Tiểu luận:Ứng dụng lý thuyết galois trong phép dựng hình

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

237
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'tiểu luận:ứng dụng lý thuyết galois trong phép dựng hình', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tiểu luận:Ứng dụng lý thuyết galois trong phép dựng hình

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA NG D NG LÝ THUY T GALOA TRONG PHÉP D NG HÌNH TI U LU N LÝ THUY T TRƯ NG Quy nhơn, tháng 12 năm 2009
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN ********* HÀ DUY NGHĨA NG D NG LÝ THUY T GALOA TRONG PHÉP D NG HÌNH CAO H C TOÁN KHÓA 11 Chuyên ngành: Đ i s và lý thuy t s TI U LU N LÝ THUY T TRƯ NG Ngư i hư ng d n khoa h c TS. NGUY N THÁI HÒA Quy nhơn, tháng 12 năm 2009 i
M CL C Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i M cl c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L im đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1 Ki n th c cơ s 4 1.1 M r ng Galoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khái ni m m r ng Galoa và ví d ............ 4 1.1.2 Các đ c trưng c a m r ng Galoa ............ 4 1.2 M r ng căn và m r ng căn b c hai . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 M r ng căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 M r ng căn b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2 áp d ng lý thuy t galoa trong phép d ng hình 12 2.1 Khái ni m và tính ch t v đi m và s d ng đư c . . . . . . . . . 12 2.2 M t s bài toán áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Bài toán 1: Chia ba m t góc . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Bài toán 2: G p đôi m t hình l p phương . . . . . . . . . 15 2.2.3 Bài toán 3: C u phương đư ng tròn . . . . . . . . . . . . 16 Bài toán 4: Chia đư ng tròn thành n ph n b ng nhau . . 2.2.4 16 2.3 M t vài phép d ng hình c th .................. 18 2.3.1 D ng đa giác đ u 5 c nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 D ng đa giác đ u 15 c nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 D ng đa giác đ u 17 c nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1
L IM ĐU Lý thuy t Galoa là m t trong nh ng lý thuy t đ p đ nh t c a đ i s , nó t p h p nhi u ki n th c và phương pháp c a các lĩnh v c toán h c khác nhau nh m gi i quy t bài toán c đi n và nh ng v n đ quan tr ng khác c a đ i s hi n đ i. M t trong nh ng ng d ng ch y u đó là tìm nghi m căn th c c a phương trình đa th c, đ c bi t ch ra đư c phương trình b c l n hơn b n không th gi i đư c b ng căn th c. M t khác, lý thuy t Galoa cho phép xác đ nh đa giác đ u n c nh d ng đư c b ng thư c k và compa và l i gi i cho bài toán d ng hình c đi n. ng d ng c a lý thuy t Galoa trong Ti u lu n này tôi gi i thi u v phép d ng hình, ti u lu n g m 2 chương cùng v i ph n m đ u, k t lu n và danh m c các tài li u tham kh o. Chương 1: Gi i thi u m t khái ni m v m r ng Galoa, các đ nh lý c a m r ng Galoa , trong đó m r ng căn b c hai là ph n ng d ng quan tr ng cho lý thuy t d ng hình chương sau. Chương 2: Là ph n chính c a ti u lu n, ph n đ u c a chương gi i thi u v đi m d ng đư c, s d ng đư c,ch ng minh t p h p các s d ng đư c l p thành m t trư ng, và đ c bi t ch ng minh đ nh lý v đi u ki n đ v s d ng đư c. Ph n sau c a chương là áp d ng lý thuy t đ gi i quy t các bài toán d ng hình c đi n và các bài toán d ng hình c th . Ki n th c trong chương này đư c tham kh o t tài li u [1],[2]. M c dù b n thân đã r t c g ng trong h c t p, nghiên c u và đư c s hư ng d n nhi t tình c a th y giáo hư ng d n, nhưng do năng l c c a b n thân và th i gian còn h n ch nên ti u lu n khó tránh kh i nh ng thi u sót. Tôi r t mong nh n đư c s góp ý c a quý th y cô và các b n đ ti u lu n đư c hoàn thi n hơn. 2
Cu i cùng tôi xin chân thành c m ơn TS. Nguy n Thái Hòa ngư i đã t n tình giúp đ , cùng t p th l p cao h c toán khoá 11 t o đi u ki n cho tôi hoàn thành ti u lu n này. . Tác gi 3
Chương 1 KI N TH C CƠ S 1.1 M r ng Galoa 1.1.1 Khái ni m m r ng Galoa và ví d Đ nh nghĩa 1.1.1. M r ng b c h u h n F c a trư ng K đư c g i là m r ng Galoa n u nó là chu n t c và tách đư c. Ví d 1.1.2. 1) Trư ng chia đư ng tròn Rn trên Q là m t m r ng Galoa v i nhóm Galoa đ ng c u v i nhóm nhân Z∗ các l p kh ngh ch. n 2) Trư ng h u h n Fq , q = pn là m r ng Galoa trên trư ng con nguyên t Zp . Nó có nhóm Galoa G = G(F/Zp ) là nhóm xyclic sinh b i t đ ng c u ψ : a −→ ap v i m i a ∈ Fq . 1.1.2 Các đ c trưng c a m r ng Galoa Đ nh lý 1.1.3. Cho F là m r ng b c h u h n trên K v i nhóm Galoa G. Khi đó các đi u ki n sau tương đương: (i) F là m r ng Galoa trên K . (ii) K = F G (nghĩa là t p các ph n t c a F b t bi n dư i m i t đ ng c u c a nhóm Galoa G đúng b ng K ). (iii) C p c a nhóm Galoa G đúng b ng b c c a m r ng [F : K ]. Ch ng minh. (i) ⇒ (ii) N u F là m r ng Galoa trên K thì F là trư ng nghi m c a m t đa th c tách đư c trên K ( [1], H qu 6.3 ). Khi đó theo ([1], Đ nh lý 1.3) ta có (ii). (ii) ⇔ (iii) Gi s c p c a G b ng n. Khi đó theo ([1], M nh đ 3.1.1),ta 4
có n = F : F G . B i v y n u F G = K thì hi n nhiên n = [F : K ]. Ngư c l i, n u n = [F : K ] thì [F : K ] = F : F G , do đó K = F G (vì K ⊂ F G ). (iii) ⇒ (i) Do F là m r ng b c h u h n trên K nên F đ i s trên K . Gi s α là ph n t tùy ý thu c F . Ta s xây d ng đa th c t i ti u p(x) c a nó. G i α = α1 , α2 , ..., αm là t t c các nh phân bi t c a α b i các t đ ng c u σ thu c G. αi = σi (α) và σ1 = idF Đt Khi đó m ≤ n (n là c p c a G và b ng [F : K ]). Xét đa th c p(x) = (x − α1 )(x − α2 )...(x − αm ) (1.1) Các h t c a p(x) là nh ng đa th c đ i x ng cơ b n c a các αi , vì v y chúng là b t bi n đ i v i các t đ ng c u σ ∈ G (do m i σ c m sinh m t phép th trên t p h p {α1 , α2 , ..., αm }). Nghĩa là các h t này thu c K (do (iii) ⇔ (ii)). V y p(x) ∈ K [x]. N u g (x) ∈ K [x] là nhân t b t kh quy c a p(x) nh n α = α1 làm nghi m thì g (x) cũng nh n m i ph n t liên h p c a nó αi = σi (α) làm nghi m. Đi u này ch ng t p(x) chia h t g (x) và do đó p(x) = g (x) (vì g (x) là b t kh quy). Như v y p(x) là đa th c t i ti u c a α và đi u đó ch ng t tính tách đư c c a F trên K .Bây gi gi s q (x) là đa th c b t kh quy trên K và có m t nghi m α ∈ F . Theo ch ng minh trên p(x) chính là đa th c (1.1), nó phân rã hoàn toàn trong F . Đi u này ch ng t tính chu n t c c a F trên K . Đ nh lý 1.1.4. Trư ng F là m r ng Galoa trên trư ng K khi và ch khi F là trư ng nghi m c a đa th c tách đư c trên K . Ch ng minh. Đi u ki n c n chính là ([1],H qu 2.62). Ngư c l i, n u F là trư ng nghi m c a đa th c tách đư c thì ([1], Đ nh lý2.6.5) c p c a nhóm Galoa G = G(F/K ) b ng b c c a m r ng [F : K ]. Khi đó theo Đ nh lý 1.1.3, F là m r ng Galoa trên K . Nh n xét 1.1.5. Đ nh lý trên cho ta m t d u hi u ti n l i đ nh n bi t m t m r ng Galoa . Nó cho th y h u h t nh ng m r ng trư ng mà chúng ta 5
thư ng g p đ u là nh ng m r ng Galoa. Ch ng h n, m i đa th c p(x) b t kh quy trên trư ng K có đ c s 0 đ u là tách đư c do đó trư ng nghi m c a đa th c đó là m t m r ng Galoa trên K . Nh n đ nh trên có th phát bi u trong h qu sau. 1.1.6. N u trư ng F là m r ng c a trư ng K có đ c s 0 thì các H qu đi u sau tương đương: (i) F là m r ng Galoa. (ii) F là m r ng b c h u h n và chu n t c. (iii) F là trư ng nghi m c a m t đa th c nào đó trên K . Ch ng minh. (i) ⇔ (ii) N u K có đ c s 0 thì m i m r ng chu n t c đ u là m r ng tách đư c . Do đó ta có (i) ⇔ (ii). (ii) ⇔ (iii) là n i dung c a ([1],Đ nh lý 2.6.1). liên h p). Cho F là m r ng Galoa trên Đ nh lý 1.1.7 (V các ph n t K . Khi đó hai ph n t c a F liên h p trên K khi và ch khi t n t i K −đ ng c u bi n m t ph n t thành ph n t khác. Ch ng minh. Gi s c là ph n t tùy ý c a m r ng chu n t c F trên K . Xét các ph n t ϕ1 (c) = c, ϕ2 (c), ..., ϕn (c) (1.2) trong đó ϕ1 = idF , ϕ2 , ..., ϕn là t t c các t đ ng c u thu c nhóm Galoa G = G(F/K ). V i m i t đ ng c u các ph n t c a dãy (1.2) bi n thành dãy ϕϕ1 (c), ϕϕ2 (c), ..., ϕϕn (c) t c là m t hoán v nào đó c a dãy (1.2). Vì v y các h t c a đa th c n (x − ϕi (c)) g (x) = i=1 gi b t đ ng v i m i ph n t ϕ, do đó thu c trư ng K . Do c = ϕ1 (c) nên đa th c g (x) và đa th c t i ti u p(x) c a c có nghi m chung 6
(khi đó do đa th c p(x) b t kh quy nên g (x) chia h t cho p(x)). M t khác theo ([1],B đ 2.6.4) các ph n t ϕ1 (c), ϕ2 (c), ..., ϕn (c) (có th trùng nhau) liên h p v i c, nên cũng là nghi m c a p(x). B i v y m i nghi m c a g (x) đ u là nghi m c a p(x). Gi s g (x) = [p(x)]k [q1 (x)]k1 ...[qr (x)]kr B i vì m i nghi m c a g (x) là nghi m c a p(x) và không m t nghi m nào c a các đa th c qi (x)(i = 1, ..., r) có th là nghi m c a p(x) (do tính b t kh quy c a m i đa th c này), nên các đa th c qi (x)(i = 1, ..., r) không th có nghi m, t c là qi (x) = 1. V y g (x) = [p(x)]k T đó đ c bi t suy ra r ng các ph n t ϕ1 (c), ϕ2 (c), ..., ϕn (c) vét c n h t (có th có s l p l i) t t c các liên h p c a c. 1.2 M r ng căn và m r ng căn b c hai 1.2.1 M r ng căn Đ nh nghĩa 1.2.1. M r ng F c a trư ng cơ s K g i là m r ng căn n u t n t i dãy m r ng K = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ Ks = F (1.3) n sao cho Ki = Ki−1 (θi ), θi i = ai ∈ Ki−1 . Lưu ý r ng trong dãy trên m i trư ng con Ki có th không là m r ng chu n t c c a trư ng con Ki−1 , cũng như trư ng con F có th không là chu n t c trên K B đ 1.2.2. Gi s K là trư ng tùy ý, E là m r ng chu n t c có b c h u h n trên K và F là m r ng chu n t c có b c h u h n trên E . Khi đó F là m 7
r ng chu n t c trên K n u và ch n u F là trư ng nghi m trên E c a m t đa th c trên K . Ch ng minh. (⇒) N u F là m r ng chu n t c trên K thì F là trư ng nghi m c a đa th c f (x) ∈ K [x]( [1], Đ nh lý 2.6.1) và vì v y F là trư ng nghi m c a đa th c f (x) trên E . (⇐) Ngư c l i gi s r ng F = E (u1 , ..., un ) trong đó u1 , ..., un là m i nghi m c a m t đa th c g (x) ∈ K [x],E = K (v1 , ..., vm ) trong đó v1 , ..., vm là m i nghi m c a g (x). Khi đó F = (v1 , .., vm , u1 , ..., un ) nghĩa là F là trư ng nghi m c a đa th c f (x).g (x) ∈ K [x] và do đó F chu n t c trên K . Đ nh lý 1.2.3. M i m r ng căn F c a trư ng cơ s K đư c ch a trong m t m r ng F đ ng th i là m r ng căn và chu n t c trên K , khi đó ta nói r ng F là m r ng căn và chu n t c trên K . Ch ng minh. Ch ng minh đ nh lý b ng cách quy n p theo đ dài c a dãy(1.3) V i s=1 ta có F = K1 = K (c), cm = a ∈ K . G i ζ căn nguyên th y b c m và xét m r ng F = K (c, ζ ), d th y F là trư ng nghi m c a th c xm − a, do đó F là chu n t c trên K . M t khácF có dãy m r ng căn K ⊂ K (ζ ) ⊂ K (ζ, c) V y đ nh lý đúng cho s = 1 Xét m r ng căn F v i dãy (1.3) có đ dài s > 1. B i vì E = Ks−1 là m r ng căn c a K v i đ dài s − 1 nên theo gi thi t quy n p t n t i m r ng căn E chu n t c trên K và ch a E , K ⊂ E ⊂ E . Theo gi thi t F = Ks là m r ng căn đơn c a tư ng E = Ks−1 , t c là F = E (θ ), θ n = u ∈ E . 8
Xét đa th c t i ti u g (x) c a u trên trư ng cơ s K , do E chu n t c và u ∈ E ⊂ E nên E ch a t t c cá nghi m u − 1 = u, u2 , ...., ur c a g (x). Đ i v i m i i = 1, 2, ..., r ta xét phương un − ui = 0. Gi s ci là nghi m tùy ý c a phương trình này, xét m r ng F = E (ζ, c1 , ..., cr ) trong đó ζ là căn nguyên th y b c n c a đơn v . Do c1 = θ nên F ⊂ F , hơn th n a trên trư ng E, F có dãy căn E = E − 0 ⊂ E 1 ⊂ ... ⊂ E r+1 = F (1.4) trong đó E 1 = E 0 (ζ ), E i = E i−1 (ci ), i = 1, 2, ..., r + 1 theo gi thi t quy n p E là m r ng căn c a K nên dãy căn b t đ u t K và E . Ti p n i dãy này v i dãy (1.4) ta đư c dãy căn b t đ u t K . k t thúc Như v y là F là m r ng căn c a K , Bây gi ta ch ng t F là m r ng chu n t c trên K . Xét đa th c G(x) = g (xn ). Th thì G(x) ∈ K [x]. Do G(x) = (xn − u1 )...(xn − un ) nên các ph n t c1 , c2 , ..., cr là nghi m c a đa th c G(x). M i nghi m còn l i c a đa th c này nh n đư c t phép nhân m i nghi m c1 , ..., cr v i các lũy th a c a ζ . Vì v y F ch a trư ng nghi m Q c a G(x) trên trư ng E . M t khác F = E (c1 , ..., cr ) ⊂ Q. V y F = Q, nghĩa là F là trư ng nghi m trên E c a đa th c G(x) ∈ K [x] theo B đ 1.2.2, F chu n t c trên K . Đ nh lý đư c ch ng minh. 1.2.2 M r ng căn b c hai Đ nh nghĩa 1.2.4. M t m r ng F c a trư ng K đư c g i là m r ng b c hai (M r ng Pythagore) n u F = K (u1 ,2 , ..., un ), trong đó u2 ∈ K và u2 ∈ 1 i K (u1 ,2 , ..., u1−1 ), (i = 2, .., n). M nh đ 1.2.5. B c [F : K ] c a m r ng căn b c hai là lu th a c a 2, t c là b ng 2n . 9
Ch ng minh. Th t v y n u u2 ∈ E và u ∈ E thì u là nghi m c a đa th c b t / kh quy x2 − a ∈ E [x] và do đó [E ( u ) : E ] = 2 . T đó, n u là m r ng căn b c hai c a K thì d dàng ch ng minh đư c đ ng th c [F : K ] = 2n . M nh đ 1.2.6. Gi s F là m r ng chu n t c trên K có b c [F : K ] = 2n , khi đó F là m r ng căn b c hai trên K . Ch ng minh. Theo gi thi t F là m r ng Galoa trên K v i nhóm Galoa G = G(F/K ) có c p 2n , ta th a nh n r ng m i nhóm có c p là lũy th a c a s nguyên t là gi i đư c. Như v y nhóm Galoa G là gi i đư c v i v i dãy gi i đư c G = H0 ⊃ H1 ⊃ ...Hn = {e} mà các thương Hi−1 /Hi là nhóm xiclic c p 2. Gi s K = K0 ⊂ K1 ⊂ Kn = F là dãy trư ng con tương ng c a trư ng F ta có [Ki : Ki−1 ] = 2 ⇒ Ki = Ki−1 (ui ). v i ui là nghi m c a đa th c x2 − a ∈ Ki − 1[x] đi u này ch ng t F là m r ng căn b c hai trên K . M nh đ 1.2.7. M i m r ng căn b c hai F trên K ch a trong m t m r ng căn b c hai chu n t c. Ch ng minh. Gi s F là m r ng căn b c hai chu n t c trên K , khi đó theo M nh đ 1.2.5 [F : K ] = 2n . Bây gi ta ch ng minh m nh đ quy n p theo n. 10
V i n = 1 thì F = K (u) v i u2 = K . Rõ ràng F là trư ng nghi m c a đa th c x2 − a ∈ K [x] nên F chu n t c trên K . V i n > 1, gi s F = K (u1 , u2 , ..., un )v i u2 ∈ K và u2 ∈ K (u1 , u2 , ..., ui−1 ), i = 1 i 1, 2..., n. Khi đó đ t u = un ta có F = E (u), E = K (u1 , u2 , ..., un−1 ), u2 ∈ E . Theo gi thi t quy n p, E ch a trong m r ng căn b c hai chu n t c E , Xét đa th c t i ti u f (x) c a u2 trên trư ng K , do u2 ∈ E và E chu n t c trên K nên trong E có s phân tích f (x) = (x − c1 )...(x − cm ) trong đó c1 = u2 ,Đ t g (x) = f (x2 ) th thì g (u) = 0. G i F là trư ng nghi m c a g (x) trên E . Do g (x) ∈ K [x] nên theo B đ 1.2.2 ta có F là chu n t c trên K , ngoài ra F ⊂ F , (F = E (u)) Sau cùng ta có F = E (γ1 , ..., γm ) trong đó γi2 = ci Do γi2 ∈ E nên γ 2 ∈ E (γ1 , ..., γi−1 ). Như v y F là m r ng căn b c hai c aE và do đó là m r ng căn b c hai c a K. 11
Chương 2 ÁP D NG LÝ THUY T GALOA TRONG PHÉP D NG HÌNH Trong chương này, chúng tôi s d ng lý thuy t m r ng trư ng đ tìm ra câu tr l i cho 3 bài toán d ng hình xu t hi n th i Hy L p c đ i và xét bài toán d ng đa giác đ u n-c nh b ng thư c k và compa. Ba bài toán d ng hình c đi n đó là: • Bài toán chia ba m t góc : Chia m t góc thành ba ph n b ng nhau. • Bài toán g p đôi hình l p phương : D ng m t hình l p phương có th tích g p hai l n th tích m t hình l p phương cho trư c. • Bài toánc u phương đư ng tròn : D ng m t hình vuông có di n tích b ng di n tích m t hình tròn cho trư c. 2.1 Khái ni m và tính ch t v đi m và s d ng đư c Đ nh nghĩa 2.1.1. Trong m t ph ng R2 cho 2 đi m P0 (0; 0), P1 (1; 0). M t đi m P ∈ R2 g i là d ng đư c b ng thư c k và compa n u t n tai dãy h u h n P0 , P1 , ..., Pn sao cho P = Pn và v i m i j ≥ 2 đi m Pj xác đ nh t Sj −1 = {P0 , P1 , ..., Pj1 } b i m t trong ba phép d ng sau. Giao c a hai đư ng th ng phân bi t, trong đó m i đư ng th ng qua 2 đi m b t kỳ c a Sj −1 Giao c a m t đư ng th ng qua hai đi m c a Sj −1 và đư ng tròn có tâm t i m t đi m Sj −1 có bán kính b ng kho ng cách gi a hai đi m trong Sj −1 . Giao c a hai đư ng tròn phân bi t, trong đó m i đư ng tròn có tâm t i đi m c a Sj −1 có bán kính b ng kho ng cách gi a hai đi m trong Sj −1 . 12
Đ nh nghĩa 2.1.2. M t đư ng th ng g i là d ng đư c n u nó đi qua hai đi m d ng đư c, m t đo n th ng g i là d ng đư c n u nó đi qua hai đi m d ng đư c, m t đư ng tròn g i là d ng đư c n u nó có tâm là m t đi m d ng đư c và có bán kính b ng kho ng cách gi a hai đi m d ng đư c. M t s th c x đư c g i là d ng đư c (b ng thư c k và compa) n u (x; 0) ∈ R2 d ng đư c, Khi đó đ dài c a đo n th ng d ng đư c là s th c d ng đư c. M t góc β g i là đ ng đư c n u cosβ là s th c d ng đư c. M nh đ 2.1.3. Đi m (a, b) d ng đư c khi và ch khi a, b d ng đư c. Ch ng minh. N u a, b d ng đư c, t c là các đi m (a, 0), (b, 0) d ng đư c, suy ra (0, b) d ng đư c. Đi m (a, b) d ng đư c vì nó là đi m th 4 c a hình bình hành có 3 đi m (0, 0), (a, 0), (0, b) d ng đư c. Ngư c l i n u (a, b) là đi m d ng đư c, xét hai đư ng tròn tâm (0, 0) và (1, 0) đi qua (a, b). Giao đi m c a chúng là (a, b) và (a, −b), đư ng th ng qua hai đi m này c t tr c hoành t i (a,0) nên (a,0) không d ng đư c. Đi m (0,b) d ng đư c vì nó là đ nh th 4 c a hình bình hành có 3 đi m (0, 0), (a, 0), (a, b) d ng đư c, suy ra (b, 0) d ng đư c. Đ nh lý 2.1.4. T p t t c các s d ng đư c là trư ng con c a trư ng R, Hơn √ n a, n u c d ng đư c và c > 0 thì c d ng đư c. Ch ng minh. G i E là t p t t c các s d ng đư c, cho a, b ∈ E ta có −a ∈ E , ngoài ra do (a, 0) và (b, 0) d ng đư c, đi m gi a Q = ( a+b , 0) d ng đư c. Giao 2 đi m c a tr c hoành và đư ng tròn tâm Q qua (0, 0) là (a + b, 0) do đó a + b d ng đư c. Đ ch ng minh ab ∈ E , ta ch c n xét trư ng h p ab = 0 và b = 1. Do (b − 1) d ng đư c nên đi m (0, b − 1) d ng đư c, do đó (a, b − 1) d ng đư c. Giao đi m c a đư ng th ng qua (0, b) và (a, b − 1) v i tr c hoành là đi m (ab, 0). V y (ab) d ng đư c. Ta ch ng minh r ng a−1 ∈ E , n u a = 0. Do a ∈ E ta có 1 − a ∈ E , hay 13
đi m (0, 1 − a) d ng đư c, do đó đi m (1,1-a) d ng đư c. Đư ng th ng qua (0, 1) và (1, 1 − a) c t tr c hoành t i (a−1 , 0). V y a−1 ∈ E . Đi u này suy ra E là m t trư ng. Cho c ∈ E và c > 0, do 1 (1 − c) là d ng đư c, đi m Q(0, 1−c ) d ng đư c. 2 2 Đư ng tròn tâm Q qua (0,1) c t tr c hoành t i hai đi m có t a đ (u, 0) và (−u, 0) v i u > 0. Theo đ nh lý Pythagore, ta có u2 + 1 (1 − c)2 = 1 (1 + c)2 , 4 4 √ √ suy ra u2 = c do đó u = c, v y c d ng đư c. Đ nh lý 2.1.5. Cho P = (α, β ) ∈ R2 , là đi m d ng đư c, khi đó [Q(α, β ) : Q] = 2r , v i r ∈ N. Ch ng minh. ChoP0 , P1 , ..., Pn là dãy h u h n các đi m d ng đư c. Đ t K0 = K1 = Q và Kj = Kj −1 (αj , βj ), v i 2 ≤ j ≤ n và Pj = (αj , βj ). D dàng th y đư c r ng các s th c αj , βj là nghi m c a đa th c b c 1 ho c b c 2 có h t trongKj −1 . Do đó [Kj : Kj −1 ] = 2t v i t ∈ N suy ra [Kn : Q] = [Kn : Q(α, β )][Q(α, β ) : Q] = 2m ,v i m ∈ N, Do đó Q(α, β ) : Q] = 2r , n ∈ N H qu 2.1.6. Nghi m c a đa th c p(x) b t kh quy trên trư ng K là d ng đư c b ng thư c và compa khi và ch khi b c c a trư ng nghi m E c a đa th c p(x) trên K là lũy th a c a 2. Ch ng minh. Th t v y, n u nghi m x0 c a p(x) là d ng đư c b ng thư c và compa thì nó ch a trong m r ng căn b c hai F c a K và do đó ch a trong m r ng căn b c hai chu n t c F . vì trư ng nghi m E chưa trong F và [F : K ] = 2n nên [E : K ] = 2m . Đi u ngư c l i hi n nhiên. 2.2 M t s bài toán áp d ng 2.2.1 Bài toán 1: Chia ba m t góc Cho góc α, hãy d ng góc α . 3 Gi i 14
z Đ t a = cos α và ta có u là nghi m c a phương trình 4x3 − 3x = a. Đ t x = 2 ta đưa phương trình trên v d ng f (x) = z 3 − 3z − 1 là b t kh quy trên Q = Q(1). Gi s f (z ) b t kh quy trên Q(a). G i v là m t nghi m c a f (z ) và F là trư ng nghi m c a nó ta có dãy m r ng trư ng Q(a) ⊂ Q(a, v ) ⊂ F T đó [F : Q] = [F : Q(a, v )][Q(a, v ) : Q(a)]. B i vì [Q(a)(v ) : Q(a)] = 3 nên [F : Q(a)] = 2m Do đó cos α là không d ng đư c , nghĩa là α là không d ng đư c . 3 3 2.2.2 Bài toán 2: G p đôi m t hình l p phương Hãy d ng c nh c a hình l p phương có th tích g p đôi th tích hình l p phương đơn v . Gi i G i a là c nh c a hình l p phương c n d ng. Th thì a là nghi m c a đa th c x3 − 2. Đa th c này b t kh quy trên Q. G i α là m t nghi m, còn F là trư ng nghi m c a đa th c này ta có dãy m r ng trư ng Q ⊂ Q(α) ⊂ F T đó [F : Q] = [F : Q(α)][Q(α) : Q]. B i vì [Q(α) : Q] = 3 nên [F : Q] = 2m Đi u này ch ng t bài toán không gi i đư c . 15
2.2.3 Bài toán 3: C u phương đư ng tròn D ng hình vuông có di n tích b ng di n tích hình tròn có bán kính 1(Nói √ cách khác là d ng đi m ( π, 0) trong R2 ). Gi i √ √ Vì ( π là siêu vi t trên Q nên [Q( π ) : Q] = ∞, do đó áp d ng Đ nh lý 2.1.5 √ ta suy ra không d ng đư c đi m ( π, 0) trong R2 . V y không th d ng đư c hình vuông có di n tích b ng hình tròn có bán kính cho trư c. Bài toán 4: Chia đư ng tròn thành n ph n b ng nhau 2.2.4 Đ gi i quy t bài toán này trư c h t ta ch ng minh b đ sau. B đ 2.2.1. N u n = p.q, (p, q ) = 1 thì đư ng tròn chia đư c thành n ph n b ng nhau khi và ch khi nó chia đư c thành p, q ph n b ng nhau. Ch ng minh. (⇒) Gi s chia đư c đư ng tròn thành n ph n b ng nhau, t c 2πR là d ng đư c cung . Khi đó ta có th vi t n 1 1 1 1 = q n và = pn p q 2πR 2πR ,q và vì v y các cung là d ng đư c . p (⇐) Gi s đư ng tròn chia đư c thành p, q ph n b ng nhau. Do p và q nguyên t cùng nhau nên t n t i các s nguyên u, v sao cho up + vq = 1 T đó chia c hai v c a đ ng th c ta đư c 1 1 1 =u +v n q p 2πR Đi u này ch ng t cung là d ng đư c . n Tr l i bài toán, không làm m t tính t ng quát ta gi s đư ng tròn có bán kính R = 1. Đ chia đư ng tròn thành n ph n b ng nhau ta c n d ng cos 2n π 16
2π G i ζ là căn nguyên th y b c n c a đơn v ta có thay cho góc . n 2π 2π ζ = cos + i sin n n 2π 2π ζ −1 = cos − i sin n n T đó 2π 1 = (ζ + ζ −1 ) ∈ Q(ζ + ζ −1 ) = Q0 cos n 2 B i v y theo M nh đ 1.2.5 ta có cos 2n d ng đư c khi và ch khi π [Q0 : Q] = 2r M t khác ta có [Q(ζ ) : Q(ζ + ζ −1 )] = 2 vì ζ và ζ −1 là các nghi m c a đa th c trên Q(ζ + ζ −1 ): x2 − (ζ + ζ −1 )x + 1 Do đó [Q(ζ ) : Q] = 2[Q(ζ ) : Q0 ] Do nh n đ nh v a nêu trên ta th y đ ng th c [Q(ζ ) : Q] = 2m là đi u c n và đ đ d ng đư c cos 2n . π V i nh ng kh o sát trên ta có th ch ng minh m nh đ sau 2.2.2. Đư ng tròn có th chia đư c thành n ph n b ng nhau b i M nh đ thư c k và compa n u và chi n u n có d ng n = 2k q1 ...qs r trong đó k là s t nhiên, còn qi là nh ng s nguyên t l d ng 22 + 1 (s nguyên t Phecma). 17
Ch ng minh. Theo b đ ta ch c n xét trư ng h p n = q k . Xét trư ng h p chia đư ng tròn Rn = Q(ζ ), ζ n = 1, ta có [Q(ζ ) : Q] = ϕ(n) = q k−1 (q − 1). M t khác theo nh n đ nh trên bài toán là gi i đư c khi và ch khi q k−1 (q − 1) = 2m . N u q = 2 thì đ ng th c trên x y ra khi k = 1 và q = 2m + 1. N u m = ab ,b l thì q = (2a )b + 1 = (2a + 1).M, M > 1 r Đi u này trái v i gi thi t q nguyên t . V y m = 2r và do đó q = 22 + 1. 2.3 M t vài phép d ng hình c th 2.3.1 D ng đa giác đ u 5 c nh Bài toán cũng có nghĩa là chia đư ng tròn thành năm ph n b ng nhau. Đ làm đi u đó ta c n d ng đo n th ng có d dài b ng cos 25 thay cho góc π 2π . 5 G i ζ là căn nguyên th y b c 5 c a đơn v ta có 2π 2π + i sin , i2 = −1. ζ = cos 5 5 và 2π 1 ζ + ζ −1 cos = 5 2 Ta c n tìm m r ng căn b c hai ch a cos 25 . Xét dãy các m r ng trư ng π Q ⊂ Q ζ + ζ −1 ⊂ Q (ζ ) = R5 Đa th c xác đ nh c a ζ trên Q là F5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1 18