Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh THPT thông qua giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn

Lĩnh vực: TOÁN THPT

ăm học: 2022 - 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGH AN

TRƯỜ T PT P A ĐĂ LƯU

=    =

S

Lĩnh vực: TOÁN THPT

Đ n c ả U VĂ OẠ

TRẦ T P Ư P A A TUẤ

Tổ chuyên môn: TOÁN –TIN - THPT Phan Đăn Lưu

Số đ ện thoạ đại diện: 0978548919

ăm học: 2022 - 2023

MỤC LỤC H I H .............................................................................................. 1

d c t ....................................................................................................... 1

2. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................... 1

3 ươ g p áp g ê cứu.......................................................................................... 1

4. Nhữ g g g p tr g t : t v t t c t ........................................ 2

H II H I G ......................................................................................... 3

H G H I ................................................... 3

ơ s u ....................................................................................................... 3

1.2 ơ s t c t ................................................................................................... 7

H G H I G H H H H H G GI I I I G H I .................... 9

IỆ H Ệ H H G H H H H H H I H H ................................................. 9

H I G H H H H H I H H G H H : GI H G , H H G G I H I ................................................ 19

3 H I G H H H H G H H : G HỆ H G H H HI – I I H G GI I I I G H I .............................................................................. 29

H G 3. TH C NGHIỆM H .............................................................. 56

3.1. Mục c , ệm vụ th c nghiệm .................................................................... 56

3.2. Tổ chức th c nghiệm ....................................................................................... 56

PH N III H K T LU N ..................................................................................... 60

1. Kết lu n .................................................................................................................. 60

uyế g ị ........................................................................................................... 60

PH L C ..........................................................................................................................

DANH MỤC CÁC TỪ VI T TẮT TRONG SÁNG KI N KINH NGHI M

V ế ắ V ế đầy đủ

GD - G á dục v tạ

THPT ru g c p ổ t ô g

HS H c s

GV Giáo viên

MHH Mô hình hóa

MHHTH ô ì a t á c

PPDH ươ g p áp dạy c

SGK Sách giáo khoa

SBT ác b t p

GTLN G á trị ất

GTNN G á trị ỏ ất

KNTT ết ố tr t ức

H H ạt ộ g

P Ầ P Ầ Ở ĐẦU

1. L do chọn đ

- Trong c ươ g trì g á dục phổ thông môn Toán của Bộ GD - 8 ã ra một trong những mục tiêu chung là hình thành và phát triể các ă g c toán h c cho h c sinh (HS), bao gồ : ă g c tư duy v p lu n toán h c; ăng l c giải quyết vấn toán h c; ă g c mô hình hóa toán h c; ă g c giao tiếp toán h c; ă g l c sử dụng công cụ, p ươ g t ện h c toán. Bên cạnh việc cung cấp cho h c sinh những kiến thức và kỹ ă g ê qua ến toán h c ư k á ệ , ịnh lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp h c sinh phát triển kỹ ă g kết nối các kiến thức ể giải quyết những vấ th c ti n. Khi sử dụng toán h c ể giải quyết vầ g ĩ v c toán h c thì mô hình toán h c và quá trình mô hình hóa toán h c là những công cụ cần thiết. Vì v y, v c t chú tr ng tính ứng dụng vào th c ti n, gắn v xu ư ng phát triển hiệ ại của kinh tế, khoa h c, ời sống xã hội..., ă g c ô ì a á c rất cầ ược chú tr g ể phát triển cho HS. - ă c – 3 ă c bắt ầu ổ c ươ g trì p , các k ế t ức tr g c ươ g trì sác g á k a u yêu cầu ă g c ô ì a á c rất ca , c ủ c g ê qua ế u vấ tr g t c t . ố v c ươ g trì , á t c tế c g uô ắ g của u c s tr g quá trì c t p ất các b t á tố ưu ấy ược tầ qua tr g t của ă g c ô ì a á c, g uố c s ểu ược, v dụ g ược ă g c y ột các t d ệ ơ v ca ơ b ết áp dụ g v cuộc số g, c g tô ạ dạ c t “ t g ê cứu ể g ca ă g c c uyê ô v c ất ượ g g á dục của bả t , ưa t á c tr ê gầ g , t que v g p các e g ả quyết ược u vấ qua tr g tr g t c t

2. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các qua ểm mang tính lý lu n v ă g c mô hình hóa toán h c. - xuất một số biệ p áp sư p ạm nhằm góp phần phát triể ă g l c mô hình hóa toán h c cho h c sinh THPT t ô g qua g ả quyết các b t á tố ưu - Th c nghiệ sư p ạ ể kiểm chứng, á g á t k ả thi của giả thuyết khoa h c và các vấ nghiên cứu.

3 Phươn ph p n h ên cứu

- ươ g p áp g ê cứu lí thuyết.

- ươ g p áp u tra, t ố g kê

- ươ g p áp t c nghiệm sư p ạm.

4. Nhữn đ n p on đ nh m v nh hực n

- á g á ược th c trạng mức ộ các thành tố của ă g c mô hình hóa toán h c của h c sinh và th c trạng bồ dưỡ g ă g c này cho h c sinh trường THPT.

- ưa ra hững b ệ p áp sư p ạm nhằm p át tr ể ă g c mô hình hóa toán h c của h c sinh THPT tr g c ủ số p v ệ p ươ g trì b c ất – p t ô g qua các b t á tố ưu

- ác p ươ g p áp của t có thể áp dụng rộ g v v dụ g v u c ủ k ác trong dạy h c môn Toán trường THPT.

- của t s kết ợp a c u g ữa t uyết v t c t , g ữa u v t c , b ết v dụ g s u rộ g k ế t ức á c v cuộc số g; v a kết ợp c ươ g trì c v c ươ g trì g á dục p ổ t ô g , c c s t ếp c , p át tr ể t e t g ức ộ ă g c của t g p c, ưa các p ầ cô g g ệ số g p c s c cá ì cụ t ể, tr c qua ơ g ữa các ạ ượ g t á c

P Ầ P Ầ DUNG

C Ư C SỞ L LUẬ VÀ T C T

1.1. Cơ ở uận

1.1.1. Ý tư ng v sử dụng mô hình hóa trong dạy h c ược xuất Aristides C. Barreto t giữa nhữ g ă 7 của thế kỉ trư c. Mô hình hóa là quá trình tạ ra các ô ì ể giải quyết các vấ toán h c. T qua ểm này, có thể nói không có một ị g ĩa thống nhất nào v mô hình hóa toán h c. Mô hình toán h c ược xây d ng bằng cách phiên dịch các vấ t th c ti n bằ g p ươ g t ện ngôn ngữ viết sa g p ươ g t ện ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu hay nói cách khác, mô hình hóa là bỏ các t c ất không bản chất của vấ v ược trì b y dư i dạng ngôn ngữ toán h c.

Cụ thể, mô hình hóa toán h c là toàn bộ quá trình chuyể ổi t vấ th c ti n sang vấ toán h c v gược lại, cùng v i các yếu tố ê qua ế quá trì ư: t bư c xây d ng lại tình huống th c ti n, l a ch n mô hình toán h c phù hợp, làm việc trong một ô trường toán h c, giả t c , á g á kết quả ê qua ến tình huống th c ti v u chỉ ô ì c ế k c ược kết quả hợp lí. Trong c ươ g trì sác g á k a ô á phổ t ô g, quá trì ô ì a ược thông qua ngôn ngữ toán h c ư: ì vẽ, bảng biểu, hàm số, ồ thị, p ươ g trì , ệ p ươ g trì , sơ ồ, biểu ồ, biểu tượng, kí hiệu, công thức hay th m chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính . Một trong nhữ g ă g c cần hình thành và phát triển cho gười h c trong dạy h c môn Toán trường phổ thông hiệ ay ă g c mô hình hóa toán h c.

ư v y, có thể thấy thông qua hoạt ộng mô hình hóa sẽ phát triển hứng thú h c t p, kích thích s tìm tòi, sáng tạ tr g quá trì k á p á, ĩ ội kiến thức m i; giúp các em thông hiểu các khái niệm và quá trình toán h c, hệ thống hóa khái niệ , ý tư ng toán h c và nắ ược cách xây d ng mối liên hệ giữa các ý tư g

G a ạn 1: Quan sát hiệ tượng th c ti n, phác thảo tình huống và phát hiện

1.1.2. Quy trình mô hình hóa toán h c Mô hình hóa các tình huống th c tế trong dạy h c Toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán h c phổ biế ư: cô g t ức, thu t toán, biểu tượ g, ồ thị, kí hiệu,... Theo Swetz & Hartzler, quy trình mô hình hóa toán h c gồ 4 g a ạn chủ yếu sau :  các yếu tố ư b ến số tham số) quan tr ng, có ả ư g ến vấ th c ti n.

G a ạn 2: L p giả thuyết v mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán sử

G a ạn 3: Áp dụ g các p ươ g p áp v cô g cụ toán h c phù hợp ể mô hình

G a ạn 4: Thông báo kết quả, ối chiếu mô hình v i th c ti v ưa ra kết

 dụng ngôn ngữ toán h c. T , t ết l p mô hình toán h c tươ g ứng.  a b t á v p t c ô ì  lu uá trì ô ì a ược c k ép k v dù g ể mô tả các tình huống ược nảy sinh t th c ti n, kết quả ược dù g ể giải thích và cải thiện các vấ trong th c ti n. Có thể minh h a quá trình trên bằ g sơ ồ khép kín sau :

ơ ồ 1. uy trì ô ì a tr g dạy c á trườ g p ổ t ô g

Quy trình mô hình hóa toán h c trong dạy h c ô á ể v n dụng linh hoạt

quá trình trên, trong quá trình dạy h c Toán, GV cần giúp HS nắ ược các yêu cầu

cụ thể của t g bư c ư dư y tr g quá trì ô ì a các b t á :

 ư c 1. Toán h c hóa: Hiểu tình huống th c ti n. Mô hình th c ti ược toán

h c a, g ĩa ược thông dịch sang ngôn ngữ toán h c ể dẫ ến mô hình toán

h c của tình huố g ba ầu. Mô tả và di ạt vấ bằng công cụ và ngôn ngữ toán

h c ư ì vẽ, ồ thị, công thức toán h c. ng v i m i vấ a g xe xét, c t ể

có nhi u mô hình toán h c k ác au; quá trì ưa ra ô hình phụ thuộc vào việc

c g ta á g á yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan

tr ng.

 ư c 2. Giải bài toán: Sử dụng các công cụ toán h c ể khảo sát và giải quyết

bài toán hình thành bư c thứ nhất ă cứ v ô ì ã x y d ng, cần ch n ho c

xây d g p ươ g p áp g ải phù hợp.

 ư c 3. Thông hiểu: Hiểu ý g ĩa ời giải của b t á ối v i tình huống trong

th c ti n (bài t á ba ầu).

 ư c 4 ối chiếu, kiể ịnh kết quả: Phân tích và kiể ịnh lại các kết quả thu

ược. y, cầ xác ịnh mức ộ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán v i th c

ti y ột bư c quan tr g, g p gười th c hiện nh n ra giả p áp iên quan

ch t chẽ ến ngữ cảnh. bư c này có thể xảy ra một trong hai khả ă g: ả ă g

là: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp v i th c ti , cần tổng kết lại

các t vấ , mô hình toán h c ã x y d ng, các thu t t á ã sử dụng, kết quả thu

ược. Khả ă g là: Mô hình và kết quả không phù hợp v i th c ti , cần tìm

nguyên nhân. Có thể t ra một số câu hỏi sau: - Các kết quả tính bư c thứ hai có

c xác k ô g? ể trả lời, cần kiểm tra lạ quá trì t t á ã t c hiện); - Mô

hình toán h c xây d g ã p ù ợp, thỏa á g c ưa, c p ả á ược ầy ủ th c

ti n cuộc sống không? Nếu c ưa, cần xây d ng lại; - Các số liệu ba ầu có phản ánh

g t c ti n hay không? (nếu không phù hợp, cầ u chỉnh lại cho chính xác).

1.1.3. đặ đ m và c mô hình hóa toán h c cho h c sinh

Về đặ đ m:

Việc xây d ng hệ thống MHH trong dạy h c môn toán cầ tu t e c ểm, yêu cầu và một số nguyên tắc trong dạy h c theo tiếp c n phát triển triển ă g c  - Hoàn thiệ ă g c toán h c bao gồm cả kiến thức, kỹ ă g, kĩ xả , ộ g cơ, t á ộ, hứng thú và ni m tin trong h c toán. Cần tạo hoạt ộ g ể HS rèn luyện, th c hành, trải nghiệm trong h c t p môn toán. - Kết quả h c t p là khả nă g t c tế của HS, khuyến khích HS tìm tòi, khám phá tri thức toán h c và v n dụng vào th c ti n. - Nâng cao yếu tố t h c và cách h c của HS. GV là người hư ng dẫn, thiết kế, còn HS phải t xây d ng kiến thức và hiểu biết toán h c của riêng mình. - Môi trường dạy h c mang tính tươ g tác tích c c giữa các cá nhân, c p ô , ho c hoạt ộng chung của cả l p, giữa GV và HS trong quá trình dạy h c.

Về yêu cầu :

Về nguyên t c :

- ng dụng công nghệ, thiết bị dạy h c hiệ ại nhằm tối ưu hóa việc phát triể ă g l c của HS.  - Cầ xác ịnh các yêu cầu v ă g c toán h c cần có của HS m i cấp h c và t ng l p trong quá trình h c t p tr g trường và hoạt ộng th c tế. Xây d ng mục tiêu dạy h c, nội dung dạy h c, p ươ g pháp, hình thức dạy h c và các thức á g á kiểm tra phải phù hợp v i yêu cầu ã ra cần ạt ược. - Nội dung dạy h c ược l a ch n d a trên tính hệ thống logic của khoa h c toán h c, phù hợp v trì ộ nh n thức của HS m i khối l p cấp THPT, thiết th c v ời sống th c ti n, có tính tích hợp ê ô … - Phươ g pháp và hình thức tổ chức dạy h c d a trê cơ s tổ chức các hoạt ộng trải nghiệm, khám phá, phát hiện, h c t p ộc l p, tích c c, t h c có ư ng dẫn. Tránh áp t, c – c ép ă g t c hành, v n dụng, tươ g tác tích c c. T p trung khai thác và sử dụng kinh nghiệm của H tr g ời sống hàng ngày. - Có s gắn kết giữa nhà trường v g a ì  - Cầ ảm bảo tính khoa h c của toán h c - Cần làm rõ tính ứng dụng của toán h c ối v i th c ti n - Cần chú tr ng rèn luyện kỹ ă g g ải quyết vấ cho HS - Cầ ảm bảo tính khả thi có thể th c hiện và tính v a sức ối v i HS 1.1.4. Vai trò củ ơ y h c toán ở ờng phổ thông Mô hình hóa trong dạy h c toán là quá trình giúp h c sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh t th c ti n bằng công cụ toán h c v i s h trợ của công nghệ t ô g t uá trì y ò ỏi các kỹ ă g v t a tác tư duy t á c ư p t c , tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tr u tượ g a ô ì a c g c t ấy mối quan hệ giữa th c ti n v i các vấ tr g sác g á k a dư i góc nhìn của toán h c. Các nghiên cứu của Mason & Davis (1991) và Niss (1989) cho rằng, trường phổ thông, cách tiếp c n này giúp việc h c toán của h c tr ê c ý g ĩa ơ , tạ ộ g cơ v ni m say mê h c toán. , p ươ g p áp ô ì a tr g dạy c trườ g H c u va trò qua tr g ư sau:

- ă g cường liên hệ toán h c v i th c ti n

- Phát triển các d án h c t p

- ă g cường hợp tác nhóm

- Phát triể ă g c phân tích vấ

- Phát triể ă g c giải quyết vấ th c ti n

- Phát triể tư duy sá g tạ , tư duy t ống kê

- Phát triể kĩ ă g sử dụng công nghệ thông tin

1.2. Cơ ở hực n

1.2.1. ề ủ vào gi i quy t các bài toán th c ti n

 Nhận xét đối với Giáo viên: ă cứ vào các câu trả lời phiếu u tra dành cho GV: https://forms.gle/7bsGoCwntkFW6KQ46 ược 23 giáo viên cùng tham gia khảo sát) – Kết quả chi tiết ược trình bày phụ lục 1; cùng v t ô g t t u ược t quan sát, d giờ, phỏng vấn GV rút ra một số nh xét ư sau v những vấ liên quan ến GV: - V nội dung môn Toán : Phần l g á v ê u ưa ra ức ộ rất cần thiết k tă g cường liên hệ Toán h c v i th c ti n dạy h c môn Toán (65,2%); Toán h c vốn là khoa h c tr u tượng và có nhi u ứng dụng trong th c ti ư g v ệc gắn dạy h c môn Toán v i th c ti n không h ơ g ả , ò ỏi GV phải có hiểu biết sâu rộng nhi u ĩ v c, và không phải bất cứ kiến thức toán h c c g c thể xây d g ược tình huống bài toán gắn v i th c ti n. r g c ươ g trì g á dục phổ t ô g c l p 11, 12), Toán th c ti cò ưa k á sơ s tr g các ội dung dạy h c, ư g k ổi m sa g c ươ g trì g á dục m , t ì ã ược sử dụng một các a dạ g, ồng bộ xuyên suốt trong các nội dung của ô á ua c chúng ta thấy tầm quan tr ng của việc ứng dụng Toán h c vào th c ti n. - V PPDH toán của GV: Qua phiếu u tra c g ta c g t ấy ược các mức ộ tìm hiểu v ứng dụng Toán h c trong th c ti n, mức ộ t ường xuyên thiết kế các hoạt ộng mô hình hóa Toán h c, sử dụng công nghệ thông tin giúp h c sinh hiểu ược các mô hình Toán h c, thiết kế các bài toán m i cho h c sinh v n dụng mô hình hóa Toán h c ể giải quyết các bài toán tố ưu t th c ti u ược g á v ê á g á mức ộ thỉnh thoảng (chiế ơ 5 % , c ữ g g á v ê cò á g á mức ộ c ưa bao giờ ua c g ta t ấy ược rằng GV còn thiếu s trau dồi kiến thức v c uyê ô ê c ưa c H p ù ợp v i nội dung kiến thức, t ường vẫn sử dụng những PPDH truy n thố g ư t uyết trình, giảng giải, vấ áp g ả ơ thiếu s tìm hiểu, v n dụng những mô hình, cách thức dạy h c m i, ột u bất c p tr g c ươ g trì ổi m i toàn diện hiện nay. - V nh n thức và kỹ ă g sử dụng MHH của GV Toán THPT: + a số GV u á g á ô ì a á c có một tầm quan tr ng rất l n trong quá trình dạy h c Toán trườ g H 56,5% c g ư tr g v ệc giải quyết các bài toán tố ưu 6 ,9% p át tr ển cho h c sinh nhi u kĩ ă g ư trong h c á ư kĩ ă g g ải quyết vấ , kĩ ă g v ệc t e , kĩ ă g sử dụng ngôn ngữ Toán h c, kĩ ă g v n dụng toán h c, v n dụng công nghệ thông tin...

1.2.2. Th c tr ng về c mô hình hóa Toán h c của h c sinh

 Nhận xét đối với HS: ă cứ vào các câu trả lời phiếu khảo sát dành cho h c sinh: https://forms.gle/MjRs9GBumEFUFbCL8 , ược 84 em h c sinh tham gia khảo sát – kết quả chi tiết ược trình bày phụ lục 1, cùng v t ô g t t u ược t quan sát, d giờ, phỏng vấn HS rút ra một số nh n xét ư sau:

- V p a H c g g p một số k k ă , lo lắng trư c các bài toán gắn v i th c ti n

+ Các em (l p v á g á ức ộ g p các bài Toán h c trong th c ti n còn t ưa t t, c ưa ược tiếp x c t ường xuyên nên hay lúng túng trong quá trình giải quyết b t á c g ư v ệc tìm hiểu ứng dụng Toán h c v i th c ti n.

+ Hạn chế v vốn tri thức hiểu biết tổng hợp v ă g c ngôn ngữ nên không hiểu tình huống th c ti n + Hạn chế cả v kiến thức th c tế và toán h c nên lúng túng khi cần MHH toán h c + Việc chuyển t tình huống th c tế sang mô hình toán h c các em còn g p phải khó k ă cả v ngôn ngữ toán h c. - V p ươ g p áp c t p: H c ưa c ủ ộng tích c c, t giác do lâu nay quen h c thụ ộng: nghe và ghi chép, làm theo mẫu, ... V nh n thức và kỹ ă g HH của h c sinh THPT: Hầu hết h c sinh u không rõ thế nào là MHH, m c dù ã c ững k ược h c giải bài toán có nội dung th c ti n. V kỹ ă g HH của HS còn yếu: các em lúng túng khi cần chuyển tình huống th c ti n v mô hình toán h c và phát hiệ ược công cụ toán h c ể giải quyết.

V y thông qua phiếu khả sát ối v i GV và HS và việc d giờ dạy h c ối v i giáo viên trong dạy h c nội dung này chúng tôi nh n thấy một số thu n lợi và khó k ă tr g v ệc dạy h c bằ g HH ư sau: * Thuận lợi - Do xã hội phát triển v khoa h c kỹ thu t tạ u kiện tốt v cơ s v t chất nên HS có nhi u cơ ội h c hỏi kinh nghiệ , g a ưu v i bạn bè v nhi u m t thông qua các p ươ g t ện truy n thông. - ộ g G ạt chu , ã ược tạo một cách chính quy, tâm huyết v i ngh và không ng g ược t p huấn chuyên môn một cách bài bản. - Nội dung dạy h c chủ các bài toán tố ưu g y c g ược nhân rộ g, a dạng trong nhi u ĩ v c, kiến thức, ược xuyên suốt trong toàn quá trình h c Toán THPT t l p ê ến 12.

* Khó khăn - Xã hội phát triể , H ược t do tiếp x c, tra ổi v i xã hội xung quanh, dẫ ến những tiêu c c ư H c á c, bỏ h c, ỷ lạ , c ưa c ý t ức t h c. Trong quá trình h c toán, còn khá nhi u HS v n dụng công thức, quy tắc, p ươ g p áp ột cách thụ ộ g ể giải những dạng bài t p quen thuộc theo lối mòn, thiếu s sáng tạ , c ưa

hoạt. - Nội dung kiến thức trong SGK nhi u v i các bài toán th c tế chỉ mang tính lý thuyết, ít th c hành. ối v i các bài Toán tố ưu ại chủ yếu là các bài toán mức ộ v n dụng và v n dụng cao nên phần l n h c s u e ngại, lo lắng khi giải quyết chúng. c biệt, dạy h c HH ò ỏi GV cần nhi u thời g a ơ s v p ươ g p áp truy n thố g, tr g k G k ô g c u thờ g a ể ư ng dẫn HS tham gia hoạt ộng ngoài giờ lên l p. - Trong các giờ dạy GV ã c ý t ức v n dụ g p ươ g p áp ể phát triể ă g c mô hình hóa Toán h c cho các em h c s ể giải quyết các bài Toán tố ưu, tuy nhiên, GV còn lúng túng trong việc: + Xác ịnh các hoạt ộ g tươ g ứng v i t ng kỹ ă g g ải bài toán bằng p ươ g p áp MHH.

+ Xây d ng hệ thống các câu hỏi gợi m , dẫn dắt HS tiến hành t ng hoạt ộng. + Giải thích, chỉ dẫn và t p luyện cho HS sử dụng và chuyể ổ g ắn ngôn ngữ, ký hiệu. Cho HS v n dụng toán h c vào th c ti n thì h ngại ngần, lúng túng, nhi u GV chỉ dạy Toán một cách hàn lâm, bám vào nội dung có sẵ tr g G , G c ưa hiểu rõ v ầy ủ, chi tiết t ng kỹ ă g t phần cần rèn luyện cho HS trong dạy h c nội dung này. + Do thời gian tiết h c bị hạn chế, khố ượng kiến thức khá nhi u.

- HS g p k k ă tr g v ệc ơ g ản bài toán, xử ý u kiện của bài toán, thiết l p vấ t tình huống th c tế, làm rõ mục t êu b t á ; k k ă tr g xác ịnh biến số phù hợp, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số, thu th p dữ liệu th c tế ể cung cấp thêm thông tin v tình huống, loại bỏ các yếu tố phi toán h c và chuyể ổi bài toán sang ngôn ngữ toán h c. - Kỹ ă g g ả t á v t t á cơ bản của một số HS còn rất yếu.

C Ư P T TR Ă L C A TO C T QUA Ả QU T C C À TO T ƯU TRO T C T

2.1. T S N P P R LU C C T À T Ă L C A TO C C O C S T PT

2.1.1. Rèn luy ĩ đặt bi n cho các y u t (đ ợng) bi u thị tình hu ng th c ti n thông qua nh ng bi u thức chứa bi n và bằng bi đồ đồ thị, hình vẽ.

Việc sử dụng mô hình hóa h trợ rèn luyệ kĩ ă g xác ịnh biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số ược th c hiện thông qua các bài toán mô hình hóa. H c sinh d a trên kiến thức toán h c, sử dụng các tham số, biến số ể chuyể ổi t bài toán th c tế sang bài toán toán h c ể giải quyết bằng ngôn ngữ toán h c. Giáo viên cần lồng ghét bài toán th c ti , ư ng dẫn h c sinh tìm hiểu, khám

p á v ưa v bài toán toán h c. H c sinh có thể th c hiện mô hình hóa theo bốn bư c ã êu mục ư sau:     Bước 1 .Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn Bước 2 .Giải bài toán Bước 3 .Thông hiểu Bước 4 .Đối chiếu, kiểm định kết quả

Ví dụ1: (Trích đề thi thử Chuyên Thái Bình - Thái Bình - L2 – 2021) Ông An muốn xây một bể chứa ư c dạng hình hộp chữ nh t, phần nắp trê ô g ể trống một ô có diện tích bằng 20% diện tích của áy bể. Biết áy bể là một hình chữ nh t có chi u dài gấp ô c u rộng, bể có thể tích tố a

ư c và giá ti n thuê nhân công là ồng/m2. Số ti n ít nhất mà ông phải trả cho nhân công gần nhất v áp á

dư y? A. triệu ồng B. triệu ồng C. triệu ồng D. triệu ồng

Nhận xét bài toán: Đối với bài toán trên ta có các yếu tố liên quan là số tiền phải chi trả, giá nhân công, diện tích, thể tích bể nước, chiều dài, chiều rộng, chiều cao bể nước, Vậy trong các đại lượng đó yếu tố nào là yếu tố trung tâm nhất? Việc xác định yếu tố trung tâm sẽ giúp ta chuyển đổi được bài toán thực tế sang bài toán Toán học đơn giản, dễ hiểu hơn. Khi phân tích đề ta sẽ thấy được các đại lượng cố định là Thể tích, giá tiền thuê nhân công là 500.000 đồng/m2 ,đó là các yếu tố cố định, còn các yếu tố diện tích các mặt của bể, chiều dài và chiều cao đều phụ thuộc vào chiều rộng của bể do đó đại lượng trung tâm nhất của bài Toán là chiều rộng, Với sự phân tích đó ta sẽ có cách đặt biến và chuyển về ngôn ngữ toán học như sau:

Gi i bài toán: G i chi u rộng của áy bể là thì chi u dài của áy bể là

; chi u cao cua bể là .

Thể tích của bể là

Diện tích toàn phần của bể là

Số ti n phải trả cho nhân công phụ thuộc vào diện tích toán phần của bể ư c, số ti n ít nhất ứng v i diện tích toàn phần nhỏ nhất. T ta sẽ giải quyết ược bài toán trên.

V y ta có:

BBT

V y số ti n trả cho nhân công gần bằng

Ví dụ 2. Một hạt ng c trai hình cầu có bán kính ược b c trong một hộp trang sức dạng hình nón ngoại tiếp m t cầu ư ì vẽ. Hỏi nhà sản xuất phải thiết kế hộp trang sức hình nón có chi u cao ư t ế nào ể hộp qu c t ể tích nhỏ nhất.

A. B. C. D.

Lời giải.

Xét phần m t cắt qua trục hình nón và kí hiệu ư ì .

t và

Ta có

Thể tích khối nón:

Xét trên Ta có

L p tì ược ạt GTNN trên khoảng tại

Suy ra v bá k ườ g trò áy Chọn C.

2.1.2. cho HS khai thác các chứ ủ đồng thời ki m tra đ ều chỉnh mô hình toán h c đ c xâm nhập sâu rộng vào tình hu ng th c ti n.

Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn

Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống

Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học

Năng lực làm việc với mô hình toán học

Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình:

Mô hình hóa là quá trình chuyể ổi t tình huống th c ti n sang ngôn ngữ toán h c, h c sinh phả c ă g c và các kỹ ă g ể ược u Chính vì v y, rèn luyện kỹ ă g b ểu di ô ì dư i dạng biểu ồ, ồ thị v i số liệu th c tế là một trong những kỹ ă g cần thiết ể giải quyết các bài toán. Qua biện pháp này h c sinh có thể phát triể ược các thành tố ô ì a sau y:  - Th c hiện quan sát tình huố g, ê tư ng tình huống v i các tri thức t á ã b ết. - c ượng và d á các kết quả có thể xảy ra của tình huống.  - Xác ị ược yếu tố tr ng tâm của tình huống, loại bỏ những gì không bản chất hay nói cách khác yếu tố tr g t ạ ượ g a g cần tìm trong bài toán th c ti n. - Thiết l p mối quan hệ giữa các yếu tố b t á , á g á ức ộ phụ thuộc của các yêu tố.  - V n dụng ngôn ngữ t nhiên ngắn g , c xác ể di ạt các tình huống. - Sử dụng ngôn ngữ toán h c ể chuyể ổi các bài toán th c ti n sang dạng toán h c và giải quyết b t á tr g ô ì ược thiết l p.  Năng lực xây dựng mô hình toán học - Phát hiện ra yếu tố tr ng tâm của tình huống th c ti n - Biểu di các ạ ượng th c tế bằng ngôn ngữ toán h c, biểu ạt các mối quan hệ giữa các ạ ượngbằng các mệ toán h c, các biểu thức chứa biế , ồ thị, biểu ồ,.. - Khái quát hóa các tình huống th c ti t e qua ểm của toán h c.  - Giải toán trên mô hình, d a vào lời giả b t á êu ra ược kết quả của mô hình; - Giải quyết ược những vấ toán h c trong mô hình ược thiết l p  - Kiể tra, ối chiếu kết quả sau khi giải bài toán - V n dụng suy lu n có lý vào việc ưa ra các ô ì t á c tì huống th c ti n và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp

Ví dụ 1. Một công ty d ịnh chi tố a 6 tr ệu ồng cho quảng cáo một sản ph m m i trong một t á g trê các p át t a v truy n hình. Biết cùng một thời ượng quảng cáo, số gười m qua t ến sản ph m trên truy n hình gấp 8 lần trên p át thanh, tức là quảng cáo trên truy n hình có hiệu quả gấp 8 lầ trê p át thanh. p át t a c ỉ nh n các quảng cáo có tổng thờ ượng trong một tháng tối a 9 g y v c p 8 g ì ồ g/g y truy n hình chỉ nh n các quảng cáo có tổng thờ ượng trong một tháng tố a 36 g y v i chi phí là 400 nghìn ồng/giây. Công ty cầ t thời gian quả g cá trê các p át t a v truy n hình ư t ế ể hiệu quả nhất? Gợi ý. Nếu coi hiệu quả khi quả g cá g y trê p át t a ơ vị) thi hiệu quả khi quả g cá g y trê truy 8 ơ vị ệu quả quảng cáo . Ta cần g y trê p át t a v (giây) trên truy n hình là

tìm giá trị l n nhất của hàm , y) v i x, y thoả ã các u kiệ tr g bài.

Lời giải

p át t a Truy n hình

Chi phí nh n quảng cáo 8 g ì ồng /giây 4 g ì ồng/giây

8 ơ vị) ơ vị)

Hiệu quả quảng cáo G i x và y là số giây quả g cá trê p át t a v trê truy n hình.

Ta có 160 triệu ồng = 6 g ì ồng)

g y trê p át t a v y g y trê truy n hình là

Chi phí quảng cáo g ì ồng)

Vì công ty d chi tố a 6 tr ệu ồng nên ta có

p át t a c ỉ nh n các quảng cáo có tổng thờ ượng trong một tháng tố a 900 giây nên ta có:

truy n hình chỉ nh n các quảng cáo có tổng thờ ượng trong một tháng tố a 360 giây nên ta có:

Ta có hệ bất p ươ g trì :

Xác ịnh mi n nghiệm là mi g g ác v i:

A(900 ; 0) ; B(900 ; 220) ; C(200 ; 360) ; D(0 ; 400)

Hiệu quả quảng cáo là:

Ta có:

V y công ty cầ t thời gian quả g cá trê p át t a g y v trê truy n hình là 400 giây thì hiệu quả nhất.

Ví dụ 2. Doanh nghiệp tư Hư g ê c uyê k d a xe gắn máy và tay ga các loại. Hiện nay, doanh nghiệp a g t p trung chiế ược vào kinh doanh xe tay ga Lead v i chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu ồng) và bán v i giá 40 (triệu ồng) m i chiếc. V i giá bán này thì số ượng xe mà khách hàng sẽ mua là 2000 chiếc. Nhằm mục t êu y mạ ơ ữa ượng tiêu thụ dò g xe a g ă k ác y, d a nghiệp d ịnh giả g á bá v ư c tính rằng nếu giảm 1 (triệu ồng) m i chiếc thì số ượng xe bán ra sẽ tă g t ê 8 c ếc. V y doanh nghiệp phả ịnh giá bán m i là bao nhiêu ể sau k ã t c hiện việc giảm giá, lợi nhu t u ược sẽ là cao nhất ?

Phân tích:

 ● Ta có thể thử mô tả bài toán bằng bảng sau:

Giá bán ra Lợi nhuận Số lượng

Giá mua vào 1 chiếc xe Tổng lợi nhuận 1 chiếc xe

Khi bán 1 chiếc xe Ban đầu

13 triệu đồng 2000 chiếc 26 tỷ

27 (triệu đồng) 40 (triệu đồng)

là giá bán mới của mỗi chiếc Lead . Ta thấy rằng giá bán chỉ

triệu đồng đến 40 triệu đồng.

là giá bán m i của m i chiếc Lead mà doanh nghiệp phả xác ị ể lợi nhu n

Như vậy việc giảm giá bán trên 1 chiếc xe sẽ làm giảm lợi nhuận thu được khi bán 1 chiếc nhưng đồng thời cũng làm tăng lên nhu cầu mua xe của khách hàng. Theo giả thiết nếu giảm giá 1 (triệu đồng) thì số lượng xe bán ra sẽ tăng thêm 800 chiếc. ● Từ đây nếu ta gọi có thể dao động trong khoảng ● Ta xác định lại số lượng xe bán ra sau khi giảm giá ứng với giá bán mới là x. Khi đó lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ bằng tổng doanh thu – Tổng chi phí và là một hàm phụ thuộc theo biến x. Ứng dụng đạo hàm ta sẽ tìm được giá trị x thỏa yêu cầu bài toán.  . G i t u ược sau khi giảm giá là cao nhất.

Suy ra số ti ã g ảm là ồng thời số ượ g xe tă g ê

V y tổng số sản ph bá ược là

Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ ạt ược sẽ là

Chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ ra là

Lợi nhu cô g ty ạt ược = Tổng doanh thu – chi phí

. Bài toán tr thành tìm t

triệu ồng. Ta có

L p bảng biến thiên, ta có (triệu ồng) hay 48 tỷ và 50

triệu ồng.

 Nhận xét: trong kinh doanh ta thấy tùy vào từng thời điểm khác nhau, dựa theo nhu cầu của thị trường mà các nhà kinh doanh không ngừng thay đổi chiến lược kinh doanh của mình trong đó có những lúc “đại hạ giá” mà chúng ta vẫn thường quen với tên gọi là “sale off”. Với tâm lý thích giá vừa túi tiền nên các ta luôn thấy các bảng hiệu “sale off” (giảm giá) trưng bày trước rất nhiều cửa hiệu. Dĩ nhiên kinh doanh là cả một sự tính toán nhiều biến số thay đổi từng giây, từng phút chứ không hẳn chỉ dựa trên chất lượng tốt của sản phẩm vv...

2.1.3. Tổ chức cho HS ho động sử dụ đ d đ c tính k t qu của tình hu ng trong th c ti n khái quát hóa tình hu ng th c ti e đ m của toán h c.

Ví dụ 1.Một doanh nghiệp chuyên sản xuất một loại sản ph m, biết nhu cầu của

thị trường và chi phí của loại sản ph m này lầ ượt là

, tr g là số sản ph m và

là giá bán của một sản cầ ịnh trên một ơ vị sản ph m sản xuất ra sao cho

Phân tích: Ta có thể tổng quát bài toán như sau

ph Hãy xác ịnh mức thuế t u ược lợi nhu n là cao nhất  ● Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị thời gian là và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị thời gian là

. Xác định mức thuế trên một đơn vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được

nhiều thuế nhất.

● ơ i: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là .

Ta có

Lợi nhuận của xí nghiệp là

Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức để đạt giá trị lớn nhất.

Do đó thuế thu được sẽ là từ đây ta xác định để

G i là số sản phầm mà doanh nghiệp cần sản xuất

Khi ấy ta có

là mức thuế cầ ịnh trên một ơ vị sản ph m sao cho thuế t u ược là cao

G i nhất. Ta có thuế mà doanh nghiệp phải nộp là .

Doanh thu mà doanh nghiệp c ược sẽ là

Suy ra lợi nhu n mà doanh nghiệp t u ược sẽ là:

ể công ty nộp thuế cao nhất trư c hết lợi nhu t u ược của doanh nhiệp là cao nhất

k ta cần

V y thuế mà doanh nghiệp phải nộp là

Theo yêu cầu bài, ta có

ơ vị ti n tệ c ơ vị sản ph m thì doanh nghiệp sẽ thu

V i mức thuế ược lợi nhu n cao nhất là .

 ậ xé : Trong thực tế, thì tùy vào các mặt hàng sản xuất từ xuất khẩu đến nhập khẩu mà có thể chịu các loại thuế khác nhau. Trên đây chỉ là 1 tình huống ta xét tương ứng với mức thuế cần định cho sản phẩm để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Ví dụ 2. Trong một hoạt ộng ngoại khoá của trường, l p Việt ịnh m một gian g bá bá ì v ư c khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 5 ồng, một c a ư c 5 ồng. Các bạn d kiến bán bánh mì v g á ồng/1 bánh mì v ư c g á 8 ồ g/ c a ưa v t ống kê số gười tham gia hoạt ộng và nhu cầu th c tế các bạn d kiến tổng số bánh mì và số c a ư c k ô g vượt qua 200. Theo quỹ l p thì số ti n l p Việt ược dù g k ô g quá ồng. Hỏi l p Việt có thể ạt ược tố a ợi nhu n là bao nhiêu?  Lời gi i: G i lầ ượt là số chiếc bá ì v c a ư c khoáng mà l p Việt

ị ua ể bá ó t giả thiết ta có: .

M t khác t giả thiết ta có:

Nếu bán hết thì lợi nhu n l p Việt c ược là: g ì ồng).

ể tìm lợi nhu n l n nhất ta cần tìm giá trị l n nhất của biểu thức: .

rư c hết, ta biểu di n t p nghiệm của hệ bất p ươ g trì trên m t

phẳng , là mi n tứ giác .

thoả ã bài là các c p số t ê sa c ểm

các c p nằm trong mi n tứ giác .

Ta có , v i ường thẳ g c p ươ g

trình .

ường thẳng qua và song song v i ta c

. l n nhất. T hình vẽ ta có và

G i khoảng cách giữa l n nhất tươ g ứng v i khoảng cách giữa . l n nhất khi trùng và

g á trị l n nhất của là .

V y lợi nhu n tố a p Việt có thể ạt ược 8 g ì ồng khi các bạn ua v bá ược 100 chiếc bá ì v c a ư c.

P T TR Ă L C A C O C S T QUA Ạ C C Ủ Đ T TR L ẤT TL ẤT T TRO C C À TO T C T

. . .

Chủ GTLN, GTNN của hàm số luôn là những bài toán khó và tr u tượ g ối v i h c sinh l p v c ươ g trì ô t tốt nghiệp THPT, nhất rơ vào các câu v n dụng, v n dụng cao của Tốt nghiệp bư c k k ă ất c dù g ă g l c mô hình hóa Toán h c ể chuyển các bài Toán th c tế v bài toán toán h c cơ bản, t dù g các kĩ ă g g ải quyết Toán h c ta giải quyết bài Toán th c tế . Một số k k ă , sa ầ cơ bản của các em y t ường g p phả t biến gì? u kiện của biến là gì? Mối liên hệ giữa các biến?Hàm số ưa v ?....

Bài toán 1.(Trích đề thi thử THPT Trường THPT Kinh Môn - Hải Dương L2 và muốn rào ư ì vẽ (bờ sông là không phải rào, m i tấm là một cạnh của hình thang). Hỏi ông ta có

2019) Một gười nông dân có 3 tấ ư i thép B40, m i tấm dài một mả vườn d c bờ sông có dạng hình thang cân ường thẳng thể r ược mả vườn có diện tích l n nhất là bao nhiêu ?

A. . B. . C. D. . .

 Lời giải

Kẻ ường cao , g i số g c áy của hình thang là .

Diện tích mả vườn là:

Xét hàm số v i có .

Ta có:

Do nên ta nh n . Ta có bảng biến thiên:

T bảng biến thiên ta thấy: ạt ược tại .

khi góc áy của hình thang bằng .

t ểm

v sau c ạy ến

giữa

, ho c anh ta có thể chèo thuy ến một ểm , chạy . Biết anh ấy có thể chèo thuy n

Bài toán 2.(Trích đề thi thử THPT Trường THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình v phía hạ ưu bờ 2018) Một gườ ô g uốn chèo thuy n vị trí ư ì vẽ). Anh ối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng , hay có thể chèo thuy n của mình tr c tiếp qua sô g ể ến có thể chèo tr c tiếp ến và v sau c ạy ến và quã g ường . Biết tốc ộ của dò g ư c k ô g á g kể so v i tốc ộ chèo thuy n của gườ ô g k ảng thời gian ngắn nhất ơ vị: giờ ể gườ ô g ến .

A. . B. . C. . D. .

  Lời giải: H c sinh có thể ưa ra các p ươ g á trả lời sau Cách 1: Anh chèo thuy n tr c tiếp qua sô g ể ến v sau c ạy ến

Thời gian chèo thuy trê quã g ường : (giờ)

Thời gian chạy trê quã g ường : (giờ)

Tổng thời gian di chuyển t ến là (giờ).

 Cách 2: chèo tr c tiếp trê quã g ường mất .

 Cách giải bằ g p ươ g p áp t biến quy v hàm số:

G i ộ d quã g ường ; ộ d quã g ường .

Thời gian chèo thuy trê quã g ường là: (giờ)

Thời gian chạy trê quã g ường là: (giờ)

Tổng thời gian di chuyển t ến là

Xét hàm số trên khoảng

Ta có ;

Bảng biến thiên

D a vào BBT ta thấy thời gian ngắn nhất ể di chuyển t ến là .

V y khoảng thời gian ngắn nhất ể gườ ô g ến là .

Bài toán 3.(Trích đề thi thử THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh, 2016) Tìm chi u dài bé nhất của cá t a g ể nó có thể t a vào tường và m t ất, ngang qua cột ỡ cao 4 m, s g s g v các tường 0,5m kể t gốc của cột ỡ.

A. xấp xỉ bằng . B.xấp xỉ bằng .

C. xấp xỉ bằng . C.xấp xỉ bằng .

Phân tích:

thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng

 ● Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định được độ dài ngắn nhất của nào ? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp.

Đối với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh , ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt

là: ứ ấ là phân tích và ứ hai là

● â í e ứ ấ , ta có thể thử đặt cần tính được là đã có thể lập được hàm số theo , đến đây chỉ . biểu diễn độ dài

Nhưng bằng cách nào đây ? Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý

Thales thuận ( ) nên ta có: . ở

● â í e ứ nếu ta đặt thì khi đó ta sẽ biểu diễn (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nào). Do đó độ dài ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì . đ ở khi đó và

 .

● t e ịnh lý Thales ta có

ta c .

Do vuông tại

● Hay t .

Bài toán tr thành tìm v i .

Ta có .

L p bảng biến thiên ta có:

D a vào bảng biến thiên ta có

ta c . Đ p n C

Bài toán 4 (Ứng dụng trong th thao). Trong nộ du g t k v bơ ội phối hợp ược di n ra tại một hồ bơ c c u rộng 50m và chi u dài 200m. Một v n ộng viên cần chạy phối hợp v bơ bắt buộc cả hai) khi phải th c hiện lộ trình xuất phát t ế ư hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy ược ba xa quã g ường x) thì v ộng viên nên nhảy xuố g ể tiếp tục bơ v c a ất ? Biết rằng v n tốc của v ộng viên khi chạy trên bờ v k bơ ầ ượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s.

Phân tích:

 ● Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên đó phải đi sẽ là AC + CB

● Giả sử đặt AC = x (x > 0). Khi đó để tính quãng đường bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động viên đi dọc theo bờ hồ. ● Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta sử dụng ứng dụng của đạo hàm.  .

G i là vị trí mà v ộng viên kết thúc phần chạy n kinh và

ta c là thờ g a t ến C.

ồng thờ quã g ườ g bơ c

ta c là thờ g a t ến B.

Tổng thời gian của v ộng viên sẽ là

Xét hàm

Bài toán tr thành tìm

Ta có:

L p bảng biến thiên ta có

D a vào bảng biến thiên ta có:

5 (Ứ ụ ỹ ậ í ). ột áy t ược p trì ể vẽ ột c u các ì c ữ t g c p ầ tư t ứ ất của a trục t a ộ c u, ộ

t ếp dư ườ g c g . Hỏ d ệ t c ất của ì c ữ t ất c t ể

ộ t ếp ược ườ g c g trê ?  Phân tích:

● Ta có thể mô tả bài toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm

● Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy. Diện tích của hình chữ

nhật chính là

● Đến đây ta nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để tìm x nào cho chúng ta được tương ứng y thỏa mãn diện tích hình chữ nhật trên là lớn nhất.

 .

Ta có diện tích hình chữ nh t bằng

L p bảng biến thiên ta có .

. . . xâ í ấ ấ .

Bài toán 1. (Trích đề thi thử Trường THPT Quỳnh Lưu - Nghệ An - 2018) Một

, chi u cao

khúc g có dạng hình khố c bá k áy bằng . Bác thợ mộc chế tác t khúc g t ột khúc g có dạng hình khối trụ ư ì vẽ. G i là thể tích l n nhất của khúc g hình trụ sau khi chế tác. Tính .

. B. . C. . D. . A.

 Lời gi i: G i , lầ ượt là bán kính và chi u cao của khối trụ.

Ta có: . Ta lại có: .

Xét hàm số , v i ; có

(vì ).

Bảng biến thiên

D a vào BBT ta có ạt tại . V y .

Bài toán 2. Cần phải xây d ng một hố ga, dạng hình hộp chữ nh t có thể tích

là tỉ số giữa chi u cao của hố và chi u rộng c trư c (

(m3 k ô g ổi, hệ số của áy Hãy xác ị các k c t ư c của áy ể khi xây tiết kiệm nguyên v t liệu nhất?

 Phân tích:

● Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến. ● Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì ?” Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất hay diện tích toàn phần của khối hộp nhỏ nhất.

H ng d n gi i.

● G i lầ ượt là chi u rộng và chi u dài của áy ố ga.

G i là chi u cao của hố ga . Ta có và

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất.

ta c :

Suy ra Xét hàm số .

Bài toán tr thành tìm giá trị nhỏ nhất của v i .

, cho

L p bảng biến thiên ta có

D a vào bảng biến thiên ta có .

và .

Bài toán 3. Công ty mỹ ph m chu n bị cho ra một mẫu sản ph dưỡng da m i mang tên Ng c Trai v i thiết kế là một khối cầu ư v ê g c trai khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu ể g ke dưỡ g da ư hình vẽ (hình ảnh chỉ mang tính chất minh h a). Theo d kiến, nhà sản xuất có d ị ể khối cầu có bán kính là

cm. Tìm thể tích l n nhất của khối trụ g ke ể thể tích th c ghi trên bìa

hộp là l n nhất (v i mục c t u t k ác g

A. . B. . C. . D. .

 Phân tích: ● Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên. Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ. ● Ta thấy rằng thể tích của khối trụ sẽ là: (phụ thuộc theo 2 biến r và h).

● Ta lại có mối liên hệ giữa chúng là

. Để thuận tiện ta sẽ tính r theo h.

. Ta có ạ c

Suy ra . Xét

t á tr t tì

p bả g b ế t ê ta c :

a v bả g b ế t ê , ta c :

ta c :

2 3 P T TR Ă L C A T QUA Ạ C C Ủ Đ P Ụ P Ư TR ẬC ẤT U Ẩ TO – T TR T ỨC VÀ CU C S Đ Ả QU T C C À TO T ƯU TRO T C T

. . . ụ ủ đề ấ ơ ề t . ươ g trì G á dục p ổ t ô g 8 rất c tr g ế g ả quyết các vấ

tr g t c t ì t ế ộ du g của G á – ư g u ế v ệc p át

tr ể c c s ă g c ô ì a t á c r g cuộc số g, ô k ta p ả s

sá g ữa u p ươ g á k ác au ể c ra p ươ g á tố ưu c ẳ g ạ ư a

c g ữa các ạ g ệ t ạ , g á t uê xe của các ã g taxi k ác au c tr g

k d a gườ ta uô ư g ế c p sả xuất t ấp, ợ u ca ất ủ

ệ bất p ươ g trì b c ất a sẽ rất ữu c tr g ột số trườ g ợp ể g ả

quyết các vấ t c tế tươ g t ì d , t ô g qua dạy c c ủ ệ bất p ươ g

trì b c ất a , g á v ê sẽ p át tr ể ă g c ô ì a t á c của c

s bằ g các x y d g, ư g dẫ v tổ c ức c c s g ả quyết các b t á

t c tế ua , c s c t ể g ả quyết các tì uố g tr g t c t ê qua ế

b t á tố ưu a

Bài toán tối ưu hóa sử dụng hệ bất phương trình hai ẩn:

ể tì g á trị ất ỏ t của b ểu t ức f (x; y) trê g ệ của ột ệ

• ư c : Xác ị g ệ của ệ bất p ươ g trì ã c

• ư c : các g á trị của số f (x;y) v x;y) t ạ ộ các ỉ của

bất p ươ g trì ta ư sau:

g ệ

• ư c 3: sá các g á trị v a t ược v au, g á trị ất ỏ ất

g á trị ất ỏ t của f(x; y trê g ệ của ệ bất p ươ g trì ã

cho.

Bài toán 2.1. (Bài toán vitamin): ột k a c g ê cứu v tác ộ g p ố ợp

(i) gườ c t ể t ếp ược g y k ô g quá 6 ơ vị vitamin A và

của vitamin A và vitamin ố v cơ t ể c gườ ết quả ư sau:

(ii) gườ g y cầ t 4 ế ơ vị vitamin cả ẫ

(iii) tác ộ g p ố ợp của a ạ vitamin, g y số ơ vị vitamin B không ít

k ô g quá 5 ơ vị vitamin B.

ơ ột ửa số ơ vị vitamin ư g k ô g u ơ ba ầ số ơ vị v ta

a) G c ồ g số t vitamin bạ p ả trả g y Hãy v ết p ươ g trì

G ả sử x và y ầ ượt số ơ vị vitamin v bạ dù g g y

b ểu d c dư dạ g ột b ểu t ức của x v y, ếu g á ột ơ vị vitamin A là 9

b) ết các bất p ươ g trì b ểu t ị các u k ệ , , v t ột ệ bất

ồ g v g á ột ơ vị vitamin 7,5 ồ g

c) ì p ươ g á dù g a ạ vitamin v t ả ã các u k ệ trê ể số t

p ươ g trì rồ xác ị g ệ của ệ bất p ươ g trì

p ả trả t ất, b ết rằ g c ạt g á trị ỏ ất tạ ột tr g các ỉ của

g ệ

* Mục tiêu hoạt động:

ược số t p ả bỏ ra t ất ể ua vitamin A và vitamin vẫ ả bả

cu g cấp ủ ượ g vitamin cầ t ết c cơ t ể ô g qua ạt ộ g y, G rè

- ết p p ươ g trì v ệ p ươ g trì số b c ất

- ĩ ă g g ả ệ p ươ g trì v ố c ếu kết quả v t c tế

- ĩ ă g số g b ết t t á v a c các ạ t ức ă p ù ợp bổ su g các ạ

uyệ c H ột số kĩ ă g sau y:

vitamin cầ t ết c các t v ê tr g g a ì

* Tiến trình hoạt động:

GV chia p t các H v tổ c ức c g ả quyết b t á t e các g a

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): G ư g dẫ H v ết p ươ g trì b ểu d c dư

ạ sau:

dạ g ột b ểu t ức của x và y. H cầ p ả c uyể ược ữ g t ô g t ã

c t các u k ệ , v t ữ g p ươ g trì ạ số ay số , b ết

v dụ g t a tác trê các b ểu t ức ạ số ể g ả quyết các vấ ã t ra tr g

t c t

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): ác H t ả u v v ệc v ết p ươ g trì b ểu

d c dư dạ g ột b ểu t ức của x và y ư sau: c = 9x + 7,5y ồ g

H c uyể ữ g t ô g t ã c t các u k ệ , v t ữ g

p ươ g trì ạ số ay số ư sau:

Theo (i) có: x < 600 và y < 500; Theo (ii) có: ;

Theo (iii) có:

H r t ra ệ bất p ươ g trì sau:

G ư g dẫ H r t ra

xét sau: ể xác ị

g ệ của ệ bất p ươ g

trì trê ta vẽ các ườ g t ẳ g

sau y trê cù g ột ệ trục

t a ộ:

H t c ệ ệ vụ vẽ các ườ g t ẳ g trê v xác ị g ệ

của ệ bất p ươ g trì :

Nhóm HS kết u g ệ của ệ bất p ươ g trì c tứ g ác

ABCDEF tr g t a ộ các ể ầ ượt A(100; 300), B(166,67; 500), C(500;

500), D(600; 400), E(600; 300), F(266,67; 133,33).

ý a , b v vì c ạt g á trị ỏ ất tạ ột tr g các ỉ của g ệ

nên HS rút ra c = 9x + 7,5y ỏ ất k x = 100 và y = 3 v g á trị c = 9.100 +

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): gườ p ả trả t ất 3 5 ồ g c

7,5.300 = 3150.

ơ vị vitamin v 3 ơ vị vitamin ể ả bả cu g cấp ủ ượ g v ta v

c cơ t ể g g y

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): g v ệc t t á ược ượ g v ta v ta

c g c t ể t ược rất u ạ vitamin v các c ất d dưỡ g k ác cầ t ết c

cơ t ể sá kết quả b t á v ượ g vitamin ược sử dụ g tr g g a ì ì

v ưa ra g ả p áp k ắc p ục ằ ả bả sức k ỏe c cả g a ì

* Phân tích kết quả hoạt động:

ì ộ du g b t á ã t á c a vấ c ê các H ã v dụ g tốt quy

trì HH ể g ả b t á trê rê 7 % số H ạt ược kĩ ă g HH cấp ộ 4

v u c ố c ếu v t c tế bả t ô g qua ạt ộ g y, G g ả g dạy

á c t ể t c ợp các k ế t ức v g á dục sức k ỏe v ư g dẫ H sử dụ g ô

ì t á c ể ô tả ữ g tì uố g t c t , c g ư ố c ếu v t c tế ể

r t ra b c c bả t

ập 2. ột cô g ty HH tr g ột ợt quả g cá v bá k uyế ã g á

sả p của cô g ty cầ t uê xe ể c 4 gườ v 9 tấ g ơ t uê c ỉ

c a ạ xe v r g xe ạ c c ếc, xe ạ c 9 c ếc ột c ếc

xe ạ c t uê v g á 4 tr ệu ồ g, ạ g á 3 tr ệu ồ g Hỏ p ả t uê ba

êu xe ạ ể c p v c uyể t ấp ất ết rằ g xe c ỉ c tố a

gườ v ,6 tấ g; xe c tố a gườ v ,5 tấ g

Mục tiêu: Xác ị xe t uê ba êu xe ạ ể c p v c uyể t ấp ất

ua , G c t ể á g á các kĩ ă g sau y của H :

ĩ ă g t ết p v g ả ệ bất p ươ g trì b c ất a

ĩ ă g g ả các b t á tố ưu v ứ g dụ g tr g t c t

Lời giải: rư c ết ta cầ p ả t số xe ạ , ạ cầ dù g sa c c p

t ấp ất ếu c ỉ sử dụ g ột ạ xe t ì k ô g áp ứ g yêu cầu t v y, ếu dù g

cả 9 xe t ì c ược 9 gườ v v c uyể ược 3,5 tấ g ư v y sẽ t a

5 gườ v t ếu 4,5 tấ ếu dù g cả xe c ược gườ v 6 tấ g ư

v y sẽ ếu 6 gườ v t a 3 tấ g v y, ta p ả t uê a ạ xe

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): G x, y ầ ược số xe ạ A, cầ dù g e

b t ì cầ tì x, y sao cho A(x, y) = 4x + 3y ạt g á trị ỏ ất a c x, y t ỏa ã

các u k ệ sau:

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): ể g ả b t á y ta ầ ượt g ả a b t á ỏ

dư y:

a Xác ị t p các ể c c t ạ ộ x, y t ả ã ệ bất p ươ g trì II trê

b) Khi (x, y ấy g á trị trê tì g á trị ỏ ất T(x, y) = 4x + 3y.

ệc g ả b t á a rất ơ g ả

g ệ của ệ II ược b ểu

d b tứ g ác ABCD kể cả b ê

ư ì vẽ:

G ả b t á b g ĩa tì tất cả

các ể M(x, y t uộc tứ g ác

ABCD sao cho T(x, y ỏ ất a

b ết rằ g T(x, y ỏ ất ạt tạ các

giá trị b ê của tứ g ác ABCD, nên ta cầ tì các t ạ ộ các ỉ

g á trị T(x, y) tạ các ể b ê :

T(A) = 4 5 + 3 4 = 3 tr ệu ồ g

T(B) = 4 + 3 = 46 tr ệu ồ g

T(C) = 4 + 3 9 = 67 tr ệu ồ g

T(D) = 4. 2 + 3 9 = 37 tr ệu ồ g

Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): y T(A) = 3 tr ệu ồ g ỏ ất ,

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): g v ệc t t á ược v ệc t uê ạ xe

t tố t v c uyể ất ê p ươ g á c 5 xe v 4 xe

, ư t ế c tố ưu ất tr g b t á trê t ì c s c t ể rộ g ứ g

dụ g c v ệc t t á ột các tố ưu ất c các tì uố g rất ay xuất ệ

tr g t c t ư t uê xe cộ, t uê rạp, t uê b g ế … b ệ ay c rất u a

c tr g các dịc vụ y

ập 2.3. Trong ột cuộc thi g bá v dịp ă , ộ c ơ ược sử dụ g

tố a 20 kg gạ ếp, 2 kg t ịt ba c ỉ, 5 kg u xanh ể g bá c ư g v bá ố g

ể g ột cá bá c ư g cầ 0,4 kg gạ ếp, 0,05 kg t ịt v 0,1 kg u xanh; ể g

ột cá bánh tét cầ 0,6 kg gạ ếp, 0,075 kg t ịt v 0,15 kg u xanh. cá bá

c ư g ược 5 ể t ư g, cá bá tét ược 7 ể t ư g Hỏ cầ

p ả g ấy cá bá ạ ể ược u ể t ư g ất

A.

50 cá bá c ư g B. 40 cá bá c ư g

C. 35 cá bá c ư g v 5 cái bánh tét. D. 31 cá bá c ư g v 14 cái bánh tét.

Mục tiêu hoạt động:

số ượ g t c p ã c , c s cầ t t á ể g ược số bá ạ

ợp ất, qua ạt ược số ể t ư g ca ất ô g qua ạt ộ g y, G

- ết p p ươ g trì v ệ p ươ g trì số b c ất

- ĩ ă g g ả ệ p ươ g trì v ố c ếu kết quả v t c tế

- ĩ ă g số g b ết t t á v a c ư g g ả quyết ợp c b t á tạ sả

rè uyệ c H ột số kĩ ă g sau y:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): G số bá c ư g g ược x, số bá tét g ược

p v các u k ệ ba ầu ằ ục c c kết quả ca ất).

là y. Khi số ể t ư g : f (x; y) = 5x + 7 y.

ố kg gạ ếp cầ dù g : ,4x + 0,6 y.

ố kg t ịt ba c ỉ cầ dù g : , 5x + , 75y.

ố kg u xa cầ dù g : , x + 0,15 y.

ì tr g cuộc t y c ỉ ược sử dụ g tố a kg gạ ếp, kg t ịt ba c ỉ v 5kg

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): t á tr

u xa nên ta c ệ bất p ươ g trì

t tì g á trị ất của số f(x;y) trên

g ệ của ệ bất p ươ g trì *

H số f (x; y) = 5x + 7y sẽ ạt g á trị ất

trê g ệ của ệ bất p ươ g trì *

khi (x; y) t ạ ộ ột tr g các ỉ

-Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Suy ra f(x,y ất k x; y = 4 ; cầ

p ả g 4 cá bá c ư g ể ược số ể t ư g ất

áp á B.

-Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): số ượ g t c p ã c , c s cầ t t á

ể g ược số bá ạ ợp ất, qua ạt ược số ể t ư g ca ất

ua b t á y, c s b ết các b ết t t á v a c ư g g ả quyết ợp

c b t á tạ sả p v các u k ệ cứ g ba ầu ằ ục c c kết quả

ca ất

. . . xâ ơ ậ ấ . p t ể g ệ : p , trườ g H a ă g ưu – Yên Thành – g ệ

p ố c ứ g: p , trườ g H a ă g ưu – Yên Thành – g ệ .

ờ g a t c g ệ : 3/10/2022 ế 16/10/2022

t ế dạy t ể g ệ :

- p t c g ệ , g á v ê sử dụ g g á á ược s ạ t e ư g p át tr ể

ă g c HH H c c s , c s ổ t e ư g dạy c t c c c, b dạy

c u bị cô g p u G á v ê t a g a t c g ệ sử dụ g t ệu ể s ạ g á á v

t c ệ các ạt ộ g dạy c ố v 3 t ết dạy tr g c ủ ệ bất p ươ g trì

b c ất a

- p ố c ứ g, g á v ê sử dụ g g á á s ạ t e p ươ g p áp t uyết trì ,

d g ả ộ du g k ế t ức c v ệ t ố g b t p c g ư k ế t ức d a t e

sác g á k a v sác b t p

2.3.3. Giáo án d y h c th nghi m phát tri c mô hình hóa Toán h c cho h c sinh chủ đề h bấ ơ ậc nhất hai n

C Ủ Đ ẤT P Ư TR ẬC ẤT A Ẩ

ôn học To n; L p TT

Thờ an hực h ện 3 ế

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức: H c x g b y, H ạt các yêu cầu sau:

 Nh n diện và thể hiệ ược hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n.  Biểu di ược mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n trên m t phẳng t a ộ.  dụ g ược k ế t ức v ệ bất p ươ g trì b c ất a v g ả quyết b t á t t á v b t á t c t ăn ực

 ư duy v p u t á c: sá , p t c dữ ệu tì ra ố ê ệ g ữa các ố tượ g ã c v ộ du g b c v ệ bất p ươ g trì b c ất a , t c t ể áp dụ g k ế t ức ã c ể g ả quyết các b t á  ô ì a t á c, g ả quyết vấ t á c t ô g qua các b t á t c t  G a t ếp t á c, sử dụ g cô g cụ, p ươ g t ệ c t á II. THI T B DẠY H C VÀ H C LI U

1 Đối v i GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, g á á , ồ dùng dạy h c, t ư c thẳng có chia khoảng, phiếu h c t p. Đối v i HS: SGK, SBT, v ghi, giấy áp, ồ dùng h c t p b t, t ư c...), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm.

III. TI N TRÌNH DẠY H C

TI T 1

1. HOẠT Đ NG KHỞ Đ NG (MỞ ĐẦU)

a) Mục tiêu: H bư c ầu nh n biết ược hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n thông qua tình huố g tr g ời sống.

b) Nội dung: H c tình huống m ầu, suy g ĩ trả lời câu hỏi.

c) Tổ chức thực hiện:

Đ CỦA GV VÀ HS

- HS quan sát và chú ý lắng nghe, thảo lu n, trả lời câu hỏi.

SẢN PHẨM D KI N - GV yêu cầu HS nhắc lại: Cách biểu di n mi n nghiệm của bất p ươ g trì b c nhất hai n.

- G c H c tình huống m ầu:

- HS Trả lời câu hỏi: Cách biểu di n mi n nghiệm của bất p ươ g trì b c nhất hai n.

Cách biểu di n mi n nghiệm của bất p ươ g trì (SGK- tr24)

r g ă ay, ột cửa g ện lạnh d ịnh kinh doanh hai loạ áy u òa: u hòa hai chi u v u hòa một chi u v i số vố ba ầu k ô g vượt quá 1,2 tỉ ồng. + ư c 1: Vẽ ường thẳng d: ax + by = c

+ ư c 2: Lấy

+ ư c 3: Tính so sánh v i c.

+ ư c 4:

Cửa g ư c tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ k ô g vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cầ ầu tư kinh doanh m i loạ ba êu áy ể lợi nhu n t u ược là l n nhất? Nếu thì nửa m t phẳng bờ d chứa Mo là mi n nghiệm của bất p ươ g trì

- GV gợi m :

Nếu thì nửa m t phẳng bờ d không chứa Mo là mi n nghiệm của bất p ươ g trì

+ Lợi nhuận của phụ thuộc vào việc số lượng bán ra của những sản phẩm nào? (phụ thuộc vào số ượng bán ra của u hòa hai chi u v u hòa một chi u).

+ Có điều kiện gì cho số lượng điều hòa bán ra không? u kiện: tổng hai loại k ô g vượt quá 100, số ượ g u hòa l n ơ c bằng 0).

+ Số tiền bỏ ra để mua vào cả hai loại điều hòa phải như thế nào? (tổng số ti n mua

vào phải nhỏ ơ c bằng 1,2 tỉ ồng).

=> Tức là phải giải nhi u bất p ươ g trì hai n.

G á giá kết quả của H , trê cơ s dẫn dắt HS vào bài h c m : " g ta ã h c bất p ươ g trì b c nhất hai n, bài này ta sẽ nghiên cứu v hệ gồm nhi u bất p ươ g trì b c nhất hai n. Bên cạ là tìm hiểu v ứng dụng của , tr g c các bài toán v kinh tế, ời sống".

2. HÌNH THÀNH KI N THỨC M I

Đ ệ bấ phươn ình bậc nhất hai ẩn. Biểu di n mi n nghiệm của hệ bất phươn ình bậc nhất hai ẩn.

a) Mục tiêu: - HS nh n biết và thể hiệ ược hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n t bài toán th c ti n.

- HS biểu di ược mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n.

b) Nội dung: H c SGK, nghe giảng, th c hiện các nhiệm vụ ược g a , suy g ĩ trả lời câu hỏ , các H , H , uyện t p, c hiểu Ví dụ.

Đ Số ti n vốn mà cửa hàng phải bỏ ra ể mua hai loạ áy u hòa là:

20x + 10y (triệu ồng).

a) Điều kiện cho số lượng điều hòa bán ra: (máy)

b) Số tiền bỏ ra để mua vào cả hai loại điều hòa ( triệu ồng)

c) Lợi nhuận khi bán hết số máy của cửa hàng: ( triệu ồng)

c) Tổ chức thực hiện:

HOẠT Đ NG CỦA HS HOẠT Đ NG CỦA GV

- GV yêu cầu HS thảo lu ô , hoàn thành Đ

+ Giới thiệu một hệ các bất phương trình trong HĐ1 được gọi là hệ bất

phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Từ đó khái quát thế nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

HS áp dụng làm Luyện tập 1. + Thế nào là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

- G ư ng dẫn HS làm Ví dụ 1.

+ Đặt ẩn x, y lần lượt là số máy điều hòa loại một chiều và hai chiều, tìm các điều kiện của x và y, tìm các bất phương trình chứa x, y.

+ Rồi xác định một nghiệm của hệ.

Luyện tập 1: Ta có hệ bất p ươ g trì

Một nghiệm của hệ trên là:

(x; y) = (30; 20).

- GV cho HS làm Đ t e ô - HS thực hiện Đ

a) + Trục y c p ươ g trì x =

+ G ưu ý: p ươ g trì của trục Ox là y = 0 v p ươ g trì của trục Oy là x = 0.

ểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0, nên mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ Oy chứa ểm (1; 0) (tính cả bờ Oy).

+ Trục y c p ươ g trì y =

ểm (0; 1) ) thỏa mãn 1 > 0, nên mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ Ox chứa ểm (0: 1) (tính cả bờ Ox).

+ Vẽ ường thẳng d: x + y = 150. T a ộ ểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 150.

Mi n nghiệm của bất p ươ g trì

là nửa m t phẳng bờ d chứa gốc t a ộ (tính cả bờ d).

b) Mi n tam giác OAB là giao của các mi n , , .

c) Ta có: 1 > 0, 2 > 0 và 1 + 2 < 150 nên (1; 2) là nghiệm của hệ bất p ươ g trì ã cho. Vì 1 > 0, 149 > 0 và 1 + 149 = 150 nên (1; 149) là nghiệm của hệ bất p ươ g trì ã c

- HS phát biểu khái niệm:

+ Trong m t phẳng t a ộ, t p hợp các ểm có tạ ộ là nghiệm của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n là mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì

+ Mi n nghiệm của hệ là giao các mi n nghiệm của các bất p ươ g trì tr g ệ.

Ví dụ 2: +) GV: Nh n xét gì v mi n giao của các mi n nghiệ , , 3 ? của ểm (1;149) v i mi n tam giác OAB?

ư c : Xác ịnh mi n nghiệm của bất p ươ g trì của bất p ươ g trì (mi n không tô màu).

+ GV giới thiệu về miền nghiệm của hệ bất phương trình.

- G c H c Ví dụ 2, ư ng dẫn cụ thể cách biểu di n ư c : Xác ịnh mi n nghiệm của bất p ươ g trì (mi n không tô + Bước 1: Làm thế nào để xác định

màu).

miền nghiệm của từng bất phương trình? Miền nghiệm có bao gồm bờ là đường thẳng d: 7x + 4y = 2400?

+ Tương tự với bước 2 và bước 3.

ư c 3: Xác ịnh mi n nghiệm của bất p ươ g trì (mi n không tô màu)

- HS nhắc lạ các xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n:

+ Trên cùng một m t phẳng t a ộ, xác ịnh mi n nghiệm của m i bất p ươ g trì b c nhất hai n trong hệ và gạch bỏ mi n còn lại.

+ Mi n không bị gạch là mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì ã c

Chú ý:

thì mi n Hệ bất p ươ g trì {

nghiệm sẽ là tam giác OAB bỏ cạnh AB.

- HS th c hiện luyện t p 2 theo nhóm

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nh n kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt ộng c p ô , k ể tra c é áp á - GV c H k á quát các xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì bất nhất hai n.

ư c 1: Trục y c p ươ g trì x = v ểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0.

mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ Oy chứa ểm (1; 0) (mi n không bị gạch).

ư c 2: Trục x c p ươ g trì y = v ểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0.

mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ Ox chứa ểm (0; 1), không kể trục Ox (mi n không bị gạch). - G t câu hỏi: Ở Ví dụ 2 ta biểu diễn miền nghiệm của hệ

ư c 3: Vẽ ường thẳng d: x + y = 100.

T a ộ ểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 < 100. là tam giác OAB như

{ hình

mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ d chứa ểm (0; 0) (mi n không bị gạch).

ư c 4: Vẽ ường thẳng d': 2x + y = 120.

T a ộ ểm O(0; 0) thỏa mãn

2. 0 + 0 < 120. Vậy miền nghiệm của hệ

thì sao? mi n nghiệm của bất p ươ g trì là nửa m t phẳng bờ d' chứa ểm (0; 0) (mi n không bị gạch). {

Làm thế nào để xác định miền nghiệm. V y mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì ã c n tứ giác OABC, không kể hai

cạnh OC và BC (mi n không bị gạch).

- T G c ý c H v dấu (>, <, ) của m i bất p ươ g trì tr g hệ ể kết lu n nghiệm có lấy bờ ay không.

- GV yêu cầu HS áp dụng làm Luyện tập 2, cho HS kiể tra c é áp á

- GV tổ g quát ưu ý ại kiến thức tr ng tâm và yêu cầu H g c ép ầy ủ vào v .

TI T 2

Đ Ứng dụng của hệ bấ phươn ình bậc nhất hai ẩn

a) Mục tiêu:

- HS nh n biết ược F(x; y) = ax + by, v i (x; y) là t a ộ các ểm thuộc mi a g ác là mi n nghiệm của một hệ bất p ươ g trình b c nhất hai , ạt giá trị nhỏ nhất hay l n nhất tại một tr g các ỉnh của a g ác

- V n dụng kiến thức ã c v hệ bất p ươ g trì b c nhất hai ể giải bài toán th c tế.

b) Nội dung: H qua sát G ể tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu của GV, chú ý nghe giảng, th c hiệ các H 3, c hiểu Ví dụ 3, V n dụng. c) Tổ chức thực hiện:

HOẠT Đ NG CỦA HS HOẠT Đ NG CỦA GV

Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nh n kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, hoạt ộng c p ô , k ể tra c é áp á - GV yêu cầu HS thảo lu ô , hoàn thành Đ3

- H suy g ĩ trả lời các câu hỏi.

- HS báo cáo H 3:

Thay t a ộ ểm O(0; 0): F(0; 0) = 0

Thay t a ộ ểm

A(150; 0): F(150; 0) = 300 + Dự đoán giá trị nhỏ nhất của hàm F(x; y) tại (x; y) là tọa độ của điểm như thế

Thay t a ộ ểm nào trên miền tam giác OAB?

B(0; 150): F(0; 150) = 450 ể ỉnh của tam giác OAB)

Thay t a ộ ểm (5; 100): F(5; 100) = 310 - G ưa ra n xét cho HS.

Thay t a ộ ểm (100; 10):

F(100; 10) = 230

( 5; v ; ểm thuộc mi n nghiệm của hệ p ươ g trì

Tổ g quát, gười ta chứ g ược rằng giá trị l n nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x; y) = ax + by, v i (x; y) là t a ộ các ểm thuộc mi a g ác , tức các ểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của a g ác, ạt ược tại một tr g các ỉnh của a g ác

b) xét: x v y u g á trị k ô g âm. G á trị ỏ ất của F x; y trê ta g ác : tạ x = y = c) Nh n xét: và . - GV gi i thiệu trong các bài toán th c tế ta t ường phải tìm giá trị nhỏ nhất, hay l n nhất của một biểu thức F.

Giá trị l n nhất của F(x; y) trên mi n tam giác OAB là: 450 tại x = 0, y = 150. - G c H c Ví dụ 3, hư ng dẫn HS cách làm.

- Một số HS khác nh n xét, bổ sung cho bạn.

+ Hướng dẫn HS tìm miền nghiệm, tìm lợi nhuận tương ứng với mỗi phương án bằng cách thay tọa độ các đỉnh vào biểu thức tính lợi nhuận.

- GV cho HS làm Vận dụng vào phiếu học tập.

+ a) Các giá trị x và y có các điều kiện nào?

+ c) Để tìm số lượng máy tính mỗi loại để thu được lợi nhuận lớn nhất thì ta phải tìm giá trị x, y như thế nào?

(Tìm x, y sao cho F l n nhất).

- H g ơ tay p át b ểu, lên bảng trình bày

Ví dụ 3 (SGK – tr 29) - GV tổ g quát ưu ý ại kiến thức tr ng tâm và yêu cầu H g c ép ầy ủ vào v .

ư c : Xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì

ư c 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các

ỉnh của tứ giác này.

ư c 3: So sánh các giá trị t u ược của F ư c ể tìm giá trị l n nhất của F.

- H g ơ tay p át b ểu, lên bảng trình bày

Vận dụng:

G i số ượng máy tính loại A cần nh p là x (x ) và loại B cần nh p là y ( ).

Do tổng nhu cầu hằ g t á g k ô g vượt quá 250 máy nên ta có: .

T giả thiết ta suy ra giá máy m i loại A và B lầ ượt là 10 triệu ồng và 20 triệu ồng. ta c bất p ươ g trì :

ta có hệ bất p ươ g trì :

b) Lợi nhu t u ược khi bán x máy loại A và y máy loại B là: F(x; y) = 2,5x + 4y.

c) Ta cần tìm giá trị l n nhất của F(x; y)

v i (x; y) thỏa mãn hệ bất p ươ g trì trên.

ư c 1: Mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trình là tứ giác OABC v i t a ộ các ỉnh là:

O(0; 0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0).

ư c 2: Tính giá trị của F(x) tạ các ỉnh của tứ giác:

F(0; 0) = 0, F(0; 200) = 800, F(100; 150) = 850, F(250; 0) = 625.

ư c 3: sá , ta ược giá trị l n nhất cần tìm là:

F(100; 150) = 850.

V y cửa hàng cầ ầu tư áy ại A và 150 máy loại B.

PHI U H C TẬP 1

Vận dụng (SGK – tr 30)

Một cửa hàng có kế hoạch nh p v hai loại máy tính A và B, giá m i chiếc lần ượt 10 triệu ồng và 20 triệu ộng v i số vố ba ầu k ô g vượt quá 4 tỉ ồng. Loại máy A mang lại lợi nhu n 2,5 triệu ồng cho m áy bá ược và loại máy B mang lại lợi nhu n là 4 triệu ồng m i máy. Cửa g ư c tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ k ô g vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nh p số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a. Viết các bất p ươ g trì b ểu thị các u kiện của bài toán thành một hệ bất p ươ g trì

……………………………………………………………………………………...

………………………………………………………………………………………

b G F tr ệu ồ g ợ u cửa g t u ược tr g t á g khi bán x máy t ạ v y áy t ạ Hãy b ểu d F t e x v y F x; y = ………………………… c ì số ượ g áy t ạ cửa g cầ p v tr g t á g ể ợ u t u ược ất ư c : Xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì câu a. (Chỉ ra cụ thể các ỉnh của a g ác n nghiệm)

ư c 2: Tính giá trị của F x; y ta các ỉnh của mi a g ác v a tì ược bư c 1.

………………………………………………………………………

ư c 3: So sánh các giá trị bư c , ta ược giá trị l n nhất cầ tì : n vào ch ........ giá trị thích hợp) F(..........; ............) = ....................

Kết lu n: V y cửa hàng cầ ầu tư ba êu áy ại A và bao nhiêu máy loại B?

………………………………………………………………………………………

Nội dung ôn tập ở nhà và chuẩn bị cho tiết tiếp theo:

ể chu n bị cho việc HS t báo cáo các sản ph m của ã nhà v i nội dung cho tiết 3, G ư ng dẫn cho h c sinh các yêu cầu ư sau:

Nhóm 1: Ôn t p lại các kiến thức của bài, gi i thiệu ến l p một bài toán ứng dụng trong th c ti n của hệ bất p ươ g trì a n.

Nhóm 2: Gi i thiệu ến l p một bài toán ứng dụng trong th c ti n của hệ bất p ươ g trình hai n. T trì b y tầm quan tr ng của việc giải hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n trong th c ti n, nêu một số l p ứng dụng.

TI T 3

C. HOẠT Đ NG LUY N TẬP

a) Mục tiêu: H c sinh củng cố lại kiến thức của bài h c.

b) Nội dung: HS v n dụng các kiến thức của bài h c làm bài tập số 1 : Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng

bằng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800000 đồng, trên sóng truyền hình là đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình dài tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16000000 đồng cho quảng cáo. Công ty cần đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất?

Bài tập số 2 ( nh m hư ng dẫn làm bài ở nhà) . Một p xư g c a áy c chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản ph m I và II. Biết rằng ti n lãi là 2 triệu ồng/1 tấn SP I, 1,6 triệu ồng/1 tấn SP II và Thời gian sản xuất t ng loại sản ph m là 3 giờ M1 + 1 giờ M2 /1 tấn SP I và 1 giờ M1 + 1 giờ M2 /1 tấn SP II. Biết thời gian làm việc là M1 không quá 6 giờ / ngày, M2 không quá 4 giờ / ngày và m áy k ô g ồng thời sản xuất cả hai loại sản ph t kế hoạch sản xuất sao cho tổng ti n lãi là cao nhất?

c) Tổ chức thực hiện:

HOẠT Đ NG CỦA NHÓM HS, GV

Nhóm 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

HOẠT Đ NG CỦA HS Thực hiện nhiệm vụ: HS quan sát và chú ý lắ g g e, suy g ĩ, t các bài t p Nhóm 1 yêu cầu.

- 2 HS của nhóm 1 tổng hợp các kiến thức cần ghi nh cho HS trong l p nhằm ôn t p kiến thức của chủ qua bài giảng powerpoint: https://bom.so/rYlHXo

Báo cáo, thảo luận:

- GV theo dõi bao quát l p và nhóm 1.

- M i bài t p có 1 HS của nhóm 2,3,4 trình bày. Các HS khác chú ý chữa bài, theo dõi nh n xét bài trên bảng.

Nhóm 1 gi i thiệu bài t p số 1 : Kết quả:

Bài 1: Phân tích bài toán: G i thờ ượng cô g ty t quảng cáo trên sóng phát thanh là x(phút), trên truy n hình là y(phút). Chi phí cho việc quảng cáo là: 800000x+4000000y ồng).

Mức chi này không ược p ép vượt quá mức chi tố a, tức là: 800000x + 4000000y ≥ 16000000 hay x+5y- ≤

các u kiệ p át t a , truy n ì ưa ra, ta c :,

ồng thời do là thờ ượng nên x ≥5 ,y≤ .

Hiệu quả chung của quảng cáo là: x+6y

Bài toán tr t : Xác ịnh x,y sao cho:M(x,y)=x+6y ạt giá

trị l n nhất.

rư c t ê ta xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì

Kết luận, nhận định:

n nghiệm của hệ bất p ươ g trình là phần m t

- Nhóm 1 chữa bài, chốt áp á , tuyê dươ g các ạt ộng tốt, nhanh và chính xác. phẳng (tam giác) không tô màu trên hình vẽ.

- GV chú ý cho HS các l i sai hay mắc phải, chú ý v dấu của bất p ươ g trì x,y =x+6y ạt giá trị l n nhất tại một tr g các ểm (5;3),(5;0),(20;0)

(>, <, ể kêt lu n t p nghiệm cho g Ta tì ược v 5;3 ạt giá trị l n nhất

ư ng dẫn bài 2 : G i x, y lầ ượt là số tấn sản ph m loại I, loại II sản xuất trong 1 ngày V y nếu t thờ ượng quảng cáo trên sóng phát thanh là 5 phút và trên truy n hình là 3 phút thì sẽ ạt hiệu quả nhất.

Hãy tìm các mối liên hệ của x, y, t tì mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì tì ược. V n dụng bổ ể tìm giá trị l n nhất của ti n lãi. T c kế hoạc ể sản xuất ạt kết quả cao nhất.

D. HOẠT Đ NG VẬN DỤNG

a) Mục tiêu:

- H c sinh th c hiện làm bài t p v n dụ g ể nắm vững kiến thức.

- HS thấy ược ứng dụng của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n trong bài toán th c tế, bài toán tố ưu

b) Nội dung: HS sử dụng kiến thức SGK và v n dụng kiến thức ã c ể làm bài

Bài tập số 3 : Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp ă i, m ộ c ơ ược sử dụng tố a kg gạo nếp, 2 kg thịt ba chỉ, 5 kg u xa ể g bá c ư g v bá ố g ể gói một cá bá c ư g cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt v , kg u xanh; ể gói một cái bánh ống cần 0,6 kg gạo nếp, 0,075 kg thịt v , 5 kg u xanh. M i cái bá c ư g ược 5 ể t ư ng, m i cái bánh ống nh ược 7 ể t ư ng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh m i loạ ể ược nhi u ể t ư ng nhất?

A. 5 cá bá c ư g C. 35 cá bá c ư g v 5 cá bá ống.

B. 4 cá bá c ư g D. 3 cá bá c ư g v 4 cá bá ống

c) Tổ chức thực hiện:

HOẠT Đ NG CỦA HS HOẠT Đ NG CỦA GV

Thực hiện nhiệm vụ Chuyển giao nhiệm vụ

- HS các nhóm còn lại theo s phân công của trư ng, hợp tác thảo lu ưa ra ý k ến. - GV yêu cầu nhóm 2 báo cáo sản ph m của nhóm : bài tập số 3 ược trình chiếu trên bảng : https://bom.so/IvmVj3

Báo cáo, thảo luận - Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, các HS chú ý lắng nghe sửa l i sai.

- GV theo dõi bao quát l p và báo cáo của nhóm 2.

- Bài t p: ại diện nhóm trình bày kết quả thảo lu n, các nhóm khác theo dõi, ưa ý k ến. Nhóm 2 gi i thiệu bài t p số 3 :

Bài 3. G i số bá c ư g g ược là x, số bánh ố g g ược y số ể t ư ng là: f(x ; y) = 5x + 7y

Số kg gạo nếp cần dùng là:

Số kg thịt ba chỉ cần dùng là:

Số kg u xanh cần dùng là:

Vì trong cuộc thi này chỉ ược sử dụng tố a kg gạo nếp, 2kg thịt ba chỉ và 5kg u xanh nên Ta có hệ bất p ươ g

trình: Kết luận, nhận định:

- Nhóm 2 chữa bài, chốt áp á , tuyê dươ g các ạt ộng tốt, nhanh và chính xác. Mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì (*) là tam giác OAB (kể cả biên)

- GV chú ý cho HS các l i sai hay mắc phải, chú ý v dấu của bất p ươ g trì >, <, ể kêt lu n t p nghiệ c g

Hàm số f(x, y) = 5x + 7y sẽ ạt giá trị l n nhất trên mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì k x, y t ạ ộ một tr g các ỉnh O(0;0), A(40;0), B(0;80/3)

t câu hỏi và trả lời v ứng dụng của hệ bất p ươ g trì b c nhất hai n trong th c ti n ?

Mà F(0;0)=0; F(40;0)=200; F(0;80/3)=560/3

=> F(x, y) l n nhất khi (x, y)= (40;0) cần phả g 4 cá bá c ư g ể nh ược số ể t ư ng l n nhất - GV cho h c sinh cả l p á giá v phần trình bày sản ph m d án của nhóm 1 và nhóm 2 ?

áp á B. Kết luận, nhận định

- GV nh xét, á g á, ưa ra áp á g, c ý các i sai của h c sinh hay mắc phải. * Ư NG DẪN V NHÀ

- Ghi nh kiến thức trong bài. - Hoàn thành các bài t p trong SBT, làm thêm bài t p ôn t p của chủ . - Chu n bị bài m “ t p cuố c ươ g II". GV chia HS thành 4 – 5 tổ, m i tổ sẽ vẽ sơ ồ kiến thức của c ươ g

PHI U H C TẬP 1

Vận dụng (Đề dự bị kỳ thi THPTQG năm 2015) Trong một cuộc thi pha chế, m ội c ơ ược sử dụng tố a 24 g ươ g ệu, 9 t ư c và 210 g ườ g ể pha chế ư c cam v ư c tá ể pha chế 1 t ư c cam cần 30 g ường, 1 t ư c và 1 g ươ g liệu; pha chế 1 t ư c táo cần 10 g ường, 1 t ư c và 4 g ươ g ệu. M t ư c cam nh ược 60 ể t ư ng, m t ư c táo nh ược 80 ể t ư ng. Hỏi cần pha chế bao êu t ư c trái cây m i loạ ể ược số ể t ư ng là l n nhất.

a. Viết các bất p ươ g trì b ểu thị các u kiện của bài toán thành một hệ bất p ươ g trì v i 2 n n là x và y.

………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………

b G F số ể t ư g các ộ c ơ c ược k p a c ế ược a ạ ư c trá c y trê Hãy b ểu d F t e x và y. F x; y = …………………………………………………………… c ì số ượ g t ư c trá c y ạ ể ược số ể t ư g ất ư c : Xác ịnh mi n nghiệm của hệ bất p ươ g trì câu a. (Chỉ ra cụ thể các ỉnh của a g ác n nghiệm)

ư c 2: Tính giá trị của F x; y ta các ỉnh của mi a g ác v a tì ược bư c 1.

………………………………………………………………………

ư c 3: So sánh các giá trị bư c , ta ược giá trị l n nhất cần tìm là: n vào ch ........ giá trị thích hợp) F(..........; ............) = ....................

Kết lu n: V y số t ư c trái cây m i loại mà các ội cần pha chế ể ược số ểm t ư ng là l n nhất là ……………………………………………………………………

Bài tập ôn tập của chủ đ :

Bài 1. gườ ta d ị dù g a ạ guyê ệu ể c ết xuất t ất 4 kg c ất A v 9 kg c ất B tấ guyê ệu ạ I g á 4 tr ệu ồ g, c t ể c ết xuất ược kg c ất A v ,6 kg c ất B tấ guyê ệu ạ II g á 3 tr ệu ồ g c t ể c ết xuất ược kg c ất A v ,5 kg c ất B Hỏ p ả dù g ba êu tấ guyê ệu ạ ể c p ua guyê ệu t ất, b ết rằ g cơ s cu g cấp guyê ệu c ỉ c t ể cu g cấp k ô g quá tấ guyê ệu ạ I v k ô g quá 9 tấ nguyên ệu ạ II A. 5 tấ guyê ệu ạ I v 4 tấ guyê ệu ạ II B. tấ guyê ệu ạ I v tấ guyê ệu ạ II C. tấ guyê ệu ạ I v 9 tấ guyê ệu ạ II D. 5 tấ guyê ệu ạ I v 9 tấ guyê ệu ạ II Bài 2. ột g a ì cầ t ất 9 ơ vị pr te v 4 ơ vị p t tr g t ức ă 53

B. ,6 kg t ịt bò v ,7 kg t ịt ợ D. ,6 kg t ịt ợ v ,7 kg t ịt bò

g y kg t ịt bò c ứa 8 ơ vị pr te v ơ vị p t kg t ịt ợ c ứa 6 ơ vị pr te v 4 ơ vị p t ết rằ g g a ì y c ỉ ua tố a ,6 kg t ịt bò v , kg t ịt ợ ; g á t kg t ịt bò 45 g ì ồ g, kg t ịt ợ 35 g ì ồ g Hỏ g a ì p ả ua ba êu kg t ịt ạ ể số t bỏ ra t ất A. ,3 kg t ịt bò v , kg t ịt ợ C. ,6 kg t ịt bò v , kg t ịt ợ Bài 3: Có ba nhóm máy A, B, C dù g ể sả xuất ra hai ạ sả p ầ I và II. ể sả xuất ột ơ vị sả p ạ ầ ượt dù g các áy t uộc các k ác nhau. ố áy trong ột của t g cầ t ết ể sả xuất ra ột ơ vị sả p t uộc ạ ược cho trong bả g sau: ột ơ vị sả p I lãi 30 g ì ồ g, ột ơ vị sả p II lãi 50 g ì ồ g Hãy p p ươ g á ể v ệc sả xuất hai ạ sả p trê c ã cao ất

ố áy tr g t g ể sả xuất ra ột

Nhóm ơ vị sả p

A B C ả p II 2 2 4 ố áy tr g nhóm 10 4 12 ả p I 2 0 2

B. 4 sả p I và 1 sả p II. D. áp á k ác

B. 10 xe ạ A và 2 xe ạ B. D. 4 xe ạ A và 5 xe ạ B.

B. 6 ha u v 2 ha cà. D. 8 ha cà.

A. 5 sả p I. C. 2 sả p I và 2 sả p II. Bài 4. ột cô g ty cầ t uê xe ể c 140 gườ v 9 tấ g ơ t uê xe có hai ạ xe A và B, trong ạ xe A có 10 c ếc v ạ xe B có 9 c ếc ột c ếc xe ạ A cho t uê v g á 4 tr ệu ồ g, ột c ếc xe ạ B cho t uê v g á 3 tr ệu ết rằ g xe ạ A c t ể c tố a 20 gườ v 0,6 tấ g; xe ạ B c t ể c tố a 10 gườ v 1,5 tấ g Hỏ p ả t uê bao nhiêu xe ạ ể chi p bỏ ra là ít ất A. 5 xe ạ A và 4 xe ạ B. C. 10 xe ạ A và 9 xe ạ B. Bài 5. ột ộ ô g d ị trồ g u v c trê d ệ t c 8 ha. ếu trồ g u t ì cầ 20 công và thu 3000000 ồ g trê d ệ t c ha, ếu trồ g c t ì cầ 30 công và thu 4000000 ồ g trê d ệ t c ha. Hỏ cầ trồ g ạ c y trê v d ệ t c là bao êu ể thu ược u t ất b ết rằ g tổ g số cô g k ô g quá 180. A. 1 ha u v 7 ha cà. C. 6 ha cà và 2 ha u Dụ ý ủ giáo án: ục t êu của g á á ã t ể ệ ược t t ầ p át tr ể ă g c c u g v ă g c ô ì a t á c r ê g H cầ ạt ược sau b c r g , qua ệ v ă g c HH H ược t ể ệ qua v ệc:

- Xác ị ô ì t á c c các tì uố g xuất ệ tr g b t á t c t H v ệc v các tì uố g t c tế ể t ấy ược ố ê qua p ụ t uộc g ữa a ạ ượ g, t tê c a ạ ượ g bằ g cô g t ức t á c x, y ược t ra t e t g b t á , x y d g ố qua ệ của a ạ ượ g bằ g ô ì t á c y c các ố qua ệ t ô g qua b ểu t ức v t , ì t ệ bất p ươ g trì b c ất . - G ả quyết ược vấ t á c tr g ô ì ược t ết p G sử dụ g p ếu c t p ể củ g cố k ế t ức c H t ô g qua các b t p cả dạ g trắc g ệ v t u t ì t kỹ ă g c H t ược g á trị ất của b ểu t ức v u k ệ c trư c, b ết dù g gô gữ v k ệu t c ợp v ức ộ g ca ơ . H b ết c uyể ổ ược vấ t tì uố g t c tế g ả ị sa g H H y d ệ ố qua ệ g ữa a ạ ượ g x v y, t ết p các b ểu t ức t ể ệ ố qua ệ, b ểu d ược g ệ của ệ v tì ược g á trị ất của b ểu t ức yêu cầu).

- ể ệ v á g á ờ g ả tr g bố cả t c t y H c t ể ểu ý g ĩa của t t á g á trị số t e tì uố g t c t ua các v dụ v b t p, H t ấy ược ô ì “ ệ bất p ươ g trì b c ất ” c t tr g u tì uố g t c t v c t ể ô p ỏ g t các dạ g tươ g t các b t á ã ược bài toán t c p , b t á sả xuất, b t á k d a … au k ạt ược các ục t êu ra, H k ô g c ỉ b ết k ế t ức tr g t tr g b “Hệ bất p ươ g trì b c ất ” H cò c k ả ă g b ết quá trì ì t k ế t ức v H b ết dù g k ế t ức tr g t c t b ết v trả g ệ quá trì ì t g á t ếp t ể ệ v ệc ô ì a ; b ết dù g k ế t ức t ể ệ b ết ra H H tr g tì uố g t c t u qua tr g ất, H t ấy ứ g dụ g của ệ bất p ươ g trì b c ất c t k ắp ơ tr g ờ số g v tr g t á c ô g qua c ủ trê , H c t ể p kế ạc c d á tươ g a v các k uy ư g p át tr ể k ác ể t c t ể t t á ể xác ị ược b t á tố ưu tr g các cô g v ệc g g y của ì v g a ì .

C Ư 3. TH C NGHI M SƯ P Ạ

3.1. Mục đ ch nh ệm vụ thực nghiệm

c g ệ sư p ạ ược t ế ể k ể g ệ g ả t uyết k a c, t k ả t v cấp t ết, t ệu quả của ột số g ả p áp ã x y d g t ô g qua v ệc dạy c c ủ số p v p ết ố tr t ức v cuộc số g , áp dụ g các g ả p áp v g ả ột p b t á tố ưu tr g t c t

3.2. Tổ chức thực nghiệm

3.2.1 Cách thức tổ chức

- Chúng tôi tiến hành th c nghiệm bằng 2 cách: Cách thứ nhất là cho h c sinh làm bài kiếm tra 45 phút (Trình bày phần phụ lục) v nội dung: ứng dụng Toán h c ể giải quyết bài Toán th c ti n trên các l p là l p 12A4 – L p ối chứng là l p 12A3 có l c h c tươ g ươ g au; Dạy h c thể nghiệm qua dạy h c chủ “ Hệ bất p ươ g trì b c nhất – Toán 10, Kết nối tri thức và sáng tạ ” tại l p 10A2 – L p ối chứng là rườ g H a ă g ưu. Link video 2 hoạt ộng của h c sinh trong tiết h c thể nghiệm: Link báo cáo của nhóm 1: https://drive.google.com/file/d/1gQCtx0qaVtjuSlgFsjeE3t2thJkCYcpe/view?usp=share _link

Link báo cáo của nhóm 2: https://drive.google.com/file/d/1DftQbnqAK5s_ybgg0rZS6haBboXsO5ja/view?usp=s hare_link

Bên cạ c g tô th c nghiệm bằng cách thứ 2 là tiến hành khảo sát mức ộ cấp thiết và khả thi của các giả p áp ưa ra t ô g qua p ếu khảo sát, thu th p ý kiến của h c sinh và giáo viên

- Phiếu khảo sát tính cấp thiết, tính khả thi của h c sinh

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSfpU4j_w- mIE6NoDojcV2xysEkFbAO5hOqgisRbDMO8FOElug/viewform?usp=sf_link

- Phiếu khảo sát tính cấp thiết, tính khả thi của giáo viên

https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSe8C0-Vf- KdvoN0R9vI0J8oLLzzRJ58sVvQ5N3nCb5JCMrJAg/viewform?usp=sf_link

3.2.2 K t qu th c nghi m

3.2.2.1. K t qu th c nghi đ c ti p k t qu h c sinh Nhận xét trong quá trình chấm bài kiểm tra và hệ thống bài tập, dự giờ và đánh giá qua giờ dạy, kết quả như sau: - ố tượng HS giỏi: các em l p th c nghiệm ã g ả ược tr n vẹn hầu hết các bài t p, biết cách chuyển t tình huống th c ti n sang dạng mô hình toán h c rất tốt. Còn l p ối chứng thì tỷ lệ giả ược ủ và hoàn thiện thấp ơ

- ố tượng HS khá: các em l p th c nghiệ ã g ả ược tr n vẹn ¾ bài t p, biết cách chuyển t tình huống th c ti n sang dạng mô hình toán h c khá tốt. Còn l p ối chứng thì tỷ lệ giả ược ủ và hoàn thiện thấp ơ 20 - 30%). - ố tượng HS trung bình: các em l p th c nghiệ ã g ả ược tươ g ối ch t chẽ 2-3 bài t p, biết cách chuyển t tình huống th c ti n sang dạng mô hình toán h c. Còn l p ối chứng thì tỷ lệ giả ược 2 bài chỉ ạt 7 % ồng thời l p lu t t á c g còn sai sót. - á g á b ểu hiện v v ă g c MHH của HS: Thông qua quan sát, chấm bài kiểm tra của HS, chúng tôi nh n thấy ă g l c MHH của HS l p th c nghiệm tiến bộ ơ á g kể so v i HS l p ối chứng, biểu hiện : Các em th c hiệ ược a số các kỹ ă g HH ư b ết rút g ể ơ g ản tình huố g ba ầu → rõ ục tiêu và nhìn thấy vấn → Xác ị ược các biến, tham số, hằng số → ết l p ược b t á → a ch n mô hình, công cụ toán h c và biểu di n bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán h c → g ả ược bài toán và liên hệ lại vấ trong th c ti n.

3.2.2.2. K t qu th c nghi m qua vi c kh o sát tính cấp thi t, kh thi của các gi i đ ủa h c sinh và giáo viên

Tổng hợ đ ợng kh o sát

Đố ượng Số ượng TT

Giáo viên 19 1

H c sinh 117 2

Về k t qu kh đ ợc giáo viên trong tổ chuyên môn và các em h c đ

ề s cấp thi t của các gi đề xuất

TT Các gi i pháp Các thông s

Mức

3.54 Rất cấp thi t

1 Rèn luyệ c H kĩ ă g t biến cho các yếu tố ại ượ g , b ết b ểu thị tình huống th c ti n thông qua những biểu thức chứa biến và bằng biểu ồ, ồ thị, hình vẽ

3.52 Rất cấp thi t

2 Hư g dẫ c H k a t ác các c ức ă g của mô hình, ồng thời kiể tra v u chỉnh mô hình toán h c ưa toán h c xâm nh p sâu rộng vào tình huống th c ti n

3.50 Rất cấp thi t

3 Tổ chức cho HS hoạt ộng sử dụ g ô ì ể d á , ư c tính kết quả của tình huống trong th c ti , b ết khái quát hóa tình huống th c ti t e qua ểm của toán h c

3.45 Cấp thi t

4 Phát triể ă g c mô hình hóa cho h c sinh l p 12 thông qua giải quyết các b t á tì G , G tr g t c t

5 át tr ể ă g c ô ì a t ô g qua x y d g các 3.38 Cấp thi t

k ố ì c t ể t c ất, ỏ ất

6 p dụ g c ủ ệ bất p ươ g trì u g ả quyết 3.4 Cấp thi t

các b t á tố ưu tr g t c t

3.44 Cấp thi t

7 Xây d ng, thiết kế các tiết dạy ể phát triể ă g c mô hình hóa Toán h c cho h c sinh THPT thông qua chủ Toán h c v i th c ti n

ề tính kh thi của các gi đề xuất

TT Các gi i pháp Các thông s

Mức

3.54 Rất kh thi

3.42 Kh thi

2 Hư g dẫ c H k a t ác các c ức ă g của mô hình, ồng thời kiể tra v u chỉnh mô hình toán h c ưa toán h c xâm nh p sâu rộng vào tình huống th c ti n

3.42 Kh thi

3 Tổ chức cho HS hoạt ộng sử dụ g ô ì ể d á , ư c tính kết quả của tình huống trong th c ti , b ết khái quát hóa tình huống th c ti t e qua ểm của toán h c

3.45 Kh thi

4 Phát triể ă g c mô hình hóa cho h c sinh l p 12 thông qua giải quyết các b t á tì G , G tr g t c t

5 át tr ể ă g c ô ì a t ô g qua x y d g các 3.45 Kh thi

k ố ì c t ể t c ất, ỏ ất

6 p dụ g c ủ ệ bất p ươ g trì u g ả quyết 3.45 Kh thi

các b t á tố ưu tr g t c t

3.46 Kh thi

7 Xây d ng, thiết kế các tiết dạy ể phát triể ă g c mô hình hóa Toán h c cho h c sinh THPT thông qua chủ Toán h c v i th c ti n

PHẦN P Ầ K T LUẬN

1. Kết luận

Dạy h c bằng MHH có vai trò quan tr ng trong việc phát triể ă g c cho H qua ô á , áp ứng yêu cầu th c hiệ c ươ g trì g á dục phổ thông m i, làm cho nội dung giáo dục không bị bó hẹp trong sách v , mà gắn li n v ời sống th c ti n xã hộ , c ường gắn lý thuyết v i th c ti n, tạo nên s thống nhất giữa nh n thức v ộng, góp phần phát triển ph m chất, tư tư g, ý c , kĩ ă g sống, hình thành nhữ g ă g c cần có của con gười trong xã hội hiệ ạ , c ường ể phát triển toàn diện nhân cách HS, áp ứ g ược yêu cầu ổi m i chươ g trì , ổi m p ươ g p áp dạy h c tr g c ươ g trì g á dục phổ thông m i. Các giải pháp cụ thể, các bư c hình thành và phát triể ă g c mô hình hóa Toán h c cho h c sinh ã g p các e b ết ị ư ng, giải quyết l p bài toán tố ưu v các vấn liên quan trong th c ti g p các e trá ược một số sai lầm mà bả t t ường mắc phả ư sa ầm v u kiện của biến, sai làm v hàm số rút ra, thiếu các dữ liệu v mối liên hệ giữa các biến....Giúp các em biết giải, giả c xác ơ p bài toán phức tạp y g t ô g qua các p ươ g p áp, c ủ này, giúp các em thấy ược tầm quan tr ng của Toán h c trong cuộc số g ơ , ược áp dụng rộng rãi trong m ĩ v c Hóa, lí, Sinh... rồi các hoạt ộ g ư t ể thao, xây d ng, giao thông, thủy lợi...trong cuộc sống hàng ngày.

2. huyến n hị

- Vì chủ này là một l p bài Toán khá phức tạp và cần thiết nên bố trí cho h c sinh l p khoảng 3 tiết dạy h c theo nghiên cứu bài h c, ho c kết hợp vào các tiết t ch n tr g c ươ g trì c k a

- Khi ra bài t p tr g thi cầ ưu ý các b t á dạ g y ể h c sinh biết liên hệ

giữa Toán h c v i th c ti n cuộc số g v gược lại

- Khi dạy h c chủ này, giáo viên nên phân tích một số sa các e t ường g p ể các em thấy rõ các ểm cầ ưu ý k g ải các bài Toán th c ti g ư ấn mạnh một số ưu, ược ểm khi áp dụ g g b á v cuộc sống, phải biết kết hợp giữa Toán h c v u kiện khách quan trong cuộc sống, không áp dụng một cách máy móc.

TÀI LI U THAM KHẢO

1. Ban Chấp hành Tru g ươ g 3 Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013

về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa,

hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội

nhập quốc tế. Bộ GD- 8 Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban

hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ trưởng Bộ

GD-ĐT).

Tạp chí Giáo dục, Số c biệt tháng 9/2018, tr 127-129; 176 2.

ạp c G á dục, ố 5 ì - 10/2021), tr 7-10 3.

Nguy n Bá Kim 7 H ô á X H 4.

5. ô u : ử dụ g p ươ g p áp dạy c v g á dục p át tr ể p c ất,

ă g c c s ru g c p ổ t ô g ô á ệu ư g dẫ bồ dưỡ g g á

v ê p ổ t ô g cốt cá )

6. guồ t internet, các bộ thi t ử, các c ủ uyệ thi ốt g ệp trung c

p ổ thông

SGK giải tích l p c ươ g trì c u n. 7.

SGK môn Toán l p 10 – Kết nối tri thức v i cuộc sống 8.

PHỤ LỤC

PHI U KHẢO SÁT 1: ẢO S T V T C TRẠ CỦA V C P T TR Ă L C A TO C Đ Ả QU T C C À TO T ƯU TRO T C T C O Đ TƯ O V Ê

Câu hỏ ầy cô ãy á g á v ức ộ cầ t ết của v ệc tă g cườ g ê ệ t á c v t c t tr g dạy c môn Toán THPT.

□ ì t ườ g □ ầ t ết

□ ất cầ t ết

□ Không cầ t ết

Câu hỏi 2. Thầy cô ãy á g á v mức ộ t ường xuyên của việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán h c trong th c ti n và liên hệ v i kiến thức toán h c trường THPT.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 3. Thầy cô ãy á g á v mức ộ t ường xuyên của việc thiết kế các hoạt ộng giúp HS hiểu những ứng dụng của Toán h c trong giải quyết các tình huống nảy sinh t th c ti n.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 4. Thầy cô ãy á g á v mức ộ t ường xuyên của việc sử dụng công nghệ thông tin giúp HS hiểu những mô hình của toán h c trong th c ti n.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyên

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 5. Thầy cô ãy á g á v mức ộ t ường xuyên của việc thiết kế các bài t p, bài kiể tra d c H t e ư ng v n dụng mô hình toán h c ể giải quyết các bài toán tố ưu ảy sinh t th c ti n.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏ 6 ầy cô ãy á g á v tầ qua tr g của ô ì a t á c trong dạy c á trườ g H ?

□ ô g qua tr g □ Bình t ườ g □ ua tr g □ ất qua tr g

Câu hỏi 7. Thầy cô ãy á g á v tầm quan tr ng của mô hình hóa toán h c trong dạy h c giải quyết các bài toán tố ưu tr g t c ti n trường THPT?

□ ô g qua tr g □ Bình t ườ g □ ua tr g □ ất qua tr g

Câu hỏi 8. Theo các thầy (cô), hoạt ộng mô hình hóa giúp phát triển HS THPT nhữ g kĩ ă g sau y? c t ể ch n nhi u kỹ ă g

□ G ả quyết vấ

□ v ệc t e

□ dụ g t á c tr g t c t

□ ử dụ g gô gữ t á c

□ dụ g cô g g ệ t ô g t

Câu hỏi 9. Theo các thầy (cô), GV dạy toán THPT cần có những hiểu biết gì ể có thể v n dụ g p ươ g p áp HH tr g dạy h c?(Có thể ch n nhi u p ươ g á

□ ươ g p áp dạy c

□ ết kế ô ì t á c

□ dụ g t á c tr g t c t

□ ế t ức v các vấ t c t

□ ô g g ệ t ô g t

□ ế t ức t á c p ổ t ô g

□ ổ c ức ạt ộ g g ạ k á

□ ế t ức k a c t á

Câu hỏi 10. Theo thầy cô , ă g c mô hình hóa gồm có những thành tố dư i y?

□ t c tì uố g t c t

□ ơ g ả á g ả t uyết

□ Xác ị b ế , t a số b t á

□ a c ô ì t á c

□ ê ệ ô ì v t c t

□ X y d g b t á

□ ết p ô ì

□ ả t ế ô ì

K T QUẢ KHẢO SÁT

Câu hỏ ầy cô ãy á g á v ức ộ cầ t ết của v ệc tă g cườ g ê ệ t á c v t c t tr g dạy c ô Toán THPT.

Câu hỏi 4. Thầy cô ãy á g á v mức ộ t ường xuyên của việc sử dụng công nghệ thông tin giúp HS hiểu những mô hình của toán h c trong th c ti n.

Câu hỏ 6 ầy cô ãy á g á v tầ qua tr g của ô ì a t á c trong dạy c á trườ g H ?

Câu hỏi 7. Thầy cô ãy á g á v tầm quan tr ng của mô hình hóa toán h c trong dạy h c giải quyết các bài toán tố ưu tr g t c ti n trường THPT?

Câu hỏi 8. Theo các thầy (cô), hoạt ộng mô hình hóa giúp phát triển HS THPT nhữ g kĩ ă g sau y? c t ể ch n nhi u kỹ ă g

Câu hỏi 9. Theo các thầy (cô), GV dạy toán THPT cần có những hiểu biết gì ể có thể v n dụ g p ươ g p áp HH tr g dạy h c?(Có thể ch n nhi u p ươ g á

Câu hỏi 10: Theo thầy cô , ă g c mô hình hóa gồm có những thành tố dư i y?

PHI U KHẢO SÁT 2: ẢO S T V T C TRẠ CỦA V C P T

TR Ă L C A TO C Đ Ả QU T C C À

TO T ƯU TRO T C T C O Đ TƯ C S

CÂU H I KHẢO SÁT H C SINH

Câu hỏi 1. Em hãy cho biết mức ộ t ường xuyên g p các bài toán th c ti n trong quá trình h c Toán của bản thân.

□ ưa ba g ờ

□ ỉ t ả g □ ườ g xuyê □ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 2. Em hãy cho biết mức ộ t ường xuyên của bản thân v việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán h c trong th c ti n và liên hệ v i kiến thức môn toán ược h c trường THPT.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 3. Em hãy cho biết khi h c toán trường THPT gắn v i th c ti n sẽ g p phải nhữ g k k ă ?

□ ô g b ết c uyể v b t á á c

□ ô g ị ư g ược k ế t ức dù g ể g ả quyết b t á

□ k ă tr g v ệc c uyể ổ các ạ ượ g v ố ê ệ g ữa chúng

□ k ă tr g v ệc t ếp s v ệc, ệ tượ g t c t

Câu hỏi 4. Em hãy cho biết trong h c toán THPT mức ộ t ường xuyê ược tiếp xúc v i các bài t p, bài kiểm tra có v n dụng mô hình toán h c ể giải quyết tình huống nảy sinh t th c ti n.

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 5. E á g á ư t ế nào v tầm quan tr ng của mô hình hóa toán h c trong việc giải quyết các bài toán th c ti n trường THPT?

□ ô g qua tr g □ Bình t ườ g □ ua tr g □ ất qua tr g

Câu hỏi 6. k ă k các e dù g á c ể giải quyết các bài Toán v Giá trị l n nhất, nhỏ nhất(bài toán tố ưu tr g quá trì c t p?

□ k ă tr g v ệc a c t b ế

□ k ă tr g v ệc t u k ệ của

□ k ă tr g v ệc c uyể ổ các ạ ượ g k ác v t e b ế ã t

□ k ă k g ả quyết b t á á c

□ k ă k t kết u tr g á c c uyể sa g kết u b t á t c t

□ k ă tr g v ệc t ếp các t ô g t t t c t

Câu hỏi 7. Thầy cô c t ường xuyên phát triể c các e các bư c ể ị ư ng, phát triể ă g c mô hình hóa Toán h c khi giải quyết các bài Toán tố ưu y ay không?

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 8. E c ay ược dùng các phần m m v công nghệ t ô g t ể hiểu ơ v các mô hình trong th c tế không?

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 9. E c t ường xuyên sử dụng Toán h c vào giải quyết các tình huống t th c ti n cuộc sống của bản thân mình không?

□ ưa ba g ờ □ ỉ t ả g □ ườ g xuyê

□ ất t ườ g xuyê

Câu hỏi 10. Em có cảm thấy rất k k ă k g ải quyết các bài Toán tố ưu tr g th c ti n không?

□ ả t ấy rất k k ă

□ Bình t ườ g

□ ột c t ắ g

□ ất ứ g t

K T QUẢ KHẢO SÁT H C SINH