zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Phép biến đổi tích chập laplace và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

12
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Phép biến đổi tích chập laplace và ứng dụng đề cập tới thiết lập và nghiên cứu một lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Laplace. Qua đó ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình và hệ phương trình vi-tích phân dạng Volterra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép biến đổi tích chập laplace và ứng dụng

KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH CHẬP LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG ON THE LAPLACE CONVOLUTION TRANSFORM AND APPLICATIONS Lê Xuân Huy, Trần Văn Toàn Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp Đến Tòa soạn ngày 22/10/2021, chấp nhận đăng ngày 20/12/2021 Tóm tắt: Trong bài báo này đề cập tới thiết lập và nghiên cứu một lớp phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập Laplace. Qua đó ứng dụng vào việc giải một lớp các phương trình và hệ phương trình vi-tích phân dạng Volterra. Từ khóa: biến đổi Laplace, tích chập, phương trình Volterra Abstract: In this paper we introduce a class of integral transform related to convolution Laplace. As applications we apply this convolution transform to solve some classes of the Volterra integro-differential equations. Keywords: Laplace transform, convolution, Volterra equation 1. MỞ ĐẦU tôi sẽ thiết lập và nghiên cứu một lớp phép Phương trình vi phân và vi - tích phân luôn là biến đổi tích chập Laplace. Qua đó, chúng tôi đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm áp dụng vào việc giải một lớp các phương nghiên cứu. Những phương trình này thường trình, hệ phương trình vi-tích phân dạng được xuất hiện trong các bài toán vật lý, điều Volterra cùng những ví dụ số cụ thể. khiển tự động, nhiệt học... Để giải các phương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH CHẬP LAPLACE trình này, người ta thường sử dụng các phương pháp truyền thống. Tuy nhiên, không Biến đổi Laplace của hàm gốc k(x) là một phải lúc nào việc sử dụng các phương pháp đó hàm theo biến y được kí hiệu và xác định bởi cũng thực hiện được một cách dễ dàng. Trong (xem [1, 2, 3])  những năm gần đây, có nhiều nhóm nghiên ( Lk )( y )   k ( x)e xy dx, y  , Re y  0. cứu trong và ngoài nước đã xây dựng cách 0 giải các phương trình trên dựa vào phép biến Tuy nhiên trong nội dung bài báo này chúng đổi tích phân kiểu tích chập, tức là phép biến tôi chỉ nghiên cứu với y là số thực dương. đổi tích chập. Đó là các phép biến đổi tích Tích chập của hai hàm f và k đối với chập Fourier, Mellin, Fourier cosine, Fourier phép biến đổi Laplace được định nghĩa sine và Kontorovich-Lebedev (xem [4, 7, 8]) x hoặc các phép biến đổi tích chập suy rộng ( f * k )( x)   f ( y)k ( x  y)dy, x  0 Laplace (xem [5, 6]). Tuy nhiên, theo sự hiểu 0 biết của chúng tôi phép biến đổi tích chập và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa: Laplace (cổ điển) đến nay vẫn chưa được đề cập và nghiên cứu. Trong bài báo này, chúng L( f * k )( y)  ( Lf )( y)( Lk )( y), y  0. 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 33 - 2022
KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Định lý 2.1. Giả sử f và k là hai hàm liên tồn tại, liên tục và thuộc L1 (  ) . Suy ra tục thuộc không gian hàm khả tích L1 (  ). d  f * k  ( x) cũng thuộc L1 (  ) . Đây là Khi đó tích chập f * k cũng thuộc L1 (  ) và dx thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn điều kiện quan trọng để ta thiết lập và nghiên cứu phép biến đổi tích chập có dạng sau: f *k  f k . (2.1) L1 ( ) L1 ( ) L1 ( ) Tk : L1 (  )  L1 (  ) Chứng minh. Do k là hàm liên tục và thuộc  d  x L1 (  ) , nên k bị chặn trong  . Kết hợp f ( x) g ( x)  1    f ( y )k ( x  y )dy. (2.4)  dx  0 với f  L1 (  ) suy ra fk thuộc L1 (  ). Định lý 2.2. Giả sử f , k là hai hàm liên tục, x thuộc L1 (  ) và (1  y)( Lk )( y)  1, y  0. f *k   f ( y)k ( x  y)dy 0 Khi đó, tồn tại phép biến đổi ngược có dạng x   f ( y )k ( x  y ) dy  fk L1 ( . T 1 : L1 (  )  L1 (  ) ) 0  d  x Suy ra f * k tồn tại, liên tục. Ta có f ( x)  1    g ( y )k ( x  y )dy, (2.5)  dx  0   x f *k L1 (   f * k dx    f ( y)k ( x  y)dy dx trong đó k là liên hợp phức của k . ) 0 0 0  Chứng minh: Bằng cách sử dụng biến đổi    f ( y)k ( x  y ) dydx. (2.2) Laplace L lên hai vế của (2.4) và sử dụng 0 0 công thức biến đổi Laplace của đạo hàm Mặt khác, bằng cách đặt t  x  y, t   và (3.4.12) trong [3], ta có chú ý rằng k (t ) là hàm gốc nên    Lg  ( y)  L 1  d  0   f * k  ( x)  ( y ) k (t )  0, t  0, suy ra  k (t )dt  0, y  0.  dx   y  L  f * k  ( y)  yL  f * k  ( y)   f * k  (0) Do đó ta có  (1  y) L  f * k  ( y)  (1  y)( Lf )( y)( Lk )( y).   y Tương đương với  k ( x  y)dx   k (t )dt y (1  y)( Lk )( y)( Lg )( y)  (1  y)( Lk )( y)  Lf  ( y). 0 2 0     k (t )dt   k (t )dt   k (t ). (2.3) Kết hợp với giả thiết của Định lý 2.2, ta suy ra  Lf  ( y)  (1  y)  Lk  ( y)  Lg  ( y) y 0 0 Từ (2.2) và (2.3), ta suy ra     (1  y) L k * g ( y)  (1  y) L g * k ( y)   f *k    f ( y ) k (t ) dydt  d     L1 ( )  L 1   g * k ( x)  ( y ). 0 0  dx       f ( y ) dy  k ( y ) dt  f L1 ( k  . ) L1 ( ) 0 0 Từ đó suy ra phép biến đổi ngược có dạng Định lý đã được chứng minh.  d  Từ điều kiện của Định lý 2.1, tích chập f * k f ( x)  1   g * k dx.  dx    TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 33 - 2022 25
KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Tính chất 2.1. Giả sử f , k và k ' (đạo hàm ( Lf )( y)  (1  y)( Lf )( y)( Lk )( y)  ( Lh)( y). của k ) là các hàm thuộc L1 (  ) và k (0)  0 . Sử dụng công thức (3.4.12) trong [3] và điều Khi đó ta có các đánh giá sau kiện k (0)  0 , ta có Tk f  ( x)   f *(k  k ')  ( x), (2.6) ( Lf )( y )  ( Lh)( y)  L( f *(k  k '))( y). 1  (1  y)( Lk )( y )   f ( x)  g *(k  k ') ( x). (2.7) Từ đó tác động phép biến đổi Laplace ngược Trong đó k , k ' tương ứng là liên hợp phức ta nhận được công thức nghiệm của k , k '.  ( Lh)( y )  f ( x)  L1   ( x). 1  L(k  k ')( y )  Chứng minh. Ta chứng minh (2.6). Ta có: Ví dụ 1. Giải phương trình ( Lg )( y)  L(Tk f )( y)  d  x  (1  y) L( f * k )( y)  ( f * k )(0) f ( x)  1    f ( y )sin( x  y )dy  (1  y) L( f * k )( y)  L( f *(k  k '))( y)  dx  0  ( L f ) ( y ) (L (k ) (y ) y (L k ) (y ) ) .  cos x, x  0. (3.2) Mặt khác vì Áp dụng biến đổi Laplace L lên phương trình (3.2) và sử dụng các công thức (3.2.9), y( Lk )( y)  ( Lk ')( y)  k (0)  L(k ')( y) nên (3.2.10) trong [3], ta có L(Tk f )( y)  ( Lf )( y)( Lk )( y)  ( Lk ')( y) 1 y  ( Lf )( y) L(k  k ')( y)  L( f *(k  k '))( y). ( Lf )( y )  (1  y )( Lf )( y )  2 . y 1 y 1 2 Suy ra (2.6). Suy ra nghiệm của phương trình đại số này là Việc chứng minh công thức (2.7) là tương tự. y ( Lf )( y)  3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG y  y2 2 TRÌNH VI-TÍCH PHÂN VOLTERRA 1 7 y 2 1 2 Trong phần này, bằng cách sử dụng phép biến  2  2 .  1 7 7 1 7 đổi tích chập Laplace (2.4) chúng ta có thể y   y    2 4  2 4 giải một lớp các phương trình và hệ phương Kết hợp các công thức (3.4.3), (3.4.4) trong trình vi-tích phân Volterra. [3] và sử dụng biến đổi Laplace ngược, ta 3.1. Giải phương trình vi-tích phân Volterra nhận được nghiệm của phương trình là a) Xét phương trình vi-tích phân có dạng  x 7 1  2x 7 f ( x)  e 2 cos x e sin x.  d  x 2 7 2 f ( x)  1    f ( y )k ( x  y )dy  dx  0 b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng  h( x), x  0. (3.1)  d  x f ( x)  f '( x)  1    f ( y)k ( x  y )dy  h( x), Trong đó k ( x), h( x) là các hàm cho  dx  0 trước, k (0)  0 , f ( x) là ẩn hàm cần tìm. x  0 , f ( 0) 0 . (3.3) Bằng cách tác động phép biến đổi Laplace L Trong đó k ( x), h( x) là các hàm cho trước, lên hai vế của phương trình (3.1), ta được f ( x) là ẩn hàm cần tìm. 26 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 33 - 2022
KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ Bằng cách tác động phép biến đổi Laplace L Trong đó k1 ( x), h1 ( x), k2 ( x), h2 ( x) là các hàm cho lên hai vế của phương trình (3.3) kết hợp điều trước và f ( x), g ( x) là các ẩn hàm cần tìm. kiện f (0)  0 , ta được Trước hết, ta viết lại hệ (3.5) dưới dạng  Lf  ( y)  y  Lf  ( y)  (1  y)  Lf  ( y)   Lh  ( y)  d  f ( x)  1    g * k1  ( x)  h1 ( x), Sử dụng công thức (3.2.8) trong [3], suy ra  dx   Lh  ( y ) L  e x * h  ( y )  d  g ( x)  1    f * k2  ( x)  h2 ( x), x  0.  Lf  ( y)   . (3.6) (1  y ) 1  ( Lk )( y) 1  ( Lk )( y)  dx  Từ đó tác động phép biến đổi Laplace ngược Tác động phép biến đổi Laplace lên hai vế ta nhận được công thức nghiệm của phương hệ trình (3.6) và sử dụng công thức biến đổi Laplace của đạo hàm (3.4.12), ta f ( x)  L  1    L e x * h ( y)   ( x). được hệ phương trình đại số  1  ( Lk )( y)   Lf  ( y)  (1  y) L( f * k1 )( y)  ( f * k1 )(0)   Lh1  ( y), Ví dụ 2. Giải phương trình  Lg  ( y)  (1  y) L( f * k2 )( y)  ( f * k2 )(0)   Lh2  ( y). Do ( g * k1 )(0)  0, ( f * k2 )(0)  0 , suy ra  d  x f ( x)  f '( x)  1    f ( y )e ( x  y ) dy  dx 0  Lf  ( y)  (1  y)( Lg )( y)( Lk1 )( y)   Lh1  ( y),  sinh 2 x, x  0. (3.4)  Lg  ( y)  (1  y)( Lf )( y)( Lk2 )( y)   Lh2  ( y). (3.7) Áp dụng biến đổi Laplace L lên phương trình Giải hệ (3.7), ta nhận được (3.4) và sử dụng các công thức (3.2.8),  Lh1  ( y)  (1  y)( Lk1 )( y)( Lh2 )( y) , (3.2.11) trong [3], ta nhận được  Lf  ( y)  1  (1  y)2 ( Lk1 )( y)( Lk2 )( y) 1 2  Lf  ( y)  y  Lf  ( y)  (1  y)  Lf  ( y)  2 .  Lh2  ( y)  (1  y)( Lk2 )( y)( Lh1 )( y) . y 1 y  4  Lg  ( y)  Suy ra 1  (1  y)2 ( Lk1 )( y)( Lk2 )( y)  Lf  ( y)  2  L( f *(k  k '))( y). Từ đó tác động phép biến đổi Laplace ngược ( y  2)( y 2  4) ta nhận được công thức nghiệm Kết hợp các công thức (3.4.11), (3.4.2) trong   Lh  ( y )  (1  y )( Lk1 )( y )( Lh2 )( y )  [3] và sử dụng biến đổi Laplace ngược, ta f ( x)  L1  1  ( x),  1  (1  y ) ( Lk1 )( y)( Lk2 )( y )  2 nhận được nghiệm của phương trình là   Lh2  ( y )  (1  y )( Lk2 )( y )( Lh1 )( y )  1 1 g ( x)  L1   ( x). f ( x)  sinh 2 x  e 2 x x.  1  (1  y) ( Lk1 )( y)( Lk2 )( y) 2  4 2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 3.2. Giải hệ phương trình vi-tích phân  d  x Volterra f ( x)  1    g ( y )e ( x  y ) dy  cos x,  dx  0 Xét hệ phương trình vi-tích phân có dạng  d  x g ( x)  1    f ( y)e ( x  y ) ( x  y)dy   sin x, x  0.  d  x f ( x)  1    g ( y )k1 ( x  y )dy  h1 ( x),  dx  0  dx  0 (3.7)  d  x Áp dụng biến đổi Laplace L lên phương trình g ( x)  1    f ( y)k2 ( x  y)dy  h2 ( x), x  0.  dx  0 (3.7) và kết hợp với các công thức (3.2.8) (3.5) (3.2.9), (3.2.10) và (3.4.2) trong [3], ta có TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 33 - 2022 27
KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 1 y f ( x)  1  2sin x , g ( x)  1  2sin x  cos x . ( Lf )( y )  (1  y)( Lg )( y )  2 y 1 y 1 4. KẾT LUẬN 1 1 ( Lg )( y )  (1  y )( Lf )( y )  2 Bài báo đã chứng minh được tính bị chặn của ( y  1) 2 y 1 tích chập Laplace trong không gian hàm khả Suy ra nghiệm của hệ phương trình này là tích L1 (  ) Thiết lập và nghiên cứu phép y2  2 y 1 2 y 1 biến đổi tích chập Laplace Tk trong L1 (  ) ( Lf )( y )  , ( Lg )( y )  . y ( y  1) 2 y ( y 2  1) và chỉ ra sự tồn tại của phép biến đổi ngược. Tương đương với Từ đó áp dụng giải một lớp các phương trình 1 1 vi-tích phân dạng Volterra có nhân liên quan ( Lf )( y )   2 , y y 1 đến phép biến đổi này. Những kết quả của bài 1 2 y báo góp phần làm phong phú thêm Lý thuyết ( Lg )( y)    2  2 . y y 1 y 1 về phép biến đổi tích phân và ứng dụng của Kết hợp các công thức (3.2.7), (3.2.8), (3.2.9) nó trong việc giải phương trình và hệ phương trong [3] và sử dụng biến đổi Laplace ngược, trình vi-tích phân. ta nhận được nghiệm của hệ phương trình là TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] I.N. Sneddon, 1951. Fourier Transforms, McGray-Hill, New York. [2] J.L. Schiff, 1999. The Laplace Transforms: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York, Inc. [3] L. Debnath, D. Bhatta, 2007. Integral Transforms and Their Applications, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. [4] L.E. Britvina, 2005. A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Integral Transforms Spec. Funct. 16, No.5-6, pp.379-389. [5] L.X. Huy and N.X. Thao, 2014. On the Laplace generalized convolution transform, Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Comp., Vol.43, pp.303–316. [6] N.X. Thao, V.K. Tuan, L.X. Huy and N.T. Hong, 2015. On the Fourier Laplace convolution transforms, Integral Transforms Spec. Funct. 16, 26 (4), pp.303-313. S.B. Yakubovich and A.I. Moshinskii, 1993. Integral equations and convolutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms, Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284. [7] V.K. Tuan, 1999. Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J. Math. Anal. Appl. 229, pp.519-529. Thông tin liên hệ: Lê Xuân Huy Điện thoại: 0914341077 - Email: lxhuy@uneti.edu.vn Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp. 28 TẠP CHÍ KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ . SỐ 33 - 2022

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.