Dưới vi phân parabolic và áp dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đề xuất khái niệm dưới vi phân parabolic thông qua dưới đạo hàm parabolic. Bên cạnh đó, trình bày một số tính chất của dưới vi phân parabolic cũng như các áp dụng của dưới vi phân parabolic vào nghiên cứu điều kiện tối ưu. Hơn nữa, bài viết này cũng xây dựng ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dưới vi phân parabolic và áp dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 27-34 DƯỚI VI PHÂN PARABOLIC VÀ ÁP DỤNG VÀO NGHIÊN CỨU ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU Phạm Ngọc Anh Thơ1, Ngô Thị Kim Yến2*, Võ Đức Thịnh3 và Phạm Thị Trân Châu2 1 Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 2 Sinh viên, Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp 3 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: ngothikimyen912000@gmail.com Lịch sử bài báo Ngày nhận: 05/6/2022; Ngày nhận chỉnh sửa: 13/7/2022; Ngày duyệt đăng: 27/7/2022 Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đề xuất khái niệm dưới vi phân parabolic thông qua dưới đạo hàm parabolic. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày một số tính chất của dưới vi phân parabolic cũng như các áp dụng của dưới vi phân parabolic vào nghiên cứu điều kiện tối ưu. Hơn nữa, trong bài báo này chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được. Từ khóa: Dưới đạo hàm parabolic, dưới vi phân parabolic, điều kiện tối ưu, nghiệm cô lập tĩnh địa phương. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PARABOLIC SUBDIFFERENTIAL AND ITS APPLICATIONS TO OPTIMALITY CONDITIONS Pham Ngoc Anh Tho1, Ngo Thi Kim Yen2*, Vo Duc Thinh3, and Pham Thi Tran Chau2 1 University of Information Technology, Vietnam National University HCMC 2 Student, Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University 3 Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: ngothikimyen912000@gmail.com Article history Received: 05/6/2022; Received in revised form: 13/7/2022; Accepted: 27/7/2022 Abstract In this paper, we introduce the notion of parabolic subdifferential of funtions through their parabolic subderivative. Besides, we present some properties of parabolic subdifferential and applications of parabolic subdifferential to necessary optimality conditions. Furthermore, in this paper, we also establish illustrative examples for the obtained result. Keywords: Parabolic subderivative, parabolic subdifferential, optimality conditions, locally isolated calmness. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.12.2.2023.1029 Trích dẫn: Phạm Ngọc Anh Thơ, Ngô Thị Kim Yến, Võ Đức Thịnh và Phạm Thị Trân Châu. (2023). Dưới vi phân parabolic và áp dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 12(2), 27-34. 27
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Mở đầu Tuy nhiên cho đến nay chưa có một loại vi Đạo hàm và vi phân là các công cụ quan trọng phân suy rộng trên không gian đối ngẫu tương ứng trong việc nghiên cứu các bài toán tối ưu. Tuy với đạo hàm parabolic được đề xuất cũng như nhiên trong thực tế ta có thể bắt gặp việc giải bài nghiên cứu. Trong bài báo này chúng tôi đề xuất toán tối ưu mà các hàm không có đạo hàm theo khái niệm dưới vi phân parabolic, một loại vi phân nghĩa cổ điển. Vì vậy, cần thiết phải mở rộng khái suy rộng trên không gian đối ngẫu tương ứng với niệm đạo hàm. Việc mở rộng khái niệm đạo hàm đạo hàm parabolic. Bên cạnh đó chúng tôi cũng và vi phân đã thu hút nhiều nhà Toán học trong thiết lập một số tính chất và nghiên cứu một số áp nước, đặc biệt trong các lĩnh vực lý thuyết tối ưu, dụng của dưới vi phân parabolic. giải tích biến phân và đã đạt nhiều kết quả quan 2. Đạo hàm parabolic dưới trọng. Chi tiết hơn (Dinh The Luc, 1991, 99-111) Trong mục này chúng tôi kí hiệu E , E1 là các đã tìm hiểu các tính chất của đạo hàm contingent và một số áp dụng của đạo hàm này trong tối ưu không gian Banach; S là tập con của E ; clS ,int S không trơn. Gần đây, (Huynh Thi Hong Diem và lần lượt là bao đóng và phần trong của S . Trong cs., 2014, 463-488) đã đề xuất khái niệm đạo hàm dãy số thực tn  0 nghĩa là tn  0 và hội tụ về 0. suy rộng cấp cao cho tối ưu đa trị như: đạo hàm Studniarski cấp cao, đạo hàm theo tia cấp cao, trên Cho f là ánh xạ f : E  , phần trên đồ thị đạo hàm theo tia cấp cao… Sau đó, một số tính của f được định nghĩa là chất và phép toán của các dạng đạo hàm này đã được tìm hiểu. Các kết quả này được áp dụng vào epif   x, r   E  : r  f ( x) ; nghiên cứu điều kiện tối ưu và phân tích độ nhạy miền hữu hiệu của f là domf  x  E | f ( x)   ; cấp cao cho một số dạng nghiệm của bài toán tối ưu đa trị. f được gọi là khả vi Fréchet tại x  int  dom f  Bên cạnh việc mở rộng các khái niệm vi phân, nếu f  x  h   f ( x )  f   x  h   h ; f được gọi nhiều tác giả còn quan tâm đến các vi phân suy rộng bậc cao. Trong số các vi phân suy rộng bậc là khả vi Fréchet cấp 2 tại x nếu tồn tại cao cho ánh xạ đơn trị, đạo hàm epi bậc hai 2 f  x  : E  E  sao cho (second-order epiderivative) được giới thiệu trong (Rockafellar R. T., 1988, 75-108) có nhiều áp dụng 1 f  x  h   f  x   f   x  h  2 f  x  h, h    h 2  ; 2 quan trọng trong việc nghiên cứu điều kiện cần và tập hợp tất cả các hàm khả vi Fréchet cấp 2 được đủ bậc hai và nghiên cứu tính ổn định tĩnh cô lập ký hiệu là C 2 ; hàm số f được gọi là hàm (isolated calm) cho tập nghiệm của một số bài toán Lipschitz trên tập   dom f nếu tồn tạo L  0 tối ưu. Cũng trong bài báo đó Rockafellar R. T. đã giới thiệu một loại đạo hàm suy rộng cấp hai khác, sao cho f ( x)  f ( y)  L x  y , với mọi x, y  ; gọi là dưới đạo hàm parabolic và được định nghĩa hàm số f được gọi là hàm Lipschitz địa phương như sau: cho f ánh xạ từ không gian Banach E vào tại x  domf nếu tồn tại L  0,   0 sao cho ℝ. Đạo hàm parabolic của f tại x  E đối với f ( x)  f ( y)  L x  y , với mọi x, y  IB  x ;  ; v, y  E, được xác định bởi: hàm số f được gọi là hàm lồi nếu x, y  domf d 2 f ( x; v, y ) ta có, f  x  1    y    f ( x)  1    f ( y),   0;1; w f ( x  tv  t 2 )  f ( x)  t.df ( x, v) : lim inf 2   t 0 1 2 f được gọi là liên tục tại x0 nếu w y t 2 lim f ( x)  f ( x0 ); Cho x  E, x  E . Giá trị của * * x  x0 Một số tính chất, quy tắc tính và áp dụng của dưới đạo hàm parabolic cũng được trình bày khá x tại x được ký hiệu là x  x  hoặc x , x . Sau chi tiết trong quyển sách chuyên khảo của đây, chúng tôi giới thiệu mối quan hệ tính (Rockafellar và cs., 1998). Lipschitz và tính lồi của hàm số. 28
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 27-34 Mệnh đề 1 (Mordukhovich, 2013, Corollary x  tv  t 2 w 2.27). Mọi hàm lồi f : n  thì Lipschitz địa  lim inf  t 0 1 2 w y .t phương tại mọi điểm thuộc phần trong của domf . 2 Tiếp theo chúng tôi cần nhắc lại định nghĩa và  2 x 2v  một số kết quả về đạo hàm parabolic dưới. Các kết  lim inf  2   2 w  t   t 0 t w y quả này là cần thiết trong việc đề xuất khái niệm và thiết lập một số kết quả về dưới vi phân parabolic.  2 y. Định nghĩa 1 (Đạo hàm parabolic dưới) b) Đạo hàm parabolic dưới của f ( x)  x tại (Rockafellar R. T., 1998, Definition 13.59). x  0 được tính như sau: lấy v  đạo hàm dưới Cho f : E  hữu hạn tại x , df ( x, v) hữu của f theo hướng v là: hạn. Đạo hàm parabolic dưới của f tại x theo f ( x  ty )  f ( x ) hướng v được xác định bởi df ( x , v)  lim inf  t 0 t y v d 2 f ( x; v, y ) 0  ty  0 w  lim inf f ( x  tv  t )  f ( x)  t.df ( x, v) 2  t 0 t 2 y v : lim inf , t  0 1 2 t y w y 2 t  lim inf  t 0 t y v f ( x  ty)  f ( x) trong đó df ( x, v) : lim inf  là đạo  v. t 0 t y v Đạo hàm parabolic dưới của f là: hàm dưới của f tại x theo hướng v. Sau đây chúng tôi trình bày ví dụ tính toán d 2 f ( x , v, y ) đạo hàm parabolic dưới cho một số hàm cụ thể. t2w f ( x  tv  )  f ( x )  t.df ( x, v) Ví dụ 1. a) Đạo hàm parabolic dưới của  lim inf 2 f ( x)  2 x được tính như sau: lấy x, v  đạo t  0 w y 1 2 t hàm dưới của f theo hướng v là 2 t2w f ( x  ty )  f ( x) 0  tv   0 t v df ( x, v)  lim inf 2  lim inf  t 0 t y v t  0 1 2 2( x  ty )  2 x w y t  lim inf 2  t 0 t y v t2w tv  t v  lim inf (2 y )  2v.  2 t 0 lim inf y v t  0 1 2 w y t Đạo hàm parabolic dưới của f là: 2 1 d 2 f ( x; v, y ) tv  t 2 w  t v 2 t2w  lim inf f ( x  tv  )  f ( x)  t.df ( x, v) t  0 w y 1 2 t  lim inf 2 2 t  0 1 2 w y .t 1 2 2 t w 2 t2w  lim inf 2( x  tv  )  2 x  t.2v t  0 1 2 2 w y t  lim inf 2 t  0 1 2 w y .t  y. 2 29
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Vậy d 2 f ( x, v, y) | y | . nên ta có Tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả tn  0 , yn  w sao cho về đạo hàm dưới và đạo hàm parabolic dưới. Các  1 2  kết quả này cần thiết trong các nghiên cứu tiếp theo f  x  tn v  tn yn   f ( x)  tn .df  x, v  lim inf   2 của bài báo.  d 2 f  x, v, w  n  1 2 tn Mệnh đề 2 (Doug W., 1993, Propostition 2 2.3b). Cho E là một không gian Banach, và tn  0 , yn  v sao cho f : E  là hàm khả vi Fréchet cấp 2 tại x  E.  1  f  x  tn v  tn2 yn   f ( x)  tn .df  x, v  Khi đó với mọi y  E ta có:  2  lim inf  d 2 f  x, v, w  . n  1 2 d 2 f ( x, v, y)  f ( x) y  2 f ( x)(v, v). 2 tn Định lý 1. Nếu f : n  là hàm lồi liên  1 2  f  x  tn v  tn w   f ( x)  t.df  x, v  tục tại x thì với mọi v  n , ta có: tn  0 ,   2 f ( x  tv)  f ( x) 1 df  x, v   lim inf  , 2 tn t 0 t d 2 f  x, v, w   1 2  f  x  tn v  tn yn   f ( x)  tn .df  x, v     2  1  f  x  tv  t 2 w   f ( x)  t.df  x, v  1 2  lim inf   2 tn  2 t  0 1 2 t  1 2  2  f  x  tn v  tn w   f ( x)  t.df  x, v  Chứng minh  2  f ( x  ty)  f ( x)   1 2   Vì df ( x, v) : lim inf t  0   f  x  tn v  tn yn   f ( x)  tn .df  x, v   y v t   2   nên ta có tn  0 , yn  v sao cho,  1 2   1 2   f  x  tn v  tn w   f  x  t n v  t n yn  f  x  t n yn   f ( x )  2   2  liminf  df  x, v  n  tn 1 2  1 2    L. x  tn v  tn w   x  tn v  tn yn  (2) và tn  0 , yn  v sao cho 2  2  f  x  tn yn   f ( x) tn  w  yn   L.  tn  1 2  df  x, v  .  L. 2 lim inf n  tn 2 f  x  tn v   f ( x ) f  x  t n yn   f ( x ) trong đó (2) đúng do Mệnh đề 1. tn  0 ,  tn tn Vậy  f  x  t n v   f ( x )   f  x  t n yn   f ( x )    d 2 f  x, v, w   f  x  t n v   f  x  t n yn   1   L. x  tn v   x  tn yn  (1) f  x  tv  t 2 w   f ( x)  t.df  x, v    lim inf   2   L. tn  v  yn     tn  t  0 1 2 t trong đó (1) đúng do Mệnh đề 1. 2 f ( x  tv)  f ( x) Vậy df  x, v   lim inf  Vì  1 neáu x  t 0  t Ví dụ 2. Xét hàm số f ( x )   1 neáu x  \ d 2 f ( x; v, y ) tại x  0, t  0 w f ( x  tv  t 2 )  f ( x)  t.df ( x, v ) : lim inf 2 Đạo hàm dưới của f tại x  0 theo hướng v  0 được tính như sau:  t 0 1 2 w y t 2 30
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 27-34 df  0,0   lim inf f (0  tv)  f (0)  lim inf  2 xy  ty 2   2 xv.   t 0 t 0 t y v v 0 f (tv)  f (0) Đạo hàm parabolic dưới của f là:  lim inf  t 0 t v 0 d 2 f ( x ; v, y ) 1  1 t2w  lim inf f ( x  tv  )  f ( x )  t.df ( x , v)  t 0 t  lim inf 2 v0  t 0 1 2  . w y .t 2 Trong khi đó  t2w  2  x  tv    x  t.2 xv 2 f (t.0)  f (0)  lim inf  2  lim inf t  0 t t 0  1 2 w y .t f (0)  f (0) 2  lim inf t  0 t 1 t 2 v 2  t 4 w2  t 2 xw  t 3vw  0.  lim inf 4 t  0 1 2 f  0  t.0   f (0) w y .t Vậy df  0,0   lim inf  . 2 t 0 t  1  Tương tự ta có  lim inf  2v 2  t 2 w 2  2 xw  2tvw  t  0 w y  2  1 f (t.0  t 2 0)  f (0)  df  0, 0   2v 2  2 xy. d f  0, 0, 0   lim inf 2 2  Tại x  0 thì d 2 f  x , v, w  2v 2 . t  0 1 2 t 2 3. Dưới vi phân parabolic Xét Trước tiên, trong mục này chúng tôi giới thiệu x ( w)  d 2 f  x , v, w  khái niệm dưới vi phân parabolic thông qua đạo  x ( w)  2v 2 , hàm parabolic dưới như sau. Định nghĩa 3 (Dưới vi phân parabolic). với v  1  x  0. Cho E là một không gian Banach, Vậy  2 f  x , v   0. f : E  . Dưới vi phân parabolic của hàm f tại Trên cơ sở tính chất của đạo hàm parabolic x theo hướng v được xác định bởi dưới chúng tôi đề xuất một số tính chất sau.  2 f  x , v   x  E  | x (w)  d 2 f  x , v, w , w  E. Định lý 2. Cho f : E  là ánh xạ khả vi Fréchet cấp 2 tại x và v  E thỏa mãn Ví dụ 3. Dưới vi phân parabolic của hàm số f   x , v   0. Khi đó f ( x)  x 2 tại x  0 được tính như sau: lấy v  đạo hàm dưới của f tại x theo hướng v là:  0  neá u 2 f  x  v, v   0 2 f  x , v    f ( x  ty )  f ( x ) f ( x ) neá u  f  x  v, v   0 2 df ( x , v)  lim inf   t 0 t y v Chứng minh  lim inf  ( x  ty ) 2  x 2   Nếu f ' x, v  0 nghĩa là f  x  v   0 thì t 0 t 2 y v d f ( x , v, w) x 2  2txy  t 2 y 2  x 2  1  f  x  tv  t 2 w '   f  x   t. f '  x , v   lim inf  lim inf    t 0 2 y v t t  0 1 2 w ' w t 2 31
Chuyên san Khoa học Tự nhiên  1  f  x   f  x  . tv  t 2'   f  x  ty    f ( x )  2   lim inf  lim inf  t 0 t t  0 1 2 y v t f  x  ty   f ( x ) w ' w 2  2   lim inf . 1  1 1  1  t 0 t   2 f  x  . tv  t 2 w,tv  t 2 w     tv  t 2 w  y v 2  2 2   2     f  x  ty   f ( x ) 1 2 t  . lim inf  2 t 0 t y v      f x  t . f ' x, v  .df ( x , v). 1 2 2 t Từ định nghĩa của đạo hàm parabolic dưới ta có: 1 2 2  1  t f x ( w)  t 2 2 f x (v, v ) 2 d 2   f  x , v, w   lim inf t  0 1 2 t w ' w  1  2 . f  x  tv  t 2 y   . f ( x )  t .df ( x , v)  2   lim inf  2  1 3 2 1 1 t  f ( x)(v, w ')  t 4 2 f ( x)( w, w ')    tv  t 2 w   t 0 1 2 2 8  2  yw t    2 1 2 t 2  1  f  x  tv  t 2 y   f ( x )  tdf ( x , v)    f x ( w)   f x (v, v). 2  lim inf   2  t  0 1 2 * f  x, v     |  , w  d f  x, v, v  w   2 n 2 n yw t 2    |  , w  f  x  w   f  x  (v, v) w   n 2 n  1  f  x  tv  t 2 y   f ( x )  tdf ( x , v)    |   f  x  , w   f  x  (v, v) w  .   lim inf   n 2 n 2 t  0 1 2 yw t  0  neáu  f  x  v, v   0 2 2 Vậy  f  x , v    .  2  .d 2 f ( x , v, w). f ( x ) neáu  f  x  v, v   0 2  Suy ra Mệnh đề 3. Cho f1 , f 2 là các ánh xạ từ E  2   f  x , v    x*  E * | x* ( w)  d 2 ( f )( x , v, w) vào .   x*  E * | x* ( w)   d 2 f ( x , v, w) 1. Với mọi x  dom f ,   0, v  E, ta có   2 f  x , v  .  2   f  x , v   . 2 f  x , v . Vậy  2   f  x, v   . 2 f  x, v với mọi   0. 2. Với mọi x  dom  f1  f 2  nếu f1  C , 2 2. Từ định nghĩa của đạo hàm dưới ta có: v  E thỏa mãn 2 f1  x  v, v   0 thì d  f1  f 2  x , v    f1  f 2  x , v    f1  x , v    f 2  x , v  (*). 2 2 2  f1  f 2  x  ty    f1  f 2  ( x )  lim inf Hơn nữa, (*) đúng như đẳng thức nếu  t 0 y v t 2 f1  x  v, v   0. f1  x  ty   f 2  x  ty   f1  x   f 2  x   lim inf  Chứng minh t 0 y v t 1. Từ định nghĩa đạo hàm dưới ta có:  f  x  ty   f1  x  f 2  x  ty   f 2  x    lim inf  1   d   f  x , v   lim inf   f  x  ty     f  ( x ) t  0 y v  t t  f1  x  ty   f1  x  f 2  x  ty   f 2  x   t 0 t y v  lim  lim inf  (1) t 0 t t 0 t y v y v 32
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 27-34  df1  x , v   df 2  x , v  Vậy nếu f1  C 2 , v  E thỏa mãn trong đó (1) đúng do f1  C 2 .  f1  x  v, v   0 thì 2 Từ định nghĩa của đạo hàm parabolic dưới ta có:  2  f1  f 2  x , v    2 f1  x , v    2 f 2  x , v  (*). d 2 ( f1  f 2 )  x , v, w  Hơn nữa, (*) đúng như đẳng thức nếu 2 f1  x  v, v   0.   f1  f 2   x  tv  1 2   t y    f1  f 2  ( x )  td  f1  f 2  ( x , v )  lim inf  2   t 0 1 2 4. Áp dụng vào nghiên cứu điều kiện tối ưu y w t cấp 2 2   1 f1  x  tv  t 2 y   f1 ( x )  tdf1 ( x , v ) Định nghĩa 4. Cho f : E  với E là  lim  2   t 0  y w 1 2 t không gian Banach, x  domf . Khi đó x được gọi 2 là nghiệm cô lập tĩnh địa phương của f nếu tồn tại  1 2  f 2  x  tv  t y   f 2 ( x )  tdf 2 ( x , v )  , r  0 sao cho lim inf   2 (2) x  Br  x .  t 0 1 2 f ( x)  f ( x )   x  x 2 y w t 2   f1  x  w   f1  x  v, v   d f 2  x , v, w  , 2 2 Sau đây chúng tôi thiết lập điều kiện cần cho trong đó (2) đúng do f1  C . 2 nghiệm cô lập tĩnh địa phương của một ánh xạ thông qua dưới vi phân parabolic.  2  f1  f 2  x , v  Định lý 3. Nếu x là nghiệm cô lập tĩnh địa   x*  E * | x* ( w) phương của f thì 0  2 f  x , v  với mọi v  E thỏa mãn  d 2  f1  f 2  x , v, w  , w  E df  x , v   0.   x*  E * | x* ( w)  f1  x  w    2 f1  x  v, v  Chứng minh:  d 2 f 2  x , v, w  , w  E Giả sử x là nghiệm cô lập tĩnh địa phương của f . Khi đó, , r  0 sao cho   x*  E * | x* ( w)  f1  x  w   d 2 f 2  x , v, w  f ( x)  f ( x )   x  x x  Br  x  2   f1  x  v, v  , w  E 2 Giả sử df  x , v   0 khi đó tồn tại w  n  và * *   x  E |  x  f1  x   w   d f 2  x , v, w  * 2 t  0 (đủ nhỏ) ta có   f1  x  v, v  , w  E (*) 2  1  2 1 f  x  tv  tw   f ( x )  tv  t 2 w   x*  E * |  x*  f1  x   w    2  1 2  1 2 2 t t  d f 2  x , v, w  , w  E 2 2 2   x*  E * | x*  f1  x    2 f 2  x , v   2 1  2 v  tw 2   x*  E * | x* f1  x    2 f 2  x , v   d 2 f  x , v, w   f1  x    f 2  x , v  . 2  1  f  x  tv  t 2 w   f ( x )  t.df  x , v  Hơn nữa, nếu 2 f1  x  v, v   0 (*) ta có  lim inf   2    x*  E * |  x*  f1  x   w   d 2 f 2  x , v, w  t  0 w w 1 2 2 t   f1  x  v, v  , w  E 2  1  f  x  tv  t 2 w   f ( x )   x*  E * |  x*  f1  x   w    lim inf  t  0 2 1 2  t  d 2 f 2  x , v, w  , w  E. w w 2 33
Chuyên san Khoa học Tự nhiên  2 v 2 Suy ra  2 f  0, v   0 với mọi v  nhưng  0. x  0 không là nghiệm cô lập tĩnh địa phương của f . Giả sử 0  2 f  x , v  . Khi đó tồn tại w n Vậy 0  2 f  x , v  với mọi v thỏa mãn df  x , v   0 nhưng x  0 không phải nghiệm cô sao cho 0, w  0  d 2 f  x , v, w  0. lập tĩnh địa phương của f . Điều này mâu thuẫn. Do đó 0  2 f  x , v  .  5. Kết luận Sau đây chúng tôi trình bày ví dụ để chứng tỏ Trong bài báo này chúng tôi đã đề xuất khái rằng chiều ngược lại của định lý trên không đúng. niệm và một số tính chất cũng như áp dụng của dưới đạo hàm parabolic. Tuy nhiên bài báo chỉ mới Ví dụ 3. Xét f ( x)  x3 và x  0. trình bày áp dụng của dưới vi phân parabolic vào Đạo hàm dưới của f tại x theo hướng v  là: nghiên cứu nghiệm cô lập tĩnh địa phương đối với bài toán tối ưu không ràng buộc. Ý tưởng này có f (0  ty)  f (0) thể được tiếp tục nghiên cứu đối với bài toán tối ưu df (0, v)  lim inf  t 0 t ràng buộc tập, ràng buộc hàm. y v Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được hỗ trợ bởi (ty )3 đề tài nghiên cứu khoa học mã số SPD2021.02.01.  lim inf t  0 t y v Tài liệu tham khảo 3 3 t y Doug W. (1993). Calculus for parabolic second-order  lim inf  t 0 t derivaties. Set-Valued Analysis, 1, 213-246. y v  lim inf  t 2 y 3  Dinh The Luc. (1991). Contingent derivatives of  t 0 set-valued maps and applications to vector y v optimization. Mathematical Programming,  0. 50, 99-111. Đạo hàm parabolic dưới của f là: Gonca I. (2021). Some properties of second-order wear subdifferentials. Turkish Journal of d 2 f (0, v, w) Mathematics, 45, 955-960. t2 y Huynh Thi Hong Diem, Phan Quoc Khanh and Le f (0  tv  )  f (0)  t.df (0, v)  lim inf 2 Thanh Tung. (2014). On higher-order  t 0 1 2 sensitivity analysis in nonsmooth vector yw .t 2 optimization. Journal of Optimization Theory 3 and Applications, 162, 463-488.  t2 y   tv   Nguyễn Đông Yên. (2000). Giáo trình Giải tích  lim inf  2  đa trị, Hà Nội: NXB Khoa học Tự nhiên và t  0 1 2 yw .t Công nghệ. 2 Rockafellar R. T. (1988). First and second-order 3 3 1 epi-differentiability in nonlinear t v  t 4 v 2 y  t 5vy 2  t 6 y 3 3 3 2 4 8 programming. Transactions of the American  lim inf t  0 1 2 Mathematical Society, 307(1), 75-108. y w .t 2 Rockafellar R. T. and Roger J. B. R. W. (1998). Variational Analysis. Grudlenhren der  3 1   lim inf  2tv3  3t 2 v 2 y  t 3vy 2  t 4 y 3  mathematicshen Wissenschaften. t  0 y w  2 4   0. 34