PH N I: ĐT V N ĐẦ Ặ Ấ Ề
Đo hàm và ng d ng c a đo hàm chi m vai trò quan tr ng trongạ ứ ụ ủ ạ ế ọ
ch ng trình Toán THPT. N i dung v đo hàm và ng d ng đo hàm đcươ ộ ề ạ ứ ụ ạ ượ
trình bày trong toàn b ch ng trình gi i tích 11 và gi i tích 12, trong đó đoộ ươ ả ả ạ
hàm đc trình bày trong h c k II l p 11, ng d ng đo hàm đc trình bàyượ ọ ỳ ớ ứ ụ ạ ượ
trong h c k I l p 12. Qua nhi u l n thay sách v i nhi u thay đi song đoọ ỳ ớ ề ầ ớ ề ổ ạ
hàm và ng d ng đo hàm là n i dung b t bu c trong các đ thi T t nghi pứ ụ ạ ộ ắ ộ ề ố ệ
THPT, ĐH-CĐ và hi n nay là thi THPT Qu c gia. Chúng ta có th k đn m tệ ố ể ể ế ộ
s ng d ng c a đo hàm: Xét tính đn đi u c a hàm s ; tìm giá tr l n nh t,ố ứ ụ ủ ạ ơ ệ ủ ố ị ớ ấ
nh nh t c a hàm s ; c c tr hàm s …ỏ ấ ủ ố ự ị ố
Ph n ng d ng đo hàm đ gi i quy t các bài toán liên quan đn c cầ ứ ụ ạ ể ả ế ế ự
tr c a hàm s b c ba là m t ph n không quá khó v i h c sinh n u khôngị ủ ố ậ ộ ầ ớ ọ ế
mu n nói là ph n “l y đi m” c a h c sinh. Tuy nhiên, vi c gi i quy t các bàiố ầ ấ ể ủ ọ ệ ả ế
toán c c tr hàm s b c ba nhanh và hi u qu là đi u mà ít h c sinh làm đcự ị ố ậ ệ ả ề ọ ượ
nh t là trong b i c nh k thi THPT Qu c gia năm 2017 đi t hình th c thi tấ ố ả ỳ ố ổ ừ ứ ự
lu n sang tr c nghi m. Ngoài ra, vi c trình bày các ki n th c SGK, SBTậ ắ ệ ệ ế ứ ở
cũng nh các sách tham kh o, h th ng các bài t p còn dàn tr i và h c sinhư ả ệ ố ậ ả ọ
th ng m t th i gian khi gi i bài t p ph n này. T kinh nghi m b n thânườ ấ ờ ả ậ ầ ừ ệ ả
trong các năm gi ng d y cũng nh s tìm tòi, tham kh o và t ng h p các tàiả ạ ư ự ả ổ ợ ở
li u Toán và trên internet, tôi l a ch n đ tài: “ệ ự ọ ề Hình thành t duy - k năngư ỹ
gi i nhanh toán tr c nghi m ph n c c tr c a hàm s b c ba cho h c sinhả ắ ệ ầ ự ị ủ ố ậ ọ
tr ng THPT Nh Thanh II luy n thi THPT Qu c Giaườ ư ệ ố ” v i mong mu nớ ố
trang b cho h c sinh n n t ng ki n th c c b n và nâng cao t đó rút ra m tị ọ ề ả ế ứ ơ ả ừ ộ
s công th c gi i nhanh ph n c c tr c a hàm s b c ba giúp các em h c sinhố ứ ả ầ ự ị ủ ố ậ ọ
n m b t đc cách nh n d ng cũng nh cách gi i d ng toán này nh m gópắ ắ ượ ậ ạ ư ả ạ ằ
ph n nâng cao ch t l ng d y và h c, t o s t tin cho h c sinh trong các kầ ấ ượ ạ ọ ạ ự ự ọ ỳ
thi.
1
PH N II: GI I QUY T V N ĐẦ Ả Ế Ấ Ề
I. C s c a đ tài.ơ ở ủ ề
1. C s lí lu n.ơ ở ậ
1.1 Khái ni m c c tr hàm sệ ự ị ố
1.1.1 Khái ni m c c tr c a hàm s ệ ự ị ủ ố [3]
Cho
:f D
ﾡ
và
0
x D
.
a)
0
x
đc g i là m t đi m c c đi c a ượ ọ ộ ể ự ạ ủ
f
n u t n t i kho ng ế ồ ạ ả
( )
;a b
sao
cho
( )
( )
( )
( )
{ }
0
0 0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
� �< ∀
.
b)
0
x
đc g i là m t đi m c c ti u c a ượ ọ ộ ể ự ể ủ
f
n u t n t i kho ng ế ồ ạ ả
( )
;a b
sao
cho
( )
( )
( )
( )
{ }
0
0 0
;
; \
x a b D
f x f x x a b x
� �> ∀
.
c) Đi m c c đi và đi m c c ti u đc g i chung là đi m c c tr .ể ự ạ ể ự ể ượ ọ ể ự ị
B ng sau đây tóm t t các khái ni m đc s d ng trong ph n này:ả ắ ệ ượ ử ụ ầ
0
x
( )
0
f x
Đi m c c điể ự ạ
c a ủ
( )f x
Giá tr c c đi (c c đi)ị ự ạ ự ạ
c a ủ
( )f x
Đi m c c đi c a đ th hàmể ự ạ ủ ồ ị
s ố
( )f x
Đi m c c ti uể ự ể
c a ủ
( )f x
Giá tr c c ti u (c c ti u)ị ự ể ự ể
c a ủ
( )f x
Đi m c c ti u c a đ thể ự ể ủ ồ ị
hàm s ố
( )f x
Đi m c c trể ự ị
c a ủ
( )f x
C c tr c a ự ị ủ
( )f x
Đi m c c tr c a đ th hàmể ự ị ủ ồ ị
s ố
( )f x
1.1.2. Đi u ki n c n đ hàm s đt c c tr ề ệ ầ ể ố ạ ự ị [6]
Gi s hàm ả ử
( )f x
có đo hàm t i ạ ạ
0
x
. Khi đó: n u ế
( )f x
đt c c tr t i ạ ự ị ạ
0
x
thì
( )
0
' 0f x
=
.
1.1.3. Đi u ki n đ đ hàm s đt c c tr ề ệ ủ ể ố ạ ự ị [6]
a) Quy t c 1ắ
N u ế
( )
'f x
đi d u t d ng sang âm khi ổ ấ ừ ươ
x
đi qua
0
x
thì
( )f x
đtạ
c c đi t i ự ạ ạ
0
x
;
2
N u ế
( )
'f x
đi d u t âm sang d ng khi ổ ấ ừ ươ
x
đi qua
0
x
thì
( )f x
đtạ
c c ti u t i ự ể ạ
0
x
.
b) Quy t c 2:ắ
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=<
( )f x
đt c c đi t i ạ ự ạ ạ
0
x
;
( )
( )
0
0
' 0
" 0
f x
f x
=>
f
đt c c ti u t i ạ ự ể ạ
0
x
.
1.2 C c tr c a hàm s b c ba ự ị ủ ố ậ [5]
Xét hàm
3 2
y ax bx cx d
= + + +
(
0a
).
Đo hàm: ạ
2
' 3 2y ax bx c= + +
1.2.1 Đi u ki n t n t i c c trề ệ ồ ạ ự ị: Hàm s có c c tr khi và ch khi ố ự ị ỉ
' 0y=
có hai
nghi m phân bi t hay ệ ệ
2
' 3 0b ac∆ = − >
.
1.2.2 K năng tính nhanh c c tr :ỹ ự ị
Gi s ả ử
2
' 3 0b ac∆ = − >
, khi đó
' 0y=
có hai nghi m phân bi tệ ệ
2
1,2
3
3
b b ac
xa
− −
=
và hàm s đt c c tr t i ố ạ ự ị ạ
1 2
,x x
.
Th c hi n phép chia y cho y’ ta có:ự ệ
2
1 2
( ) '( )
3 9 3 3 9
b b bc
f x x f x c x d
a a a
� �
� � � �
= + + − + −
� � � �
� �
� � � �
� �
T c là ứ
( ) ( ). '( ) ( )f x q x f x r x= +
Do
1
2
'( ) 0
'( ) 0
f x
f x
=
=
nên
2
1 1 1
2
2 2 2
2
( ) 3 3 9
2
( ) 3 3 9
b bc
y f x c x d
a a
b bc
y f x c x d
a a
� � � �
= = − + −
� �
� � � �
� � �
� � � �
= = − + −
� �
� �
� �
� �
T đó ta có ừph ng trình đng th ng đi qua đi m c c đi, c c ti u c aươ ườ ẳ ể ự ạ ự ể ủ
hàm s làố:
( )
2
2 2 3 ( )
3 3 9 9 9
2 '
9 9
b bc bc
y c x d ac b x d
a a a a
bc
x d
a a
� � � �
= − + − = − + −
� � � �
� � � �
− ∆ � �
= + −
� �
� �
G i ọ
( ) ( )
1 1 2 2
; , ;A x y B x y
là các đi m c c tr c a hàm s . Khi đó kho ng cáchể ự ị ủ ố ả
gi a hai đi m c c tr là: ữ ể ự ị
3
( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1
2
2
2 1 2 1
2 ' 2 '
9 9 9 9
AB x x y y
bc bc
x x x d x d
a a a a
= − + −
� �
− ∆ − ∆
� � � �
� � � �
= − + + − − + −
� �
� � � �
� � � �
� � � �
� � � �
� �
( )
( )
2
2
2 1 2 1
2 2
2 2
3
2 4
2 ' ( )
9
2 3 2 ' 2 3
.
3 9 3
4 ' 16 '
(3 ) 9(3 )
x x x x
a
b ac b ac
a a a
a a
− ∆
� �
= − + −
� �
� �
� � � �
− − − ∆ − −
= +
� � � �
� � � �
� � � �
∆
= + ∆
Đt ặ
3k a=
ta đc ượ
( )
3
2 4
4 ' 16 '
9
AB k k
∆
= + ∆
V y ậkho ng cách gi a hai đi m c c trả ữ ể ự ị là
( )
3
2 4
4 ' 16 '
9
AB k k
∆
= + ∆
v iớ
3k a=
là h s c a ệ ố ủ
2
x
trong ph ng trình ươ
' 0y=
.
Nh v y khi ư ậ k là h ng s thì kho ng cách gi a hai đi m c c tr ng nằ ố ả ữ ể ự ị ắ
nh t khi ấ
'∆
nh nh t.ỏ ấ
2. Th c tr ng c a v n đ.ự ạ ủ ấ ề
Trong các k thi t t nghi p, ĐH- CĐ và hi n nay là thi THPT Qu c giaỳ ố ệ ệ ố
chuy n t hình th c t lu n sang tr c nghi m các bài toán c c tr th ng hayể ừ ứ ự ậ ắ ệ ự ị ườ
xu t hi n, v i m c đích c a nhà giáo d c dành cho nh ng h c sinh có h c l cấ ệ ớ ụ ủ ụ ữ ọ ọ ự
trung bình. Đi v i tr ng THPT Nh Thanh II là m t tr ng mi n núi, ch tố ớ ườ ư ộ ườ ề ấ
l ng đu vào c a h c sinh còn r t th p nên g n nh h c sinh m t nhi uượ ầ ủ ọ ấ ấ ầ ư ọ ấ ề
th i gian trong vi c đnh h ng cách làm ho c trong quá trình làm th ngờ ệ ị ướ ặ ườ
m c sai sót. Đc bi t hi n nay thi tr c nghi m có các ph ng án nhi u h cắ ặ ệ ệ ắ ệ ươ ễ ọ
sinh càng d m c sai l m.ễ ắ ầ
II. Các d ng toán v c c tr c a hàm s b c ba th ng g pạ ề ự ị ủ ố ậ ườ ặ
1. Tìm m đ hàm s đt c c đi ho c c c ti u t i ể ố ạ ự ạ ặ ự ể ạ x = x0
Cach lam:
1. Tinh đao ham %y’ y’ = 0.
4
2. Điêu kiên cân: Thay %x0 vao ph ng trinh ươ y’ = 0 gia tri cua % & m (n uế
co)
3. Điêu kiên đu: Kêt h p xet dâu cua y’’: % & ơ% &
Nêu y’’(x0) > 0 thi ham sô đat c c tiêu tai % ư% & % x0
Nêu y’’(x0) < 0 thi ham sô đat c c đai tai % ư% % % x0
(hoăc dung bang biên thiên) đê suy ra gia tri m thoa man yêu câu. % & & % &
Vi du mâu 1: Cho ham sô
3 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
. Tim m đê ham sô đat & %
c c tiêu tai ư% & % x = 2. [3]
Giai
Ta co :
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
2
' 0 3 6 1 0y x mx m= − + − =�
(*)
Điêu kiên cân: thay %x = 2 vao (*) m = 1
Điêu kiên đu: % &
'' 6 6y x m= −
V i ơm = 1
''(2) 6 0y= >
(thoa man)&
Vây %m = 1 ham sô co c c tiêu tai ư% & % x = 2.
Vi du mâu 2: Cho ham sô
( )
3 2 2
11 1
3
y x mx m m x= − + − + +
. Tim m đê ham&
sô đat c c đai tai % ư% % % x = 1 [3]
Giai
Ta co:
2 2
' 2 1y x mx m m= − + − +
2 2
' 0 2 1 0y x mx m m= − + − + =�
(*)
Điêu kiên cân: thay %x = 1 vao (*)
2
3 2 0m m− + =
(m = 1 hoăc %m = 2)
Điêu kiên đu: % &
'' 2 2y x m= −
V i ơm = 2
''(1) 2 0y= − <
( thoa man)&
V i ơm = 1
( không xet đc dâu) ươ%
Nh ng khi đo: ư
( )
2
2
' 2 1 1 0y x x x= − + = −
( )x∀
ham sô luôn đông biên
nên ko co c c tri. Hay ư% % m = 1 không thoa man.&
Vây %m = 2 ham sô co c c đai tai ư% % % x = 1.
2. Bi n lu n theo ệ ậ m s c c tr c a hàm số ự ị ủ ố
Sô c c tri cua ham sô phu thuôc vao sô nghiêm cua ph ng trinh ư% % & % % % & ươ y’ = 0
Vi du mâu 1: Cho ham sô
3 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
. Tim m đê ham sô &
không đat c c tri. % ư% % [3]
5