Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo)

Chia sẻ: Thiên Lăng Sở | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo) cung cấp cho học viên các kiến thức về phương trình Bernoulli, phương trình riccati, phương trình vi phân chính xác bậc nhất, các nhân tố tích phân,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng ngành cơ khí - Bài 1: Phương trình vi phân bậc I (tiếp theo)

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh 1 Khoa Công nghệ Cơ khí Bộ môn Cơ sở - Thiết kế Bài 1: Phương trình vi phân bậc I Thời lượng: 2 tiết
2 Nội dung bài học
3 Phương trình vi phân bậc I dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng:  P  x y  Q  x yn (17) dx - Nếu n=0 thì (17) trở về dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính - Nếu n=1 thì (17) trở về dạng I: Phương trình tách biến - Với n>1, viết lại phương trình (17) dưới dạng: 1 dy P  x   n dy 17   n  n1  Q  x   y  P  x  y1 n  Q  x  (17’) y dx y dx dz 1 n 1 dy  n dy 1 dz  n dy Đặt z=y1-n   1  n  y  1  n  y  y dx dx dx 1  n dx dx 1 dz dz  17 '   P  x z  Q  x   1  n  P  x   z  1  n  Q  x  (18) 1  n dx dx Dạng IV
4 Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau: cos x  y sin x  y cos x 3 2 dx
5 Phương trình vi phân bậc I dy 2  sin y   x  1 2 2 3 Giải phương trình vi phân sau: 2 y cos y dx x  1
6 Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau:  x sin 2 y  x 3 cos 2 y dx
7 Phương trình vi phân bậc I dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng:  P  x y2  Q  x y  R  x (19) dx - Nếu P(x) = 0 thì (19) trở về dạng IV: Phương trình vi phân tuyến tính - Nếu R(x) = 0 thì (19) trở về dạng V: Phương trình Bernoulli - Nếu R(x) ≠ 0 thì (19) không thể giải được bằng các phương pháp thông thường. Tuy nhiên nếu chúng ta có thể tìm được 1 lời giải là hàm u(x) của (19) bằng cách này hay cách khác, ta sẽ đặt ẩn phụ: 1 y  u  x  (20) z  x Từ đó ta có thể đưa phương trình (19) về dạng IV phương trình vi phân tuyến tính và từ đó tìm được hàm z(x). Khi đó nghiệm của (19) chính là (20)
8 y  u  x  1 Phương trình vi phân bậc I z  x dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng:  P  x y2  Q  x y  R  x (19) dx 2  20     2  19    2  P  u    Q  u    R  P  u 2   2   Qu   R dy du 1 dz du 1 dz 1 1 2u 1 Q dx dx z dx dx z dx  z  z  z z  z  2u 1  Q   Pu 2  Qu  R   P   2   du 1 dz   2 (21) dx z dx  z z  z   Pu 2  Qu  R  Do u(x) nghiệm của (19) nên ta có: du Suy ra: dx du 1 dz du  2u 1  Q 1 dz  2u 1  Q dz   2u 1  Q   21   2   P  2    2  P  2     z 2  P   2       2 Puz  P  Qz     2uP  Q  z  P dx z dx dx  z z  z z dx  z z  z dx   z z  z dz    2u  x  P  x   Q  x   z   P  x  dx  M  x N  x  N x  e  M  x dx  dx  C       e  M  x dx  z  x   y  u  x  dz   M  x z  N  x Dạng IV: e  N x  e  M  x dx  dx  C       dx M x dx  
9 Phương trình vi phân bậc I dy Là một PTVP bậc I mũ I có dạng:  P  x y2  Q  x y  R  x (19) dx Tóm lại, các bước giải: 1. Tìm một nghiệm riêng u(x) nào đó mà thoả mãn (19)  M  x   2u  x  P  x   Q  x  2. Đặt:   N  x    P  x  3. Nghiệm của phương trình là: e  M  x  dx y  u  x  (22)  N x  e  M  x dx  dx  C      
10 Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau: x  y2  2 y  3 dx
11 Phương trình vi phân bậc I dy Giải phương trình vi phân sau:  e  x y 2  y  e x dx
12 Phương trình vi phân bậc I dy y Giải phương trình vi phân sau:  x y   x5 3 2 dx x
13 Phương trình vi phân bậc I dy PTVP  f  x, y  có thể viết dưới dạng: M  x, y  dx  N  x, y  dy  0 dx (23) (23) được gọi là phương trình vi phân chính xác nếu tồn tại một hàm u(x,y) mà thoả mãn điều kiện du=M(x,y)dx+N(x,y)dy. Khi đó ta có du=0, thì nghiệm của phương trình (23) sẽ là: u(x,y)=c. Điều kiện cần và đủ để phương trình (23) được gọi là phương trình vi phân chính xác là: M  x, y  N  x, y   (24) y x
14 Phương trình vi phân bậc I 1. Đưa phương trình về dạng (23) M  x, y  dx  N  x, y  dy  0 2. Kiểm tra điều kiện (24), nếu thoả mãn thì đến bước 3 M  x, y  N  x, y   y x 3. Tính tích phân sau đây theo x với việc coi y là hằng số: F  x, y    M  x, y  dx (25) y  const 4. Tính tích phân sau đây theo y với việc coi x là hằng số:  F  x, y   G  x, y     N  x, y    dy (26) x  const  y  5. Nghiệm của phương trình là: F(x,y)+G(x,y)=C
15 Phương trình vi phân bậc I dy y sin 2 x Giải phương trình vi phân sau:  2 dx y  cos 2 x
16 Phương trình vi phân bậc I dy 5 x 4  3 x 2 y 2  2 xy 3 Giải phương trình vi phân sau:  4 dx 5 y  3x 2 y 2  2 x 3 y
17 Phương trình vi phân bậc I dy y e  4 x3 2 xy 2 Giải phương trình vi phân sau:  2 dx 3 y  2 xye xy 2
18 Phương trình vi phân bậc I Nhiều khi phương trình vi phân M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 không phải là dạng chính xác, nhưng chúng có thể được đưa về dạng chính xác bởi nhân nó với một hàm thích hợp μ(x,y). Hàm số như vậy gọi là nhân tố tích phân (NTTP).  μ(x,y).(M(x,y)dx+N(x,y)dy) là phương trình vi phân chính xác. Có một số cách chuẩn để tìm nhân tố tích phân của PTVP M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, tuy nhiên trong một số trường hợp có thể tìm thấy NTTP bằng cách kiểm tra sau khi nhóm một số hạng tử một cách thích hợp.
19 Phương trình vi phân bậc I (nt1) (nt2) (nt3) ydx  xdy x xdy  ydx  y xdy  ydx  d  xy  d  d  x 2 2 y  y x (nt4) (nt5) (nt6) xdy  ydx ydx  xdy  x xdx  ydy  d  x 2  y 2  1  d  ln xy   d  arctan  xy 2 x y 2 2  y (nt7) (nt8) (nt9) ydx  xdy  x xdy  ydx 1  x  y  xdy  ydx  1   d  ln   d  ln   d   xy  y x y 2 2 2  x y 2 2 x y  xy 
20 Phương trình vi phân bậc I Giải phương trình vi phân sau: ydx  xdy  3x y e dx  0 2 2 x3