Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I cung cấp cho học viên các kiến thức về khái niệm phương trình vi phân, phương trình vi phân đầy đủ, bậc của phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến, Điều kiện phụ để giải phương trình vi,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 1: Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: 2 tiết
2 Nội dung học phần
3 Vai trò của Phương trình vi phân trong Khoa học và 1. Tại sao Phương trình vi phân lại xảy ra trong Khoa học và Kỹ thuật? 2. Tại sao chúng ta phải quan tâm đến Phương trình vi phân. Chúng nói lên điều gì về các hiện tượng vật lý? 1. Kiến thức về vũ trụ vật chất bắt nguồn từ việc quan sát những thay đổi, không phải từ những đại lượng tuyệt đối, ví dụ: - Các lực không được xác định trực tiếp mà bằng cách đo chuyển vị hoặc thay đổi chiều dài của lò xo - Động lực của một hệ thống được suy ra từ những quan sát về sự thay đổi của vị trí - Khoảng cách được xác định bằng cách đo những thay đổi về góc, độ dài và cường độ ánh sáng
Định luật thứ hai của Newton về chuyển động, F = m.a, chứa gia tốc, là tốc độ thay đổi của vận tốc, mà nó lại là tốc độ thay đổi của vị trí. Tốc độ thay đổi là đạo hàm, vận tốc là đạo hàm thứ nhất của chuyển vị và gia tốc là đạo hàm thứ hai. Các đạo hàm vốn có trong công thức Newton về các định luật chuyển động. Tốc độ thay đổi là thước đo tức thời của sự thay đổi trên một đơn vị thời gian. Đây là đạo hàm, giá trị giới hạn của tỷ lệ giữa sự thay đổi của một đại lượng chia cho độ dài của khoảng thời gian mà sự thay đổi đã diễn ra. Điều quan trọng là tránh nhầm lẫn giữa khái niệm: số lượng thay đổi với tốc độ diễn ra thay đổi. Không nên nhầm lẫn giữa số lượng thay đổi với tốc độ thay đổi của số lượng: Nếu biết được tốc độ thay đổi, nghĩa là, nếu đã biết đạo hàm, thì giá trị gần đúng của lượng thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định là vi phân. Ví dụ, nếu dọc theo một trục cố định, x(t) đo độ dịch chuyển của một vật từ điểm gốc cố định O, thì x’ là vận tốc và vi phân dx = x'.dt sẽ xấp xỉ độ dịch chuyển xảy ra trong khoảng thời gian dt. Sự thay đổi vị trí xấp xỉ vi phân dx, nhưng tốc độ thay đổi vị trí là đạo hàm dx/dt 4
5 Đạo hàm cũng xuất hiện trong kỹ thuật và khoa học, nhờ các định luật bảo toàn hoặc định luật cân bằng. Trong những trường hợp bình thường, lượng vật chất trong một hệ thống kín là không đổi. Nếu lượng vật chất trong hệ thống thay đổi, thì đó phải là vật chất đã đi vào hoặc rời khỏi hệ thống. Trên thực tế, sự thay đổi thành phần của hệ thống phải được tính đến bằng việc đưa thành phần ấy qua ranh giới của hệ thống. Việc áp dụng định luật bảo toàn thường liên quan đến các đạo hàm hoặc tốc độ thay đổi. Tốc độ thay đổi của đại lượng bảo toàn cân bằng với tốc độ đi qua ranh giới của hệ. Thông thường, đường biên này được xác định bằng tốc độ dòng vào ít hơn tốc độ dòng ra.
6 2. Phương trình vi phân được viết để mô hình hóa một hệ thống trong thế giới thực. Nếu mô hình hợp lệ, nó chứa thông tin về hệ thống vật lý và các kỹ thuật toán học của phương trình vi phân trở thành công cụ mà thông tin đó được trích xuất từ mô hình. Sự thành thạo trong các kỹ thuật này cần được thúc đẩy bởi mong muốn hiểu, thiết kế và kiểm soát các hệ thống vật lý. Mục đích của phương trình vi phân không phải là lời giải, mà là thông tin có trong lời giải. Như chúng ta sẽ thấy, đôi khi việc trích xuất thông tin trực tiếp từ phương trình vi phân dễ dàng hơn là từ lời giải. Và mọi giải pháp không cần phải là một công thức chính xác. Đôi khi một giải pháp số là đủ, đôi khi là một biểu thức phân tích gần đúng
7 Phân loại đạo hàm (vi phân) Đạo hàm Đạo hàm Đạo hàm riêng dv u dt y v là 1 hàm của biến u là hàm của hơn 1 độc lập t biến độc lập (x,y,z,t,…)
8 Phân loại phương trình vi phân Phương trình vi phân Phương trình vi phân thường Phương trình đạo hàm riêng d v2 u u 2 2  6tv  1  2 0 dt 2 y 2 x Gồm 1 hoặc nhiều đạo Gồm một hay nhiều đạo hàm hàm toàn phần của của các hàm ẩn số theo một biến độc lập các hàm ẩn số theo nhiều biến độc lập
9 Khái niệm phương trình vi phân - Phương trình vi phân (PTVP) là một phương trình mà chứa đạo hàm của một hàm số chưa biết. Nghiệm của PTVP chính là hàm số mà thỏa mãn PTVP đó. - PTVP mà chỉ có một biến số thì được gọi là Phương trình vi phân thường (Ordinary Differential Equation - ODE) x là biến độc lập; y là biến phụ thuộc  Phương trình có chứa x, y, dy/dx  dy   PTVP thường bậc 1 là phương trình chứa f  x , y ,   0 (1) hàm x, hàm y và dy/dx  dx  dy - Ví dụ 1:  ax 2  by  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), tuyến tính (đối với y) dx dy - Ví dụ 2:  a yxb y  0 PTVP thường bậc 1 (dy/dx), phi tuyến (đối với y) dx
10 Phương trình vi phân đầy đủ d - Ví dụ 1: y  x   ax  b  y  x   0 2 dx d - Ví dụ 2: y  x  a  y  x  x  b y  x  0 dx y(x) là hàm ẩn x – biến độc lập
11 Bậc của phương trình vi phân d x t   x  t   et PTVP bậc 1, mũ 1 dt d 2 x t  d x t  2 5  2 x  t   cos  t  PTVP bậc 2, mũ 1 dt dt d x t  d x t  3 3   2 x 4 t   1 PTVP bậc 3, mũ 1 dt dt
12 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Một PTVP là tuyến tính nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa bằng 1, không có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó d x t  - Ví dụ 1:  x t   e t - PTVP tuyến tính dt (Bậc 1, mũ 1) d 2 x t  d x t  - Ví dụ 2:  5  2t 2 x  t   cos  t  - PTVP phi tuyến dt 2 dt (Bậc 2, mũ 1)  d x t   2 - PTVP phi tuyến   2t x  t   cos  t  2 - Ví dụ 3:  (Bậc 1, mũ 2)  dt 
13 Phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến Một PTVP là phi tuyến nếu hàm ẩn số và đạo hàm của nó xuất hiện với lũy thừa khác 1. Ngoài ra có thể có tích của hàm số và/hoặc đạo hàm của nó. d x t  - Ví dụ 4:  cos  x  t    e t - PTVP phi tuyến dt (Bậc 1, mũ 1) d 2 x t  d x t  - Ví dụ 5: 2 5  x t   2 - PTVP phi tuyến dt dt (Bậc 2, mũ 1) d x t  2 d x t  - Ví dụ 6: 2 5  x t   1 - PTVP phi tuyến dt dt (Bậc 2, mũ 1)
14 Điều kiện phụ để giải PTVP Nghiệm của phương trình vi phân: d x t  2 2  4 x  t   0  x  t   c1 sin  2t   c2 cos  2t  dt Tất cả các hàm số trên là nghiệm của PTVP, chúng khác nhau ở các hằng số c1, c2. Để xác định chính xác c1, c2 cần có thêm các điều kiện phụ:  d 2 x t    4x t   0 - PTVP bậc 2  dt 2 Để giải PTVP bậc n  x  0   a; x  0   b 2 điều kiện phụ ta cần n điều kiện  b phụ  x  t   sin  2t   a cos  2t  2
15 Phân loại PTVP theo điều kiện phụ Bài toán giá trị ban đầu Bài toán giá trị biên (Initial Value Problem) (Boundary Value Problem) • Các điều kiện thì không ở 1 Tất cả điều kiện là ở 1 điểm của biến độc lập điểm của biến độc lập • Giải bài toán này khó hơn bài toán giá trị ban đầu x  2 x  x  e 2t x  2 x  x  e 2t x(0)  1, x(0)  2.5 x(0)  1, x(2)  1.5 Giống Khác nhau nhau
16 Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng (2) Trong đó: • n là một số nguyên dương • a0, a1, a2, …, an-1, an là các hằng số • x là biến số Ví dụ: Thuật ngữ tiếng Anh:
17 Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng P  x  an x n  an 1 x n 1  an  2 x n  2   a2 x 2  a1 x  a0 R  x   (3) Q  x  bm x  bm 1 x  bm  2 x   b2 x  b1 x  b0 m m 1 n2 2 Trong đó: • n, m là các số nguyên dương • a0, a1, a2, …, an-1, an, b0, b1, b2, …, bm-1, bm là các hằng số • x là biến số Ví dụ:
18 Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng Các biểu thức mũ: Hàm số mũ: f  x  ax; a  0 Ví dụ:
19 Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng Công thức: Nếu: c  a b thì: b  log a c Hàm Logarithms: f  x   log a  x  ; a  0, x  0 f  x   log10  x   log  x  ; x0 f  x   log e  x   ln  x  ; x0 Các công thức:
20 Ôn tập về các hàm số sơ cấp thông dụng e x  e x Cos hyperbol: y  x   cosh x  Tính chất: 2 e x  e x Sin hyperbol: y  x   sinh x  cosh   x   cosh x 2 sinh x e x  e  x sinh   x    sinh x Tang hyperbol: y  x   tanh x   x x cosh x e  e tanh   x    tanh x cosh x e x  e  x Cotang hyperbol: y  x   coth x   x x sinh x e  e coth   x    coth x 1 2 sech   x   sech x Sec hyperbol: y  x   sech x   x x cosh x e  e csch   x    csch x 1 2 Cosec hyperbol: y  x   csch x   x x sinh x e  e