Chương I: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

CH(cid:221)(cid:213)NG I: PH(cid:201)P T˝NH VI PH´N H(cid:192)M NHIỀU BIẾN

I. TẬP HỢP RN V(cid:192) H(cid:192)M NHIỀU BIẾN

1. Rn v(cid:224) cÆc tập con

Với n l(cid:224) một số nguyŒn d(cid:253)ıngờ k(cid:253) hiệu Ởn (cid:240)(cid:253)ợc døng (cid:240)ể chỉ tập hợp tất cả cÆc bộ n số thực ậx1, x2, (cid:133)ờxn) v(cid:224) ta th(cid:253)ờng gọi Ởn l(cid:224) kh(cid:244)ng gian ậthựcấ n chiềuề ẩhi bộ số thực (x1, x2,(cid:133)ờxn) (cid:240)(cid:253)ợc (cid:240)ặt tŒn l(cid:224) ỳ th(cid:236) ta viết l(cid:224)ầ

P(x1, x2, (cid:133)ờ xn)

V(cid:224) gọi n(cid:243) l(cid:224) một (cid:240)iểm trong kh(cid:244)ng gian Ởn.

Cho 2 (cid:240)iểm ỳậx1, x2, (cid:133)ờ xn) v(cid:224) ẵậy1, y2, (cid:133)ờ yn) trong Rn, khoảng cÆch giữa hai (cid:240)iểm P v(cid:224) ẵờ k(cid:253) hiệu l(cid:224) dậỳờ ẵấ (cid:240)(cid:253)ợc (cid:240)ịnh nghĩa bởi:

d(P, Q) =

n

Khoảng cÆch n(cid:224)y thỏa bất (cid:240)ẳng thức tam giÆc sau (cid:240)(cid:226)yầ

d(P, Q) ≤ dậỳờ R) + d(R, Q)

h . v

4

với ĩ (cid:240)iểm ỳờ ẵờ Ở tøy (cid:253)ề

2

c

—iểm ỳậx1, x2, (cid:133)ờxn) c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc viết gọn d(cid:253)ới dạng xụậx1, x2, (cid:133)ờxn) với xụậx1, x2, (cid:133)ờ xn) v(cid:224) yụậy1, y2, (cid:133)ờ yn), khoảng cÆch giữa x v(cid:224) y c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc viết bởiầ

o

| x (cid:150) y |=

u i h

V

| d(P, Q) < r} (cid:240)(cid:253)ợc Cho v(cid:224) r l(cid:224) số thực d(cid:253)ıngờ tập hợp B(P, r) = { gọi l(cid:224) h(cid:236)nh cầu mở t(cid:226)m ỳ bÆn k(cid:237)nh rờ hay l(cid:224) l(cid:226)n cận bÆn k(cid:237)nh r của ỳề

, với ẫ l(cid:224) Tập hợp ừ trong Ởn (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) bị chặn nếu c(cid:243) r ễ ế sao cho (cid:240)iểm ẫậếờ ếờ (cid:133)ờ ếấề

2. H(cid:224)m nhiếu biến

Cho n l(cid:224) một số nguyŒn với n ≥ ịề ∞ột phØp t(cid:253)ıng ứng fầ Ởn R (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) một h(cid:224)m m(cid:224) fậỳấ xÆc (cid:240)ịnh (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) miền xÆc (cid:240)ịnh của fề Ta n biếnề Tập hợp cÆc (cid:240)iểm k(cid:253) hiệu miền xÆc (cid:240)ịnh của f l(cid:224) ắậfấề

V(cid:237) dụầ

2 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

1) H(cid:224)m f ầ Ở2 R

(x, y)  f(x, y)=

L(cid:224) một h(cid:224)m ị biến c(cid:243) miền xÆc (cid:240)ịnh l(cid:224) tập hợp tất cả cÆc (cid:240)iểm ỳậxờ yấ sao cho 4-x2-y2>0. Vậy ắậfấụửậếờ ịấờ h(cid:236)nh cầu mở t(cid:226)m ẫ bÆn k(cid:237)nh ị trong Ở2.

2) g : R3 R với gậxờ yờ zấụx2+(y+z)/2 l(cid:224) một h(cid:224)m 3 biến c(cid:243) miền xÆc (cid:240)ịnh l(cid:224) D(g)=R3.

Ta chỉ c(cid:243) thể biểu diễn h(cid:236)nh họcờ bằng vẽ (cid:240)ồ thịờ cho h(cid:224)m ị biến z ụ fậxờ yấề —ồ thị của h(cid:224)m ị biến n(cid:224)y l(cid:224) tập hợp cÆc (cid:240)iểm trong kh(cid:244)ng gian Ở3 sau (cid:240)(cid:226)yầ

G(f)={(x, y, f(x, y)) | }

—(cid:226)y l(cid:224) một mặt cong trong kh(cid:244)ng gian ĩ chiều với hệ tọa (cid:240)ộ ắescartes ẫxyzề

V(cid:237) dụầ (cid:240)ồ thị của h(cid:224)m z ụ l(cid:224) nửa trŒn của mặt cầu t(cid:226)m ẫ bÆn k(cid:237)nh ữ trong kh(cid:244)ng gian ĩ chiều ẫxyzề

n

II. GIỚI HẠN V(cid:192) T˝NH LI˚N TỤC

h . v

1. —ịnh nghĩa giới hạn

4

2

v(cid:224) c(cid:243) thể kh(cid:244)ng xÆc (cid:240)ịnh tại ỳề Ta n(cid:243)i z ụ f ậx1, x2, (cid:133)ờ xn) tiến về

c

o

Cho h(cid:224)m n biến z ụ f ậx1, x2, (cid:133)ờ xn) xÆc (cid:240)ịnh trŒn một l(cid:226)n cận bÆn k(cid:237)nh r của một diểm (hay c(cid:243) giới hạn l(cid:224) ỡấề ẩhi ∞ ậx1, x2, (cid:133)ờ xn) dần (cid:240)ến ỳ nếu với mọi (cid:229) ễ ế cho tr(cid:253)ớcờ tồn tại (cid:228) ễ ế sao choầ

0 < d (P, M) < (cid:228) ụễ | fậ∞ấ (cid:150) L | < (cid:229)ề

u i h

Khi (cid:240)(cid:243) ta viếtầ

V

Trong tr(cid:253)ờng hợp h(cid:224)m ị biến z ụ f ậxờ yấ th(cid:236) giới hạn c(cid:243) thể (cid:240)(cid:253)ợc viết l(cid:224)ầ

Hay c(cid:243) thể viếtầ

3 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

T(cid:253)ıng tự nh(cid:253) (cid:240)ối với h(cid:224)m một biếnờ ta cũng c(cid:243) cÆc (cid:240)ịnh nghĩa giới hạn v(cid:244) cøng v(cid:224) giới hạn ở v(cid:244) tận nh(cid:253) sauầ

V(cid:237) dụầ

1).

2).

3).

n

4).

h . v

4

2

2. Sự liŒn tục

c

o

khi: —ịnh nghĩaầ h(cid:224)m số z ụ f ậx1, x2, (cid:133)ờ xn) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) liŒn tục tại (cid:240)iểm

u i h

V

V(cid:237) dụầ h(cid:224)m fậxờ yấ ụ liŒn tục tại mọi (cid:240)iểm ậxo, yo) khÆc ậếờ ếấề

, ta cũng c(cid:243) t(cid:237)nh chất (cid:240)ạt T(cid:253)ıng tự nh(cid:253) h(cid:224)m một biến liŒn tục trŒn một (cid:240)oạn giÆ trị lớn nhất v(cid:224) nhỏ nhất trŒn ữ miền (cid:240)(cid:243)ng v(cid:224) bị chặnề

III. —ẠO H(cid:192)M V(cid:192) VI PH´N

1. —ạo h(cid:224)m riŒng

—ể (cid:240)ın giản cho việc tr(cid:236)nh b(cid:224)yờ ở (cid:240)(cid:226)y ta sẽ xØt cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng của h(cid:224)m ị biếnề —ối với h(cid:224)m n biến th(cid:236) ho(cid:224)n to(cid:224)n t(cid:253)ıng tựề

4 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

(cid:146)(xo, yo). Ta

—ịnh nghĩaầ cho h(cid:224)m ị biến z ụ f ậxờ yấề —ạo h(cid:224)m riŒng theo biến x tại (cid:240)iểm ậxo, yo) l(cid:224) giới hạn ậnếu c(cid:243)ấ sau (cid:240)(cid:226)yầ

x (xo, yo) hay

v(cid:224) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng theo biến x (cid:240)(cid:253)ợc k(cid:253) hiệu l(cid:224) hay vắn tắt l(cid:224) fx

(xo, yo). c(cid:242)n c(cid:243) thể k(cid:253) hiệu (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng n(cid:224)y bởi z(cid:146)

—ạo h(cid:224)m riŒng theo biến y của h(cid:224)m x ụ f ậxờ yấ tại ậxo, yo) (cid:240)(cid:253)ợc (cid:240)ịnh nghĩa t(cid:253)ıng tự bởiầ

n

x (xo, yo) =

Nhận xØtầ dể thấy rằng f(cid:146)

h . v

4

2

c

Từ (cid:240)(cid:243) ta c(cid:243) thể t(cid:237)nh dạo h(cid:224)m riŒng theo biến x tại ậxo, yo) bằng cÆch coi y ụ yo l(cid:224) hằng số v(cid:224) t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m một biến fậxờ yo) tại x ụ xo. T(cid:253)ıng tựờ (cid:240)ể t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng theo biến y tại ậxo, yo) ta t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m một biến fậxờ yo) tại y ụ yo (xem x = xo l(cid:224) hằng sốấề

o

V(cid:237) dụầ

u i h

x v(cid:224) z(cid:146)

1). Cho z = x2y. T(cid:237)nh z(cid:146)

V

x = 2xy.

y =

Xem y nh(cid:253) hằng số v(cid:224) t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m theo biến x ta c(cid:243) z(cid:146)

T(cid:253)ıng tựờ xem x nh(cid:253) hằng số v(cid:224) t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m theo biến y ta v(cid:243)ầ x(cid:146) x2.

2) . T(cid:237)nh z(cid:146)x, z(cid:146)y v(cid:224) z(cid:146)x(4,  ). Xem y nh(cid:253) hằng sốờ ta c(cid:243)ầ

5 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Xem x nh(cid:253) hằng sốờ ta c(cid:243)ầ

2. —ạo h(cid:224)m riŒng cấp cao

CÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng z(cid:146)x v(cid:224) z(cid:146)y của h(cid:224)m z = f(x,y) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ữề —ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị của một h(cid:224)m l(cid:224) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng ậcấp 1) của (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ữ của h(cid:224)m (cid:240)(cid:243)ề ổ(cid:224)m ị biến z = f(x, y) c(cid:243) bốn (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị sau (cid:240)(cid:226)yầ

n

h . v

—ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị n(cid:224)y c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc k(cid:253) hiệu bằng cÆc cÆch khÆc nhau

4

nh(cid:253) sauầ

2

c

o

u i h

—ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị n(cid:224)y c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc k(cid:253) hiệu bởiầ

V

—ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị n(cid:224)y c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc k(cid:253) hiệu bởiầ

. c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc k(cid:253) hiệu l(cid:224)

6 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Ho(cid:224)n to(cid:224)n t(cid:253)ıng tự ta cũng c(cid:243) (cid:240)ịnh nghĩa v(cid:224) k(cid:253) hiệu cho cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng

hay cấp cao hınề ũhẳng hạnờ

hay v(cid:224) hai (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ĩ n(cid:224)y

. c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc viết l(cid:224)

V(cid:237) dụầ

1) z = x4 + y4 (cid:150) 2x3y3. Ta c(cid:243)ầ

z(cid:146)x = 4x3 (cid:150) 4xy3

z(cid:146)y = 4y3 (cid:150) 6x2y2

z"xx = 12x2 (cid:150) 4y3

z"yy = 12y2 (cid:150) 12x2y

n

z"xy = -12y2

h . v

z"yx = -12 y2

4

2

c

o

2) XØt h(cid:224)m số

u i h

V

Ta c(cid:243)ờ với ậx, y) ≠ ậếờ ếấ th(cid:236)

YjWҥi (0, 0) th(cid:236) f(0, 0) = 0.

Do (cid:240)(cid:243) tại ậx, y) ≠ ậếờ ếấ

7 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

v(cid:224)

suy ra

Ho(cid:224)n to(cid:224)n t(cid:253)ıng tựờ ta t(cid:237)nh (cid:240)(cid:253)ợcầ

tại ậxờ yấ ≠ ậếờ ếấ

v(cid:224)

n

Qua v(cid:237) dụ trŒn ta thấy cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng theo cøng cÆc biến nh(cid:253)ng khÆc thứ tự kh(cid:244)ng phải bao giờ cũng bằng nhau. Tuy nhiŒn (cid:240)ịnh Oêsau (cid:240)(cid:226)y cho ta (cid:240)iӅu kiӋn ÿӇFic (cid:240)ҥo Kjm riŒng z"xyYjz"yx bҵng nhau.

h . v

—ӏnh Oê: NӃu f(x, y) c(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m f"xy v(cid:224) f"xy trong một l(cid:226)n cận của (cid:240)iểm ậx0, y0)

4

th(cid:236)

2

c

o

chœ (cid:253) rằng (cid:240)ịnh l(cid:253) trŒn cũng mở rộng (cid:240)ѭӧc ra cho cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m cấp cao hın v(cid:224) nhiều biến hınề

u i h

3. Vi ph(cid:226)n to(cid:224)n phần

V

—ịnh nghĩa:

H(cid:224)m số z = f(x, y) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) khả vi tại ậx0, y0) nếu số gia to(cid:224)n phần

theo cÆc số gia  x,  y của cÆc biến x, y tại ậx0, y0) c(cid:243) thể (cid:240)(cid:253)ợc viết d(cid:253)ới dạng

trong (cid:240)(cid:243) A, B l(cid:224) cÆc hằng số ậkh(cid:244)ng phụ thuộc  x,  y) v(cid:224)   0,   0 khi  x 0,  y 0.

8 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

(cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) vi ph(cid:226)n của h(cid:224)m số f tại ậx0, y0), k(cid:253) hiệu l(cid:224) Biểu thức df(x0, y0).

—ịnh l(cid:253):

(i) Nếu f(x, y) khả vi tại ậx0, y0) th(cid:236) f c(cid:243) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ữ tại (cid:240)(cid:243) v(cid:224)

(ii) Nếu f(x, y) c(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng trŒn ữ l(cid:226)n cận của ậx0, y0) v(cid:224) f(cid:146)x, f(cid:146)y liŒn tục tại ậx0, y0) th(cid:236) f khả vi tại ậx0, y0).

Chœ (cid:253) rằng khi xØt cÆc tr(cid:253)ờng hợp (cid:240)ặc biệt f(x, y) = x v(cid:224) g(x, y) = y ta c(cid:243) vi ph(cid:226)nầ dx =  x v(cid:224) dy =  y. Do (cid:240)(cid:243) c(cid:244)ng thức vi ph(cid:226)n cấp ữ của f(x, y) c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc viết d(cid:253)ới dạng

df = f(cid:146)x.dx + f(cid:146)y.dy

v(cid:224) c(cid:242)n (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) vi ph(cid:226)n to(cid:224)n phần của h(cid:224)m f(x, y).

n

V(cid:237) dụầ Với , ta c(cid:243)ầ

h . v

4

2

c

o

u i h

V

vậy

T(cid:237)nh chất: T(cid:253)ıng tự nh(cid:253) (cid:240)ối với h(cid:224)m một biến ta c(cid:243) cÆc t(cid:237)nh chất sau (cid:240)(cid:226)y của vi ph(cid:226)nầ

d(f + g) = df + dg

d(f.g) = g.df + f.dg

(với g  0).

9 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Ứng dụng vi ph(cid:226)n (cid:240)ể t(cid:237)nh gần (cid:240)œngầ

Giả sử z = f(x, y) khả vi tại ậx0, y0). Khi (cid:240)(cid:243)ờ theo (cid:240)ịnh nghĩa của vi ph(cid:226)n ta c(cid:243) thể t(cid:237)nh gần (cid:240)œng f(x, y) bởiầ

với ậx, y) gần ậx0, y0).

V(cid:237) dụ: T(cid:237)nh gần (cid:240)œng

XØt h(cid:224)m số f(x, y) = , ta t(cid:237)nh gần (cid:240)œng

A = f(1,02; 1,97) nh(cid:253) sauầ

f(1,02; 1,97)  f(1, 2) + f(cid:146)x(1, 2).(1,02 - 1) + f(cid:146)y(1, 2).(1,97 - 2)

= 3 với f(1, 2) =

n

h . v

4

2

c

o

Suy ra

u i h

V

4. Vi ph(cid:226)n cấp cao

Cho h(cid:224)m ị biến z ụ fậxờ yấề

Bản th(cid:226)n cũng l(cid:224) một h(cid:224)m theo ị biến xờ y nŒn ta c(cid:243) thể xØt vi ph(cid:226)n của n(cid:243)ề ỷếu dfậxờ yấ c(cid:243) vi ph(cid:226)n th(cid:236) vi ph(cid:226)n (cid:240)(cid:243) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) vi ph(cid:226)n cấp 2 của fậxờ yấờ k(cid:253) hiệu l(cid:224) d2f (x, y) hay vắn tắt l(cid:224) d2f. Vậyầ

d2f = d(df)

Tổng quÆtờ vi ph(cid:226)n cấp n ậnếu c(cid:243)ấ của f (cid:240)(cid:253)ợc (cid:240)ịnh nghĩa bởiầ

10 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

C(cid:244)ng thức vi ph(cid:226)n cấp ị của zụfậxờ yấầ

Giả thiết thŒm rằngờ cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m hỗn hợp liŒn tục th(cid:236) ta c(cid:243)ầ

v(cid:224) do (cid:240)(cid:243)ầ

hay ta c(cid:243)ầ

n

h . v

Ng(cid:253)ời ta døng k(cid:253) hiệu luỹ thừa một cÆch h(cid:236)nh thức (cid:240)ể viết lại c(cid:244)ng thức vi ph(cid:226)n cấp ị d(cid:253)ới dạngầ

4

2

c

o

T(cid:253)ıng tựờ c(cid:244)ng thức vi ph(cid:226)n cấp n của z ụ fậxờ yấ c(cid:243) thể (cid:240)(cid:253)ợc viết d(cid:253)ới dạngầ

u i h

V

v(cid:224) c(cid:244)ng thức n(cid:224)y cũng (cid:240)œng cho tr(cid:253)ờng hợp nhiều biến hınề

IV. —ẠO H(cid:192)M CỦA H(cid:192)M HỢP

1. Tr(cid:253)ờng hợp một biến (cid:240)ộc lập

Giả sử z ụ fậxờ yấ v(cid:224) xờ y lại l(cid:224) cÆc h(cid:224)m theo tầ x ụ xậtấờ y ụ yậtấề Vậy zậtấ ụ fậxậtấờ yậtấấ l(cid:224) h(cid:224)m ữ biến theo tề —ạo h(cid:224)m của zậtấ theo biến t (cid:240)(cid:253)ợc t(cid:237)nh theo c(cid:244)ng thức sau (cid:240)(cid:226)yầ

11 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

V(cid:237) dụầ

T(cid:237)nh nếu , trong (cid:240)(cid:243) xụcostờ yụsintề

T(cid:237)nh nếu trong (cid:240)(cid:243) yụcosx

2. Tr(cid:253)ờng hợp nhiều biến (cid:240)ộc lập

n

Giả sử z ụ fậxờyấ v(cid:224) xờ y lại l(cid:224) cÆc h(cid:224)m theo cÆc biến sờ tề ẩhi (cid:240)(cid:243) (cid:240)ể t(cid:237)nh cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng theo s v(cid:224) t của h(cid:224)m hợp f ậ xậsờtấờ yậsờtấấ ta cũng c(cid:243) cÆc c(cid:244)ng thức t(cid:253)ıng tự nh(cid:253) (cid:240)ối với h(cid:224)m một biến sau (cid:240)(cid:226)yầ

h . v

4

2

c

o

V(cid:237) dụầ

u i h

V

T(cid:236)m v(cid:224) nếu z ụ fậxờyấ trong (cid:240)(cid:243) x ụ uềv v(cid:224) y ụ

, , . Ta c(cid:243) v(cid:224)

Do (cid:240)(cid:243)

12 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Cho z = f(x,y,t), trong (cid:240)(cid:243) x ụ xậtấờ y ụ yậtấề

T(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m hợpầ

z(t) = f (x(t), y(t), t).

Ta c(cid:243)ầ

V. —ẠO H(cid:192)M CỦA H(cid:192)M ẨN

1. H(cid:224)m ẩn một biến

Giả sử c(cid:243) một hệ thức giữa hai biến xờ y dạng

n

F(x,y) = 0

trong (cid:240)(cid:243) ≠ậxờyấ l(cid:224) h(cid:224)m ị biến xÆc (cid:240)ịnh trong một l(cid:226)n cận mở ắ của ậx0, y0) v(cid:224) ≠ậx0,

h . v

y duy nhất sao cho ậxờ

4

y0) = 0. Giả thiết rằng s l(cid:224) số d(cid:253)ıng v(cid:224) y) D v(cid:224) ≠ậxờ yấ ụ ếề

2

c

Nh(cid:253) vậy ta c(cid:243) h(cid:224)m số y ụ yậxấ xÆc (cid:240)ịnh trŒn khoảng ậx0 (cid:150) s, x0 + s) v(cid:224) thỏa ≠ậxờ yậxấấ

o

. H(cid:224)m số y ụ yậxấ n(cid:224)y (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) h(cid:224)m ẩn theo biến x xÆc = 0 (cid:240)ịnh bởi ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh ≠ậxờyấ ụ ếề

u i h

V

Trong toÆn học ng(cid:253)ời ta gọi cÆc (cid:240)ịnh l(cid:253) h(cid:224)m ẩn l(cid:224) cÆc (cid:240)ịnh l(cid:253) khẳng (cid:240)ịnh sự tồn tại của h(cid:224)m ẩn v(cid:224) (cid:240)ạo h(cid:224)m của n(cid:243)ề ắ(cid:253)ới (cid:240)(cid:226)y l(cid:224) (cid:240)ịnh l(cid:253) cı bản cho h(cid:224)m ẩn một biếnề

—ịnh l(cid:253): Giả sử h(cid:224)m ≠ậxờyấ thỏa ị (cid:240)iều kiện sauầ

(i) F liŒn tục trong h(cid:236)nh tr(cid:242)n mở ửậỳờ (cid:229)ấ t(cid:226)m ỳậx0, y0) bÆn k(cid:237)nh (cid:229)ờ với ≠ậx0, y0) = 0;

(ii) Tồn tại cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng liŒn tục trong B(P, (cid:229)ấ v(cid:224) (x0, y0) ≠ ếề

Khi (cid:240)(cid:243) c(cid:243) (cid:229)ễế sao cho ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh ≠ậxờyấ ụ ế xÆc (cid:240)ịnh một h(cid:224)m ẩn yậxấ khả vi liŒn tục trong ậx0 (cid:150) s, x0 + s) v(cid:224)

13 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Nhận xØt: Nếu thừa nhận sự tồn tại của h(cid:224)m ẩn v(cid:224) (cid:240)ạo h(cid:224)m của n(cid:243) th(cid:236) c(cid:244)ng thức (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m ẩn trong (cid:240)ịnnh l(cid:253) trŒn c(cid:243) thể suy ra dễ d(cid:224)ng từ c(cid:244)ng thức (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m hợpầ

0 = F(x, y(x)) = F(cid:146)x + F(cid:146)y . y(cid:146)

=> y(cid:146) ụ -

V(cid:237) dụầ T(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m của h(cid:224)m ẩn tại (cid:240)iểm ậữờ (cid:240)ấ

nếu xềy (cid:150)ex.sin y = (cid:240)ề

n

Coi y l(cid:224) h(cid:224)m theo xờ lấy (cid:240)ạo h(cid:224)m ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh trŒn ta (cid:240)(cid:253)ợc

y + x.y(cid:146) (cid:150) exsiny (cid:150) ex cosy. y(cid:146) ụ ế

h . v

4

Tại ậxờyấ ụ ậữờ (cid:240)ấ ta c(cid:243)ầ

2

(cid:240) ự y(cid:146) ự eềy(cid:146) ụ ế

c

o

Suy ra y(cid:146)ậữấ ụ

u i h

Ghi chœ: —ể t(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m cấp ị y(cid:146)(cid:146) của h(cid:224)m ẩnờ từ hệ thức

V

0 = F(cid:146)x ự ≠(cid:146)y ề y(cid:146)

ta c(cid:243) thể tiếp tục lấy (cid:240)ạo h(cid:224)m th(cid:236) (cid:240)(cid:253)ợcầ

0 = F"xx + F"xy.y(cid:146) ự ậ≠ộyx + F"yy. y(cid:146)ấềy(cid:146) ự ≠(cid:146)y.y".

Từ (cid:240)(cid:226)y sẽ rœt ra y(cid:148)ề

2. H(cid:224)m ẩn 2 biến

T(cid:253)ıng tự nh(cid:253) tr(cid:253)ờng hợp h(cid:224)m ẩn ữ biếnờ với một số giả thiết th(cid:236) ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh

14 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

F(x,y) = 0

sẽ xÆc (cid:240)ịnh một h(cid:224)m ẩn z ụ zậxờyấ theo ị biến xờ yề

—ịnh l(cid:253) : Giả sử h(cid:224)m ≠ậxờyờzấ thỏa cÆc (cid:240)iều kiện

(i). F liŒn tục trong h(cid:236)nh cầu mở ửậỳ0, (cid:229)ấ t(cid:226)m ỳ0(x0, y0,z0) bÆn k(cid:237)nh (cid:229) v(cid:224) F(x0,y0,z0) = 0;

(ii) Tồn tại cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng liŒn tục ≠(cid:146)x, F(cid:146)y, F(cid:146)z trong B(P0, (cid:229)ấ v(cid:224) ≠(cid:146)z(x0,y0,z0) ≠ ếề

Khi (cid:240)(cid:243) tồn tại (cid:228)ễế sao cho ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh ≠ậxờyờzấ ụ ế xÆc (cid:240)ịnh một h(cid:224)m ẩn trong l(cid:226)n cận ửậậx0,y0), s) của (cid:240)iểm ậx0, y0). Hın nữa h(cid:224)m ẩn z ụ zậxờyấ c(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng trong l(cid:226)n cận n(cid:224)y l(cid:224)ầ

; 9;

Ghi chœ: —ịnh l(cid:253) n(cid:224)y c(cid:243) thể (cid:240)(cid:253)ợc mở rộng cho tr(cid:253)ờng hợp h(cid:224)m ẩn nhiều biến hın z

n

= z(x1,x2,(cid:133)ờxn) xÆc (cid:240)ịnh bởi ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nhầ

F(x1,x2,(cid:133)ờxn, z) = 0

h . v

4

V(cid:237) dụ:

2

c

Cho h(cid:224)m ẩn z ụ zậxờyấ xÆc (cid:240)ịnh bởi ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh ez = x + y + z

o

T(cid:237)nh zx(cid:146)ờ zx" v(cid:224) zxy".

u i h

—ạo h(cid:224)m ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh theo biến x ta (cid:240)(cid:253)ợcầ

V

1 + zx(cid:146) ụ ez . zx(cid:146) ụễ zx(cid:146) ụ

Tiếp tục lấy (cid:240)ạo h(cid:224)m theo x v(cid:224) theo y th(cid:236) (cid:240)(cid:253)ợcầ

zxx" = ez . (zx(cid:146)ấ2 + ez . zxx" ;

zxy" = ez . zy(cid:146) ề zx(cid:146) ự ez . zxy"

Suy ra:

zxx" =

15 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

zxy" =

T(cid:237)nh zy(cid:146) t(cid:253)ıng tự nh(cid:253) việc t(cid:237)nh zx(cid:146)ờ ta c(cid:243)ầ

zy(cid:146) ụ

Do (cid:240)(cid:243)

zxy" =

VI. CỰC TRỊ

1.—ịnh nghĩa v(cid:224) (cid:240)iều kiện cần

n

XØt h(cid:224)m z ụ fậxờyấề —iểm ỳ0(x,y) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) (cid:240)iểm cực (cid:240)ại ậ(cid:240)ịa ph(cid:253)ıngấ của h(cid:224)m f(x,y) khi c(cid:243) (cid:228)ễế sao cho fậxờyấ ≤ fậx0,y0) với mọi ậxờyấ  B(P0,(cid:228)ấề

Tr(cid:253)ờng hợp ta c(cid:243)

h . v

4

F(x,y) < f(x0,y0)  (x,y)  B(P0, (cid:228)ấ \ {P0}th(cid:236) ta n(cid:243)i ỳ0 l(cid:224) (cid:240)iểm cực (cid:240)ại ậ(cid:240)ịa ph(cid:253)ıngấ chặt của h(cid:224)m fậxờyấề

2

c

o

KhÆi niệm cực tiểu ậ(cid:240)ịa ph(cid:253)ıngấ (cid:240)(cid:253)ợc (cid:240)ịnh nghĩa ho(cid:224)n to(cid:224)n t(cid:253)ıng tựề ũực (cid:240)ại (cid:240)ịa ph(cid:253)ıng v(cid:224) cực tiểu (cid:240)ịa ph(cid:253)ıng (cid:240)(cid:253)ợc gọi chung l(cid:224) cực trị (cid:240)ịa ph(cid:253)ıngề

—ịnh l(cid:253): (Fermat)

u i h

V

Nếu h(cid:224)m fậxờyấ (cid:240)ạt cực trị (cid:240)ịa ph(cid:253)ıng tại ậx0,y0) v(cid:224) c(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng tại (cid:240)(cid:243) th(cid:236) fx(cid:146)ậx0,y0) = fy(cid:146)ậx0,y0) = 0.

—iểm m(cid:224) tại (cid:240)(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng của f (cid:240)ều bằng ế (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) (cid:240)iểm dừng của h(cid:224)mề Chœ (cid:253) rằng (cid:240)ịnh l(cid:253) trŒn chỉ cho ta (cid:240)iều kiện cần (cid:240)ể c(cid:243) cực trịờ nŒn (cid:240)iểm dừng ch(cid:253)a chắc l(cid:224) (cid:240)iểm cực trịề —ịnh l(cid:253) sau (cid:240)(cid:226)y cho ta (cid:240)iều kiện (cid:240)ủ (cid:240)ể c(cid:243) cực trịề

—ịnh l(cid:253) ((cid:240)iều kiện (cid:240)ủ):

Giả sử z ụ fậxờyấ nhận ậx0, y0) l(cid:224) một (cid:240)iểm dừngờ v(cid:224) fậxờyấ c(cid:243) cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị liŒn tục trong một l(cid:226)n cận của ậx0, y0). —ặt

A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0),

16 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

v(cid:224)  = B2 (cid:150) A.C

Khi (cid:240)(cid:243) ta c(cid:243)ầ

(i). Nếu  > 0 th(cid:236) h(cid:224)m số kh(cid:244)ng (cid:240)ạt cực trị tại ậx0,y0).

(ii). Nếu  < 0 th(cid:236) h(cid:224)m số (cid:240)ạt cực trị chặt tại ậx0,y0).

Hın nữa ta c(cid:243)ầ

(x0,y0) l(cid:224) (cid:240)iểm cực (cid:240)ại khi ồ ≥ 0;

(x0,y0) l(cid:224) (cid:240)iểm cực tiểu khi ồ ễ ếề

(iii). Nếu  = 0 th(cid:236) ch(cid:253)a kết luận (cid:240)(cid:253)ợc l(cid:224) h(cid:224)m số fậxờyấ c(cid:243) (cid:240)ạt cực trị tại ậx0,y0) hay kh(cid:244)ngề

Từ (cid:240)ịnh l(cid:253) trŒn ta c(cid:243) thể t(cid:236)m cực trị của h(cid:224)m z ụ fậxờyấ theo cÆc b(cid:253)ớc sau (cid:240)(cid:226)yầ

B(cid:253)ớc ữầ T(cid:237)nh cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng

n

B(cid:253)ớc ịầ T(cid:236)m cÆc (cid:240)iểm dừng bằng cÆch giải hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh sauầ

h . v

4

2

B(cid:253)ớc ĩầ Ứng với mỗi (cid:240)iểm dừng ậx0,y0), (cid:240)ặt

c

o

A = fxx"(x0,y0), B = fxy"(x0,y0), C = fyy"(x0,y0),

= B2 - AC

u i h

XØt dấu của  v(cid:224) của ồ (cid:240)ể kết luậnề

V

L(cid:253)u (cid:253): —ể c(cid:243) kết luận (cid:240)ầy (cid:240)ủ về cực trị ta c(cid:242)n phải xØt riŒng tr(cid:253)ờng hợp (cid:240)iểm dừng

m(cid:224) tại (cid:240)(cid:243)  = 0 v(cid:224) xØt cÆc (cid:240)iểm m(cid:224) tại (cid:240)(cid:243) kh(cid:244)ng tồn tại (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ữ hay cấp 2.

V(cid:237) dụ:

1) T(cid:236)m cực trị của h(cid:224)m số z ụ x3 + 3xy2 (cid:150) 15x -12y

Ta c(cid:243) zx(cid:146) ụ ĩx2 + 3y2 (cid:150) 15,

zy(cid:146) ụ ẳxy (cid:150) 12

zxx" = 6x, zxx" = 6y, zyy "= 6x

17 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

—ể t(cid:236)m (cid:240)iểm dừngờ ta giải hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh sauầ

Hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh c(cid:243) ở nghiệmờ cho ta ở (cid:240)iểm dừngầ

M1(1, 2); M2(2, 1); M3(-1, -2); M4(-2, -1).

Tại ∞1(1, 2):

A = zxx"(1, 2) = 6

B = zxy"(1, 2) = 12 =>  = B2 (cid:150) AC >0

C = zyy"(1, 2) = 6

H(cid:224)m số kh(cid:244)ng (cid:240)ạt cực trị tại ∞1(1, 2).

Tại ∞2(2,1):

n

A = zxx"(2, 1) = 12

B = zxy"(2, 1) = 6 =>  = B2 (cid:150) AC <0

h . v

C = zyy"(2, 1) = 12 A > 0

4

2

H(cid:224)m số (cid:240)ạt cực tiểu tại ∞2(2, 1), với zmin = z(2, 1) = -28

c

o

Tại ∞3(-1, -2):

A = zxx"(-1, -2) = -6

u i h

B = zxy"(-1, -2) = -12 =>  = B2 (cid:150) AC >0

V

C = zyy"(-1, -2) = -6

H(cid:224)m số kh(cid:244)ng (cid:240)ạt cực trị tại ∞3(-1, -2).

Tại ∞4(-2, -1):

H(cid:224)m số (cid:240)ạt cực (cid:240)ại tại ∞4(-2, -1) với zmax = z(-2,-1) = 28

18 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

2) Khảo sÆt cực trị của h(cid:224)m z ụ x4 + y4 (cid:150) x2 (cid:150) 2xy (cid:150) y2 Ta c(cid:243)ầ

Giải hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh sau (cid:240)ể t(cid:236)m (cid:240)iểm dừngầ

Hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh c(cid:243) ĩ nghiệm  3 (cid:240)iểm dừngầ

P1(0, 0); P2(-1, -1); P3(1,1)

T(cid:237)nh cÆc (cid:240)ạo h(cid:224)m cấp ịầ

n

h . v

Tại ỳữậếờ ếấầ

4

2

c

o

Ta ch(cid:253)a c(cid:243) kết luận về cực trị tại ỳ1 m(cid:224) phải khảo sÆt trực tiếpề Ta c(cid:243) zậếờ ếấ ụ

u i h

V

0, với th(cid:236)

(n nguyŒn d(cid:253)ıngấ

. —iều n(cid:224)y cho thấy rằng trong th(cid:236)

Với mọi l(cid:226)n cận của ỳ1 h(cid:224)m số (cid:240)ều c(cid:243) giÆ trị d(cid:253)ıng v(cid:224) c(cid:243) giÆ trị (cid:226)mề Vậy ỳ1(0, 0) kh(cid:244)ng phải l(cid:224) (cid:240)iểm cực trị

Tại ỳ2(-1, -1) v(cid:224) ỳ3(1, 1) ta c(cid:243) ồ ụ ữếờ ử ụ -2, C = 10,  =B2 (cid:150)AC = -96. Suy ra tại ỳị v(cid:224) ỳĩ h(cid:224)m số (cid:240)ạt cực tiểu chặt vớiầ

19 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

zmin = z(P2) = z(P3) = -2

VII. CỰC TRỊ C(cid:211) —IỀU KIỆN

1. —ịnh nghĩa

XØt h(cid:224)m số z ụ  (x, y), với (cid:240)iều kiện r(cid:224)ng buộcầ  (x, y) = 0 (*)

Ta n(cid:243)iầ

 (x, y) (cid:240)ạt cực (cid:240)ại chặt tại ậx0, y0) với (cid:240)iều kiện ậảấ

nếu ậx0, y0) thỏa ậảấ v(cid:224) với mọi ậxờ yấ thỏa ậảấ khÆ gần ậx0,y0) ta c(cid:243)  (x, y) <  (x0, y0)

 (x, y) (cid:240)ạt cực tiểu chặt tại ậx0, y0) với (cid:240)iều kiện (*)

nếu ậx0, y0) thỏa ậảấ v(cid:224) với mọi ậxờ yấ thỏa ậảấ khÆ gần ậx0,y0) ta c(cid:243)  (x, y) >  (x0, y0)

 (x, y) (cid:240)ạt cực trị chặt tại ậx0, y0) với (cid:240)iều kiện ậảấ

n

nếu  (x, y) (cid:240)ạt cực (cid:240)ại hoặc cực tiểu tại ậx0,y0) với (cid:240)iều kiện ậảấ

2. Ph(cid:253)ıng phÆp nh(cid:226)n tử Lagrange

h . v

4

—ịnh l(cid:253): ((cid:240)iều kiện cần của cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiệnấ

2

c

Giả sửầ

o

CÆc h(cid:224)m  (x, y) v(cid:224)  (x, y) c(cid:243) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ữ liŒn tục trong một l(cid:226)n cận của (cid:240)iểm ậx0,y0) với  (x0, y0) = 0

u i h

hay .

V

Khi (cid:240)(cid:243)ờ nếu  (x, y) (cid:240)ạt cực trị tại ậx0,y0) với (cid:240)iều kiện  (x0,y0)=0 th(cid:236) tồn tại số thực  sao cho:

H(cid:224)m số ỡậxờyờ ) =  (x, y) +   (x,y) (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) h(cid:224)m Lagrange. —ịnh l(cid:253) sau (cid:240)(cid:226)y cho ta (cid:240)iều kiện (cid:240)ủ của cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiệnề

—ịnh l(cid:253): ((cid:240)iều kiện (cid:240)ủ của cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiện)

20 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Giả sử  (x, y) v(cid:224)  (x,y) c(cid:243) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị liŒn tục trong một l(cid:226)n cận của ậx0,y0) với  (x0,y0) = 0, v(cid:224) ậx0,y0, ) l(cid:224) (cid:240)iểm dừng của h(cid:224)m ỡagrangeề ẩhi (cid:240)(cid:243) ta c(cid:243)ầ

Nếu

xÆc (cid:240)ịnh d(cid:253)ıng trong một miền theo dxờ dy thỏa r(cid:224)ng buộcầ

v(cid:224) dx2+dy2 0, th(cid:236) h(cid:224)m  (x, y) (cid:240)ạt cực tiểu chặt tại ậx0,y0) với (cid:240)iều kiện  (x0,y0) = 0.

Nếu d2L(x0,y0, ) xÆc (cid:240)ịnh (cid:226)m trong ữ miền theo dxờ dy thỏa r(cid:224)ng buộc nh(cid:253) trŒn th(cid:236)  (x, y) (cid:240)ạt cực (cid:240)ại chặt tại ậx0,y0) với (cid:240)iều kiện  (x0,y0) = 0.

Nếu d2L(x0,y0, ) kh(cid:244)ng xÆc (cid:240)ịnh dấu trong miền n(cid:243)i trŒn th(cid:236) kh(cid:244)ng c(cid:243) cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiện tại ậx0,y0).

Từ (cid:240)ịnh l(cid:253) trŒn ta c(cid:243) thể t(cid:236)m cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiện theo ph(cid:253)ıng phÆp nh(cid:226)n tử ỡagrange nh(cid:253) sauầ

B(cid:253)ớc ữầ ỡập h(cid:224)m ỡagrange

n

L =  (x, y) +   (x,y) (  R)

h . v

B(cid:253)ớc ịầ T(cid:237)nh

4

2

c

o

v(cid:224) giải hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh sau (cid:240)(cid:226)y (cid:240)ể t(cid:236)m cÆc (cid:240)iểm dừng ậx0,y0) cøng với giÆ trị  0 t(cid:253)ıng ứngề

u i h

V

B(cid:253)ớc ĩầ T(cid:237)nh vi ph(cid:226)n cấp ị của ỡ ụ ỡậxờyấ

v(cid:224) t(cid:237)nh r(cid:224)ng buộcầ

(**)

21 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Với mỗi (cid:240)iểm dừng ậx0,y0) v(cid:224)  =  0 t(cid:236)m (cid:240)(cid:253)ợc trong b(cid:253)ớc ịờ xØt ồ ụ d2L(x0,y0) (phụ thuộc dx v(cid:224) dyấề

Nếu ồ ễ ế với mọi dxờ dy kh(cid:244)ng (cid:240)ồng thời bằng ế thỏa r(cid:224)ng buộc ậảảấ th(cid:236) h(cid:224)m số (cid:240)ạt cực tiểu c(cid:243) (cid:240)iều kiện tại ậx0,y0).

Nếu ồ ≥ ế với mọi dxờ dy kh(cid:244)ng (cid:240)ồng thời bằng ế thỏa r(cid:224)ng buộc ậảảấ th(cid:236) h(cid:224)m số (cid:240)ạt cực (cid:240)ại c(cid:243) (cid:240)iều kiện tại ậx0,y0).

Nếu dấu của ồ kh(cid:244)ng xÆc (cid:240)ịnh xØt theo dx v(cid:224) dy kh(cid:244)ng (cid:240)ồng thời bằng 0 thỏa r(cid:224)ng buộc ậảảấ th(cid:236) h(cid:224)m số kh(cid:244)ng (cid:240)ạt cực trị tại ậx0,y0).

V(cid:237) dụ:

T(cid:236)m cực trị của h(cid:224)m z ụ x2 + y2 với (cid:240)iều kiện x ự y ụ ở

Lập h(cid:224)m ỡagrangeầ

L(x,y) = x2 + y2 +  (x + y - 4)

Ta c(cid:243)ầ

n

T(cid:236)m (cid:240)iểm dừng bằng cÆch giải hệầ

h . v

4

2

c

o

Ta c(cid:243) một (cid:240)iểm dừng ∞ậịờịấ ứng với  = -4.

T(cid:237)nh (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng cấp ị của ỡậxờyấầ

u i h

, ,

V

 d2L = 2dx2 + 2dy2.

Vậy d2L > 0 tại ∞ậịờịấ nŒn h(cid:224)m số (cid:240)ạt cực tiểu ậc(cid:243) (cid:240)iều kiệnấ tại (cid:240)(cid:243) với zmin = z(2,2) = 8.

L(cid:253)u (cid:253): Trong tr(cid:253)ờng hợp từ hệ thức

 (x,y) = 0

ta c(cid:243) thể t(cid:237)nh (cid:240)(cid:253)ợc ữ biến thiŒn theo biến kiaờ chẳng hạn c(cid:243) thể t(cid:237)nh y ụ  (x) th(cid:236) bằng cÆch thay thế y ụ  (x) v(cid:224)o z ta c(cid:243) thể xem z nh(cid:253) h(cid:224)m theo ữ biến xầ

z = z(x,  (x))

22 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

Khi (cid:240)(cid:243) c(cid:243) thể t(cid:236)m cực trị của z nh(cid:253) h(cid:224)m theo ữ biếnề

XØt lại v(cid:237) dụ trŒnờ ta thấyầ

x + y = 4  y = 4 (cid:150) x

Suy ra z = x2 + y2 = x2 + (4-x)2.

Xem z l(cid:224) h(cid:224)m ữ biến ta c(cid:243)ầ

z(cid:146)ậxấ ụ ịx (cid:150)2(4 - x) = 4x (cid:150) 8

z(cid:146)ậxấ ụ ế  x = 2

Lập bảng biến thiŒnờ ta c(cid:243)ầ

X 2 + -

+ 0 - Z(cid:146)ậxấ

n

Vậy z ụ x2 + y2 (cid:240)ạt cực tiểu ậvới (cid:240)iều kiện x ự y ụ ởấ tại ∞ậịờịấ với zmin = 8

h . v

4

2

c

VIII. GI` TRỊ LỚN NHẤT V(cid:192) NHỎ NHẤT

o

u i h

V

Cho D   2. —iểm ỳậxờyấ  D (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) một (cid:240)iểm trong của D khi tồn tại một ) (cid:240)ều chứa (cid:240)iểm thuộc D v(cid:224) (cid:240)iểm kh(cid:244)ng thuộc D . Tập hợp cÆc h(cid:236)nh cầu mở ửậỳờ (cid:240)iểm biŒn của D (cid:240)(cid:253)ợc gọi l(cid:224) biŒn của D. Miền D (cid:240)(cid:253)ợc goị l(cid:224) miền (cid:240)(cid:243)ng khi D chứa mọi (cid:240)iểm biŒn của n(cid:243)ề

Ta c(cid:243) thể t(cid:236)m giÆ trị lớn nhất v(cid:224) giÆ trị nhỏ nhất của h(cid:224)m  (x,y) trŒn một miền (cid:240)(cid:243)ng v(cid:224) bị chặn D nh(cid:253) sauầ

B(cid:253)ớc ữầ T(cid:237)nh  (cid:146)x v(cid:224)  (cid:146)yề Ứiải hệ ph(cid:253)ıng tr(cid:236)nh

(cid:240)ể t(cid:236)m cÆc (cid:240)iểm dừng ở phần trong của D

B(cid:253)ớc ịầ T(cid:236)m cÆc (cid:240)iểm tại (cid:240)(cid:243) kh(cid:244)ng c(cid:243) (cid:240)ạo h(cid:224)m riŒng

23 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

B(cid:253)ớc ĩầ T(cid:236)m giÆ trị lớn nhất của  (x,y) trŒn biŒn của D (liŒn quan (cid:240)ến cực trị c(cid:243) (cid:240)iều kiệnấ

B(cid:253)ớc ởầ So sÆnh cÆc giÆ trị của h(cid:224)m số tại cÆc (cid:240)iểm t(cid:236)m (cid:240)(cid:253)ợc ở b(cid:253)ớc ữờ b(cid:253)ớc 2 với giÆ trị lớn nhất v(cid:224) nhỏ nhất trŒn biŒn ậở b(cid:253)ớc ĩấ (cid:240)ể rœt ra giÆ trị lớn nhất v(cid:224) nhỏ nhất của h(cid:224)m sốề

V(cid:237) dụ: T(cid:236)m giÆ trị lớn nhất v(cid:224) nhỏ nhất của h(cid:224)m số

z = x2 + y2 (cid:150) xy + x + y

trŒn miền D giới hạn bỡiầ x  0, y  0, x + y  -3

Ta c(cid:243)ầ

Giải hệầ  x = -1, y = -1

n

Ta t(cid:236)m (cid:240)(cid:253)ợc ữ (cid:240)iểm dừng ∞ậ-1,-1)  D, với zậ-1,-1) = -1

BiŒn của miền D gồm ĩ (cid:240)oạn thẳng ẫồờ ẫử v(cid:224) ồửề

h . v

4

TrŒn biŒn ẫồ ta c(cid:243)ầ

2

x = 0, -3 < y < 0

c

o

z = y2

u i h

z(cid:146) ụ ịy ự ữ ụ ế  y =

V

 một (cid:240)iểm cực trị trŒn ẫồ l(cid:224) với

T(cid:253)ıng tựờ

trŒn ẫử c(cid:243) cực trị tại với

. trŒn ồử c(cid:243) cực trị tại với

Tại cÆc (cid:240)iểm ẫờ ồ v(cid:224) ử ta c(cid:243)ầ

24 S(cid:253)u tầm by hoangly85

GI`O TR(cid:204)NH TO`N CAO CẤP A2

z(0,0) = 0; z(0,-3) = 6; z(-3,0) = 6

Vậy giÆ trị lớn nhất v(cid:224) nhỏ nhất trŒn biŒn của D lần l(cid:253)ợt l(cid:224) ẳ v(cid:224)

ta suy ra giÆ trị lớn nhất của z l(cid:224) ẳ tại ồậếờ - So sÆnh cÆc giÆ trị zụ-1, z=6 với 3) v(cid:224) ửậ-3, 0); gÆi trị nhỏ nhất của z l(cid:224) (cid:150)1 tại ∞ậ-1, -1).