_dai_cuong_ly_3

Chia sẻ: Thi Marc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu '_dai_cuong_ly_3', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: _dai_cuong_ly_3

f (a1)  b1  b2 f (a2 )  b1  3b2 f (a3 )  3b1  b2 Nên 1 1 3 M ( f ,(ai ),(b j ))    1 3 1 c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN L Cho f  (E, F ) và (a) : a1,..., an là một cơ sở của E, (b) : b1,..., bm là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở (a ) và cơ sở (b) là  t11 t12  t1n  t  t2 n  t  21 22  A       tm1 tm 2  tmn   x1  Cho x  E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở (a ) là X       xn    y1  Cho y  F có tọa độ đối với cơ sở (b) là Y       ym   Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : y  f ( x)  Y  AX Chứng minh: 10
Với các giả thiết ở trên :  t11 t12  t1n   x1   y1  t t22  t2n  , X    , Y    , A   21        xn   ym      tm1 tm 2  tmn   ta có : m n n  yibi  y  f ( x)  f (  x j a j )   x j f (a j ) i 1 j 1 j 1 m n  n m   x j  tij bi     x j tij  bi i 1 j 1  j 1 i 1   n  x j tij , i  1,..., m  Y  AX .  yi  j 1 Thí dụ : Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc của 3 là : 1 0 1 A  2 1 0    1 0 0    a) Tính f (2,3,1) b) Xác định f ( x, y, z ) c) Tìm 1 cơ sở của Im f Bài làm : 2 a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là X   3   1   Suy ra tọa độ của y  f (u ) đối với csct là  1 0 1  2  1  Y  AX   2 1 0   3   7       1 0 0  1   2      11
Vậy f (u )  (1,7, 2) . b) Tương tự, tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở chính tắc x là X   y   z  Suy ra tọa độ của f ( x, y, z ) đối với csct là  1 0 1  x   x  z  Y  AX   2 1 0   y    2 x  y       1 0 0   z   x       Vậy f (u )  ( x  z , 2 x  y, x) . c) Họ vectơ f (e1 )  (1, 2,1) f (e2 )  (0,1,0) f (e3 )  (1,0,0) là họ sinh của Im f . Và vì f (e1), f (e2 ), f (e3 ) độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của Im f . d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E. Xét 2 cơ sở ( ) : a1,..., an và (  ) : b1,..., bn của E. Giả sử : o ma trận chuyển từ ( ) sang (  ) là T o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là A. o ma trận của f đối với cơ sở (  ) là B. Khi đó, ta có : Mệnh đề 14 : B  T 1AT 12
Thí dụ : Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính f : 3   3 ( x , y , z )  ( x  y  z , y  z  x, y ) đối với cơ sở a1  (1,1, 2), a2  (1, 1, 1), a3  (0,1,1) . Bài làm : Cách 1 : Ta có : f (a1 )  (0, 2,1) f (a2 )  (1, 3, 1) f (a3 )  (0, 2,1) Tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở a1, a2 , a3 : ( x, y, z )  ( z  y )a1  ( x  y  z )a2  ( x  3 y  2 z )a3 Do đó :  1 2 1 Vậy M ( f ,(a))   1 1 1     4 6 4    Cách 2 : Xét cơ sở chính tắc e1, e2 , e3 . Ta có f (e1 )  (1, 1,0) f (e2 )  (1,1,1) f (e3 )  (1,1,0) Suy ra  1 1 1 M ( f ,(ei ))  A   1 1 1    0 1 0   Ma trận chuyển từ cơ sở (ei ) sang cơ sở (ai ) là 13
0 1 1  1 1 0  T  1 1 1   T 1  1 1 1      2 1 1   1 3 2       1 2 1 Do đó : M ( f ,(ai ))  B  T 1 AT   1 1 1     4 6 4    L 6. KHÔNG GIAN VECTƠ (E, F ) . Mệnh đề 15 : L Tập hợp ( E , F ) có cấu trúc của một không gian vectơ với 2 phép toán sau: L f , g  f  g : E  F  (E, F )  x  f ( x)  g ( x) L ( E , F )   K  f : E  F f    x   f ( x) Mệnh đề 16 : Cho 2 không gian vectơ E và F trên trường K, với dim E  n , dim F  m . Khi đó: L ( E , F )  Mat K (m, n) Chứng minh: Chọn 1 cơ sở (a) : a1,..., an của E và 1cơ sở (b) :b1,..., bm của F. Ta xét tương ứng: : L ( E , F )  Mat K (m, n)  f  M ( f ,(a),(b)) Dễ thấy  là ánh xạ.   là ánh xạ tuyến tính vì M ( f   g ,(a),(b))   M ( f ,(a),(b))   M ( g ,(a ),(b)) 14
 A  tij   Mat K (m, n)  m Đặt u j   tij bi , j  1,..., n . i 1 Khi đó L ! f  ( E , F ) f (a j )  u j , j , Hiển nhiên M ( f ,(a),(b))  A , nên  ( f )  A . Vậy  song ánh. L ( E , F )  Mat K (m, n) Do đó 7. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN a. ĐỊNH NGHĨA 1 : Cho phép biến đổi tuyến tính f  Hom( E ) . Cho vectơ u  E \ 0 và số   K . Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  nếu f (u )   u . Thí dụ :  Cho f : 3  3  ( x, y , z )  ( x  y , y  z , z  x ) Ta thấy : f (1,1,1)  0  0(1,1,1) . Vậy u  (1,1,1)  3 là 1 vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng   0 .  Cho g :  2   2  ( x, y )  ( x  y , 2 x  2 y ) Ta thấy : v  (1, 2) là 1 vectơ riêng của g vì g (v)  g (1, 2)  (3,6)  3(1, 2)  3v . Giá trị riêng tương ứng là   3. 15