Tr ng THPT Tr n H ng Đo - Sáng Ki n Kinh Nghi m Năm h c: 2013 – ườ ầ ư ạ ế ệ ọ
2014
1.ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
1.1 B i c nh:ố ả
Năm h c 2013-2014 là năm h c ti p t c th c hi n các cu c v n đng “ ọ ọ ế ụ ự ệ ộ ậ ộ
H c t p và làm theo t m g ng đo đc H Chí Minh”, cu c v n đng “ Hai ọ ậ ấ ươ ạ ứ ồ ộ ậ ộ
không”; “ M i th y, cô giáo là m t t m g ng đo đc, t h c và sáng t o” ; v i ỗ ầ ộ ấ ươ ạ ứ ự ọ ạ ớ
ch đ " Năm h c đi m i qu n lý và nâng cao ch t l ng giáo d c " cùng v i ủ ề ọ ổ ớ ả ấ ượ ụ ớ
phong trào xây d ng " Tr ng h c thân thi n, h c sinh tích c c ". Ngh quy t TW ự ườ ọ ệ ọ ự ị ế
2 khóa VIII đã kh ng đnh " Đi m i m nh m ph ng pháp giáo d c và đào t o, ẳ ị ổ ớ ạ ẽ ươ ụ ạ
kh c ph c l i d y h c truy n th m t chi u, rèn luy n n p t duy cho ng i ắ ụ ố ạ ọ ề ụ ộ ề ệ ế ư ườ
h c, t ng b c áp d ng ph ng pháp tiên ti n, ng d ng c ng ngh thông tin ọ ừ ướ ụ ươ ế ứ ụ ộ ệ
vào quá trình d y h c ". Do đó trong quá trình d y h c đòi h i các th y cô giáo ạ ọ ạ ọ ỏ ầ
ph i tích c c h c t p; không ng ng nâng cao năng l c chuyên môn; đi m i ả ự ọ ậ ừ ự ổ ớ
ph ng pháp d y h c theo h ng phát huy tính tích c c, t giác, ch đng sáng ươ ạ ọ ướ ự ự ủ ộ
t o c a h c sinh; b i d ng kh năng t h c, sáng t o; kh năng v n d ng ki n ạ ủ ọ ồ ưỡ ả ự ọ ạ ả ậ ụ ế
th c vào th c t ; đem l i s say mê, h ng thú h c t p cho các emứ ự ế ạ ự ứ ọ ậ .
1.2 Lý do ch n đ tàiọ ề :
Các v n đ liên quan t i dãy s là m t ph n quan tr ng c a Đi s và Gi i ấ ề ớ ố ộ ầ ọ ủ ạ ố ả
tích toán h c. Song khái ni m dãy s h c sinh m i ch đc làm quen trong ọ ệ ố ọ ớ ỉ ượ
ch ng trình toán l p 11 ph n m đu c a Gi i tích toán h c. ươ ớ ầ ở ầ ủ ả ọ Các d ng toán liên ạ
quan t i n i dung này th ng là khó v i các em.ớ ộ ườ ớ
Qua th c t gi ng d y ch ng trình chuyên toán l p 11 nh ng năm qua, ự ế ả ạ ươ ớ ữ
cũng nh vi c nghiên c u n i dung thi h c sinh gi i các c p, tôi nh n th y m t ư ệ ứ ộ ọ ỏ ấ ậ ấ ộ
d ng toán khá c b n v dãy s là bài toán tìm s h ng t ng quát. Lý thuy t đi ạ ơ ả ề ố ố ạ ổ ế ạ
s và các bài toán v dãy s đã đc đ c p h u h t trong các giáo trình c b n ố ề ố ượ ề ậ ầ ế ơ ả
c a gi i tích toán h c.Các ph ng pháp tìm s h ng t ng quát c a dãy s cho b i ủ ả ọ ươ ố ạ ổ ủ ố ở
h th c truy h i g n nh là bài toán đc đ c p t i đu tiên. Tuy nhiên v i ệ ứ ồ ầ ư ượ ề ậ ớ ầ ớ
nhi u ph ng pháp khác nhau bài toán này th c s không ph i là d v i h c sinh.ề ươ ự ự ả ễ ớ ọ
Xu t phát t các lí do trên tôi ch n đ tài: ấ ừ ọ ề “M t s ph ng pháp xác đnhộ ố ươ ị
công th c t ng quát c a dãy s và xây d ng bài toán v dãy s ”ứ ổ ủ ố ự ề ố . Qua n i ộ
dung các ví d trong đ tài nh m giúp các em h c sinh l p 11 có thêm ki n th c, ụ ề ằ ọ ớ ế ứ
ph n nào đáp ng đc vi c h c chuyên đ l p 11 chuyên toán cũng nh vi c ôn ầ ứ ượ ệ ọ ề ớ ư ệ
thi h c sinh gi i các c p.ọ ỏ ấ
1.3 Đi t ng và ph m vi nghiên c uố ượ ạ ứ :
1
Tr ng THPT Tr n H ng Đo - Sáng Ki n Kinh Nghi m Năm h c: 2013 – ườ ầ ư ạ ế ệ ọ
2014
Đi t ng nghiên c uố ượ ứ :
Đi t ng nghiên c u trong đ tài là h c sinh kh i 11 qua các năm gi ng ố ượ ứ ề ọ ố ả
d y t tr c đn nay và hi n nay là l p 11A1, 11A2.ạ ừ ướ ế ệ ớ
Ph m vi nghiên c uạ ứ :
Ph m vi nghiên c u c a đ tài là “ạ ứ ủ ề Ch ng III: Dãy s . C p s c ng và ươ ố ấ ố ộ
c p s nhân” ấ ố sách giáo khoa Đi s và Gi i tích 11 ban nâng cao.ạ ố ả
1.4 M c đích nghiên c uụ ứ :
Do đây là ph n n i dung ki n th c m i nên nhi u h c sinh còn ch a quenầ ộ ế ứ ớ ề ọ ư
v i tính t duy tr u t ng c a nó, nên tôi nghiên c u n i dung này nh m tìm raớ ư ừ ượ ủ ứ ộ ằ
nh ng ph ng pháp truy n đt phù h p v i h c sinh, bên c nh cũng nh m tháoữ ươ ề ạ ợ ớ ọ ạ ằ
g nh ng v ng m c, khó khăn mà h c sinh th ng hay g p ph i v i mongỡ ữ ướ ắ ọ ườ ặ ả ớ
mu n nâng d n ch t l ng gi ng d y h c nói chung và môn Đi s và Gi i tíchố ầ ấ ượ ả ạ ọ ạ ố ả
11 nói riêng.
1.5 Đi m m i trong k t qu nghiên c uể ớ ế ả ứ :
Đi m m i trong k t qu nghiên c u là tính th c ti n và tính h th ng,ể ớ ế ả ứ ự ễ ệ ố
không áp đt ho c d p khuôn máy móc do đó mà h c sinh d dàng áp d ng vàoặ ặ ậ ọ ễ ụ
vi c gi i quy t các bài toán l , các bài toán khó.ệ ả ế ạ
2. GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
2.1 C s lý lu n:ơ ở ậ
a) Ph ng pháp quy n p toán h c ươ ạ ọ
b) Dãy s tăng, dãy s gi m và dãy s b ch nố ố ả ố ị ặ
* Dãy s ố
( )
n
u
g i là dãy s tăng n u ọ ố ế
*
1
,
n n
u u n
+
< ∀ ﾥ
* Dãy s ố
( )
n
u
g i là dãy s gi m n u ọ ố ả ế
*
1
,
n n
u u n
+
> ∀ ﾥ
V y: N u ậ ế
*
1
0,
n n
u u n
+
− > ∀ ﾥ
suy ra
( )
n
u
là dãy s tăngố
N u ế
*
1
0,
n n
u u n
+
− < ∀ ﾥ
suy ra
( )
n
u
là dãy s gi mố ả
* N u t n t i s ế ồ ạ ố
M
sao cho
*
,
n
u M n ∀ ﾥ
thì
( )
n
u
b ch n trênị ặ
* N u t n t i s ế ồ ạ ố
m
sao cho
*
,
n
u m n ∀ ﾥ
thì
( )
n
u
b ch n d iị ặ ướ
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
b ch n trên và b ch ng d i thì g i là dãy só b ch nị ặ ị ặ ướ ọ ị ặ
2
Tr ng THPT Tr n H ng Đo - Sáng Ki n Kinh Nghi m Năm h c: 2013 – ườ ầ ư ạ ế ệ ọ
2014
c) C p s c ngấ ố ộ
* Dãy s ố
( )
n
u
là c p s c ng ấ ố ộ
1n n
u u d
+
= +�
v i ớ
*
n∀ ﾥ
, trong đó
d
là
s không đi g i là công sai c a c p s c ng.ố ổ ọ ủ ấ ố ộ
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s c ng thì ấ ố ộ
( )
1
1
n
u u n d= + −
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s c ng thì t ngấ ố ộ ổ
( )
1 2 1
... 2
n n n
n
S u u u u u= + + + = +
d) C p s nhânấ ố
* Dãy s ố
( )
n
u
là c p s nhân ấ ố
1
.
n n
u u q
+
=�
v i ớ
*
n∀ ﾥ
, trong đó
q
là số
không đi g i là công b i c a c p s nhân.ổ ọ ộ ủ ấ ố
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s nhân thì ấ ố
1
1
.
n
n
u u q
−
=
* N u dãy s ế ố
( )
n
u
là c p s nhân v i ấ ố ơ
1, 0q q
thì t ngổ
1 2 1
1
... . 1
n
n n
q
S u u u u q
−
= + + + = −
e) M t s đinh lí v gi i h nộ ố ề ớ ạ
- N u ế
1q<
thì
lim 0
n
q=
- N u ế
1q>
thì
lim
n
q= +
- N u các dãy s ế ố
*
,
n n n
a b c n ∀ ﾥ
và
lim lim
n n
a c L= =
thì
lim
n
b L=
- N u dãy s ế ố
( )
n
u
tăng và b ch n trên thì ị ặ
( )
n
u
có gi i h n ớ ạ
N u dãy s ế ố
( )
n
u
gi m và b ch n d i thì ả ị ặ ướ
( )
n
u
có gi i h n.ớ ạ
2.2 N i dung nghiên c u c a đ tài.ộ ứ ủ ề
A. Ph ¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét
Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n
d¹ng :
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u b u f n N
α
+
= + =
trong ®ã a,b,
α
lµ c¸c h»ng sè ,a # 0 vµ
n
f
lµ biÓu thøc cña n cho tríc
D¹ng 1
T×m
n
u
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
1 1
, . . 0
n n
u a u b u
α
+
= + =
(1.1)
trong ®ã
, ,a b
α
cho tríc
*
n N
Ph¬ng ph¸p gi¶i
3
Tr ng THPT Tr n H ng Đo - Sáng Ki n Kinh Nghi m Năm h c: 2013 – ườ ầ ư ạ ế ệ ọ
2014
Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng
. 0a b
λ
+ =
®Ó t×m
λ
Khi ®ã
n
n
u q
λ
=
(q lµ
h»ng sè ) , trong ®ã q ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt
1
u
α
=
Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n, biÕt sè h¹ng ®Çu
tiªn b»ng 1 vµ c«ng béi b»ng 2
Bµi gi¶i Ta cã
1 1
2 , 1
n n
u u u
+
= =
(1.2)
Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm
2
λ
=
VËy
.2n
n
u c=
. Tõ
11u=
suy ra
1
2
c=
Do ®ã
1
2n
n
u−
=
D¹ng 2
T×m
n
u
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N
α
+
= + =
(2 .1)
trong ®ã
n
f
lµ ®a thøc theo n
Ph¬ng ph¸p gi¶i
Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng
. 0a b
λ
+ =
ta t×m ®îc
λ
Ta cã
0 *
n n n
u u u= +
Trong ®ã
0
n
u
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (1.1) vµ
*
n
u
lµ nghiÖm
riªng tuú ý cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) VËy
0.n
n
u q
λ
=
q lµ h»ng
sè sÏ ®îc x¸c ®Þnh sau
Ta x¸c ®Þnh
*
n
u
nh sau :
1) NÕu
#1
λ
th×
*
n
u
lµ ®a thøc cïng bËc víi
n
f
2) NÕu
1
λ
=
th×
*.
n n
u n g=
víi
n
g
lµ ®a thøc cïng bËc víi
n
f
Thay
*
n
u
vµo ph¬ng tr×nh, ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña
*
n
u
Bµi to¸n 2: T×m
n
u
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
*
1 1
2; 2 ,
n n
u u u n n N
+
= = +
(2.2)
Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
1 0
λ
− =
cã nghiÖm
1
λ
=
Ta cã
0 *
n n n
u u u= +
trong ®ã
( )
0 *
.1 ,
n
n n
u c c u n an b= = = +
Thay
*
n
u
vµo ph¬ng tr×nh (2.2) ta ®îc
4
Tr ng THPT Tr n H ng Đo - Sáng Ki n Kinh Nghi m Năm h c: 2013 – ườ ầ ư ạ ế ệ ọ
2014
( ) ( ) ( )
1 1 2n a n b n an b n+ + + = + +
� �
� �
(2.3)
thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh sau
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
+ = =
� �
� �
+ = = −
� �
Do ®ã
( )
1
n
u n n= −
Ta cã
( )
0 * 1
n n n
u u u c n n= + = + −
V×
12u=
nªn
( )
2 1 1 1 2c c= + − =�
VËy
( )
2
2 1 , 2
n n
u n n hay u n n= + − = − +
D¹ng 3
T×m
n
u
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u bu v n N
α µ
+
= + =
(3.1)
trong ®ã
n
f
lµ ®a thøc theo n
Ph¬ng ph¸p gi¶i
Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng
. 0a b
λ
+ =
ta t×m ®îc
λ
Ta cã
0 *
n n n
u u u= +
Trong ®ã
0.n
n
u c
λ
=
, c lµ h»ng sè cha ®îc x¸c ®Þnh ,
*
n
u
®îc x¸c ®Þnh nh
sau :
1) NÕu
#
λ µ
th×
*.n
n
u A
µ
=
2) NÕu
λ µ
=
th×
*. . n
n
u A n
µ
=
Thay
*
n
u
vµo ph¬ng tr×nh (3.1) ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè
cña
*
n
u
. BiÕt
1,u
tõ hÖ thøc
0 *
n n n
u u u= +
, tÝnh ®îc c
Bµi to¸n 3: T×m
n
u
tho¶ m·n ®iÒu kiÖn
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
+
= = +
(3.2)
Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng
3 0
λ
− =
cã nghiÖm
3
λ
=
Ta cã
0 *
n n n
u u u= +
trong ®ã
0 *
.3 , .2
n n
n n
u c u a= =
Thay
*.2n
n
u a=
vµo ph¬ng tr×nh (3.2) , ta thu ®îc
1
.2 3 .2 2 2 3 1 1
n n n
a a a a a
+= + = + = −� �
Suy ra
2n
n
u= −
Do ®ã
.3 2
n
n
u c n= −
v×
11u=
nªn c=1 VËy
3 2
n n
n
u= −
5
