Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy hiệu Unordered martingale

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày việc thiết lập một số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale. Các kết quả này là mở rộng của các kết quả đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy hiệu Unordered martingale

UED Journal of Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN ĐỐI VỚI DÃY HIỆU UNORDERED MARTINGALE Nhận bài: 15 – 01 – 2015 Lê Văn Dũnga*, Lê Trần Phương Thanhb Chấp nhận đăng: 25 – 03 – 2015 Tóm tắt: Trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan http://jshe.ued.udn.vn/ trọng trong nghiên cứu thống kê và ứng dụng. Tuy nhiên, bài toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với cỡ mẫu lớn vô hạn. Vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối chuẩn” cho phép chúng ta ước lượng được cỡ mẫu cần thiết để có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm. Năm 1970, Charler Stein đã giới thiệu một phương pháp xấp xỉ phân phối chuẩn mới và được gọi là phương pháp Stein. Các kết quả nghiên cứu chủ yếu đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn đối với dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale. Các kết quả này là mở rộng của các kết quả đối với dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Từ khóa: xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu unordered martingale; bất đẳng thức Berry- Esssen; định lí giới hạn trung tâm. unordered martingale nếu thỏa mãn hai điều kiện: 1. Giới thiệu (i) E(| X j |)   j , Cho ( X n ; n  N* ) là dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng (ii) E ( X j / F j ) = 0 j , trong đó F j =  ( X i : i  j ). 0 và phương sai  2 hữu hạn. Đặt S n = X 1 + X 2 + ... + X n . Khái niệm hiệu unordered martingale trên được Kí hiệu Fn ( x ) và  ( x) lần lượt là hàm phân phối xác Choi và Klass đưa ra trong bài báo [2]. Khái niệm này suất của biến ngẫu nhiên Sn /  n và biến ngẫu nhiên được chúng tôi mở rộng như sau: chuẩn tắc. Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: Cho m là số nguyên không âm. Dãy biến ngẫu nếu ( X n ; n  N* ) là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng nhiên ( X n ; n  N* ) được gọi là hiệu m-unordered phân phối xác suất thì Fn ( x ) hội tụ đến  ( x) khi martingale nếu thỏa mãn hai điều kiện: (i) E(| X j |)   j , n →  với mọi x  R . Tốc độ hội tụ của định lí giới hạn trung tâm được Berry [1] và Esseen [4] chỉ ra rằng: (ii)Với mỗi i  1, E ( X j / F i ) = 0 với mọi −1/2 sup | Fn ( x) − ( x) |= O(n ) khi n → . xR j = i + 1,..., i + m , Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tốc độ hội Trong đó F j là  - đại số sinh bởi các biến ngẫu tụ định lí giới hạn trung tâm của dãy biến ngẫu nhiên nhiên {i , j  i} và { j , j  i + m} . hiệu unordered martingale. Dãy biến ngẫu nhiên ( X n ; n  N* ) xác định trên Như vậy một dãy những biến ngẫu nhiên hiệu không gian xác suất (; F ; P ) được gọi là hiệu unordered martingale là hiệu 0 - unordered martingale. 2. Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu a.Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Để chứng minh kết quả chính ta cần nhắc lại một số b.Học viên cao học K27 Toán sơ cấp, ĐHĐN khái niệm và tính chất của phương pháp Stein. * Liên hệ tác giả Lê Văn Dũng Gọi Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. Email: lvdunght@gmail.com Điện thoại: 0935110108 Với h là hàm liên tục tuyệt đối sao cho Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 5, số 1 (2015), 1-6 | 1
Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh E | h( Z ) |  . Phương trình sau được gọi là phương Ta lại có n  n   E trình Stein. Ki (t )dt = 2 =1 f ( ) −  f ( ) = h( ) − Eh( Z ) i =1 − i =1 i Nghiệm tổng quát f = f h của phương trình Stein là: nên n   2 − x2  Ef h (W ) = Ef h (W )  [h( x) − Eh(Z )]e Ki (t )dt f h ( ) = −e 2 2 dx i =1 − f = f h có một số tính chất sau (xem [3]): n   Nghiệm = E{ f h (W )}Ki (t )dt. (i) fh  2 h ' − i =1 Do đó, (ii) f h'  2 /  h' E[ f h (W ) − Wf h (W )] (iii) f h''  2 h ' . n  2.1. Đẳng thức Stein =  i =1 − E{ f h (W ) − f h (W (i ) + t )}Ki (t )dt Cho 1 ,  2 ,...,  n là những biến ngẫu nhiên hiệu Vì vậy ta có: n Eh(W ) − Eh(Z ) = [ f (W ) − Wf (W )] unordered martingale sao cho  Ei2 = 1. Đặt n  i =1 =   E{ f (W ) − f (W (i ) + t )}K i (t )dt. n − W :=  i , i =1 Đẳng thức trên được chúng tôi gọi là Đẳng thức Stein. i =1 W (i ) := W − i , 2.2. Định lí ([3], Định lí xấp xỉ phân phối chuẩn tổng quát) Ki (t ) := E{i ( I{0ti } − I{i t0} )}. Giả sử tồn tại hằng số  0 sao cho với mọi hàm Với h là hàm liên tục tuyệt đối sao cho Lipschitz h ta đều có: E | h( Z ) | , gọi f = f h là nghiệm của phương trình Stein. Ta có: | E (h(W )) − E (h( Z )) | ‖h‖ n n E[Wf h (W )] = E[(  ) f (W )] =  E[ f (W )] i =1 i h i =1 i h Khi đó, ‖ FW − ‖ 1 = sup | E (h(W ) − E (h( Z )) |  hL (1) n =  E[ ( f (W ) − f (W i (i ) ))] (do E(i |F i )=0, i) và i =1 ‖FW − ‖ n i =  E[  i =1 i 0 f (W (i ) + t )dt ] = sup | P(W  x) − P( Z  x) | 2  xR n  E[−  f (W 0 = (i ) + t )dt ] 3. Kết quả và đánh giá i i =1 i n  =  E[ i =1 − f h (W (i ) + t )i ( I 0t i − Ii t 0 )dt ] 3.1. Định lí n Cho 1 ,  2 ,...,  n là những biến ngẫu nhiên  =  i =1 − E[ f h (W (i ) + t )]Ki (t )dt . unordered martingale thỏa mãn E | 1 |3   với mỗi 2
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn và Giáo dục, Tập 5, số 1 (2015), 1-6 n 1 ,  2 ,...,  n  E Cho là những biến ngẫu nhiên hiệu 1 i  n , và i 2 = 1. Đặt W = 1 + ... n . Khi i =1 n đó ta có: unordered martingale thỏa mãn  Ei =1 i 2 = 1 . Khi đó n ‖ FW − ‖ 1  3 E | i |3 ‖ FW − ‖ 1  4(42 + 33 ) i =1 và và n ‖ FW − ‖   2 4(42 + 33 ) ‖ FW − ‖   2 3 E | i | . 3 với i =1 n n Chứng minh. Từ đẳng thức Stein:  2 =  Ei2 I{| |1} và 3 =  E | i |3 I{| |1}. i i Ef h(W ) − Wf h (W ) i =1 i =1 Chứng minh. Sử dụng các tính chất nghiệm của n  phương trình Stein ta có =  i =1 − E{ f h (W ) − f h (W (i ) + t )}Ki (t )dt | fh(W ) − fh(W (i ) + t ) |=| fh(W (i) + i ) − fh(W (i) + t ) | và theo tính chất nghiệm của phương trình Stein ‖ fh"‖ .| i − t |‖ fh"‖ (| i | + | t |) ‖ f h‖  2‖ h‖ , ta có:  2‖ h‖ (| i | + | t |) . | Ef h (W ) − Wf h (W ) | hơn nữa, n | fh (W ) − fh (W (i ) + t ) | | fh (W ) | + | f h(W (i ) + t ) |    i =1 − E | f h (W ) − f h (W (i ) + t ) | Ki (t )dt  4‖ h‖ +4‖ h‖ = 8‖ h‖ . Suy ra n  | f (W ) − f h(W (i ) + t ) | =  i =1 − E | f h (W (i ) + i ) − f h (W (i ) + t ) | Ki (t )dt  min(8‖ h‖ , 2‖ h‖ (| i | + | t |)) n  | i | + | t |  2.‖ h‖  i =1 − E (| i | + | t |) Ki (t )dt = 8‖ h‖ .min(1, 4 )  8‖ h‖ .min(1,| i | +t ) n    2.‖ h‖  ( i =1 − | t | Ki (t )dt +  − E | i | Ki (t )dt )  8‖ h‖ (| t | 1+ | i | 1) . Mặt khác từ Đẳng thức Stein ta có E | i | | Eh(W ) − Eh( Z ) | n 3 = 2.‖ h‖ ( 2 + E | i | Ei2 ) n   i =1  8‖ h‖ E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt E | i |3 − n  2.‖ h‖ ( 2 + E | i |3 ) n i =1   ( i =1 = 8‖ h‖ E (| t | 1) Ki (t )dt n − E | | i =1 = 3.‖ h‖ i 3  i =1 Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh. +  − E (| i | 1) Ki (t )dt ) . Suy ra | Eh(W ) − Eh( Z ) | 3.2. Định lí n   8‖ h‖  i =1 − E{| t | 1}Ki (t )dt + Ei2 E (| i | 1). Đặt 3
Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh n  Eh(W ) − Eh( Z ) | A=  − E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt. 3 i =1 | 8‖ h‖ (22 + 3 ) = 4(42 + 33 )‖ h‖ . Ta có 2  Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh. − (| t | 1{I[0; x ] (t ) − I[ − x;0) (t )})dt Từ Định lí 2.6 ta thiết lập được Định lý giới hạn 1 trung tâm Lindeberg đối với dãy biến ngẫu nhiên hiệu  | x | + | x | (| x | −1) khi | x | 1 unordered martingale sau. = 2  1 | x |3 , 3.3. Hệ quả khi | x | 1  2 Cho X1, X 2 ,..., X n là những biến ngẫu nhiên hiệu vì vậy n  unordered martingale thỏa mãn E( X i2 )   . Đặt A=  ( − E{| t | 1+ | i | 1}Ki (t )dt n n i =1 Sn :=  X i và Bn2 :=  EX i2 . n i =1 i =1  ( 2 E{ |  | 1 = 3 I{|i |1}} i Nếu   0, i =1 1 n 2  1 + E{( | i | + | i | (| i | −1)) I{|i |1}} + Ei2 E (| i | 1)) E{ X i2 I{| X i | Bn }} → 0, khi n →  2 Bn i=1 n thì  1 = ( E{| i | I{|i |1}} − E{| i | I{|i |1}} 2 sup | P(Sn / Bn  z) − ( z) |→ 0 khi n → . i =1 2 z 1 Chứng minh. Đặt i = X i / Bn và W = Sn / Bn . Khi + E{| i |3 I{|i |1}} + Ei2 E (| i | 1)) 2 đó i là những biến ngẫu nhiên hiệu unordered n  E 1 martingale thỏa mãn: =  2 + 3 + i E (| i 2 | 1) 2 i =1  1  E (i | F i ) = B E ( X i | F i ) = 0 n   E{|  | I  1 n − i {| i |1}}  n n    2 1 i =1 Ei2 = 2 EX i2 = 1  Bn i =1 n  i =1  E 1   2 + 3 + i E (| i 2 | 1). n 2 i =1 và biến ngẫu nhiên W =  i i =1 và ( x  1) là hàm 2 Mặt khác, vì cả hai hàm x Với 0    1 bất kỳ ta có tăng theo x  0 , với biến ngẫu nhiên  i ta có  2 + 3 Ei2 E (| i | 1)  Ei2 (| i | 1) n n   E{| X 1 1 = E{ X i2 I{| X i | Bn }} + |3 I{| X i |Bn }} = E{| i | I{|i |1}} + E I i 3 2 i {|i | 1} . Bn2 i =1 Bn3 i =1 n n  E{X  E{| X Suy ra 1 1 n = i I{| X i | Bn }} + 2 i |3 I{| X i | Bn }} Bn2 Bn3  E i =1 i 2 E (| i | 1) i =1 n i =1  E{| X | 1 n n + i 3 I{ Bn | X i | Bn }}   E | i | I{|i |1} +  E I3 2 i {|i | 1} =  2 + 3 Bn3 i =1 i =1 i =1 Vì vậy 4
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn và Giáo dục, Tập 5, số 1 (2015), 1-6 n  n f = f h là nghiệm của phương   E{X 1 Chứng minh. Gọi  E{ X i2 I{| X i |Bn }} + 2 i I{| X i | Bn }} Bn2 i =1 Bn2 i=1 trình Stein. Ta có: n E{Wf h (W )} = E ( i f h (W ))  E{X 1 + 2 i I{ Bn | X i | Bn }} iJ Bn2 i =1 =  Ei [ f h (W ) − f h (W − i )]  n n iJ  E{X  E{X 1 = 2 i I{| X i | Bn }} + 2 2 i I{| X i | Bn }} Bn Bn2 i=1 Vì vậy i =1 E{Wf h (W )} =  n n   1  2 Bn i =1 E{ X i2 I{| X i | Bn }} + Bn2 i =1 EX i2  E{ [ f (W ) − f (W − ) − f (W )]} iJ i h h i i h n + E{( ii ) f h(W )}  E{X 1 = i I{| X i | Bn }} +  2 (*) iJ Bn2 i =1 Mặt khác, do E ( j | F i ) = 0 , j = i + 1,..., i + m Nếu   0 nên ta có: 1 n  E{X i2 I{|Xi|Bn }} → 0, khi n →  Bn2 i=1 1 = EW 2 = E{ iW } =  E{iW } iJ iJ thì từ (*) suy ra  2 + 3 → 0 , khi n →  Theo =  E{i (W − i ) + ii } =  E{ii } Định lý 2.6 ta có iJ iJ sup | P(W  z ) −  ( z ) | Do vậy z E{ f h (W ) − Wf h (W )} = sup | P( Sn / Bn  z ) −  ( z ) | 1 z = E[(  E{  }) f (W )] − E{Wf (W )} iJ i i h h  2 2 = 2 4(4 2 + 33 ) = −E( {  − E (  )}) f (W ) iJ i i i i h  8  2 + 3 → 0 khi n →  . 3.4. Định lí −  E{ [ f (W ) − f (W − ) − f (W )]} . iJ i h h i i h Cho 1 ,  2 ,...,  n là những biến ngẫu nhiên hiệu Mặt khác, theo tính chất nghiệm của phương trình Stein n ta có‖ fh‖  4‖ h‖ và‖ f h‖  2‖ h‖ . m -unordered martingale thỏa mãn  Ei2 = 1 . Với i =1 Áp dụng khai triển Taylor ta được i2 mỗi i , đặt Ai = {i + 1,..., i + m} , i =   j . f h (W − i ) = f h (W ) − i f h (W ) + f h(W ) + ... 2 jAi  fh (W ) −i f h(W ) + i2 .‖ h‖ Khi đó Do vậy ‖ FW − ‖ 1   | h(W ) − Eh( Z ) |‖ h‖ {4 E | {ii − E (ii )}| và iJ ‖ FW − ‖   2  +  E |   |}. i i 2 iJ với Áp dụng Định lí 2.2 ta có điều phải chứng minh.  = 4 E | { i i − E{ ji }}| +  E |  2 i i |, iJ iJ 3.5. Đánh giá trong đó W = 1 + ... + n . Khái niệm dãy biến ngẫu nhiên hiệu unordered martingale là một mở rộng của khái niệm dãy biến ngẫu 5
Lê Văn Dũng, Lê Trần Phương Thanh nhiên độc lập, tương tự như vậy, khái niệm hiệu m - tôi đã thiết lập được một số kết quả về tốc độ hội tụ của unordered martingale cũng là một mở rộng của khái định lí giới hạn trung tâm đối với dãy biến ngẫu nhiên niệm m – phụ thuộc. Ví dụ minh họa cho sự tồn tại các nhiên hiệu unordered martingale bằng phương pháp Stein. khái niệm này như sau: Cho (Yn ; n  N* ) là dãy biến ngẫu nhiên m – phụ Tài liệu tham khảo thuộc, có cùng phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, [1] Berry A.C. (1941), “The accuracy of the Gaussian tức là approximation to the sum of independent P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = 1 / 2. variates”, Trans. Amer. Math., 49, 122–136. [2] Choi K. P. and Klass M. J. (1997), “Some best Với ( X n ; n N* ) là dãy biến ngẫu nhiên bất kì có kì possible prophet inequalities for convex functions vọng hữu hạn và độc lập với dãy (Yn ; nN* ). Đặt of sums of independent variates and unordered martingale difference sequences”, The Annals of n = X nYn , khi đó (n ; n N* ) cũng là dãy các biến Probability, 25, 2, 803–811. ngẫu hiệu m - unordered martingale. [3] Chen H.Y.L, Goldstein L. and Qi-Man Shao (2011), “Normal approximation by Stein’s method”, Springer Press. 4. Kết luận [4] Esseen C. G. (1942), “On the Liapunov limit of Việc nghiên cứu Bất đẳng thức Berry - Essen bằng error in the theory of probability”, Ark. Mat. Astr. phương pháp Stein đã được nhiều tác giả nghiên cứu, Fys., 28A, 1–19. đặc biệt là nhóm nghiên cứu của giáo sư Louis Chen (Đại học Quốc gia Singapore). Trong bài báo này chúng NORMAL APPROXIMATION FOR UNORDERED MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES Abstract: Of all the limit theorems of the probability theory, the central limit theorem plays an important role in statistical analysis and its application. However, statistical problems cannnot be solved with infinitely large sample sizes, so the problem of “normal approximation” helps to estimate the required sample size to apply central limit theorems. In 1970, Charler Stein introduced his startling technique for normal approximation which is now known as Stein's method. This paper establishes some results of normal approximation for sequences of unordered martingale difference random variables. The results are the extension of those of the independent random variables sequences. Key Words: normal approximation; random variables; unordered martingale difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem. 6