UBND HUYỆN GIA LÂM
TRƢỜNG THCS LỆ CHI
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM “NÂNG CAO HIỆU QUẢ CỦA HỆ THỨC VI–ÉT
TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI AX2 + BX + C = 0 "
Tác giả: Đào Thị Hạnh Môn: Toán Cấp học: THCS
Năm học 2018 - 2019
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Môc lôc
Trang Nội dung
1
PHẦN I: LÝ do chän ®Ò tµi
PhÇN II: Néi dung
2
i. c¬ së lý luËn vµ c¬ së thùc tiÔn:
2
1.C¬ së thùc tiÔn: 2
2. Thực trạng và nguyên nhân 2
2.1.Thực trạng 2
2.2.Nguyªn nh©n 3
3
III. c¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1.Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1)
3
4
2. Hệ thức Viet và ứng dụng 4
IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhẩm, tính nghiệm của phương trình bậc hai 4
Dạng 2: Cho phương trình có hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, 5 tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai 6
Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng 7
Dạng 5: Tính giá trị của các biểu thức nghiệm 8
Dạng 6: Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai 9
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho 11 hai nghiệm này không phụ thuộc (hay độc lập) với tham số.
Dạng 8: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa 12 nghiệm đã cho
Dạng 9: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai 14
Dạng 10: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm 15
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
V. KÕt qu¶ thùc nghiÖm:
17
PhÇn III: bµi häc Kinh nghiÖm
18
PhÇn IV: KÕt luËn – KIẾN nghÞ - ®Ò xuÊt
19
TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
1
PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức VI-ÉT, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức VI-ÉT là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức VI-ÉT nói riêng vào giải các bài tập liên quan, phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó. Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và đúc kết thành kinh nghiệm "Nâng cao hiệu quả của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình ax2 + bx + c = 0 " trong giảng dạy.
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN: 1. Cơ sở thực tiễn:
Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp thời.
Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương pháp dạy phù hợp.
Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. Hình thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các môn học khác.
Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến "Ứng dụng của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 " .
Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa.
Tuy nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng.
Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăn trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a 0).
Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài toán có liên quan đến hệ thức VI-ÉT trong phương trình bậc hai. 2. Thực trạng và nguyên nhân 2.1. Thực trạng
2
Qua quá trình dạy học môn Toán nhiều năm tôi nhận thấy, việc giải áp dụng hệ thức Vi-ét trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 của học sinh là khá khó khăn. Điều đó ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng môn toán nói chung và dạng toán này nói riêng, gây ra sự chán nản trong học tập của học sinh. Cụ thể, theo điều tra tình hình học tập môn toán ở
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
khối lớp 9 trong nhà trường khi học chương III và kết quả học kì II năm học 2018 -2019, cho thấy:
Tình hình làm bài tập ở nhà: Tự giải: 35% Trao đổi và giải: 13,21% Chép bài: 51,79% Học sinh hứng thú dạng toán này Hứng thú: 25% Bình thường: 33,21% Không hứng thú: 41,79% Kết quả học sinh làm câu 4 trong đề kiểm tra chương III - Đại số 9 là: Đề bài: Ví dụ 2: Cho phương trình
a) Giải phương trình với m = 1 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Hoàn chỉnh: 7,25% Nắm vững điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt : 42,33% Giải được điều kiện: 16,00% Không làm được: 34,42%
2.2. Nguyên nhân
Học sinh chưa có hứng thú học tập đối với nội dung này, do đó các em chưa quan tâm đúng mức khi áp dụng hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0
Học sinh vận dụng kiến thức đã học như giải phương trình, phương trình
bậc hai một ẩn còn hạn chế.
Học sinh tiếp thu kiến thức thụ động; các em nắm được kiến thức, lí
thuyết nhưng chưa biết cách vận dụng vào giải toán.
Các em không tự tin khi giải dạng toán nên không mạnh dạn phát biểu,
đưa ra ý kiến của bản thân trước tập thể.
Trình bày lời giải không khoa học, lập luận thiếu chặt chẽ, căn cứ và ngộ
nhận. II. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phƣơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) (1) Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
3
Dạng 2: b = 0 khi đó
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
-Nếu thì .
-Nếu thì phương trình vô nghiệm.
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT
CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
Dạng 3: Tổng quát
: phương trình có 2 nghiệm phân : phương trình có 2 nghiệm
biệt phân biệt
: phương trình có nghiệm kép : phương trình có nghiệm kép
: phương trình vô nghiệm : phương trình vô nghiệm
2. Hệ thức VI-ÉT và ứng dụng - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:
- Nếu có hai số u và v sao cho thì u, v là hai nghiệm của
phương trình x2 – Sx + P = 0.
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =
- Nếu a – b+c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =
IV. PHÂN DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT. DẠNG 1: NHẨM, TÍNH NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp giải:
4
Áp dụng hệ thức VI-ÉT:
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Nhẩm: thì phương trình có
nghiệm
Nếu a + b + c = 0 thì phương
trình có nghiệm là x1 = 1; x2 =
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x1 =-1; x2 =
(2) (1) 2)
Ví dụ 1: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 1) HD: Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm và
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm và
Ví dụ 2: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
2) 1)
HD:
1) Ta có 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm ;
2) Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3).(-4) = 12 nên phương trình có nghiệm
;
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 2. 1.
3. 4.
DẠNG 2: CHO PHƢƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ CHƢA BIẾT, CHO TRƢỚC MỘT NGHIỆM, TÌM NGHIỆM CÕN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH. Phương pháp giải:
Thay nghiệm đã biết vào phương trình, giải phương trình tìm hệ số
chưa biết.
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm còn lại. Vídụ:
a) Phương trình . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Cho phương trình : , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
5
nghiệm của phương trình.
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
HD: a) Thay
v à phương trình ban đầu ta được :
Từ suy ra
và theo VI- b) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử
ÉT ta có , ta giải hệ sau:
Suy ra
Bài tập áp dụng: a) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
b) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : , biết phương trình có
2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. DẠNG 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp:
Tính tổng hai nghiệm: và tích hai nghiệm
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
HD: Theo hệ thức VI-ÉT tacó vậy là nghiệm của phương
trình có dạng:
và và và và 1. 2. 3. 4. x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x2 = x1 = 8 x1 = 3a x1 = 36 x1 =
6
Bài tập áp dụng: 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Ví dụ: Cho phương trình :
có 2 nghiệm phân biệt . Không giải
phương trình trình, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
và
HD: Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
Vậy phương trình cần lập có dạng:
hay
Bài tập áp dụng: 1) Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và
(Đáp số: hay )
2) Cho phương trình : . Hãy lập phương trình bậc có 2 nghiệm
2 có ẩn y thỏa mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các
nghiệm của phương trình đó cho). )
3/ Cho phương trình bậc hai: . Hãy lập (Đáp số : có các nghiệm
phương trình bậc hai có các nghiệm sao cho :
a) và b) và
(Đáp số a) b) )
DẠNG 4: TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÖNG Phương pháp:
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 )
7
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Ví a + b = 3 và ab = 4 nên a, b là nghiệm của phương trình :
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
giải phương trình trình ta được
và
và và và và 1. S = 3 2. S = 3 3. S = 9 4. S = 2x y2
Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P P = 2 P = 6 P = 20 P = x2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 DẠNG 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Phương pháp:
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu
thức nghiệm đó cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rồi tính giá trị của biểu thức
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( ) và
Ví dụ 1 a)
b)
c)
d)
Ví dụ 2
Ta biết
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: =…….) 1) (
2) ( = =……. )
3) ( = =…… )
4) ( = = ……..)
8
Bài tập áp dụng
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
5) 6) 7) 8)
2. Không giải phương trình, tính giỏ trị của biểu thức nghiệm Ví dụ: Cho phương trình : . Không giải phương trình, hãy tính
1) 2)
3) 4)
HD: 1) 34 2) 3) 4) 46
Bài tập áp dụng a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
1) 2)
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
1) 2)
3) 4)
có 2 nghiệm x1 ; x2 , Không giải phương
c) Cho phương trình trình, tính
DẠNG 6: ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = 0
Loại 1: Phương trình vô nghiệm
9
Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Loại 3: Phương trình có nghiệm
Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất
Loại 5: Phương trình có nghiệm kép
Loại 6: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
HD: Phương trình có nghiệm duy nhất
TH1:
TH2: (hpt vô nghiệm với
Với mọi m)
Vậy pt có nghiệm duy nhất Với m = 0 thì
Ví dụ 2 : Cho phương trình : mx2 + 6(m - 2)x + 4m - 7 = 0 Tìm các giá trị của m để phương trình : a) Có nghiệm kép . b) Có 2 nghiệm phân biệt. c) Vô nghiệm .
10
HD: a)
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
b)
c) + m = 0 : Có nghiệm.
+ m :
DẠNG 7: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ. Phương pháp:
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a 0 và 0)
Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình : có 2 nghiệm . Lập hệ
thức liên hệ giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
Rút m từ (1) ta có:
(3)
Rút m từ (2) ta có:
(4)
11
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Ví dụ 2: Gọi
là nghiệm của phương trình : . Chứng
minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.
HD: Để phương trình trình có 2 nghiệm x1 và x2 thì :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có :
thay vào A ta có:
Vậy A = 0 Với mọi và . Do đó biểu thức A không phụ thuộc
vào m Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng:
1) Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập hệ
thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
2) Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
DẠNG 8: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƢƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Phương pháp: Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:
Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đó cho có hai nghiệm x1 và x2
12
hoặc
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình
(có ẩn là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình :
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :
. Theo hệ th ức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết:
Suy ra:
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Ví dụ 2: Cho phương trình : .
Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: và từ giả thiết .
13
Suy ra
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình :
Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
2. Cho phương trình :
Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức:
3. Cho phương trình : .
Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức :
Nhận xét:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở
Ví dụ 1 và Ví dụ 2 ở chỗ
+ Trong Ví dụ thì biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm và tích
nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Cũng trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về rồi từ đó vận dụng biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm
tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và Ví dụ 2.
Cho phương trình: (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương
DẠNG 9: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm …. Ta lập bảng xét dấu sau:
Điều kiện chung x1 x2 Dấu nghiệm
14
trái dấu 0 P < 0 0 ; P < 0. (hoặc ac <0)
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
cùng dấu P > 0 0 0 ; P > 0
+ + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng dương
cựng âm S < 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: có 2 nghiệm trái dấu.
HD: Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì
thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
Vậy với Bài tập tham khảo: 1. có 2 nghiệm cùng dấu.
2. có 2 nghiệm âm.
3. có ít nhất một nghiệm không thỏa mãn.
DẠNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn
phân tích được:
(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)
(*)
(với )
(với )
Thì ta thấy : Ví dụ 1: Cho phương trình :
Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
có giá trị nhỏ nhất.
HD: Theo VI-ÉT:
15
Theo đề bài :
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
Suy ra:
Ví dụ 2: Cho phương trình : và Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức sau:
HD: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau:
Vì
Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
Vì
Vậy
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có:
16
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì 0
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
hay
Vậy: m = 1;
Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức
có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm
thỏa mãn điều kiện .
3. Cho phương trình : xác định m để phương trình
có 2 nghiệm thỏa mãn
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m,
biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.
V. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:
Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn
luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:
- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ
thức VI-ÉT.
- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh
hoạt được kiến thức đã học để giải toán...
- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ. - Điều tra tình hình học tập môn toán ở khối lớp 9 trong nhà trường khi
học chương III năm học 2018 -2019, cho thấy:
Trao đổi và giải: 21,5% Chép bài: 8,5%
17
- Tình hình làm bài tập ở nhà: Tự giải: 70% - Học sinh hứng thú dạng toán này Hứng thú: 59% Bình thường: 29,8% Không hứng thú: 10,2%
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM
* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy được mối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp lí và lôgíc.
- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng cao, cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ đưa về dạng đã biết.
- Phải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu. * Đối với học sinh: - Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ. - Phải say sưa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán. * Đối với nhà trường - Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phương
pháp dạy hợp lí.
- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên
đề, sáng kiến kinh nghiệm.
- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra
18
phương pháp dạy hợp lí.
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
PHẦN IV: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
Trên đây là một số vấn đề về ứng dụng của hệ thức VI-ÉT trong giải các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 hay gặp ở Đại số lớp 9. Tuy rằng chưa phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai - Định lí VI-ÉT. Theo tôi nghĩ:
- Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lượng về phương trình bậc hai có chứa tham số. Đưa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức VI-ÉT vào sách giáo khoa.
- Đối với giáo viên: Cần định hướng cho học sinh thấy được tầm quan
trọng của hệ thức VI-ÉT trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán.
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng như tài liệu để
các đồng chí giáo viên có thể đầu tư vào công việc giảng dạy tốt hơn.
Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng Ví điều kiện thời gian và sự tiếp nhận kiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung chuyên đề chưa được phong phú. Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và các bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn thiện hơn, có tính khả thi hơn.
19
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
SKKN: “Nâng cao hiệu quả của hệ thức Vi-et trong giải các bài toán liên quan đến phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0)”
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Các bài toán cơ bản và nâng cao Toán 9, NXb GD, 2009. 2. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9, Nxb GD, 2008 3. Sách giáo khoa môn toán lớp 9, NxbGD-2008. 4. Sách bài tập môn toán lớp 9, NxbGD - 2008 5. Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 9, Nxb GD- 2008 6. Trần Phương và Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi
giải toán, NXB Hà Nội – 2004
7. WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra của các trường THCS. 8. WWW.VNMATH.COM. 9. Số học, Nguyễn Vũ Thanh 10. Toán chọn lọc cấp II, Lê Hải Châu 11. Chuyên đề bồi dưỡng giỏi toán 9 - Đinh Vũ Nhân - Vừ Thị Ái Nương -
Hoàng Chúng.
12. Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 9- NXB Giỏo
dục – 2004
20
13. Vũ Hữu Bình - Toán bồi dưỡng học sinh lớp 9- NXB Giáo dục – 2004.
