Tiểu luận:Dạng modunlar và hàm số

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'tiểu luận:dạng modunlar và hàm số', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận:Dạng modunlar và hàm số

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA D NG MODUNLAR VÀ HÀM S H C TI U LU N HÌNH H C S HC Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
i BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN ********* HÀ DUY NGHĨA D NG MODUNLAR VÀ HÀM S H C CAO H C TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s TI U LU N HÌNH H C S HC Ngư i hư ng d n khoa h c GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Quy Nhìn, Th¡ng 5 n«m 2010
ii M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 M ts ki n th c cơ s 2 1.1 Đ c trưng c a nhóm h u h n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Quan h tr c giao c a đ c trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 các hàm s hc 7 2.1 Zeta hàm và L hàm ....................... 7 2.1.1 Zeta hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Zêta hàm Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 L-Hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Đ c trưng Modunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Đ nh nghĩa và tính ch t c a L-Hàm . . . . . . . . . . . 9 Tích các L hàm ng v i m i χ ∈ G(m) . . . . . . . . . 2.2.3 10 Chương 3 D ng modular 11 3.1 Nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Mi n cơ b n c a nhóm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Hàm modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.4 Không gian các d ng Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1 L IM ĐU S h c là b môn toán h c ra đ i t r t s m nhưng nó luôn đư c các nhà toán h c quan tâm nghiên c u, b i l không vì s bí n c a các con s mà nó còn ng d ng quan trong cho cu c cách m ng khoa h c k thu t hi n nay như lý thuy t m t mã,k thu t s ,... chuyên đ hình h c s h c là chuyên đ nghiên c u s h c dư i công c hình h c, thi t l p m t mã b i đư ng cong Eliptic là th m nh c a phân môn này. Đ làm đ tài ti u lu n k t thúc b môn tôi ch n đ tài " D ng modular và hàm s h c" , ti u lu n g m 3 chương cùng v i ph n m đ u và k t lu n. Trong m i chương c th như sau; Chương 1: G m các ki n th c cơ s liên quan đ n hai chương sau Chương 2: Gi i thi u hai hàm s h c quan tr ng đó là Zeta hàm và L hàm cùng v i các tính ch t c a nó. Chương 3: Nói v các d ng Modular, không gian các d ng Modular . M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoàn thi n hơn. Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn GS.TSKH Hà Huy Khoái ngư i đã t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn thành ti u lu n này. Quy Nhơn, tháng 5 năm 2010 Hà Duy nghĩa
2 Chương 1 M TS KI N TH C CƠ S 1.1 Đ c trưng c a nhóm h u h n Đ nh nghĩa 1.1.1. M t đ c trưng c a nhóm G là m t đ ng c u t G vào nhóm nhân các s ph c khác không. Nói cách khác, đ c trưng c a G là m t hàm χ : G → C∗ sao cho χ(a.b) = χ(a)χ(b), ∀a, b ∈ G M t đ c trưng χ g i là t m thư ng n u χ(g ) = 1, ∀g ∈ G đư c ký hi u là χT G i χ, χ là hai đ c trưng c a nhóm G, tích 2 đ c trưng là m t hàm χ.χ : G → C∗ xác đ nh b i χχ (g ) = χ(g )χ (g ). Đ nh lý 1.1.2. Đ c trưng c a nhóm tùy ý G là nhóm Abel v i phép toán nhân đư c đ nh nghĩa như trên. Ch ng minh. i)G đóng đ i v i phép toán nhân, t c là χ.χ là đ c trưng c a G, th t v y χ.χ (a.b) = χ(a.b).χ (a.b) = χ(a)χ(b)χ (a)χ (b) = χ.χ (a)χ.χ (b) ii)Ph n t đơn v là đ c trưng t m thư ng χT ngh ch đ o c a χ là χ−1 v i χ−1 : G → C∗ , đư c xác đ nh iii)Ph n t χ−1 (g ) = χ(g −1 ) khi đó χ−1 là đ c trưng c a G và χ.χ−1 = χT T p h p các đ c trưng c a G l p thành nhóm, ký hi u là G g i là nhóm đ c trưng hay nhóm đ i ng u c a G Gi s r ngh : G1 → G2 là m t đ ng c u nhóm và χ là đ c trưng c a G2 . Cái n i c a χ b i hký hi u là h χ đư c xác đ nh b i h = χ ◦ χ, t đ nh nghĩa ta suy ra h χ là m t đ ng c u. Đ nh lý 1.1.3. Gi s r ng G1 , G2 là nh ng nhóm . Khi đó χ là đ c trưng c a G1 × G2 n u và ch n u χ = χ1 ⊗ χ2 , ∀χ1 ∈ G1 , χ2 ∈ G2 H qu 1.1.4. N u G1 , G2 là nh ng nhóm thì G1 × G2 = G1 ⊗ G2
3 Gi χ là đ c trưng c a G và g là ph n t c a G có c p h u h nk . T χ(g )k = χ(g k ) = χ(1) = 1.Đi u này kéo theo kh ng đ nh r ng, nh ng đ c trưng chuy n nh ng ph n t có c p h u h n vào căn c a đơn v . C th là : N u G là m t nhóm và n là s nguyên dương nh nh t sao cho g n = 1, ∀g ∈ G khi các đ c trưngc a G s cho tương ng m i ph n t c a G là căn b c n c a đơn v . T đó suy ra n u χ ∈ G thì |χ(g )| = 1∀g ∈ G, do đó 1 = χ(g −1 ) = χ−1 (g ) χ(g ) = χ(g ) = χ(g ) môđun [Proposition 1.1 [2] ] V i m i đ c trưng không t m thư ng χ c a G thì χ(a) = 0 a∈G Ch ng minh. L y b ∈ G sao cho χ(b) = 1, g i S = χ(a), khi đó a∈G χ(b).S = χ(b)χ(a) χ(ba) = S a∈G ab∈G do đó S (χ(b) − 1) = 0 ⇒ S = 0 T m nh đ trên, n u thay G b ng G ta có k t qu sau: χ(x) = 0, χ ∈ G x∈G Suy ra χ(x) = 0, x ∈ G ∼ G = χ∈G môđun [proposition 1.3 , [2] ] G i ω là căn b c n c a đơn v , khi đó ánh x χj : Zn → C∗ xác đ nh b i χj (a) = ω ja là đ c trưngc a Zn ∀j ∈ Z, ngoài ra: (a)χj = χk n u và ch n u j ≡ k modn; (b)χj = χk ; 1 (c)Z = {χ0 , ..., χn−1 }; (d)Zn ∼ Zn =
4 Ch ng minh. Trư c h t ch ng minh χj là đ c trưng c a Zn . Ta có χj (a + b) = ω j (a+b) = ω ja ω jb = χj (a)χj (b), V y χj là đ c trưng c a Zn . (a)χj = χk n u và ch n u j ≡ k mod n; (⇒) Ta có χj = χk nên χj (1) = χk (1) ⇒ ω j = ω k ⇒ j ≡ k mod n. (⇐) N u j ≡ k mod n ⇒ j = k + tn ⇒ ω J = ω k+tn = ω k ⇒ χj = χk . (b) Hi n nhiên theo đinh nghĩa (c) Theo trên ta đã ch ng minh Zn là nhóm, nên đ ch ng minh m nh đ ta c n ch ng minh Zn là nhóm xyclic c p n.Th t v y, ∀χj ∈ Zn ta có χn (a) = j χj (na) = χj (0) = 1 = χ0 (a), a ∈ Zn .( Có th gi i thích theo đ nh nghĩa c a χj (a) = ω ja ), khi đó ta suy ra đư c (c), (d). H qu 1.1.5. G ∼ G = Ch ng minh. Vì G, G là nh ng nhóm h u h n nên G ∼ Zn1 ⊕ ... ⊕ Znk , và = G ∼ Zn1 ⊕ .. ⊕ Znk , do đó theo M nh đ 1.1 tacó Zn1 ∼ Zn1 , ..., Znk ∼ Znk = = = .Suy ra đi u ph i ch ng minh. 1.2 Quan h tr c giao c a đ c trưng ˆ G i G là nhóm Abelian h u h n và H là nhóm con c a G, ký hi u GH là t p các đ c trưng c a G có h t nhân ch a H , t c là ∀h ∈ H, χ(h) = 1. Khi đó ta có các k t qu sau: Đ nh lý 1.2.1. N u H là nhóm con c a G và χ ∈ G thì  |H | N u χ ∈ GH   χ(h) =  N u χ ∈ GH 0 / h∈H  χ(h), khi đó n u χ ∈ GH thì χ(h) = 1, ∀h ∈ H Ch ng minh. G i A = h∈H suy ra A = |H |, ngoài ra n u χ ∈ GH thì t n t i h0 ∈ H sao cho χ(h0 ) = 1, / χ(h) ⇒ A = 0 khi đó A = χ(h.h0 ) = χ(h0 ) h∈H h∈H
5 Đ nh lý 1.2.2 (Quan h tr c giao th 1). G i χ, ψ là hai đ c trưng c a G khi đó  n N uχ=ψ   χ(a)ψ (a) =  0 N uχ=ψ a∈G  Ch ng minh. Trư ng h p , n u χ = ψ khi đó χ(a).χ(a) = χ(a)−1 χ(a) = 1 nên χ(a)ψ (a) = n. a∈G Trư ng h p, n u χ = ψ thì χψ là đ c trưng không t m thư ng, nên theo M nh đ 1.1 ta có đi u ph i ch ng minh. G i CG là không gian các hàm tuy n tính f : G → C. Không gian này là không gian các hàm tuy n tính n chi u trên C. V i tích vô hư ng đư c đ nh nghĩa 1 f (a)g (a) (f, g ∈ CG ) (f, g ) = n a∈G Đ nh lý 1.2.3. G là cơ s tr c giao trong CG 1 Ch ng minh. Tacó : ∀χ, ψ ∈ G, (χ, ψ ) = χ(a)ψ (a) = 0 ( Theo Đ nh lý n a∈G 1.2.2) Ngoài ra,theo H qu 1.1.5 ta suy ra |G| = n = dimCG . G i χ0 , .., χn−1 là nh ng đ c trưng c a G = {a0 , a1 , ..., an−1 . Khi đó ma tr n vuông C = (χi (aj )) là b ng đ c trưng c a G là ma trân đơn v , hơn n a A.A∗ = A∗ .A = 1 H qu 1.2.4. Ma tr n A = √C n I trong đó I là ma tr n đơn v và A∗ là ma trân liên h p c a A H qu 1.2.5 (Quan h tr c giao th 2 ). G i a, b ∈ G khi đó  nN ua = b   χ(a)χ(b) =  0N ua=b  χ∈G Ch ng minh. Th t v y, n u a = b ta có 2 |χ(a)| = n χ(a)χ(b) = χ(a)χ(a) = χ∈G χ∈G χ∈G
6 n u a = b ta có χ(a−1 )χ(b) = χ(a−1 b) = 0 χ(a)χ(b) = χ∈G χ∈G χ∈G (Suy ra t M nh đ 1.1)
7 Chương 2 CÁC HÀM S HC 2.1 Zeta hàm và L hàm 2.1.1 Zeta hàm Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho f : N → C là hàm s h c,f đư c g i là : Nhân tính n u :∀m, n(m, n) = 1, f (m, n) = f (m).f (n) Nhân tính m nh n u :∀m, nf (m, n) = f (m).f (n) ∞ f (n) B đ 2.1.2. Chu i h i t tuy t đ i khi Res > 1 và bi u di n thành s n=1 n −s + f (p2 ).p−2s + ...+) trong đó f (n) là hàm nhân tích vô h n (1 + f (p)p P p∈ tính gi i n i. f (n) Ch ng minh. Vì f (n) là hàm nhân tính gi i n i nên|f (n)| < M ⇒ < ns M = Res > 1 chu i h i t tuy t đ i khi Res > 1. nX , X L y m t t p h u h n S ⊂ { T p h p các s nguyên t }, g i N(S ) ⊂ N là t p các s mà các ư c nguyên t thu c S , gi s S = p1 , ..., pr ,khi đó N (S ) = {n = pα1 ...pαk , αi ≥ 0} Khi đó ta có : 1 k f (pα1 ...pαk ) f (n) 1 k = αk s α1 ns (p1 ...pk ) n∈N(s) alphak )=f (pα1 )...f (pαk ) do đó : Do f là hàm nhân tính nên f (pα1 ....Pk 1 1 k f (pα1 )...f (pαk ) ∞ f (pα1 )   k f (n) αi s , S → P 1 1 k = = αk s  α1 s (p1 ...pk ) i=1 αi =0 (pi ) n∈N(s) n α1 ...αk ∞ f (n) (1 + f (p)p−s + f (p2 ).p−2s + ...+) T đó suy ra: = P s n=1 n p∈ Gi s f (n) là hàm nhân tính m nh gi i n i, khi đó theo b đ trên ta cũng có
8 ∞ f (n) (1 + f (p)p−s + f (p2 ).p−2s + ...+) = P s n=1 n p∈ −1 (1 − f (p)p−s ) . 1 = = 1−f (p).p−s p∈ P p∈P Và công th c này g i là công th c Ơle. 2.1.2 Zêta hàm Rieman ∞ 1 T b đ trên ta th y khi f (n) = 1 ta luôn có: ζ (s) = s , ζ (s) = n=1 n −1 (1 − p−s ) p∈ P ζ là hàm Rieiman h i t tuy t đ i trên mi n Re s > 1 Đ nh lý 2.1.3. ζ Hàm Rieman là hàm ch nh hình trên mi n Re s > 0. Thác tri n đư c thành hàm phân hình trên mi n Res > 0 có c c đi m đơn t i s = 1 1 t c là ζ (s) = + Φ(s) trong đó Φ(s) ch nh hình trong mi n Re s > 0. s−1 ∞ ∞ n+1 t−s dt = t−s dt nên suy ra: 1 Ch ng minh. Ta có : s−1 = n=1 n 1 ∞ n+1 ∞ t−s dt 1 1 ζ (s) − − = ns s−1 n=1 n n=1 n+1 ∞ n−s t−s dt − = n n=1 ∞ n+1 (n−s − t−s ) dt. = n=1 n n+1 ∞ (n−s − t−s ) dt, Φ(s) = Đ t Φn (s) = Φ(n), các hàm Φn (s) ch nh hình n n=1 theo s trong mi n Re s > 0. Đ chúng minh Φ(s) ch nh hình trong Re s > 0 ta ch ng minh chu i h i t tuy t đ i và đ u.Th t v y, ta có: n+1 (ns − t−s )dt ≤ max ns − t−s |Φn (s)| = n≤t≤n+1 n |s| nên suy ra:|Φn (s)| ≤ = Re s T đó suy ra Φ(s) ch nh hình tronh nX +1 , X mi n Re s > 0, ngoài ra khi s → 1, Φ(s) gi i n i.
9 2.2 L-Hàm 2.2.1 Đ c trưng Modunlar ∗ Gi s m ∈ Z, m ≥ 1, G(m) = Z/mZ nhóm các l p đ ng dư kh ngh ch theo modulo m, G(m)có m ph n t , g i χ là đ c trung c a nhóm G(m)g i là đ c trưng Modunlar . χG(m) :−→ C∗ thác tri n lên Z, khi đó: •χ(n) = 0 n u (n, m) = 1 •χ(n) = χ(n mod m) n u (n, m) = 1 2.2.2 Đ nh nghĩa và tính ch t c a L-Hàm Đ nh nghĩa 2.2.1. Cho m ≥ 1, χ đ c trưng modular m,ta đ nh nghĩa L hàm ng v i đ c trưng χ đư c xác đ nh b i công th c ∞ χ(n).n−s L(s, χ) = n=1 2.2.2. N u χ = 1 thì L(s, 1) = F (s).ζ (s) trong đó F (s) = M nh đ (1 − p−s ), ζ (s) là Zeta hàm Riemam. p| m T m nh đ trên ta th y r ng L(s, 1) ch khác ζ (s) khi (n; m) = 1 và L(s, 1) có th thác tri n thành hàm phân hình trên mi n Re s > 0 và có c c đi m đơn t i s = 1. M nh đ 2.2.3. V i χ = chu i L(s, χ) h i t tuy t đ i trong Re s > 0(Re s > 1) đ ng th i có tích Euler −1 (1 − χ(p).p−s ) , , Re s > 0 L(s, χ) = P p∈ v Ch ng minh. ∀u, v ∈ N, u < v ta đ t Au,v = χ(n), theo tính ch t tr c giao u ta có u+m χ(n) = 0 u Do đó |Au,v | ≤ Φ(m)
10 và không ph thu c vào u, v , nên theo tiêu chu n Abel chu i hoi t tuy t đ i. ngoài ra χ(n)là hàm nhân tính m nh nên L(s, χ) có tính Euler Tích các L hàm ng v i m i χ ∈ G(m) 2.2.3 ∗ Cho p m, p là nh c a m trong nhóm G(m) = Z/mZ f (p) là c p c a ptrong nhóm G(m), f = f (r) là s nh nh t sao cho pf ≡ 1 mod m suy ra f (p)|Φ(m), G(p) = Φ(m)/f (p) là c p c a nhóm sinh b i (p) M nh đ 2.2.4. −g (p) 1 − p−f (p)s ζm (s) = p| m Ch ng minh. Ta có : ζm (s) = L(χ, s) = L(s, 1) L(s, χ) χ χ=1 (1 − p−s ) ζ (s) = L(s, χ) χ=1 p| m −1 (1 − p−s ) (1 − p−s ) (1−χ(p)p−s )−g(p) = p∈P χ=1 p∈P p| m −g (p) (1−χ(p)p−s )−1 = 1 − p−f (p)s = χ p| m pm Đ nh lý 2.2.5. (i) ∀χ = 1, L(1, χ) = 0 (ii) ζ (s) có c c đi m đơn t i s = 1. Ch ng minh. (i) gi s có χ0 nào đó , χ0 = 1, L(1, χ0 ) = 0 khi đó L(1, χ) gi i n i ∀χ = 1, và L(1, χ0 ) có c c đi m đơn t i s = 1. N u Li, χ0 = 0 thì kh đư c c c đi m s = 1 suy ra hàm ζ (s) ch nh hình trong mi n Re s > 0, ta c n ch ng minh chu i h i t trong mi n Re s > 0, 1 ta ch ng t chu iζ (s) phân kỳ t is = Φ(m) , th t v y; −g (p) g (p) −f (p).s −g (p) −f (p).s 1 1 − χ(p).p . 1−p ζ (m) = = 1−p−f (p).s pm g (P ) m = 1 + p−f (p).s + ... + p−f (p).s + ... mà Φ(m) ≥ f (p) nên chu i trên đư c làm già b i 1 1 + p−Φ(m).s + ... + p−Φ(m).s + ... = 1 + + ... p 1 mà chu i này phân kỳ nên s = Φ(m) là phân kỳ. (ii) đư c suy ra tr c ti p t (i)
11 Chương 3 D NG MODULAR 3.1 Nhóm modular Cho H là n a m t ph ng trên c a C Nhóm mudular kí hi u là    a b      ∈ R, ad − bc = 1 SL2 (R) =  , a, b, c, d    cd     Tác  ng  a SL2 (R) lên C ∪ {∞} : đ c a b az +b ∈ SL2 (R) gz = v i z là m t ph n t trong C ∪ {∞}. g=  cz +d   cd Qua tác đ ng c a nhóm SL2 (R), n a m t ph ng trên là n đ nh. Th t v y, gi s H = {z/ Im z > 0} và z ∈ H . Khi đó az +b 1 az +b az +b 2i cz +d − cz +d Im(gz ) = Im = cz +d 1 (ad−bc)z −(ad−bc)z = |cz +d|2 2i 1 (ad−bc)(z −z ) = |cz +d|2 2i z −z Im z = = |cz +d|2 2i|cz +d|2 Tác đ ng t m thưng trên H :   −1 0  ta có gz = z, ∀z ∈ C ∪ {∞}. Xét g =    0 −1    a b      Xét nhóm SL2 (Z) ⊂ SL2 (R). Ta có SL2 (Z) = ∈ Z, ad − bc = 1  , a, b, c, d    c d    . Kí hi u P SL2 (Z) = SL2 (Z)/{±1}. Đ nh nghĩa 3.1.1. Nhóm G = SL2 (Z) g i là nhóm modular.
12 3.2 Mi n cơ b n c a nhóm modular 1 Đ nh lý 3.2.1. Mi n D = |z | 1, |Re z | là mi n cơ b n c a nhóm 2 modular G t c là (i) V i m i z ∈ H và v i m i g ∈ G ta có gz ∈ D. (ii) Gi s z, z ∈ D t n t i g sao cho z = gz . Khi đó ta có ho c |Re z | = 1 , z = z ± 1 ho c| z | = 1, z = − z 1 . 2 (iii) V i m i z ∈ D đ t I (z ) = {g ∈ G, gz = z } (Nhóm con n đ nh c a z đ i v i G). Khi đó I (z ) = 1 tr 3 trư ng h p: • z = i : I(i) là nhóm c p 2 sinh b i S 2πi • z=ρ=e : G là nhóm c p 3 sinh b i S, T. 3 πi • z = ρ = e 3 : I(z) là nhóm c p 3 sinh b i TS. 3.3 Hàm modular Đ nh nghĩa 3.3.1. Cho s nguyên k, f(z) cho trong n a m t ph ng trên đư c g i là m t hàm modular y u trong s 2k n u f(z) phân hình trên H   a b ∈ SL2 (Z) ta có đ ng th i v i m i g =     cd az + b f (z ) = (cz + d)−2k f ( ) (3.1) cz + d Đ nh lý 3.3.2. Hàm phân hình f(z) trên n a m t ph ng H là d ng modular trong s 2k khi và ch khi f(z) th a mãn hai đi u ki n sau (i)f (z − 1) = f (z ) 1 (ii)f − z = z 2k f (z ). Đ nh nghĩa 3.3.3. Hàm modular y u f(z) g i là hàm modular n u f(z) phân hình t i ∞. Hàm f(z) đư c g i là hàm modular tr ng s 2k n u f(z) là hàm modular tr ng s 2k và f(z) làm hàm ch nh hình trên H k c t i ∞.
13 Nh n xét: f(z) là d ng modular tr ng s 2k khi (i) f là hàm ch nh hình trên H. ∞ an e2πinz . (ii) f(z) có khai tri n f (z ) = n=0 1 (iii) f − z = z 2k f (z ). 3.4 Không gian các d ng Modular Cho f và g là các d ng modular tr ng s 2k. Khi đó f + g cũng là m t d ng modular. Đ t Mk là t p h p các d ng modular tr ng s 2k . Khi đó Mk là không gian tuy n tính ph c. Đ nh nghĩa 3.4.1. D ng modular f g i là d ng cusp n u như f (∞) = 0. 0 0 Kí hi u Mk là không gian các d ng cusp tr ng s 2k. Ta có Mk ⊂ Mk . Xét 0 0 ϕ : Mk → C, ϕ (f ) = f (∞). Ta có Mk = Kerϕ. Do đó Mk = Mk ⊕ CGk . − Đ nh lý 3.4.2. Gi s f là hàm modular tr ng s 2k khác 0. Khi đó ta có 1 k 0∞ (f ) + 0p (f ) = , (ep là c p c a nhóm n đ nh t i p ). 6 p∈D ep Vi t l i, 0∞ (f ) + 1 0i (f ) + 1 0ρ (f ) + 0p (f ) = ∗ ∗ k (*) trong đó là 2 3 6 p∈H /G t ng theo m i modun trong H /G khác i, ρ và các đi m đ ng dư v i i, ρ. 0p (f ) ch là t ng h u h n ( t c là, ch có h u h n đi m mà ∗ Nh n xét: t i đó 0ρ (f ) = 0 ). N u f là hàm modular thì f phân hình t i ∞ . q = e2πiz : lim f (q ) = ∞, t n t i lân c n c a 0, ch ng h n |q | < r trong đó ch có q q →0 là c c đi m, z = x + iy , |q | = e−2πy < r suy ra 1 1 log 1 . Khi < e2πy = y > 2π r r 1 log 1 hàm f ch có c c đi m t i ∞. Mi n D ∩ y 1 1 2π log r compact y> 2π r do đó ch có h u h n c c đi m và không đi m t c là ch có h u h n p sao cho 0p (H ) = 0. Đ nh lý 3.4.3. (i) Mk = 0 v i k < 0 ho c k = 1. (ii) Khi k = 0, 2, 3, 4, 5 thì Mk là không gian vecto m t chi u và cơ s c a
14 nó là 1, G2 , G3 , G4 , G5 . 0 Mk−6 → Mk − (iii) Ánh x là m t đ ng c u. → ∆f f Ch ng minh. (i) Khi k = 1 ho c k < 0 thì không có d ng f ≡ 0 do đó f = 0. 0 Mk−6 → Mk − (iii) Xét ánh x . → ∆f f • Trong công th c (*) ta thay f b i G2 : 0∞ (G2 ) + 2 0i (G2 ) + 1 0ρ (G2 ) + 1 3 p∈H /G 0p (G2 ) suy ra 0ρ (G2 ) = 1 và 0p (G2 ) = 0. Do đó G2 có không ∗ 1 = 3 đi m đơn duy nh t t i ρ, G2 (ρ) = 0, G2 (p) = 0. • Trong (*) ta thay f b i G3 : 0∞ (G3 )+ 1 0i (G3 )+ 1 0ρ (G3 )+ p∈H /G 0p (G3 ) ∗ = 2 3 suy ra 0ρ (G3 ) = 1 và 0p (G3 ) = 0. Do đó G3 có 0i (G3 ) = 1, 0p (G3 ) = 1 2 0, ∀p = i và G3 (i) = 0, G3 (p) = 0, ∀p = i. • Trong (*) ta thay f b i ∆. Khi đó ∆ (∞) = 0 suy ra 0∞ (∆) 1. Ta có 0∞ (∆) + 1 0i (∆) + 1 0ρ (∆) + p∈H /G 0p (∆) = 1 suy ra 0∞ (∆) = 1 và ∗ 2 3 0i (∆) = 0ρ (∆) = 0p (∆) = 0, ∀p = ∞. Do đó ∆ có không đi m đơn t i ∞. Hi n nhiên ánh x trên là đơn ánh. L y g tùy ý thu c Mk . Ta có g (∞) = 0 và ∆ (∞) = 0 nên g/∆ ch nh hình 0 k c t i ∞. T i đi m p = ∞ thì ∆ = 0. Vì g/∆ là hàm ch nh hình nên g/ ∈ M . Đ t f = g/ ta có f ∈ M k−6 và g = ∆f suy ra ánh x trên là ∆ ∆ k−6 m t toàn c u và do đó nó là m t đ ng c u. (ii) Xét k = 0 : Vì f là d ng modular nên nó không có c c đi m suy ra 0p (f ) 0. Theo (*) thì 0p (f ) = 0 v i m i p nên f ch nh hình và khác 0 trên H, k c t i ∞. Do đó f là hàm h ng nên Mk là không gian m t chi u có cơ s là 1. Xét k = 2, 3, 4, 5 ta có Mk ∼ Mk−6 . Do k − 6 < 0 nên theo (i) ta có Mk−6 = 0 0 = 0 0 suy ra Mk = 0. Vì Mk = Mk ⊕ CGk nên Mk = CGk do đó Mk là không gian m t chi u cơ s Gk v i k = 2, 3, 4, 5.
15 H qu 3.4.4. S chi u c a Mk đư c cho b i công th c k  , k ≡ 1 (mod 6), k 0    6   dim Mk =  k + 1 , k ≡ 1 (mod 6)    6  Ch ng minh. Ta ch ng minh quy n p theo k: • k = 0 t c là k ≡ 1 (mod 6) thì dim Mk = 1. 1 • k = 1 t c là k ≡ 1 (mod 6) thì dim Mk = = 0. 6 1 • k = 2, 3, 4, 5 thì k ≡ 1 (mod 6) do đó dim Mk = + 1 = 1. 6 Gi s công th c trên đúng v i m i k > 5, ta c n ch ng minh công th c đúng v i k + 6. Khi đó: 0 dim Mk+6 = dim Mk+6 + 1 = dim Mk + 1 k  , k ≡ 1 (mod 6)  6 +1    = k + 2 , k ≡ 1 (mod 6)   6   k+6  , k ≡ 1 (mod 6)   6   =  k+1 + 1 , k ≡ 1 (mod 6)   6  Đ nh lý 3.4.5. Không gian Mk có cơ s g m h các đơn th c có d ng sau Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k . 23 Ch ng minh. Ta ch ng minh h các đơn th c trên sinh ra Mk b ng quy n p như sau: N u k = 0 thì α = β = 0 . N u k = 2 thì ch n α = 2 và β = 0 do đó M2 sinh b i G2 . N u k = 3 thì ch n α = 0 và β = 3 do đó M3 sinh b i G3 . Nuk 4 thì ta luôn tìm đư c γ và δ sao cho 2γ + 3δ = k . Xét g = Gγ Gδ ∈ Mk sao cho g (∞) = 0 và f ∈ Mk . Ta ph i tìm λ sao cho f − λg ∈ Mk 0 23 t c là tìm f (∞) . Vì M 0 ∼ Mk−6 nên ta có f − λg = ∆h, h ∈ Mk−6 . Theo gi = k g (∞) cαβ Gα Gβ . Khi đó thi t quy n p đúng v i k − 6 nên ta có h = 23 2α+3β =k−6 3 2 f = λGα Gβ + ∆h = λGα Gβ + (60G2 ) − 27 (140G3 ) h 23 23
16 aαβ Gα Gβ +2 + bαβ Gα+3 Gβ = λGα Gβ + 23 23 2 3 và   2α + 3 (β + 2) = k    2 (α + 3) + 3β = k   Đi u c n ch ng minh đúng v i k nên Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k 23 sinh ra Mk . Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β Ta c n ch ng minh h 0, 2α + 3 β = k là h 23 đ c l p tuy n tính. λαβ Gα Gβ = 0 trong đó 2α + 3β = k . Ch n (α0 , β0 ) trong đó Gi s 23 (α,β ) α0 là s nh nh t trong các α và β0 là s l n nh t trong các s β sao cho . . 2α0 + 3β0 = k . T 2 (α − α0 ) + 3 (β − β0 ) = 0 ta có α − α0 .3 và β − β0 .2 do . . λαβ Gα−α0 Gβ −β0 = đó α − α0 = 3m và β − β0 = −2n suy ra m = n. T đó 2 3 n −n m G3 λαβ G3 G2 0⇔ =0⇔ =0. λαβ 2 2 3 G2 3 G3 N u λαβ không đ ng th i b ng không thì = c. Khi đó 2 G2 3 T i ita có G3 = 0 và G2 = 0 ( vô lý ). T i ρ ta có G2 = 0 và G3 = 0 ( vô lý ). V y h sinh trên là m t h đ c l p tuy n tính, t c là Gα Gβ , α, β ∈ Z, α, β 0, 2α + 3 β = k 23 là m t cơ s c a Mk .
17 TÀI LI U THAM KH O [1] Hà Huy Khoái , Bài gi ng hình h c s h c , Trư ng đ i h c Quy Nhơn. [2] Wolfgang M.Schmidt, Equation over Finite Fields An Elementary Ap- proach NewYork 1976.