Ở Ệ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGH AN
Ụ ƯỜ Ạ Ử TR NG THPT C A LÒ
Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ề TÊN Đ TÀI
Ọ Ổ Ể
Ự Ị ƯƠ Ố Ọ PHÁT TRI N NĂNG L C TOÁN H C CHO H C SINH PH THÔNG Ự NG TRÌNH D A QUA BÀI TOÁN XÁC Đ NH S NGHI M C A PH
ƯƠ Ủ Ệ Ủ Ồ Ị VÀO T Ố NG GIAO C A Đ TH CÁC HÀM S .
ệ ị ườ ễ i th c hi n: Nguy n Th H ng
ườ ự ứ ụ
ự Ng Ch c v : Giáo viên ộ SKKN thu c lĩnh m c môn: Toán
ử 1 C a lò 202
Ụ Ụ M C L C
Ấ Ầ Ề Ặ PH N I. Đ T V N Đ
ề ọ 1. Lý do ch n đ tài
ứ ụ 2. M c đích nghiên c u
ố ượ ứ 3. Đ i t ng nghiên c u
ớ ạ ủ ề 4. Gi i h n c a đ tài
ụ ủ ề ệ 5. Nhi m v c a đ tài
ươ ứ 6. Ph ng pháp nghiên c u
Ứ Ộ Ầ PH N II N I DUNG NGHIÊN C U
ề ướ ự ấ ạ ụ I. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng
ả ạ ượ ế ệ II. K t qu đ t đ c và kinh nghi m rút ra
ứ ụ ể ế ả ả III. Kh năng ng d ng và tri n khai k t qu
ậ ơ ở IV. C s lý lu n
ọ ự 1. Năng l c toán h c
ự ạ ọ ọ ọ ể 2. D y h c hình thành và phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh
ộ ệ ượ ự 3. Tiêu chí hành đ ng mà ọ h c sinh th c hi n đ c
ộ ố ế 4. M t s ki n th c c ứ ơ sở trong đ tàiề
ề ộ V. N i dung đ tài
ả ế ố ặ b ng bi n thiên
ế ế ồ ị ươ ạ ủ c a hàm s , xét các bài toán ố ằ ố 1. Bài toán cho bi liên quan đ n ph t đ th ho c ng trình có d ng , . ặ ( là h ng s ho c là tham s )
ế ả ố
ế t ế đ th ho c ồ ị ươ ặ b ng bi n thiên c a hàm s , xét các bài toán ố ạ ằ ố 2. Bài toán cho bi liên quan đ n ph ủ ặ ( là h ng s ho c là tham s ) ng trình có d ng
ế ả ủ ố c a hàm s , xét các bài toán
ế t ế đ th ho c ồ ị ươ ạ 3. Bài toán cho bi liên quan đ n ph ặ b ng bi n thiên . ng trình có d ng
ế ố
ế t ế đ th ho c ặ b ng bi n thiên ồ ị ấ ươ ủ c a hàm s , xét các bài toán ứ ươ 4. Bài toán cho bi liên quan đ n ph ả trình, b t ph ng trình ch a . ng
ế ủ ố ặ b ng bi n thiên c a hàm s , xét các bài toán
ế ả ạ 5. Bài toán cho bi liên quan đ n ph t ế đ th ho c ồ ị ươ ng trình có d ng
ủ ươ ng (cid:0)rinh , x ét các bài toán liên quan
6. Bài toán cho bi ươ ế đ n ph ệ t ế s nghi m c a ph ố trình có ch a .ứ ng
ỏ ắ ệ ố ệ ự ệ 7. H th ng câu h i tr c nghi m t ôn luy n
Ậ Ầ Ế PH N III. K T LU N
ữ ế ậ I. Nh ng k t lu n
ị ề ữ ấ ế II. Nh ng ki n ngh đ xu t
Ầ Ấ Ề Ặ PH N I. Đ T V N Đ
ọ ề I.Lý do ch n đ tài:
ươ ụ ự ể ổ ổ Theo Ch ộ ng trình giáo d c ph thông t ng th “năng l c là thu c
ể ượ ờ ố ấ ẵ c hình thành, phát tri n nh t
ỹ ợ ổ ộ ế ứ ườ ọ ch t s n có và quá trình h c rèn i huy đ ng t ng h p các ki n th c, k năng và
ệ ề ự ư ứ
ố ề ữ ấ ị ạ ộ ạ ế
ọ ả ạ ề
ươ ạ ấ ượ
ấ ằ
ộ ế ề ọ ư
ự ứ ả ữ ọ
ỏ ọ ỗ ớ t. Đ có m t bài gi ng thu hút đ ọ ậ ạ
ạ ể ọ ọ ự ọ ự ướ
ự ọ ươ ạ ạ ọ ấ
ệ ạ ượ ẫ ườ ướ i h
ầ
ớ ặ ủ ợ ệ ặ ị
ọ ủ ộ ể ự ươ ự ươ ng trình d a vào s t ượ ể
ồ ị ọ
ố ố ồ Năng l c t ấ ủ c t lõi sau:
ọ
ế
ươ ạ ế ng trình liên quan đ n d ng hàm n,
ứ ấ
ườ ứ ể ả ề ế ậ ẩ ọ ng gây nhi u khó khăn cho h c sinh ế ề t đ tài i quy t. Vì v y, tôi vi
ệ ủ ệ ố ế ế ủ :
ọ ể
ủ ồ ị ổ ươ ự ủ ọ ự ươ ố ệ
Ụ
ế ậ
ậ ợ ủ ọ ự ủ ồ ị ươ ủ ệ ố tính cá nhân đ ậ t p, ệ luy n, cho phép con ng các ộ thu c tính cá nhân khác nh h ng thú, ni m tin, ý chí, … th c hi n thành công ệ ả ộ m t ho t đ ng nh t đ nh, đ t k t qu mong mu n trong nh ng đi u ki n ể ụ c th ”. ự ạ ả ng pháp d y h c tích c c Trong quá trình gi ng d y, tr i qua nhi u ph ọ ậ ả ng d y và h c. B n thân nh n tôi luôn ý th c tìm tòi nâng cao ch t l ủ ộ ự ự giác, ch đ ng th y r ng ph i làm cho h c sinh phát huy tính tích c c, t ọ ượ ả ể c h c khám phá nh ng đi u ch a bi ể sinh, giúp h c sinh phát tri n năng l c toán h c đòi h i m i giáo viên ậ ợ ả ậ ph i tìm tòi, c p nh t các ph ng pháp, kĩ thu t d y h c m i phù h p ọ ố ượ ớ ừ v i t ng đ i t ng h c sinh. D y h c d a trên phát tri n năng l c là chìa ấ ượ ể khóa đ nâng cao ch t l ng phát ng d y và h c. Do đó d y h c theo h ể tri n năng l c h c sinh chú tr ng l y h c sinh làm trung tâm và giáo viên ự c năng l c là ng ng d n, giúp các em ch đ ng trong vi c đ t đ ọ ạ theo yêu c u đ t ra, phù h p v i đ c đi m cá nhân. Thông qua d y h c ố ộ ng giao n i dung xác đ nh s nghi m c a ph ự ố ọ ầ ủ c a đ th hàm s , h c sinh c n hình thành và phát tri n đ c năng l c ự ự ệ ậ ể toán h c, bi u hi n t p trung nh t c a năng l c tính toán. Năng l c toán ậ ậ ự ư ọ duy và l p lu n toán h c bao g m các thành t ự ề ế ấ ả ự ọ i quy t v n đ toán h c; năng l c mô hình hóa toán h c; năng l c gi ọ ươ ụ ự ử ụ ọ ự h c; năng l c giao ti p toán h c; năng l c s d ng công c , ph ng ọ ệ ti n h c toán. ố Các bài toán xét s nghi m c a ph ị hàm ch a d u giá tr tuy t đ i th ậ ụ trong quá trình v n d ng ki n th c đ gi nghiên c u ứ cho sáng ki n c a mình “Phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh ph thông qua bài toán xác ị đ nh s nghi m c a ph ng giao c a đ th các ng trình d a vào t hàm s .ố ”. Ứ II. M C ĐÍCH NGHIÊN C U. ữ Tìm nh ng khó khăn và thu n l ươ nghi m c a ph ố i c a h c sinh khi ti p c n bài toán tìm s ng giao c a đ th các hàm s . ng trình d a vào t
ọ ư
ậ ự ự ể ọ ọ
ụ
ự ặ ộ ớ ậ ự ư duy và l p ế ấ ự ề ả i quy t v n đ ươ ự ử ụ ng t, đ i v i h c sinh l p 12 có thêm m t tài li u tham
ố ệ t nghi p THPT qu c gia năm 2020. t đ ôn thi t
Ố ƯỢ Ứ ọ Phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh nh : Năng l c t lu n toán h c; năng l c mô hình hóa toán h c; năng l c gi ế ọ ọ toán h c; năng l c giao ti p toán h c; năng l c s d ng công c , ph ệ ố ớ ọ ọ ệ ti n h c toán. Đ c bi ệ ố ả ố ể kh o t III. Đ I T NG NGHIÊN C U
ọ ớ H c sinh l p 12 THPT.
ả ậ ạ Giáo viên gi ng d y toán b c THPT.
Ế
ớ ố ượ ạ ượ ọ ng h c sinh c áp d ng cho các l p và đ i t
ầ ế Ạ ả ể
Ứ ụ ừ ổ ầ ầ ng g p. Trao đ i chuyên môn cùng quý Th y, Cô môn
ọ ễ ng và trên các di n đàn toán h c.
ị
ƯƠ ế ủ ủ ồ ị
ể ọ
ự ệ ệ ấ ả
IV. K HO CH NGHIÊN C U. Quá trình gi ng d y đ ệ khác nhau đ hoàn thi n d n. T đó tìm ki m thêm các khó khăn, sai l m ặ ườ ọ mà h c sinh th ườ ổ Toán trong t , ngoài tr Ứ NG PHÁP NGHIÊN C U. V. PH ố ế ồ ả ừ ệ các ngu n liên quan đ n xác đ nh s Tìm ki m tài li u tham kh o t ươ ệ ố ự ươ ự ng giao c a đ th các hàm s , nghi m c a ph ng trình d a vào s t ệ ổ ớ ồ ự ạ ươ ng pháp d y h c theo phát tri n năng l c.Trao đ i v i đ ng nghi p ph ể ề ườ ớ ạ ạ đ đ xu t bi n pháp th c hi n. Gi ng d y t i các l p 12 tr ng THPT ử C a lò.
Ầ
Ấ Ứ Ề ƯỚ C KHI ÁP D NG.
ả ự ươ
ậ ả ng trình sách giáo khoa gi ự ươ ng trình d a vào s t ơ Ụ ấ ố ề xác đ nh s ị i tích 12 v n đ ố ủ ồ ị ng giao c a đ th các hàm s ề ề ấ
ọ ề ử
ị ụ ế ệ ứ ữ ố ậ xác đ nh s nghi m c a ph
ể ạ ươ ụ ộ
ệ ế
ặ ẫ
ề ủ ườ ng th đ ng trong ứ ượ c giáo c vi c tìm tòi, sáng i toán.
ế ậ ấ ề ư ạ Ả Ạ ƯỢ Ế Ệ
ụ ề ả ả
ứ ọ
ọ ự ế ng t
ử
ể ả ệ
c d y th nghi m có th gi ủ ử ươ ự ươ Ộ PH N II. N I DUNG NGHIÊN C U Ạ Ự I. TH C TR NG V N Đ TR ươ Trong ch ủ ệ nghi m c a ph ố ặ ượ c trình bày đ n gi n. Vì v y g p các bài toán v v n đ tìm s đ ệ ườ nghi m trong các đ thi th và thi THPTQG h c sinh lúng túng và th ng ư ọ ỏ Khi ch a áp d ng nh ng nghiên c u trong đ tài đ d y h c nâng b qua. ự ả ự i quy t bài t p cao năng l c gi ng trình d a ố, các em th ủ ồ ị ự ươ ng giao c a đ th các hàm s vào s t ữ ề ộ ụ vi c ti p c n bài toán và ph thu c nhi u vào nh ng ki n th c đ ư ệ ứ ượ viên cung c p ho c làm m u, các em ch a ý th c đ ả ở ự ứ ạ t o cũng nh t o ni m vui, s h ng kh i trong khám phá, gi C VÀ KINH NGHI M RÚT RA. II. K T QU Đ T Đ ứ ế ữ Sau khi áp d ng nh ng k t qu nghiên c u trong đ tài, qua kh o sát cho ấ th y. Có trên 80% các em h c sinh có h ng thú v i bài h c và 50% trong ớ ữ ố s đó bi , bài toán m i. ọ ỳ Trong các k thi th THPT qu c gia trên toàn qu c có 90% h c sinh các ố ị ớ ượ ạ xác đ nh s l p đ ố ệ nghi m c a ph ớ ự ươ t cách tìm tòi, xây d ng nh ng bài toán t ố ố ế ữ i quy t nh ng bài toán ủ ồ ị ng giao c a đ th các hàm s ự ng trình d a vào s t
Ế Ể Ả Ứ
ố Ụ ả
ớ ữ
ả ề ể ể ứ ụ ể ở ườ ng THPT. tr ụ
ạ ả
ộ ổ ụ
ể c hình thành, phát tri n nh t ự ể ổ ng trình giáo d c ph thông t ng th , “năng l c là thu c ờ ố ấ ẵ ượ ch t s n có và quá trình
ỹ ợ ổ ộ ế ứ ườ i huy đ ng t ng h p các ki n th c, k năng và
ệ ề ự ư ứ
ố ữ ấ ị ạ ộ ạ ế ề
ọ ả ự ế ậ ủ ứ ậ t l p công th c, v n
ự ề ọ ọ ổ ữ ả i thích toán h c trong nhi u ng c nh. Năng l c toán h c ph thông
ủ ứ ế ế ậ ọ ộ t ý nghĩa, vai trò c a ki n th c toán h c trong cu c
ọ ể ả ể ư ề ủ ế ấ i quy t các v n đ c a duy toán h c đ gi
ệ ạ ờ ố ươ ầ ạ ộ ng lai m t cách linh ho t; là i và t
ả
ệ ậ ậ ậ ổ
ệ ặ ế ấ ề ả ọ i quy t v n đ toán h c trong các tình
ứ ế ạ ọ
ế ả ổ ồ
ấ ớ ườ ng trình toán trong nhà tr
ứ ạ
ả ậ
ế ườ ệ ượ ứ ậ ấ ề ổ ng ph thông truy n th ng, ậ ụ ọ ượ ọ c h c, v n d ng và ậ ng kh năng phân tích, suy lu n, l p ọ ẩ c tri th c toán h c n d u bên trong
Ả III. KH NĂNG NG D NG VÀ TRI N KHAI K T QU . ọ ệ ề Đ tài là tài li u tham kh o ôn thi THPT qu c gia cho các h c sinh đang ọ ớ h c l p 12 THPT. ể ể ề Đ tài có th áp d ng đ phát tri n thêm nh ng l p bài toán khác cho giáo viên Toán ể Đ tài có th ng d ng đ phát tri n thành mô hình sách tham kh o cho ụ ụ ọ ậ ọ h c sinh và giáo viên ph c v h c t p và gi ng d y môn toán. Ậ Ơ Ở IV. C S LÝ LU N. ọ ự 1. Năng l c toán h c. ươ Theo Ch tính cá nhân đ ọ ậ h c t p, rèn ệ luy n, cho phép con ng các ộ thu c tính cá nhân khác nh h ng thú, ni m tin, ý chí, … th c hi n thành công ệ ả ộ m t ho t đ ng nh t đ nh, đ t k t qu mong mu n trong nh ng đi u ki n ụ ể c th ”. Năng l c toán h c là kh năng c a cá nhân bi d ngụ ả và gi là ả kh năng nh n bi s ng;ố ậ ụ v n d ng và phát tri n t ự ễ th c ti n, ứ đáp ng nhu c u đ i s ng hi n t kh năng ả phân tích, suy lu n, l p lu n, khái quát hóa, trao đ i thông tin hi u qu thông qua vi c đ t ra, hình thành và gi hu ng,ố ả hoàn c nh khác nhau, trong đó chú tr ng quy trình, ki n th c và ho t đ ng.ộ ọ ậ ự Năng l c toán h c ph thông không đ ng nh t v i kh năng ti p nh n ố ươ ủ ộ n i dung c a ch ấ ề ầ mà đi u c n nh n m nh đó là ki n th c toán h c đ ể ư ế ể phát tri n nh th nào đ tăng c lu n, khái quát hóa và phát hi n đ ố các tình hu ng, các s ki ự ện.
ậ duy và l p lu n. ợ ự ư ậ ữ ề ả ổ ớ 1.1. Năng l c t Năng l c t ự ư ệ duy là t ng h p nh ng kh năng cá nhân v ghi nh , tái hi n,
ượ ưở ả ng, suy lu n gi ng hóa, khái quát hóa, t
ng t ả ậ ể
ủ ả ọ ỗ
ữ ậ ươ ằ ọ
ề ế ấ ừ ượ i quy t v n đ , tr u t ả ậ ứ ử x lý và linh c m trong quá trình ph n ánh, phát tri n tri th c và v n ự ễ ụ d ng vào th c ti n. ự ậ ự ậ Năng l c l p lu n toán h c là kh năng c a m i cá nhân d a vào nh ng ữ ử ụ ướ ề ề c, s d ng ngôn ng toán h c, b ng ph ti n đ cho tr ng pháp lu n ậ ế ể ư đ đ a ra k t lu n đúng.
ọ ự
ị ề
ữ ế ữ ể t sang ngôn ng bi u
ệ ng, kí hi u, b ng bi u, đ th …
ệ
ử ụ ơ
ở ả ủ ụ ọ i quy t v n đ là kh năng cá nhân s d ng hi u qu các ộ ộ ẵ i i pháp
ườ
ế ọ
ự ữ
ậ ậ ế ưở ử ụ ứ
ậ ư ng, ki n th c, đ a ra l p lu n, ể ạ ượ ế c
ạ ụ ươ ệ
ệ ọ ng ti n h c toán. ọ ụ ả ệ ụ ủ ươ ng ti n d y h c toán là kh năng c a cá ọ ể ươ ả t s d ng, b o qu n các công c , ph ng ti n khoa h c đ
ọ
ọ ọ
ự ợ ớ ế ạ ọ ươ ạ ọ ứ ả ậ
ả ọ
ạ ọ ỉ
ừ ụ ể ế ng pháp d y h c ph i đi t ủ ệ ừ ượ c th đ n tr u t ọ ọ ệ ự ả ố
ệ ấ
ầ t tinh th n “l y ng ạ ự ự ươ ả ọ giác, chú ý nhu
ng pháp d y h c ph i phát huy đ ứ ậ
ọ
ượ
ự
ễ
ọ ố
ệ c nhu n nhuy n, sáng t o kĩ thu t d y h c tích c c v i vi c ọ ạ ộ ậ ạ ề ự ọ ớ
ự ớ ế ợ ả ọ ả ự ễ ạ ế ấ
ứ ậ ụ ớ ọ ế ứ ố ữ ế ố 1.2. Năng l c mô hình hóa toán h c. ọ ấ ả ự Năng l c mô hình hóa toán h c là kh năng cá nhân v phiên d ch các v n ươ ề ự ễ ng ti n ngôn ng vi đ th c ti n thông qua ph ồ ị ả ể ệ ượ t ề ả ế ấ ự i quy t v n đ toán h c. 1.3. Năng l c gi ả ề ả ả ế ấ ự Năng l c gi ể ả ộ ứ ậ quá trình nh n th c, hành đ ng và thái đ , đ ng c , xúc c m đ gi ả ố ế quy t các tình hu ng mà đó không có s n quy trình, th t c, gi ng. thông th ự 1.4. Năng l c giao ti p toán h c. ọ ế ả Năng l c giao ti p toán h c là kh năng cá nhân s d ng ngôn ng toan ậ ọ ể ế ể ả h c đ ti p nh n, chuy n t i các ý t ả ả ứ ch ng minh, ph n ánh, th o lu n trong quá trình giao ti p đ đ t đ ạ ọ ụ m c tiêu d y h c. ự ử ụ 1.5. Năng l c s d ng công c , ph ự ử ụ Năng l c s d ng công c , ph ế ử ụ ể ả nhân hi u, bi ạ ụ ạ ượ đ t đ c m c tiêu d y h c. ể 2. D y h c hình thành và phát tri n năng l c toán h c cho h c sinh 2.1. Ph ng pháp d y h c ph i phù h p v i ti n trình nh n th c ủ ọ c a h c sinh. ươ ừ ễ ế d đ n khó; Ph ng; t ầ không ch coi tr ng tính logic c a khoa h c toán h c mà c n chú ý cách ế ậ ự ủ ọ ti p c n d a trên v n kinh nghi m và s tr i nghi m c a h c sinh. ườ ọ 2.2. Quán tri i h c làm trung tâm”. ượ Ph c tính tích c c, t ủ ừ ầ ứ ọ ậ ự c u, năng l c nh n th c, cách th c h c t p khác nhau c a t ng cá nhân ướ ế ạ ọ ọ ổ ứ ạ ng ki n t o, trong đó h c h c sinh; t ch c quá trình d y h c theo h ề ả ế ấ ậ ệ i quy t v n đ . c tham gia tìm tòi, phát hi n, suy lu n gi sinh đ ậ ạ ỹ ươ ệ ậ ụ ạ ng pháp k thu t d y 2.3. Linh ho t trong vi c v n d ng các ph ọ h c tích c c. ạ ầ ế ợ ượ K t h p đ ậ ạ ươ ậ ụ ng pháp, kĩ thu t d y h c truy n th ng; k t h p các v n d ng các ph ệ ọ ạ ộ ho t đ ng d y h c trong l p h c v i ho t đ ng th c hành tr i nghi m, ỉ ả ứ ậ ụ v n d ng ki n th c toán h c vào th c ti n. C u trúc bài h c b o đ m t ệ cân đ i, hài hòa gi a ki n th c c t lõi, ki n th c v n d ng và các l
t b d y h c.
ượ ệ c các ph ả
ử ụ ị ợ ọ ế ị ạ ọ ọ ố ế ị ạ t b d y h c t ạ ồ ng h c sinh; tăng c
ế ị ạ ườ ệ ươ ạ ọ ọ t b d y h c hi n đ i m t
ệ ợ ầ thành ph n khác. ệ ươ ử ụ ng ti n, thi 2.4. S d ng đ ủ ể ệ ươ i thi u theo S d ng đ và hi u qu các ph ng ti n, thi ố ớ ọ ự ể ử ụ làm quy đ nh đ i v i môn Toán; có th s d ng các đ dùng d y h c t ử ụ ố ượ ớ ộ ng s d ng phù h p v i n i dung h c và các đ i t ộ ệ ệ công ngh thông tin và các ph ng ti n, thi ả cách phù h p và hi u qu .
ệ ượ ủ ự ọ ộ 3. Tiêu chí c a hành đ ng mà h c sinh th c hi n đ c.
TT Các tiêu chí ố ủ c a năng Thành t ọ ự l c toán h c
ự ệ ượ
ặ
ng t
ế t đ t và tr l 1 ự ư duy và Năng l c t ọ ậ ậ l p lu n toán h c ẽ ỏ ả ờ i câu h i; bi ợ ậ ậ và l p lu n h p lí tr ỉ t ch ra ướ c
ậ
ự
ệ ư duy: So c các thao tác t Th c hi n đ ợ ệ ổ t hóa, sánh, phân tích, t ng h p; đ c bi ễ ạ ự ươ ; quy n p, di n khái quát hóa; t ị d ch. ế ặ Bi ứ ứ ch ng c , lí l ế khi k t lu n. ả ỉ ả ề i thích và đi u ch nh cách th c gi Gi i ọ ề ề ươ ế ấ ng ti n toán h c. quy t v n đ v ph
ặ ượ ả c các phép toán và công ố các tình hu ng đ t ra trong
ọ
ế ậ 2 ự Năng l c mô hình hóa toán h cọ ấ t l p.
ả ờ
ữ i trong ng i gi ế và c i ti n mô hình n u có
ử ụ S d ng đ ứ ể th c đ mô t ự ế th c t . ề ế ả i quy t các v n đ toán h c trong mô Gi ượ c thi hình đ ể ệ Th hi n và đánh giá l ả ế ả c nh th c t ợ cách gi ự ế ả i không phù h p.
ề ầ ệ ượ ấ c v n đ c n
ả t, phát hi n đ ọ
ả ự ứ ả i
ế ế ằ ấ ự ế ấ ọ ề ằ ế ả 3 ề ọ ươ Năng l c gi quy tế ọ ấ v n đ toán h c
i pháp đ ra và khái quát hóa
ự ậ Nh n bi i quy t b ng toán h c. gi ề i pháp Đ xu t, l a ch n cách th c, gi ứ i quy t v n đ b ng các ki n th c, kĩ gi ng thích. năng toán h c t ả ề Đánh giá gi ề ươ ấ cho v n đ t ng t .
c
ọ ầ ượ c trình bày
ọ ưở ng gi ớ ng tác v i ng ả i ườ i
4 ế ự Năng l c giao ti p toán h cọ
c ngôn ng toán h c k t ườ ữ
ọ ế ể ng đ trình ưở ng khi
ườ ớ ể ể Nghe hi u, đ c hi u và ghi chép đ ế ượ t đ các thông tin c n thi ọ ả ạ d ng văn b n toán h c. ạ ễ Trình bày, di n đ t các ý t ươ pháp toán h c khi t khác. ữ ượ ử ụ S d ng đ ớ ợ h p v i ngôn ng thông th ả bày, gi i thích và đánh giá các ý t ậ ả th o lu n v i ng i khác.
ụ ế ọ
ươ ứ ả
ử ụ ả ệ ụ ụ ạ
ọ 5
ệ ể ọ ế ề ả
ự ử Năng l c s d ngụ công c , ụ ngươ ph ọ ệ ti n h c toán
ế ủ
ỗ ợ ể ể ệ ư ạ c các u đi m, h n ch c a ươ ng ti n h tr đ cách
ử ụ t g i tên, tác d ng, quy cách s d ng, Bi ệ ng ti n khoa cách th c b o qu n, các ph ệ ọ ọ h c công ngh ph c v cho vi c h c toán. ạ S d ng thành th o và linh ho t các công c vàụ ươ ệ ph ng ti n khoa h c công ngh đ tìm ấ tòi và gi i quy t các v n đ toán h c phù ợ ứ ổ h p l a tu i ượ ỉ Ch ra đ ụ các công c , ph ợ ử ụ s d ng h p lý.
ế ụ
ụ
ầ ầ ộ ủ ọ ờ ơ ở
ọ
ọ ả ạ ả ự ế ộ ủ ừ
ọ ấ ượ ng ng giáo d c môn Toán nói riêng và ch t l
ụ
ụ
ọ ớ
ủ c đánh giá và c a các h c sinh khác trong t
ẹ ọ ế ợ ượ ủ
ạ ạ ọ ề ờ ớ ế ữ
ả ả ụ ự ế ộ
ị ụ ế
ọ ậ ụ ệ ị
ế ậ ấ
ụ ổ ứ ơ ở
ể ố
ự ệ ệ ạ ắ ấ i quá trình th c hi n; V n đáp, tr c nghi m khách
ọ ậ ự ể ả ẩ t; Bài t p th c hành; Các d án/ s n ph n h c t p;
ế ậ ụ ự ễ ự ậ ự ệ
ự ể
ể ộ ươ ự ữ ề ượ c theo cách hi u cá nhân. ấ i quy t nh ng v n đ quen thu c, t ng t trong
ả ộ ố ả ế ấ ữ ả ồ V n d ng gi
ặ ư i quy t v n đ m i ho c đ a ra nh ng ph n h i ạ ề ớ ộ ọ ậ
ộ ố ế ứ ơ ở ề : ả 4. Đánh giá k t qu giáo d c môn toán. 4.1. M c tiêu đánh giá. ể ị ề ự ị ấ Cung c p thông tin chính xác, k p th i, có giá tr v s phát tri n năng ọ ạ ở ỗ ớ ự ế ự l c và s ti n b c a h c sinh trên c s yêu c u c n đ t m i l p h c, ấ c p h c. ạ ộ ỉ ề Đi u ch nh các ho t đ ng d y h c, b o đ m s ti n b c a t ng h c ụ ấ ượ sinh và nâng cao ch t l giáo d c nói chung. ứ 4.2. Hình th c đánh giá. ườ ng xuyên) do giáo viên ph trách Đánh giá quá trình (hay đánh giá th ủ ủ ọ ổ ứ ch c, k t h p v i đánh giá c a giáo viên môn h c khác; c a môn h c t ọ ả ổ , trong b n thân h c sinh đ ạ ớ ạ ộ l p ho c đánh giá c a cha m h c sinh; đi li n v i ti n trình ho t đ ng ọ ọ ậ ủ ọ h c t p c a h c sinh, tránh tình tr ng tách r i gi a quá trình d y h c và ọ ậ quá trình đánh giá, b o đ m m c tiêu đánh giá vì s ti n b trong h c t p ủ ọ c a h c sinh. ổ Đánh giá đ nh kì (hay đánh giá t ng k t) có m c đích chính là đánh giá ả ệ ự vi c th c hi n các m c tiêu h c t p. K t qu đánh giá đ nh kì và đánh giá ậ ể ứ ộ ọ ậ ế ượ ử ụ ổ t ng k t đ c s d ng đ ch ng nh n c p đ h c t p, công nh n thành ặ ị ủ ọ tích c a h c sinh. Đánh giá đ nh kì do c s giáo d c t ch c ho c thông qua các kì ki m tra, đánh giá qu c gia. ươ 4.3. Ph ng pháp đánh giá. Quan sát, ghi l quan; ự T lu n, ki m tra vi ệ Th c hi n nhi m v th c ti n, … ứ ộ 4.4. M c đ đánh giá. ườ ố ứ ộ B n m c đ đánh giá đ ng phát tri n năng l c môn toán. ắ ạ ế ậ ứ M c 1: Nh n bi i. t, nh c l ả ể ứ M c 2: i thích đ Hi u, trình bày, gi ế ậ ụ ứ M c 3: V n d ng gi ọ ậ h c t p, trong cu c s ng. ậ ụ ứ M c 4: ộ ố ợ h p lý trong h c t p, cu c s ng m t cách linh ho t. 5. M t s ki n th c c s trong đ tài
ứ ơ ở ế I. Ki n th c c s :
ồ ị ế ị ố 1. Phép t nh ti n đ th hàm s .
ặ ủ ẳ ộ ố
ố ồ ị Trong m t ph ng t a đ , cho đ th (G) c a hàm s ; p và q là hai s ươ d ọ ng tùy ý. Khi đó:
ơ ị ế ị ượ ồ ị ủ ố 1) T nh ti n (G) lên trên q đ n v thì ta đ c đ th c a hàm s .
ế ố ị ướ ơ ị ượ ồ ị ủ ố 2) T nh ti n (G) xu ng d i q đ n v thì ta đ c đ th c a hàm s .
ơ ị ế ị ượ ồ ị ủ ố 3) T nh ti n (G) sang trái p đ n v thì ta đ c đ th c a hàm s .
ơ ị ế ả ị ượ ồ ị ủ ố 4) T nh ti n (G) sang ph i p đ n v thì ta đ c đ th c a hàm s .
ồ ị ồ ị ế ố ố ị
ượ ằ c b ng cách t nh ti n đ th hàm s sang trái b ơ ị ả 5) Đ th hàm s có đ ơ ị đ n v khi , sang ph i b đ n v khi .
ắ ụ ớ ụ ẳ
ộ ằ ể ặ ườ 6) Đ ng th ng luôn song song ho c trùng v i tr c hoành và c t tr c ạ tung t i đi m có tung đ b ng m.
ồ ị ồ ị ố ố 2. Cho hàm s có đ th là ; hàm s có đ th là
ồ ị ủ ủ ệ ố ươ ng trình hoành
ể ể ố S giao đi m c a 2 đ th và chính là s nghi m c a ph ộ đ giao đi m
ủ ế ể ố . Xét giao đi m c a đ th ủ ồ ị
ồ ị 3. Cho đ th ho c b ng bi n thiên c a hàm s ố ớ ườ hàm s v i đ ặ ả ẳ ng th ng .
ị ướ Đ nh h ng:
ủ ề ị
ự ồ ị ủ ồ ị ớ ườ ị + Đ t ặ , xác đ nh đi u ki n c a . D a và đ th ho c b ng ế ặ ả bi n thiên c a ệ ủ ẳ ể hàm s ố , xác đ nh các giao đi m c a đ th v i đ ng th ng .
ỗ ị ủ ể ể ộ ị
ớ + V i m i giao đi m có hoành đ , thay vào đ xác đ nh các giá tr c a ươ ứ t ng ng.
ị ượ ể ủ ồ ị c giao đi m c a đ th hàm s v i đ ố ớ ườ ng
ừ T các giá tr này đánh giá đ ẳ th ng .
Ề Ộ
ề
ươ
ề ự ng trình d a vào s t ự ố ủ ệ ứ ộ ế ị ố ớ các m c đ đánh giá năng l c toán h c (nh n bi t, thông
ậ ụ ể V. N I DUNG Đ TÀI ộ ử Trong thi th THPT qu c gia có nhi u đ thi toán có n i dung liên quan ủ ồ ị ự ươ ố đ n ế xác đ nh s nghi m c a ph ng giao c a đ th ậ ọ các hàm s v i hi u, v n d ng ậ ụ , v n d ng cao).
ề ạ Ví d 1ụ . ( Câu 23 Đ minh ho 2020)
ư ế ả Cho hàm s ố có b ng bi n thiên nh sau:
ự ủ ệ ố ươ S nghi m th c c a ph ng trình là
A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
ạ ọ ử ề ầ Ví d 2ụ . ( Câu 31 Đ thi th THPTQG l n 1 Đ i h c Vinh)
ố ậ ồ ị ư ố ỏ ươ Cho hàm s b c b n có đ th nh hình bên d ướ H i ph i. ng trình có bao
nhiêu nghi m?ệ
A. . D. .
ạ
ư ế B. . C. . ề Ví d 3.ụ ( Câu 45 Đ minh ho 2020) ả Cho hàm s ố có b ng bi n thiên nh sau:
ủ ệ ạ ố ươ ộ S nghi m thu c đo n c a ph ng trình là
A. 4. B. 6. C. 3. D. 8
ử ề ầ ộ Ví d 4ụ . (Câu 49Đ thi th THPTQG chuyên Phan B i Châu l n 2 năm 2020)
ố Cho hàm s . Có bao nhiêu giá tr ị
ể ươ ạ ộ nguyên c aủ thu c đo n đ ph ng trình có
ệ ệ nghi m phân bi t ?
A.. B.. C.. D..
ề ố t t nghi p ệ THPTQG mã 1032020) Ví d 5.ụ (Câu 50 Đ thi
ố ậ ố ồ ị ườ Cho hàm s b c b n có đ th là đ ng cong trong hình bên. S ố
ự ệ ệ ủ ươ nghi m th c phân bi t c a ph ng trình là
y
x
O
2
8
. A. B. . C. . D. .
ả ủ ố xác đ nh s nghi m c a ph
ạ v i ớ n i dung ộ ủ ị ố ọ ồ ị
ọ
i thích ; ph n l n h c sinh l p 12 không bi ế ầ ớ ế ả ụ ộ ứ ừ ả gi
ươ ệ ng Trong quá trình gi ng d y, ặ khó khăn khi ươ ự ng giao c a đ th các hàm s , h c sinh g p trình d a vào t ế ị ậ ạ ậ ớ ễ di n đ t, l p lu n, gi t đ nh ủ ướ i thích c a giáo và th đ ng trong ti p thu ki n th c t ng cách làm h viên.
ệ ể ề
ả
ừ ượ ứ ạ ả ừ ế ng, t
ượ
ộ ố ạ ổ ươ ượ ậ ể ừ ệ ọ c phân tích, suy lu n, t đó giúp h c sinh phát tri n đ ự hóa, ng t ự c năng l c
ự ọ ự ắ Trong đ tài này vi c phát tri n năng l c toán h c d a trên nguyên t c ừ ấ ế ạ ừ ơ ứ ậ ủ c a quá trình nh n th c qua các giai đo n t th p đ n gi n đ n ph c t p, t ấ ứ ừ ụ ể ế ế đ n cao, t hình th c bên ngoài đ n b n ch t bên c th đ n tr u t trong. Sau đây là m t s d ng bài toán đ ặ đ c bi t hóa và t ng quát hóa t toán h c.ọ
ế ủ ố ặ b ng bi n thiên c a hàm s xét
ế ả ạ 1.Bài toán 1. Bài toán cho bi các bài toán liên quan đ n ph t ế đ th ho c ồ ị ươ ng trình có d ng , .
ằ ặ ớ ố ố Ta xét v i các bài toán a là h ng s ho c là tham s .
ế ứ ơ ở Ki n th c c s :
ồ ị ủ ệ ố ủ ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th . S nghi m c a ph ươ ng
ể ồ ị ộ ủ ể ố là ph ươ ằ trình b ng s giao đi m c a hai đ th .
ồ ị ủ ệ ố ươ ng
ể ồ ị ộ ủ ể ố là ph ủ ươ ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ th , S nghi m c a ph ằ trình b ng s giao đi m c a hai đ th ,
ư ế ả Ví d 1ụ . Cho hàm s ố có b ng bi n thiên nh sau:
ự ủ ệ ố ươ S nghi m th c c a ph ng trình là
A. 2. B. 0. C. 3. D. 1.
ướ ẫ ả H ng d n gi i:
ủ ươ ể ộ ủ ồ ng trình chính là s hoành đ giao đi m c a đ
ừ ả ế ng th ng (song song v i tr c hoành). T b ng bi n thiên ta
ố ố ươ ự ệ Ta có . S nghi m c a ph ằ ườ ị th hàm s và đ ấ th y ph ệ ng trình có 3 nghi m th c phân bi ố ớ ụ ệ t.
ư ế ả ố Ví d 2.ụ Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau:
ủ ệ ạ ố ươ ộ S nghi m thu c đo n c a ph ng trình là
A. . B. . C. . D. .
ƯỚ H NG GI Ả : I
ừ ươ ề ươ ủ ể ộ ng trình ể chuy n v ph ng trình hoành đ giao đi m c a hai đ ồ B1: T ph
th ị .
ồ ị ị ủ ị ủ ự B2:D a vào đ th giá tr c a giá tr c a .
ọ B3: Ch n đáp án.
ể ả ừ ụ ể ư T đó, ta có th gi i bài toán c th nh sau:
ả ờ L i gi i
Ta có
ươ ệ Các ph ề ng trình và đ u vô nghi m.
ồ ị ố Xét đ th hàm s trên
ệ ệ t và ph
ươ ệ ồ ng trình có 4 nghi m phân bi ố ờ ệ ng trình có 2 nghi m ậ t đ ng th i trong s chúng không có 2 nghi m nào trùng nhau. V y
ệ ệ ộ ươ ệ ạ ấ Ta th y ph phân bi ươ ph ng trình đã cho có 6 nghi m phân bi t thu c đo n .
ướ Trình bày theo h ng khác:
ướ Phân tích h ng gi
ạ ủ ệ ố ộ ả i ố ể Đây là d ng toán dùng ế ả b ng bi n thiên c a hàm s đ tìm s nghi m thu c
ạ ươ đo n c a ủ ph ng trình .
ƯỚ Ả H NG GI I:
ặ ẩ ụ ớ B1: Đ t n ph . V i
B2: V i ớ
ể ả ủ ụ ố đ gi ố i bài toán s nghi m ộ ệ thu c đo n ạ c a ủ B3: Sử d ng BBT c a hàm s
PT
ể ả ừ ụ ể ư T đó, ta có th gi i bài toán c th nh sau:
L i gi ờ ả i
ặ ở Đ t thì PT tr thành .
BBT hàm s :ố
ủ ự ệ ệ ố ệ D a vào BBT, s nghi m c a PT là 2 nghi m phân bi t .
BBT hàm s , ố
ớ ệ . + V i PT có 4 nghi m
ớ ệ . + V i PT có 2 nghi m
ủ ệ ạ ộ ố ươ V y ậ s nghi m thu c đo n c a ph ng trình là . Đáp án: ch n Bọ
ộ ố ậ ạ Sau đây là m t s bài t p liên quan ế đ n các d ng hàm khác nhau . H c ọ
ệ ượ ự ầ ư ộ ượ ấ ậ sinh c n th c hi n đ c các hành đ ng nh : Phân tích đ ề c v n đ ; nh n
ế ệ ượ ấ ề ầ ả ế ặ ự ọ ả bi t, phát hi n đ c v n đ c n gi ế i quy t; bi t đ t câu h i, ỏ l a ch n gi i
ế ậ ậ ượ ả ừ pháp; bi t l p lu n và đánh giá đ c gi i phá p. T đó h c ọ sinh hình thành và
ể ượ phát tri n đ ọ ự c các năng l c toán h c.
ồ ị ư ẽ ố ọ ố
ụ ẳ ươ ủ ệ ị Ví d 3ụ . Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v . G i là s ng trình . Kh ng đ nh nào sau đây là đúng? nghi m c a ph
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ta có: .
Suy ra: .
ẳ ố ạ ể ệ i đi m phân bi t nên
ươ ệ +) Xét (1): , ta có đ ph ườ ng trình có 3 nghi m phân bi ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t ệ t.
ố ạ ườ ể ệ i đi m phân bi t nên
ươ ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t ệ ẳ ệ +) Xét : , ta có đ ph ng trình có 3 nghi m phân bi t.
ườ ố ạ ẳ ể ươ ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t i đi m nên ph ng trình có
+) Xét : , ta có đ nghi m.ệ
ệ ệ ố ổ Do các nghi m không trùng nhau nên t ng s nghi m là: .
Đáp án: Ch n Bọ
ồ ị ư ẽ ướ ố i đây. Ví d 4ụ . Cho hàm s có đ th nh hình v d
ể ườ ượ ệ ể ng tròn l ủ ễ ng giác bi u di n nghi m c a
ỏ H i có bao nhiêu đi m trên đ ươ ph ng trình ?
L i gi ̀ơ ả i
ồ ị ự ấ D a vào đ th ta th y khi thì
ế ặ Do đó n u đ t thì khi đó
ồ ị ự D a vào đ th , ta có
ươ Ph ng trình
ươ ể ễ ệ ể ườ ượ ng trình đã cho có đi m bi u di n nghi m trên đ ng tròn l ng
ậ V y ph giác.
ư ế ả ố Ví d 5.ụ Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau.
ủ ệ ạ ố ươ ế ằ ộ S nghi m thu c đo n c a ph ng trình là bao nhiêu bi t r ng .
ướ ẫ H ng d n gi ả : i
ươ Ta xét ph ng trình
ừ T đó ta có.
ố ớ ậ ủ Ta l p BBT c a hàm s v i
ấ ươ ệ Nhìn BBT ta th y ph ng trình vô nghi m
ươ ệ ấ Ph ng trình có nghi m duy nh t
ươ ệ ệ Xét trên kho ng ả , ta có ph ng trình đã cho có 2 nghi m phân bi t.
ề ) Ví d 6ụ . (Câu 50 Đ thi THPTQG mã 1032020
ườ ệ ố ự ng cong trong hình bên. S nghi m th c
y
x
O
2
8
ệ ủ ố ậ ố Cho hàm s b c b n có đ th là đ ươ phân bi ồ ị ng trình là t c a ph
. B. . A. C. . D. .
L i gi ờ ả i
y
x
c
d
e
b
a O
2
y= 2
ướ H ng gi ả 1: i
.
.
)
( 2x f x
c=
ừ Do nên t ừ ươ ph ng trình suy ra . T đó .
ồ ị ố ạ ể ệ i hai đi m phân bi t nên ph ươ ng
ệ ố ắ ồ ị Đ th hàm s c t đ th hàm s t ệ trình có hai nghi m phân bi t.
ươ ự ươ ề ệ ệ T ng t ỗ , m i ph ng trình , đ u có hai nghi m phân bi t.
ố ộ ươ ộ ng trình , , , đôi m t
ệ Do các s đôi m t khác nhau nên các ph không có nghi m chung.
ậ ươ ệ ệ V y ph ng trình có 9 nghi m phân bi t.
ướ H ng gi ả 2: i
ươ +) Ph ng trình đã cho
ồ ị ự ượ ươ ố ươ ệ +) D a và đ th ta đ c ph ớ ng trình ,v i là các s d ng phân bi t
+) Ta có
ồ ị ự ươ ệ ệ +) D a vào đ th ta có ph ng trình có hai nghi m phân bi t và
ớ ươ ươ ệ ạ +) V i các ph ng trình , và , ta xét ph ng trình đ i di n.
Ta có: v i ớ
ươ ế ả ủ ươ ả ng nên v ph i c a ph ng trình cũng ph i
ươ ươ ậ ế ả ủ Do v ph i c a ph ươ ng nên ta xét ph d ng trình d ng trình trên t p .
Ta có
ậ ố ớ Xét hàm s trên t p v i
Ta có
ủ ế ả ố B ng bi n thiên c a hàm s
ừ ả ế ươ ệ ệ T b ng bi n thiên suy ra ph ng trình có hai nghi m phân bi t.
ự ươ ươ ề ng t
ng trình và , m i ph ệ ươ ươ ệ ồ t đ ng th i các nghi m c a ph ỗ ng trình , , và là khác nhau. ng trình đ u có hai nghi m phân ươ ng ệ ậ V y ph
ệ ệ các ph +) T ờ bi trình có 9 nghi m phân bi ủ t.
ồ ị ư ụ ề ệ ố
Ví d 7ụ . Cho hàm s liên t c trên th a mãn đi u ki n và có đ th nh hình ỏ ướ d i đây
ả ế ươ ệ ả ử ớ V i gi thi t, ph ng trình có nghi m. Gi ố s khi tham s
ươ ề ệ ổ thay đ i, ph ng trình đã cho có nhi u nh t ấ nghi m và có ít nh t ấ nghi m.ệ
Giá tr c a ị ủ b ngằ
A. . B. . D. .
C. . ̀ơ ả i L i gi
ệ ủ ễ ấ ề ươ D th y đi u ki n c a ph ng trình đã cho là .
Đ t .ặ
ễ ấ ươ ệ ấ D th y ph ng trình luôn có nghi m duy nh t .
ươ ạ Ph ng trình đã cho có d ng: .
ủ ố ươ ủ ệ ằ ố ệ S nghi m c a ph ng trình đã cho b ng s nghi m c a (2).
ồ ị ạ ố Đ th hàm s có d ng:
Do đó:
ệ (2) vô nghi m khi .
ệ (2) có hai nghi m khi .
ệ ặ ấ (2) có nghi m duy nh t khi ho c .
V y .ậ
Đáp án: ch n Cọ
ụ ố ị ự ủ ố ể ươ ồ ị t c các giá tr th c c a tham s đ ph ậ ẽ ướ ư i đây. T p ộ ệ ng trình có nghi m thu c
Ví d 8ụ . Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v d ợ ấ ả h p t ả kho ng là
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
ặ ớ Đ t . V i thì .
ươ ệ ả ộ ỉ ươ ng trình có
ả ng trình có nghi m thu c kho ng khi và ch khi ph Do đó ph ộ ử ệ nghi m thu c n a kho ng .
ệ ủ ồ ị ề ố Quan sát đ th ta suy ra đi u ki n c a tham s là .
ọ Đáp án: Ch n D.
ồ ị ư ụ ố ị Ví d 9ụ . Cho hàm s xác đ nh và liên t c trên , có đ th nh hình
ố ể ủ ươ nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ ph ng trình có đúng 6
ỏ ẽ v . H i có bao ệ ệ nghi m phân bi ị t?
y
7
2 5
2
3
1
6
x
2
2 O
7
6
5
2
2
3
L i gi ờ ả i
ĐK. .
Đ t .ặ
.
.
;
.
.
ươ ở ớ Ph ng trình đã cho tr thành v i .
ỗ ớ ị V i m i cho 2 giá tr .
ớ ị V i cho 1 giá tr .
ươ ệ ệ Do đó ph ng trình đã cho có 6 nghi m phân bi ệ t có 3 nghi m phân bi ệ . t
ậ Mà nên . V y có 2 giá tr ố ị nguyên c a tham s ủ
ồ ị ư ụ ố Ví d 10ụ . Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình sau.
ể ươ ự ệ ệ Tìm đ ph ng trình có hai nghi m th c phân bi t.
ả i.
ướ ặ ứ ệ ỗ ượ ệ H ng gi ớ Đ t . Khi đó ng v i m i nghi m , ta đ c hai nghi m .
ừ ồ ị ủ ấ ố ươ ệ ộ ng trình có đúng m t nghi m khi và ch ỉ
T đ th c a hàm s , ta th y ph khi
Nh n xét: Các bài toán có đ
c b ng cách ể ự ả ừ ượ ằ đó hình thành và phát tri n năng l c gi thay đ i ổ b i và linh ho t ở i quy t ạ ề ế v n đ ấ
ậ i ả , t trong cách gi ọ . cho h c sinh
ớ ả ặ b ng bi n thiên
* V i các bài toán cho bi ươ ế ế ọ ế ồ ị t đ th ho c ạ ng trình có d ng , . ủ ố , xét c a hàm s ữ ắ ầ H c sinh c n n m v ng
ấ ủ các bài toán liên quan đ n ph ố tính ch t c a hàm s
ư ế ả ố ẽ Cho hàm s có b ng bi n thiên nh hình v Ví d 11.ụ
ố ể ươ ủ ị ự ệ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ ph ng trình có nghi m th c?
L i gi ờ ả i
Ta có: .
Do đó: có nghi m ệ
.
ủ ỏ ị Mà có 7 giá tr nguyên c a th a mãn bài toán.
ồ ị ể ươ Cho đ th hàm s nh hình v . ng trình có nghi m thì
ề ố ư ỏ ẽ Đ ph ộ ườ ể Ví d 12.ụ đi u ki n c a ệ ng tròn nào sau đây? ệ ủ tham s là ố . H i đi m thu c đ
B. .
A. . C. . D.
L i gi ờ ả i
ặ Đ t . Vì .
Khi đó
ồ ị ấ ự ế ớ ố ị D a vào đ th th y hàm s ngh ch bi n v i .
ươ Do đó ph ng trình (*) vì .
ể ươ ệ ề Đ ph ng trình có nghi m thì đi u ki n c a ệ ủ tham s là ố .
ọ ộ ể T a đ đi m , ta có:
Đáp án: Ch n Bọ
ế ả ố : ụ Ví d 13ụ . Cho hàm s liên t c trên và có b ng bi n thiên
ổ ị ươ ể ươ ủ ệ Tính t ng các giá tr nguyên d ng c a đ ph ng trình có nghi m.
L i gi ờ ả i
ặ ươ ớ Đ t thì ph ở ng trình tr thành v i .
ươ ệ
ươ ả ng trình ph i ng
ẳ ớ i ít nh t m t đi m v i m i . Vì nguyên d ỏ ườ ng th ng có ph ể ủ ể ươ Đ ph ắ ồ ị ấ ố ạ c t đ th hàm s t ị ổ nên t ng các giá tr nguyên d ng trình có nghi m thì đ ộ ọ ươ ng c a th a mãn bài toán là .
ủ ố t đ th ho c b ng bi n thiên c a hàm s , xét các
ế ồ ị ặ ả ế ươ ế ạ 2.Bài toán 2. Cho bi bài toán liên quan đ n ph ng trình có d ng
ằ ặ ớ ố ố Ta xét v i các bài toán a là h ng s ho c là tham s .
ồ ị ư ẽ ố Ví d 1ụ . Cho hàm s có đ th nh hình v bên.
ể ươ ị ủ ệ Tìm các giá tr c a m đ ph ng trìnhcó hai nghi m phân bi ệ . t
L i gi ờ ả i
ủ ươ ủ ồ ị ể ố ố ườ ng trình ng là s giao đi m c a đ th hàm s và đ
ệ ố S nghi m c a ph th ng ẳ .
ố ẵ ố Hàm s là hàm s ch n nên nh n ụ ố ứ . ậ làm tr c đ i x ng
ố ồ ồ ị ầ Đ th hàm s g m 2 ph n:
ố ớ ầ ồ ị + Ph n 1: Đ th hàm s v i .
ố ứ ố ớ ồ ị ụ ầ ấ + Ph n 2: L y đ i x ng đ th hàm s v i qua tr c .
ệ ệ ườ ắ ồ ị ạ ả t thì đ ng th ng c t đ th t i 2
ừ ồ ị ệ ể ươ Đ ph ể đi m phân bi ng trình có 2 nghi m phân bi t. T đ th ta có
ố ậ ồ ị ư ệ ẽ ố
ươ ự ủ Ví d 2ụ . Cho hàm s b c ba có đ th nh hình v bên. S nghi m th c c a ph ng trình là
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
y
3
2
y =
2
a4
O
x
a1
2
a2
2
a3
1
3
y =
2
ươ Ph ng trình .
ươ * Ph ng trình .
ươ * Ph ng trình .
ồ ị ư ẽ ố ạ Đ th hàm s có d ng nh hình v sau:
y
y = a3
2
y = a2
O
1
1
x
y = a1
2
y = a4
ự ồ ị D a vào đ th trên ta có:
ươ ệ ệ Ph ng trình có 3 nghi m phân bi t.
ươ ệ ệ Ph ng trình có 3 nghi m phân bi t.
ươ ệ Ph ng trình có 1 nghi m.
ươ ệ Ph ng trình có 1 nghi m.
ậ ươ ệ ệ V y ph ng trình có 8 nghi m phân bi t.
Đáp án: Ch n Aọ
ố ươ ồ ị ư ẽ ố ệ ng có đ th nh hình v bên. S nghi m
ằ ng trình b ng
Ví d 3ụ . Cho hàm s trùng ph ươ ộ ủ thu c c a ph A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
Ta có
ươ ệ ộ Ph ng trình có 8 nghi m thu c .
Đáp án: Ch n Dọ
ồ ị ư ố ỏ ị ươ ng
y
3
x
1
-1 O 1
Ví d 4.ụ Cho hàm s xác đ nh trên và có đ th nh hình bên. H i ph trình có bao nhiêu nghi m?ệ
ị ế ồ ị ả ố c đ th hàm s .
ỏ
c tiên t nh ti n đ th sang ph i 2 đ n v đ đ ồ ị ầ ấ ườ ẳ ng th ng . Ta
ờ ả i L i gi ị ể ượ ồ ị ơ ườ ẳ ng th ng . ạ ở i ẽ ồ ị ố ầ ộ + Tr ầ + Ti p theo xóa b ph n đ th phía bên trái đ ố ứ + Cu i cùng l y đ i x ng ph n đ th còn l ượ đ ướ ế ố c toàn b ph n đ th c a hàm s (hình v bên d i)
y
f
x
y
f x
2
2
3
x
x
O
3
3
1 O
2
1
1
1
y
1 2
trên qua đ ướ y ồ ị ủ y
ồ ị ự ấ ườ ố ạ ẳ + D a vào đ th hàm s ố , ta th y đ ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t ể i 4 đi m
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ ệ phân bi
ệ t. ế ả ố ng trình có 4 nghi m phân bi t đ th ho c c a hàm s , xét
ươ ạ t ệ ph ớ V i bài toán cho b i ế các bài toán liên quan đ n ph ế ồ ị ặ b ng bi n thiên ng trình có d ng . ủ V i ớ là tham số
ồ ị ư ụ ố ẽ Ví d 5ụ . Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v .
ố ể ươ ủ ệ ng trình có đúng 12 nghi m
ị ạ ệ ộ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ ph phân bi t thu c đo n ?
L i gi ờ ả i
ủ ế ả ạ ố Ta có b ng bi n thiên c a hàm s trên đo n
ệ ươ ệ ạ ộ ỉ ươ ng trình có đúng 12 nghi m phân bi t thu c đo n khi và ch khi ph ng
ệ ệ Ph trình có 2 nghi m phân bi t .
ồ ị ố ươ ệ ệ ng trình có 2 nghi m phân bi ỉ t khi và ch
ự D a vào đ th hàm s suy ra ph khi .
ị ủ ậ ả Do nguyên nên . V y có 2 giá tr c a tho mãn bài toán.
ồ ị ư ụ ố ẽ Ví d 6ụ . Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v .
ấ ả ị ể ươ ệ Tìm t t c các giá tr đ ph ng trình có nghi m.
L i gi ờ ả i
ồ ị ủ ự ồ D a vào đ th đã cho ta có đ thi c a hàm là
Đ t ; .ặ
ự ả ấ ế D a vào b ng bi n thiên ta th y .
ậ ươ ệ ỉ ươ V y ph ng trhhh có nghi m khi và ch khi ph ệ ng trình có nghi m
.
ặ ả ủ ế ố
ế ế ồ ị t đ th ho c b ng bi n thiên c a hàm s , xét các bài ươ 3.Bài toán 3. Cho bi toán liên quan đ n ph ạ . ng trình có d ng
ư ế ả ố Ví d 1.ụ Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau
ủ ươ
ệ ố S nghi m c a ph A. vô s .ố ng trình là B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
.
ớ ươ ệ V i thì nên ph ng trình vô nghi m.
ớ V i ta có . Ta có:
ố ồ ụ ế nên hàm s đ ng bi n và liên t c trên .
ạ ươ ấ L i có: nên ph ệ ng trình có nghi m duy nh t trên .
Đáp án: Ch n Dọ
nh hình v
0
+∞
+
+∞
x y' y
2 3
ế ả ố ư ẽ ị Ví d 2ụ . Cho hàm s xác đ nh trên và có b ng bi n thiên
ươ ệ ỏ H i ph ng trình có bao nhiêu nghi m?
L i gi ̀ơ ả i
ệ ề Đi u ki n:
ươ ặ ầ Ph ng trình ban đ u . Đ t
4
0
+
x g'(x) g(x)
f 4( )
ủ ạ ố Ta có Sau đây là BBT c a hàm s trên đo n
(
)
2 15 12
ậ ươ ệ ộ V y ph ng trình có đúng m t nghi m.
ồ ị ư ẽ ặ ủ ệ ố Ví d 3ụ . Cho hàm s ố có đ th nh hình v . Đ t . Tìm s nghi m c a .
L i gi ờ ả i
Xét
Ta có:
ừ T (1):
ừ T (2):
ồ ị ự ệ ệ D a vào đ th suy ra: (1) có 3 nghi m phân bi t
ầ ượ ườ ắ ồ ị ạ ẳ ể ệ (2) Ta xét l n l t đ ng th ng: c t đ th t i 2 đi m phân bi t
ắ ồ ị ạ ể ệ c t đ th t i 2 đi m phân bi t
ắ ồ ị ạ ể ệ c t đ th t i 2 đi m phân bi t
ệ Nên (2) có 6 nghi m phân bi ệ t
ậ ươ ệ ệ V y ph ng trình có 9 nghi m phân bi t.
ả ố c a hàm s , xét các bài
ế ặ b ng bi n thiên ươ ủ ứ 4. Bài toán 4. Cho bi toán liên quan đ n ph t ế đ th ho c ồ ị ấ ươ ng trình, b t ph ế ng trình ch a
́ ồ ị ẽ ướ ố i đây. Ví d 1ụ . Cho hàm s co đ th là hình v d
ủ ả ị ươ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a trong kho ng ể ấ đ b t ph ̀ ng trinh co ́
nghiêm?̣
L i gi ̀ơ ả i
ủ ậ ố Đ t ặ ị Ta có t p xác đ nh c a hàm s là
ố ồ ế ả ố ạ ự ạ ạ i ,
ấ ừ ồ ị T đ th ta th y trên kho ng hàm s đ ng bi n và hàm s đ t c c đ i t ạ ự ể ạ đ t c c ti u t i .
Suy ra
́ ấ ậ ươ ̣ V y b t ph ng trình co nghiêm
ầ ỏ Ví d 2ụ . Cho
ế ợ ố ế ố K t h p suy ra có 2019 s nguyên th a mãn yêu c u bài toán ả hàm s có b ng bi n thiên
ấ ặ ươ ệ ậ ng trình có t p nghi m là
Đ t . B t ph A. B. . C. .D.
L i gi ờ ả i
Ta có
ẵ ớ ộ ệ V i ( nghi m b i ch n).
ệ ẵ ộ V i ớ ( nghi m b i ch n).
ươ ệ ớ V i ph ng trình vô nghi m.
ậ ớ Nh n xét v i
V i ớ
ả ấ Ta có b ng xét d u
ừ ả ấ ươ ệ ấ T b ng xét d u suy ra b t ph ậ ng trình có t p nghi m là .
Đáp án: Ch n Dọ
ứ ậ ồ ị ư ướ ỏ i. H i ph ươ ng
Ví d 3ụ . Cho hàm đa th c b c ba có đ th nh hình bên d trình có bao nhiêu nghi m?ệ
L i gi ờ ả i
Đ t .ặ
.
ồ ị ự D a vào đ th ta có:
.
Suy ra .
Ta có
.
ự ộ ị ươ ng trình
ủ ệ ươ ươ ệ ng trình có 2 nghi m và ph ng trình này không trùng nhau. Do đó
ố ệ ệ ươ D a vào đ th hàm s ta suy ra ph có 3 nghi m. Các nghi m c a 2 ph ng trình có 5 nghi m. ph
ử ề ầ ộ Ví d 4ụ . (Câu 49Đ thi th THPTQG chuyên Phan B i Châu l n 2 năm 2020)
ố Cho hàm s . Có bao nhiêu giá
ể ươ ạ trị nguyên c a ủ ố tham s thu c ộ đo n đ ph ng trìn h
ệ ệ có nghi m phân bi t ?
A.. C.. D.. B..
L i gi ờ ả i
ễ ấ ươ Ta có: D th y ph ng trình không có nghi m ệ .
Xét hàm s ố
ả ế B ng bi n thiên:
…
ệ ườ ẳ ố ng trình đã cho có 2020 nghi m thì đ ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s
ệ ể ươ Đ ph ể ạ i 2020 đi m phân bi t t.
ặ ứ ấ Nhìn vào BBT ta th y : ho c t c là .
ậ ể ươ ộ ệ V y có 40 40 giá nguyên c a ủ ạ thu c đo n đ ph ng trình có nghi m phân
bi t.ệ
Đáp án: Ch n Bọ
ế ố ủ c a hàm s , xét các
ạ t ế đ th ho c ả ồ ị ặ b ng bi n thiên 5. Bài toán 5. Cho bi ươ ế bài toán liên quan đ n ph ng trình có d ng
ụ ạ ồ ị ố ượ , và đ th hàm s đ c cho
ư ẽ Ví d 1.ụ Cho hàm s có đ o hàm liên t c trên nh hình v bên d ố ướ i
ươ ệ Ph ng trình có bao nhiêu nghi m?
A. . B. . C. . D. .
L i gi ờ ả i
ừ ồ ị ả ố ế T đ th hàm s đã cho, ta có b ng bi ủ t thiên c a hàm s ố :
ấ ươ ệ Qua BBT và ta th y ph ng trình vô nghi m.
ồ ị ụ ư ẽ ố ế Ph t . ngươ
Ví d 2.ụ Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v , bi trình có bao nhiêu nghi m?ệ
L i gi ờ ả i
Xét
Vì
ồ ị ủ ủ ư ự ế ả ố D a vào đ th c a hàm s , ta có b ng bi n thiên c a hàm nh sau:
ừ ả ế ươ ệ Vì do đó t b ng bi n thiên ta có ph ng trình có đúng 3 nghi m.
ỏ ạ ố , và đ th c a hàm s có d ng nh ư
ươ ướ Ví d 3.ụ Cho hàm s b c i đây. Ph hình d ồ ị ủ ố ậ b nố th a mãn ự ? ệ ng trình có bao nhiêu nghi m th c
L i gi ờ ả i
ừ ồ ị ả ế ủ ế ả T đ th và gi thi t, ta có b ng bi n thiên c a :
ố Xét hàm s ta có .
ủ ế ả ố Ta có b ng bi n thiên c a hàm s :
Do
ậ ươ ệ V y ph ng trình có nghi m phân bi ệ . t
ế ả ớ Ta xét v i các bài toán v ph i là tham s ố có d ngạ : ,
ố ớ ế ẽ ạ ự ồ ị ố
ắ ủ ư t hàm s có đ th nh hình v , đ t c c tr t ị i . Có bao nhiêu giá tr nguyên c a m trên đ ị ạ i ể
ố ệ Ví d 4.ụ Cho hàm s v i . Bi ạ ể đi m và c t truc hoành t ệ ươ ph ng trình có b n nghi m phân bi t.
L i gi ̀ơ ả i
ẽ ư ậ ổ
ầ ổ ấ
ươ ấ ằ ồ ị Quan sát đ th nh hình v . Ta th y r ng đây là hàm b c qua không đ i ấ d u và qua đ i d u 1 l n. Nên suy ra (vì nên ) Do Suy ra ề Mà theo đ ta có ph ng trình
ể ươ ệ ệ ươ ầ ượ t thì ph ng trình (1) và (2) l n l t
ệ ng trình có 4 nghi m phân bi Đ ph ệ có 2 nghi m phân bi t
ậ ả ị Mà V y có 2 giá tr nguyên tho mãn bài toán.
ư ề ẽ ố ố
ề ươ Ví d 5ụ . Cho hàm s . Đ th c a hàm s nh hình v bên. Tìm đi u ki n ệ ủ c a m đ ph ồ ị ủ có nghi m ệ ? ng trình
L i gi ờ ả i
ệ ẳ ớ ạ t là di n tích hình ph ng gi ở ồ ị i h n b i đ th hàm s ố
ầ ượ ọ G i , , , l n l ụ ớ v i và tr c hoành.
ẽ Quan sát hình v , ta có
ế ả Ta có b ng bi n thiên
ự ế ả ầ D a vào b ng bi n thiên, yêu c u bài toán .
ế ố ủ ươ ng trình , xét các bài toán liên
ươ ệ t s nghi m c a ph ứ ế 6. Bài toán 6. Cho bi quan đ n ph ng trình có ch a .
ụ ườ
ươ ẽ ỏ ệ ị ồ ị ơ ng cong tr n (không b ng trình có bao nhiêu nghi m phân
Ví d 1.ụ Cho hàm s liên t c trên và có đ th là đ ố ọ gãy khúc), hình v bên. G i hàm H i ph bi t?ệ
L igi ờ ả i
.
.
ế ươ ệ ậ K t lu n ph ng trình ệ có nghi m phân bi t.
ồ ị ư ẽ ạ ố . Ví d 2ụ . Cho hàm s có đ o hàm trên và có đ th nh hình v bên
ủ ệ ặ ố ươ Đ t . Tìm s nghi m c a ph
ng trình . ̀ơ ả i L i gi
ự ể ệ ố ị
ồ ị ủ ớ ệ t ; v i .
Ta có:. . D a vào đ th c a hàm s có hai đi m c c tr nên có hai nghi m ự phân bi PT :.
ồ ị ủ ẳ D a vào đ th c a hàm s thì có ba nghi m phân bi ệ ệ ố ự t. ệ ể ẻ ườ t nên i ba di m phân bi
ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t ệ ệ ng trình có ba nghi m phân bi ố ạ t. K đ ươ ph
ệ ệ ng trình có 6 nghi m phân bi
Nên ph ươ ấ ả ậ ệ ươ ng trình có t t. ệ t c 8 nghi m phân bi V y ph t.
ồ ị ư ố ẽ Ví d 3.ụ Cho hàm s có đ th nh hình v :
ủ ệ ố ươ ế Tìm s nghi m c a ph ng trình , bi t .
L ìơ gi iả
Ta có =0
ượ c
ệ ệ ệ ệ ươ
ố ng trình có 3 nghi m phân bi ng trình có 4 nghi m phân bi ng trình có 8 nghi m phân bi ẳ ẳ ng trình ể ố ạ t là t ể t (đ tìm nghi m ph ắ ồ ị ng th ng c t đ th hàm s t i 8 đi m
ấ ả ệ ồ ị ự D a vào đ th hàm s ta đ ươ ệ + Ph ệ ươ + Ph ệ ươ + Ph ấ ườ ẻ ườ ng th ng , th y đ ta k đ t )ệ phân bi ươ ậ V y ph ng trình có t ệ t c 15 nghi m phân bi t.
ệ ố ố ế ng trình, bi t .
ủ Ví d 4.ụ Cho hàm s . Tìm s nghi m c a ph ờ ả L i gi ươ i:
ị ậ
ệ T p xác đ nh : Ta có: có TXĐ: ươ ng trình Ph ả i (1) vô nghi m +) Gi
ả i (2):
ệ
ừ ự ệ ạ ỉ +) Gi Ta có (3) vô nghi m. PT(4) ồ ị ủ T (5) ta có D a vào d ng đ th c a ta có PT ch có 1 nghi m
ứ ẳ ỏ
ệ ố ư ồ ị Ví d 5ụ . Cho hàm số có đ th nh hình v và th a mãn đ ng th c sau:. Cho ẽ ươ ủ ng trình . hàm s và . Tìm nghi m c a ph
L i gi ̀ơ ả i
ệ ươ ố đi qua , nên ta có h ph ng trình:
V i ớ thì . ồ ị Vì và đ th hàm s . V y .ậ Ta có
Do đó . . V y .ậ
ế ệ ố ệ t thi ph ươ ng
ươ ng trình có nghi m phân bi ệ ề ấ Ví d 6.ụ Cho hàm s . N u ph trình có nhi u nh t bao nhiêu nghi m?
L i gi ờ ả i
ệ ệ ả ử có nghi m phân bi s t là .
(
)
x
Gi Xét = 2
) ( f x f .
'''
.
ế ả Khi đó Ta có b ng bi n thiên
ươ ế ệ ấ có nhi u nh t nghi m.
ng trình ệ ự ỏ ắ ệ ố ừ ả T b ng bi n thiên suy ra ph 7 . H th ng câu h i tr c nghi m t ề ệ ôn luy n
ư ế ố ả Câu 1. Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau.
ủ ệ ạ ố ươ ộ S nghi m thu c đo n c a ph ng trình là.
A. . B. . C. . D. .
ư ế ố ả Câu 2. Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau.
ủ ệ ạ ố ươ ộ S nghi m thu c đo n c a ph ng trình là.
A. . B. . C. . D. .
ồ ị ố ườ ư ẽ ướ ng cong nh hình v bên d i. Câu 3. Cho hàm s có đ th là đ
ự ệ ố ệ ủ ươ S nghi m th c phân bi t c a ph
A. . B. . ng trình là C. . D. .
ư ế ố ả Câu 4. Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau.
ệ ố ươ ươ S nghi m d ủ ng c a ph ng trình là.
A. . B. . C. . D. .
ư ế ố ả Câu 5. Cho hàm s có b ng bi n thiên nh sau.
ủ ố ươ ệ S nghi m c a ph ng trình là.
A. . B. . C. . D. .
ồ ị ư ố ẽ Câu 6. Cho hàm s có đ th nh hình v .
ể ươ ạ ộ ố Có bao nhiêu s nguyên đ ph ệ ng trình có nghi m thu c đo n
A. B. C. D.
ẽ ị Câu 7. Cho hàm s liên t c trên có đ th nh hình v . Có bao nhiêu giá tr
ụ ố ể ươ ệ ố ủ nguyên c a tham s đ ph ồ ị ư ng trình có nghi m .
A. . B. . C. . D. .
ủ ị ể
ồ ị ư ươ ệ ươ ệ ỏ Câu 8. Cho hàm s có đ th nh sau. H i có bao nhiêu giá tr nguyên c a đ ng phân bi ph ố ng trình có hai nghi m d t.
A. . B. . C. . D. .
ẽ ướ ư ế ố i ả Câu 9. Cho hàm hàm s có b ng bi n thiên nh hình v d
ố ể ủ ị ươ ệ ng trình có nghi m phân
Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ ph bi t.ệ
=
A. . C. . D. .
y
B. . )
( f x
ồ ị ẽ ỏ ư và có đ th nh hình v . H i
ươ ụ liên t c trên ệ Câu 10. Cho hàm s ố ấ ả ng trình có t ph t c bao nhiêu nghi m?
A. . B. . C. . D. .
ồ ị ụ ư ẽ Tìm số
ươ ủ ệ Câu 11. Cho hàm s có liên t c trên và có đ th nh hình v . nghi m c a ph ố ng trình .
A. B. C. D.
ư ụ ế ả ố ướ i Câu 12. Cho hàm s liên t c trên và có b ng bi n thiên nh hình d
ươ ệ ỏ H i ph ng trình có bao nhiêu nghi m trên ?
A. . B. . C. . D. .
ồ ị ư ụ ẽ ố ế Ph t . ngươ
Câu 13. Cho hàm s liên t c trên và có đ th nh hình v , bi trình có bao nhiêu nghi m?ệ
A. . B. . C. . D. .
ư ế ố ướ i đây. ả Câu 14. Cho hàm s có b ng bi n thiên nh hình d
ươ ệ Ph ng trình có bao nhiêu nghi m th c ự trên kho ngả ?
A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
ố ớ ồ ị ư ố ậ ẽ ạ
Câu 15. Cho hàm s b c ba có đ o hàm là hàm s v i đ th nh hình v sau đây:
ớ ụ ố ạ ể ộ i đi m có hoành đ âm.
ươ ế ằ Bi ỏ H i ph ế t r ng đ th hàm s ti p xúc v i tr c hoành t có bao nhiêu nghi m?ệ ồ ị ng trình
A. . B. . C. . D. .
ẽ ố ồ ị ư Hàm s có đ th nh hình v bên Câu 16. Cho hàm s ố
ể ươ ủ ệ Có t ị t c bao nhiêu giá tr nguyên c a đ ph ng trình có hai nghi m phân
ấ ả bi t?ệ
B. . C. . D. . A. .
Đáp án.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A B A C D C D C C B C C B A A B
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
ơ ả ụ (c b n và nâng cao), NXB Giáo D c Năm [1]. Sách giáo khoa,sách bài t p 12ậ
2007
ạ ươ ả ng pháp gi i toán s ơ
ươ ấ ả ễ ng . . Nhà xu t b n Hà N i Năm 2000.
Các ph ộ ọ ấ ả . Nhà xu t b n
ợ
ọ ớ ộ ấ ả . Nhà xu t b n Hà N i
ươ ọ ả ủ ề .Nhà ng pháp gi i toán hình h c 12 theo ch đ
ơ Ph ụ
ỗ ấ ả ể ố ề ệ ẩ ị t nghi p THPT và thi vào
ấ ả ụ ả [2]. Phan huy Kh i Nguy n Đ o Ph ọ ấ c p Hình h c không gian ể ậ [3]. IF.Sharygin. Tuy n t p 340 bài toán hình h c không gian ổ t ng h p Nghĩa Bình Năm 1988. [4]. Phan Huy Kh i .ả Toán nâng cao hình h c l p 11 Năm 2002. [5]. Đ Thanh S n . xu t b n Giáo d c Năm 2008 ọ [6].Tuy n tr n theo chuyên đ chu n b thi t ĐH CĐ môn toán,Nhà xu t b n Giáo d c Năm 2017
ọ ễ [7]. http://www. di n dàn toán h c.net
[8]http://www.thuvientailieu…
[9]. http://www.thuvienbaigiang.
