zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tìm hiểu một số ứng dụng của phương trình vi phân

Chia sẻ: Huỳnh Mộc Miên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

56
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu về mô tả toán học các mạch điện thông qua các phương trình vi phân và tìm cách giải phương trình nhận được. Công cụ chủ yếu để giải quyết bài toán là sử dụng phép biến đổi Laplace, ứng dụng trong lĩnh vực Điện – Điện tử. Nội dung cụ thể của đề tài là nghiên cứu mạch điện RLC có các thành phần điện trở, cuộn cảm và tụ điện được mắc nối tiếp với nhau và nối vào một nguồn điện áp. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu một số ứng dụng của phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TÌM HIỂU MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS. Lê Hồng Lan Sinh viên thực hiện: Trần Văn Định Bùi Minh Chí Lớp: Toán ứng Dụng 60 Tóm tắt. Đề tài nghiên cứu về mô tả toán học các mạch điện thông qua các phương trình vi phân và tìm cách giải phương trình nhận được. Công cụ chủ yếu để giải quyết bài toán là sử dụng phép biến đổi Laplace, ứng dụng trong lĩnh vực Điện – Điện tử. Nội dung cụ thể của đề tài là nghiên cứu mạch điện RLC có các thành phần điện trở, cuộn cảm và tụ điện được mắc nối tiếp với nhau và nối vào một nguồn điện áp. Từ khóa: Phép biến đổi Laplace, hàm gốc, hàm ảnh Laplace, tích chập, định luật Kirchoff 2, phương trình mạch điện. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vi phân xuất hiện trong hầu hết các bài toán của các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế và nhiều ngành khoa học khác. Trong lĩnh vực Điện – Điện tử, các nhà khoa học thường nghiên cứu hoạt động của các mạch điện thông qua nghiên cứu các phương trình vi phân mô tả mạch điện. Một công cụ hiệu quả là sử dụng phép biến đổi Laplace, một biến đổi tích phân của hàm số từ miền thời gian thực sang miền tần số phức. Đây là phép biến đổi đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân, những phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong phân tích mạch điện. Liên quan đến phép biến đổi Laplace, là loại hàm gốc. Hàm f (t ) của biến thực t , được gọi là hàm gốc nếu thỏa mãn các điều kiện: + Hàm f (t ) liên tục hoặc liên tục từng khúc (có thể trừ ra một số hữu hạn điểm gián đoạn loại 1), + Nhận giá trị f (t ) = 0 với t  0  t + Tồn tại các hằng số dương M ,  0 , sao cho: | f (t ) | M e 0 , t : 0  t  +. . +  Khi đó, tích phân suy rộng: F ( p) = e− pt f (t ) d t , p = a + ib, (a   0 ) được gọi là ảnh 0 của f (t ) qua phép biến đổi Laplace. Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 282
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI 2. NỘI DUNG CHÍNH Mạch RLC là một mạch điện gồm một điện trở, một cuộn cảm và một tụ điện, mắc nối tiếp hoặc song song. R, L, C là những ký hiệu thông thường tương ứng với trở kháng, điện cảm và điện dung. Có thể sử dụng phép biển đổi Laplace để giải phương trình vi phân mô tả mạch RLC, một loại mạch điện phổ biến trong lý thuyết mạch: V- điện áp nguồn (V); I- cường độ dòng điện trong mạch (A) Phương trình mạch điện theo định luật Kirchhoff 2: vR ( t ) + vL ( t ) + vC (t ) = v (t ) (1) với vR ( t ) , vL ( t ) , vC ( t ) là điện áp tương ứng giữa 2 đầu của R, L và C còn v ( t ) là điện áp nguồn biến thiên theo thời gian t. Trong phần trình bày dưới đây, sẽ xét trường hợp trong đó mạch điện gồm R, L với giả thiết i ( 0 ) = 0 còn R, L là các giá trị không đổi. Theo Định luật Kirchhoff 2, phương trình mô tả loại mạch này có dạng: di(t ) (1)  L + Ri(t ) = V (t ) (2) dt Trường hợp 1. Xây dựng biểu thức của dòng điện i ( t ) khi v ( t ) = v0 = const. Từ biểu thức (2), ta có: R V ( t ) v0 i ( t ) + i (t ) = = (3) L L L Chuyển phương trình vi phân (3) về phương trình đại số thông qua biến đổi Laplace: I := I ( p ) = L i ( t ) , i ( 0) = 0 L i ( t ) = pI − i ( 0 ) = pI  v  v 1 L v ( t ) = 0  = 0 .  L L p Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 283
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI R v 1 ( 3)  pI + I = 0. L L p v0 1 .  R v0 1 L p v0 1 1  p+ I = . → I= = . .  L L p p+ R L p p+ R L L v 1 1 → I = 0{ − } R p p+ R L Sử dụng ảnh Laplace, biểu diễn của dòng diện có dạng: v0  − t  R i ( t ) = L I  = 1 − e L  . −1 R  Trường hợp 2. Xây dựng biểu thức của dòng điện i ( t ) khi v ( t ) = v0 sin t ,  = const. Từ phương trình mạch điện: di (t ) L + Ri (t ) = V (t ) dt R V ( t ) v0 sin t  i ( t ) + i (t ) = = (4) L L L Chuyển phương trình vi phân (4) về phương trình đại số: I := I ( p ) = L i ( t ) L i ( t ) = pI − i ( 0 ) = pI ,  L sin  t = p + 2 2 R v  ( 4)  pI + I= 0 2 L L p + 2 v0 1  → I ( p) = . 2 ( 5) L R  p + 2  p +   L  := F2 ( p ) := F1 ( p ) Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 284
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI Để tìm dòng điện i ( t ) mà ảnh là I ( p ) định bởi (5), áp dụng tính chất về tích chập: L ( f1 * f 2 )( t ) = F1 ( p ) .F2 ( p ) v0 −1 1  i ( t ) = L−1 I  = L { }  L−1{ 2 } L  R p + 2  p+   L Biến đổi Laplace ta được: v0 − RL t i (t ) = e  sint L t t R v0 − RL (t −u ) v0 − RL t (u ) = e sinu du = e   e L sinu du L 0 L 0 J Tính tích phân J bằng phương pháp tích phân từng phần, ta có: t R (u ) J = e L sinudu 0 L2 L2 R R t LR t =− 2 e cost + 2 e sint + 2 L L R + L2 2 R + L2 2 R + L2 2 Từ kết quả này, nhận được biểu thức mô tả dòng điện: R − t −v0 L vR v L e L i (t ) = cost + 2 0 2 2 sint + 02 R +L 2 2 2 R +L R + L2 2 v  − t  R = 2 0 2 2  Rsint − Lcost + L e L  . R +L   3. KẾT LUẬN Qua việc học tập, nghiên cứu để thực hiện đề tài, chúng em đã tìm hiểu được một số ứng dụng của phương trình vi phân, biết cách áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân trong lý thuyết mạch điện. Lý thuyết về hàm biến phức và phép biến đổi Laplace là một nội dung quan trọng liên quan đến phương trình vi phân. Các nội dung nghiên cứu là rất cần thiết đối với sinh viên ngành Toán ứng dụng. Kỷ yếu nghiên cứu khoa học sinh viên năm 2021 285

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.