PH NG PHÁP Đ T N PH D NG 1 GI I PH NG TRÌNH MŨƯƠ Ặ Ẩ Ụ Ạ Ả ƯƠ
D ng 1: Ph ng trình: ạ ươ
2
1 2 3
0
x x
a a
α α α
+ + =
Đ t ặ
x
t a=
, đi u ki n t >0.ề ệ
D ng 2: Ph ng trình: ạ ươ
1 2 3
0
x x
a b
α α α
+ + =
, v i ớ
. 1a b
=
Đ t ặ
x
t a=
, đi u ki n t >0, suy ra ề ệ
1
x
b
t
=
D ng 3: Ph ng trình: ạ ươ
( )
2 2
1 2 3
0
x
x x
a ab b
α α α
+ + =
Chia hai v c a ph ng trình cho ế ủ ươ
2
0
x
b>
(ho c ặ
)
Ví d 1: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
22
2 1 1
7.2 20.2 12 0
xx
++
− + =
Đ t ặ
2
1
2
x
t
+
=
, vì
2
2 1 1
1 1 2 2 2
x
x t
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
2
2 1 2
2
7 20 12 0 2 2 1 2 0
6
7
x
t
t t x x
t l
+
=
− + = ⇔ ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
=
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 2: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
22
1
cot sin
4 2 3 0 1
xx
+ − =
Đi u ki n: ề ệ
( )
sin 0 , .x x k k Z
π
≠ ⇔ ≠ ∈ ∗
Vì
2
2
11 cot
sin
x
x= +
, nên pt (1) đ c vi t l i d i d ng:ượ ế ạ ướ ạ
( )
2 2
2cot cot
2 2.2 3 0 2
x x
+ − =
Đ t ặ
2
cot
2
x
t=
, vì
( )
2
2 cot 0
cot 0 2 2 1
x
x t≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ∗∗
Khi đó pt (2) có d ng: ạ
( )
2
2 cot 2
1
2 3 0 2 1 cot 0 ,
32
x
t
t t x x k k Z
t l
ππ
=
+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
= −
Nghi m đó th a mãn (*).ệ ỏ
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 3: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
()()
( )
2 3 2 3 4 1
x x
− + + =
Nh n xét r ng: ậ ằ
( ) ( )
2 3. 2 3 2 3 2 3 1− + = − + =
Đ t ặ
()
2 3
x
t= +
, đi u ki n t > 0 ề ệ
()
1
2 3
x
t
⇒ − =
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
()
()
( )
( ) ( )
2
2
1
2
2 3 2 3
2 3
14 4 1 0
2 3 2 3 2 3
1
2 3 2 3 2
2
2
1
2 3 2 3 2
x
x
x
x
t
t t t
tt
x
x
x x
−
+ = +
= +
+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔
= −
+ = −
=
+ = +
=
⇔ ⇔ ⇔
= −
= −
+ = +
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 4: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
( )
7 4 3 3 2 3 2 0 1
x x
+ − − + =
Nh n xét r ng: ậ ằ
( )
( ) ( )
2
7 4 3 2 3
2 3 2 3 1
+ = +
+ − =
Đ t ặ
( )
2 3
x
t= +
, đi u ki n t > 0 ề ệ
( )
1
2 3
x
t
⇒ − =
và
( )
22
7 4 3 2 3 t+ = + =
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
( )
( )
( )
2 3 3
3
1
32 0 2 3 0 1 3 0 3
2 3 1 0
x
t
t t t t t t
t t t VN
t
x
=
− + = ⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔ = + +
⇔ + = ⇔ =
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 5: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( ) ( )
( )
3
3 5 16 3 5 2 1
x x x+
+ + − =
Chia 2 v c a ph ng trình cho ế ủ ươ
2 0
x
>
, ta đ c:ượ
( )
3 5 3 5
16 8 2
2 2
x x
+ −
+ =
Nh n xét r ng: ậ ằ
3 5 3 5 1
2 2
+ − =
Đ t ặ
3 5
2
x
t
+
=
, đi u ki n t > 0 ề ệ
3 5 1
2
x
t
−
⇒ =
Khi đó pt (2) có d ng: ạ
2
3 5
2
3 5
8 16 0 4 4 log 4
2
x
t t t x
+
+
− + = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 6: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
2 2 2
1 1 1
2.4 6 9 1
x x x+ + +
+ =
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 1 2 1
1
2.2 2.3 3 2
x x
x
+ +
+
+ =
Chia hai v c a ph ng trình cho ế ủ ươ
( )
2
2 1
2 0
x+
≠
, ta đ c:ượ
( )
( )
2 2
1 2 1
3 3
2 3
2 2
x x+ +
+ =
Đ t ặ
2
1
3
2
x
t
+
=
, vì
2
1 1
2
3 3 3
1 1 2 2 2
x
x t
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Khi đó pt (3) có d ng: ạ
( )
2
1
2 2
3 3
2 2
23
2 0 2 1 log 2 log 2 1
12
x
t
t t x x
t l
+
=
− − = ⇔ ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ± −
= −
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 7: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0 1
x x x x+ + +
− + =
Chia hai v c a ph ng trình cho ế ủ ươ
2 2
2 0
x+
≠
, ta đ c:ượ
( )
2 2
2 2
2 2
2 2 1 2
2 2
2 2
2 9.2 1 0
1 9
.2 .2 1 0
2 4
2.2 9.2 4 0 2
x x x x
x x x x
x x x x
− − − −
− −
− −
− + =
⇔ − + =
⇔ − + =
Đ t ặ
2
2
x x
t
−
=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (2) có d ng: ạ
2
2
2 2
2
2
1
42 2 2 1
2 9 4 0 12
1
2 2
2
x x
x x
tx x x
t t
x
tx x
−
− −
=
= − = = −
− + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
=− = −
=
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 8: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
3
3 1
1 12
2 6.2 1
2
2
x x
x
x−
− − + =
Vi t l i ph ng trình d i d ng:ế ạ ươ ướ ạ
( )
3
3
3
2 2
2 6 2 1 1
2 2
x x
x x
− − − =
Đ t ặ
2
22
x
x
t= −
, đi u ki n t > 0, ề ệ
3
3
3 3
3
2 2 2 2
2 2 3.2 . 2 6
2 2 2 2
x x x x
x x x x
t t
⇒ − = − + − = −
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
3
2
6 6 0 1 2 1 2
2
x
x
t t t t+ − = ⇔ = ⇔ − =
L i đ t ạ ặ
2
x
u=
, đi u ki n u > 0ề ệ
Khi đó pt (2) có d ng: ạ
( )
2
1
2 0 2 2 1
2
x
u l
u u x
u
= −
− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
=
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 9: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
()
2 2
1 1 2 1 2 1 2 .2
x x x
+ − = + −
Đi u ki n: ề ệ
2 2
1 2 0 0 2 1 0
x x
x− ≥ ⇔ < ≤ ⇔ ≤
Đ t ặ
2 sin
x
t=
, v i ớ
0, 2
t
π
∈
Khi đó ph ng trình có d ng:ươ ạ
()
2 2
1 1 sin 1 2 1 sin .sint t t+ − = + −
( )
( )
1 c t 1 2 .sin
2 sin sin 2
2
3
2 2sin . s
2 2 2
3
2 1 2 sin 0
2 2
01
21
2620
3 2 2 1
s2
2 2
x
x
os cost t
t
cos t t
t t t
cos co
t t
cos
t
cos l tx
x
tt
in
π
π
⇔ + = +
⇔ = +
⇔ =
⇔ − =
=
=
== −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
==
=
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 10: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
( )
2
76. 0,7 7
100
x
x
x
= +
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
2
7 7
6. 7 1
10 10
x x
= +
Đ t ặ
7
10
x
t
=
, đi u ki n t >0ề ệ
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
2
7
10
77
6 7 0 7 log 7
110
x
t
t t x
t l
=
− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
= −
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 11: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
2 1 1
1 1
3. 12
3 3
x x +
+ =
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
2 1
1 1 12 0
3 3
x x
+ − =
Đ t ặ
1
3
x
t
=
, đi u ki n t >0ề ệ
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
2
31
12 0 3 1
43
x
t
t t x
t l
=
+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ = −
= −
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 12ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
1 4 2
4 2 2 16
x x x+ + +
+ = +
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
2 1 4 2
2 2 2 16
xx x
++ +
+ = +
( )
2
2.2 6.2 8 0 1
x x
⇔ − − =
Đ t ặ
2
x
t=
, đi u ki n t >0ề ệ
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
2
4
2 6 8 0 2 4 2
1
x
t
t t x
t l
=
− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
= −
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 13ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
1
3 3 4 0
x x−
− + =
Đi u ki n: ề ệ
0x≥
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
3
3 4 0
3
x
x
− + =
Đ t ặ
3
x
t=
, đi u ki n ề ệ
1t≥
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
( )
( )
2
1
4 3 0 3
t l
t t
t l
= −
+ − = ⇔ = −
V y, pt có vôậ nghi m ...ệ
Ví d 14ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
3 1
125 50 2
x x x+
+ =
Bi n đ i ph ng trình v d ng:ế ổ ươ ề ạ
( )
125 50 2.8 1
x x x
+ =
Chia hai v c a ph ng trìnhế ủ ươ (1) cho
8 0
x
≠
, ta đ c:ượ
( )
3 2
125 50 2
8 8
5 5 2 0 2
2 2
x x
x x
+ =
⇔ + − =
Đ t ặ
5
2
x
t
=
, đi u ki n t > 0ề ệ
Khi đó pt (2) có d ng: ạ
( )
( )
( )
3 2 2
2
15
2 0 1 2 2 0 1 0
2 2 0 2
x
t
t t t t t x
t t VN
=
+ − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ =
+ + =
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ
Ví d 15: Gi i ph ng trình: ụ ả ươ
()()
( )
sin sin
7 4 3 7 4 3 4 1
x x
+ + − =
Nh n xét r ng: ậ ằ
( ) ( )
7 4 3. 7 4 3 7 4 3 7 4 3 1+ − = + − =
Đ t ặ
()
sin
7 4 3
x
t= +
, đi u ki n t > 0 ề ệ
()
sin
1
7 4 3
x
t
⇒ − =
Khi đó pt (1) có d ng: ạ
()
()
( ) ( )
( )
sin
2 1
sin
2
sin sin
2
2 3 2 3
7 4 3 2 3
2 3
14 4 1 0
2 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3
x
x
x x
t
t t t
tt
−
+ = +
+ = −
= −
+ = ⇔ + − = ⇔ ⇔ ⇔
= +
+ = + + = +
( ) ( )
( )
sinx 1
sinx
2 3 2 3 sin 1 0 ,
sinx 1 2
2 3 2 3
x
cosx x k k Z
ππ
−
+ = + = −
⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ = + ∈
=
+ = +
V y, pt có ... nghi m ...ậ ệ