Sáng kiến kinh nghiệm: Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chọn “điểm rơi” trong bất đẳng thức Cauchy

TRANG Ụ Ụ Ụ Ụ M C L C M C L C

2 Ầ Ở Ầ A. PH N M Đ U

2 Ề I. LÝ DO CH NỌ Đ TÀI

2 ậ ơ ở 1.C s lý lu n:

2 ứ ự ề ạ ủ ấ 2.Th c tr ng c a v n đ nghiên c u:

2 Ố ƯỢ Ứ II .Đ I T NG NGHIÊN C U 3 Ụ Ủ Ứ Ệ III. NHI M V C A NGHIÊN C U 3 ƯƠ Ứ IV. PH NG PHÁP NGHIÊN C U

4 4 Ầ Ộ B . PH N N I DUNG

Ự Ả Ệ I. GI I PHÁP TH C HI N 4

Ổ Ứ Ự Ệ Ệ II. BI N PHÁP T CH C TH C HI N 4 ứ ế 1.Ki n th c toán có liên quan

4 ườ ặ ươ ộ ố 2.M t s bài toán th ng g p và ph ế ng pháp ti p

ề 6 c n ậ v n đấ

ơ ể ạ ậ ỹ ự ọ D ng 1:K thu t ch n đi m r i trong bài toán c c

trị 11 ả ạ X y ra t i biên

20 ơ ể ạ ậ ỹ ự ọ D ng 2:K thu t ch n đi m r i trong bài toán c c

trị 20 20 ả ạ X y ra t i tâm

20 Ậ Ế C. K T LU N

ả ạ ượ ế 1 .K t qu đ t đ c

ọ ệ 2 .Bài h c kinh nghi m

ệ ả 3 .Tài li u tham kh o

Ở Ầ Ầ A.PH N M Đ U

I. LÝ DO CH NỌ Ề Đ TÀI

ơ ở ậ 1.C s lý lu n:

ị ớ ủ ể ấ ấ ỏ ộ ị ứ Bài toán tìm giá tr nh nh t (GTNN), giá tr l n nh t (GTLN) c a m t bi u th c

ấ ẳ ữ ứ ạ ộ ộ là m t bài toán b t đ ng th c và đây là m t trong nh ng d ng toán khó ở ươ ch ng trình

ề ổ ọ ỏ ạ ọ ể ẳ ph thông. Trong đ thi h c sinh gi i THPT hay tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng hàng

ố ệ ố ộ ườ năm(nay là Thi t t nghi p THPT Qu c Gia), n i dung này th ấ ng xu t hi n ệ ở ạ d ng

câu khó nh t. ấ

ồ ưỡ ả ạ ớ ứ ế Qua quá trình gi ng d y trên l p:B i d ng nâng cao ki n th c cho HS khá

ệ ấ ạ ọ ố ệ ố gi ỏ ồ ưỡ i,b i d ng thi HSG các c p,luy n thi Đ i H c(Thi t t nghi p THPT Qu c Gia) tôi

ượ ộ ố ệ ề ấ ộ đã tích lũy đ c m t s kinh nghi m cho n i dung này. Các v n đ trình bày trong

ề ượ ứ ạ ớ ụ ế ả ệ sáng ki n kinh nghi m là chuyên đ đ c ng d ng trong gi ng d y l p b i d ồ ưỡ ng

ứ ế ọ ỏ ớ ệ ọ ỏ nâng cao ki n th c cho h c sinh khá gi i l p 10,luy n thi h c sinh gi ệ i và tôt nghi p

ố ọ ớ ượ ế ả ạ THPT Qu c Gia cho h c sinh l p 12 đã đ ề c đúc k t trong quá trình gi ng d y nhi u

ắ ủ ớ ự ầ ổ ườ năm cùng v i s góp ý sâu s c c a các th y cô giáo trong t Toán tr ng THPT Lê

L i.ợ

ự ứ ề ạ ủ ấ 2.Th c tr ng c a v n đ nghiên c u:

ấ ẳ ự ế ầ ạ ọ ứ Khi d y h c sinh ph n b t đ ng th c hay bài toán tìm GTLN,GTNN th c t đa s ố

ấ ế ắ ở ậ ọ h c sinh r t b t c ỹ cách dùng k thu t này.

ộ ị ướ ượ ấ ẳ ứ ườ M t là: không đ nh h ng đ c cách dùng b t đ ng th c Cauchy trong tr ợ ng h p

nào.

ế ầ ấ ẳ ứ ế ậ Hai là: bi t c n dùng b t đ ng th c Cauchy cho bài toán ,xong không bi ụ t v n d ng

ấ ố ữ ầ ố ợ ỏ cho m y s và nh ng s nào thì h p lý,th a mãn yêu c u bài toán.

ị ườ ủ ề ả ạ ệ Trong khi đó,hi n nay trên th tr ấ ng sách tham kh o có r t nhi u ch ng lo i sách

ớ ả ế ở ạ ờ ả cùng v i hàng trăm tác gi ầ và đa ph n sách vi d ng trình bày l t i gi i không có s ự

ả ẽ ặ ặ ọ ọ ị phân tích,gi i thích c n k làm cho h c sinh khi đ c sách b gò bó,áp đ t,không t ự

nhiên.

Ố ƯỢ Ứ II .Đ I T NG NGHIÊN C U

ệ ọ ế ể ậ ơ ỹ Rèn luy n cho h c sinh bi ấ ẳ ọ t cách khai thác k thu t ch n đi m r i trong b t đ ng

ấ ẳ ứ ứ ị ạ ự th c Cauchy qua các bài toán tìm c c tr hay ch ng minh b t đ ng th c. ứ Phân lo i bài

ườ ặ ả ỗ ạ ậ t p th ng g p và cách gi i cho m i d ng.

Ụ Ủ Ệ Ứ III. NHI M V C A NGHIÊN C U :

ệ ố ướ ể ậ ậ ẫ ọ ơ ọ ỹ Trình bày k thu t ch n đi m r i thông qua h th ng bài t p. H ng d n h c sinh

ả ụ ể ừ ộ ố ồ ưỡ ế ố ọ gi i quy t các bài toán trong m t s tình hu ng c th . T đó b i d ng cho h c sinh

ả ả ư ạ ỹ k năng gi i toán và kh năng t duy sáng t o .

ƯƠ Ứ IV. PH NG PHÁP NGHIÊN C U

ươ ứ ậ ứ ệ ậ Nghiên c u sách giáo khoa bài t p ,sách tài li u 1. Ph ng pháp nghiên c u lý lu n:

ạ ọ ề ạ và các đ thi HSG,thi Đ i h c,m ng internet.

ươ ự ễ ề ờ ệ ạ ầ ọ ự D gi ậ ,quan sát vi c d y và h c ph n bài t p 2. Ph ng pháp đi u tra th c ti n :

này.

ươ ư ạ ự ệ 3. Ph ng pháp th c nghi m s ph m

ươ ố 4 .Ph ng pháp th ng kê

Ầ Ộ B . PH N N I DUNG

ả ệ I. Các gi ự i pháp th c hi n.

ế ậ ả ọ ế ậ ạ ượ t nh n d ng đ c bài toán Khi ti p c n các bài toán, giáo viên ph i giúp h c sinh bi

ự ợ ướ ự ẫ ọ ể ư đ đ a ra các d đoán h p lý. Sau đó h ng d n h c sinh phân tích ,xây d ng ph ươ ng

ả ợ pháp gi i phù h p.

ệ ổ ứ ệ II. Bi n pháp t ự ch c th c hi n.

ấ ẳ ử ụ ứ ể ể ậ ọ ọ ơ ỹ Đ giúp h c sinh s d ng k thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c Cauchy khi

ả ị ớ ế ấ ấ ỏ ị gi ứ i quy t các bài toán tìm Giá tr l n nh t (GTLN) ,giá tr nh nh t(GTNN) hay ch ng

ấ ẳ ứ ướ ế ế ầ ầ ậ minh b t đ ng th c, tr ọ c h t giáo viên c n yêu c u h c sinh ôn t p các ki n th c c ứ ở

ề ấ ẳ ộ ố ứ ạ ợ ọ ể ả b n v b t đ ng th c . Sau đó giáo viên phân d ng phù h p,ch n m t s bài toán đi n

ỹ ỹ ể ể ạ ắ ậ ợ ọ ơ ấ hình phù h p cho các d ng giúp HS hi u và n m k k thu t ch n đi m r i trong b t

ứ ẳ đ ng th c Cauchy.

ứ ế 1. Ki n th c toán có liên quan

(cid:0) ứ ấ ủ ấ ẳ Tính ch t c a b t đ ng th c:

+ A>B + A>B và B >C + A>B A+C >B + C

+ A>B và C > D A+C > B + D

ớ

+ A>B và C > 0 A.C > B.C + A>B và C < 0 A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C B > 0 A > B ẻ ớ + A > B A > B v i n l ẵ + > A > B v i n ch n + m > n > 0 và A > 1 A >A + m > n > 0 và 0 0 (cid:0) ấ ẳ ứ ạ ươ ươ B t đ ng th c Cauchy và d ng t ng đ ng:

ấ ẳ ứ ố B t đ ng th c Cauchy cho 2 s :

ả ấ ằ ố Cho 2 s không âm a,b thì ta luôn có: .D u b ng x y ra khi a=b.

ứ ạ ấ ẳ ươ ươ B t đ ng th c d ng t ng đ ng:

(a+b)2 ≥ 4ab

ấ ẳ ứ ố B t đ ng th c cauchy cho 3 s :

ả ấ ằ ố Cho 3 s không âm a,b,c thì ta luôn có: .D u b ng x y ra khi a=b=c.

ứ ạ ấ ẳ ươ ươ B t đ ng th c d ng t ng đ ng.

ấ ẳ ứ ố B t đ ng th c cachy cho 4 s :

ằ ả ấ ố Cho 4 s không âm a,b,c,d thì ta luôn có: .D u b ng x y ra khi a=b=c.

ứ ạ ấ ẳ ươ B t d ng th c d ng t ng t ự :

ổ

ố ự

Cho n s th c không âm

, , ta luôn có:

T ng quát:

ấ

ả

ỉ

D u “=” x y ra khi và ch khi

(cid:0) ị ỏ ấ ủ ị ớ ứ ể ấ Giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c:

ị

ả ử

ậ

ợ

ố

Gi

ị s hàm s xác đ nh trên t p h p .

* Đ nh nghĩa.

ế ồ ạ

ố ượ ọ

ể

ộ

ớ

ọ

ị ớ giá tr l n nh t

i m t đi m sao cho v i m i thì s đ

c g i là

ủ ấ c a hàm

a) N u t n t

ệ

ố s trên , kí hi u là .

ế ồ ạ

ố ượ

ể

ộ

ớ

ọ

ỏ

ị

giá tr nh nh t

i m t đi m sao cho v i m i thì s đ

ọ c g i là

ấ c aủ

b) N u t n t

ệ

ố

hàm s trên , kí hi u là .

ư ậ

ứ

ố

ỏ ằ

ị ớ

ặ

ấ

ặ

ố

Nh v y, mu n ch ng t

r ng s (ho c ) là giá tr l n nh t (ho c giá tr

ị

ậ * Nh n xét.

ủ

ậ

ầ

ấ

ố

ỏ

ợ

ỉ

nh nh t) c a hàm s trên t p h p c n ch rõ

:

ặ

ớ

ọ ;

a) (ho c ) v i m i

ồ ạ

ể

ặ

ấ

ộ

i ít nh t m t đi m sao cho (ho c ).

b) T n t

ườ ặ ươ ế ậ ấ ộ ố ng g p và ph ề ng pháp ti p c n v n đ :

2. M t s bài toán th

ộ ệ M t vài khái ni m:

ị ạ ượ ủ ứ ế ể ơ ấ ẳ Đi m r i trong các b t đ ng th c là giá tr đ t đ ấ ấ c c a bi n khi d u “=” trong b t

ứ ả ẳ đ ng th c x y ra.

ứ ấ ấ ẳ ườ ở ườ Trong các b t đ ng th c d u “=” th ả ng x y ra các tr ợ ng h p sau:

(cid:0) Khi các bi n có giá tr t ế

ị ạ ọ i biên. Khi đó ta g i bài toán có ự ị ạ ượ ạ c c tr đ t đ i c t

biên

(cid:0) Khi các bi n có giá tr b ng nhau(th

ị ằ ế ườ ứ ố ứ ể ả ớ ng x y ra v i bi u th c đ i x ng ). Khi

ọ đó ta g i bài toán có ự ị ạ ượ ạ c c tr đ t đ c t i tâm.

ủ ấ ấ ẳ ứ ứ ề ệ ả ậ ỹ ọ Căn c vào đi u ki n x y ra c a d u “=” trong b t đ ng th c ta xét các k thu t ch n

ể ơ ườ đi m r i trong các tr ợ ng h p trên.

ị ả ự ọ ể ạ ậ ỹ ở ơ D ng 1:K thu t ch n đi m r i trong bài toán c c tr x y ra biên

Ở Ầ BÀI TOÁN M Đ U:

ố ự ủ ấ ỏ ị Bài toán 1: Cho s th c . Tìm giá tr nh nh t (GTNN) c a

ườ ặ ọ ườ ụ : Khi g p bài toán này h c sinh th ấ ẳ ng áp d ng ngay b t đ ng ầ Sai l m th ặ ng g p là

ứ ậ th c Cauchy:. V y GTNN c a ủ A là .

ư ề ệ ấ ằ ả Nguyên nhân sai l mầ : Ch a xét đi u ki n d u b ng x y ra

ấ ả Ta th y:GTNN c a ủ A là 2 <1 vô lý vì theo gi ế thuy t thì .

ờ ả : L i gi i đúng

ấ ả ỏ ả ế D u “=” x y ra th a mãn gi thi t.

ậ V y GTNN c a ủ A là .

ạ ế ượ ư ờ ả ậ ỹ Vì sao chúng ta l i bi t phân tích đ c nh l i gi ọ i trên. Đây chính là k thu t ch n

ấ ẳ ứ ể ơ đi m r i trong b t đ ng th c.

ạ ự ạ Quay l i bài toán trên, d th y ễ ấ a càng tăng thì A càng tăng. Ta d đoán A đ t GTNN

ạ ấ ẳ ụ ể khi . Khi đó ta nói A đ t GTNN t i “ ứ ơ ” . Ta không th áp d ng b t đ ng th c ể ạ Đi m r i

ắ ấ ậ ả ặ ố ỏ Cauchy cho hai s 3và vì không th a quy t c d u “=”. Vì v y ta ph i tách 3 ho c đ ể

ấ ẳ ụ ứ ắ ấ ỏ ả ử khi áp d ng b t đ ng th c Cauchy thì th a quy t c d u “=”. Gi ấ ử ụ s ta s d ng b t

ặ ố ứ ơ ồ ẳ đ ng th c Cauchy cho c p s sao cho t i “ ơ ” thì , ta có s đ sau: ể ạ Đi m r i

ư ậ ụ ả ậ ả ấ ệ ố ạ ố Nh v y ph i áp d ng BĐT Cauchy cho 2 s hay .V y thì ph i làm xu t hi n s h ng

ờ ả Khi đó: và ta có l i gi ư i nh trên.

ể ả ọ ặ ố ể ọ ặ ố i bài toán trên, ngoài cách ch n c p s ta có th ch n các c p s sau: Đ gi L u ý:ư

ặ ặ ho c ho c .

ố ự ấ ủ ỏ ị Bài toán 2: Cho s th c . Tìm giá tr nh nh t c a

ơ ồ ể ệ ừ ể ỏ ọ ơ Kinh nghi m t ạ bài toán 1 giáo viên có th h i h c sinh GTNN đ t S đ đi m r i:

ượ ả ờ ọ ượ đ c khi nào và h c sinh tr l i ngay đ c khi a=2.Khi đó GTNN là A=

ướ ậ ơ ồ ể ẫ ọ ơ Giáo viên h ng d n h c sinh l p s đ đi m r i sau:

ườ ấ ả : . D u “=” x y ra . ầ Sai l m th ặ ng g p là

ậ V y GTNN c a ủ A là

ặ ư ố ả ủ A là là đáp s đúng nh ng cách gi i trên Nguyên nhân sai l mầ : M c dù GTNN c a

ẫ ố ắ ầ m c sai l m trong đánh giá m u s : “ là sai”.

ụ ượ ế ể ắ ậ ậ ủ ầ ậ ấ ị ở ẫ V y làm th nào đ kh c ph c đ c sai l m trên?nh n đ nh th y b c c a a m u

ố ạ ủ ả ặ ậ ậ ớ ằ b ng 2,v y ph i ghép c p v i 2 s h ng b c 1 c a a.

ờ ả ậ ả ỹ ị : (k thu t tách ngh ch đ o) L i gi i đúng

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

BÀI T PẬ RÈN LUY N:Ệ

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b th a . Tìm GTNN c a Bài 1: Cho 2 s th c d

Phân tích:

Ta có:

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

Ta có:

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ủ Bài 2: Cho s th c . Tìm GTNN c a

Phân tích:

Ta có

ự ạ D th y ễ ấ a càng tăng thì A càng tăng. Ta d đoán ơ ồ ể A đ t GTNN khi . Ta có s đ đi m

r i:ơ

Gi i:ả C1 :

Ta có:

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là 39

C2 :chon α sao cho αa2= khi a = 6 suy ra α= 1/12.

A =

Bài 3 (Đề thi HSG HÀ Nội-2013) :cho x,y dương thỏa mãn :x≥ 2y.Tìm GTNN của :

Phân tích : Đưa S về dạng. Dấu bằng xảy ra khi x= 2y

Khi x=2y nên

ả ế (Do gi thi t )

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b, c th a . Tìm GTNN c a Bài 4: Cho 3 s th c d

Phân tích:

ạ ượ ự ạ ể ơ D đoán GTNN c a ủ A đ t đ c khi ,t i đi m r i .

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

ư Gi i:ả Ta phân tích nh sau:

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ươ ứ ằ ỏ ng a, b, c th a . Ch ng minh r ng: Bài 5: Cho3 s th c d

Phân tích:

ạ ượ ự ạ ể ơ D đoán GTNN c a ủ A đ t đ c khi ,t i đi m r i .

Gi i:ả

ấ ẳ ụ ứ Áp d ng b t đ ng th c Cauchy ta có:

ấ ẳ ứ ế ộ ượ C ng theo v các b t đ ng th c trên ta đ c:

(đpcm)

ị ạ ượ ạ ự ơ ọ ể ạ ậ ỹ D ng 2:K thu t ch n đi m r i trong bài toán c c tr đ t đ c t i tâm

Ở Ầ : BÀI TOÁN M Đ U

Bài toán 1:Cho a,b>0.Tìm min c a ủ

ườ ầ Sai l m th ặ ng g p là:

ư ề ệ ả ấ “=” x y ra. Nguyên nhân sai l mầ :ch a xét đi u ki n d u

minS= 2 khi vô lý.

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do S là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ủ khi đó GTNN c a A=

ấ ẳ ứ ụ ể ố ỏ ắ Ta không th áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho hai s vì không th a mãn quy t c

ấ ẳ ứ ụ ể ả ậ ặ ỏ ấ d u “=”. Vì v y ta ph i tách ho c đ khi áp d ng b t đ ng th c Cauchy thì th a quy

ấ ả ử ặ ố ấ ẳ ử ụ ứ ắ t c d u “=”. Gi s ta s d ng b t đ ng th c Cauchy cho c p s sao cho t i “ ạ Đi mể

ơ ồ r iơ ” thì , ta có s đ sau:

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

ả Gi i đúng:

ả ấ D u = x y ra khi a=b

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b th a .. Tìm GTNN c a Bài toán 2: Cho 2 s th c d

ườ : ầ Sai l m th ặ ng g p là

ậ ủ A là 4. V y GTNN c a

ả ế thi t . Nguyên nhân sai l mầ : GTNN c a ủ A là 4 . Khi đó trái gi

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

ờ ả : L i gi i đúng

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

BÀI T PẬ RÈN LUY N:Ệ

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b, c th a . Tìm GTNN c a Bài 1: Cho 3 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b, c nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

1(cid:0) 2

(cid:0) (cid:0)

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

ứ ư ể Gi i:ả Ta phân tích bi u th c nh sau:

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ươ ỏ ng ủ a, b, c th a . Tìm GTNN c a Bài 2: Cho 3 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b, c nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

1(cid:0) 2

(cid:0) (cid:0)

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

ể Ta có th phân tích

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ươ ng a, b, c. Tìm GTNN c a ủ Bài 3: Cho 3 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b, c nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b th a mãn . Tìm GTNN c a : Bài 4: Cho 2 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là 4

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b th a . Tìm GTNN c a Bài 5: Cho 2 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là

ố ự ươ ủ ỏ ng a, b th a . Tìm GTNN c a Bài 6: Cho 2 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả

ậ ả ấ D u “=” x y ra V y GTNN c a ủ A là 7

ố ự ươ ỏ ng ủ a, b th a . Tìm GTNN c a Bài 7: Cho 2 s th c d

Phân tích:

ứ ố ứ ạ ạ ể Do A là bi u th c đ i x ng v i ự ớ a, b nên ta d đoán GTNN c a ủ A đ t t i

ơ ồ ể ơ S đ đi m r i:

Gi i:ả Ta có

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTNN c a ủ A là 20

ố ự ươ ỏ ủ ng th a . Tìm GTLN c a Bài 8: Cho ba s th c d

ạ ọ ố ề Đ thi Đ i h c kh i A năm 2005

ứ ố ứ ứ ể ể ấ ằ ả Phân tích:Bi u th c P là bi u t th c đ i x ng nên d u b ng x y ra khi x=y=z= nên

ủ ả ế ề ệ ệ ầ ấ ổ GTLN c a P= 1.Do gi thi t cho đi u ki n nên ta c n đánh giá P xu t hi n t ng

Gi i:ả

ậ ậ ấ ẳ ứ ụ ấ ố ả Th t v y áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 4 s x,x,y,z ta có .d u = x y

ra khi x=y=z

ươ ự T ng t :

ứ ế ộ ấ ẳ C ng theo v 3 b t đ ng th c trên, ta có:

ả ấ D u “=” x y ra

ậ V y GTLN c a ủ P là 1

Ậ

Ế

PH N CẦ

:K T LU N

Ế I.K T QU Đ T Đ Ả Ạ ƯỢ : C

ạ ượ ế ộ ố ế ả Sáng ki n này đã đ t đ c m t s k t qu sau :

ắ ạ ủ ố + Nh c l i cách tìm GTNN, GTLN c a hàm s .

ấ ủ ấ ẳ ệ ố ộ ố ứ + H th ng m t s tính ch t c a b t đ ng th c.

ướ ọ ế ấ ẳ ử ụ ể ậ ơ ọ ỹ ẫ + H ng d n h c sinh bi ứ t cách s s ng k thu t ch n đi m r i trong b t đ ng th c

ệ ố ậ Cauchy thông qua h th ng bài t p.

ậ ụ ề ả ấ ọ ạ + Sau khi v n d ng chuyên đ vào gi ng d y tôi th y h c sinh không còn lúng túng khi

ự ử ụ ụ ứ ấ ẳ ậ ố ậ ọ ỹ ậ v n d ng b t đ ng th c Cauchy.T tin x lý ,v n d ng t ể t k thu t ch n đi m

ượ ữ ườ ướ ơ r i,tranh đ c nh ng sai làm th ặ ng g p tr c đây.

Ọ Ệ II.BÀI H C KINH NGHI M

ự ế ả ấ ằ ề ạ ấ Qua th c t gi ng d y chúng tôi th y r ng v n đ nào dù khó mà giáo viên quan tâm

ụ ề ằ ọ ệ ẽ ố ủ và truy n th cho h c sinh b ng lòng say mê và nhi t tình c a mình thì s cu n hút các

ườ ơ ể ử ụ ứ ể ậ ọ ỹ em vào con đ ng nghiên c u. S d ng k thu t ch n đi m r i đ tìm GTNN, GTLN

ộ ấ ề ớ ứ ể ộ ạ ả ủ c a m t bi u th c không ph i là m t v n đ m i, xong l ấ i là v n đ ề « Khó « muôn

ở ố ớ ọ ạ ề thu đ i v i h c sinh mà đôi khi còn nhi u giáo viên ng i quan tâm và đào sâu nó.

Ệ III.TÀI LI U THAM KH O Ả :

1. Các ph

ươ ứ ủ ứ ả ẩ ấ ng pháp ch ng minh b t đăng th c c a tác gi ố Võ Qu c Bá C n

2. M t s sai làm th

ộ ố ườ ặ ả ả ầ ươ ng g p khi gi ủ i toán c a tác gi Tr n Ph ng

3. M t s trang m ng Internet:Vnmath.com,….

ộ ố ạ