zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Ứng dụng phép biến đổi Laplace tìm công thức nghiệm của phương trình vi phân bậc phân số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Ứng dụng phép biến đổi Laplace tìm công thức nghiệm của phương trình vi phân bậc phân số trình bày về ứng dụng của phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược để đưa ra công thức nghiệm tích phân cho một lớp phương trình vi phân bậc phân số có xung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng phép biến đổi Laplace tìm công thức nghiệm của phương trình vi phân bậc phân số

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TÌM CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Đỗ Lân1, Lê Thị Thúy2 1 Trường Đại học Thủy lợi 2 Trường Đại học Điện lực 1. GIỚI THIỆU CHUNG  DC u (t )  Au (t )  F (t , u (t ), ut ), t  0 (1) Trong báo cáo này, tôi trình bày về ứng   u (tk )  I k (u (tk )) (2) dụng của phép biến đổi Laplace và biến đổi u ( s )  g (u ( s ))   ( s ), s   h;0 Laplace ngược để đưa ra công thức nghiệm    (3) tích phân cho một lớp phương trình vi phân trong đó, u là hàm nhận giá trị trong không bậc phân số có xung. gian Banach X, ut là hàm trễ, tức là ut ( s )  u (t  s ), s   h;0 . Kí hiệu DC thể 2. NỘI DUNG BÁO CÁO hiện đạo hàm bậc phân số bậc . Toán tử A là Khái niệm đạo hàm bậc phân số lần đầu một toán tử đóng, sinh ra một nửa nhóm liên tiên được đề cập tới vào năm 1695 trong một tục mạnh còn F là một hàm phi tuyến. trao đổi giữa G.A. de L’Hospital và G.W. 2.1. Biến đổi Laplace Leibniz. Sau đó, khái niệm này đã được nhiều nhà toán học phát triển trong thế kỷ 18 và 19. Trong mục này, ta đưa ra định nghĩa và Trong khoảng 6 thập kỷ trở lại đây, giải tích một số tính chất cơ bản của phép biến đổi bậc phân số có vai trò quan trọng trong nhiều Laplace và Laplace ngược. lĩnh vực như vật lý, hóa học, cơ học, điện học, Định nghĩa 1: Biến đổi Laplace của một kinh tế, lý thuyết điều khiển, tín hiệu và xử lý hàm j (t ) với t > 0 được xác định bởi ảnh, ngành lý sinh, khí động học… +¥  ( s ) := ( Lj )( s ) = L [j(t )] ( s ) = j e-stj (t )dt , Chủ đề Giải tích bậc phân số (ở đây có ò 0 nghĩa là, giải tích của tích phân và đạo hàm s Î , Re s > 0 bậc , với  là một số thực hoặc phức bất kỳ) đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm do Định nghĩa 2: Biến đổi Laplace ngược các ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực được cho bởi công thức g +i¥ khoa học và kỹ thuật. Đồng thời, giải tích bậc 1 ( L-1 g )( s) = L-1 [ g ( s)] ( x) := sx ò e g ( s)ds,g > 0. phân số là một công cụ hữu ích cho việc giải 2pi g-i¥ quyết các phương trình vi phân và tích phân, Từ định nghĩa, ta thấy các toán tử L và cũng như các vấn đề khác của vật lý và toán L-1 là các toán tử tuyến tính và học. Sự phát triển và các ứng dụng của Phương trình vi phân - đạo hàm riêng bậc L-1Lj = j; LL-1 g = g . phân số có thể xem thêm trong các tài liệu Ta có các tính chất sau đây của biến đổi tham khảo [1], [3] và [4]. Laplace. (Xem trong [2]) Trong báo cáo này, sử dụng các phép biến Tính chất 1. Nếu L  f  t   f  s  , thì: đổi Laplace, tôi đưa ra định nghĩa nghiệm L  f '  t   sf  s   f  0  . tích phân cho hệ vi phân bậc phân số dạng 111
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 Tổng quát ta có: Do đó: L f  n  t   s f  s   s n n 1 f 0   1  1      1    1    Lu     etk Ik  u  0  k  s n2 f '  0   ...  f n1  0  .  ALu     L     . Tính chất 2. Giả sử f là một hàm liên tục Vậy: từng khúc (hàm xung) với các điểm xung là L u        1    I  A    0   g  u  0   1 tk ( k    N ) và L  f  t   f    . Khi đó:    1    I  A  1 L  f '  t   s f  s   f  0   e  k  tk Ik     I  A  L      .  e stk  f  tk   f  tk  . 1 (4) k Đặt S  t  và P  t  , t   , là các toán tử  Tính chất 3. Nếu L  f  t   f  s  và thỏa mãn: L  g  t   g  s  thì: L  S        1    I  A , 1 L  f  t   g  t   f  s  g  s  , L . P         I  A  .  1 1   ở đây, f  t   g  t  là tích chập của f  t  và Thay vào (4) ta có g  t  được xác định bởi công thức: Lu      L S       0  g  u  0   t f  t   g  t    f  t    g   d .  L S     e  I   L . P     L     .  tk  1 0 k 1 k  2.2. Công thức nghiệm của phương Áp dụng tính chất 2 và 3 của biến đổi trình vi phân bậc phân số có xung Laplace ngược ta thu được công thức nghiệm tích phân của bài toán (1) – (3): Để xác định biến đổi Laplace của DC  t  , u  t   S  t    0  g  u  0   ta đặt: 1  S  t  t  I  u  t  + k k k g  t   t  , 0tk t  1    t  t  s P  t  s  f  s, u  s  , us  ds , t  0.  1 thì: DC  t   g  t   u '  t  .  0 Ta có L  g  t      1 , nên: Gọi W . là C0 -nửa nhóm sinh bởi A , L  D0  t     g  t   u '  t   C  biểu diễn cụ thể của S và P được đưa ra trong [3]:  L  g  t   L  u  t    S  t  x      W  t   xd , =  1   u t   u  0 . 0 Bây giờ, ta xét bài toán 1  (3) . Đặt:  P  t  x       W  t   xd , x  X ,   t   f  t , u  t  , ut  . 0 Với    0;1 , biến đổi Laplace cho với  là hàm mật độ xác suất trên khoảng  phương trình 1 , ta thu được:  0,   , tức là,     0 và     d  1. 1 L .  u '     AL u      L      .  0  1      Cụ thể,  được xác định bởi: 112
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1      1  1    , 1 1 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] E.G. Bajlekova, (2001), Fractional Evolution 1    n  1       1 sin  n  . n 1   n1 Equations in Banach Spaces, PhD Thesis,  n1 n! Eindhoven University of Technology. [2] L. Debnath, D. Bhatta, (2007) Integral 3. KẾT LUẬN Transforms and their Applications(second ed.), Chapman & Hall, CRC. Do đặc thù của đạo hàm bậc phân số nên [3] R.N. Wang, D.H. Chena, T.J. Xiao, đối với hệ vi phân dạng 1  (3) , ta không Abstract fractional Cauchy problems with thể thu được các khái niệm nghiệm cổ điển almost sectorial operators, J. Differential hay nghiệm mạnh thông thường. Khái niệm Equations, 252 (2012), 202-235. nghiệm tích phân được xây dựng từ các biến [4] Y. Zhou, (2014) Basic Theory of Fractional đổi Laplace là một khái niệm đủ tốt để ta Differential Equations, World Scientific, nghiên cứu các vấn đề tiếp theo cho hệ vi Singapore. phân dạng 1  (3) . 113

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.