Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.
BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ:
Họ và tên: Lê Quốc Sang
Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982
Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang
Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An
Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2
Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:
1. Đặc điểm tình hình:
Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều năm liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”.
Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:
Chất lượng văn hóa:
Học lực:
Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68%
Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14%
Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19%
Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%
Hạnh kiểm:
Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52%
Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4%
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 1
Trung bình: 1 học sinh, tỉ lệ: 0,08%
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:
Học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải
Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh
Chất lượng hoạt động các cuộc thi:
Tham gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả.
Tổ chức các Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành công, học sinh được giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết mục sáng tạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
3. Lĩnh vực sáng kiến: Toán học.
III. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:
1. Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic.
Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một tài liệu tham khảo phù hợp.
Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các kỳ thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng, không tìm được lời giải.
Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi. Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi nó mang tính chủ quan.
Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục
triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác.
u
Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:
f u n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 2
Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. Giới hạn của dãy số dạng: 1n
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
n
lim
H x
i
i
1
Giới hạn của tổng thường gặp:
Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình.
2. Nội dung sáng kiến:
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
2.1.1. Các định nghĩa:
*
n
u 1, n
n
u
*
n
1) Dãy số tăng, dãy số giảm.
nu được gọi là dãy số tăng nếu u nu được gọi là dãy số giảm nếu
n
u 1, n
Dãy số Dãy số
M n ,
*
2) Dãy số bị chặn.
nu được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
nu
*
m n ,
Dãy số
nu
Dãy số
nu được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho nu được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới .
*
u
d
n , trong đó d là
d n
.
2
1 ,
n
nu
u 1
Dãy số
S
...
u
n
u n
u 1
2
u 1
u n
n 2
*
3) Cấp số cộng. Dãy số nu được gọi là cấp số cộng nếu , u 1n n số không đổi, gọi là công sai của cấp số cộng. nu là cấp số cộng thì Nếu dãy số nu là cấp số cộng thì tổng Nếu dãy số
n , trong đó q là số
1
u q . n
nu đươc gọi là cấp số nhân nếu
n
1 ,
2
n
0
thì tổng
,
nu là cấp số nhân thì nu nu là cấp số nhân với q
n
S
...
u
n
u n
u 1
2
u . 1
1 q 1 q
4) Cấp số nhân. Dãy số u n không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu dãy số 1. u q Nếu dãy số q 1,
a
a thì lim nu
2.1.2. Các định lý:
1) Định lý 1. Nếu lim nu
nq 0
q thì lim
1
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 3
2) Định lý 2. Nếu
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
)
u n
1
f u ( n
nu xác định bởi công thức truy hồi
a thì a là nghiệm của phương trình
nu
, trong đó
x .
)
a là một số thực cho trước và
3) Định lý 3. Cho dãy f x là hàm số liên tục. Khi đó, nếu ( ) f x ( )
u n
1
f u ( n
nu với 1u
.
4) Định lý 4. Cho dãy số Khi đó
x thì
x f x là hàm số đồng biến và 1
2
a) Nếu ( )
x thì
nu là dãy số tăng. nu là dãy số giảm.
x f x là hàm số đồng biến và 1
2
)
b) Nếu ( )
a là một số thực cho trước và
u n
1
f u ( n
)nu với 1u
5) Định lí 5. Cho dãy số ( .
Khi đó
x thì
2nu
1nu 2
x f x là hàm số nghịch biến và 1
2
a) Nếu ( ) là dãy số tăng và
là dãy số giảm.
x thì
2nu
x f x là hàm số nghịch biến và 1
2
w sao cho:
,
là dãy số giảm và
v , n
n
v
w
u n
n
n
v
a
n
n
n w
n
0 a
lim
n
n
, lim
n
, n 0 lim u n n
b) Nếu ( ) 1nu là dãy số tăng. 2 6) Nguyên lý kẹp. Cho ba dãy số u n
7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
;a b
, có đạo hàm
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
c
;a b thì tồn tại
f c '( )
f a ( )
f c b '( )(
f b hay ( )
) a
( ) f b b
f a ( ) a
sao cho 8) Định lý LAGRANGE. Nếu ( ) f x là hàm số liên tục trên đoạn ; trong khoảng a b
2.2. Các dạng toán thường gặp:
2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp
2
số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số phụ.
nu xác định bởi:
n 2
3,
n
1
1
u n
u 1 u n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 4
. Bài toán 1: Cho dãy số
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
L
u lim n u n 1
Tính giới hạn
Bài giải
u 2
1
u
2.1
u 3
2
1
u
2.2
3
3
u 2
Theo đề suy ra:
2
n
3 1
u n
u n 1
2
...
2
3
n
n
1
nu
… …
2 1
2
n
3
2 5
n 4
n
n
1
n
1
nu
2
n 2
n 2
n
3
2
u n 1
u n
1
2
5 2
n
4 n
5
u n
L
lim
lim
lim
1
2
n
2 n
2
u n
1
1
n 2 2
4 n 2 n
n
1
u 1
Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được 1
nu xác định bởi:
;
n
1
1
u n
1
n 3
2
u n
u n
L
. Bài toán 2: Cho dãy số
u lim n
Tính giới hạn
1
3 n
2;
n
Bài giải
1
u
1 u
n
1
n
Từ công thức truy hồi suy ra
1
1 u 1
3.1
2
1 u
2
1 u 1
3.2
2
1 u
3
1 u 2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 5
Từ đó ta có
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
3.3
2
1 u
1 u
4
3
3
n
2 1
1 u n
1 u 1 n
… …
1
...
2
2
n
n
1
3 1
1
1 u n
2
n
n
1
n 3
2
1
3
2
n
1
1 u
2
n 2
n
2
nu
2
n 3
n
2
L
lim
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
0
u n
2
u 1
Vậy
1
nu xác định bởi:
u n
,
n
2
1 2
u n
L
. Bài toán 3. Cho dãy số
u lim n
Tính giới hạn
1
u n
1
2
Bài giải
1
1
u n
u 2 n
u n
1
u n
u n
1
1 2
v
v
v (
)
1
Ta có
u . Ta được:
v 2 n
n
1
v n
n
1
n
v n
n
1
u và công bội 1
q
v nhân có số hạng đầu 1
1
1 2 1 2
1
1
v
1,
n
2
Đặt là một cấp số
n
u n
n 1 2
n 1 2
1
L
lim
lim
1
Suy ra
u n
n 1 2
1
5
2,
Vậy
)nu xác định như sau:
u 2 u 5
n
1 (1)
2
u 6 , n
n
1
u 1 u n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 6
Bài toán 4. Cho dãy số (
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
L
lim
u n n 3
Tính giới hạn
Bài giải
3
u n
2
u 2 n
1
u n
u 2 n
1
Từ đẳng thức (1), ta có:
v
.
n
1
u 1 n
u 2 , n
n
Đặt
3
v
v 3.
v (
)
u 2 n
u n
1
1
u 2 n
n
n
3
u n nhân có công bội
2 q và số hạng đầu 1 v
u 2
1 n u 12 1
n
1
Khi đó: là một cấp số
n 3
1 ,
.
n
1
nv
v q 1.
Suy ra
2
u n
2
u 3 n
1
u n
u 3 n
1
Mặt khác, cũng từ đẳng thức (1), ta có:
w
.
n
1
u 1 n
u 3 , n
n
Đặt
2
w
2.
w
w (
)
u n
2
1
u 3 n
1
n
1
2
Khi đó: là một cấp số
u u 3 n n q và số hạng đầu
n
n 1 u 2
u 13
w 1
n
1
1
nhân có công bội
n 2
,
.
n
1
nw
w q 1.
1
n 3
1
1
Suy ra
n 3
n 2
1 ,
n
1
u n
1
u 2 n u 3
n 2
n
1
u n u n
1
1
1
n 3
n 2
L
lim
lim
lim
Ta có hệ phương trình
1 3
1 3
n 1 2 3 3
u n n 3
n 3
Vậy
)nu xác định bởi công thức:
1;
u
2
Bài toán 5. Cho dãy số (
*
2
(3
n
u 2).
2(
n
u 1).
,
n
(1)
n
2
n
1
n
u 1 n u .
L
lim
.
u n n .2
n
Tính giới hạn
Bài giải
(3
n
n 2(
u
2(
n
1)
u
n u
u
n u . n
2
u 2). n
1
u 1). n
n
2
n
1
n
1
n
u n
1
u n
u n
2.
u n 1
2 n
1 n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 7
Từ đẳng thức (1):
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
u
u
n
v
v n
1
v 2 n
n
)nv
1n n
u
1
2
Đặt , ta được: là một cấp số nhân có công (
q và số hạng đầu 1 v
u 1
2
bội
12 n
,
n
1
nv
1
2
n .2
n
0 1.2
1 2.2
2 3.2
n (
...
n 1).2
Suy ra
u n
u 1 n
u n
u 1
2
2
1 2.2
2 3.2
n (
...
n 1).2
,
n
1
nu
2
3
2
1
4
3.2
n (
...
n 2).2
n (
n 1).2
nu 2
2.2
1
3
2
u
u 2
n (
n 1).2
2 2
...
2
n 2
n
n
2
1
1
1
n (
n 1).2
n (2
n (
2)
n 2).2
2
nu
1
n (
n 2).2
2
n
2
L
lim
lim
1
n
1 2
u n n .2
n
n .2
n
1 n .2
n
1 lim . 2
Khi đó:
u
1n
f u n
2.2.2. Giới hạn của dãy số dạng
1
u 1
n
)nu xác định bởi
n
1
1
u
L
Bài toán 6. Cho dãy số thực ( . , n 2 (1) u 1 u 2 n
u lim n
Tính giới hạn
Bài giải
, vậy dãy ( 1
0,
n
nu
)nu
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được
bị chặn dưới.
*
n
,
0
Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
u n
u n
1
u n
)nu là dãy số
1
1
u n 2 u n
3 u n 2 u n
, vậy dãy (
)nu giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
0
a thì
a
giảm.
a
a
a
0
2
a
1
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 8
Do ( Giả sử lim nu Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có:
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
L
lim
0
u n
Vậy
1
1 u
)nu xác định bởi
n
n
1
1
n
L
Bài toán 7. Cho dãy số thực ( . , n 2 (1) 2019 u 1 u 2 u
u lim n
Tính giới hạn
Bài giải
. Mặt khác, ta
0,
n
1
nu
Bằng phép quy nạp toán học, ta chứng minh được
.2.
.
2019
lại có:
u n
1
u n
1
)nu bị chặn dưới.
1 2
1 u n 2
2019 u n
1
2019 u n
1
, vậy dãy (
2019
u
*
2 n
Từ hệ thức (1), ta suy ra được:
n
,
u
0
u n
n
1
n
u n
)nu là
1 2
2019 u
u 2
u
n
n
, vậy dãy (
dãy số giảm.
)nu giảm và bị chặn dưới nên theo Tiêu chuẩn Weierstrass nó có giới hạn.
2019
a
a thì
Do (
a
a
2019
1 2
2019 a
a
L
lim
2019
Giả sử lim nu Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n ta có:
u n
x
2019
0
Vậy
nx
,
n
1
n
1 x 3
4
n
x
L
xác định bởi: . Bài toán 8. Cho dãy số thực
x lim n
Tính giới hạn
3
,
0
Bài giải
' f x
2
1
4
x 3
4
x 3
ta có suy ra f là hàm tăng. Xét hàm số f x
x , do đó dãy x
x Tính toán trực tiếp ta có 2
3
n n
2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 9
tăng. (1)
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
n . 1
nx , với mọi
1 3
Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được (2)
Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn.
a và a là nghiệm của phương trình
1 3
a
a
a
f a
1
4
a 3
1 3
L
lim
x
Gọi a là giới hạn của dãy thì
n
1 . 3
2019
u 1
*
Vậy
u n
nu xác định bởi:
,
n
(1)
3
1
1
2 u n
u n
L
. Bài toán 9. Cho dãy số thực
u lim n
Tính giới hạn .
Bài giải
3,
n
1
nu
a
3
Bằng quy nạp chứng minh được
nu có giới hạn là a thì
2
2
a
a
3
3
a
a 2
2
a
1
a
1
2
2
2
và a là nghiệm của phương trình Giả sử rằng
a 3
3
0
2
a 3
2
a 1
a 3
3
15
a
2
a 3
3
a a 2 a
f x ( )
3
a
)
f a và ( )
u n
1
f u ( n
x Xét hàm số trên
3; , thì
2
x
1
1
1
f x '( )
f x '( )
,
x
3;
Ta có:
3
2 2
2
x
1
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 10
Xét hiệu sau đây và kết hợp với định lý Lagrange ta suy ra:
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
f u (
)
f a ( )
)
u n
n
f c '( n
)
u
a
a u ;
)
a n 1 = '( f c n
n
a u a ; n
c n
n
1
1
<
a
<...<
u
a
u n
1
u (c n n
2 2
2 2
1
1
0
a
u
a
u
a
0
nu
1
1
1
lim
n
n
n
2 2
a
0
a
Như thế ta có: mà
0
2 2 u n
u n
1
1
lim
n
lim
n
u
u
a
n
n
1
lim
n
lim
n
3
15
nên
u n
nu có giới hạn hữu hạn khi n và
lim
n
2
Vậy dãy số
na
a
0,
a
,
n
* .
a 1
n
1
1 a
1
n
cho bởi Bài toán 10. Khảo sát sự hội tụ của dãy số thực
Bài giải
na
0;1
1
,
x
0
Chứng minh bằng qui nạp ta được
a
' f x
f a
1n
n
2
0;1
1
x
1
x
1
thì và Với f x
f
f
,
x
f x
0;1
x
1 2
x x
1 1
a
a
(1) Xét g x , g x là hàm tăng.
f a
f a
1na ta có 2
1
n 2
1
n 2
n 2
2
2
n
3
n 2
1 1
2
1na hội tụ 2
nên 1na đơn điệu và bị chặn trên 0;1 cũng hội tụ đến l .
(2) Đối với dãy f g a
x hay
Từ (1) và (2) suy ra dãy 2na đến k , tương tự dãy
1
k
l
Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x
5 2
1
lim
.
na
5 2
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 11
Vậy
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
a
x
1
nx
x 3
x 7
n
1
1
n
3 n
2 n
x 5 , n
x
xác định bởi . Bài toán 11. Cho dãy số
nx
có giới hạn hữu hạn. Tìm tất cả các giá trị a để dãy
Bài giải
3
2
k 3
k 7
k
k 5
k
0;
k
1;
k
4 3
3
2
x 3
7
x
. Khi đó dãy đã cho có dạng
x 5
Nếu dãy có giới hạn là k thì k là nghiệm của phương trình
x
,
.
n
*
f x
1
n
n
2
Xét hàm số f x
x 9
14
x
5
9
' f x
x
1
5 9
x
3
2
x
x 3
7
x
x 4
, suy ra
4
f x
x x
x 1 3
x
x
f x
x
x 1 3
4
x 0
1
0
x 0
0
0
0
Ta có
0
Ta có bảng biến thiên sau
a .
Trường hợp 1.
x ; do f tăng nên
nx
x nx và 1 0
0
0
b khi đó
Từ bảng biến thiên suy ra là dãy giảm.
a , do
a nên không tồn tại b.
b
0;1;
4 3
0
và b Giả sử lim nx
a .
0
a .
Suy ra dãy không có giới hạn khi
nx 0
là dãy hằng và lim Trường hợp 2. nx Khi đó dãy
4 a 3
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 12
Trường hợp 3.
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
x và do f tăng nên
nx
nx
x và 1
0
4 ; 3
Từ bảng biến thiên suy ra là dãy
a , do
b
0;1;
4 a nên 3
4 3
tăng. Nếu tồn tại giới hạn của dãy là b khi đó và b
a .
4 3
không tồn tại b . Suy ra dãy không có giới hạn khi
a
4 3
lim
Trường hợp 4.
nx
4 nx 3
là dãy hằng và Khi đó dãy
a
0;
4 3
Trường hợp 5.
0;
nx
4 3
2
x
x 3
x
1
x
1
1
1 1
n
n
n
n
Từ bảng biến thiên suy ra và
1
0;
x 1 3
). 1
n
n
nx
4 3
a
1
(do nên x
nx
, suy ra 1
1
nx
1 3
Bằng phương pháp qui nạp ta thu được có
n
giới hạn là 1.
H x
i
i
1
n
2.2.3. Giới hạn của tổng thường gặp
x
. Để tính giới hạn của
n
2
f x
H x
n
1 ,
n
i
i
1
iH x là biểu thức theo các số hạng của dãy đã cho) ta thực hiện theo các bước sau
Cho dãy số (trong đó
n
Bước 1. Chỉ ra rằng lim nx
H x
i
i
1
n
lim
Bước 2. Tính
H x
i
i
1
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 13
Bước 3. Tìm
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
1
x
1
nx
x 2019
x
,
n
1
1
n
n
2 n
x
x
x
1
2
L
lim
...
thoả mãn . Bài toán 12. Cho dãy số
x
x
2
3
x n x n 1
Tìm .
Bài giải
x 2019
0
x
1,2,...
nx
x 1
2 n
n
n
Ta có là dãy tăng và là dãy Bước 1. (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu) n nên dãy
2
dương
a
a 2019
(vô lý).
a
a
0
Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a thì
x
1
k
x
x 2019
Vậy lim nx Bước 2.
k
1
2 k
x k
x
1 2019
1 x
x
k
1
k
k
1
x
x
1
2
n
...
x
x
1 2019
1 x
x
x Suy ra 1 x 2
3
n
1
1
n
1
x
x
1
2
L
lim
...
Ta có
x
x
1 2019
2
3
x n x 1 n
x
1
1 2
Vậy
nx
x
x 4
x
2 n
1
n
1
1
,
n
2
n
n 2
x
y
xác định bởi . Bài toán 13. Cho dãy số
n
ny
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
i
1n 2 x 1 i
với Chứng minh rằng dãy
0,
1
Bài giải
. n
nx
Nhận thấy
x
x 4
x
x 2
2 n
1
n
1
1
n
1
x
x
x
0,
n
2
n
n
1
n
1
n 2
x
x 4
x
2 n
1
n
1
n
1
Ta có
nx
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 14
là dãy tăng. Do đó dãy
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
2
a
a
a
a
a suy ra
a và 0
(vô lí) 0
a 4 2
Giả sử lim nx
x
4
x
x
2 n
1
n
1
1
x
,
n
2, 3,...
Vậy lim nx .
n
n 2
1
x
,
n
2
x
1
2 x n
n
n
1
x
1 x
n
1
n
1 2 x n
n
1
y
...
Từ
n
1 x
1 x
1 x
1 x
x
1 x
x
x
i
1
1
2
2
3
n
1
n
1 2 i
1 2 1
6
,
n
2
1 x
1 x
x
1 x 1
n
n
1 2 1
Suy ra
ny . 6
có giới hạn hữu hạn và lim ny Vậy
1
1
2.2.4. Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình
...
...
1
1
x
1
1
x 4
1 2
2 k x
1
2 n x
1
Bài toán 14. Xét phương trình
trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
1; và ký hiệu nghiệm đó là nx .
nghiệm trong
x
4
n
lim
n
2) Chứng minh rằng
Bài giải
1
1
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n, phương trình có duy nhất nghiệm 1; trong
...
...
1
1
x
1
1
x 4
1 2
2 k x
1
2 n x
1
x (1)
1;
1
1
Xét phương trình với
(1)
...
...
0
nf x ( )
1 2
x
1
1
1
1
2 n x
1
(2)
2 k x 1;
Khảo sát tính đơn điệu của
f x liên tục trên
1 x 4 nf x trên ( ) 1;
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 15
Dễ thấy rằng ( )
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
2
2
1
4
k
n
...
...
0,
x
1;
' f x ( ) n
2
2
2
x 4
2 n x
x
1
1
2 k x
1
1
( )
Do
x .
1;
nf x nghịch biến trên
nên (3)
1;
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên
1; và
nf x liên tục trên ( )
lim ( ) f x n
x
1 2
f x lim ( ) n x 1
Do (4)
1; .
x
4
n
Từ (3) và (4) suy ra với mỗi số nguyên dương n, phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
lim
n
)
(4)
2) Ký hiệu nghiệm đó là nx .Chứng minh rằng
f x ( n
n
nf
1
1
(4)
...
...
nf
2
1 2
2 2
1
4
1
1
1
1 2
k 2
n 2
...
1
1
...
1 3
1 3
1 2
1 5
1
1
k 2
1
1
k 2
n 2
1
n 2
1 2 1
1
1
0
n
1
1
2 2
(
0
)
)
(4)
So sánh và , ta có
f x nên n
n
f x ( n
n
f n
)
(4)
. Do
1; và
nf x nghịch biến trên ( )
f x ( n
n
f n
Do nên theo định nghĩa tính
nx 4
)
đơn điệu suy ra
f x ( n
n
; 4nx
, ta suy
trên
x
; 4
c n
n
)
)(4
x
)
4
f n
f x ( n
n
' f c ( n n
) n
' f c ( n n
x
n
1 1 4
2 2
n
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 16
Lại tiếp tục đánh giá nx . Áp dụng định lý Lagrange cho ra với mỗi số n nguyên dương, tồn tại sao cho
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
2
2
1
4
k
n
)
...
...
' f c ( n n
2
2
2
2
1 9
1
1
c n
c 4 n
2 k c n
1
2 n c n
1
2
1
1
4
0
x
9
Mặt khác
1
c n
n
c n
2
1 9
1
c n
x
4
n
1 9
n
x
9 n
1 1 4
2 2
2 2
1
n
4
4
(Do ) nên
nx
9 n
1
2 2
Tóm lại ta luôn có: với mỗi số nguyên dương n (5)
x
. 4
n
lim
n
1
1
Từ (5) và theo nguyên lý kẹp ta suy ra được
...
...
0
2
2
1 x 2
1
1
x
1
4
x
x
k
x
n
Bài toán 15. Xét phương trình
trong đó n là số nguyên dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất
0;1 và ký hiệu nghiệm đó là nx .
nghiệm trong
x lim n
n
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn
Bài giải
1
1
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương n , phương trình có duy nhất nghiệm 0;1 trong
...
...
0
2
2
1 x 2
1
1
x
1
4
x
x
k
x
n
Xét phương trình với
x
0;1
1
1
(1)
...
...
nf x ( )
2
2
1 x 2
1
1
x
k
x
n
Đặt
x 0;1
1 4 x nf x trên ( )
Khảo sát tính đơn điệu của
2
1
1
1
...
...
0,
x
0;1
' nf x ( )
2
2
2
2
2
2
k
n
x 2
x
1
x
x
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 17
Do
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
0;1 .
nf x nghịch biến trên ( )
nên (2)
0;1
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;1 và
nf x liên tục trên ( )
f x lim ( ) n x 0 f x lim ( ) n 1 x
Do (3)
0;1 .
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
x lim n
n
2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn
nx
Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của
1
1
x (
)
...
...
f n
n
1
2
2
2
1 x 2
x
1
1
1
4
x
k
x
n
x
n
n
n
x
n
n
1 n
1
n
)
)
0 (do 0
1)
f x ( n
n
f n
x ( 1
n
x n
2
2
x
x
1 n
1
1 n
1
n
n
và
Với mỗi số nguyên dương n ta có:
nf
x 1( )
1
0; nx
Mặt khác nên suy ra nghịch biến trên
0; nx
0
, gọi nghiệm duy nhất này là
0;
x 1 n
. x n
nên
x lim f ( ) n x 0 có duy nhất nghiệm trên 0 x 1( ) nf phương trình 1nx . Do nx 0;1 nx Dãy . x lim n
n
2
nx
1
0
x
x
trong đó n là số nguyên dương và
3
là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn
2
n , phương trình trên có một
Bài toán 16. Xét phương trình n .
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là nx .
x lim n
n
2) Tìm
2
Bài giải
n , phương trình có duy nhất
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương
n
2
n
2
nghiệm
x
0
1
1
x
x
x
x
x
1
0,
n
x
Xét phương trình
x 1.
2 (1)
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 18
suy ra phương trình chỉ có nghiệm
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
n
2
x
x
x
1,
1,
n
2
x
x
nf
Đặt
1;
nf x trên ( )
n
1
n
2
Khảo sát tính đơn điệu của
x '( )
nx
2 x
1,
x "( )
x
2
0
3,
x
n n
1
n
1
f n
f n
Do
x '( )
2
n
1
0,
1
n
3
f n
' f n
( )
Suy ra
x .
1;
nf x đồng biến trên
nên (2)
1;
2
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên
1; và
nf x liên tục trên ( )
0,
n
2
4
1
3
n 2
f x lim ( ) n x 1 f x lim ( ) n x 2 0
)
Do nên
1;2
x 0
nf x (3)
0(
tồn tại sao cho
1;2 .
x
1
n
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong
lim
n
2) Ký hiệu nghiệm đó là nx . Chứng minh rằng
n
x
1
0
x
x
x
x
x
n n
2 n
2 n
1 n
n
n
n
x
x
1
x
x
Do nx là nghiệm của phương trình (1) nên :
n
n
2 n
n
2 n
n
x
1 . 1.1...1 1 sô 1
n
x
x
2 n
n
x
n
1 ... 1 sô 1
1 n
2 n
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
n
x n n
6
2
n
1, 2...
(4)
x
n
nx , với mọi
1
Kết hợp với (5) ta được: 2 x n
nx
6 1 n
Từ (4) và (5) suy ra:
x
1
1
n
lim
n
n
lim 1
6 n
2
n .
Do và theo nguyên lý kẹp suy ra
trong đó n là số nguyên dương
n
x
Bài toán 17. Xét phương trình nx
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 19
dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là nx .
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
x lim n
n
2) Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó
2
Bài giải
n , phương trình trên có nghiệm
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương
dương duy nhất
n
x
n
Xét phương trình: nx
x
x
n x ,
trên
0
nf x ( )
Khảo sát tính đơn điệu của
0,
x
nf
x
0;1
nx n 1
0
1
( )
Dễ thấy (1)
với mọi
x nên
Do
nf x là hàm số đồng biến (2)
1;
' ( ) nf x 1;
0
(1)
( )
trên
x
n 1;
n n
0
nf x liên tục trên
0;
n
2 n
0
f n f n ( ) n
0
Do và nên tồn tại
nf x )
0(
2
n , phương trình trên có duy
(3) sao cho
Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 1;n . nhất nghiệm trong
x lim n
n
n
n
1
1
x
x
2) Ký hiệu nghiệm đó là nx .Tìm
n
n
n
n
1
n
, theo nguyên lý kẹp ta được
Do nx là nghiệm của phương trình (1) nên 2n n n x x n
1
x
n
lim
n
lim 2
n
Vì
x
1
n
lim
n
n
x
1 n x
với n là số nguyên dương
...
1
0
x
2
Vậy
n .
2
n , phương trình trên có một
Bài toán 18. Xét phương trình và
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là nx .
x lim n
n
2) Tìm .
2
Bài giải
n , phương trình trên có nghiệm
1) Chứng minh với mỗi số nguyên dương
n
dương duy nhất
x
n 1 x
...
0
1
x
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 20
Xét phương trình: (1)
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
n
n
1
x
x
...
1
trên x
0;
nf x ( )
Khảo sát tính đơn điệu của
f x liên tục trên
0;
n
1
n
2
Dễ thấy rằng ( )
n 2
nx
x
với mọi 0
...
1
x và
0;
n
1
' nf x ( )
( )
Do
nf x là hàm số đồng biến trên
0;
nên (2)
0; 0 1
(0)
( )
Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên
0;1
x 0
nf x liên tục trên
0;
(1)
n
1
0
f n f n
0
Do và nên tồn tại sao
0(
2
n , phương trình trên có duy
nf x ) Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương 0;1 . nhất nghiệm trong
cho (3)
x lim n
n
2) Ký hiệu nghiệm đó là nx .Tìm
x
...
x
x
1
Do nx là nghiệm của phương trình (1) nên:
n
n n
2 n
nx và 0
0
(4)
nx nên từ (4) suy ra ( nx ) là dãy giảm, mặt khác lại bị chặn dưới bởi 0, nên
Vì
a
x lim n
n
1
x
n n
x
0
1
...
x
x
x
x
tồn tại giới hạn hữu hạn (5)
nên kết hợp với
n n
n
2 n
n
n n
lim
n
1
x
n
1
a
a
và Ta lại có:
1
a
1
1 2
x
(4), (5) suy ra
n
lim
n
1 2
Vậy
IV. HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Bản thân đã mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 của trường THPT Chu Văn An các năm qua. Sau quá trình học tập các em đã làm quen với các bài toán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải cũng rất tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếp cận. Chất lượng của đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường được nâng lên rõ rệt. Kết quả thi học sinh giỏi các năm qua như sau:
Năm học 2013 – 2014:
Học sinh giỏi cấp tỉnh: 2 giải ba
Vào vòng 2: 2 học sinh
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 21
Năm học 2014 – 2015:
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
Học sinh giỏi cấp tỉnh: 1 giải nhất, 1 giải 3
Vào vòng 2: 2 học sinh
Học sinh giỏi cấp quốc gia: 1 học sinh
Năm 2015-2016:
Học sinh giỏi cấp tỉnh: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 2 giải ba
Vào vòng 2: 4 học sinh
Năm 2016-2017:
Học sinh giỏi cấp tỉnh: 5 giải ba
Vào vòng 2: 3 học sinh
Năm 2017-2018:
Học sinh giỏi cấp tỉnh: 1 giải nhì, 2 giải ba
Vào vòng 2: 3 học sinh
V. MỨC ĐỘ ẢNH HƯỞNG:
Giáo viên ở các trường trung học phổ thông không chuyên trong và ngoài tỉnh đều có thể áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt là áp dụng để giaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán của trường mình.
Học sinh khối lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên, từ đó giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số.
VI. KẾT LUẬN:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy, đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn An đã tập làm quen cách tiếp cận bài toán dãy số một cách tự nhiên, các em đã không còn ngán ngại khi gặp các câu dãy số trong các đề thi học sinh giỏi. Điều đó góp phần làm cho chất lượng học sinh giỏi Toán của trường ngày càng được nâng cao trong những năm vừa qua.
Với thời gian ngắn nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Một lần nữa, tôi rất mong sự góp ý chân tình của quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cám ơn!
Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 22
Lê Quốc Sang
Giáo viên: Lê Quốc Sang
Trường THPT Chu Văn An
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải. Các bài toán về dãy số. NXBGD 2007.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh. Giới hạn dãy số & hàm số. NXBGD 2002.
[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.
Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT. NXBGD 2009.
[4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 các năm.
[5] Tô Văn Ban. Giải tích những bài tập nâng cao. NXBGD 2005
[6] Các diễn đàn toán học
http://diendantoanhoc.net/
http://mathscope.org/
http://k2pi.net.vn/
http://boxmath.vn/forum/
http://www.mathvn.com/
http://www.vnmath.com/
http://www.hexagon.edu.vn/
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Trang 23
http://artofproblemsolving.com/community/c89
