Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I như quy luật tăng và giảm, định luật II Newton làm mát vật thể, phản ứng hóa học, mạch điện đơn giản, tìm quỹ đạo trực giao của họ đường cong,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 3: Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: 2 tiết
2 Nội dung bài học
3 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Gọi x(t) là số lượng của một đối tượng nào đó ở thời điểm t. Giả sử rằng sự thay đổi số lượng này lại tỉ lệ thuận với chính số lượng đó ở thời điểm đó. PTVP mô tả sự thay đổi này có dạng: dx  K  x (1) –Trong đó K là hệ số tỉ lệ, là một hằng số dt dx dx 1   K  dt     K  dt  ln x  Kt  ln C  x  C  e K t x x Với điều kiện ban đầu: x(0) = x0, ta có C = x0 Vậy quy luật số lượng x(t) là: x  x0  e K t (2)  (2) thể hiện số lượng của đối tượng tại bất kz một thời điểm t nào
4 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I K t x  x0  e (2) 1) Nếu K>0, thì số lượng x sẽ tăng trưởng khi thời gian t tăng trong (2). PT (2) thể hiện sự tăng trưởng tại bất kz thời điểm t nào. Sự tăng trưởng theo hàm mũ. Ví dụ: Số lượng vi khuẩn trong môi trường nuôi cấy phát triển theo cấp số nhân trong điều kiện lý tưởng.   t 2) Nếu K0, thì: x  x0  e (3) Có nghĩa là số lượng x sẽ giảm sút khi thời gian t tăng trong (3). PT (3) thể hiện sự sụt giảm tại bất kz thời điểm t nào. Sự sụt giảm theo hàm mũ. Ví dụ: thí nghiệm cho thấy rằng một chất phóng xạ bị phân hủy với tốc độ tỷ lệ với lượng chất có mặt tại bất kz thời điểm nào.
5 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I x  x0  e K t x  x0  e t
6 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Trong môi trường nuôi cấy nấm men, nếu chất lên men hoạt động tự tăng gấp đôi trong 3 giờ, thì nó sẽ tăng lên theo tỉ lệ nào trong 15 giờ với giả thiết rằng số lượng tăng với tốc độ tỉ lệ với chính nó?
7 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Nếu 30% chất phóng xạ biến mất trong 10 ngày, thì sau bao lâu 90% chất đó sẽ biến mất?
8 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Uranium phân hủy với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của nó theo thời gian. Nếu M1 và M2 là lượng uranium lần lượt tại các thời điểm T1 và T2, hãy xác định chu kz bán rã của uranium.
9 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Ví dụ của việc làm mát: - Nếu để một tách trà nóng trong phòng, nó sẽ nguội đi do nhiệt độ không khí xung quanh - Nếu một thanh kim loại nóng được nhúng vào một bồn nước, thì thanh kim loại này nguội đi do nhiệt độ của nước xung quanh  Định luật Newton của việc làm mát Định luật làm mát của Newton phát biểu rằng tốc độ thay đổi nhiệt độ T của một vật thể (nóng) tỷ lệ với sự chênh lệch giữa T và nhiệt độ Ts của môi trường xung quanh (không khí, nước, v.v.). Nhiệt độ trung bình xung quanh được gọi là nhiệt độ môi trường xung quanh PTVP mô tả sự thay đổi này có dạng: dT    T  Ts  (4) –Trong đó λ>0 là hệ số tỉ lệ, là một hằng số dt
10 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I dT    T  Ts  (4) dt dT d T  Ts   4    dt      dt  ln T  Ts   t  ln C T  Ts T  Ts  T  Ts  T  Ts  t  t  ln     t   e  T  Ts  Ce  C  C Với điều kiện ban đầu: T(t=0) = T0, ta có C = T0 –Ts Vậy quy luật nhiệt độ T(t) là: T  t   Ts  T0  Ts  e  t ;   0 (5) Khi t∞ thì e–λt 0, suy ra T Ts, có nghĩa sau 1 thời gian dài nhiệt độ của vật sẽ bằng với nhiệt độ của môi trường bên ngoài.
11 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Vật nóng lạnh đi trong không khí với tốc độ tỷ lệ với sự chênh lệch giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ của không khí xung quanh. Nếu không khí được duy trì ở 20°C và vật lạnh đi từ 100°C đến 75°C trong 10 phút, thì khi nào nhiệt độ của nó là 25°C? Nhiệt độ của nó sẽ là bao nhiêu trong nửa giờ kể từ khi nó bắt đầu nguội từ 100°C?
12 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Một tách cà phê ở 80°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C và nó nguội xuống 50°C trong 5 phút. Tìm nhiệt độ của nó sau khoảng thời gian 5 phút nữa. Phải mất thêm bao nhiêu thời gian nữa để nhiệt độ của cà phê sẽ giảm về 25°C.
13 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Nồng độ muối trong dòng Lưu lượng nước muối chảy vào là s1 (gram/lít) Vòi chảy vào chảy vào là l1 (lít/phút) Ban đầu trong bể có l (lít) nước muối Lượng muối ban đầu trong bể là s (gram) Vòi chảy ra Lượng muối tại thời điểm t là x(t) (gram) Lưu lượng nước muối Hỗn hợp được khuấy đều liên tục chảy ra là l2 (lít/phút) để đảm bảo đồng chất (nồng độ là như nhau tại mọi nươi trong bể)
- Gọi x là lượng muối trong bể tại mỗi thời điểm t 𝐺𝑟𝑎𝑚 14 dx 𝐺𝑟𝑎𝑚  Độ biến thiên muối = Lượng muối đi vào – Lượng muối thoát ra dt 𝑃ℎú𝑡 𝐺𝑟𝑎𝑚 - Lượng muối đi vào là: l1s1 𝑃ℎú𝑡 - Tính nồng độ muối trong bể, cũng là nồng độ muối trong chùm tia nước khi thoát ra khỏi vòi theo mỗi thời điểm t: x 𝐺𝑟𝑎𝑚 - Trong đó V là thể tích nước muối V  l   l1  l2  t 𝑙í𝑡 V 𝑙í𝑡 x 𝐺𝑟𝑎𝑚  Nồng độ muối trong bể là: l  l  l  t 1 2 𝑙í𝑡 l2 x 𝐺𝑟𝑎𝑚 - Lượng muối thoát ra là: l   l1  l2  t 𝑃ℎú𝑡 dx l2 x dx l2 Vậy quy luật độ biến thiên muối là:  l1s1     x  l1s1 (6) dt l   l1  l2  t dt l   l1  l2  t
dx l2 l2  dt l   l1  l2  t  x  l1s1 (6) Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính P  t   l   l1  l2  t ; Q  t   l1s1 l2 l  P  t  dt   l   l1  l2  t dt  2 ln l   l1  l2  t  l1  l2 l2 e P  t  dt  l   l1  l2  t  l1 l2 l1  P  t  dt l2 1 l   l1  l2  t  l1 l2 l1  Q t  e dt  l1s1   l   l1  l2  t  l1 l2 dt  l1s1  l1  l2  l1  s1 l   l1  l2  t  l1 l2 l1  l2 l l  xe  P  t  dt   Q t  e  P  t  dt dt  C  x l   l1  l2  t  1 2  s1 l   l1  l2  t  1 l2  C l 2  l l 1  l2 l1 l2 Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: C  sl l1 l2  s1l l1 l2 l l1 l2  s  s1l  l2 l l1 l2  s  s1l  Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là: x  t   s1 l   l1  l2  t   l2 l   l1  l2  t  l1 l2 l2  l l  l2 l1 x  t   s1 l   l1  l2  t    s  s1l  1  2 1 t  (7)  l  15
16 Nếu lưu lượng nước muối chảy vào bằng với lưu lượng nước muối chảy ra (tốc độ chảy ra và vào bằng nhau): l1 = l2 dx l1  6     x  l1s1 (8) l2 Dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính P  t   ; Q  t   l1s1 dt l l l1 l1    l P t dt  dt  l t l1 e P  t  dt t e l l1 l1 l1  P  t  dt l lt  Q  t  e dt  l1s1   e dt  l1s1  l1  e  s1le t t l l l1 l1 l  xe    Q t  e P  t  dt P  t  dt  1t  s1le  C  x  t   s1l  Ce t t dt  C  x  e l l l Với điều kiện ban đầu: x(t=0) = s, ta có: C   s  s1l  l  1t Vậy quy luật xác định hàm lượng muối trong bể x(t) là: x  t   s1l   s  s1l  e l (9)
17 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Một bể chứa 100 gallon nước muối được tạo ra bằng cách hòa tan 60 lbs muối trong nước. Nước muối có chứa 1 lb muối mỗi gallon chảy vào bể với tốc độ 2 gallon mỗi phút. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy. Hỗn hợp chảy ra với tốc độ 3 gallon mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi hết 1 giờ.
18 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Một bể chứa 100 lít nước ngọt. Nước muối chảy vào với tốc độ 2 lít mỗi phút và nó chứa 1 g muối mỗi lít. Hỗn hợp được giữ đồng nhất bằng cách khuấy và nó chảy ra với tốc độ 1 lít mỗi phút. Tìm khối lượng muối khi bể chứa đạt 150 lít nước muối. Sau bao lâu thì khối lượng muối sẽ đạt 80 g?
19 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Không khí trong phòng 20 x 15 x 12 feet chứa 15% cacbon-di-oxit. Tìm phần trăm cacbon-di-oxit trong phòng khi kết thúc 30 phút không khí trong lành có 2% cacbon-đi-oxit đi vào và đi ra qua cửa sổ với tốc độ 24 ft3 trên phút.
20 Ứng dụng của Phương trình vi phân bậc I Xem xét một mạch điện đơn giản cấu tạo từ: - Một điện cảm L [H – Henry], - Một điện trở R [Ω – Ohms], - Một điện dung (tụ điện) C [F – Farads]. Một sức điện động E [V – Volts] được đặt vào mạch điện. Thông thường nguồn năng lượng điện là pin hoặc máy phát điện. Nếu nguồn năng lượng là pin thì E là hằng số. Nếu nguồn năng lượng là máy phát điện thì E là hàm của thời gian t (tính bằng giây). Cường độ dòng điện i đi qua đoạn mạch được đo bằng Ampe và điện tích (hoặc điện lượng) q trên tụ điện được đo bằng Coulombs.