) vô (cid:21) nh và (cid:12) (cid:30)
Chú ý. (cid:1) Quy t(cid:20)c L’Hospital r(cid:13)t thu(cid:14)n l(cid:18)i (cid:21)% tìm gi(cid:26)i h(cid:28)n c(cid:9)a các d(cid:28)ng
(cid:5)(cid:6)(cid:25) (cid:5) (cid:4)
(cid:5) (cid:8) (cid:28)(cid:25)
(cid:12) d(cid:28)ng (cid:12)
(cid:12)
! (cid:1)##$ (cid:5) # (cid:1) (cid:30) (cid:25) #&
(cid:1) D(cid:28)ng vô (cid:21) nh O. : (cid:30)
(cid:5)(cid:6)(cid:25) (cid:5) (cid:4)
(cid:30) (cid:30)
(cid:25) (cid:8) (cid:28)(cid:5)
(cid:30)
(cid:30)
d(cid:28)ng
(cid:12) (cid:26)(cid:8) (cid:26) (cid:26)(cid:12)
(cid:30) (cid:6) (cid:30) (cid:30) (cid:12)
(cid:1) Các d(cid:28)ng vô (cid:21) nh (cid:21)(cid:2)(cid:18)c (cid:21)(cid:2)a v(cid:6) d(cid:28)ng O.
(cid:14)
(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:18)(cid:29)(cid:10)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:20)(cid:3) (cid:2)
(cid:8)(cid:29)(cid:10)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:12)
(cid:1)
(cid:2)
(cid:31) (cid:12)
(cid:1)
(cid:2) (cid:2) (cid:16)(cid:17)(cid:3) (cid:2) (cid:6)
(cid:4)
VD. Tính các gi(cid:26)i h(cid:28)n
(cid:2) (cid:26) (cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:12) (cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:15)(cid:29)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:19)(cid:1)(cid:23) (cid:2) .
(cid:3)
(cid:2)
(cid:12)
(cid:4)(cid:29)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:1) (cid:31) (cid:30)
(cid:1)
(cid:20)(cid:3) (cid:2) . (cid:2)
(cid:19)(cid:20) (cid:8) (cid:6) (cid:20) (cid:20) (cid:4) (cid:2) (cid:23)
(cid:18) (cid:21) (cid:21) (cid:21)(cid:22)
(cid:2)
(cid:8) (cid:2) (cid:8) (cid:6)
(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:10)(cid:24)(cid:29)(cid:10)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2)
(cid:10) (cid:3)
(cid:2) (cid:26)(cid:3)
(cid:3)
(cid:3)
(cid:2)
(cid:8)
(cid:14)(cid:29)(cid:10)(cid:20)(cid:17)(cid:27) (cid:2) (cid:1) (cid:31) (cid:30)
(cid:1)
(cid:13) (cid:2)
(cid:1)
