Giới thiệu
Tập tài liệu này là kết quả của việc tổng hợp tài liệu từ nhiều nguồn chia sẻ miễn phí trên internet. Bên
cạnh việc tổng hợp, tập tài liệu này còn trình bày một số ví dụ cơ bản với lời giải chi tiết để các em học sinh
có thể tham khảo và vận dụng vào giải các bài tập kèm theo. Trong quá trình soạn thảo chắc chắn không
tránh khỏi sai sót. Vì thế rất mong nhận được thông tin phản hồi từ bạn đọc để kịp thời chỉnh sửa. (Sẽ rất
vui khi nhận được thông tin phản hồi của mọi người tại blog cá nhân: http://toanvalatex.blogspot.com)
Cuối cùng, tài liệu này xin được chia sẻ miễn phí với mọi người. Nếu tài liệu may mắn được trang
mạng khác đăng tải lại thì người đăng tải vui lòng giữ nguyên tài liệu, không đóng dấu bất cứ nội dung
gì khác lên trên tài liệu. Xin chân thành cảm ơn.
Lê Hồng Phi.
Giải phương trình chứa căn thức
1. Phương pháp biến đổi tương đương
Ví dụ 1. Giải phương trình √3x2+x−4 = x+ 1.
Giải. Ta có
√3x2+x−4 = x+ 1 ⇔
x+ 1 ≥0
3x2+x−4 = (x+ 1)2
⇔
x≥ −1
2x2−x−5 = 0 ⇔
x≥ −1
x=1 + √41
4
x=1−√41
4
⇔x=1 + √41
4.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x=1 + √41
4.
Ví dụ 2. Giải phương trình √x−2 + √7−x= 3.
Giải. Điều kiện
x−2≥0
7−x≥0⇔
x≥2
x≤7⇔2≤x≤7.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√x−2 + √7−x2= 9
⇔x−2 + 2p(x−2)(7 −x) + 7 −x= 9
⇔√−x2+ 9x−14 = 2
⇔ − x2+ 9x−14 = 4
⇔ − x2+ 9x−18 = 0
⇔"x= 3
x= 6
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x= 3; x= 6.
Ví dụ 3. Giải phương trình √5x−1−√x−1 = √2x−4.
Giải. Điều kiện
5x−1≥0
x−1≥0
2x−4≥0
⇔
x≥1
5
x≥1
x≥2
⇔x≥2.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương với
√5x−1 = √2x−4 + √x−1
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 3
⇔5x−1 = 2x−4 + 2p(2x−4)(x−1) + x−1
⇔x+ 2 = √2x2−6x+ 4
⇔(x+ 2)2= 2x2−6x+ 4 (Vì x≥2)
⇔x2−10x= 0
⇔"x= 0
x= 10
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có một nghiệm x= 10.
Bài tập. Giải các phương trình sau
1. √2x2+ 4x−1 = x+ 1,
2. √x+ 3 + √6−x= 3,
3. √4x+ 1 + √3x−2 = 5,
4. (x+ 3)√10 −x2=x2−x−12,
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
2.1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình đơn giản hơn
Ví dụ 4. Giải phương trình x
x+ 1 −2rx+ 1
x= 3.
Giải. Điều kiện x∈(−∞;−1) ∪(0; +∞).
Đặt t=rx+ 1
x, t > 0. Ta có x
x+ 1 =1
t2.
Phương trình đã cho trở thành
1
t2−2t= 3
⇔2t3+ 3t2−1 = 0
⇔(t+ 1)(2t2+t−1) = 0
⇔
t=−1 (loại)
t=1
2
Với t=1
2thì rx+ 1
x=1
2⇔x+ 1
x=1
4⇔4(x+ 1) = x⇔3x=−4⇔x=−4
3.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm x=−4
3.
Ví dụ 5. Giải phương trình √x2−3x+ 3 + √x2−3x+ 6 = 3.
Giải. Ta có
x2−3x+ 3 = x−3
22
+3
4>0∀x∈R
x2−3x+ 6 = x−3
22
+15
4>0∀x∈R
Đặt t=√x2−3x+ 3, t > 0.
4Giải phương trình chứa căn thức
Phương trình đã cho trở thành
t+√t2+ 3 = 3
⇔√t2+ 3 = 3 −t
⇔
3−t≥0
t2+ 3 = 9 −6t+t2
⇔
t≤3
t= 1
⇔t= 1
Với t= 1 thì √x2−3x+ 3 = 1 ⇔x2−3x+ 3 = 1 ⇔x2−3x+ 2 = 0 ⇔"x= 1
x= 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x= 1; x= 2.
Ví dụ 6. Giải phương trình 5√x+1
2√x= 2x+1
2x+ 4.
Giải. Điều kiện x > 0.
Đặt t=√x+1
2√x, t ≥2r√x·1
2√x=√2.
Khi đó, t2=x+1
4x+ 1 và 2x+1
2x= 2t2−2.Như vậy phương trình đã cho trở thành
5t= 2t2−2 + 4
⇔2t2−5t+ 2 = 0
⇔
t= 2
t=1
2(loại)
Với t= 2 thì
√x+1
2√x= 2
⇔2√x2−4√x+ 1 = 0
⇔
√x=2 + √2
2
√x=2−√2
2
⇔
x=3 + 2√2
2
x=3−2√2
2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x=3 + 2√2
2, x =3−2√2
2.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 5
Nhận xét. Nếu ta không biết đánh giá t≥2r√x·1
2√x=√2thì đặt điều kiện ít chặt hơn là t > 0.
Sau đó giải như trong ví dụ thì khi t=1
2ta sẽ có phương trình
√x+1
2√x=1
2⇔2√x2−√x+ 1 = 0 vô nghiệm.
Ví dụ 7. Giải phương trình √x+ 3 + √6−x−p(x+ 3)(6 −x) = 3.
Giải. Điều kiện −3≤x≤6.
Đặt t=√x+ 3 + √6−x, t ≥0.
Khi đó, t2= 9 + 2p(x+ 3)(6 −x)và p(x+ 3)(6 −x) = t2−9
2.
Phương trình đã cho trở thành
t−t2−9
2= 3
⇔ − t2+ 2t+ 3 = 0
⇔"t=−1 (loại)
t= 3
Với t= 3 thì √x+ 3 + √6−x= 3 ⇔"x= 6
x=−3.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm: x= 6; x=−3.
Nhận xét. Trong phương trình đã cho, người ta có thể biến đổi (x+ 3)(6 −x) = −x2+ 3x+ 18 để có
được phương trình √x+ 3 + √6−x−√−x2+ 3x+ 18 = 3
thoạt nhìn có vẻ "phức tạp". Vì vậy khi gặp phương trình có chứa biểu thức dưới dấu căn là một đa thức
bậc hai hoặc bậc 3 thì ta thử tìm nghiệm của nó và phân tích thành nhân tử để tìm mối liên quan với các
biểu thức còn lại trong phương trình.
Ví dụ 8. Giải phương trình √7x+ 7 + √7x−6 + 2√49x2+ 7x−42 = 181 −14x.
Giải. Điều kiện
7x+ 7 ≥0
7x−6≥0
49x2+ 7x−42 ≥0
⇔
x≥ −1
x≥6
7
x∈(−∞;−1] ∪6
7; +∞⇔x≥6
7.
Đặt t=√7x+ 7 + √7x−6, t ≥0.
Khi đó, t2= 14x+ 1 + 2√49x2+ 7x−42.
Phương trình đã cho trở thành
t2+t−182 = 0