CHUYÊN ĐỀ 1:
Phương trình và hệ phương trình.
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
Bài 1:Gpt:
2 2 2
2
2 2 4
10. 11. 0.
1 1 1
x x x
x x x
Giải:
Đặt
2 2
;
1 1
x x
u v
x x
(1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0
(u-v).(10u-v)=0
u=v hoặc 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
(u-1).(u+1)-15=0
u2-16=0
u=
4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 3:Gpt:
2
90.
1 1
x x
x x
Giải:PT
2
2 2
1 1
. 90
( 1) ( 1)
xx x
.
2
2
2 2
2 2
. 90
( 1)
x
xx
.
Đặt u = x2 ( u
0) (1).
Ta có:
2 2
2
2 2
. 90 2 2 90.( 1)
( 1)
u
u u u u
u
( u
1).
09018288 2 uu .
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt: 3 3 3
2 3 12.( 1)
x x x
.
Giải:
Đặt 3 3
; 2 3
x u x v
(1).
Có: ).(4).(3).(4 3333
333 vuvuuvvuvuvu
vu
vu
vuvuvuvuvu 0)).(.(30)2).(.(3 222
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 5:Gpt: x
x
xxx 3
2
2
1
2335
2
23 (1).
Giải:
Từ (1) suy ra: 162335.2 223 xxxxx
xxxxxxxx 122121368121220 232423
0924228 234 xxxx (x
0). 0
924
228 2
2
x
x
xx .
Đặt y
x
x 3 (*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt:
).1(018
4
1
).4.(3)4.(1
x
x
xxx
Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
018)4).(1(.3)4).(1( xxxx
Đặt 0)4).(1( yxx (2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
*Nếu x < -1, (1) trở thành:
018)4).(1(.3)4).(1( xxxx
Đặt 0)4).(1( yxx (3) ta có:
y2 - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.
Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1) 0122044 234 xxxx (x
0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
4x2 + 4x -20 + 2
12
x
x
= 0.
024
1
2.2
1
2
2
x
x
x
x. Đặt y =
x
x1
2.(2)
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 8:Gpt: .0168.26416 222 xxxxx
Giải:PT .04.28 xxx
x -
0 4 8 +
x-8 - - - 0 +
x-4 - - 0 + +
x - 0 + + +
Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.
Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
Giải:
423242 5552221 xxxxxxx
4 3 2 4 3 2
4 2 2 2 4 0 2 2 0
x x x x x x x x
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x
0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
2x2 - x + 1 - 0
21
2
x
x
. Đặt y =
x
x1
(*). Ta có:
2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.
Giải:
Đặt 7 - x = y (*).