Bài 6: Phương sai số thay đổi
79
BÀI 6. PHƯƠNG SAI SAI SỐ THAY ĐỔI
Mục tiêu
Sau khi kết thúc bài, học viên sẽ hiểu
được những vấn đề sau đây:
• Hiện tượng phương sai của sai số
(PSSS) thay đổi xảy ra khi nào?
• Hậu quả của PSSS thay đổi.
• Phát hiện PSSS thay đổi
• Các biện pháp khắc phục PSSS thay đổi
Nội dung Hướng dẫn học
• PSSS thay đổi là gì?
• Hậu quả của PSSS thay đổi.
• Phát hiện PSSS thay đổi.
• Khắc phục PSSS thay đổi.
Thời lượng
• 8 tiết
• Cần nắm được bản chất của hiện
tượng, đó là khi giả thiết của phương
pháp OLS không thỏa mãn.
• Tập trung vào hậu quả chính của hiện
tượng này đó là làm cho các ước
lượng OLS sẽ là các ước lượng không
hiệu quả.
• Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp
phát hiện ra hiện tượng.
• Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp
khắc phục hiện tượng.
Bài 6: Phương sai số thay đổi
80
TÌNH HUỐNG DẪN NHẬP
Tình huống
Ngân hàng Đầu tư và phát triển Việt Nam BIDV nghiên cứu về tiết
kiệm phụ thuộc vào tiêu dùng của người dân Hà Nội và người dân Lai
Châu cũng như các tỉnh ở miền Bắc, xảy ra khả năng là sự phân tán
của tiết kiệm của người dân Lai Châu sẽ nhỏ hơn so với phân tán
trong tiết kiệm của người dân Hà Nội.
Khi nghiên cứu một vấn đề nào đó bằng phương pháp kinh tế lượng,
ta đều sử dụng một mô hình hồi quy. Và để ước lượng mô hình hồi
quy, ta thường dùng phương pháp OLS (bài học số 3). Tuy nhiên, để
thực hiện được phương pháp OLS thì về mặt kỹ thuật, một giả thiết
trong mô hình cần thỏa mãn. Đó là giả thiết về sự bằng nhau của các
nhiễu ngẫu nhiên. Về bản chất thì giả thiết này muốn ngụ ý rằng sự phân tán trong các quan
sát của biến phụ thuộc là như nhau.
Câu hỏi
Vấn đề đặt ra, khi Ngân hàng BIDV nghiên cứu vấn đề trên bằng phương pháp kinh tế lượng
thì hậu quả sự phân tán tiết kiệm của người dân Hà Nội và Lai Châu khác nhau như vậy là gì?
Bài 6: Phương sai số thay đổi
81
Trong các bài trước chúng ta đã dùng phương pháp bình phương bé nhất để ước lượng các hệ số
của mô hình hồi quy. Để phương pháp đó có hiệu quả, ta phải xét mô hình hồi quy dưới một số
giả thiết, trong đó có một giả thiết rất quan trọng là các nhiễu ngẫu nhiên i
u có phương sai không
đổi. Một câu hỏi đặt ra là nếu giả thiết này bị vi phạm thì hậu quả sẽ thế nào? Đồng thời, làm thế
nào để phát hiện hiện tượng giả thiết đó bị vi phạm và khắc phục hiện tượng đó bằng cách nào?
Bài này xem xét các vấn đề nêu trên.
6.1. Nguyên nhân của hiện tượng phương sai sai số thay đổi
BÀI TOÁN
Thông thường mô hình hồi quy tuyến tính
i122i33i kkii
Y X X ... X u=β +β +β + +β + (6.1)
được nghiên cứu với giả thiết các nhiễu ngẫu nhiên i
u có
phương sai không đổi,
()
()
22
ii
Var u E u==σ, i1,n∀= (6.2)
Vậy khi điều kiện (6.2), tức là các i
u có phương sai thay đổi,
()
(
)
ij
Var u Var u≠ ij∀≠
thì mô hình (6.1) bị ảnh hưởng như thế nào?
Có nhiều nguyên nhân làm phương sai của các sai số i
u khác nhau, có thể kể đến một
số nguyên nhân như sau:
• Trong số liệu có hiệu ứng "học tập", giống như thời gian luyện tập sẽ giúp thành
tích thi đấu của vận động viên ngày càng ổn định, tức là phương sai của sai số sẽ
giảm dần.
• Số liệu bị ảnh hưởng của hiện tượng "mỏi" hoặc "lão hóa". Chẳng hạn như vào đầu
ca làm việc, công nhân sẽ tỉnh táo hơn và ít sai sót hơn so với các thời điểm sau;
máy móc mới sẽ cho ra các sản phẩm đồng đều hơn so với thời gian sau đó, khi
dần dần các chi tiết máy bị mòn.
• Quy mô của quan sát ảnh hưởng đến độ "tự do" của số liệu. Ví dụ khi tiến hành
điều tra về chi phí tiêu dùng và thu nhập của hộ gia đình, ta thấy những hộ gia đình
có thu nhập thấp thì việc chi tiêu của họ không mấy linh động, phần lớn thu nhập
của những hộ này sẽ tập trung vào các nhu cầu thiết yếu như thực phẩm, quần áo,
chỗ ở, đi lại. Như thế chi tiêu của nhóm có thu nhập thấp tương đối đồng đều,
không biến động nhiều. Trong khi đó đối với nhóm có thu nhập cao thì ngoài việc
chi cho những nhu cầu thiết yếu, họ còn có khả năng lựa chọn chi tiêu cho du lịch,
giải trí, hoặc đầu tư hay không vào các lĩnh vực bất động sản, chứng khoán, … Do
vậy biến động về chi tiêu của nhóm này sẽ lớn.
• Định dạng mô hình sai, điều này xảy ra do có sự bỏ sót biến hoặc dạng hàm hồi
quy không được lựa chọn phù hợp.
Bài 6: Phương sai số thay đổi
82
• Do tác động của các quan sát ngoại lai, là những quan sát có giá trị quá nhỏ hoặc
quá lớn so với những quan sát khác trong mẫu.
• Kỹ thuật thu thập số liệu không đồng đều, cung cấp số liệu với chất lượng khác nhau.
6.2. Hậu quả của phương sai sai số thay đổi
Khi giả thiết phương sai sai số không thay đổi của mô
hình hồi quy bị phá vỡ thì sẽ dẫn tới một số hậu quả như
• Các ước lượng bình phương nhỏ nhất của các hệ số
tuy vẫn là ước lượng không chệch nhưng không
phải là ước lượng hiệu quả, tức là không phải là ước
lượng có phương sai bé nhất;
• Phân phối xác suất của các thống kê sử dụng trong
mô hình không xấp xỉ phân phối t hoặc phân phối F
như đòi hỏi của cơ sở lý thuyết, do đó việc sử dụng
các khoảng tin cậy hay tiến hành kiểm định giả thuyết dựa trên hai phân phối đó sẽ
không còn đáng tin cậy và dễ dẫn tới các kết luận sai lầm.
6.3. Phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi
Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số các phép kiểm định để phát hiện có hiện tượng
phương sai sai số thay đổi. Xét mô hình hồi quy bội
i122i33i kkii
Y X X ... X u=β +β +β + +β + (6.3)
với:
()
22
ii
Eu =σ
(
)
i1,n=.
Để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi, ta có thể sử dụng một trong ba mô
hình hồi quy phụ sau đây :
2
i122i33i ppi
Z Z ... Zσ=α+α +α + +α ; (6.3a)
i122i33i ppi
Z Z ... Zσ=α+α +α + +α ; (6.3b)
2
i122i33i ppi
ln Z Z ... Zσ=α+α +α + +α ; (6.3c)
(
)
2
i122i33ippi
exp Z Z ... Z⇒σ = α +α +α + +α .
Các mô hình hồi quy phụ này chứa p hệ số chưa biết và Zp là các biến với những
giá trị đã biết (có thể một số
p
Z hoặc là tất các biến đó được thành lập từ các biến
độc lập i
X của mô hình hồi quy (6.3)).
BÀI TOÁN
Bài toán kiểm định: 02 3 p
1i
H : ... 0
H: 0
α=α= =α=
⎧
⎪
⎨∃α ≠
⎪
⎩
Nếu giả thuyết 0
H được chấp nhận thì có nghĩa là phương sai sai số trong mô hình (6.3)
không thay đổi, ngược lại là có hiện tượng phương sai thay đổi.
Bài 6: Phương sai số thay đổi
83
Bài toán kiểm định trên được thực hiện cho các mô hình hồi quy phụ nhằm đưa ra kết
luận về tính thuần nhất của phương sai sai số trong mô hình hồi quy chính, cung cấp
các phép kiểm định cụ thể bao gồm
• Kiểm định Breusch-Pagan sử dụng mô hình (6.3a);
• Kiểm định Glejser sử dụng mô hình (6.3b);
• Kiểm định Harvey-Godfrey sử dụng mô hình (6.3c).
Ngoài ra, còn có thể kể tới kiểm định Park như
một trường hợp đặc biệt của kiểm định Harvey-
Godfrey.
Trong các phép kiểm định trên, dữ liệu của 2
i
σ
được ước lượng từ (6.3) bằng phương pháp OLS,
sau đó ta lấy 2
i
ˆ
u thay cho 2
i
σ
, i
ˆ
u thay cho i
σ
và
()
2
i
ˆ
ln u thay cho
()
2
i
ln σ. Các bước tiến hành như sau:
Bước 1: Dùng phương pháp OLS để ước lượng các hệ số i
ˆ
β
trong phương trình hồi
quy (6.3).
Bước 2: Tính các phần dư:
ii122i kki
ˆ
u Y X ... X=−β−β −−β .
Bước 3a: Bình phương các phần dư i
ˆ
uđể gán vào 2
i
σ
rồi ước lượng các hệ số i
ˆ
α
của
mô hình hồi quy phụ (6.3a) bằng phương pháp OLS.
Bước 3b: Tính giá trị tuyệt đối i
ˆ
u của các phần dư để gán vào vị trí của i
σ trong mô
hình hồi quy phụ (6.3b) và thực hiện phương pháp OLS để tìm các ước lượng i
ˆ
α.
Bước 3c: Lấy
()
2
i
ˆ
ln u thế vào vị trí của
(
)
2
i
ln
trong mô hình hồi quy phụ (6.3c) và
ước lượng bằng phương pháp OLS để tìm i
ˆ
α
.
Bước 4: Tính giá trị tiêu chuẩn thống kê 22
nRχ= với n là số quan sát (cỡ mẫu), 2
R
là hệ số xác định.
Bước 5: Tính xác suất ý nghĩa
{
}
22
p1
PP −
=
χ>χ, trong đó 2
p
1
−
χ
là biến ngẫu nhiên có
phân phối khi-bình phương với p-1 bậc tự do.
Bước 6: Với mức ý nghĩa
α
đã định (thường
α
được cho bằng 5%), nếu p
<
α thì
bác bỏ giả thuyết 0
Hvà kết luận có sự biến động của phương sai sai số, nếu ngược lại
thì chấp nhận giả thuyết và khẳng định tính thuần nhất của phương sai sai số trong
mô hình hồi quy.
Chú ý: Có thể thay thế việc tính xác suất ý nghĩa P của bước 5 bằng việc tra bảng phân
phối khi-bình phương với p-1 bậc tự do để tìm giá trị tới hạn 2
p1
()
−
χ
α. Tiếp đó so sánh
giá trị của tiêu chuẩn thống kê 2
χ
với giá trị tới hạn 2
p
1
−
χ
tìm được, nếu 22
p1
()
−
χ>χ α
thì bác bỏ giả thuyết 0
H.
Ngoài các phương pháp kiểm định trên còn có các phương pháp kiểm định White và
kiểm định F cũng được dùng để kiểm định tính thuần nhất của các phương sai sai số
trong các mô hình hồi quy tuyến tính. Cụ thể,