Thiết lập k-điểm trùng không điều kiện giao hoán trong không gian metric thứ tự

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Thiết lập k-điểm trùng không điều kiện giao hoán trong không gian metric thứ tự" giới thiệu khái niệm ánh xạ I -đơn điệu mới và thiết lập định lí k -điểm trùng từ kết quả của Paknazar và các cộng sự không cần điều kiện giao hoán của các ánh xạ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết lập k-điểm trùng không điều kiện giao hoán trong không gian metric thứ tự

Chuyên san Khoa học Tự nhiên THIẾT LẬP K-ĐIỂM TRÙNG KHÔNG ĐIỀU KIỆN GIAO HOÁN TRONG KHÔNG GIAN METRIC THỨ TỰ Huỳnh Ngọc Cảm* và Võ Đức Thịnh Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: huynhngoccam@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 08/02/2022; Ngày nhận chỉnh sửa: 21/4/2022; Ngày duyệt đăng: 23/5/2022 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ I -đơn điệu mới và thiết lập định lí k -điểm trùng từ kết quả của Paknazar và các cộng sự không cần điều kiện giao hoán của các ánh xạ. Chúng tôi đưa ra ví dụ cho trường hợp ánh xạ không giao hoán mà kết quả của Paknazar và các cộng sự không áp dụng được. Từ khóa: Ánh xạ g -đơn điệu mới, ánh xạ I -đơn điệu mới, ánh xạ không giao hoán, k -điểm bất động, k -điểm trùng. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- K-COINCIDENCE POINT WITHOUT COMMUTATIVE CONDITION IN PARTIALLY ORDERED METRIC SPACES Huynh Ngoc Cam* and Vo Duc Thinh Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: huynhngoccam@dthu.edu.vn Article history Received: 08/02/2022; Received in revised form: 21/4/2022; Accepted: 23/5/2022 Abstract In this paper, we introduce the concept of a new I -monotone mapping and establish k -coincidence point results without any type of commutativity condition which improve the results of Paknazar et al. Also, we give a supporting example of non-commuting mappings where the results of Paknazar et al. cannot be applied. Keywords: New g -monotone mapping, new I -monotone mapping, non-commuting mappings, k - fixed point, k -coincidence point. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.12.2.2023.1028 Trích dẫn: Huỳnh Ngọc Cảm và Võ Đức Thịnh. (2023). Thiết lập k-điểm trùng không điều kiện giao hoán trong không gian metric thứ tự. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 12(2), 22-26. 22
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 22-26 1. Mở đầu gx1  gx2  F ( x1 , y)  F ( x2 , y) Bhaskar và Lakshmikantham (2006) đã giới và gy1  gy2  F ( x, y1 )  F ( x, y2 ) thiệu khái niệm bộ đôi điểm bất động và chứng minh được các định lí điểm bất động với các điều với mọi x1 , x2 , y1 , y2  X . kiện nhất định. Sau đó, Lakshmikantham và Ćirić Định nghĩa 1.4 (Lakshmikantham và Ćirić, (2009) đã mở rộng các kết quả này bằng việc giới 2009, Định nghĩa 2.2). Phần tử ( x, y)  X  X được thiệu khái niệm bộ đôi điểm trùng và ánh xạ g -đơn gọi là bộ đôi điểm trùng của ánh xạ điệu hỗn hợp. Borcut và Berinde (2012) đã giới F:XX X và g:X X nếu thiệu khái niệm bộ ba điểm bất động và chứng minh các định lí có liên quan. Sau đó, Paknazar và F ( x, y)  gx, F ( y, x)  gy. cs. (2013) giới thiệu khái niệm ánh xạ g -đơn điệu Năm 2013, Paknazar và cs. đã giới thiệu các mới, khái niệm n -điểm bất động, n -điểm trùng và khái niệm sau. thiết lập các định lí có liên quan cho loại ánh xạ Định nghĩa 1.5 (Paknazar và cs., 2013, Định này trong không gian mêtric thứ tự đầy đủ. Để nghĩa 2.1). Cho F : X k  X là ánh xạ (k  2) . chứng minh các kết quả của mình, các tác giả đã sử dụng một giả thiết quan trọng, đó là điều kiện giao Phần tử ( x1 , x2 ,..., xk )  X k gọi là một k - điểm bất hoán của hai ánh xạ. Câu hỏi đặt ra là: liệu chúng ta động của F nếu có thể chứng minh được các kết quả của Paknazar x1  F ( x1 , x2 ,..., xk 1 , xk ), và cs. mà không cần đến giả thiết này? Trong bài x2  F ( x2 , x3 ,..., xk , x1 ), báo này, chúng tôi giới thiệu khái niệm ánh xạ đơn điệu mới và chứng minh kết quả n -điểm trùng đề ...................................... cập trong (Paknazar và cs., 2013) không cần điều xk  F ( xk , x1 , x2 ,..., xk 1 ). kiện giao hoán hai ánh xạ. Trong phần cuối, chúng tôi cho ví dụ để chứng tỏ rằng các kết quả trong Định nghĩa 1.6 (Paknazar và cs., 2013, Định (Paknazar và cs., 2013) không thỏa mãn nhưng nó nghĩa 2.3). Cho g : X  X và F : X k  X thỏa mãn được cho kết quả của chúng tôi. (k  2) là hai ánh xạ. Phần tử ( x1 , x2 ,..., xk )  X k Định nghĩa 1.1 (Bhaskar và Lakshmikantham, được gọi là một k -điểm trùng của F và g nếu 2006, Định nghĩa 1.1). Cho ( X , ) là tập hợp sắp gx1  F ( x1 , x2 ,..., xk 1 , xk ), thứ tự bộ phận. Ánh xạ F : X  X  X được gọi là đơn điệu hỗn hợp nếu F ( x, y) là đơn điệu không gx2  F ( x2 , x3 ,..., xk , x1 ), giảm đối với biến x và đơn điệu không tăng đối với ....................................... biến y. Nghĩa là, với mỗi x, y  X , ta có gxk  F ( xk , x1 , x2 ,..., xk 1 ). x1  x2  F ( x1 , y)  F ( x2 , y) Nếu lấy g là ánh xạ đồng nhất thì Định nghĩa 1.2 trở thành Định nghĩa 1.1. và y1  y2  F (x, y1 )  F (x, y 2 ) Định nghĩa 1.7 (Paknazar và cs., 2013, Định với mọi x1 , x2 y1 , y2  X . nghĩa 2.4). Cho g : X  X và F : X k  X Định nghĩa 1.2 (Bhaskar và Lakshmikantham, (k  2) là hai ánh xạ. Khi đó F và g được gọi là 2006, Định nghĩa 1.2). Phần tử ( x, y)  X  X được giao hoán nếu gọi là bộ đôi điểm bất động của ánh xạ g ( F ( x1 , x2 ,..., xk ))  F ( gx1 , gx2 ,..., gxk ) với mọi F : X  X  X nếu F ( x, y)  x, F ( y, x)  y. ( x1 , x2 ,..., xk )  X . k Định nghĩa 1.3 (Lakshmikantham và Ćirić, 2009, Định nghĩa 2.1). Cho F : X  X  X và Định nghĩa 1.8 (Paknazar và cs., 2013, Định g : X  X là hai ánh xạ. Ánh xạ F được gọi là g nghĩa 2.2). Cho g : X  X và F : X k  X (k  2) -đơn điệu hỗn hợp nếu F là g -không giảm đối với là hai ánh xạ. F được gọi là có tính g -đơn điệu biến thứ nhất và g -không tăng đối với biến thứ mới nếu F là g -đơn điệu không giảm đối với hai. Nghĩa là, với mỗi x, y  X , 23
Chuyên san Khoa học Tự nhiên phần tử thứ nhất. Nghĩa là, với mỗi x2i 1  F ( x2i 1 , x2i ,..., xk , x10 ,..., x2i 2 ) với mọi 0 0 0 0 0 ( x1 , x2 ,..., xk ),( y1 , y2 ,..., yk )  X k ,   k  1  i  1, 2,...,  , gx1  gy1  F ( x1 , x2 ,..., xk )  F ( y1 , y2 ,..., yk ).   2  Haghia, R. H và cs. (2011) đã giới thiệu và chứng minh kết quả sau đây. x2i  F ( x2i , x2i 1 ,..., xk , x10 , x2 ,..., x2i 1 ) với mọi 0 0 0 0 0 0 Mệnh đề 1.9 (Haghia và cs., 2011, Bổ đề   k  i  1, 2,...,   . 2.1). Cho X là tập khác rỗng và f : X  X là ánh   2  xạ. Khi đó tồn tại một tập con E  X sao cho Giả sử: (a) F liên tục hoặc f ( E)  f ( X ) và f : E  X là đơn ánh. (b) X có tính chất sau: 2. Kết quả chính (i ) Nếu dãy không giảm {xn }  x thì xn  x Trong Định nghĩa 1.8, cho g là ánh xạ đồng với mọi n , nhất, g  I , I : X  X , ta có định nghĩa sau: (ii ) Nếu có dãy không tăng { yn }  y thì Định nghĩa 2.1. Cho F : X k  X (k  2) là yn  y với mọi n . một ánh xạ. F được gọi là có tính I - đơn điệu mới nếu F là đơn điệu không giảm đối với phần tử thứ Khi đó F và g có một k -điểm bất động. nhất. Nghĩa là, với mỗi Bây giờ, chúng tôi thiết lập định lí k -điểm ( x1 , x2 ,..., xk ),( y1 , y2 ,..., yk )  X , k trùng không cần điều kiện giao hoán của F và g từ x1  y1  F ( x1 , x2 ,..., xk )  F ( y1 , y2 ,..., yk ). kết quả trong (Paknazar, 2013). Gọi  là tập hợp tất cả các hàm liên tục Định lí 2.3. Cho ( X , , d ) là không gian  :[0, )  [0, ) thỏa mãn: mêtric thứ tự đầy đủ. F : X k  X và g : X  X (i )  (t )  t với t  0 và  (0)  0 , là hai ánh xạ sao cho F có tính chất g -đơn điệu mới, g liên tục và g ( X ) đầy đủ, F ( X k )  g ( X ) (ii ) lim  (r )  t với t  0 .  r t và nếu gxn  gx thì xn  x. Giả sử tồn tại   Trong (Paknazar và cs., 2013, Định lí 2.5), sao cho cho g là ánh xạ đồng nhất, chúng tôi có được hệ d  F ( x1 , x2 ,..., xk ), F ( y1 , y2 ,..., xk )  quả sau. Hệ quả này chúng tôi dùng trong chứng minh Định lí 2.3.  d ( gx1 , gy1 )  ...  d ( gxk , gyk )  (2.1)   Hệ quả 2.2. Cho ( X , , d ) là không gian  k  mêtric thứ tự đầy đủ và F : X k  X có tính chất với mọi x j , y j ( j {1,2,..., k}) sao cho I -đơn điệu mới. Giả sử tồn tại   sao cho   k  1  gx2i 1  gy2i 1 với i  1, 2,...,  mọi  d  F ( x1 , x2 ,..., xk ), F ( y1 , y2 ,..., xk )    2   d ( x1 , y1 )  ...  d ( xk , yk )    k    gx2i  gy2i với mọi i  1, 2,...,   .  k    2  với mọi x j , y j ( j {1,2,..., k}) sao cho x2i 1  y2i 1 Giả sử tồn tại x10 , x2 ,..., xk  X sao cho 0 0   k  1  gx2i 1  F ( x2i 1 , x2i ,..., xk , x10 ,..., x2i 2 ) 0 0 0 0 0 với mọi với mọi i  1, 2,...,    và x2i  y2i với mọi   2    k  1  i  1, 2,...,  ,   k    2  i  1, 2,...,   .   2  gx2i  F ( x2i , x2i 1 ,..., xk , x10 , x2 ,..., x2i 1 ) 0 0 0 0 0 0 với mọi Giả sử tồn tại x , x ,..., x  X sao cho 0 0 0   k  1 2 k i  1, 2,...,   .   2  24
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 22-26 Giả sử: (a) F liên tục hoặc Điều này dẫn đến tồn tại gx10 ,..., gxk  gX 0 (b) X có tính chất sau: sao cho (i ) Nếu dãy không giảm {xn }  x thì xn  x gx2i 1  G( gx2i 1 , gx2i ,..., gxk , gx10 ,..., gx2i 2 ) với mọi 0 0 0 0 0 với mọi n ,   k  1  i  1, 2,...,  , (ii ) Nếu có dãy không tăng { yn }  y thì   2  yn  y với mọi n . gx2i  G( gx2i , gx2i 1 ,..., gxk , gx10 , gx2 ,..., gx2i 1 ) 0 0 0 0 0 0 với Khi đó F và g có một k -điểm trùng.   k  mọi i  1, 2,...,   . Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.5, tồn tại   2  E  X sao cho gE  gX và g : E  X là đơn ánh. Giả sử F liên tục. Ta có chứng tỏ G liên tục. Gọi ánh xạ G : ( gE )k  X được định nghĩa Với mỗi {xn },{ yn }  X sao cho như sau ( gxn , gyn )  ( gx, gy). Ta cần chứng tỏ G( gx1 ,..., gxk )  F ( x1 ,..., xk ) (2.2) G( gxn , gyn )  G( gx, gy). Thật vậy, từ với mọi gxi  gE, i {1,2,..., k}. ( gxn , gyn )  ( gx, gy), theo giả thiết, ta có Vì g là đơn ánh trên g ( E ) nên ánh xạ G ( xn , yn )  ( x, y). Vì F liên tục nên được xác định. Theo (2.1) và (2.2) ta có F ( xn , yn )  F ( x, y). Do đó G( gxn , gyn )  G( gx, gy). Vậy G liên tục. d  G ( gx1 ,..., gxk ), G ( gy1 ,..., gyk )  Giả sử X có tính chất (a) , (b). Vì gX  X  d  F ( x1 ,..., xk ), F ( y1 ,..., xk )  nên gX có tính chất (a) , (b).  d ( gx1 , gy1 )  ...  d ( gxk , gyk )    Áp dụng Hệ quả 2.2 với ánh xạ G , suy ra G  k  có một k -điểm bất động (u1 , u2 ,..., uk )  ( gX )k . với mọi gx j , gy j  gX , ( j {1,2,..., k}) , Cuối cùng, ta chứng minh F và g có một   k  1  k -điểm trùng. gx2i 1  gy2i 1 với mọi i  1, 2,...,   và   2  Từ (u1 , u2 ,..., uk )  ( gX )k là một k -điểm bất   k  động của G. Ta có gx2i  gy2i với mọi i  1, 2,...,    .   2  ui  G(ui , ui 1 ,..., uk , u1 ,..., ui 1 ). (2.3) Do tính chất g -đơn điệu mới của F , với Vì (u1 , u2 ,..., uk )  ( gE)k nên tồn tại   k  1  (u , u ,..., u )  X sao cho i  1, 2,...,  0 0 0 k   , ta có 1 2 k   2  ui  gui0 với mọi i {1,2,..., k}. (2.4) gx1  gy1  F ( x1 , x2 ,..., xk )  F ( y1 , y2 ,..., xk ). Từ (2.3) và (2.4) Suy ra Suy ra G( gx1 , gx2 ,..., gxk )  G( gy1 , gy2 ,..., gyk ). Do đó G có tính chất đơn điệu mới. gui0  G ( gui0 , gui01 ,..., guk , gu10 ,..., gui01 ) 0 Giả sử tồn tại x10 , x2 ,..., xk  X sao cho 0 0  F (ui0 , ui01 ,..., uk , u10 ,..., ui01 ) 0 gx2i 1  F ( x2i 1 , x2i ,..., xk , x10 ,..., x2i 2 ) 0 0 0 0 0 với mọi với mọi i {1,2,..., k}   k  1  Do đó, (u10 , u2 ,..., uk ) là một k -điểm trùng 0 0 i  1, 2,...,  ,   2  F và g .  gx2i  F ( x2i , x2i 1 ,..., xk , x10 ,..., x2i 1 ) 0 0 0 0 0 với mọi Định lí 2.4. Cho F : X k  X và g : X  X sao cho tất cả các điều kiện của Định lí 2.3 thỏa   k  i  1, 2,...,   . mãn trừ điều kiện đầy đủ của g ( X ) . Cho X đầy   2  25
Chuyên san Khoa học Tự nhiên đủ và g là toàn ánh. Khi đó F và g có một k - tự. Ta định nghĩa ánh xạ F : 3  và g :  điểm trùng. bởi với mọi ( x, y, z)  3 và gx  x  1 với mọi Theo chứng minh Định lí 2.3, tồn tại E  X x . Từ sao cho g ( E )  g ( X ). Vì g là toàn ánh nên g ( F ( x, y, z))  g (1)  0  1  F ( gx, gy, gz) với mọi X  g ( X ). Vậy theo Định lí 2.3 ta có điều phải x, y, z  , ánh xạ F và g không thỏa mãn điều chứng minh. kiện giao hoán. Do đó kết quả trong (Paknazar và Hệ quả 2.5. Cho F : X k  X và g : X  X cs., 2013) không thể áp dụng được cho các hàm này. là ánh xạ liên tục sao cho F có tính chất g -đơn Ta dễ dàng chứng tỏ được F ( 3 )  g ( ), g điệu mới, F ( X k )  g ( X ) và và nếu gxn  gx thì đơn ánh, g ( )  là đầy đủ, g và F liên tục và xn  x. Giả sử tồn tại l [0,1) sao cho F có tính chất g -đơn điệu mới. d  F ( x1 , x2 ,..., xk ), F ( y1 , y2 ,..., yk )  Hơn nữa, tồn tại x0  1 và y0  3 , z0  1 với gx0  g1  0  1  F (1,3,1)  F ( x0 , y0 , z0 ) và l   d ( gx1 , gy1 )  ...  d ( gxk , gyk )  gy0  g 3  2  1  F (3,1,1)  F ( y0 , z0 , z0 ) và k gz0  g (1)  1  1  F (1,1,3)  F ( z0 , x0 , y0 ) . Do đó, với mọi x j , y j ( j {1,2,..., k}) sao cho tất cả các điều kiện của Định lí 2.3 thỏa mãn. Vì   k  1  vậy, F và g có một bộ ba điểm trùng trong 3 . gx2i 1  gy2i 1 với i  1, 2,...,  mọi   và Ta thấy (2,2,2) là điểm trùng của F và g .   2    k  Tài liệu tham khảo gx2i  gy2i với mọi i  1, 2,...,   .   2  Bhaskar, T. G and Lakshmikantham, V. (2006). Fixed point theorems in partially ordered Giả sử tồn tại x10 , x2 ,..., xk  X 0 0 sao cho metric spaces and applications. Nonlinear gx 0 2i 1  F (x0 2i 1 0 0 0 , x ,..., x , x ,..., x 2i k 1 0 2i  2 ) với mọi Anal., 65, 1379-1393.   k  1  Borcut, M and Berinde, V. (2012). Tripled i  1, 2,...,  , coincidence theorems for contractive type   2  mappings in partially ordered metric spaces. gx2i  F ( x2i , x2i 1 ,..., xk , x10 , x2 ,..., x2i 1 ) 0 0 0 0 0 0 với mọi Appl. Math. Comput., 218, 5929-5936.   k  Haghia, R. H, Rezapoura, Sh, and N. Shahzadb. i  1, 2,...,   .   2  (2011). Some fixedpoint generalizations are not real generalizations. Nonlinear Anal., 74, Giả sử (a) F liên tục hoặc 1799-1803. (b) X có tính chất sau: Hussain, A, Latif, A, and Shah, M. H. (2012). Coupled and tripled coincidence point results (i ) Nếu dãy không giảm {xn }  x thì xn  x without compatibility. Fixed Point Theory với mọi n, Appl., 2012(77), 1-10. (ii ) Nếu có dãy không tăng { yn }  y thì Lakshmikantham, V, and Ćirić, L. (2009). Coupled yn  y với mọi n. fixed point theorems for nonlinear contractions in partially ordered metric Khi đó F và g có một k -điểm trùng. spaces. Nonlinear Anal., 70, 4341-4349. Chứng minh. Suy ra từ Định lí 2.3 bằng cách Paknazar, M, Gordji, M. E, Sen, M. D. L, and đặt  (t )  l.t với mọi l [0,1). Vaezpour, S. M. (2013). N –fixed point Ví dụ 2.6. Xét trường hợp k =3. Cho X  , theorem for nonlinear contractions in partially ordered metric spaces. Fixed Point Theory với mêtric thông thường và quan hệ thứ tự thông Appl., 2013(111), 1-15. thường. Khi đó ( X , , d ) là không gian mêtric thứ 26