Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.
BÁO CÁO
Kết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI
LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC GIẢ:
Họ và tên: Lê Quốc Sang
Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982
Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang
Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An
Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2
Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán
II. SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:
1. Đặc điểm tình hình:
Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp
III Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớn
mạnh. Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổ
chuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao. Trường học nhiều năm
liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”.
Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:
Chất lượng văn hóa:
Học lực:
Giỏi: 304 học sinh, tỉ lệ: 23,68%
Khá: 708 học sinh, tỉ lệ: 55,14%
Trung bình: 244 học sinh, tỉ lệ: 19%
Yếu: 06 học sinh, tỉ lệ: 2,18%
Hạnh kiểm:
Tốt: 1265 học sinh, tỉ lệ: 98,52%
Khá: 18 học sinh, tỉ lệ: 1,4%
Trung bình: 1 học sinh, tỉ lệ: 0,08%
Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 2
Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:
Học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải
Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh
Chất lượng hoạt động các cuộc thi:
Tham gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả.
Tổ chức các Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành công,
học sinh được giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết
mục sáng tạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng.
2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH
GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.
3. Lĩnh vực sáng kiến: Toán học.
III. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:
1. Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:
Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất
khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về
dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng
các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường
xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic.
Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung
học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu
tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của
học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu
sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho
mình một tài liệu tham khảo phù hợp.
Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường
THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các
kỳ thi Olympic 30/4, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các
em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó
khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng,
không tìm được lời giải.
Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà
bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi.
Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp
nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi
khi nó mang tính chủ quan.
Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tục
triển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác.
Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:
Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Giới hạn của dãy số dạng:
1
n n
u f u
Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 3
Giới hạn của tổng thường gặp:
1
lim
n
i
H x
Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình.
2. Nội dung sáng kiến:
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề:
2.1.1. Các định nghĩa:
1) Dãy số tăng, dãy số giảm.
Dãy số
n
u
được gọi là dãy số tăng nếu
*
1
,
n n
u u n
Dãy số
n
u
được gọi là dãy số giảm nếu
*
1
,
n n
u u n
2) Dãy số bị chặn.
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số
M
sao cho
*
,
n
u M n
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số
m
sao cho
*
,
n
u m n
Dãy số
n
u
được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới .
3) Cấp số cộng.
Dãy số
n
u
được gọi là cấp số cộng nếu
1
n n
u u d
,
*
n
, trong đó
d
là
số không đổi, gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu dãy số
n
u
là cấp số cộng thì
1
1 , 2
n
u u n d n
.
Nếu dãy số
n
u
là cấp số cộng thì tổng
1 2 1
...
2
n n n
n
S u u u u u
4) Cấp số nhân.
Dãy số
n
u
đươc gọi là cấp số nhân nếu
1
.
n n
u u q
,
*
n
, trong đó
q
là số
không đổi, gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu dãy số
n
u
là cấp số nhân thì 1
1
. , 2
n
n
u u q n
Nếu dãy số
n
u
là cấp số nhân với
1, 0
q q
thì tổng
1 2 1
1
... .
1
n
n n
q
S u u u u
q
2.1.2. Các định lý:
1) Định lý 1. Nếu
lim
n
u a
thì lim
n
u a
2) Định lý 2. Nếu
1
q
thì
lim 0
n
q
Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 4
3) Định lý 3. Cho dãy
n
u
xác định bởi công thức truy hồi
1
( )
n n
u f u
, trong đó
( )
f x
là hàm số liên tục. Khi đó, nếu
n
u a
thì
a
là nghiệm của phương trình
( )
f x x
.
4) Định lý 4. Cho dãy số
n
u
với
1
u a
là một số thực cho trước và
1
( )
n n
u f u
.
Khi đó
a) Nếu
( )
f x
là hàm số đồng biến và
1 2
x x
thì
n
u
là dãy số tăng.
b) Nếu
( )
f x
là hàm số đồng biến và
1 2
x x
thì
n
u
là dãy số giảm.
5) Định lí 5. Cho dãy số
( )
n
u
với
1
u a
là một số thực cho trước và
1
( )
n n
u f u
.
Khi đó
a) Nếu
( )
f x
là hàm số nghịch biến và
1 2
x x
thì
2
n
u
là dãy số tăng và
2 1
n
u
là dãy số giảm.
b) Nếu
( )
f x
là hàm số nghịch biến và
1 2
x x
thì
2
n
u
là dãy số giảm và
2 1
n
u
là dãy số tăng.
6) Nguyên lý kẹp. Cho ba dãy số
, ,
n n n
u v w
sao cho:
0 0
, , lim
lim lim
n n n
n
n
n n
n n
n n n n u v w
v a
u w a 
 
7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)
a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
8) Định lý LAGRANGE. Nếu
( )
f x
là hàm số liên tục trên đoạn
;
a b
, có đạo hàm
trong khoảng
;
a b
thì tồn tại
;
c a b
sao cho
( ) ( )
'( )
f b f a
f c
b a
hay
( ) ( ) '( )( )
f b f a f c b a
2.2. Các dạng toán thường gặp:
2.2.1. Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.
Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp
số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy số
phụ.
Bài toán 1: Cho dãy số
n
u
xác định bởi: 1
1
2
2 3, 1
n n
u
u u n n
.
Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang
Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 5
Tính giới hạn
1
lim
n
n
u
Lu
Bài giải
Theo đề suy ra:
1
2
u
2 1
2.1 3
u u
3 2
2.2 3
u u
… …
1
2 1 3
n n
u u n
Cộng theo vế
n
đẳng thức trên ta được
2 2 1 2 ... 1 3 1
n
u n n
2
2 1 3 1 4 5
n
u n n n n n
2
1
2 3 2 2
n n
u u n n n
22
2
1
2
4 5
1
4 5
lim lim lim 1
2 2
2 2 1
n
n
un n nn
Lun n
n
n
Bài toán 2: Cho dãy số
n
u
xác định bởi:
1
1
1
; 1
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
n u
.
Tính giới hạn
lim
n
L u
Bài giải
Từ công thức truy hồi suy ra
1
1 1
3 2; 1
n n
n n
u u
Từ đó ta có
1
1
1
u
2 1
1 1
3.1 2
u u
3 2
1 1
3.2 2
u u