LƯU HÀNH NỘI BỘ
Biên tập tặng học sinh
MỤC LỤC
trang 01
KHẢO SÁT HÀM SỐ – SỰ BIẾN THIÊN ………………………..
trang 04
KHẢO SÁT HÀM SỐ – CỰC TRỊ …………………………………
trang 09
KHẢO SÁT HÀM SỐ – GTLN-GTNN ……………………………
trang 11
KHẢO SÁT HÀM SỐ – TIỆM CẬN ………………………………
trang 14
KHẢO SÁT HÀM SỐ – TƯƠNG GIAO ………………….………
trang 16
MŨ – LOGARITH – LŨY THỪA …………………………………..
trang 19
MŨ – LOGARITH – HÀM SỐ ……………………………………..
trang 23
MŨ – LOGARITH – PHƯƠNG TRÌNH ………………………….
trang 26
MŨ – LOGARITH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH ……………………
trang 30
KHỐI ĐA DIỆN………………………………………………………
trang 35
KHỐI TRÒN XOAY………………………………………………….
trang 42
NGUYÊN HÀM……………………………………….………………
trang 47
TÍCH PHÂN………………………………………….……………….
trang 51
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN………………………………………….
trang 56
SỐ PHỨC – KHÁI NIỆM……………………………….……………
trang 59
SỐ PHỨC – ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC………………………..
trang 61
SỐ PHỨC – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI…………………….…..
trang 63
OXYZ – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ………………………….…………….
trang 67
OXYZ – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG……………………......
trang 71
OXYZ – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG……………………
trang 78
HHKG – GÓC – KHOẢNG CÁCH…………………………………
trang 81
CẤP SỐ…………………………………………………………………
trang 83
TỔ HỢP – XÁC SUẤT………………………………………………..
NỀN TẢNG
TN THPTQG 2023 Môn: TOÁN
KHẢO SÁT HÀM SỐ – SỰ BIẾN THIÊN
Câu 1: Cho hàm số
xác định và liên tục trên có bảng biến
thiên như hình sau:
GHI CHÚ NHANH
Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Câu 2: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đồng biến trên
khoảng nào dưới đây ? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 3: Cho hàm số
có đồ thị như sau.
Hàm số trên đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? . A.
B. .
C. .
D. .
Câu 4: Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây ?
A. . B. .
C. . D. .
1 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 5: Cho hàm số
GHI CHÚ NHANH
có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng nào dưới đây ? A. B. . .
C. . D. .
Câu 6: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số đồng biến trên
khoảng nào ? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 7: Cho hàm số bậc bốn
có đồ thị như hình vẽ
bên. Mệnh đề nào sau đây sai ? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 8: Cho hàm số
xác định, có đạo có đồ thị như hình và
.
.
hàm trên vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số đồng biến trên khoảng đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng . .
Câu 9: Cho hàm số bậc ba
. Đồ thị hàm số như hình
vẽ bên. Hàm số nghịch
biến trên khoảng nào sau đây ? A. .
B. .
C. .
D. .
2 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 10: Cho hàm
số . Hàm số
GHI CHÚ NHANH
có đồ thị như hình bên.
Hàm số đồng biến trên
khoảng nào sau đây . A.
. B.
. C.
D.
Câu 11: Cho hàm số
có đạo hàm . Hàm số
đồng biến trên khoảng A. B. . . C. . D. .
Câu 12: Cho hàm số đa thức bậc ba
có đồ thị
như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? . A.
B. .
C. .
D. .
Câu 13: Cho hàm số
có đạo hàm . Khoảng
nghịch biến của hàm số là A. . B. .
C. . D. .
Câu 14: Cho hàm số
có đạo hàm
đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
Hàm số A. . B. .
C. . D. .
Câu 15: Cho hàm số
, bảng xét dấu của như sau:
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
Hàm số A. . C. . B. D. . .
3 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 16: Tập hợp
tất cả các giá trị thực của tham số
GHI CHÚ NHANH
để hàm số
đồng biến trên từng khoảng xác định là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 17: Cho hàm số
có đồ thị của hàm như hình vẽ
sau. Hàm số nghịch biến trong khoảng nào sau đây
? A. .
B.
C.
D. .
Câu 18: Cho hàm số
xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số
như hình bên. Hàm số
đồng biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau ? A. .
B. .
C. .
D. .
KHẢO SÁT HÀM SỐ – CỰC TRỊ
Câu 19: Giá trị cực đại của hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 20: Cho hàm số
có đạo hàm
.
.
Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại D. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
Câu 21: Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 22: Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. . B. . C. . D. .
4 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 23: Cho hàm số A.
. B. . Điểm cực tiểu của hàm số là . . D. C. .
Câu 24: Cho hàm số
có đạo hàm
. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 3. C. 1. B. 4. D. 2.
Câu 25: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
A. B. C. . D. .
Câu 26: Giá trị cực tiểu của hàm số
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 27: Cho hàm số
có liên tục trên và đạo hàm là
.
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ? . A. C. B. . . D. .
Câu 28: Cho hàm số
có đồ thị như hình
vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là
A. B. C. D. . . . .
Câu 29: Giá trị cực tiểu của hàm số
bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 30: Cho hàm số
. Khi
đó, hàm số có bao nhiêu
cực trị ? A. 0. C. 2. B. 5. D. 3.
5 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 31: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ sau. Mệnh
GHI CHÚ NHANH
đề nào sau đây là mệnh đề đúng ? A. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là .
B. Điểm cực đại của hàm số nằm trên trục tung.
C. Đồ thị hàm số không có điểm cực đại.
D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là .
Câu 32: Cho hai hàm số
liên
tục trên hình vẽ. Đồ và có đồ thị như thị hàm số
có số điểm cực trị là
A. B. C. D. . . . .
Câu 33: Cho hàm số
. Hàm số có
bao nhiêu điểm cực trị ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 34: Cho hàm số
liên tục trên và có bảng biến thiên như
sau:
Số điểm cực trị của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 35: Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình vẽ
Đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. . B. . C. . D. .
6 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 36: Cho biết hàm số
đạt cực trị tại thỏa
GHI CHÚ NHANH
mãn Khi đó
A. B. C. D.
Câu 37: Tìm m để đồ thị hàm số
có điểm cực
đại và điểm cực tiểu lập thành tam giác đều.
A. B.
C. D.
Câu 38: Biết
là giá trị của tham số để hàm số có
hai điểm cực trị sao cho . Khẳng định nào
sau đây đúng ? . A. B. .
C. . D. .
Câu 39: Cho hàm số
. Có bao
nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có hai
điểm cực trị trái dấu ? A. C. . . B. D. . .
Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để đồ thị hàm số
có hai điểm cực trị nằm về
bên phải trục tung ? A. C. . . B. D. . .
Câu 41: Có
bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số
có hai điểm cực trị đối nhau ?
A. C. B. D.
Câu 42: Cho hàm số
có đạo hàm Số điểm cực trị
của hàm số đã cho là A. 3. C. 4. B. 2. D. 1.
Câu 43: Cho hàm số
liên tục trên và có đạo hàm
. Hàm số có mấy điểm cực
tiểu ? . A. B. . C. . D. .
7 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm
GHI CHÚ NHANH
như hình vẽ. Số điểm
là:
Câu 44: Cho hàm số số cực trị của hàm số A. B. C. D.
. . . .
Câu 45: Cho hàm số
có đạo hàm và
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
. . liên tục trên . A. . C. B. D.
Câu 46: Cho hàm số
có đạo hàm .
Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là B. A. D. C. . . . .
Câu 47: Cho hàm số
có đạo hàm là
.
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là B. A. D. C.
Câu 48: Cho hàm số
xác
định trên số hàm và có đồ thị là
đường cong như hình vẽ số dưới đây. Hàm có bao nhiêu
điểm cực trị ? A. C. . . B. D. . .
Câu 49: Cho hàm số
có đạo hàm . Số
điểm cực tiểu của hàm số đã cho là C. B. A. . . . D. .
Câu 50: Cho hàm số
có đạo hàm với mọi
. Điểm cực đại của hàm số đã cho là . C. B. . . A. D. .
8 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 51: Cho hàm số
có đồ thị của
GHI CHÚ NHANH
trên khoảng như
hình vẽ. Hàm số đã cho có mấy
điểm cực tiểu trên khoảng
A. B. C. D. . . . .
KHẢO SÁT HÀM SỐ – GTLN-GTNN
Câu 52: Cho hàm số
. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là và . Giá
là
trị của A. . B. . C. . D. .
Câu 53: Gọi
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
. Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
hàm số trên đoạn để giá trị nhỏ nhất của bằng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 55: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn
.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
trên
đoạn
A. . B. .
C. . D. .
Câu 57: Trên đoạn
, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
9 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 58: Cho hàm số
có đồ
GHI CHÚ NHANH
thị như hình vẽ. Gọi
và lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số . Khẳng trên đoạn
định nào sau đây là đúng ? . A. . B. . C. . D.
Câu 59: Cho hàm số
có đồ thị như
hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
bằng
A. B. C. D. . . . .
Câu 60: Cho hàm số
xác định, liên tục trên và có bảng biến
thiên như sau.
Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. . B. .
C. . D. .
Câu 61: Đồ thị của hàm số
có dạng đường cong trong hình vẽ bên.
Gọi là giá trị lớn nhất, là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn . Tính .
A. B. C. D. . . . .
10 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 62: Cho hàm số
liên tục trên và có bảng biến thiên
GHI CHÚ NHANH
.
.
Mệnh đề nào sau đây sai A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số không có giá trị lớn nhất. có giá trị nhỏ nhất bằng đạt giá trị nhỏ nhất tại có giá trị lớn nhất bằng .
Câu 63: Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? . A.
B. .
C. .
D. .
KHẢO SÁT HÀM SỐ – TIỆM CẬN
Câu 64: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 65: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 66: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
là đường thẳng có
phương trình:
A. B. C. D.
Câu 67: Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị
hàm số ?
A. . B. . C. . D. .
11 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 68: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 69: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận.
A. B. C. D.
Câu 71: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực
để đồ thị hàm số
có hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình
chữ nhật có diện tích bằng A. B. . . C. . D. .
Câu 72: Cho hàm số
tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm
số là . A. B. . C. . D. .
Câu 73: Đồ thị hàm số
có tiệm cận ngang thì có
tiệm cận đứng có phương trình: A. B. . . C. . D. .
Câu 74: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
có phương trình lần lượt là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 75: Cho hàm số
với có bảng biến thiên như
hình vẽ dưới đây.
Giá trị nguyên âm lớn nhất mà A. B. có thể nhận là C. D.
12 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 76: Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm
GHI CHÚ NHANH
số là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 77: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau không có tiệm cận
đứng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 78: Đồ thị hàm số
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận
? A. . B. . C. . D. .
Câu 79: Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 80: Đồ thị hàm số
có tổng số bao nhiêu đường tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang ? A. B. . . C. . D. .
Câu 81: Đồ thị hàm số
có số đường tiệm cận đứng là
bao nhiêu ? A. . B. . C. . D. .
Câu 82: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận
đứng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 83: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang
?
A. . B. .
C. . D. .
13 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
KHẢO SÁT HÀM SỐ – TƯƠNG GIAO
GHI CHÚ NHANH
Câu 84: Cho hàm số bậc bốn
y
1
có
-1
x
O
-3
đồ thị như hình bên. Hỏi phương có bao nhiêu trình
nghiệm ? . A. . B. . C. . D.
Câu 85: Cho hàm số
liên tục trên ,
có đồ thị như hình vẽ bên.
Số nghiệm của phương trình
trên đoạn là:
. A. B. . C. 4. D.
Câu 86: Với giá
thì phương trình
tham số nghiệm ?
trị nào của có đúng .
.
.
. A. B. C. D.
để phương trình có 3 nghiệm phân
. B. .
Câu 87: Tìm biệt: A.
. D. . C.
Câu 88: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
có bốn nghiệm thực phân biệt.
A. .
. .
B. C. D. .
Câu 89: Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của để phương trình có bốn nghiệm phân biệt ?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
14 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số cắt đồ thị hàm số
để đường thẳng tại bốn điểm phân biệt ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 91: Một vật chuyển động theo quy luật
với là
khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn thời gian nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. . D. . C. B. . .
15 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
LŨY THỪA – MŨ - LOGARITH
GHI CHÚ NHANH
Câu 92: Với
là số thực dương tùy ý, bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 93: Cho
là hai số thực dương và là hai số thực tùy ý. Đẳng
thức nào sau đây sai ?
A. B.
C. D.
Câu 94: Cho
là số thực dương. Biểu thức được viết dưới dạng
lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A. B. C. D.
Câu 95: Giá trị của
bằng
A. 6. B. 81. C. 9. D. 3.
Câu 96: Cho các số thực
. Khẳng định nào sau đây là
đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 97: ới
A. là số thực dương tùy ý, . bằng . B.
C. . D. .
và số nguyên dương tùy ý. Mệnh đề
Câu 98: Cho số thực dương nào dưới đây đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 99: Biểu thức
có giá trị bằng
. A. . B.
C. 2. D. .
Câu 100: Giá trị
viết dưới dạng lũy thữa với số mũ hữu tỷ là
A. . . B.
C. . D.
16 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 101: Cho
và . Tính
A. C. . . B. D. . .
Câu 102: Cho số
và . Giá trị của bằng
A. . B. .
C. . D. Đáp án khác.
Câu 103: Viết biểu thức
dưới dạng lũy thừa với số mũ
hữu tỷ
A. . B. .
C. . D. .
Câu 104: Cho
. Biểu thức có giá trị bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 105: Cho hai số thực
tuỳ ý khác thoả mãn . Giá trị của
bằng
A. B.
C. D.
Câu 106: Biết
, tính giá trị của biểu thức .
.
A. C. . B. D. . .
Câu 107: Cho
là một số thực dương, tính giá trị của biểu thức
bằng
A. C. . . B. D. . .
Câu 108: Cho
. Khi đó biểu thức với là
. Tích bằng
.
phân số tối giản và B. A. D. C. . . .
17 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
) dưới dạng luỹ thừa với số mũ (
Câu 109: Viết biểu thức hữu tỷ.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 110: Cho
là số thực dương. Biết với , là các số
tự nhiên và là phân số tối giản. Tính .
A. C. . . B. D. . .
và số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai
Câu 111: Cho số thực ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 112: Rút gọn biểu thức
với .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 113: Cho
là các số thực. Mệnh đề nào sau đây là sai ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 114: Rút gọn biểu thức
, ta được kết quả là
A. . B. . C. . D. .
Câu 115: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 116: ới
là hai số thực thỏa , ta có
A. . B. .
C. . D. .
18 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 117: Cho
và là các số thực dương tùy ý. Nếu và
thì
A. C. B. D.
HÀM SỐ MŨ - LOGARITH
Câu 118: Tập xác định của hàm số
là
A. B.
C. D.
Câu 119: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 120: Tập xác định
hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 121: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 122: Tập xác định của hàm số
là
A. .
. B. D. . . C.
Câu 123: Tập xác định của hàm số
là
. A. B. .
C. . D. .
Câu 124: Tập xác định của hàm số
là:
A. . B. .
C. . D.
Câu 125: Tìm tập xác định
của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
19 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 126: Tập xác định của hàm số
là
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D. .
Câu 127: Tập xác định của hàm số
là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 128: Tập xác định của hàm số
là
. A. B. .
C. . D. .
Câu 129: Tập xác định
của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 130: Tính đạo hàm của hàm số
?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 131: Tìm đạo hàm của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 132: Đạo hàm của hàm số
trên tập là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 133: Trên tập số thực
, đạo hàm của hàm số là:
A. . B. .
C. . D.
Câu 134: Hàm số
có đạo hàm là
A. . B. .
C. . D.
20 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 135: Hàm số
có đạo hàm là
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D. .
Câu 136: Đạo hàm của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 137: Cho hàm số
. Số nghiệm nguyên dương của
bất phương trình là số nào sau đây
A. . B. . C. . D. .
Câu 138: Hàm số
có đạo hàm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 139: Tính đạo hàm của hàm số
.
A. . B. .
C. D. . .
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 141: Đạo hàm của hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 142: Tìm tập xác định của hàm số
là
A. . . B.
C. . . D.
Câu 143: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. .
C. D. . .
21 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 144: Hàm số
có tập xác định là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 145: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 146: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 147: Tập xác định của hàm số
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 148: Tính đạo hạm của hàm số
. A. . B.
. C. . D.
Câu 149: Hàm số
có đạo hàm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 150: Đạo hàm của hàm số
là
A. . B.
C. . D. .
Câu 151: Trên tập
, đạo hàm của hàm số là
A. B.
C. D.
Câu 152: Trên khoảng
, đạo hàm của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
22 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 153: Trên khoảng
, đạo hàm của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 154: Trên khoảng
đạo hàm của hàm số là:
A. . . B.
C. . . D.
Câu 155: Đạo hàm của hàm số
bằng
A. . . B.
C. . . D.
Câu 156: Tính đạo hàm của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 157: Trên khoảng
, đạo hàm của hàm số là :
A. . B. .
C. . D. .
PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITH
Câu 158: Phương trình A.
. có tập nghiệm là . B.
C. . D. .
Câu 159: Tập nghiệm của phương trình
là
A. . B. C. D. . . .
Câu 160: Phương trình
có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
23 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 161: Nghiệm của phương trình
là:
GHI CHÚ NHANH
A. B. C. D.
Câu 162: Phương trình
có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 163: Nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 164: Số nghiệm dương của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 165: Biết rằng phương trình
có một nghiệm thực duy
nhất. Nghiệm thực đó thuộc khoảng nào dưới đây A. B. . .
C. . D. .
Câu 166: Tích tất cả các nghiệm của phương trình
A. . B. . C. . bằng . D.
Câu 167: Nghiệm của phương trình
là
A. B. C. D.
Câu 168: Nghiệm của phương trình
là
A. B. C. D.
Câu 169: Tập nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 170: Nghiệm của phương trình
là
A. B. C. D.
Câu 171: Giải phương trình
A. . B. . . C. . D. .
Câu 172: Nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
24 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 173: Nghiệm của phương trình
là
GHI CHÚ NHANH
A. . B. . C. . D. .
Câu 174: Phương trình
có nghiệm là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 175: Nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 176: Gọi
là hai nghiệm của phương trình khi
bằng đó
A. . B. . C. . D.
Câu 177: Phương trình
có bao
nhiêu nghiệm thực. B. A. . . C. . D. .
Câu 178: Tập nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 179: Số nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 180: Nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 181: Nghiệm của phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 182: Biết
, , , …, , khi đó
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 183: Tất cả các giá trị của tham số
để phương trình có
nghiệm là . A. B. . C. . D. .
25 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 184: Cho
là các số thực khác thỏa mãn Giá trị
GHI CHÚ NHANH
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 185: Phương trình
có nghiệm là
A. . B. . C. . D. .
là
Câu 186: Nghiệm của phương trình ; ;
A. C. . . B. D. ; ; . .
Câu 187: Phương trình
có hai nghiệm .
Giá trị biểu thức thuộc
A. B. C. D.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARITH
Câu 188: Tập nghiệm
của bất phương trình là
A. B.
C. D.
Câu 189: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 190: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 191: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 192: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 193: Bất phương trình
A. . B. có tập nghiệm là C. . . D. .
26 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 194: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
bằng
A. . B. .
C. . D.
Câu 195: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 196: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình
là
A. 15. B. 8. C. 16. D. 9.
Câu 197: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 198: Tập nghiệm của bất phương trình .
A. B. . C. là . D. .
Câu 199: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
Câu 200: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
là
A. . B. . C. . D. .
có dạng
Câu 201: Tập nghiệm của bất phương trình trong đó
. Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 202: Có
bao nhiêu số nguyên thỏa mãn
?
A. 1023. B. 1021. C. 1022. D. 1024.
Câu 203: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 204: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. B.
C. D.
27 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
có dạng
GHI CHÚ NHANH
Câu 205: Tập nghiệm của bất phương trình bằng
, biểu thức
A. . B. . C. . D. .
Câu 206: Tập nghiệm của bất phương trình
là:
A. B.
C. D.
Câu 207: Nghiệm của phương trình
A. . là B. .
C. . D. .
Câu 208: Tập nghiệm của phương trình: .
A. B. là: .
C. . D. .
Câu 209: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 210: Tập nghiệm của bất phương trình
A. . B. là .
C. . D. .
Câu 211: Tập nghiệm của bất phương trình
A. . B. là .
C. . D. .
Câu 212: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. B.
C. D.
Câu 213: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
.
A. 9. B. 4. C. 7. D. 5.
Câu 214: Tập nghiệm của bất phương trình
là
A. . B. .
C. . D. .
28 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 215: Tập nghiệm của bất phương trình
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D. .
Câu 216: Trong năm 2021, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2021, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1000 ha ? A. Năm 2029.
B. Năm 2049. C. Năm 2048. D. Năm 2030.
29 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 217: Cho hình chóp
KHỐI ĐA DIỆN có đáy là hình vuông cạnh .
Biết và . Thể tích của khối chóp
là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 218: Cho khối chóp
có đáy ,
là tam giác vuông cân tại ? . Tính thể tích khối chóp
A. C. . . B. D. . .
Câu 219: Cho khối tứ diện
đôi một vuông góc và
của khối tứ diện đó là:
.
A. C. . B. D. có . Thể tích . .
Câu 220: Cho khối chóp
có đáy là tam giác đều cạnh ,
, .
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 221: Cho hình chóp
có đôi một vuông góc và
Tính thể tích khối chóp
A. . B. .
C. . D. .
Câu 222: Cho hình chóp tứ giác
có đáy là hình vuông cạnh ,
vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính theo thể
tích khối chóp .
A. . B. .
C. . D. .
. Diện tích toàn phần của hình
Câu 223: Thể tích khối lập phương là lập phương tương ứng bằng A.
B. . . C. . D. .
30 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 224: Cho khối chóp có thể tích bằng
và chiều cao bằng .
GHI CHÚ NHANH
Diện tích đáy của khối chóp đã cho bằng A. C. B. D.
Câu 225: Cho hình lập phương có cạnh bằng
. Tổng diện tích các mặt
của hình lập phương đã cho bằng A. C. B. D. . . . .
.
Câu 226: Tính tổng diện tích các mặt của một hình bát diện đều cạnh .
A. B. .
C. . D. .
Câu 227: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng
là
A. B.
C. D.
Câu 228: Cho tứ diện
, đôi một vuông góc
với nhau. Biết có các cạnh , , , . Tính theo thể tích
của khối tứ diện .
A. . B. .
C. . D. .
, , đôi một vuông góc với
Câu 229: Cho tứ diện , nhau,
có , . Thể tích khối tứ diện là
A. . B. . C. . D. .
Câu 230: ho hình chóp
có đáy là tam giác cân tại ,
. Mặt bên là tam giác đều và nằm trong mặt
của khối chóp
, phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 231: Cho khối chóp
vuông cân tại
đáy. Tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , tam giác và nằm trong mặt phẳng vuông góc với . theo
A. . B. .
C. . D. .
31 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 232: Cho khối chóp
GHI CHÚ NHANH
là tam giác vuông cân tại có đáy là tam giác đều cạnh và , mặt bên vuông góc với mặt
phẳng . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 233: Cho hình chóp
có đáy
. Mặt bên là hình chữ nhật với là tam giác đều và vuông góc
bằng
với mặt đáy. Thể tích khối chóp A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 234: Cho hình chóp
có cân tại và
vuông góc với mặt đáy và . Thể tích khối
. Cạnh bên chóp bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 235: Cho khối chóp
là trung điểm . Gọi
có đáy là hình chữ nhật với là tam . Mặt bên giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 236: Cho khối chóp
có diện tích đáy bằng , đường cao
. Thể tích khối chóp
A. . B. .
C. . D. .
32 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
, diện tích đáy bằng thì
GHI CHÚ NHANH
Câu 237: ho khối lăng trụ có thể tích bằng khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 238: Cho khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao
. Thể tích của khối chóp đã cho được tính theo công thức nào dưới đây ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 239: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng
; chiều cao bằng và thể
tích bằng V. Thể tích khối chóp là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 240: Một khối chóp có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 4. Chiều
cao của khối chóp đó bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 241: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 242: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng
, có thể
tích Tính giá trị của .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 243: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
và thể tích
bằng A. . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng . B. .
C. . D. .
33 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 244: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
GHI CHÚ NHANH
A. Thể tích khối chóp có đường cao và diện tích đáy là
.
B. Thể tích khối lăng trụ có đường cao và diện tích đáy là
.
C. Thể tích khối tứ diện có đường cao và diện tích đáy là
.
D. Thể tích khối lập phương cạnh là .
Câu 245: Khối chóp
có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích
bằng . Tính cạnh của khối chóp.
. .
A. C. . B. D. .
Câu 246: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao .
Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B. .
C. . D. .
34 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
KHỐI TRÒN XOAY
GHI CHÚ NHANH
Câu 247: Thể tích
của khối cầu bán kính được tính theo công thức
nào dưới đây?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 248: Cho hình trụ có bán kính đáy
và độ dài đường sinh
. Diện của hình trụ đã cho được tính theo công tích xung quanh
.
.
thức nào dưới đây? B. A.
C.
.
D.
.
Câu 249: Cho khối cầu có bán kính
Thể tích của khối cầu đã cho
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 250: Thể tích khối cầu có đường kính
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 251: Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 252: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
quanh một
trong những đường kính, ta được khối tròn xoay có thể tích là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 253: Bán kính
của khối cầu có thể tích là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 254: Khối cầu bán kính
có thể tích là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
35 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 255: Một khối cầu có bán kính
thì có thể tích bằng bao nhiêu?
GHI CHÚ NHANH
A.
B.
.
.
C.
. D.
.
Câu 256: Cho mặt cầu có bán kính
. Diện tích của mặt cầu đã cho
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 257: Cho mặt cầu có bán kính
. Diện tích mặt cầu đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 258: Cho mặt cầu có bán kính
. Diện tích của mặt cầu đã cho
.
bằng A.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 259: Cho mặt cầu có diện tích bằng
. Khi đó, bán kính mặt cầu
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
là
Câu 260: Diện tích mặt cầu bán kính . .
A.
B.
C.
.
D.
.
Câu 261: Diện tích của một mặt cầu bằng
. Bán kính của mặt cầu
. .
đó là. A. C.
B. D.
. .
Câu 262: Tính diện tích mặt cầu
khi biết chu vi đường tròn lớn của nó
. .
bằng A. C.
B. D.
. .
Câu 263: Diện tích mặt cầu có đường kính bằng
là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
36 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 264: Cho mặt cầu
có diện tích Khi đó, thể tích khối
GHI CHÚ NHANH
cầu là
A.
B.
C.
D.
Câu 265: Cho mặt cầu có diện tích bằng
. Thể tich khối cầu là
A. C.
. .
B. D.
. .
Câu 266: Một hình trụ có bán kính đáy
và độ dài đường sinh
. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
A.
.
B.
C.
D.
Câu 267: Cho hình trụ có bán kính đáy
và độ dài đường sinh .
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng: A. C.
B. D.
. .
. .
Câu 268: Cho hình trụ có bán kính đáy
và độ dài đường sinh .
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng . A. . C.
B. D.
. .
Câu 269: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng
. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. C.
B. D.
. .
. .
Câu 270: Cho khối trụ
có bán kính đáy , thể tích . Tính
diện tích toàn phần của hình trụ tương ứng A. C.
B. D.
. .
. .
Câu 271: Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính
.
đáy là A. và đường cao là . .
B.
C.
.
D.
.
Câu 272: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
và bán kính
. Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.
. .
đáy là A. C.
B. D.
. .
37 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 273: Một hình trụ có bán kính đáy bằng
và có thiết diện qua trục là
GHI CHÚ NHANH
.
một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là A. C.
B. D.
. .
.
Câu 274: Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng
và bán kính
. Độ dài đường sinh của hình trụ bằng:
. .
đáy bằng A. C.
B. D.
. .
Câu 275: Cắt hình trụ
bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được
. Diện tích xung quanh
thiết diện là một hình vuông cạnh bằng của bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 276: Cắt hình trụ
bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết
diện là một hình vuông cạnh bằng
. Diện tích xung quanh của
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 277: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng
và chiều cao . Thể
tích của khối trụ đã cho bằng A. C.
B. D.
. .
. .
Câu 278: Thể tích khối trụ có bán kính đáy
và chiều cao
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 279: Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuông có cạnh
thể tích khối trụ đó.
.
.
bằng A. . Tính theo B.
C.
.
D.
.
Câu 280: Cho hình chữ nhật
có Tính thể tích khối
quanh trục
tròn xoay khi quay hình phẳng A. C.
B. D.
. .
. .
38 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 281: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
và có thiết diện cắt
GHI CHÚ NHANH
bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 282: Cho hình chữ nhật
có ,
.
. Thể tích của khối quanh cạnh
trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật bằng A. C.
B. D.
. .
.
Câu 283: Cho khối trụ có chu vi đáy bằng
và độ dài đường cao bằng
. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 284: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là
và có thiết diện cắt
bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ?
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 285: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là
hình vuông cạnh . Thể tích khối trụ đó bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 286: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có cạnh là . Thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ này là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 287: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh
và
.
.
bán kính đáy A. bằng B.
C.
.
D.
.
39 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 288: ho hình nón có bán kính đáy
và độ dài đường sinh .
GHI CHÚ NHANH
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng . A.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 289: ho hình nón có bán kính đáy
và độ dài đường sinh .
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 290: ho hình nón có bán kính đáy bằng
, đường cao là . Tính
.
.
diện tích xung quanh hình nón?
A. C.
.
B. D.
.
Câu 291: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân Tính diện tích xung quanh của hình
có cạnh góc vuông bằng nón.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
, bán kính đáy . Diện tích
Câu 292: ho hình nón có đường sinh toàn phần của hình nón đó là: A.
B.
C.
D.
Câu 293: Cho khối nón có chiều cao
và bán kính đáy . Thể tích
của khối nón đã cho bằng . A. . C.
B. D.
. .
và chiều cao . Thể tích
Câu 294: Cho khối nón có bán kính đáy khối nón đã cho bằng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 295: Cho khối nón có bán kính đáy
và chiều cao . Thể tích
của khối nón đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
40 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 296: Cho tam giác
vuông tại
GHI CHÚ NHANH
xung quanh đường thẳng chứa cạnh . Quay tam giác ta được một hình
nón có thể tích bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 297: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng
và đường cao bằng
. Thể tích của khối nón đã cho bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 298: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng
a. Thể tích khối nón là.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 299: ho hình nón có bán kính đáy bằng
, góc ở đỉnh bằng . Thể
tích khối nón là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 300: Cho khối nón tròn xoay có đường cao
và đường sinh
. Thể tích của khối nón là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
41 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
NGUYÊN HÀM
GHI CHÚ NHANH
Câu 301: Cho hàm số
và cùng liên tục trên . Khẳng định
nào đúng ? A. .
B. .
C. .
D.
Câu 302: Cho
là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh
đề nào sau đây sai ? A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 303: Hàm số
là một nguyên hàm của hàm số trên khoảng
. .
nếu A. C. . B. D. .
Câu 304: Cho hàm số
Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng ? A. B.
C. D.
Câu 305: Cho hàm số
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 306:
bằng.
A. B.
C. D.
Câu 307: Tìm công thức sai:
A. . B. .
C. . D. .
42 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 308: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
GHI CHÚ NHANH
A. B.
C. D.
Câu 309: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 310: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
. và
A. B. .
C. . D. .
Câu 311: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 312: Trên các khoảng
và , họ nguyên hàm của hàm
là số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 313: Nguyên hàm của hàm số
là
A. B. .
C. . D. .
Câu 314: Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới
đây đúng ? A. .
B. .
C. .
D. .
43 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 315: Tính
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D. .
Câu 316: Một nguyên hàm của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 317: Họ nguyên hàm của hàm số
trên là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 318: Một nguyên hàm của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 319: Họ nguyên hàm
của hàm số là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 320: Họ nguyên hàm của hàm số
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 321: Cho hàm số
. Khi đó:
A. B.
C. D.
44 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 322: Nếu đặt
thì trở thành
A. . B. .
C. . D. .
Câu 323: Biết
. Khi đó bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 324: Họ các nguyên hàm
là:
A. B.
C. D.
Câu 325: Biết
là một nguyên hàm của hàm số và
. Tính
. A. B. .
. C. D. .
Câu 326: Cho hàm số
xác định trên thỏa mãn
và Tính
.
A. C. . . B. D. .
Câu 327: Biết
là môt nguyên hàm của hàm số và
. Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 328: Cho hàm số
có đạo hàm và
. Biết là một nguyên hàm của thỏa mãn
, khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
45 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 329: Cho hàm số
, biết là một nguyên hàm
GHI CHÚ NHANH
của hàm số và . Khi đó bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 330: Biết
là một nguyên hàm của và .
Tính .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 331: Gọi
là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn
. Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 332: Họ các nguyên hàm
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 333: Cho biết
. Tính
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 334: Họ nguyên hàm của hàm số
là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 335: Họ các nguyên hàm
là
A. . B. .
C. . D. .
46 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
TÍCH PHÂN
GHI CHÚ NHANH
Câu 336: Cho biết
Tổng A. . bằng B. . C. . D. .
Câu 337: Họ các nguyên hàm
bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 338: Họ nguyên hàm của hàm số
là:
A. . B. .
C. . D. .
Câu 339: Nếu
thì bằng
A. 12. B. 18. C. . D. 10.
Câu 340: Nếu
và thì bằng
A. 4. B. . C. . D. .
Câu 341: Nếu
và thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 342: Cho
. Khi đó bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 343: Tìm hàm số
biết rằng hàm số có đạo hàm trên
là và
A. . B. .
C. . D. .
Câu 344: Cho
và . Tính
A. . B. . C. . D. .
47 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 345: Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 346: Biết
. Khi đó bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 347: Cho
. Đặt , với . Mệnh đề
nào sau đây đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 348: Cho tích phân
đặt Mệnh đề nào sau đây
đúng ?
A. B. C. D.
Câu 349: Tính tích phân
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 350: Nếu
thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 351: Tích phân
được tính bằng phương pháp đồi biến
. Khi đó tich phân được viết dưới dạng nào sau đây
A. . B. .
C. . D. .
48 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 352: Tích phân
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 353: Cho
, giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 354: Nếu
thì bằng
A. B. C. D.
Câu 355: Nếu
thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 356: Cho
với là các số nguyên dương. Khẳng
định nào dưới đây đúng ? . A. B. . D. . C.
Câu 357: Cho
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 358: Xét
, nếu đặt thì bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 359: Cho
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 360: Cho hàm số
liên tục trên thỏa .
Tính .
A. . B. . C. . D. .
49 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 361: Phát biểu nào sau đây đúng ?
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D.
Câu 362: Tính tích phân
:
A. B.
C. D.
Câu 363: Cho hàm số
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
. Biết và với mọi .
Tính tích phân
A. . B. .
C. . D. .
Câu 364: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 365: Tích phân
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 366: Nếu
và thì
bằng A. . B. . C. . D. .
Câu 367: Giá trị của
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 368: Nếu
thì bằng
A. B. C. D.
50 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 369: Nếu
thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 370: Cho
. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Câu 371: Nếu
thì bằng:
A. B. C. D.
Câu 372: Tích phân
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 373: Cho
. Khi đó bằng
A. . B. 34. C. 36. D. .
Câu 374: Nếu
thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 375: Cho
, với . Tìm nguyên để .
A. Không có giá trị nào của C. Vô số giá trị của . . B. D. . .
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
hình phẳng giới hạn bởi các đường ,
Câu 376: Tính diện tích và
, .
A. . B. . C. . D. .
Câu 377: Diện tích phần gạch chéo trong hình bên được tính theo công
thức
A. .
B. .
C. .
D. .
51 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 378: Diện tích , ,
của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng được tính bởi công thức nào sau đây ? ,
A. . B. .
C. . D. .
Câu 379: Diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ,
trục hoành và hai đường thẳng A. B. . . là . C. D. .
Câu 380: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
hoành và hai đường thẳng bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 381: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục được tính bằng công thức và các đường thẳng ,
nào sau đây ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 382: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
và
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 383: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục
là
hoành và đường thẳng . A. B. . C. . D. .
Câu 384: Cho hàm số
liên tục trên . Gọi là diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường ,
và . Mệnh đề nào
dưới đây là đúng ?
A. .
B. .
52 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
C.
D. .
Câu 385: Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số ,
, như hình bên dưới. Diện tích hình phẳng
là . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 386: Cho hàm số
liên tục trên đoạn và có đồ thị như
hình vẽ.
Trong các giá trị sau, giá trị nào lớn nhất ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 387: Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường
. Quay hình phẳng quanh trục
hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng
.
A. . B. . C. D. .
53 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 388: Cho hình phẳng
giới hạn bởi các đường thẳng
GHI CHÚ NHANH
. Gọi là thể tích của khối tròn xoay
được tạo thành khi quay xung quanh trục . Mệnh đề
nào dưới đây đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 389: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn
bởi các đường và trục hoành bằng ?
A. B. C. D.
Câu 390: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi , trục
giới hạn bởi các đường xoay hình phẳng
hoành, quay quanh trục hoành là:
A. B.
C. D.
Câu 391: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hàm số liên tục trên
đoạn và có đồ thị là . Thể tích khối tròn xoay tạo thành
khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, đường thẳng và
A. . bằng B. .
C. . D. .
Câu 392: Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
hoành và hai đường thẳng thành khi quay quanh trục hoành có thể tích , trục . Khối tròn xoay tạo bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 393: Cho hình phẳng
giới hạn bởi đường cong , trục
hoành và các đường thẳng . Thể tích của khối tròn
quanh trục hoành là
.
xoay tạo thành khi quay A. . C. . B. D. .
54 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 394: Gọi D
GHI CHÚ NHANH
là phần hình phẳng giới hạn bởi các đường . Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D
quanh trục bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 395: Cho hình phẳng
được giới hạn bởi các đường , ,
và . Thể tích
của khối tròn xoay tạo thành được tính theo xung quanh trục
khi quay hình phẳng công thức nào sau đây ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 396: Cho hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị hàm số và
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho
trục hoành. Tính thể tích quay quanh trục .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 397: Cho
là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
trục hoành và các đường thẳng , . Khi quay
tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng
quanh trục A. . B. . C. . D. .
55 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
SỐ PHỨC
GHI CHÚ NHANH
Câu 398: Trong các số phức sau, số phức nào là số thuần ảo ? D.
A. C. B. . . . .
Câu 399: Khẳng định nào sau đây là sai ?
là số thuần ảo.
là số phức có mô đun nhỏ nhất.
A. Số B. Số C. Số phức D. Số phức và số phức và số phức là hai số đối nhau. có môđun bằng nhau.
Câu 400: Môđun của số phức
với là
A. . B. . C. . D. .
Câu 401: Số nào dưới đây là một căn bậc hai của
?
A. . B. C. . D. .
Câu 402: Trong bốn phát biểu sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng ? .
a) Một số phức là biểu thức có dạng , với
b) Đơn vị ảo là số thỏa mãn: .
và gọi là bằng nhau nếu
c) Tồn tại một số thực không thuộc tập số phức. d) Hai số phức và
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Câu 403: Tích của hai số phức
và là
A. . B. .
C. D. . .
Câu 404: Cho
số thực và thỏa mãn với
?
là đơn vị ảo. Tính giá trị biểu thức A. B. . . C. . D. .
Câu 405: Cho số phức
. Khẳng định nào sau đây đúng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 406: Số phức
có số phức liên hợp là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 407: Số phức
A. . có phần ảo là B. . C. . D. .
56 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 408: Môđun của số phức B. .
A. . bằng C. . D. .
Câu 409: Modun của số phức
bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 410: Phần ảo của số phức B.
A. . bằng: C. . . D. .
bằng
Câu 411: Mô đun của số phức B. .
A. . C. . D. .
Câu 412: Cho số phức
thoả mãn . Phần thực của
bằng A. . B. . C. . D. .
Câu 413: Tìm các số thực
biết
A. C. . . B. D. . .
Câu 414: Cho số phức
và Biết , Khi
đó tổng A. bằng B. C. D.
Câu 415: Giá trị các số thực
thỏa mãn là
A. B.
C. D.
thỏa mãn . Môđun của số phức
Câu 416: Cho số phức là A.
. B. . C. . D. .
là
Câu 417: Môđun của số phức B.
A. . . C. . D. .
Câu 418: Cho số phức
Phần ảo của số phức thỏa mãn
bằng . A. B. . C. . D. .
Câu 419: Môđun của số phức
bằng
A. . B. . C. . D. .
57 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 420: Cho hai số phức
và . Tìm số phức .
GHI CHÚ NHANH
.
A. C. . B. D. . .
Câu 421: Cho hai số phức
, . Tích bằng
A. C. . . B. D. . .
Câu 422: Cho hai số phức
và . Số phức bằng
A. C. B. D.
, khi đó
.
Câu 423: Cho số phức A. C.
. bằng B. D. . .
Câu 424: Cho hai số phức
và . Tìm số phức .
. .
A. C. . B. D. .
, khi đó
.
Câu 425: Cho số phức A. C.
. . bằng B. D. .
Câu 426: Cho
Số phức có phần thực là
A. B. D. C.
Câu 427: Cho số phức
thỏa mãn . Tìm số phức .
A. B.
C. D.
Câu 428: Cho số phức
thỏa mãn điều kiện . Môđun của số
phức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 429: Cho hai số thực
và thỏa mãn với
là dơn vị ảo. Giá trị của biểu thức C. B. . . A. bằng D. . .
Câu 430: Cho số phức
, số phức bằng
. .
A. C. . B. D. .
58 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 431: Cho hai số phức
và . Số phức bằng
GHI CHÚ NHANH
A. C. B. D.
Câu 432: Trên mặt phẳng tọa độ
, số phức được biểu diễn
bởi điểm A. . B. .
C. . D. .
Câu 433: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ
, cho là điểm biểu
diễn của số phức A. . . Tổng phần thực và phần ảo của D. C. . . B. bằng .
Câu 434: Cho hai số phức thỏa
, . Giá trị của biểu thức
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 435: Cho hai số phức
và . Tính
A. . B. . C. . D. .
Câu 436: Số phức liên hợp của số phức
là
A. C. . . B. D. . .
Câu 437: Cho số phức
. Tìm phần ảo của số phức .
A. . B. . C. . D. .
SỐ PHỨC – ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
Câu 438: Điểm biểu diễn của số phức
là
A. B. C. D.
Câu 439: Trên mặt phẳng toạ độ
, điểm biểu diễn số phức
là A. . B. . C. . D. .
Câu 440: Số phức nào sau đây có điểm biểu trong hình vẽ sau ?
diễn là điểm . A.
B. .
C. .
D. .
59 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 441: Cho số phức
. Điểm biểu diễn số phức là điểm nào
GHI CHÚ NHANH
sau đây ? A. . B. .
C. . D. .
Câu 442: Cho hai số phức
và . Trong mặt phẳng tọa
độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 443: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số
phức
A. Điểm B. Điểm C. Điểm D. Điểm
Câu 444: Cho số phức
. Điểm
biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 445: Cho số phức
và . Điểm biểu diễn số phức
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 446: Cho số phức
thỏa mãn phương trình . Điểm
là
biểu diễn số phức A. . B. .
C. . D. .
Câu 447: Cho số phức
. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của
số phức A. C. . . trên mặt phẳng tọa độ ? . . B. D.
Câu 448: Cho số phức
thỏa mãn . Tìm tọa độ của điểm
biểu diễn số phức .
A. . B. .
C. . D. .
60 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 449: Cho số phức
thỏa mãn: . Trên mặt phẳng tọa
GHI CHÚ NHANH
độ, điểm biểu diễn số phức có tọa độ là:
A. . B.
C. . D. .
Câu 450: Cho các số phức
thỏa mãn . Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức là đường tròn . Tọa độ tâm
và bán kính của đường tròn lần lượt là
A. ; . B. ; .
C. ; . D. ; .
Câu 451: Cho số phức
thoả mãn . Biết rằng tập hợp điểm
là một đường
của đường tròn đó.
trong mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức tròn. Tìm toạ độ tâm , A. và bán kính B. . , .
C. , . D. , .
SỐ PHỨC – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 452: Gọi
là hai nghiệm phức của phương trình .
Giá trị bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 453: Cho
là hai nghiệm phức của phương trình .
Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 454: Gọi
là hai nghiệm phức của phương trình .
Giá trị của biểu thức bằng:
A. . B. . C. . D. .
Câu 455: Với giá trị nào của tham số
thì phương trình
nhận làm nghiệm ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 456: Biết
là một nghiệm của phương trình
với A. . . Tính tổng . B. C. . D. .
61 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 457: Trên tập số phức, phương trình
có một
GHI CHÚ NHANH
nghiệm là: A. C. . . B. D. . .
Câu 458: Cho số phức
và hai số thực , . Biết rằng và
. Tổng là bằng
hai nghiệm của phương trình A. B. . . C. . D. .
Câu 459: Gọi
là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình
. Số phức liên hợp của là
. .
A. C. . B. D. .
Câu 460: Gọi
và là hai nghiệm của phương trình
trong đó có phần ảo âm. Điểm nào dưới đây có điểm biểu
diễn của số phức ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 461: Gọi
, là hai nghiệm phức của phương trình , (
). Tính theo , .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 462: Gọi
là các nghiệm phức của phương trình .
Giá trị của biểu thức bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 463: Gọi
, là hai nghiệm phức của phương trình ,
trong đó có phần ảo âm. Giá trị của bằng
A. C. . . B. D. . .
Câu 464: Gọi
là hai nghiệm phức của phương trình .
Biểu thức có giá trị bằng
A. . B. . C. . D. .
62 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
GHI CHÚ NHANH
Câu 465: Trong không gian với hệ tọa độ
cho Đẳng
thức nào đúng trong các đẳng thức sau ? A. B.
C. D.
Câu 466: Trong không gian
, cho . Tìm tọa độ
.
véctơ A. . B. .
C. . D. .
Câu 467: Trong không gian
, cho hai vectơ và vt
. Tính độ dài
A. C. . . . . B. D.
Câu 468: Trong không gian
, cho . Tọa độ của là
A. C. . B. D.
Câu 469: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, hình chiếu vuông góc
của điểm trên mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 470: Trong không gian với hệ tọa độ
,cho hai điểm và
. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng .
A. . . B.
C. . . D.
Câu 471: Trong không gian
, cho , . Tính độ
dài của . A. . C. B. D. . .
Câu 472: Trong không gian
, cho hai vectơ vả
. Tìm tọa độ của điểm , biết ?
. .
A. C. . B. D. .
63 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 473: Trong không gian với hệ tọa độ
GHI CHÚ NHANH
, cho tứ diện Tìm tọa độ trọng tâm có của
tứ diện
A. . B. .
C. . D. .
Câu 474: Trong không gian
, cho ba điểm , ;
. Khi thẳng hàng thì giá trị của là
. .
A. C. . B. D. .
Câu 475: Trong không gian
, cho điểm . Tọa độ của điểm
đối xứng với qua mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 476: Trong không gian
cho hai điểm
Phương trình mặt cầu đường kính là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 477: Trong không gian với hệ trục
, cho điểm . Phương
trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục là :
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 478: Trong mặt phẳng
, cho mặt cầu có tâm và
đi qua điểm . Phương trình của là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 479: Trong không gian
, mặt cầu đi qua hai điểm ,
và tâm thuộc trục có đường kính bằng
A. . B. . C. . D. .
64 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 480: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm ;
GHI CHÚ NHANH
. Phương trình mặt cầu đường kính là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 481: Trong không gian
, cho , . Toạ độ
là A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 482: Cho
, . Tính
A. . B. .
C. . D. .
Câu 483: Trong không gian
, cho . Tích có
hướng của hai véctơ có tọa độ là
A. B.
C. D.
Câu 484: Cho
. Khẳng định nào dưới đây đúng ?
A. . B. .
C. . D.
Câu 485: Trong không gian
, cho hai véctơ và .
Gọi là véctơ cùng hướng với và . Tọa độ của
véctơ là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 486: Trong không gian
, cho tứ diện có thể tích bằng 5.
Biết . Tính tổng cao độ của
các vị trí điểm A. tìm được. . B. C. . D. .
. Câu 487: Trong không gian , cho và . Tính
diện tích tam giác .
A. . B. . C. . D. .
65 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 488: Trong không gian tọa độ
, cho . Diện
GHI CHÚ NHANH
tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 489: Trong không gian tọa độ
, cho .
Diện tích tam giác bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 490: Trong không gian
, cho hai mặt cầu
và . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. B. Hai mặt cầu tiếp xúc trong. C. Hai mặt cầu không có điểm chung. D. Hai mặt cầu có nhiều hơn một điểm chung.
Câu 491: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho điểm thuộc
mặt cầu và ba điểm
. Biết rằng tập hợp các điểm
là đường tròn cố định, bán kính
thỏa mãn của đường tròn này là. A. . B. .
C. . D. .
Câu 492: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, mặt cầu
đi qua điểm nào dưới đây ?
A. Điểm . B. Điểm .
C. Điểm . D. Điểm .
Câu 493: Trong không gian với hệ toạ độ
cho hai véc tơ
. Phát biểu nào sau đây sai ?
A. . B. .
C. ngược hướng với . D. .
Câu 494: Trong không gian với hệ
trục toạ độ , cho
. Tìm để góc giữa và bằng .
A. . B. . C. . D. .
Câu 495: Trong không gian
, góc giữa hai vecto và vecto
là
A. . B. . C. . D. .
66 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 496: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho ba điểm
GHI CHÚ NHANH
. Tính góc giữa hai vectơ và .
A. . B. . C. . D. .
Câu 497: Cho
, . ectơ vuông góc với khi
A. . B. . C. . D. .
OXYZ – PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Câu 498: Trong không gian
, mặt phẳng nào dưới đây nhận
là một vectơ pháp tuyến ?
A. C. . . B. D. . .
Câu 499: Trong không gian
mặt phẳng , có một
véctơ pháp tuyến là ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 500: Trong không gian
, cho mặt phẳng .
Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 501: Phương trình mặt phẳng
đi qua điểm và có
vectơ pháp tuyến là
A. C. . . B. D. . .
Câu 502: Trong không gian
, mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến là A. . B. .
C. . D. .
Câu 503: Trong không gian
, cho mặt phẳng .
ecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của ?
A. . B. .
C. . D. .
67 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 504: Trong mặt phẳng
, cho mặt phẳng .
GHI CHÚ NHANH
éctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 505: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho ba điểm ,
, . Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 506: Trong không gian
, cho mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng . ectơ nào dưới đây là một
vectơ pháp tuyến của ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 507: Trong không gian
, cho mặt phẳng
. ectơ nào sau đây không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A. B.
C. D.
Câu 508: Trong không gian
, mặt phẳng có một
vectơ pháp tuyến là A. . B. .
C. . D. .
Câu 509: Trong không gian
, cho mặt phẳng .
Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng A. . C. B. D. . ? . .
Câu 510: Trong không gian với hệ toạ độ
, cho hai mặt phẳng
và . Khẳng định nào
sau đây đúng ? A. Vuông góc với nhau. B. Song song với nhau. C. Trùng nhau. D. ắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
68 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 511: Trong không gian với hệ tọa độ
cho hai mặt phẳng
GHI CHÚ NHANH
và Khẳng
định nào sau đây đúng ? A. song song với nhau. B. trùng nhau. C. ắt nhau nhưng không vuông góc nhau. D. vuông góc nhau.
Câu 512: Trong
không gian , cho hai mặt phẳng
và . Khẳng định
nào sau đây đúng ? A. cắt và vuông góc với .
B. cắt và không vuông góc với .
C. .
D. .
Câu 513: Tìm giá
trị của tham
số và để hai mặt phẳng song song
với nhau ? A. B. . C. . D. .
Câu 514: Trong không gian
cho mặt phẳng
Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng
A. B.
C. D.
Câu 515: Trong không gian
tọa độ cho hai mặt phẳng
và với là
tham số. Tìm giá trị của tham số thực để mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
A. B. C. D.
Câu 516: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho hai mặt phẳng
, . Với
giá trị thực của bằng bao nhiêu để song song ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 517: Biết
rằng hai mặt phẳng và
song song với nhau. Giá trị
bằng
của A. . B. . C. . D. .
69 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 518: Trong không gian
, mặt phẳng đi qua
GHI CHÚ NHANH
điểm nào dưới đây ? A. B. . . C. . D. .
Câu 519: Trong không gian với hệ
trục , cho mặt phẳng
. Điểm nào sau đây không thuộc mặt
phẳng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 520: Trong không gian
, cho mặt phẳng .
Điểm nào sau đây thuộc ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 521: Trong không gian
, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng
.
A. . B. .
C. . D. .
Câu 522: Trong không gian
, cho điểm thuộc mặt phẳng
. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. C. . . B. D. . .
Câu 523: Trong không gian
, cho mặt phẳng .
Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 524: Trong không gian
, mặt phẳng đi qua
điểm nào dưới đây ? A. Điểm . B. Điểm .
C. Điểm . D. Điểm .
Câu 525: Mặt phẳng
cắt trục tại điểm có tọa độ.
A. . . B.
C. . D.
70 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 526: Trong không gian
, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm
GHI CHÚ NHANH
?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 527: Cho
điểm , , , . Hỏi có
bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 528: Trong không gian
, cho và mặt phẳng có
phương trình . Tìm toạ độ của điểm thuộc
trục cách đều điểm và mặt phẳng
A. . B. .
C. . D. .
phương trình mặt phẳng
Câu 529: Trong không gian với hệ tọa độ đi qua điểm
và vuông góc với trục tung là
.
A. C. B. D.
OXYZ – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Câu 530: Trong không gian
, đường thẳng và điểm
. Mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với đường
có phương trình là:
. .
thẳng A. C. . B. D. .
Câu 531: Trong không gian
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng . ec tơ nào dưới đây là vec tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 532: Trong không gian
, cho hai điểm và .
có phương trình là
.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . A. C. B. D. . .
71 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 533: Trong không gian
, phương trình mặt phẳng đi qua
GHI CHÚ NHANH
điểm và vuông góc với đường thẳng có dạng là
A. C. . . B. D. . .
Câu 534: Trong không gian hệ tọa độ
, cho điểm . Phương
trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với trục .
.
A. C. . . B. D. .
Câu 535: Trong không gian
, cho đường thẳng đi
qua điểm nào dưới đây ? . A. B. .
C. . D. .
Câu 536: Trong không gian
, đường thẳng đi qua
điểm nào dưới đây ? A. . B. .
C. . D. .
Câu 537: Trong không gian
cho đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây ? A. Điểm . B. Điểm .
C. Điểm . D. Điểm .
Câu 538: Trong không gian
đường thẳng đi qua điểm
nào dưới đây A. Điểm B. Điểm
C. Điểm D. Điểm
Câu 539: Trong không gian
, đường thẳng đi
qua điểm nào sau đây ? . A. B. .
C. . D. .
72 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 540: Trong không gian
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
GHI CHÚ NHANH
A. B.
C. D.
Câu 541: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
. Gọi là giao điểm của với mặt phẳng
. Tọa độ điểm là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 542: Trong
không gian cho đường thẳng
và hai điểm , . Tọa
thuộc sao cho tam giác vuông ở là
độ điểm A. . B. .
C. . D. .
Câu 543: Trong không gian
, cho , và đường
thẳng . Tìm tọa độ thuộc đường thẳng
sao cho cách đều .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 544: Trong không gian
, cho điểm và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua và vuông góc với
đi qua điểm nào dưới đây ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 545: Trong không gian với hệ trục
, cho điểm và
đường thẳng . Điểm nào sau đây không thuộc
đi qua , vuông góc và cắt đường thẳng .
đường thẳng A. . B. .
C. . D. .
73 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 546: Trong không gian với hệ tọa độ
tìm tâm mặt cầu đi
GHI CHÚ NHANH
qua 2 điểm và có tâm nằm trên đường thẳng
đi qua đồng thời vuông góc với cả hai đường
thẳng và có phương trình
A. . B. .
C. . D. .
Câu 547: Trong không gian
, đường thẳng có một
vectơ chỉ phương là A. . B. .
C. . D. .
Câu 548: Trong không gian
, véctơ là một véctơ chỉ
phương của đường thẳng nào sau đây ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 549: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho đường thẳng
, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ
phương của đường thẳng ?
A. B.
C. D.
Câu 550: Trong không gian
, cho đường thẳng .
ecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của
A. . B. .
C. . D. .
Câu 551: Trong không gian
, vectơ nào là vectơ chỉ phương của
đường thẳng
74 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
A. . B. .
C. . D. .
Câu 552: Trong không gian
, đường thẳng có
một vectơ chỉ phương là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 553: Trong không gian
, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ
phương của đường thẳng đi qua hai điểm và
?
A. B.
C. D.
Câu 554: Trong không gian
, tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
biết vuông góc với 2 đường thẳng và
.
. A. B. .
. C. D. .
Câu 555: Trong
không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
. Tìm một vectơ chỉ phương của
.
đường thẳng A. . B. .
C. . D. .
Câu 556: Trong không gian với hệ tọa độ
cho đường thẳng
. Hình chiếu vuông góc của trên mặt
phẳng là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 557: Trong không gian với hệ trục tọa độ
, cho đường thẳng
, mặt phẳng và điểm
75 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
đi qua
GHI CHÚ NHANH
. Đường thẳng phẳng lần lượt tại M, N sao cho rằng có một véctơ chỉ phương cắt đường thẳng d và mặt là trung điểm của MN, biết . Khi đó, tổng
bằng: .
. A. C. B. D. . .
Câu 558: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
,
.
A. . B. . C. . D. .
Câu 559: Viết phương trình đường thẳng đi qua
và vuông góc
với mặt phẳng .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 560: Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
có phương trình
và vuông góc với mặt phẳng là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 561: Trong không gian
, cho điểm và mặt phẳng
. Đường thẳng đi qua và vuông góc với
mặt phẳng có phương trình là
A. B. C. D. .
Câu 562: Trong không gian
, đường thẳng đi qua điểm
và nhận véctơ làm véctơ chỉ phương có phương
trình chính tắc là
A. . B. .
C. . D. .
76 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 563: Trong không gian tọa độ
, đường thẳng đi qua điểm
GHI CHÚ NHANH
và có véc-tơ chỉ phương có phương
trình là
A. . B. .
C. . D. .
77 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GÓC – KHOẢNG CÁCH
GHI CHÚ NHANH
Câu 564: Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông tại
vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng và là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 565: Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông tại
vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng và , là
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 566: Cho tứ diện
có và . Gọi là trung
điểm của . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Góc giữa hai mặt phẳng và là .
B. Góc giữa hai mặt phẳng và là góc giữa hai
.
đường thẳng C. và .
D. .
Câu 567: Cho hình chóp
có và
. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 568: Cho hình chóp
có cạnh bên
hình chữ nhật. Biết và và góc là là góc
giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy. Giá trị của bằng
A. .
B. .
C. .
D. .
78 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 569: Cho hình chóp
là hình vuông cạnh
GHI CHÚ NHANH
, là góc tạo với
và bởi hai mặt phẳng , có đáy vuông góc với đáy. Tính và .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 570: Trong không gian cho tam giác đều
và hình vuông
nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. Gọi là góc giữa
cạnh hai mặt phẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 571: ho hình lăng trụ đứng
có đáy
vuông cân tại và là tam giác Góc giữa hai mặt phẳng
và bằng
A. B. C. D. . . . .
Câu 572: ho hình lăng trụ đứng
có tất cả các cạnh bằng
nhau
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
79 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 573: Cho hình hộp chữ nhật
có , ,
GHI CHÚ NHANH
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 574: Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật và
.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là
A. . B. . C. . D. .
Câu 575: Cho hình chóp thẳng điểm của
vuông góc với mặt phẳng đáy, đến . Khoảng cách từ . Đường có đáy là hình vuông cạnh là trung . Gọi nhận giá trị nào
trong các giá trị sau ?
A.
B.
C. D.
có cạnh đáy bằng
Câu 576: ho hình lăng trụ tam giác đều . Khoảng cách từ
đến mặt phẳng bằng
A. .
B. .
C. D. . .
80 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
Câu 577: Cho cấp số nhân
CẤP SỐ với và công bội . Giá trị của
bằng ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 578: Một cấp số nhân
có . Công bội của cấp số
nhân là A. . B. . C. . D. .
Câu 579: Cấp số nhân
có có công bội là
A. . B. . C. . D. .
Câu 580: Cho cấp số nhân
với và . Công bội của cấp số
nhân đã cho bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 581: Cho cấp số nhân
với và công bội . Giá trị của
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 582: Cho cấp số nhân
có . Tìm công bội
A. . B. . C. . D. .
Câu 583: Cho cấp số nhân
có số hạng đầu và công bội
Số hạng có giá trị bằng
A. B. C. D.
Câu 584: Cho cấp số nhân
có số hạng đầu và số hạng thức hai
. Giá trị của B. . bằng . A. C. . D. .
Câu 585: Cho cấp số nhân có số hạng thứ
là , công bội . Giá
trị của bằng
A. . B. .
C. . D. .
Câu 586: Cho cấp số nhân
biết ; . Giá trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
81 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 587: Cho cấp số nhân
có số hạng đầu và công bội .
GHI CHÚ NHANH
Tính số hạng của cấp số đó.
A. . B. . C. . D. .
Câu 588: Nguời ta thiết kế một cái tháp gồm
tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện tích bề mặt đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là , diện tích bề mặt trên cùng của tháp bằng A. B. . .
C. . D. .
Câu 589: Cho dãy số
là cấp số cộng với ; thì bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 590: Cho cấp số cộng có số hạng đầu
và số hạng thứ hai
. Tính số hạng thứ tư của cấp số cộng đã cho.
A. . B. . C. . D. .
Câu 591: Cho cấp số cộng
với và công sai . Giá trị của
bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 592: Cho cấp số cộng
có số hạng đầu và công sai .
Số hạng thứ 10 của dãy . A. B. . C. . D. .
Câu 593: Cho cấp số cộng
có số hạng đầu và công sai .
Giá trị của bằng
A. 12. B. 17. C. 22. D. 250.
Câu 594: Cho cấp số cộng
có và . Số 11 là số
hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng đã cho ? A. 17. C. 18. B. 16. D. 19.
82 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
TỔ HỢP – XÁC SUẤT Câu 595: Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu
cách chọn ra một học sinh của lớp 10A để làm lớp trưởng ? A. D. C. B. . . . .
Câu 596: Có
cây bút đỏ, cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao
nhiêu cách lấy ra một cây bút từ hộp bút ? . A. C. B. . . D. .
Câu 597: Một tổ có
học sinh nữ và học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật ? A. D. C. B. . . . .
Câu 598: Có
cuốn sách Toán khác nhau và
cuốn sách Vật lí khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách trong số các cuốn sách đó ? A. D. C. B. . . . .
Câu 599: Trường THPT A, khối 12 có 11 lớp, khối 11 có 10 lớp và khối 10 có 12 lớp. Thầy Tổ trưởng tổ Toán muốn chọn một lớp để dự giờ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn ? . A.
D. C. B. . . .
Câu 600: Trên kệ sách nhà bạn Lan có 7 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển sách Vật lý khác nhau và 9 quyển sách Lịch sử khác nhau. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc A. 9.
C. 24. D. 7. B. 8.
học sinh giỏi khối
Câu 601: Một trường trung học phổ thông có học sinh giỏi khối
, học sinh giỏi khối và . ậy nhà
trường có bao nhiêu cách chọn A. B. học sinh giỏi để đi dự trại hè ? C. D.
Câu 602: Tổ I có 6 học sinh nam, 4 học sinh nữ; tổ II có 5 nam, 5 nữ. Có
bao nhiêu cách chọn mỗi tổ một học sinh lên bảng ? A. 100. B. 600. C. 20. D. 72.
Câu 603: Một hộp có chứa
bi đỏ, bi vàng. Số cách chọn bi xanh và
được một bi trong hộp đó là: A. B. . . C. . D. .
Câu 604: Một bó hoa có
hoa hoa hồng đỏ và hoa
hoa hồng trắng, hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy một bông hoa. D. A. C. B. . . . .
Câu 605: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số ? .
A. C. B. . . D. .
83 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 606: Tập
GHI CHÚ NHANH
A. gồm 8 phần tử. Hỏi . B. . có bao nhiêu tập con ? D. C. . .
Câu 607: Trong tủ quần áo của bạn Ngọc có
cái áo sơ mi đôi một khác nhau và cái chân váy với hoa văn khác nhau. Bạn Ngọc muốn chọn ra một bộ quần áo để đi dự tiệc sinh nhật. Hỏi bạn Ngọc có bao nhiêu cách chọn ? A. D. C. B. . . . .
Câu 608: Một hộp đồ bảo hộ có 10 chiếc khẩu trang và 3 mặt nạ chống giọt bắn. Có bao nhiêu cách chọn một chiếc khẩu trang và một mặt nạ chống giọt bắn từ hộp đồ bảo hộ trên. . A.
D. C. B. . . .
Câu 609: Đi từ A đến B có 3 con đường,đi từ B đến có 4 con đường.Hỏi
đi từ A đến C có bao cách đi ? A. 7. B. 8. C. 10. D. 12.
Câu 610: Bình có
cái áo khác nhau, 4 chiếc quần khác nhau, 3 đôi giầy khác nhau và 2 chiếc mũ khác nhau. Số cách chọn một bộ gồm quần, áo, giầy và mũ của Bình là A. 120. D. 14. B. 60. C. 5.
Câu 611: Cho tập
. Từ tập , có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn gồm A. . chữ số khác nhau ? . B. C. . D. .
Câu 612: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không
chữ số khác nhau ?
chia hết cho . A. gồm B. . C. . D. .
Câu 613: Số
có bao nhiêu ước số tự nhiên ?
A. 240. B. 120. C. 180. D. 160.
Câu 614: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và chia hết
cho 5 ? A. 952. B. 1008. C. 1620. D. 1800.
Câu 615: Cần xếp 3 nam, 3 nữ vào 1 hàng có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp sao cho nam nữ ngồi xen kẽ. A. B. . . C. . D. .
84 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 616: Từ các số
tạo được bao nhiêu số lẻ có chữ số khác
GHI CHÚ NHANH
nhau ? . A. B. . C. . D. .
Câu 617: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ số ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 618: Có bao nhiêu số có
chữ số khác nhau được lập từ chữ số
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 619: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
?
A. . B. . C. . D. .
Câu 620: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
A. . B. . C. . D. .
Câu 621: Với
là các số nguyên thỏa mãn , công thức nào
dưới đây đúng ?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 622: Cho
điểm phân biệt trên mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu vectơ
mà điểm đầu và điểm cuối là A. B. . . điểm đã cho ? . C. D. .
Câu 623: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau
và không có chữ số nào lớn hơn 5 A. B. . . C. . D. .
Câu 624: Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ chữ số ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 625: Từ các chữ số
lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm
hai chữ số khác nhau ? . A. B. . C. . D. .
85 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 626: Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một
GHI CHÚ NHANH
hàng ngang sao cho mỗi học sinh ngồi một ghế là A. C. B. . . . D. .
Câu 627: Lớp
có học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn lập một
ban cán sự của lớp gồm một lớp trưởng, một bí thư, một lớp phó học tập và một lớp phó văn thể. Số cách lập nhóm ban cán sự là A. D. C. B. . . . .
Câu 628: Trong mặt phẳng cho
điểm phân biệt và không có
điểm là số đoạn thẳng có các điểm đầu mút là là số vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các
nào thẳng hàng. Gọi các điểm đã cho, gọi điểm đã cho. Phát biểu nào sau đây là đúng ? A. . C. B. . . D. .
Câu 629: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho
bạn học sinh vào dãy có
ghế ?
A. cách. B. cách. C. cách. D. cách.
Câu 630: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm
chữ số đôi một khác nhau lập
, , ?
ra từ các chữ số A. . , B. . C. . D. .
Câu 631: Với
A. là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng ? . . D. C. B. . .
Câu 632: Có bao nhiêu cách sắp xếp
học sinh thành một hàng dọc ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 633: Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc ? .
D. A. C. B. . . .
Câu 634: Hoán vị của 5 phần tử bằng
A. 24. B. 60. C. 12. D. 120.
Câu 635: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một
hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ ? A. 144. B. 720. C. 6. D. 72.
Câu 636: Có
bạn nam và bạn nữ xếp vào
ghế được kê thành hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp mà nam và nữ được xếp xen kẽ nhau ?
A. . B. . C. . D. .
Câu 637: Có
bạn học sinh trong đó có hai bạn Lan và Hồng. Có bao học sinh trên thành một hàng dọc sao cho
nhiêu cách sắp xếp hai bạn Lan và Hồng đứng cạnh nhau ? B. 24. A. 48. C. 6. D. 120.
86 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
Câu 638: Có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh thành một hàng dọc ?
GHI CHÚ NHANH
A. . B. . C. . D. .
Câu 639: Từ các số
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ
có bốn chữ số đôi một khác nhau ? C. B. A. . . . D. .
Câu 640: Sắp xếp
nam sinh và
nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ
có sinh luôn ngồi cạnh nhau ? . A. B. . C. . D. .
Câu 641: Một người gọi điện thoại nên quên mất chữ số cuối. Tính xác suất để người đó gọi đúng số điện thoại mà không phải thử quá hai lần
A. B. C. D.
học sinh nam và
học sinh, tính xác suất để học sinh nữ. Chọn học sinh được chọn có
Câu 642: Trong một lớp có ngẫu nhiên cùng giới tính.
A. . B. . C. . D. .
Câu 643: Một nhóm học sinh gồm có 4 nam và 5 nữ, chọn ngẫu nhiên ra 2
bạn. Tính xác suất để hai bạn được chọn có 1 nam và 1 nữ.
A. B. C. D.
Câu 644: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất xuất
hiện mặt hai chấm là
A. . B. . C. . D. .
Câu 645: Một lớp có
học sinh, trong đó có
học sinh tên Linh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để học sinh tên Linh lên bảng bằng
A. . B. . C. . D. .
Câu 646: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ
số nguyên dương đầu
tiên. Xác suất để chọn được hai số có tổng là một số lẻ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 647: Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 12 học sinh đó đi
87 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
THPTQG 2023 – TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
GHI CHÚ NHANH
lao động. Xác suất để trong ba học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 648: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp để phân tích mẫu. Xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại là
A. . B. . C. . D. .
Câu 649: Một lớp học có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ.
A. . B. . C. . D. .
Câu 650: Một em bé có bộ 5 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống nhau, một thẻ chữ K, một thẻ chữ N, một thẻ chữ C. Em bé xếp theo hàng ngang ngẫu nhiên 5 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự TTKNC là
A. . B. . C. . D. .
MẾN HÚ Á EM ĐẠT KẾT QUẢ TỐT NHẤT TRONG KỲ THI TN THPT 2023 !
88 Trung tâm Kỹ năng cộng SĐT: 0989705742
NỀN TẢNG
BẢNG ĐÁP ÁN
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.A
11.B 12.A 13.A 14.C 15.B 16.A 17.C 18.C 19.A 20.D
21.C 22.C 23.A 24.D 25.B 26.D 27.C 28.D 29.D 30.B
31.D 32.A 33.B 34.A 35.C 36.C 37.C 38.C 39.A 40.C
41.B 42.B 43.D 44.B 45.C 46.A 47.D 48.D 49.A 50.D
51.C 52.D 53.C 54.C 55.D 56.B 57.A 58.C 59.B 60.C
61.D 62.D 63.C 64.C 65.B 66.B 67.A 68.A 69.D 70.B
71.C 72.B 73.D 74.D 75.D 76.A 77.D 78.D 79.A 80.C
81.D 82.C 83.C 84.B 85.D 86.A 87.B 88.A 89.C 90.B
91.A 92.C 93.A 94.A 95.D 96.A 97.D 98.D 99.B 100.C
101.C 102.C 103.D 104.D 105.B 106.A 107.A 108.A 109.D 110.A
111.D 112.D 113.D 114.A 115.D 116.C 117.A 118.C 119.B 120.B
121.D 122.D 123.A 124.A 125.C 126.D 127.B 128.B 129.B 130.B
131.C 132.A 133.B 134.D 135.C 136.A 137.C 138.A 139.B 140.A
141.C 142.C 143.B 144.A 145.D 146.B 147.C 148.B 149.B 150.A
151.A 152.C 153.D 154.B 155.B 156.C 157.C 158.A 159.D 160.C
161.D 162.A 163.D 164.A 165.D 166.A 167.D 168.D 169.C 170.A
171.D 172.D 173.C 174.C 175.C 176.A 177.C 178.B 179.D 180.A
181.C 182.B 183.A 184.C 185.D 186.A 187.C 188.C 189.D 190.A
191.A 192.A 193.C 194.D 195.A 196.C 197.C 198.B 199.C 200.D
201.A 202.B 203.A 204.B 205.A 206.A 207.C 208.C 209.A 210.A
211.C 212.D 213.C 214.D 215.A 216.D 217.C 218.A 219.B 220.D
221.C 222.A 223.A 224.B 225.A 226.A 227.B 228.A 229.A 230.A
231.A 232.B 233.D 234.C 235.C 236.C 237.C 238.B 239.B 240.D
241.D 242.C 243.A 244.C 245.A 246.D 247.D 248.B 249.D 250.A
251.B 252.C 253.A 254.A 255.C 256.C 257.C 258.B 259.C 260.B
261.B 262.B 263.D 264.A 265.C 266.C 267.C 268.D 269.B 270.A
271.D 272.B 273.D 274.A 275.C 276.B 277.D 278.B 279.B 280.A
281.D 282.A 283.C 284.B 285.B 286.A 287.C 288.B 289.C 290.B
291.D 292.D 293.A 294.C 295.C 296.D 297.C 298.C 299.D 300.D
301.A 302.B 303.B 304.B 305.D 306.D 307.B 308.B 309.B 310.D
311.C 312.B 313.B 314.B 315.D 316.A 317.D 318.B 319.C 320.D
321.C 322.C 323.C 324.C 325.C 326.C 327.D 328.B 329.D 330.C
331.D 332.C 333.C 334.C 335.A 336.D 337.D 338.D 339.D 340.A
341.D 342.D 343.A 344.B 345.D 346.A 347.C 348.A 349.D 350.D
Trung tâm Kỹ năng cộng
SĐT: 0989705742
TỰ RÈN LUYỆN TOÁN CƠ BẢN
NỀN TẢNG
351.C 352.A 353.A 354.A 355.A 356.C 357.A 358.A 359.C 360.D
361.B 362.C 363.C 364.B 365.A 366.B 367.B 368.D 369.A 370.A
371.D 372.C 373.D 374.B 375.A 376.C 377.B 378.A 379.A 380.B
381.D 382.A 383.A 384.A 385.A 386.C 387.D 388.B 389.A 390.B
391.C 392.B 393.C 394.A 395.C 396.A 397.A 398.B 399.C 400.A
401.C 402.B 403.D 404.C 405.B 406.D 407.C 408.A 409.B 410.C
411.C 412.B 413.C 414.C 415.C 416.D 417.D 418.C 419.B 420.D
421.D 422.B 423.A 424.B 425.B 426.B 427.A 428.A 429.B 430.D
431.D 432.C 433.B 434.C 435.D 436.C 437.A 438.C 439.A 440.C
441.D 442.B 443.D 444.C 445.C 446.C 447.D 448.B 449.C 450.C
451.D 452.C 453.B 454.A 455.B 456.B 457.C 458.B 459.D 460.D
461.A 462.A 463.B 464.B 465.A 466.D 467.A 468.B 469.A 470.A
471.A 472.B 473.B 474.B 475.D 476.C 477.D 478.A 479.B 480.D
481.B 482.D 483.B 484.D 485.D 486.D 487.C 488.B 489.B 490.A
491.A 492.D 493.B 494.A 495.A 496.B 497.C 498.D 499.B 500.D
501.B 502.D 503.C 504.D 505.D 506.C 507.C 508.D 509.A 510.B
511.C 512.D 513.D 514.C 515.A 516.A 517.C 518.D 519.A 520.B
521.B 522.C 523.D 524.C 525.C 526.B 527.B 528.A 529.D 530.B
531.C 532.A 533.A 534.A 535.C 536.B 537.A 538.B 539.A 540.B
541.D 542.C 543.D 544.C 545.A 546.C 547.A 548.A 549.D 550.D
551.B 552.C 553.C 554.A 555.A 556.B 557.A 558.D 559.B 560.D
561.B 562.A 563.B 564.D 565.D 566.A 567.C 568.C 569.A 570.D
571.A 572.D 573.D 574.C 575.D 576.D 577.C 578.D 579.D 580.A
581.B 582.C 583.B 584.C 585.A 586.D 587.D 588.B 589.A 590.B
591.A 592.B 593.B 594.A 595.C 596.A 597.C 598.B 599.B 600.C
601.B 602.A 603.D 604.D 605.D 606.C 607.B 608.B 609.D 610.A
611.A 612.D 613.C 614.A 615.D 616.A 617.A 618.C 619.C 620.C
621.C 622.D 623.C 624.A 625.C 626.C 627.C 628.D 629.D 630.B
631.A 632.A 633.C 634.D 635.D 636.B 637.A 638.B 639.B 640.C
641.A 642.B 643.A 644.C 645.B 646.B 647.D 648.A 649.C 650.C
Trung tâm Kỹ năng cộng
SĐT: 0989705742
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 03: Tính đơn điệu của f, g,… biết các đồ thị không tham số
=
y
Câu 1: Cho hàm số
( ) f x
xác định và liên tục trên có bảng biến thiên như hình sau:
B. Hàm số đồng biến trên khoảng
) 1; +∞ .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
) −∞ − . ; 2
Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ( 1;− +∞ . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( );1−∞ . (
Lời giải
−∞ − . Từ đó Chọn C
Chọn C Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (
) ; 1
Câu 2: Cho hàm số
( ) f x có đồ thị như hình vẽ.
=
( ) f x
.
);0−∞ .
)0; 2 .
y Hàm số )2; 2− A. (
đồng biến trên khoảng nào dưới đây ? D. ( C. ( B. (
) 0; +∞ .
Lời giải
Chọn B
=
thì đồ thị hướng lên từ trái qua phải nên hàm số
đồng
y
)0; 2
( ) f x
Từ đồ thị, ta thấy biến trên khoảng (
( x ∈ )0; 2 .
f x có đồ thị như sau.
( )
Câu 3: Cho hàm số
y
1
-1
1
x
O
-1
-2
)0;1 .
D. (
) 1; +∞ .
Hàm số trên đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( ) 0; +∞ .
B. (
C. (
) − − . 2; 1 Lời giải
Chọn D
Hàm số đồng biến trên khoảng (
) 1; +∞ .
3
2
=
+
+
≠
có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Hàm số
y
ax
bx
0
Câu 4: Cho hàm số
( + cx d a
)
đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A.
.
.
C.
.
3;
B. (
)5;1−
D. (
) − − . 5; 1
7 25 ; 6 6
−
−
7 6 Lời giải
− − .Cho hàm
) 5; 1
=
Chọn D Dựa vào đồ thị hàm số bậc 3 ở trên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng ( số
có đồ thị như hình vẽ bên.
f x ( )
y
.
C. (
)1;1−
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng nào dưới đây? D. ( ) A. ( 0; + ∞ .
) 0; 2 .
B. (
) 0; 4 . Lời giải
.
Chọn D Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (
)1;1−
3
2
=
=
+
+
+ có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
y
ax
bx
cx d
Câu 6: Cho hàm số
( ) f x
2
2
4
=
y
( ) f x
.
đồng biến trên khoảng nào? B. (
) −∞ − . ; 1
D. (
)0;1 .
)1;1−
C. (
Hàm số A. (
) 2; + ∞ .
Lời giải
Trang 2/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
)0;1 đồ thị hàm số đi lên trừ trái qua phải nên hàm số
)0;1 .
Chọn D Dựa vào đồ thị ta thấy trên khoảng ( đồng biến trên khoảng ( Dạng 05: Tính đơn điệu f, g,… liên quan biểu thức đạo hàm không tham số
=
có đồ thị
như hình vẽ bên dưới
y
y
Câu 7: Cho hàm số bậc bốn
( ) f x
( ) x′= f
Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
B.
.
f
f
f
f<
>
.
C.
D.
f
f>
f
− 2
f
( ) 1 ( ) 2
( (
) − > 1 )
( ) 1 . ( ) − . 1
( ) 2 ( ) 3 Lời giải
Chọn A
Ta có bảng biến thiên:
.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
f
f
(
) − > 1
( ) 1
=
có đồ thị như hình vẽ sau.
y
f x ( )
f x′ ( )
Câu 8: Cho hàm số
xác định, có đạo hàm trên và
Mệnh đề nào sau đây đúng? = = = =
A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số
f x ( ) ( ) f x ( ) f x f x ( )
y y y y
−∞ − . ; 2) đồng biến trên khoảng ( − đồng biến trên khoảng ( 2;0) . − +∞ . nghịch biến trên khoảng ( 2; ) − − . nghịch biến trên khoảng ( 3; 2)
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có BBT:
Trang 3/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Vậy
f x đồng biến trên ( ( )
) − − , 3; 2
f x nghịch biến trên ( ( )
−∞ − và ( ) ; 3
) 2;− +∞ .
=
=
. Đồ thị hàm số
như hình vẽ bên. Hàm số
y
f x ( )
y
f
x '( )
Câu 9: Cho hàm số bậc ba
=
+ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
g x ( )
f x ( )
1 x
.
A. (
) 2; +∞ .
B. (
)1; 2−
C. (
)0; 2 .
D. (
) −∞ − . ; 1
Lời giải
Chọn C
=
Dựa vào đồ thị hàm số
ta có:
f
'( ) 0,
x
1; 2
y
f
x '( )
( < ∀ ∈ − x
)
=
−
< ∀ ∈
Ta có
.
g x '( )
f
x '( )
0,
x
0; 2
(
)
1 2 x
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (
)0; 2 .
=
. Hàm số
có đồ thị như hình bên
y
y
Câu 10: Cho hàm số
( ) f x
( ) x′= f
=
( ) f x
Hàm số A. (
y ) 3; + ∞ .
)1; 2 .
C. (
đồng biến trên khoảng nào sau đây B. (
) 2; +∞ .
D. (
)1;0−
Lời giải
′
=
Có
0,
3;
x
f
y
) > ∀ ∈ +∞ nên hàm số
(
đồng biến trên khoảng (
) 3; + ∞ .
Chọn A ( ) x
( ) f x
2
= + −
] Cho hàm số
. Hàm số đồng biến trên khoảng
′ ( ) f x x x ( 3)( x 1)
Câu 11:
( ) f x có đạo hàm
.
.
A. (
)3;1−
B. (
)0;3 .
C. (
D. (
)3;0−
) − − . 4; 2 Lời giải
Chọn B
Trang 4/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
2
=
+
Ta có:
.
′ ( ) f x
x x (
3)(
x
0 − ⇔ = − 3
1)
1
= x x = x
Bảng xét dấu đạo hàm
−∞ − và ( ) ; 3
) 0; +∞ .
)0;3 .
Từ bảng xét dấu, ta được: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng ( Dạng 04: Tính đơn điệu của f, g,…biết các BBT, BXD không tham số
3
2
có đồ thị như hình vẽ.
a ≠
= + + y ax bx cx d
Câu 12: Cho hàm số đa thức bậc ba
)0
.
.
)1;1−
+ (
B. (
D. (
) 0; +∞ .
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. (
) −∞ − . ; 1
)2;0−
C. (
Lời giải
Chọn A Từ đồ thị suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (
) −∞ − . ; 1
2
3
′
=
−
+
. Khoảng nghịch biến của hàm số là
f
x
x
x
2
Câu 13: Cho hàm số
( ) f x có đạo hàm
) ( 1
)
( ) x
(
−∞ −
.
−
)2;0− −∞ −
B. ( D. (
A. ( C. (
. ) ( ; 2 ; 0;
) +∞ .
) ( ) ; 2 ; 0;1 ) ) ( +∞ . 2;0 ; 1; Lời giải
Chọn A
= − 2
′
Cho
.
f
0
0
( ) x
1
x = ⇔ = x = x
Bảng xét dấu:
.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (
)2;0−
′
=
=
+
=
−
−
+
y
y
f
x
x
2
x
( ) f x
( f x
)1
( ) x
(
)( 1
)(
)2 4 .
có đạo hàm
Hàm số
đồng
Câu 14: Cho hàm số
.
D. (
)0;1 .
biến trên khoảng nào dưới đây? A. (
) 0; +∞ .
)5;1−
B. (
C. (
);0−∞ .
Trang 5/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
Chọn C
1
′
= ⇔ −
−
+
Ta có
f
0
x
0
x
2
x
4
)2
)(
( ) x
(
)( 1
= x = ⇔ = 2 x = − 4 x
+ =
=
0
x
x
′
+
0
y
′= f
x
(
) 1
1 1 = ⇔ + = ⇔ = 1 2 + = − 4 1
x x
x x
1 = − 5
Bảng biến thiên
−∞
);0 . f x′ ( )
Hàm số đồng biến trên khoảng ( f x , bảng xét dấu của ( )
như sau:
Câu 15: Cho hảm số
=
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nảo đưới đây?
y
f
− (5 2 ) x
A. (2;3) .
B. (0; 2) .
D. (3;5) .
C. (5;
)+∞ . Lời giải
′
= −
Ta có:
.
Chọn B ′ y
− 2 (5 2 ) x
f
Để hàm số nghịch biến thì:
y′ ≤ . 0
.
(
)
(
)
=
đồng biến trên từng
x ≤ − 1 4 ′ ′ ⇔ f x f x ⇔ − 2 − 5 2 ≤ ⇔ 0 − 5 2 ≥ ⇔ 0 − ≤ − ≥ ≤ ≤ x ≤ 3 x 3 5 2 − x 1 5 2 2
Câu 16: Tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
( ) f x
− x m + x 1
khoảng xác định là
A.
S = − +∞ . C.
1;
S = − +∞ . B.
1;
)
(
)
) S = −∞ − . ; 1
(
[
);1 ( S = −∞ . D. Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
.
D =
{ } − \ 1
+
1
′
=
Ta có
.
f
( ) x
+
x
(
=
đồng biến trên từng khoảng xác định
Để hàm số
( ) f x
>
f
m
> ⇔ > − m 1
0
m )2 1 − x m + 1 x ⇒ + x D∀ ∈ 1
Vậy tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số m để thỏa mãn yêu cầu là
) S = − +∞ . 1;
(
=
+
có đồ thị của hàm
như hình vẽ sau. Hàm số
y
y
f
x− 2
3
⇔ ( ) 0 x′
Câu 17: Cho hàm số
( x′= f
)1 −
( ) f x
(
)
Trang 6/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
nghịch biến trong khoảng nào sau đây?
.
A. (
)3;1−
B. (
) 2; +∞
C. (
)2; 2−
D. (
) −∞ − . ; 2
Lời giải
′
′
Chọn C =
− ⇒ =
Ta có
y
y
x
f
( f x
) 1
(
) − . 1
4
x
− = − ⇒ =
Đặt
.
x
1 3 2 t
t
− 2
x
4
≤
Hàm số nghịch biến khi
⇔ − ≤ ≤ .
2
2
x
y
′ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ x
0
3
1
1
3
− 2
=
Vậy
.
y
( f x
− nghịch biến trên khoảng ( )1
)2; 2−
=
=
xác định và liên tục, có đồ thị của hàm số
như hình bên.
y
f x ( )
y
f
x '( )
Câu 18: Cho hàm số
=
=
−
g x ( )
x
)
.
y Hàm số )1;3 . A. (
( 2 f B. (
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? ) 2; +∞ .
) −∞ − . ; 2
)2;1−
D. (
C. (
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của đạo hàm là:
−∞ 1− 1 4 +∞
x f x′ ( )
− 0 + 0 − 0 +
2
x
3
′
= −
−
Ta có:
.
′ ( ) g x
f
2
x
0
2
1
x
(
)
= − = − 1 x = ⇔ − = ⇔ = x − = x
4
2
x
1 = − 2
Bảng xét dấu:
Trang 7/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
=
−
Vậy hàm số
.
y
f
x
g x ( )
2
đồng biến trên khoảng (
)2;1−
(
)
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 13: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 4 trùng phương thỏa
mãn ĐK Dạng 12: Tìm tham số liên quan đến cực trị của hàm đa thức bậc 3 thỏa mãn ĐK Dạng 02: Cực trị của một hàm số cho bởi một công thức
4
2 1 + là
= − y x x
Câu 19: Giá trị cực đại của hàm số
B.
.
D.
A. 1.
C. 0 .
3 − . 4
3 4
Lời giải
Chọn A
−
2
=
x
⇒ = y
3 4
3
4
′ =
− ⇒ = ⇔ = ⇒ =
Xét hàm trùng phương
4
' 0
2
.
y
x
x
x
y
y
2 1 + có:
3 4
= ⇒ =
2 2 2 0
x
y
1
Vậy giá trị cực đại của hàm số là 1.
2
′
=
=
có đạo hàm
y
f
x
x
x
.
= − y x x
Câu 20: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
∈ Khẳng định nào sau đây là
) 2 25 , −
(
đúng?
B. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x = − 5
D. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.
A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu. . C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại
5x = .
Lời giải
Chọn D
0
2
2
′
−
Ta có
.
f
x
x
= ⇔ 0
25
0
( ) x
(
)
= x = ⇔ = x 5 = − x 5
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại
5x = .
x = − và đạt cực tiểu tại
5
Do vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
=
có bao nhiêu điểm cực trị
y
Câu 21: Hàm số
+ x 3 2 + 1 x
B. 2 .
D. 1.
C. 0 .
A. 3 .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định
.
D =
{ } − \ 1
Trang 8/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
<
Ta có
, x D∀ ∈ .
y
′⇒ = y
0
+ 3 2 x + 1 x
− 1 +
x
)2 1
(
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
=
có bao nhiêu điểm cực trị?
y
Câu 22: Hàm số
+ x 3 2 + x 1
B. 2 .
D. 1.
A. 3 .
C. 0 .
Lời giải
Chọn C
Tập xác định
.
D =
{ } − \ 1 −
′
=
.
0,
1
y
⇒ = y
< ∀ ≠ − x
+ 3 2 x + 1 x
1 +
x
)2 1
(
Khi đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định
Vậy hàm số đã cho không có cực trị.
3 12 −
= + . Điểm cực tiểu của hàm số là y x x 1
Câu 23: Cho hàm số
B.
.
C.
.
D.
A.
x = . 2
x = −
15
x = − .
2
x =
13 Lời giải
Chọn A
Ta có:
23 x
2
′ = − y 12
.
Bảng xét dấu y′
Từ bảng xét dấu y′ suy ra điểm cực tiểu của hàm số là
x = . 2
2
3
4
′
=
=
+
+
+
có đạo hàm
. Hàm số đã cho có bao
y
f
x
2
x
3
′ = ⇔ − y 3 0 x 12 0 = x 2 = ⇔ = − 2 x
Câu 24: Cho hàm số
( ) f x
) (
)
) ( 1
( x x
( ) x
nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 4.
C. 1.
D. 2.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
2
3
( ) x
( x x
) ( 1
) (
4 ) + ⇒
( ) x
′ ′ = + + f x 2 x 3 f = ⇔ 0 .
Bảng biến thiên:
= −
=
x
0;
x
2
x
1;
x
= − 3.
Ta lại có y′ đổi dấu khi x qua
= − và y′ không đổi dấu khi x qua
Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
Trang 9/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
x = x 0 = − x 1 = − x 2 = − 3
Dạng 04: Cực trị f, f,… biết các BBT,BXD không tham số
=
có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm
y
f x ( )
Câu 25: Cho hàm số
B.
C.
D.
A.
3x =
1x =
x = . 2
x = . 4 Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại điểm
1x = .
=
+
bằng
y
x
x
3 6 −
2
Câu 26: Giá trị cực tiểu của hàm số
.
C.
B. 5 2 .
A. 2 .
2−
− D. 3 2
. Lời giải
2
′ =
2 − = ⇔ = ⇔ = ±
Ta có
.
Chọn D Tập xác định D = . 6 0 3
y
x
2
x
x
2
Bảng biến thiên:
−
.
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3 2
x khi x
≥ − 2
′
=
. Hàm số
y
f
Câu 27: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
có liên tục trên và đạo hàm là
3
−
< −
e
khi x
1
2
3 − x = + x
đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .
C. 4 .
B. 5 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
3
≥ −
0,
2
− = x
x
f
( ) 0 x′ =
+
x x
3
= ∨ = ± x x ≥ − 2 = ∨ = ± x 1, x ≥ − 2
− =
< −
e
1 0,
x
2
⇔
Các nghiệm trên đều thỏa điều kiện nên hàm số có 4 điểm cực trị.
=
=
−
có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số
là
y
f x (
)
y
f x (
2)
3 0, x 1, < − 2 x < − 2 0 x ⇔ = − 3, x 0 x ⇔ + = x
Câu 28: Cho hàm số
D. 1.
B. 7 .
A. 9 .
C. 5 .
Trang 10/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Lời giải
Chọn D
=
−
=
Bước 1 : Tịnh tiến đồ thị hàm số
ta được đồ thị hàm số
.
v − theo ( 2;0)
y
f x (
2)
y
f x ( )
Bước 2 : Xóa bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục tung. Phần đồ thị vừa có bên phải trục tung ta
=
.
lấy đối xứng phần này qua trục tung, ta được đồ thị hàm số
y
f
x
(
)
Từ đó ta có số điểm cực trị của hàm số là 1.
Chọn D là đáp án đúng.
=
+
bằng
y
x
3 6 −
x
2
Câu 29: Giá trị cực tiểu của hàm số
.
C.
− D. 3 2
2−
B. 5 2 .
A. 2 .
. Lời giải
2
′ =
2 − = ⇔ = ⇔ = ±
Ta có
.
Chọn D Tập xác định D = . 6 0 3
y
x
2
x
x
2
Bảng biến thiên:
−
.
2
3
+
−
=
=
=
− . Khi đó, hàm số
có bao nhiêu cực trị?
2
2
x
y
x
x
y
Câu 30: Cho hàm số
( ) f x
Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị cực tiểu của hàm số bằng 3 2 ( ) f x
Trang 11/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
3
2
2
′
=
=
−
+
− ⇒ =
−
Ta có:
+ > ∀ .
y
x
2
x
2
y
3
x
2
x
2 0,
x
( ) f x
3
=
=
−
y
x
x
2 2 −
x
2
x ( ) f x
3
2
2
−
+
− = ⇔ −
+
Lại có:
= ⇔ = : nghiệm đơn.
x
x
2
x
2 0
x
0
1
2
x
x
(
+ không có cực trị. )( 1
)
=
⇒ Hàm số
cắt trục hoành tại đúng một điểm.
y
( ) f x
=
Từ , suy ra,
có đúng 1 cực trị.
y
( ) f x
3
=
=
−
có đồ thị như hình vẽ sau:
y
f
x
x
3
x
⇒ Đồ thị hàm số
Câu 31: Cho hàm số
(
)
Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
.
y
x
f
là (
)1; 2−
(
)
=
nằm trên trục tung.
y
f
x
A. Điểm cực đại của đồ thị hàm số (
= )
=
C. Đồ thị hàm số
x
y
f
B. Điểm cực đại của hàm số )
(
=
D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số
y
x
f
)0;0 .
không có điểm cực đại. (
) là ( Lời giải
Chọn D
3
3
=
=
−
=
=
−
Từ đồ thị hàm số
ta suy ra đồ thị hàm số
như hình
y
f
x
x
3
x
y
f
x
x
3
x
(
)
(
)
vẽ sau:
=
Dựa vào đồ thị ta thấy điểm cực đại của đồ thị hàm số
y
f
x
là (
)0;0 .
(
)
=
=
y
y
Câu 32: Cho hai hàm số
( ) f x
( ) f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số
có số điểm cực trị là
Trang 12/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
y
3
2
1
x
O
-1
1
2
3
-1
A. 1.
C. 2 .
B. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A
=
Ta có đồ thị hàm số
như hình vẽ sau:
y
( ) f x
y
4
3
2
1
x
O
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
=
Từ đồ thị vẽ được, ta thấy hàm số
có 1 điểm cực trị.
y
( ) f x
4
=
= −
+
=
+
+ . Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
y
x
28 x
3
f
x
Câu 33: Cho hàm số
( ) f x
( ) g x
(
)2
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
3
Ta có
.
( ) x
+ =
x
x
+
=
+
. Ta có
Xét hàm số
′= f
x
2
= − 2 2 0 = ⇔ + = − ⇔ = − 4
0
2
x
x
( ) ′ h x
(
)
)2
( ) h x
( f x
=
2 + = 2
x
2
x
0
Vì hàm số
g x có một điểm cực trị.
x = nên hàm số
0
( )
( ) h x có một điểm cực trị không âm là
=
y
′ + f x x = − 4 16 = x 0 = ⇔ = ± 0 x 2
Câu 34: Cho hàm số
( ) f x
liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Trang 13/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
Số điểm cực trị của hàm số
+ là:
y
( ) 3 f x
B. 2 .
D. 4 .
A. 3 .
C. 5 .
Lời giải
Chọn A
=
Đồ thị của hàm số
+ vẽ bằng cách giữa nguyên phần đồ thị của hàm số
y
( ) 3 f x
=
y
+ phía trên trục Ox , sau đó lấy phần phía dưới trục Ox đối xứng lên trên.
( ) 3 f x
.
=
+ là 3.
Vậy số điểm cực trị của hàm số
y
( ) 3 f x
=
có bảng biến thiên như hình vẽ
y
f x ( )
Câu 35: Cho hàm số
=
có bao nhiêu điểm cực trị?
Đồ thị hàm số
y
f x (
)
A. 2 .
B. 4 .
D. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn C
=
Ta có
nên ta có bảng biến thiên của hàm số
là:
y
f x (
)
Hàm số có 3 điểm cực trị Dạng 09: Tìm tham số để f đạt cực trị tại 1 điểm x0 cho trước
3
≥ khi x 0 = y f x ( ) f x ( ) − < ( f x ) khi x 0 =
= Khi đó
23 + x mx
3.
= − y x ,x x thỏa mãn
Câu 36: Cho biết hàm số
2
2 x 1
2 x+ 2
A.
B.
C.
D.
m ∈
m ∈
m ∈
m ≤ − 1.
(
)2;3 .
(
)0;1 .
− đạt cực trị tại 1 1 )1; 2 . ( Lời giải
Chọn C
Ta có
23 x
Trang 14/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
′ = − y 6 + x m
3
Hàm số
23 + x mx
−
0
3 m
> ⇔ < 3 m
( ′∆ = − 3
= − x 1 − đạt cực trị tại 1 ,x x khi 2
+
=
2
x 1
x 2
Theo định lí Viet ta có
=
x x 1 2
+
−
Theo đề bài ta có
3
2
= 3
)2
m 3 ( = ⇔ +
2 x 1
2 x 2
x 1
x 2
x x 1 2
2
⇔ − 2
m
3
2 3
3 = ⇔ = m 2
Vậy
m = thỏa mãn đề bài.
3 2
4
2
4
y )2
có điểm cực đại và điểm cực tiểu lập
( ) f x
= − + x 2 mx 2 + m m
Câu 37: Tìm m để đồ thị hàm số
thành tam giác đều.
B.
C.
D.
A.
3 3
1m =
m = m = 3 m = 1 3 9
Lời giải
3
2 x x m
− = − 4 x 4 mx 4 ( )
Chọn C ( ) = x
0
f
'( ) 0
x
= x 2
=
x
m
= ⇔
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ 0m > .
4
2
f '
,
,
A
0; 2
m m+
Khi đó, 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là
(
)4
( B m m m ;
)
2
− + 2 m
.
4 m m m
(
)
nên tam giác ABC cân tại A , suy ra tam giác ABC đều
Tam giác ABC có AB AC=
3
3
4
⇔ =
⇔ +
=
⇔ +
.
AB BC
m m
m
4 m m
2
4
= ⇔ m
0
= m = m
.
Kết hợp điều kiện
− − + C ; 2 m
3 3
0m > ta được
3
m =
23 + x mx
= − − có hai điểm cực trị y x 1
Câu 38: Biết
,x x sao 1 2
0m là giá trị của tham số m để hàm số x cho 1
.
. C.
. D.
+ − = . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 3 x x 1 2 x 2
A.
m ∈ − − . B. 4; 2
2; 4
2;0
0; 2
)
(
(
)
( m ∈ −
)
)
0
m ∈ 0
m ∈ 0
0
( Lời giải
Chọn C
2
′ = ⇔ −
=
Ta có
.
23 x
y
x
0
3
+ x m
6
′⇔ ∆ = −
Hàm số có hai điểm cực trị
9 3
> 0m
( ) 0 * ,x x ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt 1
2
3m⇔ < .
+
=
2
x 1
x 2
−
= ⇔ −
= ⇔ =
Theo định lý Vi-et ta có
m
m
3
1
2
1
1
⇒ + x 1
x 2
x x 1 2
=
x x . 1 2
m 3
.
Vậy
m = ∈
1
0; 2
(
)
0
Trang 15/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
′ = − + ; y 6 x m
1
3
2
2
2
=
+
−
+
−
+
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
y
x
m
4
x
m
9
x
1
Câu 39: Cho hàm số
(
)
(
)
− m 3
số
để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu?
20; 20
]
[ m ∈ −
A. 18 .
B. 19 .
C. 17 .
D. 16 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
=
+
−
'
y
+ x m
m
4
2
− 9.
TXĐ: (
D = . ) − x m 1
)
( Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu
y⇔ = có hai nghiệm trái dấu.
' 0
2
− −
−
nên
20; 20
Do m nguyên và
. Vậy có 18 giá trị của m .
m ∈ −
{ 20; 19;...; 5; 4; 2}
⇔ < − 3 < 3 m m − 9 − 1
]
thị hàm
số
trị nguyên
của
tham
số m để đồ
m < ⇔ < 0 m 1 [ m ∈ −
Câu 40: Có bao nhiêu giá
3
2
=
−
+
+
−
+
có hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung?
y
x
m
3
x
2020
(
)
( 12
) m x
C. 11.
D. 12 .
B. 10 .
1 3 A. 9 .
Lời giải
Chọn C
′ =
+
+
Ta có
y
x
2 2 −
m
3
x
12
− . m
(
)
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về bên phải trục tung ⇔ Phương trình
0
y′ = có hai
nghiệm dương phân biệt 1
,x x 2
2
2
+
−
−
>
m
m
3
0
)
( +
=
>
m
2
3
0
( 12 ) +
x 1
61 > m − > + 3 0
x 2 =
>
) ( − m
12
0
′∆ = − ⇔ = S = P x x 1 2
61
⇔
<
<
.
m ∈
12
m
{ } 1; 2;...;11
. Do m ∈ nên
− + 7 2
Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên thỏa mãn.
3
2
61 7 m m ⇔ + > m 3 0 > − m 0 12 < < m − < 3 − + 7 2 − − 7 2 12 m ⇔
+ − − + − có hai điểm cực = y mx ( m 3) x (2 m 1) x 1
Câu 41: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số
trị đối nhau?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
2
Ta có
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau
y⇔ = có hai nghiệm đối nhau
' 0
≠
2
0 ⇔ ∆ > ⇔ −
+
+
> ⇔ =
m
m
3
0
3.
( m m 3 . 2
) 1
S
' 0 = 0
3)
≠ a
=
0
m 3 ( −
0 ) − m 2( m 3
Trang 16/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+ − − + y = ' 3 mx 2( m 3) x (2 m 1).
Vậy có 1 giá trị m nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
′
=
−
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
f
Câu 42: Cho hàm số
Ta Chọn B Dạng 05: Cực trị f,f,…liên quan biểu thức đạo hàm không tham số ( ) x
( ) f x có đạo hàm
( x x
)1 .
A. 3.
B. 2.
C. 4.
D. 1.
Lời giải
Chọn B
=
Hàm số
có 2 nghiệm
= và đổi dấu qua hai nghiệm này. Do đó hàm số đã cho
f
x
0;
x
1
( ) x′
2
′
=
+
−
+
. Hàm số
f
x
x
2022
4
4
Câu 43: Cho hàm số
( x x
( ) x
có 2 điểm cực trị. ( ) f x liên tục trên và có đạo hàm
)(
)
( ) f x có mấy điểm cực tiểu?
A. 4 .
B. 2 .
D. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn D
2
′
= ⇔ +
−
+
Giải
.
f
0
2022
x
4
x
4
0
2022
( ) x
( x x
)(
)
2
= x 0 = ⇔ = − x = x
Bảng xét dấu:
Hàm số có 1 điểm cực tiểu.
=
như hình vẽ.
y
f x ( )
y
f x′= ( )
Câu 44: Cho hàm số
liên tục và có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số
=
Số điểm cực trị của hàm số
là:
y
f x ( )
A. 2 .
C. 4 .
D. 1.
B. 3 .
Lời giải
Chọn B
Trang 17/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Ta có đồ thị hàm số
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên số điểm cực trị của
y
f x′= ( )
=
hàm số
là: 3
y
f x ( )
′
=
=
−
+
−
có đạo hàm
y
f
x
x
2
x
3
Câu 45: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
(
)( 1
)(
)
và liên tục trên . Số điểm
cực trị của hàm số đã cho là
B. 2 .
D. 1
A. 5 .
C. 3
Lời giải
Chọn C
− =
=
x
x
′
=
−
+
−
Ta có
f
x
x
2
x
3
1 1 0 = ⇔ + = ⇔ = − 2 0
0
x
x
2.
( ) x
(
)( 1
)(
)
− =
=
x
3 0
x
3
= có 3 nghiệm đơn phân biệt nên
hàm số đã cho có 3 cực trị.
f
( ) 0 x′
2
′
=
−
=
có đạo hàm
. Số điểm cực tiểu của hàm
f
x
x
− 4 2
x
y
Câu 46: Cho hàm số
) (
)
( ) x
( ) f x
(
)( 2 1 3 −
số đã cho là
B. 2 .
D. 4 .
A. 1.
C. 3 .
Lời giải
Chọn A
2
′
=
=
−
có đạo hàm là
y
f
x
x
x
x
Câu 47: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
( 2 2
) ( 1
) 1 ,
+ ∀ ∈ . Số điểm cực trị của
hàm số đã cho là
A. 2
D. 1
B. 3
C. 0
Lời giải
Chọn B
)
(
2
2
kep
Ta có
(
) ( 1
) 1
)
(
( ) x
′ = − + = ⇔ = f x x x x kep 2 0
Vì phương trình
f
0
'
( ) x = có 1 nghiệm bội lẻ nên hàm số đã cho có 1 cực trị.
=
=
là đường cong như
y
y
f
'
x 0 1 2 = − 1 = x
Câu 48: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
xác định trên và có đồ thị hàm số
=
có bao nhiêu điểm cực trị?
hình vẽ dưới đây. Hàm số
y
( ) f x
A. 2 .
C. 1.
D. 4 .
B. 5 .
Lời giải
Chọn D
Trang 18/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
= − 1 x
(
)
=
Từ đồ thị hàm số
ta suy ra được phương trình
y
f
'
= < − < 1 0 x x 0 x 0
( ) x
( ) x
' 0 1 f
2
=
và bảng xét dấu của hàm số
như sau:
y
f
'
( ) x
x
- ∞
-1
x0
2
+ ∞
1
3
+
-
+
+
-
+
f ' x( )
0
0
0
0
0
=
=
ta thấy hàm số
có 4 điểm cực trị.
Từ bảng xét dấu của hàm
y
f
'
y
( ) x
( ) f x
=
−
+
f
'
x
x
3 = ⇔ = x = x = x
Câu 49: Cho hàm số
( ) f x có đạo hàm
( ) x
( x x
)( 1
)3 4 ,
∀ ∈ . Số điểm cực tiểu của hàm số
đã cho là
D. 1.
A. 2 .
C. 4 .
B. 3 .
Lời giải
0
Ta có
f
0
'
( ) x
Chọn A Tập xác định D = . = x = ⇔ = x 1 = − x 4
Bảng biến thiên
Vậy số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 2.
′
=
=
−
có đạo hàm
y
f
x
2
x
x
Câu 50: Cho hàm số
( ) f x
( ) x
với mọi x ∈ . Điểm cực đại của hàm
(
)2
A.
B.
C.
D.
số đã cho là 3x = .
1x = .
x = . 2
x = . 0 Lời giải
Chọn D
⇔
−
=
Ta có:
.
f
2
0
x
x
x
( ) 0 x′ =
(
)2
0
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số là
x = . 2
Trang 19/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2 = x ⇔ = x
=
có đồ thị của
như hình vẽ.
'f
y
; 2
Câu 51: Cho hàm số
( ) f x
( ) x trên khoảng
5 4
−
Hàm số đã cho có mấy điểm cực tiểu trên khoảng
?
; 2
5 4
−
A. 4 .
C. 2 .
D. 1.
B. 3 .
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị của
'f
'f
( ) x ta có bảng xét dấu của
( ) x như sau:
=
Từ bảng xét dấu của
.
'f
y
có 2 cực tiểu trên
; 2
( ) x suy ra hàm số
( ) f x
5 4
−
3
2
− + = + . Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên y x 2 2 7 x x
1 lần lượt là M và m . Giá trị của M m+ là
Câu 52: Cho hàm số ]1;0−
đoạn [
.
B. 1.
C. 11− .
A. 10−
D. 9− .
Lời giải
2
2
Chọn D ′
Ta có
Khi đó
,
= do vậy
.
1M = và
10
y
1
m = −
10
′ − + = . y 4 x + ⇒ = ⇔ − 0 7 6 x 4 x 0 7
Vậy
y ( )0
2
= x 6 )1 ( y − = − = − . M m+ 9
. Tính M m+
,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
= − y x x 16
Câu 53: Gọi
.
C. 0 .
D. 8 .
A. 8
8−
B. 8 .
Lời giải
Chọn C Điều kiện xác định 4
x
− ≤ ≤ . x 2
2
2
.
Đạo hàm
2
2
2
′ = ⇔ −
= ⇔ = ±
Ta có
y
16 2
0
x
0
x
8
Trang 20/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
x x − 16 2 ′ = − − = y 16 x − − 16 x 16 x
=
Các giá trị
− 4
y
y
= ; 0
M
m= 8,
= − . 8
(
)
( ) 4
)8
)8
( y −
(
Vậy
M m+
= . 0
3
= do đó y = − ; 8 8
23 x m
+ trên y = − − x
Câu 54: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
bằng 0 .
]1;1−
đoạn [
B.
C.
D.
A.
0m = .
6m = .
4m = .
2m = .
Lời giải
Chọn C 3
.
23 + x m
23 x
− 6 x = − − x y
=
−
=
−
⇒
=
=
f
m f ,
m
2,
f
m
4
y
f
m
− . 4
( ) 0
(
) − = 1
( ) 1
( ) 1
min [ ] − 1;1
Do đó
− = ⇔ = .
m
4 0
m
4
3
= x 0 y = − x ′⇒ = − y ) ( n ( ) 2 l ′ = ⇔ 0
.
23 x
= + − y x 9 x
Câu 55: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
]2; 2−
+ trên đoạn [ 8
.
= = =
B.
. C.
. D.
A.
y 34 y 10 y 30 y = . 3 max ]2;2 [ − max ]2;2 [ − max [ ]2;2 − max [ ]2;2 −
Lời giải
Chọn D
Ta có
.
23 x
) 2; 2
)
( = ∈ − 2; 2 ( = − ∉ − 3
=
=
x 1 ′ = + y y 6 x − ; 9 x ′ = ⇔ 0
;
nên
.
Vì
y
10
30
y
= ; 3
( y −
)2
( )2
( )1
3
=
−
+
−
x
28 x
16
x
9
( ) f x
]1;3 [
trên đoạn
= y 30 max [ ]2;2 −
Câu 56: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
=
= . B.
.
C.
D.
A.
5
= − . 6
( ) f x
( ) f x
( ) f x
max [ ] ∈ 1;3 x
max [ ] ∈ 1;3 x
13 27
= . 0
max ] [ ∈ x 1;3 ( ) f x
max [ ] ∈ 1;3 x
Lời giải
Chọn B Hàm số đã cho xác định trên đoạn [
3
2
2
=
−
+
=
−
+
.
Ta có
x
8
x
16
x
− ⇒ 9
f
3
x
16
( ) f x
]1;3 . ( ) ′ x
x 16 [ ] 1;3
2
.
Nên
( ) x
[ ] 1;3
4 ′ = ⇔ − + = ⇔ f 3 0 x 16 x 16 0
=
= −
=
Khi đó
.
f
0;
f
6;
f
( ) 1
( ) 3
4 3
13 27
=
.
Vậy
( ) f x
max [ ] ∈ x 1;3
đạt giá trị lớn nhất bằng
y
= + x
13 27 ] − − , hàm số 4; 1
= ∉ x 4 = ∈ x 3
Câu 57: Trên đoạn [
9 −
1
x
−
−
B.
.
C.
.
D. 4 .
A. 5− .
11 2
29 5
Trang 21/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
Chọn A
TXĐ:
.
{ }\ 1
D =
2
.
Ta có
y
′ = − 1
(
) 1
2
9 −
x
] [ = ∉ − − x 4; 1 ] [ = − ∈ − − 4; 1
) 1
(
(
= −
;
.
Ta thấy
= − ; 5
( y −
)2
( y − 4
) ( y − = − 1
)
11 2
4 = ⇔ − y x ′⇒ = ⇔ − 0 1 0 9 9 − x 2 x = ⇔
Vậy
)2 1 29 5 = − . 5
(
)
Dạng 04: GTLN, GTNN của hàm số g biết các BBT, đồ thị
=
y
( ) f x
= y − 2 y max ] [ − − 4; 1
Câu 58: Cho hàm số
lớn nhất của hàm số
có đồ thị như hình vẽ. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị f x trên đoạn [0; 2] . Khẳng định nào sau đây là đúng? ( )
B.
= . D.
A.
m M+
= . 2
m M+
= − . C. 2
m M+
0
m M+
= . 4
Lời giải
Chọn C
= −
=
Dựa vào đồ thị,
m
2;
M
2;
+ M m
= . 0
=
có đồ thị như hình vẽ bên.
y
Câu 59: Cho hàm số
( ) f x
bằng
]1;3−
D. 1.
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ A. 2 .
C. 4 .
B. 2− .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có:
= ; 1
= − . 3
( ) f x
( ) f x
min [ ] − 1;3
+
Vậy
= − . 2
( ) f x
max ] [ − 1;3 ( ) f x
min [ ] − 1;3
max [ ] − 1;3
=
y
Câu 60: Cho hàm số
( ) f x
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau.
Trang 22/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A.
= . B.
= − . 1
1
( ) f x
( ) f x
max ( ) −∞ ;1
=
=
C.
D.
.
f
f
( ) f x
( ) 2
( ) f x
(
min ( ) +∞ 0; ) − . 1
min [ ) +∞ 2;
max ( ) −∞ ;1
Lời giải
Chọn C
=
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra
− là khẳng định sai
f
( ) f x
(
) 1
max ( ) −∞ ;1
Câu 61: Đồ thị của hàm số
( ) f x có dạng đường cong trong hình vẽ bên. Gọi M là giá trị lớn nhất, m
=
−
=
. Tính
.
là giá trị nhỏ nhất của hàm số
y
P M m
2
( ) f x
trên đoạn [
]1;1−
A.
B.
C.
D.
1P = .
4P = .
3P = .
5P = .
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hàm số ta có:
= − 1
−
=
= −
Vậy
P M m
2
3 2.
5
M (
m= 3, ) − = . 1
f x liên tục trên và có bảng biến thiên ( )
Câu 62: Cho hàm số
x = − .
= = = =
A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số
không có giá trị lớn nhất. có giá trị nhỏ nhất bằng 2− . 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại có giá trị lớn nhất bằng 5 .
Mệnh đề nào sau đây sai y y y y
( ) f x ( ) f x f x ( ) f x ( )
Lời giải
Chọn D
Trang 23/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
4
2
= + + có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? y ax bx c
Câu 63: Cho hàm số
y
8
x
1
1O
2
2
1
.
.
.
A. min
1y =
C. min
y = − 1
B. max
8y =
. D. max
y =
0
Lời giải
.
Chọn C Dựa vào đồ thị, ta thấy min
y = − 1
TIỆM CẬN
Dạng 02: Tiệm cận của đồ thị hàm số không chứa căn thức, không tham số
=
?
y
Câu 64: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
+ −
x x
2 2
B.
C.
D.
A.
1y = .
y = − . 1
x = − .
2
x = . 2
Lời giải
Chọn C
= ⇒ =
Ta có:
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1
y
1
lim →±∞ x
2 2
+ x − x
=
là
y
Câu 65: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
C.
B.
D.
A.
− x 2 1 + x 1 y = − . 1
y = . 2
1x = .
x = − .
1
Lời giải
Chọn B
= +∞
=
=
= −∞
Ta có
và
.
y
y
+
+
−
−
x
x
x
x
lim ( ) → − 1
lim ( ) → − 1
lim ( ) → − 1
− x 1 2 + 1 x
− x 1 2 + 1 x Nên đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng
lim ( ) → − 1 x = − .
1
=
là đường thẳng có phương trình:
y
Câu 66: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
− 3 5 x − x 2
A.
B.
C.
D.
x = 2.
x = − 5.
y = − 5.
y =
.
5 2
Lời giải
Chọn B
Tập xác định
{ } \ 2
D =
= − ⇒ = − là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
y
5
5
y
Ta có lim →±∞
x
Trang 24/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
?
y
Câu 67: Đường thẳng nào dưới đây là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
− 3 x + 2 1 x
A.
B.
C.
D.
x = − .
y = − .
1 y = . 2
1 x = . 2
1 2
1 2
Lời giải
Chọn A
=
=
Ta có
y
lim →±∞ x
lim →±∞ x
− x 3 + x 2 1
1 2
Suy ra đường thẳng
y = là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
1 2
=
bằng
y
Câu 68: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
3 −
x
2
A. 2 .
C. 1.
D. 0 .
B. 3 .
Lời giải
Chọn A
=
= ±∞
Ta có:
nên đồ thị có tiệm cận đứng là
x = 2.
y
±
±
lim → x 2
lim → x 2
x
2
=
=
Ta có
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
y =
0.
y
0
lim →±∞ x
lim →±∞ x
3 − 3 −
x
2
Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2 .
=
?
y
Câu 69: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
− x 1 5 + x 2
B.
C.
D.
A.
x = − .
2
5x = .
y = . 5
x = . 2 Lời giải
Chọn D
= +∞
= −∞
Ta có:
và
nên đồ thi có TCĐ:
x = − .
2
− 2 5 x lim + x−→− 2 2 x
− 2 5 x lim + x+→− 2 2 x
=
có hai đường tiệm cận.
y
Câu 70: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
A.
B.
C.
D.
m ≠ .
4.
m ≠ − .
4.
m = .
− mx 8 + x 2 m = − . 4.
4. Lời giải
Ta có
Chọn B x
+ = ⇔ = − 2
2 0
x
Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận
⇔ − − ≠ ⇔ ≠ − .
( 2) 8 0
m
m
4
=
có hai đường tiệm
y
Câu 71: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số
− 1x − x m
cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5.
A. 2 .
B. 4 .
C. 0 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn C
=
Xét hàm nhất biến
và tiệm cận ngang
có tiệm cận đứng x m=
y = 1.
y
− 1x − x m
Để hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 5
Trang 25/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
khi và chỉ khi:
.1 5 m .
=
tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
y
,
= 5 m = ⇔ = − m 5 Vậy có hai giá trị m thỏa mãn và tổng chúng bằng 0 .
Câu 72: Cho hàm số
− x 1 2 + x 2
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn B
Ta có
;
nên đường
thẳng
2
y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
=
= −∞
= +∞ ⇒
đường thẳng
2
x = − là tiệm cận đứng của đồ thị
y
y
+
+
−
lim →− 2 x
lim →− 2 x
; lim →− 2 x
− 1 2 x + 2 x
hàm số.
− − 2 2 = = = = = = y 2 y 2 lim →+∞ x lim →+∞ x lim →+∞ x lim →−∞ x lim →−∞ x lim →−∞ x − x 1 2 + x 2 − x 1 2 + 2 x + + 1 1 1 x 2 x 1 x 2 x
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. (
có tiệm cận ngang
y = − thì có tiệm cận đứng có phương
2
− 3 = y
Câu 73: Đồ thị hàm số
)1 + m x − + x m
trình:
3
A.
B.
C.
D.
y = − .
3
x = − .
6
x = . 6
x = . 0 Lời giải
Chọn D
Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang
y = − nên 2
m
+ = − ⇒ = − . Vậy tiệm cận 3
m
1
2
đứng của đồ thị hàm số có phương trình:
x = − .
6
=
có phương trình lần
y
Câu 74: Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
− x 1 − + x 2
lượt là
=
=
=
B.
= . C.
A.
x
y= 1;
= . 2
x
2;
y
= − . D. 1
x
2;
y
= . 1
x
2;
y
1 2
Lời giải
Chọn D
.
TXĐ:
=
= +∞
=
Ta có
,
,
.
1
1
lim →+∞ x
lim →−∞ x
lim +→ 2 x
− x 1 − + x 2
− x 1 − + x 2
= \{2} − x 1 − + x 2
=
Đồ thị hàm số
có đường tiệm cận đứng là
1y = .
x = và đường tiệm cận ngang là
2
y
− 1 x − + 2 x
=
với
a b c d R∈ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. ,
,
,
y
Câu 75: Cho hàm số
− ax 2 + cx d
Trang 26/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
C. 4− ⋅
B. 2− ⋅
D. 1− ⋅
Giá trị nguyên âm lớn nhất mà c có thể nhận là A. 3− ⋅
Lời giải
Chọn D
= ⇒ =
+ Thông tin về tiệm cận ngang cho ta:
a
3
c 3 , (1)
= − ⇒ =
+ Thông tin về tiệm cận đứng cho ta:
d
c
1
, (2)
a c − d c
<
+
c
ad
2
2
′ =
> ⇒ +
> ⇒ +
+
.
y
ad
c
c
0
> ⇒ 0
c 3
0
2
2
+ cx d
(
c 2 )
− 2 3 0
> c Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất mà c có thể nhận là 1− Dạng 04: Tiệm cận đồ thị hàm số f dựa vào BBT không tham số
là:
− x x = y
Câu 76: Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
− + 2 − x 9 1
D. 1.
C. 2 .
A. 0 .
B. 3 .
Lời giải
Chọn A
Tập xác định:
⇒ hàm số không có đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.
D =
[
]2;9
Câu 77: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau có tiệm cận đứng?
=
=
=
.
=
A.
. B.
.
C.
. D.
y
y
y
2
1 2 +
x
1
1 + + x
1
x
y 1 x
1 4 + 1 x Lời giải
Chọn D
Hàm số
có tập xác định
D =
0;
(
) + ∞ .
= y 1 x
Ta có
x = . 0
+
+
2
=
có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
y
= = +∞ nên đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là y lim → x 0 lim → x 0 1 x
Câu 78: Đồ thị hàm số
2
x +
x
− 4 + x 8
15
B. 2 .
C. 4 .
D. 0 .
A. 3 .
Lời giải
Chọn D
− ≤ ≤
2
Điều kiện
x 2 ≠ − 5 x ≠ − x 3
2
≥ nên đồ thị hàm số không có tiệm
Vì
4
x−
0
x = − và 3
x = − không thỏa mãn điều kiện
5
Trang 27/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
cận đứng.
Từ điều kiện của hàm số suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
2
=
Vậy đồ thị hàm số
không có đường tiệm cận.
y
2
x +
x
− 4 + x 8
15
=
có bao nhiêu đường tiệm cận?
y
Câu 79: Đồ thị hàm số
2
x +
3
− 2 − 4 x
x
A. 2 .
B. 1.
C. 0 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
Tập xác định
.
] { } ; 2 \ 1
Ta có
= vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là
0
y = . 0
( D = −∞ ( ) f x
lim →−∞ x
= −∞
= +∞ vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
Ta có
1x = .
( ) f x
( ) f x
lim + → 1 x
, lim − → 1 x
− −
x
Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận. (
=
có tổng số bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận
y
Câu 80: Đồ thị hàm số
2
−
+
)2 1 1 8
2
x
x
ngang?
D. 4 .
B. 2 .
C. 1.
A. 3 .
Lời giải
Chọn C
+∞
Tập xác định:
D =
) { } \ 2
[ 1;
2
−
x
2
)
(
2
2
− −
x
x
x
(
(
=
=
=
y
2
+
−
+
−
x
x
x
) 1 1 8
2
2
)
( ( x
) − + 1 1 )( 4
− +
+
x
x
1 1
4
)
) − 2 2 ) (
(
Hàm số có tiệm cận ngang
y = , không có tiệm cận đứng.
0
−
=
có số đường tiệm cận đứng là bao nhiêu?
y
Câu 81: Đồ thị hàm số
( ) 1 = f x
− 1 x x
A. 1.
C. 2 .
B. 3 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn D
Điều kiện:
x ≠ . 0
−
−
−
−
1
x
1
x
=
=
=
Ta có
y
y
+
+
−
−
lim → x 0
lim → x 0
; lim → x 0
lim → x 0
1 x
1 2
1 x
1 = . 2
−
1
=
không có tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số
y
− 1 x x
=
=
=
.
=
A.
D.
C.
B.
.
.
.
y
y
y
2
y
Câu 82: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng? 1 2 +
1 4 +
1
1
x
x
1 + + x
x
1
1 x
Lời giải
Chọn C
Trang 28/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Xét hàm số
có tập xác định là
D =
0;
(
) +∞ .
= y 1 x
có tiệm cận đứng là
Vì
x = . 0
= = +∞ nên đồ thị hàm số y lim +→ x 0 1 x 1 x
Câu 83: Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?
2
=
=
=
.
.
x =
B.
. C.
. D.
A.
y
y
y
− +
2 3 − x − x 1
2 3 + x − x 2 3
1 x
x 3
y
− x 3 2 2 − 2 x x Lời giải
Chọn C
không có đường tiệm cận ngang.
2 3 − x − x 1
2 3 − x − 1 x
2
2
x x = = ±∞ ⇒ đồ thị hàm số y lim →±∞ x
=
= −
có hai đường tiệm cận
; lim →−∞ x
lim →+∞ x
2 3 − x − x 1
+ 3 − 3
1 2
x x 2
+ 3 − 3
1 2
x x 2 ngang.
2
=
⇒ đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
y
có tập xác định [
]1;1−
=
x = ⇒ đồ thị hàm số y
0
lim →±∞ x
− 1 x + x 3 − x 2 3 2 − 2 x x
y = 0
⇒ Đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 02: Nhận dạng hàm số - BBT
=
có đồ thị như hình bên.
y
Câu 84: Cho hàm số bậc bốn
( ) f x
y
1
-1
x
O
-3
Hỏi phương trình
1
( ) f x = có bao nhiêu nghiệm?
D. 4 .
B. 7 .
C. 6 .
A. 3 .
Lời giải
Chọn B
= 1
Cách 1.Phương trình
.
( ) f x
( ) f x ( ) f x
Dựa vào đồ thị ta có
1
( ) 1 f x = có ba nghiệm và
( ) f x = − có bốn nghiệm.
Các nghiệm của phương trình không trùng nhau, do đó phương trình đã cho có 7 nghiệm.
=
và đường thẳng
d y = .
1
:
y
1 = − 1 = ⇔
Cách 2. Nhận xét: Số nghiệm của phương trình ( )1 là số giao điểm của hai đồ thị hàm số: (
( ) f x
) :C 1
Trang 29/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Đồ thị vẽ trên cùng hệ trục như sau:
y
1
y = 1
O
-1
x
1
)C cắt nhau tại 7 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng d và đồ thị ( Vậy phương trình ( )1 có 7 nghiệm phân biệt.
=
y
Câu 85: Cho hàm số
)C như hình vẽ sau
( ) f x
liên tục trên , có đồ thị (
Số nghiệm của phương trình
2
f x = trên đoạn [ ( )
]0;3 là:
C. 4.
D. 2
A. 0 .
B. 8 .
Lời giải
Chọn D
=
=
+) Từ đồ thị hàm số
ta suy ra đồ thị hàm số
như sau:
y
y
( ) f x
( ) f x
)C , lấy đối xứng qua )C . Bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành
Giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và phía trên trục hoành của ( trục hoành phần đồ thị phía dưới trục hoành của ( của (
)C .
Trang 30/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+) Dựa vào đồ thị ta suy ra phương trình
2
f x = có 2 nghiệm trên đoạn [ ( )
]0;3 .
Dạng 07: Bài toán đưa về tìm số nghiệm của phương trình f=0
3
−
= có đúng 1 nghiệm?
0
x
Câu 86: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
− <
23 x < . D.
A.
m
< − ∨ > . B. m
3
1
+ − 1 m 1m < .
m > − .
3
C. 3
1m Lời giải
Chọn A 3
2
3
2
Ta có:
.
m
x 3
3 =
+ = 1 −
3 =
−
Xét
.
f
x 23 x
6
x
m 0 + có 1
x
+ − 1 23 x
= ⇔ − x ( ) ′ x
− x ( ) f x
Cho
.
( ) x
BBT
Dựa vào BBT ta có
m
< − ∨ > . m
1
3
3
−
x
23 x
+ − 1
m
0
= có 3 nghiệm phân biệt:
′ f 0 2 = x = ⇔ = 0 x
Câu 87: Tìm m để phương trình
− ≤
− <
.
< . C.
.
1 1
D.
A. 3
≤ . 1m
B. 3
1m
3 3 < − m > m ≤ − m ≥ m
Lời giải
3
2
3
Chọn B 2 −
.
3
x
x
+ − 1
m
x −
Xét hàm số:
+ = 1 x + . 1
x
= ⇔ − 0 3 m ( ) 23 3 = x f x
′
−
=
.
Tập xác định: D = . 23 x f
6
x
( ) x
2
.
( ) x
Bảng biến thiên:
− <
< . 1m
Vậy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 3
4
−
+
=
có bốn nghiệm
x
22 x
2
m
′ = ⇔ − f 0 3 x 6 x 0 2 = x = ⇔ = 0 x
Câu 88: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
thực phân biệt.
≤ .
< .
D.
A.
B. 0
1m≤
C. 0
1m<
1m < .
0
m<
1 < . 2
Trang 31/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
=
+
−
2
m
Chọn A 22 4 x
x
4
Phương trình là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và đường
22 x
thẳng
.
y
m= 2
4
= − + y x
Xét hàm số
22 x
= − + x
Ta có:
3
′ = − + y x 4 . y 34 x
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra để phương trình có 4 nghiệm phân biệt, điều kiện là:
< ⇔ <
< 0 2
m
1
0
m
1 < 2
4
2
+
= − 4
x
8
x
1
− . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
+ y x x ′ = ⇔ − 0 4 4 . 0 = x 0. = ⇔ = ± x 1.
Câu 89: Cho hàm số
( ) f x
có bốn nghiệm phân biệt?
( ) f x m=
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Chọn C
3
′
= −
+
Có
.
f
16
x
16
x
0
( ) x
= x 0 = ⇔ = x 1 = − x 1
Bảng biến thiên
là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
Phương trình
4
2
+
x
x
8
= − 4
( ) f x m= − ( 1
)C và đường thẳng y m= .
)C tại bốn
< .
( ) f x Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt ⇔ Đường thẳng y m= cắt đồ thị ( điểm phân biệt ⇔ 1
3m− <
Trang 32/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
có đúng 4 nghiệm phân biệt.
Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình
( ) f x m=
cắt đồ thị hàm số
y
m= 4
4
= −
Câu 90: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng + tại bốn điểm phân biệt?
28 x
≤
−
−
<
≤ . D.
.
3 y x
B.
< . C.
A.
m
m ≥ −
m
m ≤ .
13 4
13 4
13 4
3 4
3 4
3 4 Lời giải
Chọn B
Chọn B
Có
,
.
34 x
Bảng biến thiên
4
′ = − y 0 16 y x = x 0 ′ = ⇔ = ± x 2
Từ bảng biến thiên trên, để để đường thẳng
cắt đồ thị hàm số
y
m= 4
−
< ⇔ −
<
−
<
điểm phân biệt thì
< . Vậy giá trị cần tìm của m là
< 13 4
m
3
m
m
13 4
3 4
28 x 13 4
3 < . 4
Dạng 13: Tham số liên quan đến tương giao của các đồ thị thỏa mãn đk về độ dài,
= − + tại bốn y x 3
góc,diện tích,…
3
2
= −
+
với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt
s
t
t 9
Câu 91: Một vật chuyển động theo quy luật
1 2
đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
B.
A.
) ( 54 m/s .
) 216 m/s . C.
(
) ( 30 m/s .
) ( 400 m/s . D. Lời giải
Chọn A
Cách 1:
′=
= −
+
Vận tốc của vật được tính bởi công thức:
.
với 0
t≤ ≤
10
18
t
( ) s t
( ) v t
23 t 2
= −
−
+
Ta có
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
t = . 6
t
6
≤ 54 54
( ) v t
(
)2
3 2
Vậy trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 (m/s) đạt được tại giây thứ 6 sau khi vật bắt đầu chuyển động.
Cách 2:
′=
+
= −
Ta có
với
t ∈
v t ( )
s t ( )
t 18
[
] 0;10 .
.
′ v t ( )
= − + 3 t
18;
23 t 2 ′ = ⇔ = ∈ ( ) 0 t v t
6
0;10
(
)
=
=
.
v
= (0) 0; (10) 30; (6) 54
v
v
Vậy trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 (m/s) đạt được tại giây thứ 6 sau khi vật bắt đầu chuyển động.
Trang 33/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
MŨ - LŨY THỪA
Dạng 01: Kiểm tra quy tắc biến đổi lũy thừa, tính chất
3a a bằng:
Câu 92: Với a là số thực dương tùy ý,
.
B.
C.
D.
A.
− 2 3a
3 2a .
2 3a .
4 3a .
Lời giải
Chọn C
1 3
4 3
4 6
2 3
=
=
=
=
Với
3 a a
a a .
a
.
a
a
a > , ta có
0
,x y là hai số thực dương và
,m n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?
Câu 93: Cho
− m n
m
m
− m n
n m .
n
=
=
A.
D.
xy
n x y
x x x=
B. (
)n
C. (
mn )
n
n
x y x y x x =
Lời giải
Chọn A
2
33 .a
a được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
Câu 94: Cho a là số thực dương. Biểu thức
B.
C.
D.
A.
2a
11 3a
5 3a
8 3a
Lời giải
Chọn A
+
3
2
2 3
11 3
2 3
=
=
=
a
33 .
a
3 a a .
.
a
a
1
327 bằng
Câu 95: Giá trị của
A. 6.
B. 81.
C. 9.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
3
Ta có
1 27 = 3
27
= . 3
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a b m n a b > , ,
,
,
0
Câu 96: Cho các số thực
)
n
m n
m n
=
=
.
A.
. B.
a
a +
.m a a
a +
(
( )nm
m
m
m
n
m
=
+
=
.
C.
.
D.
+ a b
a
b
a
(
)m
n
a a
Lời giải
Chọn A
n
m n
=
Theo tính chất của lũy thừa ta có:
.
.m a a
a +
Trang 34/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
1
4
2.a a bằng
Câu 97: Với a là số thực dương tùy ý,
A.
B.
C.
D.
2a .
8a .
7 2a .
9 2a .
Lời giải
Chọn D
+
4
1 2
1 2
9 2
Ta có
.
4 .a a
= = a a
Câu 98: Cho số thực dương a và số nguyên dương n tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
n
n
2
n
2
n
n
2 n
n 2
=
.
.
B.
. C.
. D.
A.
a
a=
a
a +
a
na
a=
a= Lời giải
Chọn D
n 2
Ta có:
.
na
a=
có giá trị bằng
5 P = −
54. 8
Câu 99: Biểu thức
.
C. 2.
B. 2− .
− D. 4 2
A. 4 2 .
Lời giải
Chọn B
5
=
−
Ta có
5 P = −
5 4. 8
32
= − . 2
(
)
5
8 15
1 15
2021. 2021 viết dưới dạng lũy thữa với số mũ hữu tỷ là
Câu 100: Giá trị 3 2 5
B.
C.
D.
A.
1 10 2021
2021 . 2021 . 2021 .
Lời giải
Chọn C
3
1 1 + 3 5
=
=
=
5 2021. 2021
2021
8 15 2021 .
b =
a =
−
−
4 3
3 4
1 1 3 5 2021 .2021 1 27
1 256
và
. Tính
+ b = A a
Câu 101: Cho
A. 23 .
B. 89 .
C. 145 .
D. 26 .
Lời giải
Chọn C
−
−
4 3
3 4
Thay
,
vào
ta được
a =
b =
1 256
1 27
−
−
−
−
3 4
4 3
−
−
− 4
3
4 3
3 4
3 4
4 3
+
=
+
=
+
=
+
=
.
b
= A a
4
− 3 3
4
4 3
145
(
)
(
)
1 256
1 27
*
x
1
2
x ∈ và
x ≥ . Giá trị của
x+ bằng
2021
+ = A a b
Câu 102: Cho số
x
+ 1 x
A.
x x+ . 1
C.
D. Đáp án khác.
2021 2021
B. 2021 .
. Lời giải
Chọn C
x
x
+ 1 x
+ = 1
Ta có
.
x 2021
2021
3
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ
4. x
= > P x , x 0
Câu 103: Viết biểu thức
(
)
Trang 35/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
1 7
5 12
5 4
1 12
.
A.
.
B.
.
C.
D.
P x= P x= P x= P x=
. Lời giải
Chọn D
3
3
3
4
1 4
5 4
5 12
=
=
=
=
Ta có
.
P
x .
x
x
x
x x .
−
x
x
x
= . Biểu thức
có giá trị bằng
x−+ 4
7
= P
Câu 104: Cho 4
−
x
x
+ − + 5 2 − 8 4.2 2 4.2
A.
B.
C.
D.
2
2P = .
P = − .
P = − .
3 P = . 2
5 2
Lời giải
Chọn D
−
−
−
x
x
x
x
x
x
)2
−
x
x
+ = ⇔ + 4 4 2 = 3. 2 2 9 7 2
.
Suy ra
−
x
x
( = ⇔ + + 5 2 − 8 4.2
. Giá trị của
bằng
b= 4
a ,a b tuỳ ý khác 0 thoả mãn 3
= = − = 2. P + − 2 4.2 + 5 3 − 8 12
Câu 105: Cho hai số thực
a b
B.
C.
D. ln12.
A. ln 0, 75.
log 4. 3 log 3. 4
Lời giải
Chọn B
b
Ta có
a 3
b = ⇔ 4
a log 3
−
x
x
x
= ⇔ = = log 4 a log 3 b log 4 log 4. 3 log 4 log 3 a ⇔ = b
x−+ 4
, tính giá trị của biểu thức
.
= + = P 2 2 14
Câu 106: Biết 4
A. 4 .
C. 17 .
B. 16 .
D. 4± .
Lời giải
Chọn A
−
x
x
2
2
+
=
2
2
4
x
x−
x
x
x−
Ta có 4
x−+ 4
( ⇔ + 2
(
)
(
)
)2
−
x
x
+
= −
2
2
4
⇔
x
x−
= . 4
⇔ + 2 Vậy
2 4P = .
4
a
bằng
P =
⇔ + + = = = 2 2 2 16 14 2 16
Câu 107: Cho a là một số thực dương, tính giá trị của biểu thức
) 2 a
(
D. 1.
A. 4 .
B. 2 .
C. 8 .
Lời giải
Chọn A
4 a
⋅
4 a
a
2
a 2
4 a
a 2
Ta có
.
= = = = = P 2 2 2 2 4
)
(
x
x
x
=
. Khi đó biểu thức
với
là phân số tối giản và
x−+ 9
23
= = A
Câu 108: Cho 9
x
,a b ∈ .
a b
− 3 − 3
.a b bằng
.
+ − + 5 3 x − 1 3 a b
B. 10 .
C. 8− .
D. 8 .
Tích A. 10−
Lời giải
Trang 36/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn A
−
x
x
x
x
Ta có:
− 3
x
x
( −+ 3
+ = ⇔ + = 9 9 23 3 25
x ⇔ + 3
x− 3
= vì 3 5
)2 > ∀ ∈ x
x
x
0,
.
x
= = = ⇒ A + 5 5 − 1 5 − 5 2
− + 3 − − 3 10 .
Vậy Dạng 02: Tính toán, rút gọn các biểu thức chỉ chứa các số cụ thể
3
=
P
4. x
x
x > ) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.
0
+ 5 3 x − 1 3 a b = − .
Câu 109: Viết biểu thức
(
1 7
1 12
5 4
5 12
.
.
B.
.
C.
D.
A.
P x= P x= P x= P x=
. Lời giải
Chọn D
1 3
3
3
4
1 4
5 4
5 12
.
3
b a
với a , b là các số tự nhiên và
là phân số
x .
3 x x x
x=
= = = = P x . x x x . x x
Câu 110: Cho x là số thực dương. Biết
a b
C. 14 .
tối giản. Tính a b+ . A. 16 .
B. 15 .
D. 17 .
Lời giải
Chọn A
3
3
1 3
2 3
5 9
7 9
=
=
=
=
Ta có
.
3 x x x
3 x x x .
x
x x .
.
Khi đó
. x x x x a b+ =
16
. x a = ; 7
b = nên 7
y ≠ tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?
0
Câu 111: Cho số thực x và số thực
x
y
x
x
x
y
x
y
x y
x
=
=
.
. D.
4
. B. 3 .3
x y+= 3
x 2 .7
= 5 5
A. (
)2.7
. C. (
)
(
)
y
4 4
Lời giải
Chọn D
x
x y
=
Mệnh đề sai là
.
4
y
4 4
với
= P x
x
1 63.
x > . 0
Câu 112: Rút gọn biểu thức
2
1 8
2 9
.
.
B.
.
C.
A.
P x=
P x= P x=
D. P
x=
. Lời giải
Chọn D
1 6
1 1 + 3 6
1 2
=
=
=
=
Với
0
1 63 .
1 3 x x .
x
x
x
x
.
x > , ta có = P x ,x y là các số thự
Câu 113: Cho
C. Mệnh đề nào sau đây là sai?
y
y
x
x
y
=
=
.
. D.
A.
xy= 4
. B. 3 .3
x y+= 3
x 2 .
xy
2.x y 2
xy
(
)2
. C. (
)2
1 2
2
Lời giải
Trang 37/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn D
x
y
x y+= 3
2.x y 2
y
xy
y
2
x
x
y
xy
x
.2
2
.
xy= 4
đúng . ) (
Ta có )2 (
)2 ( = xy đúng, vì (
và 3 .3 )
y
y
−
y
− x y
=
=
=
sai, vì
.
x 2 .
x 2 .2
2
x 2 .
xy
1 2
1 2
3
=
ta được kết quả là
a >
P a a a
= = = 2 2 2 4 2
Câu 114: Rút gọn biểu thức
)0
, (
6
5 3
5 6
10 3
.
.
B.
.
C.
D.
A.
P a=
P a= P a= P a=
. Lời giải
Chọn A
3
1 6
1 1 2 6
5 3
=
Ta có
.
+ + 1 a
1 2. a a a .
P a a a
= = = a
LOGARIT
Dạng 03: Tính toán liên quan đến logarit dùng BĐT
Câu 115: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
2
30
20
.
B.
A.
log
a
0
2
3<
2
) + ≥ . 1
a
−
3
2
( + 2 >π
.
.
C.
D. 0,99
4
−< 4
0,99e
Lời giải
Vì
.
< ⇒ <π 0,99 0,99e e
Chọn D < 0 0,99 1 >π
< ≠ a
1,
b
0
,a b là hai số thực thỏa 0
Câu 116: Với
2
2
≠ , ta có =
=
2
.
B.
.
A.
b
b
log
log
log
2 log
b
b
a
a
a
2
2
=
=
.
D.
.
C.
b
b
log
a log
log
b
2 log
b
a
a
a
1 2
a
Lời giải
Chọn C
2
=
Ta có:
.
log
b
2 log
b
a
a
1 3
1 2a
<
và
thì
log
log
a>
Câu 117: Cho a và b là các số thực dương tùy ý. Nếu
b
b
1 3
1 4
A.
C.
a a
> 1, 0 b> 1,
< < B. 0 b 1. > D. 0 1.
< < a < < a
1, 0 b 1,
< < b 1. > 1.
Lời giải
Chọn A
1 3
nên
1 2a
1a >
<
nên 0
1b< < .
log
log
b
b
1 3
1 4
1 2 1 3
1 > mà 3 1 > mà 4
a>
HÀM SỐ MŨ - LOGARIT
Dạng 01: Tập xác định liên quan hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít
là
= y log x
Câu 118: Tập xác định của hàm số
5
Trang 38/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+∞
A.
0;
0;
0;
) +∞ .
C. (
D. (
) { } \ 1 .
.
B. [
) +∞ . Lời giải
Chọn C
2
=
−
là
y
log
x
9
Câu 119: Tập xác định của hàm số
2
(
)
.
3;
) ( −∞ − ∪ +∞ .
A. (
C.
.
B. ( D. (
) ; 3 ) 3; +∞ .
)3;3− { } 3;3− \
Lời giải
Chọn B
2
Điều kiện
.
=
y
x
x > 3 x − > ⇔ < − 9 0 3 x
Câu 120: Tập xác định D hàm số
) + là 1
( log 2 3
+∞
+∞
.
+∞ . B.
.
C.
.
D.
A.
D =
0;
;
D
;
−∞ − ;
(
)
1 2
1 2
1 2
= −
Lời giải
Chọn B
=
Ta có hàm số
+ xác định khi
+ > ⇔ > − .
y
x
x
x
2
1 0
) 1
( log 2 3
1 2
là
= y log x
Câu 121: Tập xác định của hàm số
2
) 0; +∞ .
B. (
) ;−∞ +∞ .
D. (
) 0; +∞ .
A. [
C. [
) 2; +∞ . Lời giải
Chọn D
là
= − y x )
Câu 122: Tập xác định của hàm số
log (2 3
D. (
−∞ . ; 2)
A. [0;
)+∞ .
B. (0;
)+∞ .
C. .
Lời giải
Vậy tập xác định
Chọn D Điều kiện: 2
− > ⇔ < 0
x
x
2.
D = −∞ (
; 2).
3 2
là
y
Câu 123: Tập xác định của hàm số
.
D.
B. (
x= ) 2; +∞ .
A. (
) 0; +∞ .
C. .
{ } \ 0
Lời giải
Chọn A
3 2
Tập xác định của hàm số
y
x=
là (
) 0; +∞ .
là:
ln
Câu 124: Tập xác định của hàm số
(
)2 1x −
.
B.
D.
A.
D =
D =
{ }\ 1
( 1;
)
) +∞
+∞ . C. .
D =
[ 1;
Lời giải
−
x
> ⇔ ≠ . x
1
Chọn A Điều kiện hàm số có nghĩa là (
)2 1
Vậy tập xác định của hàm số là:
.
0 { }\ 1
D =
Trang 39/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
5 9
=
−
+
+
y
2
x
ln
x
2
Câu 125: Tìm tập xác định D của hàm số
(
)
(
)
A.
.
B.
2;
; 2
. D.
C.
2;
[ D = − ( D = −
]2; 2 )2; 2
( (
( [
) ) D = −∞ − ∪ +∞ . ] ) D = −∞ − ∪ +∞ . ; 2 Lời giải
Chọn C
Điều kiện:
.
=
−
là
y
x
x ⇔ x ⇔ − < < 2 2 − > x + > 2 x 0 2 0 x < 2 > − 2
Câu 126: Tập xác định của hàm số
( log 3 2
A. (
) ;−∞ +∞ .
B. (
) 3; +∞ .
D. (
);3−∞ .
C. (
) ];3−∞ .
Lời giải
Chọn D
2
= + y log x 7 x + là: 3
Câu 127: Tập xác định của hàm số
)
(
1 2
.
.
− − ∪ 8; 7
.
.
− − ∪ 8; 7
) − − ∪ 8; 7 )
) ( 0;1 ) ( 0;1
A. ( C. [
B. [ D. [
] 0;1 ] 0;1
) ( ] ( − − ∪ 8; 7 Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi
2
2
+
>
7
x
x
+
>
2
x
x
x
7
x
0
0 − 3
2
.
2
2
+
+ ≥
log
x
3 0
7
x
7 (
0 )
+ +
> − ≤
+
≤
x
7
x
8 0
7
x
x
⇔
1 2
x
1
1 2
> x 0 ⇔ < − x 7 − ≤ ≤ 8
⇔
.
Vậy tập xác định của hàm số là
D = − − ∪
8; 7
)
(
] 0;1
[
2
=
−
+
là
y
log
x
2
x
− ≤ < − 8 x 7 ⇔ < ≤ 0 x 1
Câu 128: Tập xác định của hàm số
0,2
) 1
(
] { } 0; 2 \ 1 .
2;
A. [ C. (
D. (
]0; 2 . B. [ [ ] ) −∞ ∪ +∞ . ;0
) { } 0; 2 \ 1 . Lời giải
Chọn B
2
2
−
log
x
2
x
0
0,2
) + ≥ 1
−
≤
0
≤ ≤ x
2
1
x
) 1
⇔
⇔
Điều kiện
.
2
≠
x
1.
≠
1
>
0
( ) 1
(
− x Tập xác định của hàm số là [
( x ] { } 0; 2 \ 1 .
− 5
=
−
+
−
là
y
x
x
3
Câu 129: Tập xác định D của hàm số
(
)
)
( log 4 3
.
A.
.
B.
D =
C.
; 4
)3; 4 4;
D =
) + ∞ . D.
( D = −∞ (
) { } ; 4 \ 3 ) D = −∞ .
( (
Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho xác định khi:
Trang 40/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
− ≠ ≠ x 3 0 x 3 ⇔ < 4 − > x 0 x 4
Tập xác định của hàm số đã cho là
.
( D = −∞
) { } ; 4 \ 3
Dạng 02: Đạo hàm liên quan hàm số mũ, hàm số lô-ga-rít
=
y
x
Câu 130: Tính đạo hàm của hàm số
) + ? 1
( log 2 2
=
=
.
A.
.
B.
y
'
y
'
x
2
1 ) + 1 ln 2
(
2 ) + 1 ln 2
(
=
=
.
C.
.
D.
y
'
'
y
1 + x
2
1
x 2 2 + x
2
1
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức tính đạo hàm:
.
) 1
(
( log 2 2
( 2
(
(
′ = + = = y x ′ ) x + 2 x x 2 2 ) + 1 ln 2 ′+ ) 1 ) 1 ln 2
y = 2022x
Câu 131: Tìm đạo hàm của hàm số
x
− 1
.
. B.
′ =
A.
x
.
y′ = y .2022x x 2022 ln 2022
C.
2022 .ln 2022 y′ =
D. 2022x .
Lời giải
Chọn C
x
− 2 3 y =
Câu 132: Đạo hàm của hàm số
trên tập là:
(
)
−
−
x
x
.
− ′ = + ′ = + +
A.
.
B.
)
x
x
3 y 2 y 3
.
.
− + − +
C.
D.
) ( ln 2 ( ) 3 ln 2
( (
) 3 )
3 y′ = 2 y′ = 2 3 3 )
( ) ( ln 2 2 ( ) ( 3 ln 2 Lời giải
Chọn A
−
x
x
Ta có:
.
x
(
( ) 3 ln 2
)
( ln 2
)
(
)
( ln 2
)
(
)
2
−
x
=
là:
y
3x
1 ′ = − − = − = + − y 2 3 3 2 3 3 + 2 3
Câu 133: Trên tập số thực , đạo hàm của hàm số
2
2
−
−
x
x
x
′ =
−
′ =
−
.
A.
.
B.
y
x
2
.ln 3
2
y
x
) 1 .3
2
2
2
+ + 1 x
− − 1 x
′ =
−
′ =
C.
.
D.
y
x
.3x
x
y
( 3x
( (
) 1 .3x )
Lời giải
Chọn B
2
2
2
−
−
−
x
x
2
x
x
x
x
Ta có
.
(
) 1 .3
(
+
x
=
y
2 33x
có đạo hàm là
′ = − = − y 3 ⇒ = y x x .3 .ln 3 2 x .ln 3 ′ )
Câu 134: Hàm số
2 3 +
x
x
2 3 +
x
x
+
.
B.
A.
y
= ' 3
3
y
= ' 3
x
)
2 3 +
x
x
x
2 3 +
x
+
+
.
D.
C.
y
= ' 3
x
3
y
= ' 3
x
. )
( . 2 ( − 1 . 2
) 3 .ln 3
.ln 3 ( . 2 Lời giải
Chọn D
=
+
y
x
( ln 2
) 1
có đạo hàm là
Câu 135: Hàm số
Trang 41/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
′ =
′ =
.
.
B.
A.
y
y
+
1 + x
2
1
x
) 1
2 ( x ln 2
′ =
′ =
.
D.
.
C.
y
y
2
x
2
1
2 + x
1 ) + 1 ln 2
(
Lời giải
Chọn C
=
′ =
Hàm số
+ có đạo hàm là
.
y
x
y
( ln 2
) 1
2 + x
2
1
+ x 12 x 3
là
= y
Câu 136: Đạo hàm của hàm số
x
+
(
′ =
.
′ =
A.
.
B.
y
)
(
) 1 2 − x 1
x x .3
x
− ln 2 ln 3 y
.
′ =
C.
. D.
x
+ x 12 x 3 + 12 x ln 2 x 3 ln 3
y′ = y 2 ln 2 3 ln 3
Lời giải
Chọn A
x
=
Ta có
y
+ 12 x x 3
2 3
⇔ = 2 y
x
+ 1
x
′ =
=
.
Vậy
y
2
ln
− ln 2 ln 3
(
)
x
2 3
2 3
2
=
−
+
. Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình
ln
4
8
x
x
Câu 137: Cho hàm số
( ) f x
)
2 3 ( ≤ là số nào sau đây
f
( ) 0 x′
D. 1.
A. 4 .
C. 2 .
B. 3 .
Lời giải
2
+
−
=
x
x
8
4
ln
Chọn C ( ) f x
)
′
=
≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤
.
4 0
2
0
2
f
x
x
( ) x
2
Mà
.
x x N
( − 4 x 2 − + 4 8 x { }1; 2 ∈ ⇒ ∈ x
Vậy có hai số nguyên dương thỏa mãn.
+= 42x
( ) f x
có đạo hàm là
+
x
′
′
=
=
.
.
B.
A.
f
f
+ 4 4.2 .ln 2
Câu 138: Hàm số ( ) x
( ) x
+
x
4
.
′ ′ = =
C.
. D.
( ) x
( ) x
x 42 .ln 2 + x 42 ln 2
f f 4.2 ln 2
Lời giải
u
u
.
+
+
+
4
x
x
x
′ = a a a u .ln . ′ )
Ta có
.
4 2 .ln 2.
4 2 .ln 2
( ) x
(
′ = = + = 2 f x 4 ′ )
Chọn A Áp dụng công thức ( ′ )
(
+
2 sin −
x
2
=
.
y
2x
Câu 139: Tính đạo hàm của hàm số
Trang 42/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
2
−
+
2
sin
+ 1
x
2 sin −
2
x
x
′ =
−
+
′ =
−
.
A.
.
B.
y
sin
x
x
cos
ln 2
2
2
y
x
x
) 2 2x
+
+
2 sin −
x
x
2
2 sin −
x
2
′ =
′ =
−
.
C.
.
D.
y
( 2
ln 2
y
cos
x
2x
2
x
) )
( ( Lời giải
Chọn B
2
−
+
2
x
sin
x
2
Ta có
(
+
x
x
2 sin −
2
=
−
.
2
x
cos
x
2
ln 2
(
)
=
+
.
log
ex
y
x
′ = − + y x x sin ln 2 ′ ) 2 2
Câu 140: Tính đạo hàm của hàm số
2
(
)
x
x
.
. B.
.
. D.
x
x+ 1 e ln 2
x +
1 x e
ln 2
+ 1 e + x e x ln 2 + 1 e ) x + e
A. (
C. (
) Lời giải
Chọn A
x
x
+
x
′ =
=
Ta có
.
y
x
+
e
′ ) ln 2
ln 2
( x
x
(
e )
(
+ 1 e ) x + e
3x
là
y e=
Câu 141: Đạo hàm của hàm số
3x
.
′ = ′ = ′ =
A.
.
B.
. C.
.
D.
x 3 .ln 3
33 x e
xe 3 3
y y e y e y′ =
Lời giải
3
x
3
x
3
x
.
(
′ = = = y e 3 x e . e 3 ′ ) ′ )
Chọn C (
HÀM SỐ LŨY THỪA
Dạng 01: Tập xác định của hàm số chứa hàm lũy thừa
3
π 3
−
là
27
y
Câu 142: Tìm tập xác định của hàm số
)
.
B.
A.
3;
D =
3;
D =
( x= ) + ∞ . C.
{ } \ 3
+ ∞ . D. D = .
D =
[
) ( Lời giải
Chọn C
Điều kiện xác định:
x
3 27 0 −
Vậy tập xác định của hàm số là
> ⇔ > . x D =
3;
3 ) + ∞ .
(
2
1 5
=
−
là
y
9
x
Câu 143: Tập xác định của hàm số
(
) 1
∪
+ ∞
∪
+ ∞
.
.
B.
A.
D
;
D
;
1 3
1 3
1 3
= −∞ ;
=
.
C.
. D.
D
\
D
1 3
1 3 1 1 ; 3 3
±
= −∞ ; = −
Lời giải
Chọn B
Trang 43/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2
2
1 5
=
−
Ta có
xác định khi và chỉ khi :
.
y
9
x
(
) 1
< − x 1 3 − > ⇔ x 9 1 0
∪
+ ∞
.
Vậy tập xác định của hàm số là
D
;
1 3
1 3
= −∞ ;
2
1 2
=
+
có tập xác định là:
y
2
x
> x 1 3
Câu 144: Hàm số
(
) 1
−
+∞
.
C.
. D. ∅ .
A.
;
\
B. .
1 2
1 − 2 Lời giải
Chọn A
Vì
+ > ⇔ > − .
2
x
1 0
x
2
∉ nên
1 2
1 2
2
1 2
=
−
+
là
y
x
12
x
36
Câu 145: Tập xác định của hàm số
(
)
.
D.
C. [6;
)+∞ .
\{6}
B. (
) 6; +∞ .
A. .
Lời giải
Chọn D
+
Điều kiện xác định
⇔ − x
2 12
x
> ⇔ ≠ x 6
=
−
là
y
2
x
3
Câu 146: Tập xác định của hàm số
(
36 0 )2022
+∞
A.
.
C.
.
;
\
D. (
) 0; +∞ .
B. .
3 2
3 2 Lời giải
Chọn B Do 2022 là số nguyên, dương nên hàm số thỏa mãn với mọi x .
2019 2021
−
là
y
Câu 147: Tập xác định của hàm số
.
.
− −∞ +∞ . B. 2021;
A. (
)
{ \ 202
( x= }1
) 2021 C. (
) ; 2021
2019 2021
−
−
> ⇔ >
xác định khi
.
Vì
y
2021 0
2021
x
x
) 2021
( x=
∉ nên hàm số
Vậy
2021; +∞ . D. ( ) Lời giải
Chọn C 2019 2021 D =
2021;
(
) +∞ . Dạng 02: Đạo hàm hàm số lũy thừa
2
3 2
=
y
2
x
− + x
Câu 148: Tính đạo hạm của hàm số
(
) 1
2
2
5 2
′ =
−
− + .
.
′ =
B.
A.
y
2
x
1.
x
x
) 1
( . 4
( . 2
) 1
2
2
5 2
1 2
y x − + x
.
′ = − ′ =
C.
.
D.
( . 4
( . 2
) 1
)( 1 2
) 1
y x − + x x − + x x y 3 2 2 5
3 2 2 3 Lời giải
Chọn B
Trang 44/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
2
2
2
2
Ta có:
( . 4
)( 1 2
1 ) 1 . 2
1 ( ) 1 . 2 2
( . 2
(
3 ) − + ⇒ = 1 2
−= 15 x
′ = = − y 2 x x y x − + x x − + x x x − + x ′ ) 1 3 2 3 2
có đạo hàm là
y
Câu 149: Hàm số
x
x
.
′ = − ′ = ′ = − ′ =
A.
.
B.
. C.
. D.
− 15
− 15 x
− 15 x
y y ln 5 y y
− 15 ln 5 Lời giải
Chọn B
x
x
= −
Ta có:
y
x
− 1 5
ln 5
− 1 5
ln 5
′ = − ( 1
′ )
−=
1 23 x
là
y
Câu 150: Đạo hàm của hàm số
− 1 2
x
− 1 2
x
x
.
.
′ = ′ = − ′ = ′ = −
B.
C.
.
D.
A.
− 1 2 2.3 x
y 2.3 .ln 2 y 2.3 .ln 3 y y
− 1 23 .ln 3 Lời giải
Chọn A
x
− 1 2
x
′ =
−
= −
Ta có:
.
y
− 1 2 3
x
2.3
.ln 3
( .ln 3. 1 2
′ )
3
\{0}
, đạo hàm của hàm số
là
y x−=
=
=
=
= −
B.
C.
D.
A.
4 x 3 .
.
y
'
.
y
'
.
y
'
− 21 − x 2
− 1 4 x 3
y '
Câu 151: Trên tập − 3 4 x
Lời giải
Chọn A
5 3
là
y
x=
0; + ∞ , đạo hàm của hàm số
Câu 152: Trên khoảng (
)
8
2
2
− 2
.
.
′ = ′ = ′ = ′ =
B.
.
C.
D.
.
A.
33 x 5
33 x 8
35 x 3
2
1
y y y y
35 x 3 Lời giải 5 3
ta có:
.
Áp dụng công thức
α x
αα x
35 x 3
5 3
là
0; +∞ , đạo hàm của hàm số
y
x=
′ > = ⇒ = ′ = ) ( x− , 0 y y x
Câu 153: Trên khoảng (
)
8
2
2
−
2 3
.
′ = ′ = ′ = ′ =
A.
.
B.
.
C.
. D.
35 x 3
33 x 8
33 x 5
y y x y y
5 3 Lời giải
Chọn D
2
5 3
′ =
=
Ta có
.
y
x
35 x 3
′
7 3
+∞ đạo hàm của hàm số
là:
y
x=
0;
,
Câu 154: Trên khoảng (
)
4
4
−
−
4 3
4 3
.
.
′ = ′ = ′ = ′ =
B.
.
C.
. D.
A.
37 x 3
33 x 7
y y y x y x 7 3 3 7 Lời giải
Chọn B
3
2
=
>
bằng
y
x
x
3 ,
x
0
Câu 155: Đạo hàm của hàm số
(
)
Trang 45/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
=
.
=
A.
.
B.
.
C.
. D.
'y
9 x=
y
'
x
y
'
x
67 6
34 3
y ' 6 7
7 x Lời giải
Chọn B
7 6
Ta có
y
x= 1
6
.
67 x 6
2
y
= = y ' x 7 6
Câu 156: Tính đạo hàm của hàm số
( x=
5 ) +π 2
2
2
7 2
3 2
′ = ′ =
B.
A.
(
) +π .
(
) +π .
2
2
3 2
7 2
′ =
′ =
y x y x 5 2 5 2
D.
C.
y
5
y
5
( x x
) +π .
) +π .
( x x Lời giải
Chọn C
2
2
2
3 2
Ta có
(
) ( '
) π
( x x
3 ) π . 2
4
là :
′ = + + = + π y x x 5 5 2
3 x=
0; +∞ , đạo hàm của hàm số
y
Câu 157: Trên khoảng (
)
′ =
′ =
′ =
′ =
.
A.
.
B.
.
C.
. D.
x
y
y
x
y
x
y
x
31 3
1 3
4 3
34 3 Lời giải
Chọn C
3
4
4 3
=
=
, do đó ta có:
y
x
x
Trên khoảng (
) 0; +∞ ta có
1
3
4 3
′ =
=
=
.
y
x
x
34 x 3
4 3
′
2 1 −
+ 1
x
x
có tập nghiệm là
= 5
Câu 158: Phương trình
.
B.
.
C.
.
D.
A.
.
{
}3;1−
{
} − − 3; 1
{
}1;3−
25 }1;3 {
Lời giải
Chọn A
2
2
+
x
− 1
x
+ 1
x
− 1
2
x
2
=
⇔
=
2 ⇔ − =
5
25
5
5
1 2
x
x
Ta có
= 3 x + ⇔ = − 2 1 x
S =
Vậy tập nghiệm của phương trình
.
{ } − 3; 1
+
=
là
log
x
x
3
0
Câu 159: Tập nghiệm của phương trình
(
) − − 1
( log 2
)
∅
4;
A.
.
B.
C.
D.
{ }2
{
}4−
.
.
.
2 3
−
Lời giải
Chọn D
− =
+
1 2x 3
= − 4
Ta có phương trình đã cho
1
1
x ⇔ > x
x ⇔ > x
Trang 46/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
x+ =
Phương trình trên vô nghiệm. 15 2
125
có nghiệm là
Câu 160: Phương trình
3x =
1x =
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
x =
x =
5 2
3 2
Lời giải
+ = ⇔ + = ⇔ = x
1 3
125
2
1
x
.
1x =
Chon C x 15 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
.
x
x
− 1
4
−= 2 8
là:
Câu 161: Nghiệm của phương trình
x =
8x =
x =
4
A.
B.
C.
D.
1 8
8 5
Lời giải
Chọn D
−
− 1
2
2
− 6 3
x
x
x
− 2 x = ⇔
=
Ta có:
.
4
8
2
2
⇔ − = − ⇔ = 2 6 3
2
x
x
x
8 5
x =
Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm
.
8 5
x− =
13 2
3
có nghiệm là
Câu 162: Phương trình
x =
0
x =
2
1x =
.
A.
.
B.
.
C.
D.
.
x =
1 2 Lời giải
− = ⇔ − = ⇔ =
x
x
Chọn A x 13 2
1 1
2
3
1.
Ta có
x =
5
25
là
Câu 163: Nghiệm của phương trình
x =
2
x = −
2
5x =
.
B.
.
C.
.
D.
A.
.
x =
1 2
Lời giải
Chọn D
2
x
x
= ⇔ = ⇔ =
5
25
5
5
x
2.
x
2 4 x−
=
là
9
Câu 164: Số nghiệm dương của phương trình
1 3
3
0
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
2
1
Lời giải
Chọn A
x
x
2 4 −
2
2
= ⇔ −
= − ⇔ −
+ = ⇔ = ±
Ta có
.
9
4
2
4
2 0
2
2
x
x
x
x
x
1 3
x
3
x+ 1
=
2
có một nghiệm thực duy nhất. Nghiệm thực đó thuộc
Câu 165: Biết rằng phương trình
1 2 2
− −
− −
6; 5
.
A.
B.
.
.
C.
.
D.
khoảng nào dưới đây ( )
(
)0;1
(
(
)1;0−
) 2; 1 Lời giải
Chọn D
Trang 47/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
x
x
−
x
1
3
+ 1
x
3 x 2
=
⇔
+ 1 = ⇔ − 3
=
⇔ −
=
x
x
x
2
2
2
9
2
2
1;0
Ta có:
.
( + ⇔ = − ∈ −
)
x 3 2
+ 3
2 11
1 2 2
22 x
x+ 5
+ = 4
4
2
.
A.
C.
B.
.
.
.
D.
2−
Câu 166: Tích tất cả các nghiệm của phương trình 2
1
bằng 1−
Lời giải
Chọn A
2
2
= −
x
+
+
+
+
2
5
4
2
5
4
2
2
2
x
x
x
x
= ⇔ +
+ = ⇔ +
.
Ta có:
2
= ⇔ 4
2
2
2
5
2
4
2
5
+ = ⇔ 2 0
x
x
x
x
= −
x
1 2 2
Vậy tích các nghiệm của phương trình là
.
1
x+ = 63
27
là
x = −
2.
x = −
3.
B.
C.
D.
Câu 167: Nghiệm của phương trình x = x = 1. 2. A. Lời giải
+
Chọn D + x
6
x
6
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −
3
6 3
27
3
x
x
3.
3 3
Ta có:
−
x
9
x
3
+ 1
2, 4
là
(
)
Câu 168: Nghiệm của phương trình
5 12
=
x = −
2
x = −
5
x =
2
5x =
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Chọn D
−
−
−
x
x
x
x
9
3
+ 1
9
− − x 3 1
9
x
3
+ 1
=
⇔
=
⇔
=
2, 4
Ta có:
(
)
12 5
5 12
5 12
5 12
⇔ − 3
x
5 12 − = − ⇔ = ⇔ = 4
8
9
1
x
x
x
2
x =
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất một nghiệm
.
2
+
x
− + x
1
1
2
x
=
là
Câu 169: Tập nghiệm của phương trình
2
}0;1 {
{ }0
2 }0;3 {
{ }1
.
.
A.
.
B.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
2
x
− + 1 x
2
x
+ 1
2
2
Vậy tập nghiệm
S =
}0;3 . { Dạng 06: Phương pháp hàm số, đánh giá
log
x =
2
là
3 = ⇔ − + = + ⇔ − 2 2 1 2 x x x 1 x 3 x 0 0 = x = ⇔ = x
Câu 170: Nghiệm của phương trình
3
9x =
5x =
x =
8x =
A.
B.
C.
D.
6 Lời giải
Chọn A
= ⇔ = ⇔ =
.
log
x
2
x
x
2 3
9
3
.
log
2
Câu 171: Giải phương trình
(
) x − = 1
3
x =
7
9x =
8x =
x =
10
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Trang 48/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn D
x >
1.
− = ⇔ − = ⇔ =
log
x
2 1 3
2
x
x
10.
Điều kiện: ) ( 1
3
=
là
log
x −
2
4
Câu 172: Nghiệm của phương trình
(
)
3
x =
79
x =
81
x =
x =
83
.
A.
.
B.
.
C.
D.
66 . Lời giải
Chọn D
−
= ⇔ − = ⇔ =
Ta có:
.
log
x
2
4 2 3
4
x
x
83
(
)
3
là
log
2
(
) x − = 1
Câu 173: Nghiệm của phương trình
3
9x =
x =
7
x =
8x =
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
10 Lời giải
Chọn C
Ta có:
.
log
x
− = ⇔ − = ⇔ = x
1 9
2
x
10
(
) 1
3
=
log
x −
5
5
có nghiệm là:
(
)
Câu 174: Phương trình
2
3x =
x =
15
x =
x =
30
.
A.
.
B.
.
C.
D.
37 . Lời giải
Chọn C
5
−
= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
log
x
5
5 32
5 2
5
x
x
x
37
Ta có:
.
(
)
2
x =
37
Vậy nghiệm của phương trình là
.
=
là
log
x +
Câu 175: Nghiệm của phương trình
2
log 3 0 2
x = − 3
x =
3
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
x =
x =
1 8
1 3 Lời giải
Chọn C
+
= ⇔
= −
Ta có:
log
x
log
x
2
2
log 3 2
⇔
=
.
log
x
log
⇔ = x
2
2
log 3 0 2 1 3
1 3
2
log
x
3
là hai nghiệm của phương trình
khi đó
bằng
Câu 176: Gọi
,x x 1 2
x 1
x+ 2
2
(
) x+ + = 1
3−
A.
.
B.
.
C.
D.
1−
2−
2
. Lời giải
2
2
2
+ + = ⇔ + + = ⇔ + − =
log
x
1 8
3
7
x
x
x
x
x
0
2
Chọn A (
) 1
= − 1
x 1
x+ 2
ac <
0
Do
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên
.
−
+
+
+
=
ln
x
ln
x
ln
x
ln
x
0
có bao nhiêu nghiệm thực.
Câu 177: Phương trình
2 3
2 3
1 3
1 6
4
2
1
3
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
Trang 49/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
x >
.
Đk:
2 3
−
+
+
+
=
ln
x
ln
x
ln
x
ln
x
0
Khi đó,
2 3
2 3
1 3
1 6
−
= ⇔ =
x
x
ln
0
( thoaû
)
2 3
5 3
+
= ⇔ =
x
x
ln
0
( loaïi
)
2 3
1 3
+
= ⇔ =
loaïi
x
x
ln
0
(
)
1 3
2 3
+
= ⇔ =
thoaû
x
x
ln
0
(
)
1 6
5 6
⇔
2
Vậy phương trình đã cho có
2
x
0
là
Câu 178: Tập nghiệm của phương trình
nghiệm thực. ) x− + = 1
( ln 2
∅
0;
.
B.
.
C.
.
D.
A.
.
{0}
1 2
1 2
Lời giải
Chọn B
Ta có
= x
0
2
⇔ − + =
x
0
.
1 1
22 x
x
22 ⇔ − = x
x
0
( ln 2
) x− + = 1
⇔ = x
1 2
S
0;
Vậy
.
1 2
=
là
2
Câu 179: Số nghiệm của phương trình
) x − = 1
( log 2 3
5
0
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
1
2
Lời giải
Chọn D
− > ⇔ >
Điều kiện:
2
x
x
1 0
.
Khi đó
x
1 2 − = ⇔ − = ⇔ = x 2
1 9
2
x
5
tmdk
.
) 1
(
)
( log 2 3
=
x +
2
là
) 1
Câu 180: Nghiệm của phương trình
( log 2 3
x =
4
x =
2
x =
x =
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
5 2
7 2 Lời giải
Chọn A
+
= ⇔ + = ⇔ =
x
2 1 3
2
2
x
x
4
Ta có
.
) 1
( log 2 3
là
− = x 1) 3
Câu 181: Nghiệm của phương trình
7=x
4=x
9=x
3=x
.
log ( 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn C
Trang 50/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
3
− = ⇔ − = ⇔ =
Ta có:
.
x
1) 3
1 2
x
x
9
log ( 2
Dạng 01: PT,BPT mũ cơ bản, gần cơ bản
x =
x =
x =
x =
36
7
14
5
25
6
606
64
,
,
, …,
, khi đó
bằng
...
Câu 182: Biết
3
.
x x x . 1 2 2 x 60
A.
.
B.
.
C.
.
D.
4
3 2
5 2
Lời giải
Chọn B
Ta có
x 1
=
4
5
x 2
=
6
x 3
⇒
=
=
=
=
.
...
log 5.log 6.log 7. ... .log 64 log 64 3
7
log 5 4 log 6 5 log 7 6
x x x . 1 2 3
x 60
4
5
63
6
4
x 60
=
=
63
64
x 60
log 64 63
= x 1 = x 2 ⇔ = x 3 ...
5 6 ...
x
có nghiệm là
m
2 13
m+ =
Câu 183: Tất cả các giá trị của tham số
4m ≥
4m >
để phương trình 1m >
.
− 1 1m ≥
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn A
2
x
2 x + 1
Ta có:
.
x
− ≥ ⇔ ≥
3 3
m
1 3
m
4
Phương trình
có nghiệm khi và chỉ khi
.
0 ≥ ⇔ ≥ 3 3 2 13 m+ =
a
=
=
4
b 25
c 10 .
0
,a b c ,
T
là các số thực khác
thỏa mãn
Giá trị
là
− 1
Câu 184: Cho
c = + a
c b
T =
2
T =
10
T =
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
T =
1 2
1 10
Lời giải
Chọn C
c
a
a
log 4
=
=
4
log 4
log 4
c
a
a
=
⇔
⇔
⇔
Ta có
.
4
b 25
c = ⇔ 10
c
log 25
=
=
b 25
b log 25
c
= c = c b
10 10
log 25
c = a c = b
= + =
+
=
=
T
log 4 log 25 log100
2
Vậy
.
c a
c b
x+ =
15 2
125
có nghiệm là
Câu 185: Phương trình
3x =
1x =
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
x =
x =
5 2
3 2 Lời giải
Chọn D
+
Ta xét + x 1
2
2
x
1
= ⇔ + = ⇔ =
5
= ⇔ 125
5
1 3
2
x
x
3 5
1.
2 3 x−
x
+ = 4
;
;
;
;
.
. B.
3 9
A.
. C.
. D.
Câu 186: Nghiệm của phương trình 1x =
1x =
x =
2
x = − 2
1x =
3x =
là 3x = x = − 1 Lời giải
Trang 51/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn A
1
2 3 x−
x
+ = 4
.
⇔ − x
2 3
x
+ = 4
2
2
= x ⇔ = x
x 9
x 3.3
2
0
x
có hai nghiệm
. Giá trị biểu thức
3 9
Câu 187: Phương trình
1
1
2
,x x x 2
A
x 2
x 3
thuộc
2
1
.
.
A.
B.
C.
D.
2;
2;1 .
1 4
1 4
;
;2 . Lời giải
Chọn C
x
=
3
2
log 2 3
x
x
x
x
−
−
⇔
9
3.3
+ = ⇔ 2 0
3
3.3
+ = ⇔ 2 0
.
(
)2
x
0
=
3
1
= x = x
Suy ra:
= = 0; x 2 log 2 3
Vậy
3
x 1 = + = + = A 2 3 x 1 x 2 2.0 3.log 2 3log 2 3
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGA
Dạng 02: Phương pháp đưa về cùng cơ số
>
S
của bất phương trình
là
8
Câu 188: Tập nghiệm
1 2x
3;
.
S = − + ∞ 3;
.
B.
C.
D.
A.
)
(
)
( S = −∞ −
) ; 3 .
( S = ( S = −∞
+ ∞ ) ;3 .
Lời giải
−
x
3
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ < −
Ta có
3
8
2
2
3.
x
x
Chọn C 1 x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
( S = −∞ −
) ; 3 .
x ≤
là
3
Câu 189: Tập nghiệm của bất phương trình
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
2; +∞
; 2−∞
2; +∞
)
(
)
9 (
(
[
]; 2−∞
) Lời giải
Chọn D x
≤ ⇔ ≤
Ta có
3
9
2
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình
.
( S = −∞
]; 2
x ≤
là
4
8
Câu 190: Tập nghiệm của bất phương trình
;+∞2
(
)
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
]; −∞ 2
[
;
3 2
3 2
−∞ ;
+∞
Lời giải
Chọn A
x
2
x
3
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
x
x
4
2
8
2
2
3
Ta có:
.
3 2
x− 1
<
là
Câu 191: Tập nghiệm của bất phương trình
2 5
5 2
Trang 52/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
0; +∞
; 2−∞
2; +∞
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
(
)
(
);0−∞
(
(
)
) Lời giải
Chọn A
x
− 1
x
− 1
− 1
<
⇔ − > − ⇔ >
1
1
0
x
x
.
2 5
5 < ⇔ 2
2 5
2 5
0; +∞
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
(
)
x
<
là
Câu 192: Tập nghiệm của bất phương trình
1 2
1 8
3; +∞
3; +∞
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
(
)
(
);3−∞
)
(
[
];3−∞
Lời giải
Chọn A
x
x
3
<
3
⇔ > x
Ta có
.
1 2
1 < ⇔ 8
1 2
1 2
+∞
S =
3;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
(
)
x >
3
có tập nghiệm là
−∞
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
; 4−∞
4; +∞
; 27
Câu 193: Bất phương trình (
)
(
81 { }4
(
)
) Lời giải
Chọn C x
x
> ⇔ > ⇔ >
x
3
81
3
4 3
4
Ta có:
.
+∞
S =
4;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
(
)
2
−
x
x
−
x
4
>
2
bằng
Câu 194: Tìm tập nghiệm của bất phương trình
1 2
.
A.
.
B.
2;
)
(
)
C.
.
D.
( ) −∞ − ∪ +∞ ; 2 )2; 2− (
2; +∞
( (
2;− +∞ )
Lời giải
Chọn D
2
−
x
x
2
−
+
−
x
x
x
4
2
2
− x 4 > ⇔
>
⇔ −
+ > −
+ >
2
2
2
x
x
x
4
x⇔ −
4 0
⇔ − < < 2
x
2
1 2
Chọn D
x
2
4
2
Câu 195: Tập nghiệm của bất phương trình
−∞
0; 4
4; + ∞
; 4
0;16
.
A.
.
B.
.
D.
.
C.
(
)
(
)
(
)
x+< 2 (
là: )
Lời giải
Chọn A x 2
4
x
+< ⇔ < + ⇔ <
2
2
x
2
4
x
x
4
Ta có
.
25
x−
>
là
Câu 196: Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình
1 2
1 16
A. 15.
B. 8.
C. 16.
D. 9.
Lời giải
Trang 53/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn C
0
x⇔ ≤
25
25
Điều kiện:
.
x−
x− ≥ x−
25
25
4
⇔
>
>
⇔ − < 25
x
4
⇒ − < 25
x
16
x⇔ >
9
Ta có
.
1 2
1 2
1 2
1 16
9
x< ≤
25
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Suy ra bất phương trình đã cho có 16 nghiệm nguyên dương.
23x −
+
x
2
<
5 5
là
Câu 197: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
1 5
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3
1
2
4
Lời giải
Chọn C
2
x
− 3
2
+
+
x
x
2
2
2
<
+
5 5
x 3 ⇔ < 5
5 5
5
2
⇔ < 3 x
x
Bất phương trình
1 5
2
− < ⇔ − < <
.
⇔ − x 3
5
x
2 0
x
2
1 3
Vì
nên
. Vậy bất phương trình có
nghiệm nguyên.
2
x ∈
}0;1 {
x ∈
+
+
x
x
2
7
2
3
9
−∞ −
−∞ −
.
A.
B.
.
.
C.
.
D.
4;− +∞
; 4
; 5
5 :− +∞
Câu 198: Tập nghiệm của bất phương trình )
(
(
)
< (
(
)
là ) Lời giải
+
+
x
x
7
2
+ 14
x
+
<
Chọn B 2 2 <
⇔ + < x
2 4
x
14
x⇔ − 3
12
x⇔ > − 4
.
3
9
+ x ⇔ < 3
4 3
2
x
x− − < 1
e
là
Câu 199: Tập nghiệm của bất phương trình
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
( 1; +∞
)
)1; 2 (
(
1 e )0;1
(
);0−∞
Lời giải
Chọn C
2
2
−
x
x
− − x 1
− − x 1
2
2
1
< ⇔ − − < − ⇔ − < ⇔ < <
e
e
1
1
0
0
e
1
x
x
x
x
x
Ta có
.
1 < ⇔ e
=S
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
.
(
)0;1
Dạng 03: Phương pháp đặt ẩn phụ
x
x
−
+
là
4
17.2
≤ 16 0
Câu 200: Số nghiệm nguyên của bất phương trình
4
8
3
5
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D
=
>
t
x 2 ;
t
0
Đặt
.
x
x
x
−
+
+
⇔ ≤
≤
t⇔ ≤ ≤ 1
16
trở thành
4
17.2
≤ 16 0
2 17 t−
t
≤ 16 0
1 2
16
Ta có phương trình x⇔ ≤ ≤ 4 0
.
5
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là
.
x
x
=
−
+ ≤
S
có dạng
trong đó
. Giá
a b<
3.9
10.3
3 0
[
]; a b
Câu 201: Tập nghiệm của bất phương trình
trị của biểu thức
bằng
a− 2b 5
Trang 54/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
7
3
43 3
8 3
Lời giải
Chọn A
x
2
=
>
−
+ ≤ ⇔ ≤ ≤
3
t
t
0
Đặt
. Bất phương trình trở thành:
.
t 3
t 10
3 0
t
3
(
)
1 3
x
≤ ⇔ − ≤ ≤
≤
.
Nên
1
3
1
3
x
=
= − ⇒ −
=
a
1,
b
b 5
1
2
a
7
Vậy
. Suy ra
.
1 3 [ S = −
]1;1
x
x
−
≥
x
2
−+ 4 2
17
− 10 log
0
thỏa mãn
?
x
Câu 202: Có bao nhiêu số nguyên
2
(
)
A. 1023.
B. 1021.
C. 1022.
D. 1024.
Lời giải
Chọn B
≤
10
x
Điều kiện
⇔ < ≤ 0
1024
x
2 0
log > x
2
−
x
x
4
Khi đó
.
2
(
)
−
x
x
4
( ) 0 1 ( ) ≥ 17 0 2
⇔ =x
1024
tm
( ) 1
(
)
x
≤
2
1
x
x
−
≥ ⇔
−
+
≥ ⇔
⇔
.
x ⇔ + 2
17 0
2
17.2
16 0
( ) 2
(
)2
x
0 4
16 x 2
≥
2
16
≤ x ≥ x
4
≤ ≤x
1024
Kết hợp với điều kiện ta được
.
Vậy có 1021 số nguyên
thỏa mãn bất phương trình đã cho.
x
x
− >
9
x+− 1 3
4 0
là
= x + − 2 2 17 − 10 log 0 x + − 2 2 − 10 log ≥ ⇔
(1; 4)
.
. B.
−∞
A.
. C.
.
D.
Câu 203: Tập nghiệm của bất phương trình )+∞
( )+∞ (log 4; 3 [log 4; 3 ;log 4) 3
Lời giải
Chọn A
Đặt
. Khi đó bất phương trình trở thành:
x t 3 (
= > t 0)
2 3 t− − >
4 0
t
.
x
> ⇔ >
3
4
x
Khi đó
.
log 4 3
x
−
2
3;
1( loai ) − ⇔ + ( t t 1)( 4) 0 4 < − t > ⇔ > t
A.
B.
3;
> 12 0 )
C.
D.
; 4
8;
x−+ 5 2 là ( ) ( −∞ ∪ +∞ ⋅ ; 2 )2;3 ⋅ (
Câu 204: Tập nghiệm của bất phương trình ] ; 2 )
[ ) −∞ ∪ +∞ ⋅ ) ( −∞ ∪ +∞ ⋅
( (
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định:
.
x∀ ∈
2
x
x
x
x
x
Ta có:
−
> ⇔ +
−
> ⇔
−
+
2
−+ 5 2
12 0
2
12 0
2
12.2
> 32 0
( ) 1
(
)
32 x 2
x
>
+
> ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
t =
2
0
Đặt
, ta có bất phương trình trở thành:
.
2 12 − t
t
32 0
; 4
8;
t
)
(
)
(
Trang 55/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
x
<
<
0
< < t
4
2
4
x
2
⇒
⇔
t >
0
Kết hợp điều kiện
ta có:
.
x
>
>
t
8
x
3
>
2
8
x
x
=
<
−
+ ≤
S
3.9
10.3
3 0
có dạng
, biểu thức
[
]; a b a b ,
Câu 205: Tập nghiệm của bất phương trình
5 - 2b
a
bằng
7
3
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
43 3
8 3
Lời giải
Chọn A
Ta có:
2
x
x
−
+ ≤ ⇔ −
+ ≤
3.9
3 0
0
10 t
3. t
10 t
= > t
.
( 3 0 3
)
1
x
≤ ≤ ⇔ ≤
=
.
3
− 3
3
3
1
1
t
S
; a b
[ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒ = − x
] 1;1
[
]
1 3
= −
1
1
=
+
=
a ⇒ = b b 5 - 2
a =
5.1- 2 .(- 1 )
5
2
7
Vậy
.
Dạng 01: PT,BPT loga cơ bản, gần cơ bản
x ≤
là:
2
Câu 206: Tập nghiệm của bất phương trình
A.
B.
C.
D.
; 2−∞
(
4 (
(
)0; 2
]; 2−∞
[
]0; 2
) Lời giải
Chọn A x
2
≤ ⇔ ≤ ⇒ x
2
4
Ta có
Tập nghiệm của bất phương trình là
.
(
]; 2−∞
x <
3
5
là
Câu 207: Nghiệm của phương trình
x >
x >
x <
x <
.
A.
.
B.
. C.
. D.
log 5 3
log 3 3
log 3 3
log 5 3 Lời giải
Chọn C x
< ⇔ <
3
5
x
Ta có
.
log 5 3
x
≤
+ x 12 .3
; 2−∞
2; +∞
.
A.
B.
.
.
C.
.
D.
)
(
)
2; +∞
[
Câu 208: Tập nghiệm của phương trình: )
(
72 là: ]; 2−∞ (
Lời giải
x
x
x
x
≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Chọn C + x 12
.3
≤ ⇔ 72
2 .3 .2 72
6
2
Ta có:
.
2
4
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
.Tập nghiệm của bất phương trình
x+< 2
36 x ]; 2−∞ (
là
; 4−∞
0;16
.
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
(
)
(
4; +∞
(
)0; 4
(
)
) Lời giải
Chọn A x 2
4
x
+< ⇔ < + ⇔ <
2
2
x
2
4
x
x
4
Ta có
; 4
Tập nghiệm của bất phương trình
.
. ( S = −∞
)
x >
3
9
là
Câu 210: Tập nghiệm của bất phương trình
Trang 56/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
0;+ ∞
2;− + ∞
2;+ ∞
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
(
)0;2
(
(
)
(
)
) Lời giải
Chọn A x
x
Ta có
.
3
> ⇔ > ⇔ > ⇔ ∈ + ∞ x
2;
3
2
9
x
2 3
(
)
x >
2;+ ∞
3
9
Tập nghiệm của bất phương trình
là
.
(
)
x ≥
3
là
−∞
4; + ∞
log 12; + ∞
.
A.
B.
.
.
C.
. D.
(
(
Câu 211: Tập nghiệm của bất phương trình )
)
]; 4−∞
[
]
12 [
; log 12 3
3
Lời giải
Chọn C x
≥ ⇔ ≥
12
3
x
.
Ta có
log 12 3
+ ∞
S =
Tập nghiệm của bất phương trình là
.
)
[
log 12; 3
x
≥
8
là
Câu 212: Tập nghiệm của bất phương trình
1 2
−∞
+ ∞
− + ∞
−∞ −
A.
B.
C.
D.
3;
.
3;
.
(
(
(
)
];3 .
[
] ; 3 .
) Lời giải
Chọn D
−
x
x
3
≥
≥ ⇔ 8
3.
⇔ ≤ − x
1 2
1 2
1 2
2
x− ≥
.
163
81
Câu 213: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình
A. 9.
B. 4.
C. 7.
D. 5.
Lời giải
Chọn C
2
2
−
−
x
x
2
≥ ⇔ −
16 3
≥ ⇔ 81
16 3
12
4 3
x
2 3
≤ ≤ x
x ∈ − − −
Các nghiệm nguyên thỏa mãn là
.
≥ ⇔ − 0 {
2 3 } 3; 2; 1;0;1; 2;3
2
x 1
5
125
Câu 214: Tập nghiệm của bất phương trình
2;
.
A.
.
B.
.
C.
D.
.
3;
là 1 ; 3
1 ; 2
Lời giải
Chọn D x 2
1
2
x
1
5
125
5
3 5
x
2
1 3
x
2
Ta có
.
2;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
Câu 215: Tập nghiệm của bất phương trình
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
5; + ∞
5; + ∞
(
)
(
);5−∞
x− > 22 (
)
[
8 ];5−∞
Lời giải
−
Chọn A − x
2
3
x
2
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ >
Ta có
2
2 3
2
8
2
x
x
5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.
5; + ∞
(
)
Câu 216: Trong năm 2021, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền
Trang 57/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
trước. Kể từ sau năm 2021, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1000 ha?
A. Năm 2029.
B. Năm 2049.
C. Năm 2048. D. Năm 2030.
Lời giải
Gọi
n
Chọn D nA
n
n
=
≤
+
Ta có
. Chọn
.
9n =
r
⇒ ≥ n
1000 600. 1 6%
8,7
là số diện tích rừng mới sau ) + ⇔
năm. (
)
nA
( A 0. 1
Vậy năm đầu tiên tỉnh A đạt trên 1000 ha là năm 2030.
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 02: Tính thể tích các khối chóp liên quan cạnh bên vuông góc đáy
⊥
.S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết
và
SA
ABCD
Câu 217: Cho hình chóp
(
)
. Thể tích của khối chóp
.S ABCD là:
3
a
a
.
.
SA a= 3
B.
.
C.
.
D.
A.
3 3
3 3 3
3 3 12
a a 4
Lời giải
Chọn C
3
a
3
2
2
=
=
=
Thể tích khối chóp
.S ABCD là:
V
SA AB . .
a .
a 3.
.
S ABCD
.
1 3
1 3
3
là
tam giác vuông
cân
tại A ,
có đáy ABC
=
⊥
. Tính thể tích khối chóp
Câu 218: Cho khối = SA AB
2,
chóp SA 12,
.S ABC ?
.S ABC ) ( ABC
C. 24 .
A. 8 .
B. 16 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A
=
=
Thể tích khối chóp là
= .
V
S h . .
.2.2.12 8
1 3
1 1 . 3 2
=
=
. Thể
= AB AC
2 ,
a AD
a 3
AB AC AD đôi một vuông góc và
,
,
Câu 219: Cho khối tứ diện ABCD có
3
.
B.
.
.
C.
D.
A.
33V a=
tích V của khối tứ diện đó là: 32V a=
34V a=
V a=
. Lời giải
Chọn B
3
=
=
.
Do khối tứ diện ABCD có
AB AC AD đôi một vuông góc nên
,
,
.
.
2
AB AC AD
a
ABCDV
⊥
1 6 , SA a= .
.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,
SA
ABC
Câu 220: Cho khối chóp
(
)
Trang 58/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
.
A.
.
B.
.
C.
D.
33a .
33 a 6
33 a 12
33 a 4
Lời giải
Chọn D
⊥
=
= .
Vì
SA
ABC
nên ta có SA là đường cao của hình chóp hay h
SA a
(
)
a
.
Do đáy của hình chóp là tam giác đều cạnh a nên ta có:
S =
2 3 4
2
3
=
=
=
Khi đó thể tích của khối chóp đã cho là:
.
.
. a
V
S h .
1 3
1 3
3 a 4
3 a 12
=
= Tính thể
SA SB SC đôi một vuông góc và
,
,
;
;
= . SA a SB b SC c
Câu 221: Cho hình chóp SABC có tích khối chóp
SABC .
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
abc 6
abc 4
abc 3
abc 3 3
Lời giải
Chọn C
=
=
V
SA SB SC
.
.
.
SABC
1 3
1 2
abc 6 .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng
Câu 222: Cho hình chóp tứ giác
SA
a= 2
. Tính theo a thể tích khối chóp
.S ABCD .
đáy và
3
.
A.
.
B.
.
C.
D.
32a .
32 a 3
34 a 3
a 3
Lời giải
Chọn A
Trang 59/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
S
A
D
B
C
2
Diện tích hình vuông ABCD là:
S
a=
ABCD
3
2
Thể tích khối chóp
.S ABCD là:
ABCD
Dạng 01: Diện tích xung quanh,diện tích toàn phần và câu hỏi liên quan
3
27cm . Diện tích toàn phần của hình lập phương tương ứng bằng
= = = V a a S . SA . .2 1 3 1 3 a 2 3
Câu 223: Thể tích khối lập phương là
2
2
2
2
A.
B.
C.
D.
54cm .
36cm .
16cm .
9cm .
Lời giải
3
Chon A =
V
27
cm
Diện tích toàn phần của hình lập phương là
.
suy ra cạnh của hình lập phương bằng 3 . 23 .6 54=
3
30cm và chiều cao bằng 5cm . Diện tích đáy của khối chóp đã
Câu 224: Cho khối chóp có thể tích bằng
cho bằng
A. 6
.cm
B. 18
C. 24
.cm
D. 12
.cm
.cm
Lời giải
=
=
=
S
18
cm .
Chọn B 3 V h
90 5
Câu 225: Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 . Tổng diện tích các mặt của hình lập phương đã cho
bằng
B. 12 .
D. 24 .
A. 54 .
C. 36 .
Lời giải
Chọn A
=
Tổng diện tích các mặt của hình lập phương là:
.
S =
26.3
54
Câu 226: Tính tổng diện tích các mặt của một hình bát diện đều cạnh a .
.
A.
.
B.
C.
.
D.
24a .
2 3
24 a
22 a
a 3 3
Lời giải
Chọn A Một hình bát diện đều là hình có 8 mặt đều là tam giác đều có cạnh a .
2
a
3
2
=
=
.
S
8.
2
a
3
4
Câu 227: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng 2a là
Trang 60/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
A.
B.
C.
D.
28 a
2 3.
24 a
22 a
3. a 3 3.
Lời giải
Chọn B Hình bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 2a . Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh bằng 2a là:
2
3
2
=
=
.
8.
8
3
S
a
(2 ) a 4
Dạng 03: Thể tích khối chóp liên quan một mặt bên vuông góc đáy
SA
a= 3
,
Câu 228: Cho tứ diện SABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau. Biết
SB
a= 4
SC
a= 5
,
. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
3
3
=
=
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
V
20
a
V
10
a
35V a=
35 a 2
V =
Lời giải
Chọn A
3
=
=
Ta có
.
.3 .4 .5
10
V
a a a
a
1 6
OA = , 1
OB = , 2
OC = . 3
Câu 229: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau,
Thể tích khối tứ diện OABC là
.
D.
A. 1.
B. 2 .
C. 6 .
2 3
Lời giải
Chọn A
=
=
= .
Thể tích khối tứ diện OABC là
.
.
.1.2.3 1
OA OB OC
OABCV
1 6
1 6
=
= , 120 BAC =
.S ABC có đáy là tam giác cân tại A , AB AC a
Câu 230: Cho hình chóp
.S ABC là
3
3
3
.
° . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Thể tích V của khối chóp
B.
.
C.
.
.
D.
A.
V a=
32V a=
V = V = a 8 a 2 Lời giải
Chọn A
⇒ ⊥
. Mặt bên SAB nằm trong
Vì tam giác SAB đều nên gọi H là trung điểm của AB
SH AB
=
mặt phẳng vuông góc với mặt đáy
⇒ ⊥ SH
,
a .
(
) ABC SH
3 2
Trang 61/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
3
2
2
=
=
=
.
S
a
⇒ = V
a
a a . .sin120
a .
.
ABC
1 2
3 4
1 3 . 3 2
3 4
a 8
.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , tam giác SAB vuông cân tại S và nằm
Câu 231: Cho khối chóp
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
.S ABC theo a .
a
a
a
a
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3 3 6
3 3 12
3 3 8
3 3 24
Lời giải
Chọn A
ABC
SAB
= ⇒ ⊥
∩
Vì
ABC
ABC
SAB
SH
AB
(
)
) )
Vì tam giác SAB cân tại S nên hạ SH AB⊥ ⇒ H là trung điểm AB . ( ) ( ⊥ ) ( ( ⊥ SH AB
Tam giác SAB vuông cân tại S nên
SH =
AB a = 2 2
2
2
a
3
3
=
=
=
V
SH S .
a a .
S ABC
.
ABC
1 3
1 . 3 2
4
24
.S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , mặt bên SBC là tam giác vuông cân
ABC . Thể tích của khối chóp đã cho bằng
= SA SB= a 2
Câu 232: Cho khối chóp )
tại S và (
SBC vuông góc với mặt phẳng (
)
3
33
A.
D.
B.
C.
33a .
a .
a .
12
33 3
3 3a .
Lời giải
Chọn B
Trang 62/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
⊥
ABC
S
BC
=
∩
ABC
BC
SBC
) )
⇒
⊥
, ta có
SM
ABC
Dựng SM BC⊥
(
).
SM
S
B
C
(
)
( ( ) ( ( ) ⊥ SM BC ⊂
=
= .
Do SBC∆
vuông cân ở S , suy ra
SM
BC a
.
1 2
3
(
Vậy
.
S ABC
SBC
.
)2 4
=
= . Mặt bên (
SAB
)
AB
a AD a
.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2 . 3 a = = = V . . SM S . . a 1 3 1 3 3 a 3
Câu 233: Cho hình chóp
là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp
2 , .S ABC bằng
3
A.
B.
C.
D.
33a .
a .
3 a .
33 3
2 3 3
2 3a .
Lời giải
Chọn D
⊥
.
Vì tam giác SAB là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy nên
SH
(
ABCD
)
=
=
Ta có
= SH SA
ο .sin 60
a 2 .
a
3
3 2
3
=
=
=
=
.
Vậy
.
.
V
V
. SH AB BC
. a
3.2 . a a
a
S ABC
.
.
S ABCD
1 2
1 6
3 3
=
1 1 . 2 3 .S ABC có ABC∆
= . Cạnh bên SC vuông góc
cân tại A và 120 , °
AC a
Câu 234: Cho hình chóp
với mặt đáy và SC a= . Thể tích khối chóp
BAC .S ABC bằng
a
a
a
a
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3 3 6
3 3 2
3 3 4
3 3 12
Lời giải
Chọn C
Trang 63/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
S
a
a
A
C
a
B
2
a
3
=
° =
=
.
Ta có
S
AB AC .
.sin120
a a . . .
∆
ABC
1 2
1 2
3 2
4
2
3
a
3
a
3
=
=
=
.
Vậy
V
S
SC .
.
a .
∆
S ABC
.
ABC
1 3
1 3
4
12
=
=
AD
AB
a 3
3
Câu 235: Cho khối chóp AD . Mặt bên (
.S ABCD có đáy là hình chữ nhật với . Gọi M là trung điểm SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của
khối chóp
) .S AMCB :
a
a
3
3
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
35 a 24
3 3 2
3 3 24
33 a 8
Lời giải
Chọn C
⇒ ⊥ SH
Gọi H là trung điểm AB
(
2
3
+
) ABCD (
)
3
3
a
3 a
=
=
=
=
Ta có:
.
.
.
.
3 9 .
V
. SH S
S AMCB
AMCB
.
1 3
1 3
AB AM BC 2
1 3
2
a 4
8
AB 2 Dạng 00: Câu hỏi dạng lý thuyết
SH
a= 3
.S ABC có diện tích đáy bằng
22a , đường cao
. Thể tích khối chóp
.
B.
C.
D.
A.
3a .
32a .
33a .
Câu 236: Cho khối chóp .S ABC 33 a 2
Lời giải
Chọn C
=
=
=
Áp dụng công thức
V
Bh
2 a .2 .3 a
3 a 2 .
1 3
1 3
Câu 237: Cho khối lăng trụ có thể tích bằng V , diện tích đáy bằng B thì khoảng cách giữa hai mặt đáy
Trang 64/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
bằng
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
V B 2
V B
3V B
V B 3
Lời giải
Chọn C
Câu 238: Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h . Thể tích V của khối chóp đã cho được tính
theo công thức nào dưới đây?
=
=
=
.
.
B.
.
.
D.
A.
C. V Bh=
V
Bh
Bh
V
Bh
V
1 3
4 3
1 6
Lời giải
Chọn B
=
.
Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là
V
Bh
1 3
Câu 239: Cho khối chóp có diện tích đáy bằng S ; chiều cao bằng h và thể tích bằng V. Thể tích khối
chóp là
=
=
.
.
B.
.
C.
. D.
A. V Sh=
= 3v
Sh
V
S h
V
Sh
1 3
21 3 Lời giải
Chọn B
=
Thể tích khối chóp
.
V
Sh
1 3
Câu 240: Một khối chóp có thể tích bằng 12 và diện tích đáy bằng 4. Chiều cao của khối chóp đó bằng
A.
.
B.
.
C. 3 .
D. 9 .
1 3
4 9
Lời giải
Chọn D
=
=
Thể tích khối chóp
V
Bh
⇒ = h
= . 9
1 3
2
và chiều cao
V 3 B S
3.12 4 cm= 2
3h
cm=
. Thể tích V của khối lăng
Câu 241: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy
trụ đã cho là
3
3
3
3
.
A.
.
B.
. C.
. D.
V
V
2 cm= 3
2V cm= 6V cm=
1 cm= 3 Lời giải
Chọn D
3
Ta có:
.
=
Tính giá trị
V
dm
.
= = V S h . 6 cm
Câu 242: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a , có thể tích
(
)3
9 4
của a .
=
A.
. B.
. C.
D.
= 3a
dm
(
)
) ( 9 dm .
(
)
a 3 3 dm
) ( 3 dm . Lời giải
Chọn C
Trang 65/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
A
C
B
C'
A'
B'
Lăng trụ đều
ABC A B C là lăng trụ đứng và có đáy ABC là tam giác đều.
'
' . = h AA Chiều cao lăng trụ
' '
a
=
.
Diện tích đáy ABC :
S
ABC
= . a 2 3 4
Thể tích khối lăng trụ đều
ABC A B C là: '
'
'
. 3
2
a
a
3
3
=
=
=
.
V
h S .
a .
ABC
ABC A B C .
'
'
'
4
4
3
a
3
3
= ⇔ =
Ta có
a
3
a
9
3
dm
.
(
)
4
9 = ⇔ 4
3a . Chiều cao của khối
Câu 243: Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 2a và thể tích bằng
chóp đã cho bằng
C.
D.
B. 2 3a .
A. 3a .
a .
a .
3 2
3 3
Lời giải
Chọn A
Ta có
V
⋅ S h
1 = ⋅ 3
3
a 3
=
=
=
.
Suy ra
h
a 3
V 3 S
2
2 a ⋅ )
(
3 4
Câu 244: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
=
.
A. Thể tích khối chóp có đường cao h và diện tích đáy B là
V
Bh
1 3
.
B. Thể tích khối lăng trụ có đường cao h và diện tích đáy B là
=
.
C. Thể tích khối tứ diện có đường cao h và diện tích đáy B là
V
Bh
V B h= . 1 6
3
V a=
D. Thể tích khối lập phương cạnh a là
. Lời giải
Chọn C
=
.
Thể tích khối tứ diện có đường cao h và diện tích đáy B là
V
Bh
1 3
. Tính cạnh của khối
.S ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và có thể tích bằng
Câu 245: Khối chóp
16 3
chóp.
D. 2 .
A. 2 2 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn A
Trang 66/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
S
A
B
O
D
C
2
2
2
2
=
−
=
−
=
.
Đặt độ dài cạnh hình chóp là x . Ta có:
SO
SA
AO
x
x 2
x 2
3
⇔
=
=
.
x⇔ =
2 2
.S
V =
ABCD
1 SO⇔ . 3
16 3
16 3
16 3
x 3 2
và chiều cao
. Thể tích của khối lăng trụ đã
26B a=
h
a= 2
Câu 246: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy
cho bằng
B.
C.
D.
A.
3 12a .
38a .
34a .
a .
34 3
Lời giải
Chọn D
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao
là:
26B a=
h
a= 2
3
=
=
.
= V B h .
2 a 6 .2
a
12
a
3
3
3
3
Câu 247: Thể tích V của khối cầu bán kính r được tính theo công thức nào dưới đây?
2V
rπ=
4V
rπ=
V
V
1 rπ= 3
4 rπ= 3
A. . B. . C. . D. .
xqS của hình trụ
Câu 248: Cho hình trụ có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l . Diện tích xung quanh
rlπ=
rlπ= 3
rlπ= 2
rlπ= 4
xqS
xqS
xqS
xqS
đã cho được tính theo công thức nào dưới đây? A. B. . . C. . D. .
π
Thể tích của khối cầu đã cho bằng Câu 249: Cho khối cầu có bán kính
64π
256π
4.=r π 64 3
256 3
B. . C. . D. . A. .
Lời giải
π
3
3
π
π
=
=
=
Chọn D
.4
.
V
R
4 3
4 3
256 3
Thể tích của khối cầu đã cho bằng
3
3
Câu 250: Thể tích khối cầu bán kính a bằng :
2 aπ 3
4 aπ 3
aπ 4 3
aπ 3
A. B. C. D.
Trang 67/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
Chọn C
3
3
3
3
Câu 251: Thể tích khối cầu có đường kính 2a bằng
4 aπ .
2 aπ .
aπ 4 3
aπ 3
A. . B. C. . D.
Lời giải
3
Chọn A
. Đường kính của khối cầu là 2a , nên bán kính của nó là a , thể tích khối cầu là aπ 4 3
Câu 252: Thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng 36π.
π 3
π 9 Lời giải
2
2
C. D. B. 36π A. 9π
=
π
Rπ 4
36
⇒ = ⇒ = . 9
R
R
3
CS
3
=
π
=
π
Chọn B Ta có: = •
3 .3
36
Rπ
⇒ = CV
4 3
4 3
2
16 aπ quanh một trong những đường kính, ta được
.
Câu 253: Quay một miếng bìa hình tròn có diện tích
khối tròn xoay có thể tích là
3 aπ
3 aπ
3 aπ
3 aπ
64 3
128 3
256 3
32 3
A. B. C. D.
2
2
π
=
=
Lời giải
16
4
⇒ = R
π a
R
S
a
.
3
3
π
⋅
π
⋅
=
Chọn C Gọi R là bán kính đường tròn. Theo giả thiết, ta có Khi quay miếng bìa hình tròn quanh một trong những đường kính của nó thì ta được một hình
V
R
4
a
π a
(
)3
4 = ⋅ 3
256 3
3
. cầu. Thể tích hình cầu này là
4 = ⋅ 3 π a 3
=
R
2 2
a
a= 2R
32 = là: V Câu 254: Bán kính R của khối cầu có thể tích
3 7a .
A. . B. . C. 2a . D.
Lời giải
3
3
Chọn A
3
⇔ =
2R
a
32 32 π = ⇔ = Thể tích khối cầu . V R π a 3 4 3 π a 3
a= 2R
3
3
có thể tích là:
2
3 6 aπ .
16 aπ .
Câu 255: Khối cầu bán kính 32 A. . B. C. . D. aπ 8 3 aπ 3
Lời giải
3
Chọn A
3
3
S
.
aπ= .8
4 Rπ= 3
4 3
32 = Ta có thể tích khối cầu là . aπ 3
Trang 68/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Câu 256: Một khối cầu có bán kính 2R thì có thể tích V bằng bao nhiêu?
3
3
3
2
= π
4V
R
4 32 24 R = = = A. B. . C. . D. . V V V . π R 3 π R 3 π 3
Lời giải
3
3
Chọn C
)
2R = . Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
R 32 = Thể tích của khối cầu . V R 2 4 ( π= 3 π 3
Câu 257: Cho mặt cầu có bán kính π . B. 8π. C. 16π. D. 4π. A. 32 3
Lời giải
2
=
=
π
S
Rπ 4
16
Chọn C
π
Câu 258: Cho mặt cầu có bán kính
r = . Diện tích mặt cầu đã cho bằng 5 π B. 500 3
. . C. 100π. A. 25π. D. 100 3
Lời giải.
2
2
=
=
=
Chọn C
S
rπ 4
π 4 .5
π 100 .
4
r = . Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
Diện tích mặt cầu
Câu 259: Cho mặt cầu có bán kính
π D. 256 3
π C. 64 3
. . B. 64π. A. 16π.
2
2
=
=
π
π
Lời giải
rπ 4
64
4.
.4
2
16 aπ . Khi đó, bán kính mặt cầu bằng
Chọn B Diện tích của mặt cầu bằng
a
2
Câu 260: Cho mặt cầu có diện tích bằng
2
D. A. 2 2a B. 2a C. 2a
2
2
⇒ =
=
=
Lời giải
S
π 4
R
16
π a
2R
a
Chọn C Ta có:
2
2
2
2
Câu 261: Diện tích mặt cầu bán kính 2a là
4 aπ .
16 aπ .
16a .
aπ 4 3
A. B. C. D. .
2
2
=
=
=
Lời giải
S
π 4
R
2
a
16
π a
( π 4
)2
Ta có: .
16
( cmπ
)2
. Bán kính của mặt cầu đó là. Câu 262: Diện tích của một mặt cầu bằng
A. 8cm . B. 2cm . C. 4cm . D. 6cm .
2
Lời giải
π 4 R
2 π= ⇔ = ⇒ = R
16
R
4
2(
cm
).
Ta có:
(
)S
Trang 69/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
khi biết chu vi đường tròn lớn của nó bằng 4π Câu 263: Tính diện tích mặt cầu
S
π= 32
S
π= 16
π= 64
S π= 8
A. B. D.
)S là đường tròn đi qua tâm của mặt cầu (
)S nên
C. S Lời giải
)S .
⇒
π
= ⇔ = .
R
π 4
R
2
Chọn B Nhận xét : Đường tròn lớn của mặt cầu ( bán kính của đường tròn lớn cũng là bán kính của mặt cầu (
)S bằng 4π 2
2
=
=
π
Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu (
S
Rπ 4
16
)S là
. Vậy diện tích mặt cầu (
3
2
2
Câu 264: Diện tích mặt cầu có đường kính bằng 2a là
2aπ .
16 aπ .
4 aπ .
aπ 4 3
A. B. C. . D.
2
2
=
=
Lời giải
S
π 4
R
π 4 a
2
π 4 a
. Chọn D Bán kính mặt cầu là R a= ⇒ Diện tích mặt cầu là
) 2 cm .
(
3
3
3
3
Khi đó, thể tích khối cầu ( )S là Câu 265: Cho mặt cầu ( )S có diện tích
) 3 cm .
(
) 3 cm .
(
(
(
) 3 cm .
) 3 cm .
π 4 a 3
π a 3
π 16 a 3
π 64 a 3
2
A. B. C. D.
=
π 4
R
π= 4 a
R a cm
(
)
3
3
3
=
=
V
cm
Lời giải 2 . Vậy . Gọi mặt cầu có bán kính R . Theo đề ta có
(
)
π 4 R 3
π 4 a 3
2
. Khi đó, thể tích khối cầu ( )S là:
3
3
3
3
Câu 266: Cho mặt cầu có diện tích bằng
9 aπ .
18 aπ .
12 aπ .
36 aπ . Thể tich khối cầu là 36 aπ .
A. B. D.
2
2
2
2
2
C. Lời giải
36 aπ nên
π 4
R
π= 36 a
⇔ = ⇒ = 9 a
R
R
3
a
3
3
3
Gọi R là bán kính mặt cầu. Mặt cầu có diện tích bằng
=
π
=
π
=
V
R
a (3 )
36
π a
4 3
4 3
Thể tích khối cầu là
r
cm= 4
l
cm= 3
2
2
2
2
và độ dài đường sinh . Diện tích xung quanh của
A. B. C. D. Câu 267: Một hình trụ có bán kính đáy hình trụ đó bằng 12 cmπ . 48 cmπ . 24 cmπ . 36 cmπ .
Lời giải
2
=
=
π
Chọn C
S
π 2
rl
24
cm
.
l = . Diện tích xung quanh của hình
3
8R = và độ dài đường sinh
Diện tích xung quanh hình trụ là
C. 48π. D. 64π. Câu 268: Cho hình trụ có bán kính đáy trụ đã cho bằng: A. 24π. B. 192π.
=
=
π
Lời giải
rlπ 2
48
xqS
Trang 70/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn C Diện tích xung quanh của hình trụ
l =
3
r =
4
và độ dài đường sinh . Diện tích xung quanh của hình Câu 269: Cho hình trụ có bán kính đáy
48π
12π
16π
24π
trụ đã cho bằng . A. B. . . D. .
π
=
=
=
C. Lời giải
S
rlπ 2
π 2 .4.3 24
Chọn D Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là .
Câu 270: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3 . Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng qua
trục, thiết diện thu được là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng A. 18π. D. 27π. B. 36π. C. 54π.
Lời giải
=
= = .
6
l
2
r
= =
Chọn B
⇒ = h AD DC π π = 2 .3.6 36
π50 và độ dài đường sinh bằng đường kính của
.
Giả sử thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông ABCD . r = Theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ 3 rlπ = Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là: 2 xqS Câu 271: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng
π
=
đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.
r
π5
5 2 2
5 2 2
C. D. = r A. = r B. = 5 r
Lời giải
l
r
Chọn D
π
=
π
⇔ = r
π = rl
Diện tích xung quanh của hình trụ: π2 rl ( l : độ dài đường sinh) Có = 2
2
50
⇔ π 2
r r 2
50
xqS
5 2 2
= π ⇔2 rl
1R = , thể tích
5V π=
)T có bán kính đáy
. Tính diện tích toàn phần của hình trụ Câu 272: Cho khối trụ (
S
π= 11
S
π= 10
S π= 7
B. D. tương ứng π= A. 12
Trang 71/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
C. S Lời giải
=
=
Chọn A
= nên
V S h= .
2 rπ π
S
h
= . 5
2
=
+
=
π
=
π
V S Diện tích toàn phần của trụ tương ứng là:
Ta có với
Rh
R
π 2
π 2
2 + π 2 .1.5 2 .1
12
tpS
.
2
. 3a Câu 273: Tính diện tích xung quanh của hình trụ biết hình trụ có bán kính đáy là a và đường cao là
2 2 aπ
2aπ
2 3
A. B. D. aπ aπ 2 3
C. Lời giải
2
Chọn D
xqS
2
4 aπ và bán kính đáy là a . Tính độ dài đường cao
= = = = Diện tích xung quanh của hình trụ là: . π 2 rl π 2 rh π 2 . . a a 3 π 2 a 3
Câu 274: Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng
của hình trụ đó. A. a . B. 2a . C. 3a . D. 4a .
Lời giải
2
Chọn B Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy a và chiều cao h là
xq
= = = . S π 2 ah ⇔ = h 2 a π 4 a π a 2
h
a= 2
Vậy độ dài đường cao của hình trụ đó là S xq π a 2 .
Câu 275: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2cm và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích
xung quanh của hình trụ là
3 32 cmπ
3 16 cmπ
3 8 cmπ
3 4 cmπ
A. B. D.
C. Lời giải
rhπ= 2
xqS
2
V
R hπ=
Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R , chiều cao h là
3
=
=
=
π
Công thức tính thể tích của khối trụ có bán kính đáy R , chiều cao h là
π 2
rh
π 2 .2.4 16
cm
h
r
cm
2
4
=
=
xqS
2
8 aπ và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh
Vì thiết diện qua trục là hình vuông nên ta có .
Câu 276: Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng
của hình trụ bằng: A. 4a . B. 8a . C. 2a . D. 6a .
Trang 72/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Lời giải
2
=
2π
Rl
4a=
xqS
xqS R 2π
= Ta có: . ⇒ = l a 8π 2π a
)T bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
Câu 277: Cắt hình trụ (
)T bằng
bằng 7 . Diện tích xung quanh của (
49π 4
49π 2
A. . B. . C. 49π . D. 98π .
Lời giải
Chọn C
Bán kính đáy của hình trụ là
7 r = . 2 h = . 7
=
=
=
Đường cao của hình trụ là
S
r h 2π .
2π.
.7
49π
7 2
)T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh
Diện tích xung quanh của hình trụ là .
Câu 278: Cắt hình trụ (
)T bằng
bằng 5 . Diện tích xung quanh của (
π D. 25 4
π 25 2
A. . . B. 25π. C. 50π.
Lời giải
Chọn B
l = . 5
)T bằng 5 2
, độ dài đường sinh Bán kính của hình trụ (
=
=
π
π 2 .
= .5 25
r lπ 2 .
) : T S
xq
5 2
r = và chiều cao
5
h = . Thể tích của khối trụ đã cho bằng
3
. Diện tích xung quanh của (
Câu 279: Cho khối trụ có bán kính đáy bằng
A. 5π. B. 30π. C. 25π. D. 75π.
=
=
π
Lời giải
V
2 . r hπ
75
Chọn D Thể tích khối trụ là .
4 C. 36π.
Câu 280: Cho khối trụ có bán kính
r = và chiều cao 3 B. 12π.
h = . Thể tích khối trụ đã cho bằng D. 24π.
A. 4π .
=
=
π
π
Lời giải
V
2 r hπ
2.3 .4 36 =
Chọn C Ta có:
Trang 73/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Câu 281: Thể tích của khối trụ tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h bằng
2
2
2r hπ
r hπ
r hπ
4 3
1 3 Lời giải
A. B. C. D. 2 rhπ
2 r hπ=
. Chọn B truV
h
a=
2
a= và chiều cao
aπ
3
3
bằng Câu 282: Thể tích khối trụ có bán kính đáy r
aπ 4
2
aπ
3 2
2 aπ .
3 2 3
A. . B. . C. D. .
2
Lời giải
2. a aπ=
.
2
3 2
aπ=
V
r hπ=
Thể tích khối trụ là: .
Câu 283: Thiết diện qua trục của một hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a . Tính theo a thể tích
3
3
3
khối trụ đó.
2 aπ .
4 aπ .
3aπ .
aπ .
2 3
A. B. C. D.
Lời giải
,h r .
=
h
2 ,
a r
= . a
3
2
= π
= π
Gọi chiều cao và bán kính đáy của hình trụ lần lượt là
= π . a
2 r h
.2
V
a
2
a
=
=
AB
2
BC
a 2 .
Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a nên Thể tích của khối trụ đó là
.AD
3
3
3
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng
4 aπ .
2 aπ .
8 aπ .
3aπ .
Câu 284: Cho hình chữ nhật ABCD có ABCD quanh trục A. B. C. D.
=
= và đường cao AD BC a
AB
a= 2
3
π
=
=
Lời giải
π 4 a
V
Khối tròn xoay tạo thành là khối trụ có bán kính đáy là 2 có thể tích bằng AB AD
Câu 285: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
π
6
6
vuông. Tính thể tích khối trụ?
π C. 4 9
π 4 9
6 12
π 9
A. B. D.
l
= = h
2
r
2
2
2
2
=
=
=
+
+
π 2 . r
π 6 r
π 2 r
π 4
π 2
rl
r
Lời giải
Trang 74/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn D Hình trụ có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông suy ra: Hình trụ có diện tích toàn phần là 4π suy ra: = π 2 .2 tpS
=
r
,
l
= = h
6 3
2 6 3
6
π=
=
V
2 r h .
Nên
π 4 9
AD
a= 2
Thể tích khối trụ:
3
. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình
4 aπ .
3aπ .
32a .
Câu 286: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a= , chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng A. B. D. 3a .
C. Lời giải
3
π
=
=
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay ta có
4 aπ=
V
2 r h
2
a
a .
( π
)2
.
Câu 287: Cho khối trụ có chu vi đáy bằng 4 aπ và độ dài đường cao bằng a . Thể tích của khối trụ đã cho
3
3
3
bằng
2aπ .
4 aπ .
16 aπ .
aπ .
4 3
⇔ =
A. B. C. D.
2R
a
Rπ=
2P
2
3
. Lời giải = π R 2 Gọi chu vi đáy là P . Ta có:
4 aπ=
R hπ=
V
2
⇔ ( π=
π a 4 )2 a .a Câu 288: Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4π và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình
Khi đó thể tích khối trụ: .
π
6
6
vuông. Tính thể tích khối trụ?
π D. 4 9
π 9
6 12
π 4 9
A. . B. . C. . .
Lời giải
2
2
⇔
=
⇔
+
=
Vì thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông nên khối trụ có chiều cao bằng 2r .
π= 4
rπ 6
π 4
π 2 r
π 2
rl
π 4
tpS
r⇒ =
2 3
6
3
2
=
. Ta có:
V
r hπ=
2 rπ=
π 4 9
Tính thể tích khối trụ là: . π= 2 2 2 3 3
Câu 289: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a . Thể tích khối
3
3
3
trụ đó bằng
3aπ .
aπ 2
aπ 4
aπ 3
A. B. . C. . D. .
Trang 75/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
a= nên thể tích khối trụ là
r = và chiều cao h
2
3
Ta có bán kính đáy
=
=
=
π 2
π 2 .
V
2 r h
. a
a 4
a 2 π a 2
.
Câu 290: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông có cạnh là 2a .Thể tích khối trụ được tạo nên
3
3
3
3
bởi hình trụ này là:
2 aπ .
8 aπ .
aπ 8 3
aπ 2 3
A. B. . C. D. .
Lời giải
2
3
nên thể tích khối trụ được tạo nên bởi hình trụ này là:
h π=
V
.
a= 2 2. .2a
a
2 .aπ=
. Ta có: R a= , R hπ= .
Câu 291: Diện tích xung quanh của hình nón có độ dài đường sinh l và bán kính đáy r bằng
rlπ .
1 3
D. C. rlπ . A. 4 rlπ . B. 2 rlπ .
Lời giải
7
l = . Diện tích xung quanh của hình
r = và độ dài đường sinh
2
Chọn C Áp dụng công thức diện tích xung quanh hình nón.
Câu 292: Cho hình nón có bán kính đáy
nón đã cho bằng
π 98 3
π 14 3
C. . D. . A. 28π. B. 14π.
=
π
Lời giải
= rlπ π
.7.12 14
l = . Diện tích xung quanh của hình
5
r = và độ dài đường sinh
2
. Chọn B = Có xqS
Câu 293: Cho hình nón có bán kính đáy
nón đã cho bằng
π 20 3
π 10 3
B. D. . C. 10π. A. 20π.
Lời giải
Trang 76/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn C
=
π
π
rlπ=
= .2.5 10
xqS
l h r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích
,
Ta có diện tích xung quanh của hình nón đã cho là: .
Câu 294: Gọi ,
xqS của hình nón là:
xung quanh
= π .
= π .
2 r h
=π . rh
2
=π . rl
rl
xqS
xqS
xqS
xqS
1 3
A. B. C. D.
Lời giải
=π . rl
xqS
Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón là
2
Câu 295: Cho hình nón có bán kính đáy bằng a , đường cao là 2a . Tính diện tích xung quanh hình nón?
2 5 aπ .
22a .
25a .
A. B. D. 2 5 aπ .
2
2
2
=
π π
=
+
=
C. Lời giải
4
Rl
a a
a
π 5 a
xqS
Ta có .
l = . Tính diện tích xung quanh của
4
và độ dài đường sinh r = 3
Câu 296: Cho hình nón có bán kính đáy hình nón đã cho.
π= 4 3
π= 39
π= 8 3
π= 12
xqS
xqS
xqS
xqS
A. B. C. D.
Lời giải
=
=
π
Chọn C
rlπ
4 3
xqS
.a Tính
Diện tích xung quanh của hình nón là: .
2
2
aπ
aπ
Câu 297: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng
aπ
2 2
aπ 2 3
2 2 2
A. B. . . C. . D. . diện tích xung quanh của hình nón. 2 2 4
Lời giải
Trang 77/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn D
SA a= .
2
a
π a
2
2
a
2
=
=
=
=
Ta có tam giác SAB vuông cân tại S có
l
= Nên SA a .
S
Rl
π π = .
a .
.
R OA=
,
xq
2
2
2
Khi đó:
r = . Diện tích toàn phần của hình nón đó là: C.
5 π= 20 .
π= 22 .
π= 24 .
3 tpS
tpS
tpS
l = , bán kính đáy tpS
A. D. Câu 298: Cho hình nón có đường sinh π= B. 15 .
2
=
=
Lời giải
15
+ 9π π
+ π π rl r
tpS
Áp dụng công thức tính diện tích toàn phàn của hình nón ta có
24π=
3h = và bán kính đáy
.
r = . Thể tích của khối nón đã cho bằng 4 C. 36π.
Câu 299: Cho khối nón có chiều cao
D. 4π. A. 16π. B. 48π.
Lời giải
=
=
=
π
Chọn A
V
2 r hπ . . .
π .
.16.3 16
1 3
1 3
r = và chiều cao
5
h = . Thể tích khối nón đã cho bằng:
Ta có công thức thể tích khối nón .
Câu 300: Cho khối nón có bán kính đáy
2 π 50 3
π 10 3
C. . A. . B. 10π. D. 50π.
Lời giải
=
Chọn C
V
2 r h
1 π= 3
π 50 3
Thể tích khối nón
r =
4
và chiều cao . Thể tích của khối nón đã cho bằng Câu 301: Cho khối nón có bán kính đáy
32π
8π
h = 2 π 32 3
π 8 3
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
π
π
=
=
=
Chọn C
V
2 r h
2 .4 .2
1 3
1 3
π 32 3
Thể tích của khối nón đã cho là .
r =
3
h = . Tính thể tích V của khối nón đã cho.
4
3
16
=
và chiều cao Câu 302: Cho khối nón có bán kính đáy
V
π= 16
3
V
π= 12
4V π=
V
π 3
A. B. C. D.
Lời giải
=
=
=
π
Chọn B
V
2 r hπ . .
( π
)2 3 .4 4
1 3
1 3
=
= . Quay tam giác
A AB c AC b ,
,
Ta có .
=
A AB c AC b ,
,
= . Quay tam giác ABC xung quanh đường thẳng
Cho tam giác ABC vuông tại
2
Câu 303: Cho tam giác ABC vuông tại
bcπ .
2 bc .
2 b cπ .
b c .
1 3
1 3
A. C. B. D.
Trang 78/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
chứa cạnh AB ta được một hình nón có thể tích bằng 1 21 3 3 Lời giải
=
π
=
π
V
2 r h
2 b c
1 3
1 3
.
Câu 304: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã
3
3
3
3
cho bằng
aπ 3 2
aπ 3 3
A. . B. . C. . D. aπ 2 3 aπ 3
Lời giải
2
2
=
−
=
Chọn A
h
l
r
a
3
3
=
=
=
π
π
Chiều cao khối nón đã cho là
3
V
2 r h
2 . a a
1 3
1 3
π 3 a 3
Thể tích khối nón đã cho là: .
. Thể tích của khối nón đã 3a Câu 305: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và đường cao bằng
3
3
3
3
cho bằng
aπ 3 2
aπ 3 3
aπ 2 3
aπ 3
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
h
r
=
=
Chọn C
l
2 ,
a h
a
3
2
2
2
2
2
2
=
−
=
−
=
Ta có .
r
l
h
4
a
a 3
a
3
π
π
=
=
=
a⇒ = r
V
2 r h
2 a a
3
1 3
1 3
π 3 a 3
. Thể tích khối nón là
πa
πa
πa
Câu 306: Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a. Thể tích khối nón là.
3 3 48
3 3 πa 8
3 3 16
3 3 24
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Trang 79/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn C
3
a
Khối nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy bằng a.
⇒ = SO
⇒ ∆SAB đều cạnh a
2
2
3
a
3
3
=
=
=
.
V
SO S . .
.
π . .
kn
d
1 3
1 3
2
a 4
π a 24
o60 . Thể tích khối nón là
.
3
3
3
=
=
=
Câu 307: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 2 , góc ở đỉnh bằng
V
cm
V
cm
cm
V
V π= 8
(
)3
(
)3
(
)3
( 3 cm
)3
π 8 2
π 8 3
π 8 9
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
h =
r = , đường cao
2
o
r tan 30
3
=
Ta có bán kính đáy . h⇒ = 2 3
.4.2 3
V
2 r hπ=
cm
(
)3
π 8 3
1 π= 3
1 3
=
=
. Vậy thể tích khối nón
h
15
cm
25
l
cm
và đường sinh . Thể tích V của khối Câu 308: Cho khối nón tròn xoay có đường cao
π
π
π
π
nón là:
2000
cm
1500
cm
V =
V =
V =
500
cm
V =
240
cm
(
(
(
)3
)3
)3
(
)3
A. . B. . C. . D. .
2
2
−
=
Lời giải
π .
V
2 r h
= π .
l
h
h .
2000
(
)
1 = π 3
3
Ta có:
= π Vậy: . V 2000 ( cm )
NGUYÊN HÀM
Câu 300: Cho hàm số
Dạng 01: Định nghĩa, tính chất của nguyên hàm ( )
( ) f x và
g x cùng liên tục trên . Khẳng định nào đúng?
+
=
+
A.
.
d
x
d
x
d
x
( ) f x
( ) g x
( ) f x
( ) g x
∫
∫
∫
Trang 80/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
x d
=
.
B.
x
d
∫
x
d
=
C.
x d
x d ,
∀ ∈ k
=
D.
( ) g x
( ) f x
( ) f x ( ) g x ( ) kf x ( ) ( ) f x g x .
( ) ∫ f x ( ) ∫ g x ( ) ∫ k f x (
∫ ∫
∫
. ( ) ∫ x d .
x x d d
) Lời giải
Chọn A
+
=
+
Nhận định đúng là
.
d
x
d
x
d
x
( ) f x
( ) g x
( ) g x
( ) f x
∫
∫
∫
,
Câu 301: Cho
( )
( ) f x g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây sai?
=
−
−
A.
.
( ) g x dx
=
.
B.
( ) g x dx ( )
∫ ( )
( ) ∫ f x dx ( ) ∫ . f x dx g x dx
=
C.
.
2
+
=
+
.
D.
( ) f x ( ) . f x g x dx ( ) ∫ f x dx 2 ( ) ( ) g x dx f x
( ) f x dx
( ) g x dx
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ( ) f x dx ∫
∫
Lời giải
=
sai vì không đúng tính chất.
.
( )
( )
Chọn B ( ) ∫ f x g x dx
∫
( ) ∫ . f x dx g x dx
Câu 302: Cho
( ) f x ;
( )
g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Mệnh đề nào sau đây sai?
−
−
=
A.
.
d
x
d
( ) g x
=
.
B.
x
d
( ) ∫ f x x ( ) ∫ d . x g x d
=
C.
x d
2
∫ d x ( ) ∫ f x ( ) f x
+
=
+
.
D.
d
d
d
x
x
x
( ) ( ) f x g x ( ) ( ) f x g x ( ) f x ( ) f x
. ( ) f x
( ) g x
x ∫ 2 ( ) g x
∫ ∫ ∫ ∫
d x ∫
∫
Lời giải
Chọn B
=
A.
d
x
k ≠ ). 0
.
∫ B. Nếu
( ) f x thì
( ) = F x G x
( )
=
+
+
.
C. Nếu
+
=
+
.
D.
∫ x d
x d
x d
f
f
Câu 303: Mệnh đề nào sau đây sai? ( ) ( ) ∫ , ( k là hằng số và k f x x d kf x ( )G x đều là nguyên hàm của hàm số ( )F x và ( ) ∫ = f x ( ) x
( ) d u F u C ( ) x
( ) d x F x C ( ) x
thì ( ) x
2
f 1
f 1
2
( ) f u ∫
∫
∫
Lời giải
Chọn B
Chọn
x= ta thấy:
( ) f x
2
+
.
( ) f x
( ) = C F x
1
∫
∫
= = + x d x x d
.
+
( ) f x
( ) = C G x
2
∫
∫
thì
.
Khi
x 2 2 = + = d x x x d
( )
1
2
( ) f x
( )F x
(
);a b
là một nguyên hàm của hàm số
trên khoảng
nếu
C C≠ x 2 ( ) ≠ F x G x
Câu 304: Hàm số
Trang 81/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
′
= −
= −
.
A.
.
B.
,
f
,
)
)
′
=
=
.
.
D.
C.
f
∀ ∈ x
( a b ;
∀ ∈ x
( a b ;
( ) ′ F x ( ) x
( ) f x ( ) F x ,
∀ ∈ x (
a b ; )
∀ ∈ x (
a b ; )
( ) ( ) F x x ( ) ( ) ′ f x F x , Lời giải
Chọn D
=
,
f x trên khoảng ( ( )
);a b nếu
( ) ′ F x
( ) f x
.
∀ ∈ x
Hàm số (
( )F x là một nguyên hàm của hàm số ); a b
Câu 305: Cho
( ) f x ,
( )
g x là các hàm số xác định và liên tục trên . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề
=
A.
2
=
−
−
.
B.
( ) f x dx ∫ =
+
∫ +
.
C.
=
.
D.
.
( ) f x dx ( ) f x ( ) f x ( ) f x g x dx
∫ 2 ( ) g x dx ( ) g x dx ( )
( ) g x dx ( ) ∫ g x dx ( )
nào sai? ∫ ∫ ∫ ∫
. ( ) f x dx ( ) ∫ f x dx ( ) ∫ . f x dx g x dx
∫
Lời giải
Chọn D
=
Mệnh đề sai là
.
.
( ) f x g x dx
( )
( )
∫
∫
( ) ∫ . f x dx g x dx
Dạng 02: Nguyên hàm của hs cơ bản, gần cơ bản
=
=
.
.
sin
+ x C
cos
+ x C
Câu 306: Tìm công thức sai: ∫ A. cos d x x
∫ B. sin d x x
x
x
x
=
+
.
.
= +
D.
x a x d
0
C
e
(
) 1a< ≠
C
∫ x C. e d
∫
= −
nên B sai.
cos
+ x C
a ln a Lời giải
Chọn B ∫ x x Ta có sin d
=
y
cos 4
x
Câu 307: Tìm họ các nguyên hàm của hàm số
=
=
B.
x x A. cos 4 d
4sin 4
+ x C
.
x x cos 4 d
sin 4
+ x C
.
∫
∫
1 4
=
= −
D.
x x C. cos 4 d
sin 4
+ x C
.
sin 4
.
cos 4 d x x
+ x C
∫
∫
1 4
Lời giải
Chọn B
=
Ta có
sin 4
.
cos 4 d x x
+ x C
∫
1 4
2021
.
x=
Câu 308: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) f x
2022
2020
+
=
=
+
.
A.
.
B.
x
C
.
x d
x d
.
x
C
( ) f x
( ) f x
2000
=
+
+
=
.
C.
.
D.
x d
1 2020 2021.
x
C
1 2022 2022 x
C
x d
( ) f x
∫ ∫
∫ ∫
( ) f x Lời giải
Chọn B
−∞
0; + ∞
(
)
(
);0
= trên khoảng
và
.
Câu 309: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) f x
1 x
Trang 82/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
=
+
.
A.
B.
ln
+ x C
d
x
C
.
( ) d x f x
( ) f x
∫
∫
=
=
+
.
.
D.
C.
x
ln
+ x C
d x
C
( ) d f x
( ) f x
∫
∫
1 2 x − 1 2 x
Lời giải
=
.
ln
+ x C
Chọn D ( ) d ∫ x f x
e=
1x −
Câu 310: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
( ) f x
x
=
=
+ +
.
A.
.
B.
x + xe C
e
x C
x
1
x
+
=
− +
.
C.
.
D.
C−=
e
x d
e
x C
( ) d x f x ( ) d x f x
∫ ∫
∫ ∫
( ) d x f x ( ) f x Lời giải
Chọn C
x
=
− +
Ta có họ nguyên hàm của hàm số
.
e=
1x − là:
e
x C
( ) f x
( ) d x f x
∫
+ ∞
=
và
, họ nguyên hàm của hàm số
là
;
;
Câu 311: Trên các khoảng
( ) f x
2 3
2 3
5 − x
3
2
−∞
=
=
−
+
.
A.
.
B.
5ln 3
x
− + 2
C
ln
x
C
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
5 3
2 3
=
−
+
= −
.
C.
.
D.
x
2
C
x
C
ln 3
− + 2
( ) f x dx
( ) f x dx
( ln 3
)
∫
∫
5 3
5 3
Lời giải
Chọn B
Ta có
.
( ) f x dx
∫
∫
=
−
+
=
+
, Suy ra
.
Đặt
ln
x
C
C
ln 3
( ) f x dx
C 1
∫
5 3
2 3
5 3
−
x
x
=
+
⋅
là
sin
( ) f x
x
= = = − + = − + dx ln 3 x − + 2 ln 3 x + ln 3 ln x C 1 C 1 C 1 5 − x 3 2 5 3 5 3 2 3 5 3 2 3
Câu 312: Nguyên hàm của hàm số
( 2 1 2
)
x
− − + .
B.
A.
cos + x C cos x C 2 ln 2
.
+ +
C.
+ x 12 + x 1 x 2 ln 2
− 12 x + 1 x
+ . D. cos x C cos + x C
Lời giải
Chọn B
x
−
x
x
x
( ) f x
( 2 1 2
)
(
)
∫
∫
∫
2
=
+
−
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
2 cos 2
x
3
x
= + ⋅ = + = − x d sin x x d 2 sin x x d cos + x C 2 ln 2
Câu 313: Cho hàm số
( ) f x
(
) π
=
−
=
+
−
.
A.
B.
.
sin 2
x
3 + x C
2sin 2
x
3 + x C
( ) f x dx
∫
= −
+
−
C.
D.
.
x
3 + x C
( (
) π ) π
= −
+
−
.
4sin 2
x
6
+ x C
( ) ∫ f x dx ( ) ∫ f x dx ( ) f x dx
sin 2 (
) π
∫
Lời giải
Chọn B
Trang 83/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2
2
=
+
−
=
−
=
−
Ta có
x
x
dx
3
2 cos 2
x
3
x
dx
sin 2
x
3 + x C
( ) f x dx
( 2 cos 2
) π 2
∫
∫
∫
2 sin 2 dx x
∫
Câu 314: Tính
x
x
x
+
−
x −
A.
B.
C.
+ . C
C+ .
+ . C
x 2
sin 4 8
sin 4 8
x 2
sin 4 8
3 cos 2 3
+ . D. C
Lời giải
Chọn D
−
x
x
=
−
=
Ta có
x
x
d
2 x x sin 2 d
d
x
+ C
( x cos 4 d 4
)
∫
∫
∫
∫
1 2
1 8
x = − 2
sin 4 8
1 cos 4 2
3
x
+ 1
2
=
−
là
e
2
x
Câu 315: Một nguyên hàm của hàm số
( ) f x
x
x
3
3
x
3
+ 1
3
+ 1
3
x
3
3
3
.
e 2 x e e e x − −
A.
.
B.
.
C.
. D.
+ − 1 3
+ − 1 3
x x 2 3 3
Lời giải
Chọn A
3
+ 1
3
+ 1
3
x
x
2 2 ) x dx
∫
∫
∫
.
3
+ 1
3
x
= − = ( + − 1) ( ) f x dx e e (3 d x x 1 3 2 3
=
+
3cos
x
2 e x = − 3
Câu 316: Họ nguyên hàm của hàm số
trên (
) 0; +∞ là
( ) f x
1 2 x
−
+ + .
+ + .
B.
A.
3sin x
C
3cos x
C
1 x
+
− + .
+ .
D.
C. 3cos
x
ln
x C
3sin x
C
1 x 1 x Lời giải
Chọn D
=
+
=
+
=
Ta có
.
3cos
d
3sin
d x
x
x
3cos d x x
d x
x
C
( ) f x
∫
∫
∫
∫
1 2 x
1 2 x
1 − + x
2
là
f x x= ( ) 3
Câu 317: Một nguyên hàm của hàm số
3
3
3
.
.
=
B.
+ . C.
A.
H x
x= ( ) 6
G x ( ) x= 1 ( )F x K x x= ( ) 3
=
=
Ta có
3 + x C
f x x ( )d
2 x x 3 d
+ . D. x x Lời giải
Chọn B ∫
2
3
là
∫ Do đó một nguyên hàm của hàm số
Dạng 05: PP nguyên hàm từng phần
=
là:
f x x= ( ) 3 + 1 ( ) G x x=
Câu 318: Họ nguyên hàm
( )F x của hàm số
( ) f x
x cos 2 − 1 cos
x
= −
=
A.
B.
+ . C
+ . C
( ) F x
( ) F x
x x
= −
=
D.
C.
+ . C
+ . C
( ) F x
( ) F x
cos sin 1 sin
x
1 x sin 1 2 sin
x
Lời giải
Chọn C
Trang 84/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
=
=
= −
+
Ta có
.
sin
dx
dx
d
x
C
( ) F x
(
)
∫
∫
cos x −∫ 2 1 cos
cos 2 sin
1 2 sin
1 sin
x
x x
x
x
=
là
Câu 319: Họ nguyên hàm của hàm số
( ) f x
x
2
2
+
. C.
A.
x
2 1 + + .
C
2
x
+ + . B. C
1
x
+ + . D. C
1
C
1 2
x 2 1 + 1 2
+
x
1
Lời giải
Chọn D
2
2
=
=
+
=
Ta có
dx
d
x
1
x
+ + 1
C
.
( ) f x dx
∫
∫
∫
)
x 2
(
+
1
2
( ) f x
x ( x x .
)2016 1
. Khi đó:
= +
Câu 320: Cho hàm số
2 1 +
2 1 +
)2016
(
(
)2017
x x = + = +
A.
B.
( ) f x d
( ) f x d
∫
∫
C x . x C .
)2017
(
)2016
(
x 2017 2 1 + 2016 2 1 + x = + = +
D.
C.
( ) f x d
( ) f x d
∫
∫
x C . x C . 4034 4032
Lời giải
Chọn C
2
2016
2016
(
)2017 1
2
2
2
( ) f x d
( x x .
) 1
(
) 1
( d x .
) + = 1
∫
∫
∫
= +
t
1 ln
x
=
thì
trở thành
I
d
x
+ x = + = + + x d x x C . 1 2 4034
Câu 321: Nếu đặt
∫
x
x
ln x ( + 1 ln
)
=
=
.
.
B.
A.
I
t d e t
I
t d
∫
∫
1 +
1
t
1
− 1
=
=
.
. D.
C.
I
d
t
I
dt e t
∫
∫
t 1 t
1 t
1 +
− 1 − 1
− 1
Lời giải
Chọn C
Đặt
= − .
t
= + ⇒ = x
1 ln
t d
x d ; ln
x
1
t
t
1 x 1
=
=
Khi đó ta có:
.
I
d
t
t d
∫
∫
− t
1 t
− 1
2
=
+
f
3
cos
x
ln
+ x C
(
) x dx
( ) f x dx
∫
∫
. Khi đó
bằng
Câu 322: Biết
2
2
+
+
+ .
B.
A.
x
x C
cos
ln
cos
ln
+ . C
x 3
x 3
1 3
1 3
2
+
+
+ .
C.
+ .
D.
2 cos 3
x
ln 3
x C
3cos
3ln
x C
x 3
Lời giải
Chọn C
= ⇒ =
Đặt
t
dt
3
x
dx x 3 ;
t = . 3
Trang 85/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2
2
=
+
⇒
=
+
+
Ta có:
f
3
cos
x
ln
+ x C
3cos
3ln
f
C
(
) x dx
( ) t dt
∫
∫
t 3
2
2
⇒
=
+
=
+
hay
.
3cos
3ln
3cos
3ln
f
+ t C
+ x C
( ) t dt
( ) f x dx
∫
∫
t 3
t 3 x 3
xxe
2 1 dx+
∫
là:
Câu 323: Họ các nguyên hàm
2 1 +
2 1 +
A.
B.
C.
D.
2 1 C+ +
xe
2 1 C+ +
+ C
+ C
xe 2
xx e . 2
. xx e
Lời giải
Chọn C
=
Đặt
t
x
2 1 + ⇒ =
dt
2
xdx
xdx
dt ⇔ = 2
2
2
x
x
t
+ 1
+ 1
=
+
=
=
Khi đó
.
xe
t + e C
dx
e
e
C
∫
∫
1 2
1 2
dt 2 Dạng 04: PP đổi biến số x = u hàm xác định
=
F
1
( )F x
( )2
( )3F
=
là một nguyên hàm của hàm số
và
. Tính
Câu 324: Biết
( ) f x
1 −
1
x
=
=
− . B.
C.
+ . D.
A.
F
ln 2 1
F
ln 2 1
F
F
( )3
( )3
( ) 3
( ) 3
7 = . 4
1 = . 2
Lời giải
Chọn C
Ta có:
.
∫
) − + 1 ) + x C
( (
) 1 ) 1
( ( ln 1
2
= ⇒ +
Theo giả thiết
F
ln1
1
1
1
( ) 2
C 1
= ⇔ = . C 1
=
Do đó
F
+ . ln 2 1
( )3
=
=
=
y
f
1
f
2
( ) f x
( )1
( )0
=
xác định trên
thỏa mãn
và
′ f x ( )
;
\
> x x ln C 1 = x x C d ln − + 1 1 − − < x 1 x =
Câu 325: Cho hàm số
2 − x
1
2
1 2
= P f
f
) − + 1
( ) 3
(
Tính
.
A.
.
B.
. C.
. D.
P = +
P = −
3 ln15
P = +
3 ln 3
P = +
3 ln 5
3 ln15 Lời giải
Chọn C
Có
.
∫
∫
2
> ln(2 x − + 1) khi x C 1 = = = f x ( ) ′ ( )d f x x d x ln 2 x − + 1 C 1 2 2 − x < − ln(1 2 ) + x C khi x = 1 2 1 2
=
1
f
2
⇔
⋅
Để
Suy ra:
= (0) 1 =
=
f
(1)
2
2
C C 1
− + > x x ln(2 1) 2 khi ⋅ = f x ( )
= +
+ − < x x ln(1 2 ) 1 khi 1 2 1 2
Do đó
= P f
− + ( 1)
f
+ (3) 3 ln 3 ln 5 3 ln15.
2 x
=
e=
F
0
F
ln 3
( )F x
( )0
( ) f x
(
)
là môt nguyên hàm của hàm số
và
. Giá trị của
bằng
= +
Câu 326: Biết
Trang 86/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
C.
.
D. 4 .
A. 2 .
B. 6 .
17 2
Lời giải
Chọn D
x
=
=
+
Ta có:
.
x 2 e dx
C
( ) F x
∫
21 e 2
=
⇒
Do
F
0
+ e C
= ⇒ = − . C
0
( )0
01 2
1 2
x
Vậy
( ) F x
21 e= 2
1 − . 2
2.ln 3
Nên
− = − = .
F
ln 3
4
(
)
1 e= 2
1 2
9 2
1 2
2
x
′
=
=
y
f
e
1,
( ) f x
( ) x
( )F x
+ ∀ ∈ x
có đạo hàm
và
= . Biết
là một
f
Câu 327: Cho hàm số
( ) 0
3 2
( ) f x
( )1F
thỏa mãn
= , khi đó
bằng
nguyên hàm của
F
( ) 0
5 4
1
5
.
.
2
B.
.
C.
.
D.
A.
e + 2
e + 2
2 10 e + 4
2 e + 4
Lời giải
Chọn B
x
2
2
x
Ta có
mà
f
= ⇒ = nên C
1
( ) f x
( ) f x
( ) 0
(
) 1
∫
3 2
xe 2 2
x
= + = + + = + + . e dx x C x 1
2
2
2
=
=
+
+ +
mà
= nên
+ + x
dx
1
F
F
1
( ) F x
( ) 0
( ) 0
x C 1
C 1
= ⇒ = . C 1
∫
5 4
1 = + 4
5 4
e 2
e 4
x 2
2
2
2
e 2 x
.
Khi đó
( ) F x
( ) 1
2
=
+
+
x
sin
x
1
10 e = + + + + = = x + + . Vậy 1 F 1 1 x 2 + 4 1 2
xe 2 4 ( ) f x
( ) f x
, biết
là một nguyên hàm của hàm số
và
=
e 4 ( )F x
Câu 328: Cho hàm số F
1
( )F x
( )0
. Khi đó
bằng
3
3
=
−
+ + .
= −
A.
B.
x
cos
x
2
x
( ) F x
( ) F x
3
cos x + . 2
= + − = + + .
C.
D.
( ) F x
( ) F x
cos x + . x cos x 2 x x 3 3 x 3 x 3 Lời giải
Chọn D
3
3
2
.
( ) f x dx
( ) F x
(
) 1
∫
∫
= ⇒ = . Vậy
F
C
1
2
( )0
( ) F x
1
( )F x
)1 F − =
(
( )3F
=
là một nguyên hàm của
. Tính
.
và
= + + = − = − + + x x dx x + + ⇒ x C x x C sin cos cos x 3 x 3 3 = − + + . x x cos 2 x 3
Câu 329: Biết
( ) f x
1 +
x
2
=
=
=
− . B.
+ .
C.
+ .
D.
A.
F
ln 5 1
F
ln 5 2
F
ln 5 1
F
( )3
( )3
( )3
( ) 3
1 = . 5
Trang 87/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Lời giải
Chọn C
=
=
=
.
x
x
C
x
ln
+ + 2
d
d
( ) f x
( ) F x
∫
∫
x
=
+ .
2 F
ln 5 1
1
1 + 1C⇒ = . Vậy
( )3
)1 F − =
(
x
=
F
2
e=
( ) f x
( )0
( )1F
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
. Giá trị của
Câu 330: Gọi
bằng
B.
D.
C. 2 .
1e + .
2e + .
2e − . A. Lời giải
Chọn D
x
=
=
=
.
Ta có:
+ e C
dx e x
( ) d x f x
( ) F x
Do
F
0 + e C
∫ = ⇔ = . C 2 1
( )0
Suy ra:
e=
1x + .
Vậy
F
e= + . 1
∫ = nên 2 ( ) F x ( )1
Dạng 03: PP đổi biến số t = u hàm xác định
dx
∫
1 x +
2
1
là
Câu 331: Họ các nguyên hàm
+ ln 2 x 1 ln
A.
+ + . B. ln 2
C
1x
+ + . C. C
( ln 2
) 1x
+ . D. C+ . C x 2 2 Lời giải
Chọn C
=
Ta có
.
dx
ln 2
x
+ + 1
C
∫
1 + x
2
1
1 2
=
∈
d
ln
+ + 2
ln
+ + 3
,
x
a
x
b
x
( C a b
)
2
2
2
∫
+
= P a
+ ab b
6
+ 7 2 x + + 5 x
x
. Tính
.
.
B.
.
C.
D.
A.
P =
12
7P = .
Câu 332: Cho biết 3P = .
P =
13
Lời giải
Chọn C
.
Ta có
2
∫
∫
∫
)
(
2
2
= = − = d x x d x d 3ln x + − 2 ln x + + 3 C 3 + 1 + + 7 2 x + + 5 x 6 x 3 x x 2 x 3 + 7 2 x )( + + x 2
Nên
.
⇒ = + = P a + ab b 7 3 = − 1 = a b
là:
= f x ( )
Câu 333: Họ nguyên hàm của hàm số
x
1
=
+
=
+
.
1 − x x ( 1)
B.
.
A.
ln
C
ln
C
∫
∫
dx −
x −
dx −
x
x x (
1)
1 2
x x (
1)
− x 1
x
=
+
=
+
.
C.
D.
.
ln
C
ln
C
∫
∫
dx −
dx −
1 x −
− x
x x (
1)
x
1
1 x x ( 2 1) Lời giải
Chọn C
Trang 88/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
x
1
=
=
−
=
− −
=
+
Ta có:
dx
x
+ x C
C
ln
1 ln
ln
∫
∫
∫
∫
dx −
dx x
− x
x x (
1)
− − x x 1) ( − x x 1) (
dx − x 1
x d
∫
1 x −
2
(
)2 1
là
+
+
+
+
.
.
B.
. C.
. D.
A.
C
C
C
C
1 − x
4
2
1 − x
1
2
2
− x
Câu 334: Họ các nguyên hàm − 1 − x
4
2
1 − 1 Lời giải
Chọn A
=
+
=
+
Ta có
.
d x
C
C
2
∫
− 1 − x
4
2
1 −
) 1
− 1 ( − 2 2 x
2
x
) 1
(
3
∫
a b c , ,
9.
< c∈ ,
1
= + + bằng
Tổng S
4 x = + d x a b c ln , + x
A.
B.
C.
D.
Câu 335: Cho biết S = . 5
S = . 7
a b c S = . 9
S = . 3 Lời giải
Chọn D
3
3
3
3
3
Ta có
1
∫
∫
∫
∫
1
=
=
Do đó
1 a
1 4,
c
2,
b
1 = ⇒ = S 9.
3
2
4 x = + = + = + = + dx 1 x d x d x d 2 4 ln x 2 4 ln 3. 4 x 4 x + x
∫
bằng
x 1 dx − + x − x 1
Câu 336: Họ các nguyên hàm
2
+
+
+
− + .
. B.
A.
x
ln
x
C
1
C
x
x
2
−
+
+ − + .
C.
. D.
C
1
1 − 1 1 −
x
(
)2 1
ln 1 x C x 2
Lời giải
Chọn D
2
Ta có
∫
=
dx
∫
1
x
x 1 dx
+ x
2
− + x − x 1 1 −
=
là:
= + ln x − + C 1 x 2
Câu 337: Họ nguyên hàm của hàm số
( ) f x
1 + x
5
4
+
+ + .
A.
B. ln 5
4x
C
x
4
+ . C
)
( ln 5
+ + .
+ + .
D.
C.
ln 5
x
C
4
ln 5
x
C
4
1 5
1 5 1 ln 5
Lời giải
Chọn D
=
Áp dụng công thức
.
d
x
ln
+ + ax b C
∫
1 + ax b
1 a
Trang 89/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
Ta có
.
x d
ln 5
x
+ + 4
C
∫
1 + x
5
4
1 5
TÍCH PHÂN
Dạng 01: Kiểm tra định nghĩa, tính chất của tích phân
4
4
2
−
f x
( ) d
x =
37
2 ( ) 3
f x
x
d
x
∫
∫
0
0
thì
bằng
Câu 338: Nếu
A. 12.
B. 18.
D. 10.
C. 27−
. Lời giải
Chọn D 4
4
4
4
2
3
−
=
−
=
−
=
=
−
Ta có:
.
2 ( ) 3
f x
x
d
x
2
f x
( ) d
x
2 x x d
2.37
x
74 64 10
0
∫
∫
∫ 3
0
0
0
2
3
2
( ) f x
( ) f x
∫
∫
1
1
và
thì
bằng
= dx 1
= dx 3 dx
Câu 339: Nếu
( ) f x
∫
3
A. 4.
B. 2− .
C. 2 .
D. 4− .
Lời giải
Chọn A
3
2
3
2
3
= ⇒
= −
Ta có
khi đó
.
dx 1
dx
1
( ) f x
( ) f x
( ) f x
( ) f x
( ) f x
∫
∫
∫
∫
∫
1
1
2
3
2
2
1
2
= + = − = dx dx dx 3 1 2
( ) g x dx =
( ) f x
( ) f x dx =
( ) g x dx
∫
∫
∫
2
1
1
và
thì
bằng
+ 1 2 3
Câu 340: Nếu
A. 1− .
D. 1.
B. 5 .
C. 0 .
Lời giải
Chọn D
1
2
Ta có
thì
nên
( ) g x dx =
( )
∫
∫
2
1
2
2
2
1 g x dx = − 1
.
( ) f x
( ) f x dx
( ) g x dx
(
) − = 1
( ) g x dx
∫
∫
∫
1
1
1
2
2
+ = + = + 2 2 3 2. 1
( ) f x
( ) f x
∫
− 1
− 1
. Khi đó
bằng:
= − J 3 I dx=3 4 dx = ∫
Câu 341: Cho
A. 2 .
B. 1− .
C. 5 .
D. 3− .
2
2
Lời giải 2
.
Ta có:
( ) f x
( ) f x
∫
∫
∫ dx 4 dx
− 1
− 1
− 1
x
=
=
+
y
f
33e
2
( ) f x
( ) f x
( ) x′
biết rằng hàm số
và
= − = − = × − J 3 3 3 3 12 = − 3 4 dx
Câu 342: Tìm hàm số
có đạo hàm trên là
Trang 90/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
2.
f
( )0
x
x
3
3
=
B.
A.
3
x f x ( ) e e + x 2 +
C.
D.
f x = ( ) 3e 2 x + . 1 − . 1 f x = ( ) f x = ( ) 3e + . 2 3x 3 − .
Lời giải
Chọn A
x
x
3
3
=
=
+
+
=
Ta có:
.
f
e
+ x C
dx
'
2
2
e 3
( ) x dx
( ) f x
3.0
∫ = ⇒ +
+
Do
f
2
e
2.0
( ∫ C
) = ⇒ = C 1.
2
3
x
=
+
Vậy:
e
2
x
+ . 1
( ) 0 ( ) f x
5
5
5
( ) g x
( ) f x dx
( ) g x dx
( ) f x
∫
∫
∫
− 2
− 2
− 2
và
− − = dx = − 3 4 8 1
Câu 343: Cho
A.
B.
.
C.
D.
I = − . 11
. Tính I =
I =
13
I = . 3
27 . Lời giải
Chọn B
Ta có 5
5
5
5
.
( ) g x dx
( ) g x
( ) f x dx
( ) f x
∫
∫
∫
∫
− 2
− 2
− − 2 2 Dạng 03: Tích phân của hs chứa dấu GTTĐ-hàm xđ
2
2
−
+
x
2
x
dx 1
∫
0
− − = − − = + − = 4 dx 4 dx 8 12 7 13 1
Câu 344: Tính
.
C.
.
A.
B. 2 .
D. 1.
1 2
5 2
Lời giải
Chọn D 2
2
1
2
2
−
+
=
−
=
−
+
−
x
2
x
dx 1
x
1
dx
x
dx
( 1
) x dx
(
) 1
∫
∫
∫
∫
0
0
0
1
.
1
2
2
2
=
−
+
−
=
x
x
1
x 2
x 2
0
1
π 6
( b a b
)
∫
−
π 2
b+ 4a
. Khi đó
bằng
∈ sin x dx = − a ,
Câu 345: Biết
A. 5 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 7 .
Lời giải
0
Chọn A π 6
π 6
0
Ta có:
)
(
(
)
−
π 6 0
∫
∫
∫
π 2
0
−
−
π 2
π 2
Suy ra:
= nên
a
b+ 4
= . 5
a
b= 2,
3 4
Dạng 05: PP đổi biến x = u- hàm công thức xđ
Trang 91/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
= − + = − sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x = − 2 = − 2 3 2 3 4
4
2
=
=
−
. Đặt
, với
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x
t
4sin
t
16
I
x
d x
Câu 346: Cho
∫
π π ; 2 2
∈ −
0
π 2
2
=
.
A.
.
B.
I
cos
t
I
cos
td
t
) 2t d
= − ∫ 16
0
π 2 ( −∫ 8 1 0 π 2
=
.
+ =
C.
.
D.
I
cos
t
) 2t d
( 1
) 2t d
∫
π 2 ( +∫ 8 1 0
−
π 2
cos t I 8
Lời giải
Chọn C
=
=
= ⇒ =
Đặt
, với
;
.
x
4sin
t
ta có: d
x
t t 4 cos d
x
= ⇒ = ; t
0
0
t
x
t
4
π π ; 2 2
π 2
∈ −
π 2
π 2
2
2
=
=
=
+
Vậy
.
I
16
cos
t.4
cos
t td
16
cos
t td
cos
) t 2t d
∫
∫
0
0
π 2 ( ∫ 8 1 0
1
dx
=
=
đặt
Mệnh đề nào sau đây đúng?
x
t 2sin .
I
Câu 347: Cho tích phân
2
−
x
∫ 0 4
π 6
π 6
π 6
π 3
A.
B.
C.
D.
I
tdt
.
I
.
dt
.
.
dt
I
I
dt
= ∫
= ∫
= ∫
= ∫
1 t
0
0
0
0 Lời giải
Chọn A
=
= ⇒ = = ⇒ =
. Đổi cận:
x
2sin
t
⇒ = dx
2 cos
tdt
0;
0
1
x
t
t
x
π 6
π 6
π 6
2 cos
t
=
=
I
dt
dt
∫
∫
2
−
0
0
4 4sin
t
1
−
2 1 x dx
∫
0
bằng
Câu 348: Tính tích phân
1
π 2
π 2
π 2
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
2 cos tdt
sin tdt
2 cos tdt
2 cos tdt
∫
∫
−∫
∫
0
0
0
0
Lời giải
Chọn D
=
=
Đặt
,
.
dx
cos
tdt
x
t sin ,
t
π π ; 2 2
∈ −
Đổi cận:
1
π 2
π 2
2
2
−
=
=
.
Do đó:
1
2 x dx
− 1 sin
t
cos
tdt
cos
tdt
∫
∫
∫
0
0
0
Trang 92/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
1
4
+
=
(3
10
f
x
1)d x
] − ( ) 4 d
[
∫
∫
0
1
thì
bằng
f x x x
Câu 349: Nếu
−
.
C.
.
B. 4− .
A. 20−
D. 0 .
80 3
Lời giải
=
+ ⇒ =
Đặt
. Với
x
x
= ⇒ = . t
Chọn D t 3
x
dt
1
x 3d
0
1
4
= ⇒ = ; t 1
4
4
.
Khi đó
∫
∫
1
1
4
4
4
= ⇒ = 10 f t ( )dt f x x ( )d 30 1 3
Ta có
.
[
] − ( ) 4 d
∫
∫
∫
1
1
1
Dạng 04: PP đổi biến t = u-hàm công thức xđ
2025
. Khi đó tich phân I
e
dx
x
I
được tính bằng phương pháp đồi biến t
= = − = = − 30 30 0 I f x x x ( )d f x x 4 d x x
x=
Câu 350: Tích phân
= ∫
1 được viết dươi dạng nào sau đây
2025
45
.
A.
. B.
I
. t t e dt
I
t e dx
= ∫ 2
1
1
45
2025
=
.
. D.
C.
I
. t t e dt
I
t ⋅ t e dt
= ∫ 2
1 = ∫ 2 ∫
1
1
Lời giải
Chọn C 2025
I
x
e
dx
1
.
=
.
Đổi cận:
1
= x t
45
= ∫ 2 = ⇒ = ⇒ t x
t
⇒ = t
2025
45
x
=
=
Suy ra:
.
I
e
d
x
2et
dt
∫
∫
1
1
π 2
x dx
sinxe cos
∫
0
bằng
dx 2025 tdt 2 x = ⇒ = 1; x
Câu 351: Tích phân
B.
A.
1e − .
1e + .
C. 1 e− .
D. e .
Lời giải
=
Đặt
Chọn A t
cos
x
⇒ = − dt
sin
xdx
1
π 2
1
t
x cos
=
=
.
e
sin
x dx
t e dt
e
= − e
1
0
∫
∫
0
0
1
3
+
2
x
x
f
d
x =
2
(
) 1 d
( ) f x
∫
∫
1
0
, giá trị của
bằng
Câu 352: Cho
A. 1.
B. 4 .
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A
1
+
Xét tích phân
2
x
x
f
(
) 1 d
∫
0
Trang 93/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
Đặt
.
t
2
x
+ ⇒ = ⇒ = x 2d
t d
1
t d
x d
Đổi cận:
x
= ⇒ = ; t 1
0
x
1 2 = ⇒ = t 3
1
1
3
3
3
+
=
=
=
=
Khi đó
.
f
2
x
f
f
t d
x d
= .2 1
( ) f x
( ) t
( ) t
(
) x 1 d
∫
∫
∫
∫
0
1
1
1
1 t . d 2
1 2
1 2
1 2
4
2
2
( ) f x dx =
( 2f
) x dx
∫
∫
0
0
thì
bằng
Câu 353: Nếu
A. 1
B. 2
D. 4
C. 3
Lời giải
Chọn A
4
=
=>
=
=>
=
=
Đặt
. Vậy
t
dt
dx
dx
x 2
2
dt
f
1
( ) t
∫
1 2
dt 2
0
2
6
f
x
x = d
18
(
) x 3 d
( ) f x
∫
∫
0
0
thì
bằng
Câu 354: Nếu
B. 12 .
A. 6 .
C. 36 .
D. 54 .
Lời giải
Chọn A
2
Xét tích phân
I
f
x
(
) x 3 d
= ∫
0
= ⇔ =
. Khi đó
.
Đặt
t
x= 3
d
t
3d x
d x
= ⇒ =
Với
x
0
t
0;
x
d t 3 = ⇒ = . t
6
2
6
6
=
=
=
Khi đó
.
I
f
f
t d
= .18 6
( ) t
( ) t
∫
∫ .
t d 3
1 3
1 3
0
0
12
=
với
,a b c là các số nguyên dương. Khẳng định nào dưới đây đúng?
,
ln
Câu 355: Cho
∫
1 a
b c
dx + x x
4
5
A.
B.
.
= − .
D.
c
= − . a b
b
c= 2 .
b
= − . c a .
C. a b c
Lời giải
Chọn C
2
= ⇒ =
=
. Đổi cận:
Đặt
5
12
4
x
t
3; x
= ⇒ = . t
⇒ = + ⇒ x
t
4
t t 2 d
x d
4
12
4
4
=
−
=
=
.
ln
ln
t
2
∫
∫
∫
∫
1 −
1 +
− +
3
1 2
2
2
1 2
2 2
1 2
5 3
t
t
t t
d
3
5
3
3
=
) = Vậy
⇒ = a
2;
b
3.
( t t 5;
c
a
= − b c .
4
2
1
( ) f x dx =
( 2f
) x dx
∫
∫
0
0
. Tính
.
+ t x= 4 4 = = 2 d t − 2 d t t 2 − t 4 4 x d + x x 4
Câu 356: Cho
.
C.
.
A.
B. 2 .
D. 4 .
1 2
1 4
Lời giải
Chọn A
2
4
=
=
=
Đặt
. Suy ra
. Khi đó
t
x= 2
dt
2
dx
f
2
f
.
(
) x dx
( ) t dt
∫
∫
1 2
1 2
0
0
Trang 94/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
1
2022
2
2
=
+
, nếu đặt
+ thì I bằng
u
x=
2
I
2
2
dx
Câu 357: Xét
( x x
)
∫
0
3
3
1
2022
2022
2022
2022
.
.
B.
.
C.
. D.
A.
u
du
∫
∫
∫
3 ∫ 2 u 2
2
2
0
du u du u du 1 2
Lời giải
Chọn A 1
1
20202
2022
2
2
2
=
+
=
+
+
Xét
I
2
2
dx
x
2
2
( x x
)
)
( d x
)
(
∫
∫
0
0
3
2022
2
+ . Đổi cận:
Đặt
u
x=
2
x
= ⇒ = ; u
2
0
x
= ⇒ = . Khi đó 3
1
u
2
6
2
12
I
f
3
( ) f x dx =
(
) x dx
∫
= ∫
0
0
.
I u du = ∫
Câu 358: Cho
A.
B.
.
C.
D.
. Tính I =
36
I = . 6
I = . 5
I = . 4 Lời giải
Đặt
Chọn C x t 3 Đổi biến:
dx 3 . = ⇒ = và t 0
dt 0
x
= ⇒ = . t
2
= ⇒ = x 2
6 6
6
6
=
=
=
=
=
.
Ta có:
I
f
3
f
dt
f
= .12 4
(
) x dx
( ) t
( ) t dt
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
1 3
1 3
1 3
1 3
0
0
0
0
7
2
2
=
+
10
I
3
( ) f x dx =
( xf x
) dx
∫
∫
3
0
.
. Tính
Câu 359: Cho hàm số
( ) f x liên tục trên thỏa
A.
.
B.
C.
.
D.
I = . 5
I =
I =
10
20
5 I = . 2
Lời giải
=
Đặt
.
2 3 + ⇒ =
2
t
x
dt
xdx
⇒ = xdx
dt 2
Đổi cận:
2
7
7
2
+
=
=
=
.
⇒ = I
3
f
5
( ) t dt
( ) f x dx
( xf x
) dx
∫
∫
∫
1 2
1 2
0
3
3
Dạng 06: PP tích phân từng phần-hàm xđ
Câu 360: Phát biểu nào sau đây đúng?
2
2
2
2
2
2
=
−
=
+
.
A.
.
B.
ln
x dx
x .ln
x
dx 1
x dx
x
ln
x .ln
dx 1
∫
∫
∫
∫
1
1
1
1
1 2
2
1 2
2
= − = +
C.
.
D.
∫
∫
∫
∫
1
1
1
1
ln x dx x .ln x dx 1 ln x dx x .ln x dx 1
Lời giải
Đặt
x
dx
Chọn B = u ln = dv
Trang 95/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2
2
=
du
dx
⇒
⇒
=
−
.
ln
xdx
x .ln
x
dx 1
1 x
∫
∫
2 1
1
1
x
= v
Câu 361: Phát biểu nào sau đây đúng?
2
2
2
2
.
= − = +
A.
B.
.
∫
∫
∫
∫
1
1
1 2
2
1 2
2
2
2
x x x x ln d ln x 1d x x ln d x ln x x 1d
.
= + = −
D.
.
C.
1
1
∫
∫
∫
∫
1
1
1
1
x x ln d x ln x x 1d x x ln d x ln x x 1d
Lời giải
Chọn C
2
Ta có:
1
=
=
x d
du
⇒
Đặt
1 x
x ln = x d
u v d
x
= v
2
2
.
I x x ln d = ∫
1
1
=
f
1
( ) f x
( )0
[
nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên
và
⇒ = I x ln x 1.d x − ∫
Câu 362: Cho hàm số
3
2
2
−
22 x
4
x
′
−
3
x
. Biết ( ) x
−
=
(
x ∈
2
x
e
)
( ) f x f
(
[
]0; 2
với mọi
. Tính tích phân
I
dx
= ∫
]0; 2 ) f x ( ) f x
0
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
I = −
I = −
I = −
I = −
32 5
16 5
16 3
14 3
Lời giải
Chọn C
−
x
22 x
4
−
=
Vì hàm số
2
x
e
( ) f x f
(
)
f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ ( )
]0; 2 và
= mà
nên thay
f
f
1
f
= 1
f⇒
= . 1
x = , ta có:
0
( ) 0 .
( ) 2
( )0
( )2
Đặt:
3
x
2
2
=
−
=
d
u
3
6
x
x d
u
d
3
6
x
x d
)
)
=
d
v
x
d
( ln
( ln
x ( ) f x
− x ( ) f x
⇒ = v
⇒ = v
23 − x ( ) ′ x f ( ) f x
= u
2
2
2
2
3
2
2
=
−
−
−
= −
−
Suy ra:
I
x
3
x
ln
3
x
6
x
ln
x d
3
x
6
x
ln
x d
( )1
( ) f x
( ) f x
( ) f x
(
)
(
)
(
)
∫
∫
0
0
0
Đặt
t
Khi
x x
d x 2
d t = → = . t x
0
⇒ = − . = − 2 = → = và 2 t 0 0
2
2
2
= −
−
−
.
Khi đó,
t 3
f
2
t
t d
(
)
(
)
(
) t 6 ln
(
) t 6 ln
∫
∫
2
0
2
2
= −
−
−
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên
I
3
x
6
x
ln
f
2
x
x d
( )2
(
)
)
(
∫
0
2
2
= −
−
+
−
.
2
I
3
x
6
x
ln
ln
f
2
x
x d
Từ ( )1 và ( )2 , ta cộng vế theo vế, ta được:
( ) f x
(
)
(
)
∫
0
Trang 96/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
= − − − J t 3 f 2 t − ( d ) t
2
2
2
= −
−
−
= −
Hay
I
3
x
6
x
2
x
4
x
x d
(
)(
)
∫
1 2
16 5
0
Dạng 02: Tích phân cơ bản, kết hợp tính chất
Câu 363: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
x
x
1
x
x
=
=
+
.
.
B.
A.
5
dx
.5 x
C− +
dx
C
5
.5
∫
1 ln 5
x
x
x
x
=
+
=
+
.
dx
C
dx
5
C
5 .ln 5
∫ . D. 5
∫ ∫ C. 5
Lời giải
Chọn B
2
(
2 ) x 3 d
∫
1
bằng
+ x
Câu 364: Tích phân
.
.
D.
A.
C. 4 .
B. 61 .
61 3
61 9
Lời giải
Chọn A
2
2
3
.
(
2 ) x 3 d
∫
1
1
2
2
2
x ( 3) + = = x + 3 61 3
( ) g x
( ) f x
( ) g x
( ) f x
∫
∫
∫
− 1
− 1
− 1
và
thì
bằng
= + = x d = − 8 I d x d x 3
Câu 365: Nếu
.
B.
C.
D.
A.
I = . 2
I =
11
I = − .
5
I = . 5 Lời giải
Chọn B
2
2
2
Ta có
.
( ) f x
( ) g x
( ) f x
( ) g x
∫
∫
∫
− 1
− 1
Vậy
− 1 I = − . 5
1
5 dx
∫
0
bằng
= + = + I d x d x d x = − + = − 5 8 3
Câu 366: Giá trị của
D. 20 .
A. 5 .
B. 10 .
C. 15 .
Lời giải
Chọn B 4
4
Ta có
.
2
∫
2
3
5
5
=
= −
5,
2
( ) f x dx
( ) f x dx
= 5 dx x= 5 10
( ) f x
∫
∫
∫
1
3
1
thì
bằng
dx + 1
Câu 367: Nếu
A. 6.
B. 1.−
C. 8.
D. 7.
Lời giải
Chọn D 5
3
5
=
=
Ta có:
+
5
2
3
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( = + −
)
∫
∫
∫
1
1
3
Trang 97/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
5
5
5
5
Vậy
( ) f x
( ) f x dx
1
∫
∫
∫
1
1
1
2
2
3
= + = + − = dx dx = + 3 x 5 1 7 3 + 1
( ) f x
( ) f x
∫
∫
1
1
thì
bằng
+ x 4 x d x = d 3
Câu 368: Nếu
B. 12 .
C. 20 .
D. 10 .
A. 18 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
2
3
4
.
Ta có
3 x x d
( ) f x
( ) f x
1
∫
∫
∫
1
1
1
π 2
π 2
=
−
x = d
5
P
3
2sin
x
x d
( ) f x
( ) f x
∫
∫
0
0
.
+ = + = + = 4 x d x d x 4 = + 3 x 3 15 18
Câu 369: Cho
B.
.
C.
D.
.
A.
. Tính P =
17
7P = .
3P = .
P =
13
Lời giải
Chọn A
π 2
π 2
π 2
−
=
−
=
=
=
Ta có
3
2sin
x
d
x
3
d
x
+ 3.5 2.cos
x
− = 15 2 13
P
( ) f x
( ) f x
π 2 0
∫
∫ 2 sin d x x
∫
0
0
0
π
π
+
sin
x d
3
x = d
( ) f x
( ) f x
∫
∫
x 2
0
0
thì
bằng:
Câu 370: Nếu
B. 6.
D. 5.
C. 12.
A. 10.
Lời giải
Chọn D
π
π
π
π
Ta có
( ) f x
( ) f x
( ) − = 3 2 0 1
∫
∫
∫
0
0
0
0
1
e dx x 3
∫
0
bằng
+ = + = − = − sin d x x d x 3 2 cos 5. x 2 x sin d 2 x 2
Câu 371: Tích phân
3e
3
1
C.
.
D.
A.
3e
1− .
B. e 1− .
e
1 + . 2
− 3
Lời giải
Chọn C
1
1
1
3
x
3
Ta có
.
x 3 e d
( x 3 e d 3
)
∫
∫
0
0
0
5
5
e 1 = = = e x x 1 3 1 3 − 3
( ) f x
( ) f x
∫
∫
2
2
. Khi đó
bằng
d x d x = 10 − 2 4
Câu 372: Cho
.
C. 36.
B. 34.
.
D. 34−
A. 36−
Lời giải
5
5
Chọn D 5
( ) f x
( ) f x
∫
∫
∫
2
2
2
Trang 98/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
= − = − − = x d 6 4.10 34. 2 d x 4 − 2 4 d x
3
3
( ) f x
( ) f x
∫
∫
1
1
thì
+ x = d 2 2 x x d
bằng
Câu 373: Nếu
D. 12 .
A. 20 .
B. 10 .
C. 18 .
Lời giải
Chọn B 3
3
3
= + − =
Ta có
.
x
= + 2
2 9 1 10
( ) f x
( ) f x x d
32 1
∫
∫
∫
1
1
1
1
0
=
, với
a > . Tìm a nguyên để
1I ≥ .
I
+ = + x x x 2 d 2 d x
Câu 374: Cho
∫
d x + 2 x a
0
B. D.
a = . 0 1a = .
A. Không có giá trị nào của a . C. Vô số giá trị của a .
Lời giải
Chọn A 1
1
=
=
=
.
I
2
+ x a
2
+ − a
a
∫
0
x d + x a 2
0
≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + +
Ta có:
I
1
1 2
a
1
a
2
a
0
a
a
2
a
a
.
1 4
Với
0
1 ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ 2 a > , a nguyên thì không có giá trị nào của a thoả mãn.
,
x = và 0
1x = .
22x
y = − , 1
y =
Câu 375: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường
.
B.
.
C.
D.
A.
S =
S =
π 5 3
1 S = . 3
47 15
5 S = . 3 Lời giải
Chọn C
1
1
2
2
=
=
+
=
Ta có
.
S
2x
x
2x
x
( − −
) 1 d
(
) 1 d
∫
∫
5 3
0
0
Câu 376: Diện tích phần gạch chéo trong hình bên được tính theo công thức
0
b
0
b
−
+
−
.
.
B.
A.
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
a
0
a
0
b
0
0
b
−
−
+
.
C.
.
D.
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
a
0
a
0 Lời giải
Chọn B
Trang 99/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
b
0
b
=
= −
+
Ta có: diện tích phần gạch chéo là
.
S
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
a
a
0
2
,
x = , 0
1x = được
y = − , 1
y x=
Câu 377: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
tính bởi công thức nào sau đây?
1
1
2
2
=
+
+
=
.
.
B.
A.
S
x
x
x
x
S
) 1 d
(
(
) 1 d
∫π
∫
0 1
0 1
2
2
=
−
+
=
.
.
C.
D.
S
x
x 1 d
x
x
S
2 ) 1 d
(
∫π
∫
0
0
Lời giải
Chọn A
2
,
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
x = , 0
1x = được
y = − , 1
1
1
2
2
=
=
+
tính bởi công thức
.
S
x
x
x
x
) 1 d
( − −
) 1 d
(
∫
∫
0
0
y x=
23 x=
+ , trục hoành và hai đường 1 y
Câu 378: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
=
thẳng
x
0,
x
= là 2
A.
.
B.
.
C.
D.
S =
10
S =
12
S = . 9
S = . 8 Lời giải
Chọn A
2
2
=
+
=
.
Diện tích S của hình phẳng cần tính là
S
3
x
x 1 d
10
∫
0
, trục hoành và hai đường thẳng
3 4 −
= y x x
Câu 379: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
=
= bằng
x
x 0;
3
3
3
3
3
2
3
3
3
−
−
−
.
A.
. B.
. C.
. D.
x
x x 4 d
x
x x 4 d
x
− 4 d
3 4
x
d x
x
(
) x x
(
)
∫π
∫
∫
∫π
0
0
0
0
Lời giải
Chọn B
=
Ta có: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành và hai đường
y
( ) f x
b
=
thẳng
= bằng
x
a x b
;
( )d x f x
S = ∫
a
, trục hoành và hai đường
3 4 −
3
3
=
−
thẳng
= bằng
x
x 0;
3
S
x
x x 4 d
= ∫
0
= ⇒ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x x
2 2 − , trục Ox và các đường thẳng
1x =
y x=
Câu 380: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
x = được tính bằng công thức nào sau đây?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
.
− − −
A.
. B.
. C.
. D.
x
(
) x 2 d
(
) x 2 d
(
2 ) x 2 d
∫
∫
∫π
∫
1
1
1
1
x x 2 d x x
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1x =
2 2 − , trục Ox và các đường thẳng
Trang 100/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
y x=
2
2
,
x = là: 2
∫
1
2
− x x 2 d
và y
x= bằng
y x=
Câu 381: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường
π
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
125 6
1 6
125 6
π 6
Lời giải
Chọn A
2
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
và y
x= là:
2
2
y x=
1
2
=
−
=
Diện tích hình phẳng
S
x
x dx
∫
1 6
0
.
=
, trục hoành và đường thẳng
x =
2
y
x x 0 0 1 = x = ⇔ − = ⇔ = x x x
Câu 382: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
+ +
x x
1 2
là
.
.
.
.
− A. 3 2 ln 2
B. 3 ln 2−
+ C. 3 2 ln 2
+ D. 3 ln 2
Lời giải
Chọn A
2
2
Diện tích hình phẳng cần tìm là: ( 2
.
∫
∫
∫
) 2
− 1
− 1
− 1
− + x = − S x x d = 1 x d = 1 + + 2 + 1 + x x x x 1 2 2 − d =3 2ln2
Câu 383: Cho hàm số
( ) f x liên tục trên . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
,
y
x = − và 1
5x = . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
y = 0,
( ) f x
Trang 101/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
1
5
1
5
.
.
= + = −
B.
A.
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
− 1
1
− 1
1
1
5
1
5
S S
.
= − + = − −
C.
.
D.
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
− 1
1
− 1
1
S S
Lời giải
Chọn A
b
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
là
S
( ) f x dx
= ∫
( ) f x
a
0
= x a = x b = y = y
1
5
1
5
.
Ta có:
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
− 1
1
− 1
1
=
=
=
,
,
như
f x ( )
y
y
y
h x ( )
= + = − S
Câu 384: Cho hình phẳng (
)D giới hạn bởi đồ thị của ba hàm số
hình bên dưới. Diện tích hình phẳng (
g x ( ) )D là S . Mệnh đề nào sau đây đúng?
b
c
=
−
−
−
.
B.
A.
S
f x ( )
g x ( )
[
] g x dx ( )
[
] h x dx ( )
∫
∫
a
b
b
c
=
−
+
−
.
S
( ) f x
( ) g x
[
] ( ) g x dx
[
] ( ) h x dx
∫
∫
a
b
c
b
c
=
−
+
−
=
−
.
.
D.
C.
S
f x ( )
g x ( )
S
f x ( )
[
] h x dx ( )
[
] h x dx ( )
[
] g x dx ( )
∫
∫
∫
b
a
a Lời giải
Trang 102/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn A
Dựa vào hình trên, ta thấy
b
c
=
−
+
−
S
( ) f x
( ) g x dx
( ) g x
( ) h x dx
∫
∫
a
b
b
b
>
−
=
−
nên
.
f x ( )
g x ( )
f x ( )
g x dx ( )
f x ( )
Trên đoạn [
];a b ,
[
] g x dx ( )
∫
∫
a
a
c
c
<
−
= −
−
nên
.
g x ( )
h x ( )
g x ( )
h x dx ( )
g x ( )
Trên đoạn [
];b c ,
] h x dx ( )
[
∫
∫
b
b
b
c
=
−
−
−
Vậy
.
S
f x ( )
g x ( )
[
] h x dx ( )
[
] g x dx ( )
∫
∫
a
b
=
y
Câu 385: Cho hàm số
( ) f x
liên tục trên đoạn [
]0;8 và có đồ thị như hình vẽ.
Trong các giá trị sau, giá trị nào lớn nhất?
3
8
8
5
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
∫
∫
∫
∫
0
0
0
3
Lời giải
Chọn C 8
=
−
+
Ta có:
.
S
S
( ) f x dx
S 1
2
3
∫
0
8
3
8
⇔
>
+
=
−
+
>
S
S
S
S
> ⇒ 0
S
S
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
3
> ⇔ − 2
2
3
S 1
2
3
S 1
∫
∫
∫
0
0
0
8
8
8
⇔
>
+
=
−
+
>
S
S
> ⇒ 0
S
S
S
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
S 1
> ⇔ − 2
2
S 1
S 1
2
3
3
∫
∫
∫
0
0
5
5
3
5
=
−
>
Ta có
S
( ) f x dx
( ) f x dx
( ) f x dx
S 1
2
< ⇒ S 1
∫
∫
∫
0
0
0
8
Từ , và suy ra trong các giá trị trên, giá trị nào lớn nhất là
.
( ) f x dx
∫
0 Dạng 03: Thể tích giới hạn bởi các đồ thị hàm xác định
. Quay hình
= = = = y , y 0, x 0, x 2
Câu 386: Cho hình phẳng (
)H giới hạn bởi các đường
1 + x 1
D.
C.
B.
.
.
.
A.
ln 3π .
) − 3 1
)H quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay có thể tích bằng π 8 9
phẳng ( π ( 2
ln 3π
Lời giải
Chọn D
Trang 103/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
2
=
π
+
=
=
Thể tích khối tròn xoay bằng
x
ln
π . ln 3
x =
x
V
d
(
)2 1
0
1 +
d 1
x
1 + x
1
2 ∫ π 0
2 ∫ π 0
x 23 ,
= = y x y x 0, 2
Câu 387: Cho hình phẳng (
)H giới hạn bởi các đường thẳng
tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( đây đúng?
2
2
2
2
.
.
= . Gọi V là thể = 1, )H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào dưới
B.
. C.
. D.
A.
2 6 dx
1
1
1
1
3 dx 4 x V 3 dx 4 x V 3 dx 2 x V V x = ∫π = ∫π = ∫ = ∫π
Lời giải
Chọn B
Câu 388: Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
=
= −
= và trục hoành bằng?
1,
1
y
, x x
x
⋅
⋅
A.
B.
⋅
C.
⋅
D.
π 2 3
1 3
2 3
π 3
Lời giải
Chọn A
1
3
3
Có
2 x dx
1 − 1
∫ π − 1
= = π = − V π [ ] = x 3 1 3 − ( 1) 3 π 2 3
Câu 389: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi xoay hình phẳng (
)H giới hạn
=
=
, trục hoành,
bởi các đường
= quay quanh trục hoành là:
y
x
a x b
,
( ) f x
b
b
=
⋅
=
⋅
A.
B.
V
x
d
V
d x
( ) 2 f x
( ) 2 f x
∫π
∫
a
a
b
b
=
⋅
=
⋅
C.
D.
V
x
V
( )d f x
( )d x f x
∫π
∫
a
a Lời giải
Chọn B
Câu 390: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hàm số
( ) f x
liên tục trên đoạn [
];a b và có đồ thị là )C
= y )C . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi ( ( trục hoành, đường thẳng x
a= và x b=
bằng
b
b
b
b
2
2
.
A.
. B.
. C.
. D.
f
f
( ) f x dx
( ) x dx
( ) x dx
( ) f x dx
∫π
∫π
∫
∫
a
a
a
a
Lời giải
Chọn C
, trục hoành và hai đường thẳng
=
=
ex
Câu 391: Cho hình phẳng ( 0,
)H giới hạn bởi đường cong ( . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (
ln 2
x
x
C y = ) : )H quanh trục hoành có thể tích V bằng
A.
.
B.
.
D. π.
C. 1.
3 2
π 3 2
Lời giải
Chọn B
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
Trang 104/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
ln 2
ln 2
x
2
2ln 2
0
.
x 2 e dx
)
(
∫
0
0
=
, trục hoành và các đường thẳng
y
+ 2 cos
x
π = = − = V = e e e π 2 π 2 π 3 2
Câu 392: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong
=
= . Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành là
0,
x
x
π 2
B.
C.
A.
V =
V =
V = − .
π 1
V = + .
π 1
) ( − . π π 1
) ( + . D. π π 1 Lời giải
Chọn C
x
+ 2 cos
. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay
Hình phẳng D giới hạn bởi
0
=
x
0,
= y = y = x
π 2
D quanh trục hoành được tính theo công thức:
π 2
π 2
2
=
=
=
+
=
+
.
V
π
+ 2 cos
x
d
x
π
+ 2 cos
x
d
x
x
sin
x
)
) ( π π 1
)
( π 2
(
(
)
π 2 0
∫
∫
0
0
3
. Thể tích khối tròn xoay
= − = = x 1; y 0; y x
Câu 393:
Gọi D là phần hình phẳng giới hạn bởi các đường tạo nên khi quay D quanh trục Ox bằng
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
π 2 7
π 7
π 8
π 6
Lời giải
Chọn A
3
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số
y = là nghiệm của phương trình
0
và
3
0
= ⇔ = x 0
x Thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox bằng
0
y x=
.
(
23 )
∫ π − 1
=
1x = ,
2
1
x
)D được giới hạn bởi các đường
y = và 0
= = V x d x π 7
Câu 394: Cho hình phẳng (
x = , 0 tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (
+ . Thể y )D xung quanh trục Ox được tính
theo công thức nào sau đây?
1
1
=
+
+
=
.
.
B.
A.
V
(2
x
1)d
x
2
x
x 1d
V
∫
∫
0
0
1
1
=
+
+
=
.
.
D.
C.
V
x
x
2
1d
(2
x
1)d
x
V
∫π
∫π
0
0
Lời giải
Chọn C
=
+
=
+
Công thức tính thể tích là
.
V
2
x
x
(2
x
1)d
x
(
2 ) 1 d
1 ∫ π 0
1 ∫ π 0
2
và trục hoành. Tính thể tích V
= − 3 x x
Câu 395: Cho hình phẳng (
)H giới hạn bởi đồ thị hàm số
của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (
Trang 105/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
y )H quay quanh trục Ox .
A.
B.
.
C.
D.
V =
V = .
81 10
9 V = π. 2
81 V = π. 10
9 2 Lời giải
Chọn A
2
Phương trình hoành độ giao điểm:
.
3
3
3
5
3
4
2
3
− x x 3 0 3
=
−
+
=
−
x
x
9
6
V
3
x
x
dx
) 4 x dx
(
22 )
(
∫π
∫π
0
0
0
=
−
+
3 3.3
81 = π. 10
43 .3 2
5 3 5
π
= − + 3 x x 3 2 x 5 = x = ⇔ = 0 x π
y
Câu 396: Cho (
thẳng
)H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1x = ,
4
2 1 x= + , trục hoành và các đường )H quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích
x = . Khi (
B. 24 .
bằng A. 24π.
C. 8,15 .
D. 8,15π.
Lời giải
Chọn A
4
2
2
∫π
= + = π. V x 1 dx 24
)
(
1
KHÁI NIỆM SỐ PHỨC
Dạng 01: Các yếu tố và thuộc tính cơ bản của số phức
Câu 397: Trong các số phức sau, số phức nào là số thuần ảo?
− − .
C. 2 .
A. 1 i
B. 3i− .
D. 5− .
Lời giải
Chọn B Số phức 3i− là số phức thuần ảo.
Câu 398: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số 2021i là số thuần ảo. B. Số 0 là số phức có mô đun nhỏ nhất. C. Số phức z và số phức z là hai số đối nhau. D. Số phức z và số phức z có môđun bằng nhau. Lời giải
Chọn C
Ta có: z và z được gọi là 2 số phức liên hợp do đó C sai.
= +
với
a bi
Câu 399: Môđun của số phức z
,a b ∈ là
2
2
2
2
.
C.
.
A.
a
a
b+
B. b .
D. a .
b− Lời giải
Chọn A
Câu hỏi lý thuyết:
Trang 106/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
2
2
= +
với
.
Môđun của số phức z
a bi
a
b+
,a b ∈ là
Câu 400: Số nào dưới đây là một căn bậc hai của 25− ? C. 5i− .
A. 5 i− .
B. 5−
D. 5 i+ .
Lời giải
= −
.
i− 5
25
Chọn C Ta có (
)2
, với
Câu 401: Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu mệnh đề đúng? a) Một số phức là biểu thức có dạng a bi+
,a b ∈ .
.
b) Đơn vị ảo i là số thỏa mãn:
)2 ( i = − 1
′
′
=
+
= +
và z
a
gọi là bằng nhau nếu a
a′=
và b b′=
c) Tồn tại một số thực không thuộc tập số phức. d) Hai số phức z A. 1
a bi B. 2
′ b i C. 3
D. 4
Lời giải
Chọn B
Các mệnh đề đúng là a và d Mệnh đề b sai, sửa thành 2 i = − 1 Mệnh đề c sai, mọi số thực đều thuộc tập số phức hay ⊂
′
= +
=
+
a bi
a
′ b i
là
′
′
−
=
.
aa
′ ab
và z ′ + a bi
′ bb 2
2
2
′
′
Câu 402: Tích của hai số phức z ′ = . B. zz 2 ′
A. zz ′
=
−
+
+
=
+
+
.
C.
.
D.
zz
aa
′ bb
′ ab
zz
a
b
a
.
′ b
(
) ′ a b i
Lời giải
Chọn D
+
+
= + +
với i là đơn vị ảo. Tính giá trị
a
b
a
2
18
i 2 19
Câu 403: Cho 2 số thực a và b thỏa mãn
) i i
(
= + ?
biểu thức P a b A. 19 .
B. 17 .
C. 39 .
D. 37 .
Lời giải
Chọn C
+
+
= + + ⇔ −
+
= + +
Ta có:
.
2
a
b
18
i 2 19
a
a
2
18
bi
i 2 19
a
(
) i i
= + =
+
Vậy
.
P a b
20 19 39
= +
,
z
− = 2 18 2 20 = + a a ⇔ ⇔ a = = 19 19 b b
Câu 404: Cho số phức
= ( a bi a b
)
∈ . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
3
2
2
2
2
2
2
=
=
+
=
−
=
+
.
A.
. B.
. C.
+ . D.
z
a
b
z
a
b
z
a
b
z
a
b
Chọn B
Lời giải Dạng 02: Hai số phức bằng nhau và ứng dụng hai số phức bằng nhau
= +
có số phức liên hợp z là
z
i 6 21
Câu 405: Số phức
= −
=
= − −
= − +
.
B.
. C.
. D.
A.
z
− . i 21 6
z
i 6 21
z
z
i 6 21
6 21 i Lời giải
Chọn D
= +
= −
Số phức liên hợp của
là
z
i 6 21
z
i 6 21
Trang 107/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
z
6 9 i
Câu 406: Số phức
= + có phần ảo là B. 9i .
A. 9− .
C. 9 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn C
z
= − bằng i 6 8
Câu 407: Môđun của số phức
C. 14 .
A. 10 .
B. 8 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn A
2
=
Ta có:
z
= − ⇒ = i 6 8
z
6
10
( + − 8
)2
= −
bằng:
z
i 5 2
Câu 408: Modun của số phức
B. 29 .
A. 21 .
C. 29 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
2
2
+ −
=
Ta có:
.
z =
5
( 2)
29
= − + bằng: i 7 6
Câu 409: Phần ảo của số phức
z B. 6− .
A. 6i− .
C. 6 .
D. 6i .
Lời giải
Chọn C
Phần ảo của số phức
z
6b = .
= − + là i 7 6 Câu 410: Mô đun của số phức 2 3i+ bằng
B. 2 .
C. 13 .
D. 5 .
A. 5 .
Lời giải
Chọn C
2
=
+
=
+ =
.
i+ 2 3
2
2 3
4 9
13
. Phần thực của z bằng
− + = + 2 i 1 3
Câu 411: Cho số phức z thoả mãn
( i z .
) 1
C. 2 .
A. 2− .
D. 1.
B. 0 .
Lời giải
Chọn B
−
+
= + ⇔ + =
Ta có:
.
2
i 1 3
1
z
= + ⇔ = i
1
z
i
( i z .
) 1
+ i 1 3 − i 2
+
+
=
−
+
−
x
2
y
i 3
4
x
5
y
6
(
) y i .
=
= −
=
A.
,x y biết B.
= . D.
Câu 412: Tìm các số thực = . 7
3;
x
y
= − . C. 2
x
2;
y
= . 1
x
y= 1;
x
y
3
7; Lời giải
Chọn C
+
+
=
−
+
−
Ta có:
x
2
y
i 3
4
x
5
y
6
) y i . =
.
( − 3 x = y
= − 4 x 5 y y 0 ⇔ ⇔ ⇔ = = x 6 + y 2 − = y 3 7 3 x y 7 3
2
2
= +
,
, Khi đó tổng a b+ bằng
= − + z= z i 2 5 . z Biết 1
Câu 413: Cho số phức
( a bi a b
) ∈ và
z 1
C. 3.
D. 5.
A. 7.−
B. 3.−
Trang 108/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Lời giải
Chọn C
+
= +
là
2
a
b
+ + 1
i 1 2
,a b thỏa mãn
⇒ + = a b 3. z Ta có 1 = ⇔ z 2 5 = − a 2 = b
Câu 414: Giá trị các số thực
(
) i i
=
=
=
B.
C.
= D.
A.
a
b= 0;
= 1.
a
b= 1;
1.
a
b
;
0.
a
;
b
= 1.
1 2
1 2
Lời giải
= +
a
2
b
Chọn C ( +
+
= +
⇔ − + a
2
b
i 1 2
(
) i i (
1 2 i ) i 1 .
+ + 1 ) 1 − =
+
=
. Môđun của số phức z là
z
3
z
+ 12 4 i
a ⇔ ⇔ a + = = = 1 1 1 2 1 . 1 2 b b
Câu 415: Cho số phức z thỏa mãn
C. 13 .
A. 5 .
B. 5 .
D. 13 .
Lời giải
= +
với
Chọn D Gọi z
a bi
,a b ∈ .
= −
+
=
Ta có
⇔
⇒
.
z
3
z
+ 12 4 i
z
i 3 2
(
)
.
Vậy
= = a + = ⇔ + a bi 3 − a bi + ⇔ i 12 4 12 = 4 a − b 2 4 3 = − 2 b
z
2
= − là i
z = 13
Câu 416: Môđun của số phức
.
B.
C.
D.
A.
z = . 2
z = . 5
z = . 1
z = 5
Lời giải
Chọn D
=
Ta có
.
z =
22
5
)2 ( + − 1
=
Phần ảo của số phức z bằng
z
i
(
) + 2 4 3 . i
Câu 417: Cho số phức z thỏa mãn
A. 6 .
B. 8 .
D. 10 .
C. 8− .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( i 2 4 3 i
)
Vậy phần ảo của số phức z bằng 8− .
z
3
= − bằng i
= + z = − + ⇒ = − − . z i 6 8 i 6 8
Câu 418: Môđun của số phức
D. 2 2 .
A. 8 .
C. 10 .
B. 10 .
Lời giải
Chọn B
=
Ta có
.
z =
23
10
)2 ( + − 1
Trang 109/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC
Dạng 02: Thực hiện các phép toán cơ bản về số phức
2
2
và
.
= −
= −
= −
.
.
= + = − = + z i 2 3 3 7 i z z z 1 z Câu 419: Cho hai số phức 1
B.
.
C.
D.
A.
z
i 3 10
z
i 1 10
z
z
i 5 4
. Tìm số phức = + . i 3 3 Lời giải
Ta có:
= + = − + +
Chọn D z
2
z 3 7 i i 2 3 = − . i 5 4 z 1
2
2.z z bằng
= + z z i 2 6
−
.
.
= − i Câu 420: Cho hai số phức 1 1 2 +
.
, B. 2 12i−
D. 14 2i+
A. 10 2i
. Tích 1 C. 14 10i−
. Lời giải
Chọn D
=
Ta có
.
+ 2 6 i
+ 14 2 i
( = − i 1 2
)(
)
z z 2. 1
2
bằng
= − −
= +
= − −
= − = − = + i 4 3 i 7 3 z z z 1 z và 2 z Câu 421: Cho hai số phức 1
B.
C.
D.
A.
z
i 1 10 .
z
3 6 . i
z
i 3 6 .
. Số phức z =
11. Lời giải
Chọn B
−
=
−
= − − ⇒ = − −
Ta có
.
z
− 4 3 i
+ 7 3 i
i 3 6
i 3 6
z
(
)
(
)
z 1
2
= − +
z
i 3 4
Câu 422: Cho số phức
= − +
= − +
= −
.
. B.
. C.
. D.
A.
z
i 9 12
z
, khi đó 3z bằng = − + z i 3 12
z
i 9 4
9 12 i Lời giải
Chọn A
=
− +
= − +
Ta có:
.
3
z
3
i 3 4
i 9 12
(
)
2
2
và
. Tìm số phức
.
= +
= − −
= − −
.
= + = − = − z i 7 3 i 4 3 z z z 1 z Câu 423: Cho hai số phức 1
A.
.
B.
. C.
.
D.
z =
z
i 3 6
z
i 3 6
z
1 10 i
11 Lời giải
Chọn C
−
=
Ta có
+ 7 3 i
− 4 3 i
= − − . 3 6i
(
)
)
, khi đó 2z bằng
z
= − z z z 1
Câu 424: Cho số phức
.
.
.
.
− + D. 6 4i
A. 6 2i−
( 2 = − i 3 2 B. 6 4i−
C. 3 4i−
Lời giải
Chọn B
=
= −
Ta có
.
2
z
i 6 4
( − 2 3 2 i
)
2
2
có phần thực là
= + = − 3 6 , i z i 9 7 . z+ z Số phức 1 z Câu 425: Cho 1
D. 1.
C. 1.−
A. 27.
B. 12.
Lời giải
Chọn B
Trang 110/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+
=
+
=
Ta có:
z
+ 3 6 i
− 9 7
i
12
− i
(
)
z 1
2
là 12 .
( ) z+
2
z Vậy phần thực của 1
+ + = . Tìm số phức z . z i
Câu 426: Cho số phức z thỏa mãn (
) 1 2i z
= +
A.
B.
C.
D.
z
i 1 2 .
z
= − i . 2
z
i .
z
i .
1 2
1 = − 2
1 2
1 = + 2 Lời giải
Chọn A
= +
Gọi số phức
z
,
( a bi a b ,
( 1 2
)
(
)
) ∉ . )( + i a bi
Ta có: (
=
+
+
+ −
i
⇔ − a
b 2
) + 1 2 i z ( +
−
=
a
i
a
⇔ − 2
b 2
2
0
2 (
=
0
⇔
⇔
a a
2 2
− b 2 − = 1 0
) a b i a bi ) 1 = a = b
1 2 1 2
.
Vậy
z
i
1 = + 2
+ + = ⇔ + i z − a bi = i
) i z
− = + . Mô-đun của số phức z bằng i 2
1 2 Câu 427: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1
A.
.
C. 2 .
B. 3 .
D. 10 .
10 2
Lời giải
Chọn A
−
.
2
= + ⇔ = i
z
z
z
i
Ta có ( 1
) i z
+ −
2 1
3 ⇔ = + ⇒ = − i 2
1 2
1 2
3 2
i i
2
2
=
=
Vậy
.
z
1 2
3 2
10 2
+ −
+
+
=
+
với i là dơn vị ảo. Giá trị của
3
x
yi
− 4 2 i
5
x
i 2
)
(
)
biểu thức
+ bằng
Câu 428: Cho hai số thực x và y thỏa mãn ( = 2
T
y
x
A. 2 .
D. 4 .
C. 6− .
B. 8 .
Lời giải
Chọn B
+
=
+
−
=
+
.
− 4 2 i
5
x
i 2
3
x
4
y
i
2
5
x
i 2
3
x
yi
Ta có: ( +
(
)
( + ⇔ +
)
(
)
) + =
.
=
+ = .
Khi đó:
T
2
x
= x ⇔ = x y 2 4 3 x 4 5 − = 2 y 2
2.2 4 8
= − +
bằng
z
i 3 2
+ = y
Câu 429: Cho số phức
, số phức (
) 1 i z−
− + .
− − .
B. 5 i− .
A. 1 5i
C. 1 5i− .
D. 5 i
Lời giải
Chọn D
Trang 111/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
)
( = − 1
)(
Ta có ( 1
) i z
.
+
− − − = − − i i 3 2 i 3 2 + − = − + i i 3 2 5
z
i= 4
2
2
và
bằng
= + i 2 3 z+ 22 z . Số phức 1
B. 6 11 .i+
− + C. 2 11 .i
D. 6 5 .i−
z Câu 430: Cho hai số phức 1 − − A. 2 5 .i
Lời giải
Chọn D = − + 4 i z
2
+
=
+
= −
2
z
+ 2 3 i
2
− + i 4
2
i 6 5 .
)
2 (
)
(
z 1
2
Dạng 03: Xác định các yếu tố của số phức qua các phép toán
= − +
z
Câu 431: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức
.
.
B.
.
C.
D.
.
A.
P
3; 2
(
)2;3
( N −
)3; 2
( Q −
được biểu diễn bởi điểm ( M −
)
2 3 i )2;3 Lời giải
Chọn C
= − +
Số phức
.
z
i 2 3
có điểm biểu diễn là Q có tọa độ (
)2;3−
là điểm biểu diễn của số phức z . Tổng
Câu 432: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho
( M −
)3;5
phần thực và phần ảo của z bằng
C. 2 .
D. 2− .
A. 8 .
B. 8− .
Lời giải
Chọn B
Từ đề bài ta suy ra
= − + ⇒ = − − . Vậy tổng phần thực và phần ảo của z bằng
z
3 5 i
3 5 i
z
− + − = − . ( 3) ( 5)
8
,
bằng
z 1
z+ 23
2
= + = + . Giá trị của biểu thức i 3 2 z 1 i z Câu 433: Cho hai số phức thỏa 1
D. 6 .
A. 5 .
B. 55 .
C. 61 .
Lời giải
Chọn C
2
2
= +
=
+
=
= +
+
+
Ta có
.
6 5i
6
5
61
i 3 2
i
( 3 1
)
z 1
z+ 23
= +
= −
z
i 1 2
w
i 3 4
và
. Tính
.z w
Câu 434: Cho hai số phức
A. 125 .
C. 5 .
D. 5 5 .
B. 5 .
Lời giải
Chọn D
2
Ta có
.
2 11
)
) ( ( i 1 2 . 3 4
=
là
z
= − + = = + = z w . i + 11 2 i 2 5 5
Câu 435: Số phức liên hợp của số phức
1
.
.
− − .
.
− + D. 2 2i
A. 2 2i−
B. 2 2i
4 + i C. 2 2i+
Lời giải
Chọn C
−
i
)
=
=
=
= −
Ta có
.
⇒ = + z
i 2 2
z
i 2 2
4 +
i
1
i
( 4 1 2
) ( − 4 1 i )( − + i 1
( 1
)
Trang 112/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
= +
=
Vậy số phức liên hợp của số phức
là
.
z
i 2 2
z
4 +
i
1
. Tìm phần ảo của số phức w iz= .
z
i
Câu 436: Cho số phức
( = − 1
)5
A. 4− .
B. 4 .
C. 4i .
D. 4i− .
Lời giải
Chọn A
5
2
=
−
− = − −
Ta có
Như vậy phần ảo của số phức w là 4− .
= w iz
i
i
i 2
i 4 4 .
i
)
( = − i
) ( 1
( 1
)
BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
Dạng 01: Biểu diễn số phức qua các phép toán
=
là
z
Câu 437: Điểm biểu diễn của số phức
1 − i 2 3
C.
.
A. (
)2;3 . −
B. (
) − 3; 2 .
D. (
) 4; 1 .−
2 3 ; 13 13
Lời giải
=
=
=
z
i
Chọn C 1 − 2 3 i
+ 2 3 i 13
3 2 + 13 13
Vậy điểm biểu diễn số phức là
.
2 3 ; 13 13
là
z
i
Câu 438: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức
( = + 1
)3
.
.
A. (
)2; 2−
B. (
) 2; 2− .
C. (
)2; 2 .
D. (
)2; 4−
Lời giải
2
3
+ = + − − = − +
.
i
i 3
i 2 2
i
Chọn A ( = + 1
)3
.
= + + z i 1 3 1 3 i Vậy điểm biểu diễn số phức z là (
3 i )2; 2−
Câu 439: Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn là điểm M trong hình vẽ sau?
.
= − = +
B.
.
C.
D.
2
4
= − . 2 i z i 1 2 z i 1 2 = + . 2 i z A. 1 z 3
Lời giải
Chọn C
Do điểm
nên nó là điểm biểu diễn của số phức
)2;1M (
= +
z
= + . 2 i z 3
A.
D.
C.
B.
.
.
3; 2
P
) − .
(
Câu 440: Cho số phức ) Q − − . 3; 2
(
( N −
i 3 2 . Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào sau đây? )3; 2 )3; 2M ( Lời giải
Chọn D
Trang 113/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
= + ⇒ = −
Giả thiết
z
i 3 2
i 3 2
z
= −
Suy ra điểm biểu diễn số phức
z
i 3 2
có tọa độ (
) 3; 2−
= + . Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức = − và i 2 5 z i 3 2
Câu 441: Cho hai số phức
2
có tọa độ là
= w z z 2.
1
−
.
.
.
4;19
19; 4−
4; 19−
z 1
A. (
) 4;19 .
B. (
)
C. (
D. (
)
) Lời giải
Chọn B
Ta có:
.
(
) ( i 2 5 . 3 2
)
1
−
Vậy, trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức
4;19
có tọa độ là (
)
= w z z 2.
1
=
z
?
= + + = − + i i 4 19 = w z z 2.
Câu 442: Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
− i + 1
3 i
y
2
A
C
x
1 O
2
3
-2
-1
-1
D
-2
B
A. Điểm
B. Điểm
C. Điểm
D. Điểm
.B
.D
.A
.C Lời giải
Chọn D
=
=
có điểm biểu diễn là điểm
.A
z
= − + ⇒ 1 2 i
z
− +
− −
3 i
i i
− i + 1
( i ( 1
)( 3 1 )( i 1
) )
= − . Điểm biểu diễn số phức
trên mặt phẳng phức là
z
i 2 3
= w 2 z
Câu 443: Cho số phức
( + + 1
) i z .
A.
.
B.
.
C.
D.
P
(
) Q − − . 3; 1
(
)3;1M (
( )1;3N
) − . 3; 1 Lời giải
Chọn C
Ta có
= − w 4 6 i
i
+ 2 3 i
= − . 3
i
( + + 1
)(
)
P
Điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là
(
) − . 3; 1
z
w
3
i
= − + . Điểm biểu diễn số phức z w− là
A.
B.
.
C.
D.
P
4; 3
Câu 444: Cho số phức ) N − − . 2; 1
(
(
= − và i 1 2 ( Q −
)3; 4
) M − . 4; 1
(
) − . Lời giải
Chọn C
Ta có:
z w
i
3
( − = − i 1 2
)
(
P
4; 3
Do đó điểm biểu diễn của z w− là
) − − + = − . 4 3 i (
) − .
= + . Điểm biểu diễn số phức z là
iz
+ + (1
i z )
i 2 3
Câu 445: Cho số phức z thỏa mãn phương trình
Trang 114/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
.
A.
B.
C.
.
D.
P
3; 4
N
(
) − .
) Q − . 2; 1
(
(
)3; 4M (
)2;1 Lời giải
Chọn C Đặt z
,a b ∈ .
= + 2 3 i
Ta có ( ⇔ − i a bi
= + a bi ( + + 1 )
= + iz
+
với ) i z ) ( + + 1 + ⇔ + + + − = + ai b a bi ai b i 2 3 = + ⇔ + 2 3 2 ) ( i a i b a
2 3 i )( + i a bi
.
.
Vậy điểm biểu diễn số phức z là
N
(
)2;1
= +
= +
trên mặt
. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w z
iz
i 1 2
= = a a ⇔ ⇔ ⇒ = − ⇒ = + i z z i 2 2 + = 2 a 2 3 2 = − 1 b b
Câu 446: Cho số phức
z phẳng tọa độ?
.
.
B.
.
C.
D.
A.
N
(2;3)
( 3;3)
Q
(3; 2)
(3;3)
P −
M
. Lời giải
= +
+
−
= + trên mặt phẳng tọa độ là
Điểm biểu diễn của số phức w
= + z
iz
i 1 2
i
i (1 2 ) 3 3
i
.
M
(3;3)
= + . Tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z .
+ 3 2
i 1 5
Câu 447: Cho số phức z thỏa mãn (
) i z
A.
.
B.
C.
.
D.
)1;1M (
( ) M − . 1; 1
( M −
) M − − . 1; 1
(
)1;1 Lời giải
Chọn B
. Suy ra
= − .
+ 3 2
= + 1 5 i
1z
i
= + 1
⇔ = z
i
Ta có (
) i z
+ 1 5 i + 3 2 i
Vậy điểm biểu diễn M của số phức z là
( ) M − . 1; 1
= . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z
z
(1
− − i
i ) 12
3
Câu 448: Cho số phức z thỏa mãn:
có tọa độ là:
−
−
−
.
B.
C.
. D.
.
A.
;
;
9 15 ; 2 2
9 2
15 2
9 15 ; 2 2
−
15 9 2 2 Lời giải
Chọn C
Ta có:
z
z
i
i
9 15 ⇔ = − + ⇒ = − − 2 2
9 15 2 2
−
−
) = ⇔ − = + ⇔ = z − − i z z i ⇔ = z (1 i ) 12 i ) 3 12 (1 3 + (3 12 )(1 + − i (1 i )(1 + i i ) + i 3 12 − i 1
.
Vậy điểm biểu diễn của số phức z có tọa độ là:
;
9 2
15 2
Dạng 03: Tìm tâm, bán kính của đường tròn biểu diễn số phức z độc lập
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số
− = + iz 1 1 i 2
Câu 449: Cho các số phức z thỏa mãn phức z là đường tròn (
)C . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (
)C lần lượt là
Trang 115/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
.
A.
B.
I
I
3R = .
)0;1
.
3
D.
C.
I
I
3R = .
( (
; ) − ; 0; 1
( )0;1 (
R = 3
R = ; ) − ; 0; 1 Lời giải
Chọn C
Gọi z
(
) ;x y ∈ .
= + x yi
.
Theo bài ra:
( i x
)
− = + iz − = + ⇔ + i 2 1 1 yi 1 1 i 2
.
2
+
⇔ + x
y
= . 3
(
)2 1
− , bán kính
I
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn (
)C có tâm
(
) 0; 1
= ⇔ − − + 1 y xi 3
+ −
= . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
z
i 6 2
4
R = 3.
Câu 450: Cho số phức z thoả mãn
,
A.
B.
.
4R = .
I
R =
16
,
D.
.
C.
4R = .
I
R =
16
)6; 2 ) − , 6; 2
( I − (
diễn các số phức z là một đường tròn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường tròn đó. ( ) − , 6; 2 )6; 2 ( I − Lời giải
Chọn D
Đặt z
(
) ,x y ∈ .
+
+ −
= ⇔ +
+
−
Theo đề bài ta có:
x
yi
i 6 2
4
x
6
y
i
2
= 4
(
)
(
)
2
2
2
2
+
−
= ⇔ +
+
−
=
.
x
6
y
2
4
x
6
y
2
16
(
)
(
)
( ⇔ +
)
(
)
, bán kính
Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm
4R = .
( I −
)6; 2
= + x yi
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC
Dạng 03: Định lí Viet và ứng dụng
+
là hai nghiệm phức của phương trình
. Giá trị
bằng:
z
2 6 z−
= 10 0
z+
Câu 451: Gọi
2,z z 1
2 z 1
2 2
B. 56 .
A. 36 .
D. 20 .
C. 16 .
Lời giải
Chọn C
=
=
Ta có:
S
6 ;
P
10
2
+
b = − = a =
−
=
.
Vậy
S
z
2
P
c a 16
2 z 1
2 2
+
+
= . Giá trị của
23 z
z− 7
27 0
Câu 452: Cho
z z 1
2
z z 2 1
bằng
,z 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2
A. 3 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn B
Cách 1:
+
=
+
=
+
Ta có
.
z
(
)
z z 1
2
z z 2 1
z z 1 1
z z 2 1
z 1
z 1
2
+
= .
23 z
z− 7
27 0
Trang 116/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
,z Vì 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2
2
2
2
Suy ra
.
(
)
2
2
2 =
2
= + z z 1 = = = z 3 z z . 1 z 1 7 3 = ⇒ ⇒ + = = z 9 3. 7 z 1 z 1 7 3 + = z z 1 z z z . 1 z 1 7 3
Cách 2:
−
2
i 7 5 11 6
−
+
= ⇔
.
z
z
3
7
27 0
+
=
z
2
= z 1
i 7 5 11 6
−
+
+
=
+
+
+
.
.
z z 1
2
z z 2 1
i 7 5 11 6
49 36
275 36
i 7 5 11 6
49 36
275 36
=
=
2.
.
2.
= . 7
7 6
324 6
7 18 . 6 6
2
+ = . Giá trị của biểu thức
z
z+ 2
5 0
z+
Câu 453: Gọi
2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 1
2 z 1
2 2
bằng:
B. 4 .
A. 6− .
C. 6 .
D. 5 .
Lời giải
Chọn A
2
2
2
+
+
Ta có:
. Khi đó,
z
i 1 2
i 1 2
= − . 6
z
2
z
)
( + − −
)
( = − +
2 z 1
2 2
z z
= − + 1 2 i + = ⇔ = − − 5 0 i 1 2
2
+ +
= nhận
làm
z
i
z
z m
0
Câu 454: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình
1 = − + 2
3 2
nghiệm?
A.
B.
C.
D.
m = − . 1
1m = .
2m = .
3m = .
Lời giải
Chọn B
2
+ +
Ta có phương trình
= nhận
làm nghiệm nên
z
i
z
z m
0
1 = − + 2
3 2
2
+ − +
+
=
− − +
i
i
m
0
⇔ − = − m
i
i
⇔ = . m
1
1 − + 2
3 2
1 2
3 2
1 4
3 2
1 2
3 2
3 4
2
+
là một nghiệm của phương trình
az
2
z b
+ = với 0
z
i
Câu 455: Biết
,a b ∈ . Tính tổng
1 = − + 2
3 2
D. 2 .
a b+ A. 10 .
B. 7 .
C. 5 .
Lời giải
Chọn B
2
+
Phương trình
thì nghiệm còn lại
az
2
z b
+ = với 0
z
i
,a b ∈ có một nghiệm là
1 = − + 2
3 2
sẽ là
.
z
i
1 = − − 2
3 2
Trang 117/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
S
= − = 1
− 2 a
⇔
.
Theo định lí Viet, ta có:
2 5
= a = b
=
= P
b a
5 2
Vậy
a b+ = 7.
2
2022
+
+ = có một nghiệm là:
z
z− 6
2021
9 0
Câu 456: Trên tập số phức, phương trình
2022
1011
2022
1011
= − − = +
= − = +
. .
A. C.
. .
B. D.
z z
i i
z z
3 2021 3 2021
i i
3 2021 3 2021 Lời giải
Chọn C
= + ⇒ = −
.
a bi
a bi
z
,z Gọi 1
z z là hai nghiệm của phương trình đã cho. Đặt 1 2
2
=
+
Áp dụng định lý Vi-et ta có: =
=
6
z
2
a
3
z 1
⇔
⇔
.
2022
a 2
6 2
2022
1011
2 =
+
+
=
+
= ±
2021
9
a
b
2021
9
2021
z z . 1
2
b
1011
= ±
.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
z
3 2021
i
là hai nghiệm của phương trình
Câu 457: Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w i+ và 3 2w−
2
+
= + bằng
az b
0
+ = . Tổng S
a b
B. 3 .
C. 9 .
z A. 3− .
D. 7 .
Lời giải
Chọn B
2
+
+ = có hai nghiệm là
Đặt w x
z
az b
0
(
)
, a b ∈ và phương trình
, x y ∈ . Vì
= + yi
= ⇔ + = − ⇔ +
+ = −
+
nên
3 2
w i
w
x
z
yi
3 2
i
x
yi
(
)
1z w i
2
z 1
2
= −
=
x
3 2
x
x
1
+
=
⇔
.
⇔ + x
y
i
− 3 2
x
+ ⇔ yi
2
(
) 1
(
)
+ =
=
y
1 2
y
y
1
= + = +
.
w
i
1 2 i = −
z w i 1 = − z
3 2
w
i 1 2
2
⇒ = + ⇒ 1
+
= −
= −
z
a
a
= − 2
⇒
⇒
Theo định lý Viet:
.
2 =
a 2 + =
=
b
b
5
z 1 z z . 2
2
1 4
b
= + = .
S
a b
3
Vậy Dạng 02: Tính toán biểu thức nghiệm
+
= . Số phức liên hợp
2 8 z−
z
25 0
= − = + , z 3 2 w
Câu 458: Gọi
là
0z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z của 1
0
− + .
− − .
= − 2 z
A. 2 3i
B. 2 3i+ .
C. 4 3i− .
D. 2 3i
Lời giải
Chọn D
−
+
.
8
25 0
Ta có 2 z
z
.
= + 4 3 i z = ⇔ = − 4 3 i z − = − z z 2 1
0
+ = trong đó
22 z
5 0
= ⇒ = − 4 3 i + 2 3 i z Vậy 0
Câu 459: Gọi
2z là hai nghiệm của phương trình
2z có phần ảo âm.
1z và
?
z Điểm nào dưới đây có điểm biểu diễn của số phức 1
z+ 6 z+ 23
Trang 118/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
A.
.
B.
.
C.
1; 6
)6;1Q (
( M −
)6;1
) N − − . D.
(
(
) P − − . 6; 1
Lời giải
i
z 1
2
+
.
Ta có
2
6
5 0
z
z
z
i
2
+ = ⇔
3 = − + 2 3 = − − 2
1 2 1 2
+
= − − . Vậy điểm cần tìm là
6
i
) P − − . 6; 1
(
z Nên 1
23 z
2
+
=
+
+ = , (
z
bz
0
c
c ≠ ). Tính
0
P
Câu 460: Gọi
1z ,
2z là hai nghiệm phức của phương trình
1 2 z 1
1 2 z 2
theo b , c .
2
2
2
.
.
c 2 b b c 2 c b c b 2 = = = =
B.
. C.
. D.
A.
2 2 − c
P P P P + c − 2 c + 2 c Lời giải
Chọn A
+
= − b
Theo Viét ta có
.
z 2 =
c
z 1 z z 1 2
2
2
(
2
2 2
.
Ta có
2 + z z 1 2 2 z z 2 1
) z z 1 2
+
= . Giá trị của biểu thức
2 2 z−
z
17
0
+ b c 2 z 1 z z 1 2 = + = = = P − 2 c 1 2 z 1 1 2 z 2 z ( − 2 2 )
Câu 461: Gọi 1
2,z z là các nghiệm phức của phương trình
+
−
z
3
.
(
)
2
z z bằng 1 2
z 1 A. 11− .
B. 8− .
C. 16 .
D. 23 .
Lời giải
Chọn A
+
=
2
Theo định lí Viet ta có:
.
z 2 =
17
z 1 . z z 1
2
+
−
=
Suy ra
3
z
− 3.2 17
= − . 11
(
)
z 1
2
z z . 1
2
+
z
2 6 z+
13 0
Câu 462: Gọi
= , trong đó 1z có phần ảo âm.
2z là hai nghiệm phức của phương trình
1z , Giá trị của
bằng
2
−
−
+
.
.
− .
z+ 3z 1
A. 4 12i+
B. 12 4i
C. 4 12i−
D. 12 4i
. Lời giải
′∆ =
−
Ta có
23
13
,
= − < . 4 0 z Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức 1
2
( 1z có phần ảo âm).
+
=
− −
= −
.
Khi đó
3
z
3
i 3 2
i 3 2
− 12 4 i
(
)
( + − +
)
z 1
2
+
= . Biểu thức
có giá trị
z
2 6 z−
10 0
z−
z 1
2
z là hai nghiệm phức của phương trình 2
= − − = − + i 3 2 z i 3 2
B. 2 .
D. 2i .
,z Câu 463: Gọi 1 bằng A. 6 .
C. 6i .
Lời giải
Chọn B
2
−
+
.
z
6
z
10 0
i i
= + z 3 = ⇔ = − z 3
Trang 119/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
Khi đó
z−
2
z 1
2
TỌA ĐỘ ĐIỂM – VECTƠ
Dạng 01: Liên quan tọa độ điểm, véc-tơ trong hệ trục Oxyz
Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
,Oxyz cho
u
Câu 464: Trong không gian với hệ tọa độ
(
) − 2; 4; 1 .
2
2
=
+
−
+
+ −
B.
C.
D.
A.
4
.
thức sau? 2 i u
j
k
u
= − − 2 i
j
4
k
.
2 1 .
u = + − 2 4 1. u = 2 4
Lời giải
Ta có
= − + − ⇔ =
Chọn A u
(
) 2; 4; 1
.
. Tìm tọa độ véctơ AB
A
− 3; 5; 2
2 i j k . 4 u
Câu 465: Trong không gian Oxyz , cho
)
(
.
A.
.
B.
)
.
.
D.
C.
) − − 2; 7; 5 )
) ( − 1; 2; 3 , B ( AB = − − ( AB =
− 2;7; 5 − 2; 7;5 2; 7;5 ) ( AB = ( AB = −
Lời giải
.
(
) − − 5
( − − 3
)
(
)
= − 3 1; 2; 2 − 2; 7;5
Chọn D ( AB =
)
)
)
và vt
. Tính độ dài
− 1;1;3 2;1; 3 ( u = − ( u = −
Câu 466: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ
v− 3u 2
B. 216 .
C. 152 .
D. 322 .
A. 242 .
Lời giải
− 4; 1;15
242
Chọn A v− 3u
Ta có: 2
=(
)
=
là
j
. Suy ra 2 i
a
2
v− 3u + − k
3
. Tọa độ của a
Câu 467: Trong không gian Oxyz, cho
− A. ( 2;1;3)
C. (2;1;3) .
− B. (2; 3;1)
D. (2;1; 3)−
Lời giải
=
Chọn B a
(
) − 2; 3;1
trên mặt
A
i 2 + − ⇒ = j k a 3
Câu 468: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm
( 1; 2;3
)
phẳng (
)Oyz là
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
M
0; 2;3
N
P
Q
0; 2;0
(
)
( 1;0;0
(
( 1;0;3
)
)
) Lời giải
Chọn A
′
Hình chiếu của điểm
0;
;
;
(
(
)
Nên
là hình chiếu của điểm
M
0; 2;3
A
M x y z lên mặt phẳng ( )
( 1; 2;3
(
)
)Oyz là M ; y z trên mặt phẳng (
) )Oyz .
. Tìm tọa độ
A
3; 4;5
Câu 469: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai điểm
( 1; 2; 3
) − và
( B −
)
trung điểm I của đoạn thẳng AB .
.
B.
. C.
. D.
A.
2;1; 4
2; 1; 4
I
( I − −
) 1; 3;1
( I −
)
( I −
) 1;3;1
(
) − − .
Trang 120/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Lời giải
Chọn A
x
x
A
B
=
= − 1
x
I
y
y
A
B
=
=
3
y
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
I
z
z
A
B
=
=
1
z
I
−
=
=
a
j
k 3
2
b
4 i
+ + j
+ 2 + 2 + 2 k
=
,
. Tính độ dài của
v
− a b
2
Câu 470: Trong không gian Oxyz , cho
A. 74 .
B. 3 6 .
C. 5 2 .
D. 42 .
Lời giải
= − − − − = −
Chọn A v
( 2 2
)
(
2
2
− = a b 2 j k 3 4 i + + j k j k 4 i 6 4 − − = − + k 4 i j j 3 k 7
.
) v⇒ =
2 3
(
)
)
)
−
−
( + − 7 u =
(2;1; 3)
v =
(4;5; 2)
vả
. Tìm tọa độ của điểm M ,
?
biết
v
2
+ = − − 4 74 4;3; 7 ( v⇒ = −
Câu 471: Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ + = − OM u 3 − − − .
.
.
A. ( 2; 7; 5)
B. (2;7;5) .
− C. (2; 7;5)
− − D. ( 2; 7; 5)
Lời giải
Chọn B
= −
+
=
Ta có
OM
u 3
v
2
(2;7;5
)
Suy ra tọa độ điểm M là (2;7;5) .
không
gian
với
hệ
diện
cho
tứ
có
ABCD
độ Oxyz ,
Câu 472: Trong
tọa Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
A
(1;0;0),
B
(0; 2;0),
C
(0;0;3),
D
(1; 2;3).
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
G
(2; 4;6)
G
(
;
;
)
G
(
;1;
)
(
; 2)
G
1 1 3 4 2 4
1 2
3 2
2 4 ; 3 3 Lời giải
Chọn B Trọng tâm G của tứ diện ABCD là trung điểm của trung đoạn của tứ diện ABCD .
.
Ta có tọa độ trung điểm của AB là
, tọa độ trung điểm của CD là
I
(
;1;0)
(
;1;3)
J
1 2
1 2
.
Vậy trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ là
(
;1;
)
1 2
3 2
A
− 2; 1;5
B
− 5; 5;7
;
(
)
( M x y
) ;1
(
)
,
;
. Khi
,A B M thẳng ,
Câu 473: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm
hàng thì giá trị của
A.
7
= =
C.
= − . B. = . D.
x x
4; 4;
y y
7
;x y là = − x = − x
4; 4;
y y
= . 7 = − . 7
Lời giải
Chọn B
Ta có:
;
(
)
)
Trang 121/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
− + − AB = − 3; 4; 2 2; y 1; 4 ( = AM x
2
x
=
=
.
Để ba điểm ,
,A B M thẳng hàng thì
= − 4
− 3
+ y 1 − 4
− 4 2
. Tọa độ của điểm
'M đối xứng với M qua
2; 5; 4
7 x ⇒ = y
Câu 474: Trong không gian Oxyz , cho điểm
( M −
)
mặt phẳng (
)Oyz là
− −
.
2; 5; 4
2; 5; 4
A. (
) 2;5; 4 .
B. (
) − − . C. (
D. (
)
) 2;5; 4− . Lời giải
Chọn D
.
Gọi H là hình chiếu của
2; 5; 4
− 0; 5; 4
( M −
)
lên mặt phẳng (
)Oyz , ta có
(
)
Vì
'MM . Khi đó
'M đối xứng với M qua mặt phẳng (
H )Oyz nên H là trung điểm
=
−
x
2
'
=
−
− −
2
H y
x M y
x M y
= − 2 = − ⇒ 5
2; 5; 4
M
'
)
(
'
M
M
H
−
=
=
4
2
z
z
z
M
M
H
'
Dạng 06: Viết phương trình mặt cầu
−
Phương trình mặt cầu đường
A
B
,Oxyz cho hai điểm
Câu 475: Trong không gian
(
) 2; 3;5 ,
(
) − 0;1; 1 .
2
2
2
−
+
+
+
−
=
.
x
y
z
14
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.
x
y
z
2
14
2
2
2
+
−
+
+
−
=
.
2
56
x
y
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.
x
y
z
2
14
kính AB là A. ( B. ( C. ( D. (
) 1 ) 1 ) 1 ) 1
( ( ( (
) 1 ) 1 ) 1 ) 1
( ( ( z (
) 2 ) ) )
Lời giải
Chọn C
là tâm của mặt cầu.
Gọi I là trung điểm của
AB
)
( I⇒ − 1; 1; 2
2
2
2
(
)
( + − 6
)
Mà AB là đường kính
2
2
2
−
+
+
+
−
=
S
x
y
z
2
14.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (
) ( :
) 1
(
) 1
+ − 2 4 = = ⇒ = R . AB 2 2
)
. Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp
I
3; 4; 2
56 2 (
Câu 476: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm
(
)
2
2
2
−
−
+
=
+
−
.
y
x
16
z
2
2
2
−
+
−
+
−
4
3
= . 4
2
y
x
z
2
2
2
+
−
−
+
−
3
4
x
y
= . 5
z
2
2
2
2
−
−
+
+
−
=
.
4
3
x
y
z
2
25
xúc với trục Oz là : ) ) A. ( 3 4 ) ) B. ( ) ) C. ( ) ) D. (
( ( ( (
( ( ( (
) 2 ) ) )
Lời giải
.
H
0;0; 2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz , suy ra
(
)
Ta có:
.
(
)
Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:
2
2
=
=
=
+
+
,
HI
2 3
4
0
= . 5
( R d I Oz
)
Trang 122/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
HI = 3; 4;0
2
2
2
−
+
−
+
−
=
.
x
3
y
4
z
2
25
(
)
(
)
Suy ra phương trình mặt cầu: (
)
−
M
4;0;0
I
0;0; 3
(
)S
(
)
(
)
có tâm
và đi qua điểm
.
Câu 477: Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt cầu
(
)S
là
2
2
2
2
+
+
+
=
+
+
+
.
B.
A.
x
y
z
25
x
y
3
= . 5
2
2
2
2
+
+
−
+
−
+
=
C.
.
D.
x
y
z
3
= . 5
3
x
y
z
25
( z (
)2 )2
Phương trình của )2 3 )2
( (
Lời giải
Chọn A
−
Mặt cầu
tâm
và đi qua điểm
có bán kính
I
0;0; 3
M
4;0;0
(
)S có
(
)
(
)
2
+
4
2
2
+
+
+
=
.
x
y
z
3
25
2 R IM= = 3 Phương trình của (
= . 5 )S là
(
)2
,
và tâm thuộc trục
1; 2; 4
B
Câu 478: Trong không gian Oxyz , mặt cầu đi qua hai điểm
( A −
)
(
) − 2; 2;1
Oy có đường kính bằng
.
C.
.
A.
B. 69 .
D. 43 .
69 2
43 2
Lời giải
.
;0
I
Chọn B Gọi I là tâm mặt cầu. Vì I Oy∈
)
(
Mặt cầu đi qua hai điểm
và
suy ra
B
1; 2; 4
nên )
( A −
) − 2; 2;1
0; y (
2
2
2
2
2
2
= ⇔ +
−
+
=
+
+
IA
IB
2 1
y
2
4
2
y
2
+ ⇔ = . y
2 1
(
)
(
)
3 2
.
Do đó mặt cầu có tâm
I
0;
;0
3 2
=
=
Vậy đường kính mặt cầu bằng
.
d
IA= 2
2.
69
69 2
;
. Phương trình mặt
A
− − 3; 2; 2
B
3; 2;0
Câu 479: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
+
+
+
−
−
+
+
+
=
.
3
y
= . 5
x
y
z
20
2
2
2
2
2
2
−
+
+
+
+
+
+
−
=
.
x
3
y
z
= . 5
3
x
y
z
20
) 1 ) 1
B. ( x D. (
) )
( z (
cầu đường kính AB là A. ( ) 1 ) C. ( 1
) 3 )
( (
Lời giải
Chọn D
Gọi I là trung điểm AB . Suy ra tọa độ
I
(
) − . 3;0; 1
.
Ta có
(
)
=
.
Mặt cầu có bán kính
R =
5
AB 2
2
2
2
−
+
+
+
x
3
y
z
= . 5
)
(
) 1
Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là ( Dạng 03: Tích vô hướng và ứng dụng
= AB 0; 4; 2 ⇒ = AB 2 5
(
)
(
)
0
,
. Toạ độ
là
= = b , , a , , x y z 1 1 1 x y z 0 0
Câu 480: Trong không gian Oxyz , cho
Trang 123/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
,a b
−
−
−
y z 0 1
y z x z ; 1 0 0 1
x z x y ; 1 0 0 1
x y 1 0
−
−
+
−
.
;
. )
y z 0 1
y z 1 0
x z 0 1 +
x z x y ; 0 1 1 0 +
+
y z 0 1
x z x y ; 1 0 0 1 −
−
y z x z ; 0 1 1 0 −
x y 1 0 −
.
;
A. ( B. ( C. ( D. (
. )
x z x y ; 1 0 0 1
y z 0 1
y z 1 0
x z 0 1
) x y 1 0 ) x y 1 0
Lời giải
Chọn B
−
−
+
−
Toạ độ
.
;
)
là (
y z 1 0
x z 0 1
x z x y ; 1 0 0 1
x y 1 0
,a b
y z 0 1 ( b = − −
)
( ) − 1, 2, 1
,
2, 1,3 a =
B.
A.
)
.
.
− 5,1, 3
D.
C.
. Tính a b∧ a b∧ = a b∧ =
. )
− 5, 1,3
Câu 481: Cho ) ( a b∧ = − ( a b∧ = − − − 5, 1, 3
. )
( 5,1,3 ( Lời giải
,
.
)
.
2, 1,3 ( b = − −
Chọn D ( ) a = − 1, 2, 1 a b∧ =
(
)
− 5, 1,3
. Tích có hướng của hai véc tơ
có tọa
,u v
= = u v
Câu 482: Trong không gian Oxyz , cho
( ) 1; 2;3 ,
(
) − 0; 1;1
− −
1; 1;5
) 5;1; 1−
độ là A. (
B. (
) − − 5; 1; 1
C. (
D. (
) − − − 1; 1; 1
) Lời giải
Ta có
.
= = =
Chọn B u
( ) 1; 2;3 ,
(
) − ⇒ 0; 1;1
(
) − − 5; 1; 1
v , u v
. Khẳng định nào dưới đây đúng?
= − b
Câu 483: Cho
( = −
) 2; 0;1 ,
( 1; 3; 2
)
.
.
−
B.
A.
(
)
)
.
3; 3; 6 1; 1; 2
D.
C.
( − 1;1; 2
)
(
) 3; 3; 6 .
( = − − =
a a b , a b ,
= a b , = − − − a b , Lời giải
Chọn D
Ta có
) 3; 3; 6 .
(
0 1 − 3 2
1 − 2
− 2 1
− 1
2 0 3
(
)
và
là véc-tơ cùng
. Gọi p
= − − − ; a b ; ; =
n = m =
Câu 484: Trong không gian Oxyz , cho hai véc-tơ
(
) 0;0;1
(
hướng với
và
là
) 4;3;1 . Tọa độ của véc-tơ p
−
.
.
9;12;0
− 0; 9;12
0;9; 12−
− 9; 12;0
p = 15 ,m n
B. (
. C. (
A. (
. D. (
)
)
)
) Lời giải
Chọn D
.
(
)
là véc-tơ cùng hướng với
nên
.
Ta có Vì p
, m n − 3; 4;0 =
)
(
2
+
= ⇔ =
.
p
= ⇔ 15
k
2 3
4
15
k
3
.
Vậy
Hơn nữa p =
,m n p k= − 3; 4;0
(
)
Trang 124/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
− 9; 12;0
cho
có
thể
tích bằng 5. Biết
tứ diện ABCD
−
−
. Tính tổng cao độ của các vị trí điểm D tìm đượ
C
B
A
∈ D Oz
Câu 485: Trong không gian Oxyz , ) 2; 1;0 ,
) 3;0;0 ,
( ) 1; 9;0 ,
(
(
C. A. 4 .
B. 2 .
C. 4− .
D. 0 .
Lời giải
Gọi
D
0;0;
) z .
.
Ta có
= =
Chọn D ( AB
)
)
(
(
) ( 1;1;0 ,
⇒
=
=
Lại có
.
AD
2;1;
z
V
AC = − − ⇒ 1; 8;0 AB AC ; − 0;0; 7
;
.
z
( = −
)
ABCD
1 6
7 6
= ⇔ = ±
Suy ra
.
z
5
z
7 6
30 7
và
C
A
B
. Tính diện tích tam giác ABC .
AB AC AD
Câu 486: Trong không gian Oxyz , cho
Vậy tổng cao độ của các vị trí điểm D tìm được bằng 0. ( ) 1;1;1
( ) 1; 2;1 ,
) − 3; 1;1
(
B.
.
C.
A.
S = 3
D. 2 .
1S = .
1 S = . 2
Lời giải
.
)
) − ⇒
(
) 2; 3;0 ;
(
⇒
=
=
.
= − = = AC 0; 1;0 AB AC , 0;0; 2
Chọn C ( AB , AB AC
= ⇒ 2
S
AB AC ,
1
∆
ABC
1 2
− − . Diện tích tam giác OAB bằng
A
− ( 1; 2; 2),
B
(2; 1; 2)
Câu 487: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
3 2
17 2
19 2
15 2
Lời giải
Ta có
suy ra
= OA OB ; 2; 2;3
Chọn B OA
)
( = −
) 1; 2; 2 ;
(
)
( = −
∆
=
=
bằng
Diện tích OAB
S
; OA OB
1 2
17 2
−
A
B
− − 2; 1; 2
. Diện tích tam giác OAB bằng
OB − − 2; 1; 2
Câu 488: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho
(
) 1; 2; 2 ,
(
)
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
17 2
3 2
15 2
19 2
Lời giải
Chọn A
Ta có:
.
)
( = −
)
( = −
) 1; 2; 2 ,
(
=
=
Suy ra
.
.
S
, OA OB
∆
OAB
1 2
17 2 Dạng 05: Xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích của cầu
Trang 125/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
= − − ⇒ − OA OB 2; 1; 2 , OA OB 2; 2; 3
2
2
−
+
+
cho
hai mặt
cầu
và
gian Oxyz ,
S
x
3
y
z
= 9
(
) ( :
)2
2
2
+
+
+
= . Khẳng định nào sau đây là đúng?
S
x
2
y
z
4
Câu 489: Trong ) ( ' :
(
không )2
A. Hai mặt cầu tiếp xúc ngoài. B. Hai mặt cầu tiếp xúc trong. C. Hai mặt cầu không có điểm chung. D. Hai mặt cầu có nhiều hơn một điểm chung.
Lời giải
( ′
′
−
I
R
= 2
R = 3 ) 2;0;0 ,
Chọn A )S có tâm ( I )S′ có tâm ( ′
′
nên hai mặt cầu tiếp xúc ngoài.
Do
) 3;0;0 , ( = = + R R
II
5
thuộc mặt cầu
trục
2
−
−
−
+
+
− . Biết rằng tập
C
A
B
0; 2; 3
2
3
3
S
x
y
z
9
tọa độ Oxyz , cho điểm M ( ) 1;0;0 ,
) 2;1;3 ,
(
(
)
Câu 490: Trong không gian với hệ 2 2 ) )
) ( :
(
)
(
(
2
=
+
là đường tròn cố định, bán kính r của đường
MA
= và ba điểm . MB MC
2.
8
hợp các điểm M thỏa mãn tròn này là.
.
.
B.
C.
D.
A.
r = . 3
r = 6 r = 3
r = . 6 Lời giải
Gọi
Chọn A (
2
2
2
2
+
= ⇔ −
+
+
+
−
−
+
−
=
) M x y z . ; ; MB MC .
2.
MA
8
x
y
z
x
x
y
y
3
z
− − 3
z
8
(
) ( .
)
(
) 1
) ( .
( ) − + − 1
) ( . 2
)
( 2. 2
2
2
2
2
2
2
⇒ ∈
−
+
−
+
−
+
=
.
x
7
z
y
9
( M S
(
(
) 1
)1
3
(1;1;0),
3
:
⇔ + x y Mặt cầu (
R = . 1
I 1
=
Ta có
2 3
− = ⇔ − 2 2 z 0 y x ) : (3;3; 2), R = . Mặt cầu ( S I < + ⇒ cắt cầu ( S ( )
II 1
R R 1
) 1 )1 S )1S theo giao tuyến là một đường tròn.
2
2
2
2
2
2
+
+
−
−
−
−
−
+
−
+
.
P
3
3
2
y
x
z
x
y
z
= ⇔ + + − = y
5 0
0
x
z
(
) 1
(
)
)
(
)
) 1
Đường tròn này nằm trên mặt phẳng ( (
) ( :
2
2
= ⇒ = − =
.
(
)
( d I P ;(
)
2
2
2
−
+
−
+
+
=
đi qua điểm nào dưới
2
3
16
S
x
y
z
) 3 r R d I P ;( ) 6
Câu 491: Trong không gian Oxyz , mặt cầu (
) ( :
)
(
) 1
(
)
đây?
.
A. Điểm
B. Điểm
)
.
D. Điểm
C. Điểm
2;1; 3
M
P
) Q − − − . 2; 1; 1 ) − .
( (
( N − − 2; 1;3 ) ( 2;1;1 Lời giải
Chọn D
2
2
2
−
+
−
+
+
=
.
P
S
x
2
y
z
3
16
(
vào phương trình mặt cầu (
) ( :
)
(
) 1
(
)
) 2;1;1 Thay tọa độ điểm )S đi qua điểm P . Ta có mặt cầu ( Dạng 02: Tọa độ điểm liên quan tính chất đa giác
. Phát biểu
= a b 4; 2;6
Câu 492: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai véc tơ
(
) − 2;1; 3 ,
( = − −
)
nào sau đây sai?
Trang 126/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
.
A.
.
B.
0
.
a= 2
D.
a b = . ngược hướng với b
b
= − 2
b C. a
a . Lời giải
.
Chọn B a b
= − 2
. Tìm x để góc
= = u v 2; 2;0
Câu 493: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho
) x ;0;1 ,
(
(
)
và v
bằng
o60 .
B.
C.
D.
giữa u A.
1x = .
x = . 0
x = ± .
x = − .
1
1 Lời giải
2
o = ⇔ 60
= + ⇔ = x x x u v , cos u v , 2 1 1.
Chọn A Ta có (
)
(
)
x 2 2 1 = ⇔ 2 1 = ⇔ 2 1 = ⇔ 2 + u v . u v . x 2.
và vecto
là
− u = 0;
Câu 494: Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vecto j
) 3;1
B. 30° .
C. 60° .
A. 150° .
1 ( D. 120° .
Lời giải
Chọn A
Ta có
.
)
(
)
(
. Tính
A
B
− 3 = = ⇒ = ° cos j u , , j u 150 2 . j u . j u
Câu 495: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm
( ) 1;1;0 ,
) ( C− 1; 2; 1 ,
(
) 0;1;1
.
góc giữa hai vectơ AB
và AC
A.
B.
C.
D.
060 .
030 .
0 120 .
0 150 .
Lời giải
Chọn B
T a có:
.
(
) − 0;1; 1
) 1;0;1
AB =
Nên
0 120 .
(
)
(
)
= = = cos , AB AC , AB AC 1 = − ⇒ 2 + − 0 0 1 + + 1 1. 1 1 ( AC = − , AB AC . AB AC .
( m= 1;
)
)
,
. Vectơ a
vuông góc với b
b ; 2 − 2; 2; 3 ( a = −
Câu 496: Cho
B.
C.
D.
A.
m = − .
8
m = − .
4
4m = .
khi 2m = .
Lời giải
+
−
Chọn C Vectơ a
vuông góc với b
− khi 2.1 2.
m
3.2 0
= ⇔ = . m
4
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 01: Xác định VTPT
là một vectơ pháp tuyến?
n = − 3;1; 7
Câu 497: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây nhận
(
)
− − 7 z y + − z y 7
+ = . 1 0 − = . 3 0
A. 3 x x C. 3
z+ + = . B. 3 7 0 x y+ − = . D. 3 x 7 0
Lời giải
Trang 127/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn D
− = có một vectơ pháp tuyến là
.
x
+ − y
z
Phương trình mặt phẳng 3
7
3 0
(
)
=
, có một véc-tơ pháp tuyến là?
1
) :
P
n = − 3;1; 7
Câu 498: Trong không gian Oxyz mặt phẳng (
y + + 2
z − 1
−
A.
. B.
.
. D.
− (1;1; 2)
(2; 2; 1)
( 2; 2;1)
n = 3
n = 4
n = − − 2
x 2 n = . C. 1
− − (2; 2; 1) Lời giải
= − ⇔ + −
+ =
Ta có
2
x
y
2
z
2 0
= ⇔ + − x
1
y
2
z
Chọn B x 2
y + + 2
z − 1
.
− (1;1; 2)
Vậy một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (
)P là
n = 4
+
− + = . Véc-tơ nào dưới đây là một
P
x
2
y
2 0
z
Câu 499: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
) : 3
)P ?
.
. B.
. C.
. D.
A.
) − 3; 2; 1
)
(
(
) 3; 2;1
(
véc-tơ pháp tuyến của ( n = 4
3; 2; 2 − 2; 1; 2 n = 3 n = 2 n = 1
) ( Lời giải
.
Chọn D Véc-tơ pháp tuyến của (
)P là
) − 3; 2; 1
(
1; 2;0
n = 1
(
)P
( M −
)
(
)
đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
n = − 4;0; 5
Câu 500: Phương trình mặt phẳng
là
D.
x
z− 5
+ = . 4 0
C. 4
− = . 4 0
x
z− 5
A. 4 x 4
− = . B. 4 y− 5 x 4 0 + = . y− 4 0 5
Lời giải
= ⇔ −
P
:4
x
5
z
4
0
x
5
z
+ = . 4 0
Chọn B Ta có phương trình mặt phẳng (
)
(
) + − 1
P
y+ − = có một vectơ pháp tuyến là
x
1 0
Câu 501: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (
.
A.
. B.
. C.
. D.
n =
n =
2;1;0
( 1; 2;0
)
(
) − 2;1; 1
(
)
) 2; 1;1
3
n = 2
4
) : 2 ( n = − − 1 Lời giải
.
n =
2;1;0
P
x
y+ − = có một vectơ pháp tuyến là
1 0
Chọn D Mặt phẳng (
) : 2
(
)
α
+
−
+ =
. Vecto nào dưới đây là một
x
2
y
4
z
1 0
Câu 502: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
) : 3
.
. B.
. C.
. D.
A.
) − 3; 4;1
(
)
(
) − 2; 4;1
)
(
)α ? vecto pháp tuyến của ( n = 3
3; 2; 4 − 3; 2; 4 n = 2 n = 4 n = 1
( Lời giải
+
−
+ =
.
x
2
y
4
z
1 0
− 3; 2; 4
Chọn C ( ) : 3 α
nên vectơ pháp tuyến của (
)α là
(
)
−
+
− = . Véctơ nào dưới đây là một
2
y
3
z
4 0
) : P x
n = 4
Câu 503: Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (
)P ?
.
.
B.
. C.
. D.
A.
)
( 1; 2;3
)
( − 1; 2; 3
)
( − 1; 2;3
)
− 2;3; 4 n = 1 n = 2 n = 4
Trang 128/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
( n = − 3 Lời giải
−
+
− = nhận
là một véctơ pháp tuyến.
2
3
4 0
y
z
n =
Chọn D Mặt phẳng (
) : P x
( − 1; 2;3
)
1;3;3
C
− 2; 4; 2
( ) A − 1; 2;1
( B −
)
(
)
,
,
. Một
Câu 504: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
ABC
(
)
của mặt phẳng
vectơ pháp tuyến n
.
. B.
. C.
. D.
A.
(
) 9; 4;1
(
) − 9; 4; 1
)
n = n = n = 1;9; 4 ( n = −
là ) ( − 4;9; 1 Lời giải
,
.
(
) − 9, 4, 1
=
làm một vectơ pháp tuyến.
=
Chọn D ( ) AB − 2;5; 2 Mặt phẳng (
(
) − 9, 4, 1
2
x
=
=
d
:
) ( AB AC∧ AC − 1; 2;1 ; ) AB AC∧ ABC nhận
Câu 505: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
)P vuông góc với đường thẳng
− 3
y 1
+ z 2 − 2
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (
)P ?
.
A.
B.
)
) 3; 2;1 −
.
. D.
C.
( (
. )
3;1; 2 − 3; 1; 2 n = 1 n = 3 ( n = − − − 3; 1; 2 2 ) ( n = 4
Lời giải
)P vuông góc với đường thẳng d nên VTCP của đường thẳng d cũng là
.
− 3;1; 2
Chọn C Do mặt phẳng ( VTPT của mặt phẳng (
)P . Vậy một VTPT của mặt phẳng (
)P là
(
)
α
. Vectơ nào sau đây không là
) : 2
x
+ − + = z
1 0
y
n = 3
Câu 506: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
vectơ pháp tuyến của mặt phẳngα?
A.
B.
C.
D.
)
) 2; 1;1
( − 4 4; 2; 2 n ( n − − 2 ( ) − 1 2;1; 1 n
( ) 3 2;1;1 n Lời giải
Chọn C
α
có vectơ pháp tuyến là
, mà
,
x
y
(
) 2; 1;1
− − = − n 2 n 1 ( ) − 1 2;1; 1 n
và
nên
cũng là các vectơ pháp tuyến của mặt phẳngα.
(
)
+ − + = z 1 0 2n 2n
Mặt phẳng ( n 4
) : 2 n 1
α
=
có một vectơ pháp tuyến là
1
= − 4; 2; 2 2
Câu 507: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (
) :
x 2
y + + 3
z − 1
.
A.
. B.
. C.
. D.
n
;1
(
) 2;3;1
(
) − 2;3; 1
(
)
− 3; 2; 6 n = 2 n = 1 n = 4
1 1 = ; 2 3 Lời giải
Chọn D
=
α
vectơ pháp tuyến
.
n
− ; 1
1
− = ⇒ 1 0
Mặt phẳng (
x 2
y 3
z − 1
1 1 ; 2 3
Ta chọn vectơ
y + + 3 n= 6
x = ⇔ + + 2 là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (
)α .
z − 1 (
)
) : n 4
Dạng 03: Vị trí tương đối liên quan mặt phẳng – điểm
α
+
− − =
. Mặt phẳng nào dưới đây
) : 2
x
7
y
1 0
z
= − 3; 2; 6
Câu 508: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
song song với mặt phẳng (
)α ?
+
= .
A. (
P
) : 2
x
7
y
− + z
10 0
B. (
Q x ) :
+ + y
9
z
− = . 2 0
Trang 129/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
−
+
+ + = .
− + = .
C. (
R
) : 2
x
7
y
1 0
z
S D. ( ) : 2
x
7
1 0
z
y Lời giải
+
= .
P
x
y
− + z
Chọn A Mặt phẳng song song với mặt phẳng (
)α là mặt phẳng (
) : 2
7
10 0
α
+
− + =
và
x
2
y
1 0
z
Câu 509: Trong không gian với hệ toạ độ Oxy , cho hai mặt phẳng (
) : 3
+
− − =
x
2
y
1 0
z
( ′ α
) : 3
. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (
)α và (
)′α là
B. Song song với nhau.
A. Vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
//
)α và (
)′α có cùng véc tơ pháp tuyến
nên (
) ′ α α hoặc
)
(
(
) − 3; 2; 1
)
′
′
Lấy
M
M
//
) ( α α .
)
n
Chọn B Hai mặt phẳng ( ( )′ ( ≡α α . (
) 0;0;1
( ) α ∈ ⇒ ∉
α do đó ( (
)
−
+
+
3
4
= 20 0
P
x
y
z
(
) : 2
và
Câu 510: Trong không gian với hệ tọa độ
−
−
+
Q
x
y
z
13
6
= 40 0.
) : 4
,Oxyz cho hai mặt phẳng )P (
(
)Q
(
Vị trí tương đối của
và
là
B. trùng nhau.
A. song song với nhau. C. cắt nhau.
D. vuông góc nhau.
Lời giải
Chọn C
−
−
−
Ta có
4; 13; 6
)Q .
là VTPT của (
)P và (
) 2; 3; 4 ;
)
) ( n ( P
) ( n ( Q
≠
≠
Ta có
nên hai mặt phẳng cắt nhau.
2 4
− 3 − 13
4 − 6
−
cho hai mặt phẳng
= và
không
P
x
3
y
+ + z
10 0
gian Oxyz ,
(
) : 2
−
+
+ = . Khẳng định nào sau đây đúng?
Q
x
y
z
6
2
5 0
Câu 511: Trong ) : 4
(
)P cắt và không vuông góc với (
)Q .
.
)Q . B. ( ) Q .
( Q≡
) //P
D. (
)
A. ( C. (
)P cắt và vuông góc với ( ( ) P
Lời giải
=
=
≠
Ta có
) Q .
, suy ra mặt phẳng (
) //P
(
− 3 − 6
1 2
10 5
Chọn D 2 4
+
+
−
+ = và
2
m
3
y
2
z
5 0
Câu 512: Tìm giá trị của tham số m để hai mặt phẳng (
) P mx :
(
)
− = song song với nhau?
− + y
2
z
1 0
(
) : Q x
B.
C.
D.
A.
m > − 1.
m ≠ − . 1
1m = .
m = − . 1
Lời giải
Chọn D
2
3
≠ ⇔ = −
=
.
Q
m
1
(
)P // (
)
m −
m ⇔ = 1
+ 1
5 − 1
−
+ − =
α
x
3
y
3 0.
z
Câu 513: Trong không gian
− 2 2 ,Oxyz cho mặt phẳng (
) : 2
Mặt phẳng nào sau đây song
song với mặt phẳng (
)?α
Trang 130/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+
+ + =
β
−
+ − =
x
3
y
3 0.
z
y
3
3 0.
z
−
+ − =
−
+ + =
3
x
y
3 0.
z
3
y
2 0.
z
A. ( C. ( γ
) : 2 Q ) : 2 x
B. ( D. (
) : x ) : 2 P Lời giải
Chọn C
=
.
( ( / /α γ vì
)
)
− −
2 2
3 3
1 = ≠ 1
− 3 2
+
tọa độ
2
y
− + = và 3 0
z
,Oxyz cho hai mặt phẳng
(
) : P x
−
4
z
1 0
+ = với m là tham số. Tìm giá trị của tham số thực m để mặt phẳng
Câu 514: Trong không gian ) 1
( + y m
).Q
( (
) − Q x : )P vuông góc với mặt phẳng (
A.
B.
C.
D.
m = − 6.
m = − 3.
1.m =
m = 2.
Lời giải
làm một véc tơ pháp tuyến.
−
làm một véc tơ pháp tuyến.
= − m
Chọn A Mặt phẳng ( Mặt phẳng (
)P nhận )Q nhận
( ) 1; 2; 1 ( − 1; 4;
) 1
n = 1 n 2
.
Theo giả thiết ta có ) ( ⊥ ⇔ Q
(
)
− =
+
−
: 3
4
( + x m
= ⇔ − + − P m m 1 8 1 0 = ⇔ = − 6 0 n n 2. 1
Câu 515: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( + =
+
+
. Với giá trị thực của
4 0
2
2
y
z
) ) α 1 y 2 0 z , )α song song ,m n bằng bao nhiêu để (
( + nx m
)
( (
) β : )β ?
= −
= −
= −
= . B.
= . C.
= . D.
A.
m
3;
n
6
6
m
3;
n
= − . 6
m
n= 3;
m
n
5;
3 2
Lời giải
làm một véc tơ pháp tuyến.
= − 3; m 1; 4
làm một véc tơ pháp tuyến.
= + n m ; 2; 2
Chọn A Mặt phẳng ( Mặt phẳng (
)α nhận )β nhận
( (
) )
Theo giả thiết ta có
m
= − 5
=
.
P
Q
//
)
(
)
(
− +
m 3 ⇔ = n m
1 2
4 2
+
+
+
+
+ = song
− 2 ≠ ⇔ = 4 n + z y 3
2
3
y
6
z
1 0
n 1 n 2
Câu 516: Biết rằng hai mặt phẳng (
) : P x
3 2 + = và ( 1 0
) ( Q m :
) 1
( + x m
)
song với nhau. Giá trị của m bằng
B. 1− .
C. 1.
D. 2 .
A. 0 .
Lời giải
làm một véc tơ pháp tuyến.
)
làm một véc tơ pháp tuyến.
= + + m 1; m 3;6
Chọn C Mặt phẳng ( Mặt phẳng (
)P nhận )Q nhận
( 1; 2;3 (
)
Theo giả thiết ta có 1
m
3
⇔
=
P
Q
m
//
= ≠ ⇔ = . 1
(
)
(
)
+ m 1
+ 2
6 3
1 1
Dạng 04: Tìm tọa độ điểm liên quan đến mặt phẳng, điểm thuộc MP.
Trang 131/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
n = 1 n 2
+ − + = đi qua điểm nào dưới đây?
P
x
3 0
y
z
Câu 517: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (
) :
.
A.
.
B.
.
C.
− . D.
P
M
( Q −
( ) 1;1;1
( ) 1;1; 1
( N − −
) 1; 1;1
) 1;1;1
Lời giải
Chọn D Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các phương án vào phương trình mặt phẳng (
)P
Ta chọn phương án
D.
−
. Điểm nào sau đây
x
2
y
+ − z
= 10 0
Câu 518: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt phẳng (
) : α
không thuộc mặt phẳng (
)α ?
.
A.
.
B.
. C.
. D.
P
0;5; 20
N
2;3;18
2; 3; 2
(
)
( M −
)
(
) − 4; 1;1
( Q −
)
Lời giải
Chon C
Điểm
− 4 2.
1 10
= − ≠ . 3 0
N
(
) − 4; 1;1
không thuộc mặt phẳng (
)α do
(
) − + − 1
α
x
− + − = z
2 0
y
)α ?
Câu 519: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
) : 2
. Điểm nào sau đây thuộc (
A.
.
B.
P
N − − . C.
M
( Q − 1; 2; 2
)
(
( ) 1; 1; 1
( ) − . 1;1; 1
) − − . D. 2; 1; 1 Lời giải
Chọn B
− + − = .
P
x
2 0
y
z
Câu 520: Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (
) :2
A.
.
B.
− . D.
P
M
N − − . C.
( Q − 1; 2; 2
)
(
) − − . 2; 1; 1
( ) 1; 1; 1
( ) 1;1; 1
Lời giải
Chọn B
Thay toạ độ các điểm
,
,
,
Q N M P vào phương trình mặt phẳng (
)P , thấy toạ độ điểm N thoả
mãn.
P
x
y
z
+ − + = . Mệnh đề 3 0
;
Câu 521: Trong không gian Oxyz, cho điểm
thuộc mặt phẳng (
) : 2
( A a b
) ;1
nào dưới đây đúng? a b+ = − .
A. 2
4
B. 2
a b+ = . C. 2 2
a b+ = − . D. 2 2
a b+ = .
4
Lời giải
Vì
+ − + = ⇔ + = − .
A
nên 2
a b
1 3 0
a b
2
2
Chọn C ( P∈
)
+
−
+ =
3
2
1 0
) : P x
y
z
. Điểm nào sau đây không
Câu 522: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (
thuộc mặt phẳng (
)P
A.
. B.
. C.
. D.
.
2;1; 2
4;1;0
Q
1;3;
M
1;1;
( P −
)
( N −
)
9 2
5 2
−
Lời giải
Chọn D
không
2;1; 2
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng (
)P ta thấy tọa độ điểm
( P −
)
thỏa mãn. Nên điểm
2;1; 2
không thuộc mặt phẳng (
)P .
( P −
)
−
−
+ = đi qua điểm nào dưới đây?
2
y
3
z
2 0
Câu 523: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng (
) : P x
Trang 132/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
.
A. Điểm
.
)
( N −
) 1;0;1
−
.
. D. Điểm
C. Điểm
B. Điểm ) 2;1; 1
( P −
Q
M (
( 1;1; 2 ) 3;1;1
Lời giải
−
−
+ =
Chọn C −
+ =
−
2
y
3
z
2 0
Q
3 2.1 3.1 2 0
Ta có
nên mặt phẳng
đi qua điểm
.
(
) : P x
(
) 3;1;1
+
− − =
P
x
5
y
2 0
z
Oz
cắt trục
tại điểm có tọa độ.
(
) :3
Câu 524: Mặt phẳng
3;5;0
0;0; 2
0;0; 2−
A.
.
B.
.
C.
.
D.
(
)
(
)
(
(
) 3;5; 1−
) Lời giải
Chọn C
∈ ⇒ − − = ⇔ = − ⇒ 2 0
2
c
c
M
− 0;0; 2
M
0;0;
Điểm
. Mà
.
( M P
)
(
)
(
) c Oz∈
Oxyz
, mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm
?
A
0;0;2
(
)
Câu 525: Trong không gian
−
− − =
−
− + =
.
A.
.
B.
: 2
x
3
y
3 0
z
x
3
y
2
z
0
+
−
− =
−
−
.
C.
.
D.
x
2
y
3
z
1 0
2
x
y
:
3
z
+ = 9
0
)4 ( α ( )1 α :
)3 ( α : 2 ( )2 α Lời giải
− + =
0
Thế
.
.
A
Chọn C (
)3α 2.0 3.0 2 2 ( −
Suy ra
.
) 0;0;2 vào phương trình mặt phẳng ( )3 A∈ α
điểm
,
. Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn
,
,
4
A − −
2; 1;3
B
C
4;1;3
Câu 526: Cho
(
)
(
)
( D −
) − =
điểm đã cho thuộc mặt phẳng
?
3
y
z
6 0
) ( 2;3;1 1; 2;3 ( ) : α + + x
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
2
4
1
3
Lời giải
Chọn B
4
− − +
− =
:
thuộc mặt phẳng
A⇒
2 1 3.3 6 0
)
+ +
− =
:
không thuộc mặt phẳng
.
B
2 3 3.1 6 2
B⇒
− =
+ +
.
C
C⇒
2; 1;3 ) 2;3;1 )
− =
− + +
.
:
4;1;3
D⇒
4 1 3.3 6 0
Thay lần lượt ( A − − ( ( 1; 2;3 ( D −
1 2 3.3 6 6 : )
điểm trên thuộc mặt phẳng
điểm trong
Vậy có
.
2
4
điểm vào phương trình mặt phẳng ta thấy: )α ( . ( )α )α ( không thuộc mặt phẳng )α ( thuộc mặt phẳng )α (
A
2;3; 4
Oxyz
, cho
và mặt phẳng
có phương
trình
P
Câu 527: Trong không gian
M
A
Oz
z
17
3
y
0
. Tìm toạ độ của điểm
thuộc trục
cách đều điểm
và mặt phẳng
2 x P
0;0; 2
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
0;0; 3
0;0;3
3;0;0
Lời giải
M
0;0;
Gọi
a Oz
Chọn A AM
2; 3;
a
4
Ta có
Trang 133/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Theo đề:
2
2
2
2
| 0
;
a
2
4
4
| a
17 |
a
3
MA d M P
0 2
14 13
a 2 3
2
17 | 2 1
2
2
.
4
182 14
17
a
a
112
a
224
2 a
34
a
289
a
2
a
2
14 13
M
0;0; 2
Vậy
.
Dạng 02: Viết phương trình mặt phẳng không dùng PT đường thẳng
,Oxyz
phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
A
Câu 528: Trong không gian với hệ tọa độ
)α (
(
) 2;1;1
và vuông góc với trục tung là
+ + − = z
4 0.
B.
A.
x = z =
2 . 1.
2 x y =
y 1.
D.
C.
Lời giải
Chọn D
j =
0;1;0
Mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với trục tung nhận vectơ
là
(
)
A
)α (
(
− = ⇔ =
y
1 0
y
1.
vectơ pháp tuyến nên mặt phẳng
có phương trình:
) 2;1;1 )α (
d
:
A
Oxyz
(
)P
, đường thẳng
và điểm
. Mặt phẳng
đi
(
) 2;3;1
Câu 529: Trong không gian
= − + 1 t = − 2 3 t t
d
x y = z có phương trình là:
qua điểm
vuông góc với đường thẳng
A.
.
B.
6 0 z − + =
y z + − =
x −
. 5 0
A + + = z 6 0
2 x
+ 3
3 y
.
6 0 .
C.
D.
+ + = − x y 3 − + z y x 3 Lời giải
Chọn B
d
u =
− (1; 3;1)
+
có VTCP
.
u =
− (1; 3;1)
d
P⊥ (
)
(
)P
+ Vì
suy ra
nhận
làm VTPT
⇒
−
− =
−
(
P
) :1(
− 2) 3(
y
+ 3) 1(
z
1) 0
+ + =
x ⇔ − x
3
y
6 0
z
x
z
3
2
=
=
, cho đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng
d
:
Oxyz
Câu 530: Trong không gian
− 4
+ y 1 − 1
?
. Vec tơ nào dưới đây là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
+ 3 )P
(
(
4;1;3
− 3; 1; 2
− 4; 1;3
3;1; 2
.
. B.
. C.
. D.
A.
(
)
(
)
)
(
)
n = 2
n = 4
)P n = 3
n = 1
( Lời giải
Chọn C
u =
− 4; 1;3
là
.
(
)
(
)d
Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng u =
− 4; 1;3
d
suy ra
Do
là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng
(
)
(
).P
( P⊥
)
Oxyz
A −
( 2;3; 2)
B
(2;1;0)
, cho hai điểm
và
. Mặt phẳng trung trực của
Câu 531: Trong không gian đoạn thẳng
có phương trình là
AB
A.
B.
+ + − = z + −
2 4
x x
− − + = z − − 2
3 0 . + = z 3 0
y y 2
x 2 x 4
. − = 6 0
2
.
C.
.
D.
y 3 0 z y 2 Lời giải
Trang 134/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn A
I
+ Trung điểm của đoạn thẳng
là
(
) 0; 2;1
AB
AB =
− − 4; 2; 2
+
(
)
AB =
− − 4; 2; 2
I
+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
đi qua điểm
và nhận
(
)
(
) 0; 2;1
AB
−
−
−
−
0
2
2
x
z
0
4
2
y
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình xác định bởi: ) − = 1
(
(
) ) ( ⇔ − − + = y
3 0
2
x
z
O
Oxyz
, phương trình mặt phẳng
đi qua điểm
và vuông góc với
)α (
Câu 532: Trong không gian
t
x
d
:
đường thẳng
có dạng là
5
t
= + 3 = + 2 2 t y = − + z
+
+ + =
+
+ − =
x
2
y
+ = z
0
x
y
z
0
x
x
y
z
0
.
A.
. B.
. C.
. D.
− = z y 0 2 Lời giải
Chọn A
d
có vectơ chỉ phương là
( ) 1; 2;1
du =
d
vuông góc với đường thẳng
nên
có một vectơ pháp tuyến là
. )α (
=
.
Đường thẳng ( )α ( ) 1; 2;1
u d
Mặt phẳng α = n ( )
+
O
x
2
y
+ = z
0
Khi đó phương trình mặt phẳng
đi qua
và có vectơ pháp tuyến
là:
.
)α (
)n α (
A
Oxyz
, cho điểm
. Phương trình mặt phẳng
đi qua
(
) 2;5;1
)α (
Câu 533: Trong không gian hệ tọa độ
A
+ + =
và vuông góc với trục x − =
2 0
z − =
1 0
Ox y − =
. 5 0
x
y
z
0
.
A.
B.
.
.
C.
D.
. Lời giải
Chọn A
Ox
Trục
có vectơ chỉ phương là
.
( 1;0;0
)
Oxu =
Ox
vuông góc với trục
nên mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến
)α (
=
.
( 1;0;0
)α ( )
Do mặt phẳng α ≡ u n ( ) Ox
x − =
2 0
Phương trình mặt phẳng
cần tìm là:
.
)α (
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 03: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tương giao
1
x
∆
=
=
Oxyz
:
, cho đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Câu 534: Trong không gian
+ 3
1; 3; 0
.
A.
B.
. C.
.
. D.
(
(
(
( M −
− y z 3 − 2 1 )0;3;1 −M
)0;1;3 −M
)2;1;3 −M
) Lời giải
Chọn C
=
=
∆
Ta có:
Suy ra điểm
thuộc đường thẳng
(
)0;3;1−M
+− 11 3
− 33 − 1
0 2
x
1
=
=
Oxyz
d
:
, đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
Câu 535: Trong không gian
+ 2
− y 2 − 1
z 3
Trang 135/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
(
)
)
)
(
.
A.
.
B.
. C.
. D.
( C −
) − 0; 2; 1
1; 2;0 A − 2; 1;3 B
( D − 1; 2;0 Lời giải
Chọn B
d
.
= ⇔ =
=
A d⇒ ∉
1
.
Chọn B
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng 3 2
= ⇔ =
=
C d⇒ ∈
0 0
.
Chọn B
+ 2 1 2 − + 1 1 2
− − 1 2 − 1 − 2 2 − 1
3 3 0 3
3
x
y
1
∆
=
=
cho đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây?
,Oxyz
:
Câu 536: Trong không gian
− 2 z − 3
+ 1
.
A. Điểm
B. Điểm
.
) .
C. Điểm
D. Điểm
1;3; 2
P
( N − 1; 3; 2 ( ) 1;3; 2
) . )
− 2 ( Q − − 1; 3; 2 ( M − Lời giải
Chọn A
∆
Tọa độ điểm
thỏa mãn phương trình đường thẳng
.
N
d
:
,Oxyz
đường thẳng
đi qua điểm nào dưới đây
Câu 537: Trong không gian
= + 1 t x = + t 2 2 y = − t 3 z
N
M
P
Điểm
A. Điểm
B. Điểm
C. Điểm
D.
(
) 0;0;3 .
(
) 2;4;2 .
( ) − 1;2; 3 .
Q
(
) 2;2;3 .
Lời giải
Chọn B
= +
N
0;0;3
d
Thay toạ độ điểm
vào phương trình đường thẳng
, ta có:
nên
(
)
= − 1 t 0 1 = + ⇔ = − 0 2 2 1 t = −
=
0
t
3 3
t t t
N
0;0;3
.d
điểm
không thuộc đường thẳng
(
)
M
2;4;2
d
Thay
toạ độ điểm
vào phương
trình đường
thẳng
,
ta
có:
(
)
=
= +
2 1 4
t t 2 2
1 1
t
1.
M
2;4;2
.d
nên điểm
thuộc đường thẳng
(
)
=
2 3
1
t
t = + ⇔ = ⇔ = t = − t
=
= +
t
0
0
P
d
Thay toạ độ điểm
vào phương trình đường thẳng
, ta có:
nên
( − 1;2; 3
)
=
= + ⇔ = t 2 2 2 − = − 3 3
t
6
1 1
t t t
P
.d
điểm
không thuộc đường thẳng
( − 1;2; 3
)
=
= +
1
t
2 1
0
Q
2;2;3
d
Thay toạ độ điểm
vào phương trình đường thẳng
, ta có:
nên
(
)
= + ⇔ = 2 2 2 t = = −
t
0
3 3
t t t
Q
2;2;3
.d
điểm
không thuộc đường thẳng
(
)
x
1
=
=
Oxyz
d
:
, đường thẳng
đi qua điểm nào sau đây?
Câu 538: Trong không gian
− 3
+ 2 y − 4
− 3 z − 5
Trang 136/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
−
−
− 1; 2; 3
− − 3; 4; 5
3; 4;5
.
A.
.
B.
. C.
. D.
( 1; 2;3−
)
(
)
(
(
)
) Lời giải
Chọn A
1
y
x
2
z
5
=
=
, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
d
:
?
Oxyz
Câu 539: Trong không gian
− 2
+ 3
− 4
P
M
A.
B.
C.
D.
( ) 1;2;5 .
( ) N − 1; 2;5 .
( Q −
(
) 2;3;4 .
) − 1;2; 5 . Lời giải
Chọn B
Đường thẳng
qua
và có
( N − 1; 2;5
)
vtcp u =
2;3;4
d
(
)
z
1
∆
=
=
, cho đường thẳng
. Gọi
là
:
Oxyz
M
Câu 540: Trong không gian với hệ trục tọa độ
+ 2
∆
+
−
+ =
giao điểm của
với mặt phẳng
− x 2 − 3 . Tọa độ điểm
M
2
y
3
z
2 0
(
) : P x
y 1 là
−
.
A.
. B.
. C.
. D.
M − −
5; 1; 3
M
M
(
) 2;0; 1
(
)
( M −
) 1;1;1
( ) 1; 0;1 Lời giải
Chọn D
=
+
=
= −
3
2
1
y
z
y 1 1
Tọa độ của điểm
M
1
1
z
là nghiệm của hệ:
= −
2
3
2
1
y
z
x ⇔ = y = z
x ⇔ − = 2 y + − x
+
+ =
+ 2 − y
z
2
3
2 0
− x 2 − 3 y = 1 x
Vậy
.
( M −
) 1;1;1
x
3
2
z
A
cho đường thẳng
và hai điểm
,
5;3; 1
,Oxyz
d
:
Câu 541: Trong không gian
1
y 2 1
2
d
ABC
C
B
B
. Tọa độ điểm
thuộc
sao cho tam giác
vuông ở
là
3;1; 2
4;1;0
2;3; 4
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3; 2; 2
5;0; 2
Lời giải
Chọn C
2
x
3
z
.
Vì
; 2
; 2
C
t
t
t 2
C d
:
3
1
2 y 1
2
ABC
.
vuông ở BC
;1
t
t ; 2
t
2; 2;1 ,
B 0
BA BC .
t 2 t 2 2 t 2 0
C
2;3; 4
Tam giác BA BA BC . t
1
y
x
3
−
=
=
B
C
Oxyz
, cho
,
và đường thẳng
.
d
:
( − 1;1; 2
)
( ) 1;0; 1
0 1.
Câu 542: Trong không gian
+ 2
+ 3
+ z 1 − 1
sao cho
cách đều
.
A
−
−
−
A − − −
A
A
3;3; 3
A
.
A.
B.
.
.
C.
. D.
Tìm tọa độ (
thuộc đường thẳng A ( ) 0;1; 1
d ) 1; 3; 1
,B C (
)
( 1;0; 2
)
Lời giải
Trang 137/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn D
− +
− −
A
− + 1 2 ; 3 3 ; 1
t
t
t
d
Vì
thuộc đường thẳng
nên
.
(
)
A
,B C
Do
cách đều
nên ta có :
A
2
2
2
2
2
2
2
2
= ⇔
=
+
−
=
−
+
−
1t⇔ =
AB AC
AB
AC
2
t 3
4
t
t 2
2
t 3
3
( ⇔ − t 2
)
(
)
( + − 1
)
(
)
(
)
( + − t
)
−
A
Khi đó
.
( 1;0; 2
)
−
−
+ =
2
y
3
z
4 0
Oxyz
và mặt phẳng
. Đường
( − − 1, 1, 2
)
(
) : P x
Câu 543: Trong không gian
A
thẳng đi qua
và vuông góc với
đi qua điểm nào dưới đây?
, cho điểm (
A )P
2; 3;5−M
2;3;5
N
Q
2;3; 5−
− − 2; 3; 5
.
A.
. B.
. C.
. D.
(
)
( −P
)
(
(
)
) Lời giải
=
Chọn C ∆ Gọi ∆
là đường thẳng cần lập. ∆
u
Vì
vuông góc với
nên
nhận
là vectơ chỉ phương.
)P
(
( − − 1; 2; 3
)
x
∈
∆
Khi đó phương trình đường thẳng
là
.
( t t
)
= + 1 t = − − 1 2 y = − − 2 3 t z
∆
N
− − 2; 3; 5
Nhận thấy
đi qua điểm
.
(
)
t
= + 1
d
:
3; 2;3
Oxyz
, cho điểm
và đường thẳng
.
( A −
)
Câu 544: Trong không gian với hệ trục
x = y t = − + z 1 2 t
d
.
−
−
3; 2;3
8;3;5
.
A.
C.
B.
.
.
D.
.
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng (
) 2;1; 1−
(
)
(
A , vuông góc và cắt đường thẳng (
) 2;1;1
∆ đi qua ) Lời giải
+
∈
(1;1; 2)
d
H
(1
− + ; ; 1 2 ) t t t
d
Ta có:
. Gọi
là giao điểm của
và ∆.
−
−
.
t
t 2; 2
4)
− = ⇔ =
=
Suy ra AH u
= ⇔ + + − + 4
t 2 4
0
t
t
8 0
t
1
AH⇒
− − 5; 1; 2
.
(
)
Chọn A du = AH ⊥ ⇒ d
= + ( t 4; AH u . d
x
3
2
y
3
z
=
∆
=
:
Do đó
.
− 1
− 2
Nên
.
(
+ 5 ) 2;1; 1− ∉ ∆
A
B
3; 2; 2
Oxyz
đi qua 2 điểm
( ) 1;3;1 ;
(
)
(
)S
Câu 545: Trong không gian với hệ tọa độ
∆
và có tâm nằm trên đường thẳng
đồng thời vuông góc với cả hai đường
đi qua
tìm tâm mặt cầu ( ) N − 1; 1; 2
1
y
=
=
thẳng
và
có phương trình
d
:
d 1 :
2
x 2
− 1
+ z 2 − 5
= x t = − y 1 4 t = + z 6 6 t
−
I − (
;
)
I
(
;
)
I
(
;
)
I
(
;
)
.
A.
. B.
. C.
. D.
9 13 17 ; 4 2 4
9 13 17 ; 2 2 2
9 13 17 ; 4 2 4
9 13 ; 2 4
17 4
Lời giải
Trang 138/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn C
=
=
−
(2;1; 5)
VTCP của
u 1
u 2
2
∆
u
Đường thẳng
đi qua
và có một VTCP là
nên có phương
14;7;9
lần lượt là ( N − 1; 1; 2
− (1; 4;6); )
2, u u 1
1 14
t
x
1 17
t
trình
.
9
t
− +
+
y 2 z ∈ ⇒ + I d
I
t (1 14 ; 1 17 ; 2 9 )
t
t
Do
;A B
2
2
2
2
2
2
2
2
= ⇒ = ⇔ − +
+
+
−
+
−
IA IB
IB
IA
1
t
− 2 2 t
4
t
t
5
t
Do mặt cầu đi qua 2 điểm (
nên ( )
)
(
)
( = + 1
)
( + − t 1 2
)
(
)
⇔ = ⇔ = ⇒
t
;
I
(
4
t 72
)
1 4
(
I
)
;
Vậy tâm mặt cầu
là
.
)S
(
9 13 17 ; 4 2 4 9 13 17 ; 4 2 4 Dạng 01: Câu hỏi liên quan đến VTCP của đường thẳng
= −
x
t 1 2
∆
:
Oxyz
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
;d d 1
Câu 546: Trong không gian
= − 3 y = + t 2 3 z
− −
−
−
2; 3;3
.
A.
.
B.
.
C.
. D.
( 1; 3; 2−
)
(
)
2;0; 3
2;0; 3−
(
(
)
) Lời giải
Chọn A
= −
∆
:
u =
Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
(
) − 2; 0; 3 .
x t 1 2 = − y 3 = + z 2 3 t
u =
Oxyz
, véctơ
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng nào
( − 1; 1; 2
)
Câu 547: Trong không gian
sau đây?
t
x
z
2
=
=
.
A.
.
B.
t
x 1
+ y 1 − 1
− 2
t 1 2
= + 2 = − y = − − z
x
x
1 1 =
=
.
C.
.
D.
t
− 1
− y − 1
− z 2 − 2
t 2 2
= − 1 t = − + 1 y = + z
Lời giải
Chọn A
z
2
u =
=
=
Nhận thấy
là một véctơ chỉ phương của đường thẳng
.
( − 1; 1; 2
)
x 1
+ 1 y − 1
− 2
1
y
x
2
=
=
Oxyz
d
:
, cho đường thẳng
, vectơ nào dưới
Câu 548: Trong không gian với hệ tọa độ
+ 1
− 3
z − 2
d
?
C.
B.
A.
D.
) − 1;3; 2 .
( ) 1;3; 2 .
) 1; 3; 2 .
đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng u = 1
( u = − 4
u = 2
( u = − − 2
( ) − − 1; 3; 2 . Lời giải
Chọn D
Trang 139/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
1
y
x
2
=
=
u =
d
:
Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
( ) − 1;3; 2 .
+ 1
− 3
z − 2
u =
1; 3; 2
Vectơ
cùng phương với vectơ
nên vectơ
cũng là một vectơ chỉ
( − 1;3; 2
)
)
( u = − − 3
3u
.d
phương của đường thẳng
1
y
x
2
=
=
Oxyz
, cho đường thẳng
. Vecto nào dưới đây là một
d
:
Câu 549: Trong không gian
+ 1
− 3
z − 2
vecto chỉ phương của
1; 3; 2
− 1;3; 2
.
A.
. B.
. C.
. D.
)
( 1;3; 2
)
)
)
( u = − 4
d u = 1
u = 2
( u = − − 3
( − − 1; 3; 2 Lời giải
=
1; 3; 2
)
(
)
Chọn D ( u 1;3; 2 3
− ⇒ = − − u 3
=
=
Oxyz
d
:
, vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Câu 550: Trong không gian
x 2
+ y 1 − 3
z 1
u =
u =
u =
.
A.
. B.
. C.
. D.
( − 1; 3; 2
)
( u = −
) − 2;3; 1
) − − 2; 3; 1
(
) − 2;3; 1
( Lời giải
u
d
Ta có
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
. Suy ra:
(
) − 2; 3;1
( = −
) − 2;3; 1
Chọn B u = 1
u= − 1
d
cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
z
1
x
3
=
=
, đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
d
:
Oxyz
Câu 551: Trong không gian
− 2
−
p
2;5; 4
n
− 2; 5; 4
+ 4 q
− − 2; 5; 4
.
A.
.
. C.
B.
. D.
(
) 3;0; 1
( m −
)
(
(
)
y − 5 ) Lời giải
Chọn C
x
z
3
1
=
=
n
− 2; 5; 4
Một vec tơ chỉ phương của đường thẳng
là
.
(
)
d
:
− 2
y − 5
+ 4
, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua
?
N
4;5;3
M
(
)
Câu 552: Trong không gian Oxyz ) − 2;3; 1
(
A.
B.
C.
D.
(
) 3; 4;1 .
( ) 1;1;1 .
(
) 3; 4; 2 .
hai điểm u = 1
và u = 4
u = 3
u = 2
( ) 1;1; 2 . Lời giải
2; 2; 4
)
⇒
N
M
là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
và
.
( 1;1; 2
)
Chọn C ( MN = u = 3
d
d
, tìm vecto chỉ phương của đường thẳng
biết
vuông góc với 2
Oxyz
x
2 3 t
1
3
x
z
:
:
đường thẳng
và
.
d 1
d 2
+ 2
y = = 5
+ 3
t
7; 13;17
2;1;7
7;13; 17
2;1; 5
− −
−
−
−
−
−
.
. B.
A.
.
C.
. D.
Câu 553: Trong không gian = − 3 = + y t = − + 1 2 z )
(
(
)
(
)
(
)
Lời giải
Trang 140/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Chọn A
3;1;2
2;5;3
Ta có VTCP của
là
là
.
1d
)
)
( u = − 1
d
d
d
7;13; 17
=
−
Vì
và
nên VTCP của
là
.
2d ; của u
d⊥ 1
d⊥ 2
( = −
(
=
+
−
−
u = 2 2; u u 1 i 2
OA
j
3
k OB 5 ;
= − 2
) j
k
4
. Tìm một vectơ
Câu 554: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
.
−
−
u =
− 2;5; 9
u =
2;3; 5
u =
.
. B.
A.
. C.
. D.
(
)
chỉ phương của đường thẳng ) 2;5; 1
(
(
AB )
) u = − − − 2; 5; 1
( Lời giải
Chọn A
+
=
−
A
3
j
− ⇒ k 5
2;3; 5
;
(
)
= −
Ta có: OB
i 2 − ⇒ k
4
B
− − 0; 2; 4
.
(
)
= − −
OA 2 j AB
Suy ra
.
) 2; 5;1
(
−
u =
Suy ra đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
.
AB
(
) 2;5; 1
3
x
1
y
=
=
Oxyz
d
:
cho đường thẳng
. Hình chiếu
Câu 555: Trong không gian với hệ tọa độ
+ 2
− 1
− z 1 − 3
d
vuông góc của
trên mặt phẳng
(
−
−
)Oyz là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là u =
2;1; 3
u =
0;1;3
u =
2;0;0
u =
0;1; 3
.
A.
.
B.
. D.
. C.
(
)
(
)
(
)
) ( Lời giải
Chọn B
−
−
∈
⇒ M M
0;
;
A
d
d
Ta có
cắt mặt phẳng
tại
, chọn
và gọi
là hình
B
(
)Oyz
(
) 3;1;1
5 2
7 2
B⇒
chiếu vuông góc của
lên mặt phẳng
.
A
(
)Oyz
(
) 0;1;1
=
−
BM
0;
;
Lại có
. Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm sẽ cùng phương
3 2
9 2
BM
với vectơ
nên Chọn B
1
2
x
z
=
=
Oxyz
d
:
, cho đường thẳng
, mặt phẳng
Câu 556: Trong không gian với hệ trục tọa độ
− 1
y 2
∆
+ =
(
P x ) :
+ − y
2
z
5 0
A −
(1; 1; 2)
và điểm
+ 1 . Đường thẳng đi qua A cắt đường thẳng d và mặt
∆
có một véc tơ chỉ
= +
=
phẳng lần lượt tại M, N sao cho A là trung điểm của MN, biết rằng T
a b
a b ;
u
; 4
. Khi đó, tổng
phương
bằng:
(
)
5T =
T =
10
T = − 5
T =
0
.
A.
.
B.
.
C.
D.
. Lời giải
Chọn A
+
N
∈ M d M
,
− + ( 1
t
t ; 2 ; 2
t
)
Chọn
, gọi
là điểm đối xứng của M quaA.
− − −
−
(3
; 2 2 ; 2
t
t
Khi đó
− +
+ = ⇔ =
3
t 2 2
t 4 2
5 0
t
2
N
)
N P∈ (
Vì
nên ta có:
) t − − − t AM
M
(1; 4; 4)
Suy ra
. Do đó
0;5; 2
Vậy vecto chỉ phương của d là
(0;5; 2) ( u =
)
=
a
b= 0;
10
Do đó,
Trang 141/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
⇒ = + =
a b
T
10
Dạng 02: Viết phương trình đường thẳng biết yếu tố điểm, vectơ, song song hay vuông
góc
−
A
2;1; 3
B
,
.
(
)
(
) 3;0;1
Câu 557: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
t
.
A.
.
B.
. C.
. D.
t t
= − 3 t
t
t
t t
t
= + x 4 = − y 1 = + z 5 4
= + t x 2 = − t y 1 = − − z 3 4
= + t x 4 = − − y 1 = + z 5 4
x = y = + z 1 4
Lời giải
Chọn D
∆
∆
AB =
,A B
Gọi
là đường thẳng đi qua
thì
nhận
làm vectơ chỉ phương. Do đó
( − 1; 1;4
)
loạiChọn D và
C.
2
x
z
3
∆
=
=
Phương trình chính tắc của
là:
.
− 1
− 1 y − 1
+ 4
∆
∈ ∆
4; 1;5
Ta thấy
nên
có phương trình tham số là:
.
( M −
)
t
t
= + 4 t x = − − 1 y = + z 5 4
và vuông góc với mặt phẳng
( A − 1; 2;0
)
Câu 558: Viết phương trình đường thẳng đi qua
−
+
+ =
2
y
2
z
1 0
.
(
) : P x
1
x
−
+
+ =
=
=
x
2
y
2
z
3 0
.
B.
A.
.
− 1
+ y 2 − 2
z 2
1
x
−
+
− =
=
=
x
2
y
2
z
3 0
.
D.
C.
.
− 1
− y 2 − 2
z 2
Lời giải
Chọn B
−
+
+ =
d
2
y
2
z
1 0
và vuông góc với mặt phẳng
nên
Đường thẳng
đi qua
)
(
) : P x
( A − 1; 2;0 u =
d
d
có véc tơ chỉ phương là
. Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng
là:
( − 1; 2;2
)
x
1
=
=
.
− 1
+ y 2 − 2
z 2
−
A
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
và vuông góc với mặt phẳng
( 1; 4; 7
)
Câu 559: Trong không gian
+
−
− =
x
2
y
2
z
3 0
có phương trình là
4
y
1
x
1
y
x
4
=
=
=
=
.
.
B.
A.
1
x
1
y
4
=
=
=
=
.
.
D.
C.
+ 4 − y 4 − 2
− z 7 − 7 + z 7 − 2
+ 1 − 1
− 1 − x 1
− 2 − 2
− z 7 − 2 + z 7 − 2
Lời giải
Chọn D
+
−
− =
x
2
y
2
z
3 0
:
−
−
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng u =
A
, mà đường thẳng đi qua điểm
nên phương trình đường thẳng là:
( 1; 2; 2
)
( 1; 4; 7
)
x
1
y
4
=
=
.
− 1
− 2
+ z 7 − 2
Trang 142/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
P
x
− + + = z
5 0
y
Oxyz
, cho điểm
. Đường
( M −
(
) : 2
Câu 560: Trong không gian
thẳng đi qua
và vuông góc với mặt phẳng
có phương trình là
) 1;3;2 và mặt phẳng )P (
M
= − +
= − +
= +
1 2 t
1 2 t
.
A.
. B.
. C.
. D.
= − 2 t = − + 1 3 t
t t
t t
1 2 t
x 1 2 t = − − y t 3 = − + z t 2
x = + 3 y = + 2 z
x = − 3 y = + 2 z
x y = + z
Lời giải
Chọn B d
Gọi
là đường thẳng cần tìm.
n =
Mặt phẳng
có véc tơ pháp tuyến
.
(
) − 2; 1;1
(
d
)P n
d
Vì
là véc tơ chỉ phương của
.
) ⊥ ⇒ P
(
= − +
−
⇒
d
Mà
đi qua
.
M
1;3;2
d
:
(
)
1 2 t t t
x = − 3 y = + 2 z
Oxyz
−
, đường thẳng đi qua điểm
và nhận véctơ
Câu 561: Trong không gian
u =
2; 4; 3
( M − 1; 2;3
)
(
)
làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc là
y
2
x
1
x
2
z
3
=
=
=
=
.
.
B.
A.
x
2
x
1
=
=
=
=
.
.
D.
C.
+ 4 + y 4 − 2
− z 3 − 3 − z 3 3
− 2 + 1
− 1 + 2
− y 4 − 2 − y 2 4
+ 3 + 3 z − 3
Lời giải
Chọn A
−
Đường thẳng đi qua điểm
và nhận véctơ
làm véctơ chỉ phương có
u =
2; 4; 3
( M − 1; 2;3
)
(
)
x
1
y
2
=
=
phương trình chính tắc là
.
− 2
+ 4
− 3 z − 3
Oxyz
, đường thẳng đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương
( A − 1; 2;3
)
Câu 562: Trong không gian tọa độ
u =
− − 2; 1; 2
có phương trình là
(
)
1
x
x
1
=
=
=
=
.
A.
.
B.
z
2
=
=
=
=
.
C.
.
D.
+ 2 − x 1 − 2
− y 2 − 1 + y 2 − 1
+ z 3 − 2 − 3 2
− 2 − x 1 − 2
+ y 2 − 1 + y 1
− z 3 − 2 − z 3 − 2
Lời giải
Chọn B
u =
− − 2; 1; 2
Đường thẳng đi qua điểm
và có véc-tơ chỉ phương
có phương trình
(
)
( A − 1; 2;3
)
x
1
=
=
− 2
+ 2 y − 1
− 3 z − 2
HAI MẶT PHẲNG VUÔNG
Dạng 03: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Trang 143/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
,B SA vuông góc với đáy. Góc
Câu 563: Cho hình chóp
giữa hai mặt phẳng (
.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại ) ABC là
SBC và ( )
A. SBC .
B. SCA .
C. SAB .
D. SBA .
Lời giải
Chọn D
S
C
A
B
.
Ta có
(
)
⇒ ⊥ ⇒ ⊥ BC SAB BC SB ⊥ BC AB ⊥ BC SA
.
) ( ,
)
) ( ( SBA ABC SBC
.S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với đáy. Góc
⇒ =
Câu 564: Cho hình chóp
) ABC là
giữa hai mặt phẳng (
SBC và ( )
C. SAB .
B. SCA .
A. SBC .
D. SBA .
Lời giải
Chọn D
=
.
ABC
SBC
SBA
Có (
)
và BC BD=
. Gọi I là trung điểm của CD . Khẳng định nào
)( ) ( ; Câu 565: Cho tứ diện ABCD có AC AD=
ABD là CBD .
BCD là góc giữa hai đường thẳng AI và BI .
ABC và ( ) ACD và ( )
) )
⊥
.
BCD
AIB
⊥
.
sau đây sai? A. Góc giữa hai mặt phẳng ( B. Góc giữa hai mặt phẳng ( ( C. ( ( D. (
) ) ACD
) ) AIB
Trang 144/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Lời giải
Chọn A
A
B
D
I
C
∩
=
ABD
ABC
AB
- Ta có: (
(
)
Nhưng
ABD không thể là CBD .
do đó góc giữa hai mặt phẳng (
ABC và ( )
)
∩
=
ACD
)
tính chaát tam giaùc caân
- Ta có:
tính chaát tam giaùc caân
⊥ BI CD
( ) BCD CD ( (
) ⊥/ BC AB ⊥/ BD AB ( ⊥ AI CD
BCD là góc giữa hai đường thẳng AI và BI .
) ) ACD và ( )
Do đó góc giữa hai mặt phẳng (
)
Nên B đúng.
⊥
⊥
nên
.
- Ta có:
CD
AIB
BCD
AIB
(
)
. Do đó (
)
(
)
tính chaát tam giaùc caân ⊥ AI CD
( (
) )
Vậy C đúng.
tính chaát tam giaùc caân ⊥ BI CD
⊥
⊥
nên
.
- Ta có:
CD
AIB
ACD
AIB
(
)
. Do đó (
)
(
)
tính chaát tam giaùc caân ⊥ AI CD
( (
) )
Vậy D đúng.
=
=
=
BC a=
2
= .S ABC có SA SB SC AB AC a
= và
. Tính góc giữa hai
tính chaát tam giaùc caân ⊥ BI CD
Câu 566: Cho hình chóp
đường thẳng AB và SC .
.
. D.
,
,
B. (
) 0 AB SC = 90
. C. (
) 0 AB SC = 60
.
,
) 0 A. ( AB SC = , 30 ) 0 ( AB SC = 45
Lời giải
Chọn C
Trang 145/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
S
a
A
C
Ta có:
a 2
B = . AB SC AB SC
(
−
⇒
=
=
=
cos
AB SC ,
(
)
AB SC . AB SC .
. .cos
− SB SC SA SC . . . AB SC
2
2
2
=
=
⇒
=
+
⇒ ∆
.
Mặt khác
SB SC = .
0
2
BC
SB
SC
SBC
vuông tại S , tức
=
đều, do đó
SAC
2
0
) , AB SC ( ). SB SA SC AB SC .
.
Lại có SA SC AC a = SA SC SA SC .
= SB SC a BC a ; = ⇒ ∆ = ) SA SC ,
(
2
−
0
=
=
.
Vậy
,
cos
AB SC ,
0 120 .
Do đó (
) 0 AB SC = 60
)
) ( , AB SC
(
a 2 a a .
1 = − ⇒ 2
⊥
(
)
ABCD
.S ABCD có cạnh bên
và ABCD là hình chữ nhật. Biết
= = .cos . a a . .cos 60 a 2
Câu 567: Cho hình chóp
=
=
=
SAC và mặt phẳng đáy. Giá trị
SB
2 ,
a AB
a BC 3 ,
4
a
SB và góc α là góc giữa mặt phẳng (
)
của tanα bằng
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
5 6
6 5
3 4
4 3
Lời giải
Chọn C
Kẻ
.
=
=
=
⇒
=
=
=
α
Ta có
.
HB
tan
. BA BC 2
2
3 .4 a a a 5
12 a 5
SB BH
5 6
+
BA
BC
2 a 12 a 5
SA
a= 2
.S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,
và SA vuông góc với
⊥ ⇒ =α BH AC SHB
Câu 568: Cho hình chóp
Trang 146/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
đáy. Tính cosα với α là góc tạo bởi hai mặt phẳng (
) ABCD .
SCD và ( )
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
1 3
2 3
2 5 1 5
Lời giải
Chọn A
⊥
⊥
ta được
.
SA
SAD
(
(
)
⊥
, đồng thời
ABCD
CD
SAD
) suy ra SA CD⊥ ABCD Ta có SCD và ( ) Xét hai mặt phẳng (
, cùng với CD AD⊥ ) ) ABCD ta có
( = CD SCD
CD )
(
(
)
2
2
=
+
=
. Độ dài
SD
SA
AD
a
5
do vậy góc tạo bởi hai mặt phẳng trên là SDA
=α
.
Ta có
= = α cos AD SD 1 5
Câu 569: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt SCD . Mệnh đề nào sau đây
) SAB và (
)
phẳng vuông góc. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng ( đúng?
=α
=α
=α
=α
.
A.
.
B.
. C.
. D.
tan
tan
tan
tan
2 3 3
2 3
3 3
3 2 Lời giải
Chọn D
Gọi
⊥
∩
=
⊥
. Suy ra
.
ABCD
SAB
SAB
ABCD
AB
Ta có: SH AB⊥
, (
)
)
(
)
)
(
⊥
⊥
⊥
Do đó:
. Suy ra
, mà
.
AB
SHM
SHM
SAB
SCD
AB SH MN
,
,H M lần lượt là trung điểm của , ( (
,AB CD . ) ( )
//AB CD nên (
SH )
ABCD ) ( ,
(
)
.
Vậy MSH =α
Trang 147/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
a
3
=
=
α
.
Xét tam giác SMH vuông tại H có:
, HM a= . Suy ra
tan
SH =
HM HS
2 3 3
2
′
và
A BC ,
a= 2
Câu 570: Cho hình lăng trụ đứng
′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A BC′
ABC A B C′ . Góc giữa hai mặt phẳng (
) ABC bằng
và (
)
AA a′ = 3.
A. 60° .
B. 30° .
C. 45° .
D. 90° .
Lời giải
Chọn A
⇒
Gọi M là trung điểm của
BC
⊥ AM BC
.
Có
(
)
=
′ A BC
ABC
′ . AMA
Do đó (
′ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ BC ′ A AM BC A M . ⊥ BC AM ′ ⊥ BC AA
)
)( ) ( ,
⇒
=
=
vuông cân tại
Lại có ABC∆
A
AM
a .
BC 2
a
=
=
=
Xét A AM′∆
vuông tại A có ′ AMA
tan
3 ′ AMA
= ⇒ 3
° 60 .
′ AA AM
a
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
Dạng 03: Xác định góc giữa mặt phẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường thẳng,
vectơ-vectơ
′
′ có tất cả các cạnh bằng nhau
ABC A B C′ .
Câu 571: Cho hình lăng trụ đứng
′ A B C′
) ′ bằng
C. 60° .
Góc giữa đường thẳng AB′ và mặt phẳng( A. 30° . B. 90° .
D. 45° .
Lời giải
Chọn D
′
′
′
′ =
AD a=
2
AA
a 3
ABCD A B C D .
′ có AB a= ,
,
Câu 572: Cho hình hộp chữ nhật
Trang 148/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Góc giữa đường thẳng A C′
) ABCD bằng
A. 30° .
B. 45° .
và mặt phẳng ( C. 90° .
D. 60° .
Lời giải
Chọn D
′
′
=
Ta có:
.
A C AC ,
,
) ′ = A CA
)( ( A C ABCD
2
2
2
=
+
=
=
+
.
Mà:
) ( 22 a
a
a
3
AC
′
=
° .
,
60
A CA
) ′=
)( ( A C ABCD
AB AD ′ AA 3 a = AC a 3
⊥
.S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và
.
SA
ABCD
= = ° . Vậy tan ′ A CA = ⇒ 3 ′ A CA 60
Câu 573: Cho hình chóp
(
)
Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (
) ABCD là
A. ASD .
B. DAS .
D. SDC .
C. SDA .
Lời giải
Chọn C Hình chiếu của SD lên mp (
ABCD là AD nên góc giữa SD và mặt phẳng (
)
) ABCD là góc
Trang 149/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
SDA .
KHOẢNG CÁCH
Dạng 03: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Câu 574: Cho hình chóp
.S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc với mặt SAB nhận giá
)
phẳng đáy, SA a= . Gọi M là trung điểm của CD . Khoảng cách từ M đến ( trị nào trong các giá trị sau?
2
a
A.
C.
D.
a
2.
B. 2 .a
.a
.
2
Lời giải
Chọn D
Ta có
AB
) ( //CD SAB .
)
=
Từ đó suy ra
)
)
SAB nên ( ( d D SAB ;
⊥
suy ra
=
= . Vậy
Suy ra
a= .
AD a
) )
)
)
( ⊂ //CD AB , mà ) ( ( d M SAB ; , AD SA⊥ Ta có AD AB⊥ ) ( ( d D SAB ;
′
) ( AD SAB ( ( d M SAB ; ABC A B C′ .
′ có cạnh đáy bằng 2a . Khoảng cách từ B đến
Câu 575: Cho hình lăng trụ tam giác đều
bằng
′ ACC A′
mặt phẳng (
)
D. 3a .
B. 2 2a .
C. 2a .
A. 2a .
Lời giải
Chọn D
3
2
′
⊥ ⇒
=
=
=
Kẻ
.
,
3
BH AC
BH
a
( ′ d B ACC A
)
a 2
CẤP SỐ NHÂN
Trang 150/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Dạng 03: Tìm các yếu tố cụ thể trong cấp số nhân
q = − . Giá trị của
2
u = và công bội 3
Câu 576: Cho cấp số nhân (
)nu với 1
4u bằng?
.
A. 12 .
B. 24 .
C. 24−
D. 12−
. Lời giải
Chọn C
3
=
=
−
= −
Ta có
.
3.
2
24
u
(
)3
4
1. u q
= . Công bội q của cấp số nhân là 8
Câu 577: Một cấp số nhân (
u= 22;
A.
B.
C.
D.
)nu có 1 u q = . 6
q = . 2
q = . 4
q = . 3 Lời giải
Chọn D
=
=
Công bội q của cấp số nhân đã cho là
q
= . 4
8 2
u 2 u 1
có công bội là
= u 81
Câu 578: Cấp số nhân (
)nu có
4
u= 59,
A. 3 .
B. 72 .
C. 18 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
3
=
=
9
9
4
⇔
Ta có
.
9
⇒ = q
4
=
81
=
81
u u 5
u = và 8 4
. u q 1 . u q 1 )nu với 1 Câu 579: Cho cấp số nhân (
u = . Công bội của cấp số nhân đã cho bằng 2
A.
.
B.
D. 2 .
C. 2− .
1 2
1 − . 2
Lời giải
Chọn A
= ⇒ =
Ta có
u
q
2
u q . 1
1 = . 2
u 2 u 1
q = − . Giá trị của
2
u = và công bội 5
Câu 580: Cho cấp số nhân (
2u bằng
)nu với 1
.
D.
A. 7 .
B. 10−
C. 3 .
5 − . 2
Lời giải
Chọn B
=
=
= −
Ta có
.
u
5.
− 2
10
(
)
2
u q 1.
. Tìm công bội
.q
= − 54
Câu 581: Cho cấp số nhân (
)nu có 1 u
.
u= 42,
A. 9− .
B. 3 .
C. 3− .
D. 27−
Lời giải
=
=
=
Chọn C )nu ta có: Với cấp số nhân ( = 2
2
⇔
⇔
⇔
.
3
3
2 = −
= −
= −
54
54
q
27
4
u 2 1 = − q 3
u 1 u
u 1 u q . 1
Số hạng
q =
4.
u = và công bội 3
Câu 582: Cho cấp số nhân (
u 1 )nu có số hạng đầu 1
5u có giá trị bằng
Trang 151/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
A. 3072.
B. 768.
C. 972.
D. 324.
Lời giải
Chọn B
4
4
=
=
=
Ta có
3.4
768.
u 5
u q 1.
4u
và số hạng thức hai
. Giá trị của
bằng
u = 3 u = − 6 2
Câu 583: Cho cấp số nhân (
.
)nu có số hạng đầu 1 B. 12−
C. 24−
D. 12 .
A. 24 .
. Lời giải
Chọn C
3
= ⇒ =
= − ⇒ =
= −
Ta có
.
u
q
u
2
24
2
u q . 1
4
u q 1
u 2 u 1
q = . Giá trị của
4
Câu 584: Cho cấp số nhân có số hạng thứ 2 là
20u bằng
1 2
20
.
.
u = , công bội 2
B.
. C.
. D.
A.
u
u
u
u
20
20
20
20
1 2
1 2
1 2
=
=
16
=
17
=
19 1 2 Lời giải
Chọn A
Ta có
19
=
=
=
.
Ta có
u
8.
20
u q . 1
1 2
1 2
19
16
= = . 8 u 1 u 2 q
;
. Giá trị của
3u bằng
64 u = − 8 2 u = 5
Câu 585: Cho cấp số nhân (
)nu biết
.
B. 32 .
D. 16 .
A. 16−
C. 32−
. Lời giải
Chọn D
3
=
Ta có
⇒ = − .
2
q
u 5 =
Vậy
u q 2. u q 2.
q = − . Tính số hạng
2
= 16 u 3
3
Câu 586: Cho cấp số nhân (
)nu có số hạng đầu
2u của cấp số
đó.
u = và công bội 1
B. 1.
A. 6 .
C. 5 .
D. 6− .
Lời giải
Chọn D
=
=
Ta có:
u
3.
− 2
= − . 6
(
)
2
u q 1.
2
tích bề mặt đế tháp. Biết diện tích bề mặt đế tháp là
Câu 587: Nguời ta thiết kế một cái tháp gồm 10 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng 1 bằng nửa diện 12288 m , diện tích bề mặt trên cùng của
tháp bằng
2
2
B.
C.
D.
A.
23m .
26 m .
12 m . 24 m .
Lời giải
Chọn B Gọi S là diện tích mặt đáy. Khi đó
Trang 152/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
;
S .
T 1
= . ; S T 1
1 2 1 2 1 2
= = . ; S T 2 .T 1 1 2 2
...
2
Vậy diện tích bề mặt trên cùng của tháp bằng
= = = .12288 12 . S T 10 1 10 2 1 10 2
12 m .
CẤP SỐ CỘNG
Dạng 03: Tìm các yếu tố cụ thể trong cấp số cộng
;
thì 11u bằng
u = 3 24 u = 8
Câu 588: Cho dãy số (
)nu là cấp số cộng với 1
A. 33 .
B. 30 .
C. 32 .
D. 28 .
Lời giải
Chọn A
⇔ +
=
Ta có:
3 7
d
24
d⇔ = 3.
= 24 d 24 u = 8
Ta có 11
và số hạng thứ hai
. Tính số hạng thứ tư
= = ⇔ + u 1 7 = + u 3 3.10 33 d + 1 10 u
13
Câu 589: Cho cấp số cộng có số hạng đầu
4u
của cấp số cộng đã cho.
.
.
u = 1 10 u = 2
B.
.
C.
.
D.
A.
20 18 19 16 u = 4 u = 4 u = 4 u = 4
Lời giải
Chọn B
Ta có
.
4
2
= − = = = = + = , d u u 10 3.3 19 + 1 3 d u
d = . Giá trị của
4
u = và công sai 7
Câu 590: Cho cấp số cộng (
2u bằng
− 1 13 10 3 u )nu với 1
C.
.
A. 11.
B. 3 .
D. 28 .
7 4
Lời giải
Ta có:
.
+ = + =
Chọn A u
2
7 4 11 d u= 1
d = . Số hạng thứ 10 của dãy
3
u = − và công sai 2
Câu 591: Cho cấp số cộng (
)nu có số hạng đầu 1
.
.
.
C.
9 2.3
u = 28 u = 25 u = − 29
A. 10
B. 10
. D. 10
u = − 10
Lời giải
Chọn B
=
Ta có:
.
d
= − + 2
= 9.3 25
)
(
u 10
+ 1 9 u
d = . Giá trị của
5
u = và công sai 2
Câu 592: Cho cấp số cộng (
4u bằng
)nu có số hạng đầu 1
A. 12.
B. 17.
C. 22.
D. 250.
Lời giải
Chọn B
=
+
−
Công thức tổng quát của cấp số cộng là:
với
n
d
,
n ≥ . 2
(
) 1
nu
u 1
Trang 153/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
−
2
n = nên thay vào công thức ta được:
d = và 5
4
(
) 4 1 .5 17.
Theo bài, ta có: 1
u = + 4
u = , 2
và
. Số 11 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số
= 84
Câu 593: Cho cấp số cộng (
)nu có
cộng đã cho?
u = 1 123 u 3 u− 15
A. 17.
B. 16.
C. 18.
D. 19.
Lời giải
Chọn A
−
= ⇔ +
−
+
Ta có:
d
d
= ⇔ = − . d
84
2
14
84
7
)
(
u 3
u 15
u 1
u 1
Số hạng tổng quát:
.
Ta có:
.
nu = ⇔ = 17
+ n = − 7 130
nu
11 n
PHÉP ĐẾM
Dạng 01: Quy tắc cộng
Câu 594: Lớp 10A có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh của
lớp 10A để làm lớp trưởng?
A. 300 .
B. 15 .
D. 20 .
C. 35 .
Lời giải
+
=
học sinh.
Chọn C Lớp có 20 15 35
.
Suy ra số cách chọn một học sinh của lớp 10A để làm lớp trưởng là
35
1 C = 35
Câu 595: Có 3 cây bút đỏ, 4 cây bút xanh trong một hộp bút. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra một cây bút
từ hộp bút?
B. 4 .
C. 12 .
A. 7 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A Chọn 1 cây bút từ 7 cây bút nên có 7 cách chọn.
Câu 596: Một tổ có 6 học sinh nữ và 8 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học
sinh của tổ đó đi trực nhật?
C. 14 .
A. 28 .
B. 48 .
D. 8 .
Lời giải
+ =
.
Chọn C Số cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đi trực nhật là 6 8 14
Câu 597: Có 3 cuốn sách Toán khác nhau và 4 cuốn sách Vật lí khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
một cuốn sách trong số các cuốn sách đó?
A. 12 .
D. 4 .
B. 7 .
C. 3 .
Lời giải
Chọn B Chọn 1 cuốn sách trong 7 cuốn sách ( 3 cuốn sách Toán và 4 cuốn sách Vật lý) có 7 cách chọn.
Câu 598: Trường THPT A, khối 12 có 11 lớp, khối 11 có 10 lớp và khối 10 có 12 lớp. Thầy Tổ trưởng
tổ Toán muốn chọn một lớp để dự giờ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn?
C. 11.
B. 33 .
D. 10 .
A. 3 .
Lời giải
Chọn B
Trang 154/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+
=
+
cách.
TH 1: Chọn 1 lớp trong 11 lớp của khối 12 có 11 cách. TH 2 : Chọn 1 lớp trong 10 lớp của khối 11 có 10 cách. TH 3 : Chọn 1 lớp trong 12 lớp của khối 10 có 12 cách. Theo quy tắc cộng ta được: 11 10 12 33
Câu 599: Trên kệ sách nhà bạn Lan có 7 quyển sách Toán khác nhau, 8 quyển sách Vật lý khác nhau và 9
quyển sách Lịch sử khác nhau. Hỏi bạn Lan có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc
A. 9.
B. 8.
C. 24.
D. 7.
Lời giải
+ + =
quyển. Số cách chọn 1 quyển sách để đọc: 24 cách.
Chọn C Tổng số quyển sách: 7 8 9
24
Câu 600: Một trường trung học phổ thông có 26 học sinh giỏi khối 12 và 43 học sinh giỏi khối 11, 59 học sinh giỏi khối 10 . Vậy nhà trường có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh giỏi để đi dự trại hè? A. 23
B. 128
D. 69
C. 43
Lời giải
+
+
=
cách chọn.
Chọn B Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 12 có 26 cách chọn. Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 11 có 43 cách chọn. Trường hợp 3: Chọn 1 học sinh giỏi của khối 10 có 59 cách chọn. Theo quy tắc cộng có 26 43 59 128
Câu 601: Tổ I có 6 học sinh nam, 4 học sinh nữ; tổ II có 5 nam, 5 nữ. Có bao nhiêu cách chọn mỗi tổ một
học
sinh lên bảng?
A. 100.
B. 600.
C. 20.
D. 72.
Lời giải
+ = + =
.
=
cách.
Chọn A Số lượng học sinh tổ I là: 6 4 10 . Số lượng học sinh tổ II là: 5 5 10 Số cách chọn mỗi tổ một học sinh là 10.10 100
Câu 602: Một hộp có chứa 12 bi đỏ, 9 bi xanh và 8 bi vàng. Số cách chọn được một bi trong hộp đó là:
C. 108 .
A. 96 .
B. 864 .
D. 29 .
Lời giải
Chọn A Để chọn được 1 bi trong hộp: TH1: Chọn được bi đỏ có 12 cách. TH2: Chọn được bi xanh có 9 cách. TH3: Chọn được bi vàng có 8 cách. + + = Theo quy tắc cộng ta có: 12 9 8 29
Câu 603: Một bó hoa có 6 hoa hồng trắng, 7 hoa hoa hồng đỏ và 8 hoa hồng vàng. Hỏi có mấy cách
chọn lấy một bông hoa.
D. 21 .
C. 42 .
B. 48 .
A. 336 .
Lời giải
Chọn D Chọn một bông hoa hồng trắng có 6 cách. Chọn một bông hoa hồng đỏ có 7 cách. Chọn một bông hoa hồng vàng có 8 cách.
Trang 155/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
+ + =
cách.
Theo quy tắc cộng có 6 7 8 21 Dạng 02: Quy tắc nhân
Câu 604: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số?
A.
B. 81.
C. 100 .
D. 90 .
2 10C .
Lời giải
.
Chọn D Số tự nhiên có hai chữ số có 9.10 90=
Câu 605: Tập A gồm 8 phần tử. Hỏi A có bao nhiêu tập con?
C.
D.
A.
82 .
B. 8!.
2 8A .
2 8C .
Lời giải
Chọn C Số tập con của n phần tử là 2n nên A có
82 tập con.
Câu 606: Trong tủ quần áo của bạn Ngọc có 10 cái áo sơ mi đôi một khác nhau và 5 cái chân váy với hoa văn khác nhau. Bạn Ngọc muốn chọn ra một bộ quần áo để đi dự tiệc sinh nhật. Hỏi bạn Ngọc có bao nhiêu cách chọn?
A. 10 .
B. 50 .
D. 15 .
C. 5 .
Lời giải
cách.
Chọn B Chọn 1 cái áo sơ mi trong 10 cái áo sơ mi có: 10 cách. Chọn 1 cái chân váy trong 5 cái chân váy có: 5 cách. Theo quy tắc nhân có: 10.5 50=
Câu 607: Một hộp đồ bảo hộ có 10 chiếc khẩu trang và 3 mặt nạ chống giọt bắn. Có bao nhiêu cách chọn
một chiếc khẩu trang và một mặt nạ chống giọt bắn từ hộp đồ bảo hộ trên.
A. 10 .
B. 30 .
C. 13 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn một chiếc khẩu trang và một mặt nạ chống giọt bắn từ
hộp đồ bảo hộ trên là 10.3 = 30 cách.
Câu 608: Đi từ A đến B có 3 con đường,đi từ B đến C có 4 con đường.Hỏi đi từ A đến C có bao cách đi?
A. 7.
B. 8.
C. 10.
D. 12.
C
A
B
Lời giải
. Vậy Chọn D
Chọn D Theo quy tắc nhân ta có số cách đi từ A đến C là: 3.4 12=
cái áo khác nhau, 4 chiếc quần khác nhau, 3 đôi giầy khác nhau và 2 chiếc mũ khác
5
Câu 609: Bình có
nhau. Số cách chọn một bộ gồm quần, áo, giầy và mũ của Bình là
A. 120.
B. 60.
C. 5.
D. 14.
Lời giải
Chọn A
Để chọn được bộ quần áo theo yêu cầu bài toán phải thực hiện liên tiếp các hành động:
+ Hành động 1: Chọn Ahiếc áo: Có 5 cách chọn.
Trang 156/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
+ Hành động 2: Chọn Ahiếc quần: Có 4 cách chọn.
+ Hành động 3: Chọn đôi giầy: Có 3 cách chọn.
=
cách chọn.
+ Hành động 4: Chọn Ahiếc mũ: Có 2 cách chọn. Vậy theo qui tắc nhân, có 5.4.3.2 120
A =
. Từ tập A , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số
Câu 610: Cho tập
{
} 2;3; 4;5
khác nhau?
A. 12 .
D. 24 .
B. 18 .
C. 8 .
Lời giải
.
Chọn A Số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau lập từ tập A là 2.3.2 12=
Câu 611: Từ các số 0,1, 2,3,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5 gồm 4 chữ
số khác nhau?
A. 120 .
D. 54 .
B. 72 .
C. 69 .
Lời giải
Chọn D
Gọi số cần tìm có dạng abcd .
.
d ∉
d có 3 cách chọn,
}0,5 {
≠
a
0,
a
a có 3 cách chọn,
≠
b có 3 cách chọn,
b
a b ,
≠ . d ≠ . d
≠
≠
a c ,
d c ,
≠ . b
có 2 cách chọn, c ⇒ có 3.3.3.2 54=
số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các số 0,1, 2,3,5
không chia hết cho 5.
Câu 612: Số 253125000 có bao nhiêu ước số tự nhiên?
A. 240.
B. 120.
C. 180.
D. 160.
Lời giải
Chọn C
3
5
3
=
=
=
Phân tích số
.
253125000
253125.1000
4 8 2 .3 .5
(
) ( 4 3 3 .5 . 2 .5
)
x
y
z
≤
≤
≤
x y z , ,
4;
8;
3;
x
y
z
Vì 253125000 có các ước nguyên tố là 2;3;5 nên mọi ước của 253125000 sẽ có dạng 2 .3 .5 (
.
x ∈
Có 4 cách chọn số mũ x
)
) ∈ . ( { } 0;1; 2;3 Có 5 cách chọn số mũ y .
=
.
Có 9 cách chọn số mũ z . ⇒ Số ước số tự nhiên của 253125000 là: 4.5.9 180
Câu 613: Có bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
A. 952.
B. 1008.
C. 1620.
D. 1800.
Lời giải
Gọi
.
Chọn A { } A = 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Gọi số thỏa mãn bài toán là số có dạng abcd . Vì
d = hoặc 0
d = . 5
abcd nên 5
d = : có 1 cách chọn.
0
: có 9.8.7 cách chọn.
Trường hợp 1: abc
Trang 157/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
=
số.
d = : có 1 cách chọn.
: có 8 cách chọn.
Do đó trường hợp này có: 1.9.8.7 504 5 Trường hợp 2: { } a A∈ \ 0;5
bc
: có 8.7 cách chọn.
=
số.
448
=
+
Do đó trường hợp này có: 1.8.8.7 Vậy có tất cả: 504 448 952 số.
Câu 614: Cần xếp 3 nam, 3 nữ vào 1 hàng có 6 ghế . Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam nữ ngồi xen
kẽ.
B. 720 .
A. 36 .
C. 78 .
D. 72 .
Lời giải
Chọn D
Có 6 cách chọn một người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ nhất. Tiếp đến, có 3 cách chọn một người
khác phái ngồi vào chỗ thứ 2. Lại có 2 cách chọn một người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có 2
cách chọn vào chỗ thứ 4, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 5, có 1 cách chọn vào chỗ thứ 6.
Vậy có:
cách.
6.3.2.2.1.1 72=
Câu 615: Từ các số 0,1, 2, 7,8,9 tạo được bao nhiêu số lẻ có 5 chữ số khác nhau?
A. 288 .
D. 600 .
B. 360 .
C. 312 .
Lời giải
Chọn A
Gọi abcde là số cần tìm. Chọn e có 3 cách. a ≠ và a 0 Chọn
3
,b c d có
,
Chọn 3 trong 4 số còn lại sắp vào
4A cách.
Vậy có
số.
3.4.
288
3 A = 4
e≠ có 4 cách.
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Dạng 02: Bài toán đếm sử dụng P, A, C
Câu 616: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 ?
A.
B.
C.
D.
5P .
3P .
3 5C .
3 5A .
Lời giải
Chọn A
Mỗi số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ năm chữ số khác 0 đã cho là một chỉnh hợp
chập 3 của 5 phần tử. Số các số được lập thành từ ba chữ số khác nhau từ các chữ số
1, 2,3, 4,5 là
3 5A số.
Câu 617: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ?
A.
C.
B. 7!.
D. 5!.
5 7C .
5 7A .
Lời giải
Chọn C Mỗi số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 là một chỉnh hợp chập 5 của
7 số. Do đó, số các số tự nhiên cần tìm là
5 7A .
Trang 158/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Câu 618: Có bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ?
C.
A.
B. 7!.
D. 5!.
5 7C .
5 7A .
Lời giải
Chọn C
5
Ta lập được
7A số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
A =
Câu 619: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập
{
} 2, 3, 4, 5, 6
A.
B.
C.
D.
4 6C .
4 5A .
4 6A .
4 5C .
Lời giải
Chọn C
Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ A là
4 5A .
≤ ≤ , công thức nào dưới đây đúng?
n
;k n là các số nguyên thỏa mãn 0 k
Câu 620: Với
=
=
A.
.
B.
.
k A n
k A n
!
n ! − n k
!
(
)
! n ( + ! k n k
)
=
=
.
C.
.
D.
k A n
k A n
n ! + n k
!
!
! n ( − ! k n k
)
(
) Lời giải
Chọn C
=
Với
.
≤ ≤ , ta có n
;k n là các số nguyên thỏa mãn 0 k
k A n
n ! − n k
!
(
)
Câu 621: Cho 6 điểm phân biệt trên mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu vectơ mà điểm đầu và điểm cuối là 6
điểm đã cho?
C. 21 .
B. 15 .
D. 36 .
A. 30 .
Lời giải
Chọn D Số vectơ khác vectơ-không mà điểm đầu và điểm cuối là 6 điểm đã cho là số chỉnh hợp chập
.
2 của 6 phần tử:
30
2 A = 6
+ =
.
Ngoài ra, còn có thêm 6 vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, là 6 điểm đã cho. Vậy số vectơ là 30 6 36
Câu 622: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và không có chữ số nào lớn
hơn 5
A. 75 .
B. 90 .
C. 52 .
D. 60 .
Lời giải
Chọn C
=
≤
với 0
a b c , ,
≤ , 5
,a b c là số tự nhiên.
,
Số có ba chữ số thoả mãn bài toán có dạng M abc
.
c ∈
Do M chẵn nên
{ } 0; 2; 4
Nếu
số M .
0
20
2 A = 5
.
0
c = ⇒ có c ≠ ⇒ có 2 cách chọn c . Khi đó số số hạng M được lập là 2.4.4 32=
+
=
số thoả mãn bài toán.
Nếu Vậy có tất cả 20 32 52
Câu 623: Có bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ chữ số 1, 2,3, 4,5 ?
A.
B.
C.
D.
5P .
4P .
4 5C .
4 5A .
Lời giải
Trang 159/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Chọn A Số có bốn chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ chữ số 1, 2,3, 4,5 là một chỉnh chợp
4
chập 4 của 5 phần tử. Vậy có
5A số thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 624: Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
B.
C.
D.
A.
72 .
27 .
2 7A .
2 7C .
Lời giải
Chọn C Mỗi một số tự nhiên gồm 2 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7 ứng với
2
một chỉnh hợp chập 2 của 7 phần tử. Suy ra có
7A số thỏa mãn.
Câu 625: Số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang sao cho mỗi học sinh
ngồi một ghế là
C.
D.
A.
106 .
B. 6!.
6 10C .
6 10A .
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang sao cho mỗi học sinh
ngồi một ghế là một chỉnh hợp chập 6 của 10.
Vậy số cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 trong 10 ghế trên một hàng ngang sao cho mỗi học
sinh ngồi một ghế là
6 10A .
12A có 32 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn lập một ban cán sự của lớp gồm một lớp
Câu 626: Lớp
8
trưởng, một bí thư, một lớp phó học tập và một lớp phó văn thể . Số cách lập nhóm ban cán sự là
A.
C.
D.
B. 4!.
4 28A .
4 32A .
4 32C .
Lời giải
12A và phân 4 nhiệm vụ: Lớp trưởng, bí
Chọn C Mỗi cách chọn 4 học sinh từ 32 học sinh của lớp
8
thư, lớp phó học tập và lớp phó văn thể là một chỉnh hợp chập 4 của 32 phần tử. Số cách chọn 4 học sinh từ 32 học sinh của lớp
8
thư, lớp phó học tập và lớp phó văn thể là số chỉnh hợp chập 4 của 32 phần tử.
Vậy số cách lập nhóm ban cán sự là
4 32A .
.
12A và phân 4 nhiệm vụ: Lớp trưởng, bí
D.
B.
100
m= 2
n
Câu 627: Trong mặt phẳng cho 15 điểm phân biệt và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi m là số đoạn thẳng có các điểm đầu mút là các điểm đã cho, gọi n là số vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các điểm đã cho. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. m n> . m n= −
. C. m n= .
Lời giải
Chọn D Mỗi cách chọn 2 điểm trong 15 điểm và sắp xếp theo thứ tự ta được 1 vectơ.
=
Vậy số vectơ tạo thành là
.
210
2 n A= 15 Mỗi cách chọn 2 điểm trong 15 điểm ta được 1 đoạn thẳng.
Vậy số đoạn thẳng tạo thành là
.
m C=
2 = 15 105
.
n
m= 2
Khi đó Dạng 01: Câu hỏi lý thuyết về công thức, tính chất P,A,C
Trang 160/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Câu 628: Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế?
A. 4 cách.
C. 12 cách.
D. 24 cách.
B. 8 cách.
Lời giải
cách xếp.
Chọn D Xếp chỗ ngồi cho 4 học sinh vào dãy có 4 ghế có: 4! 24=
C.
A. 4 .
D. 4! 3!− .
B. 4!.
Câu 629: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 ? 4 4C .
Lời giải
.
4!
Chọn B Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập ra từ các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là:
P = 4
Câu 630: Với n là số nguyên dương, công thức nào dưới đây đúng?
.
−
B.
C.
. D.
A.
nP
nP
nP
nP
n= − . n= ! 1 1)! n= .
n= ( Lời giải
Chọn A
Công thức đúng là
.
nP
n= !
B.
Câu 631: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc? 55 .
A. 5!.
C. 5 .
D. 4!.
Lời giải
cách sắp xếp.
Chọn A Mỗi cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có
5! P = 5
Câu 632: Có bao nhiêu cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc?
B. 1.
C. 7!.
D. 49 .
A. 7 .
Lời giải
Chọn C Mỗi cách xếp 7 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 7 phần tử Số cách xếp là: 7!
Câu 633: Hoán vị của 5 phần tử bằng
A. 24.
B. 60.
C. 12.
D. 120.
Lời giải
Chọn D
Hoán vị của 5 phẩn tử
.
= 5! 120 P = 5
Câu 634: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và
nữ ngồi xen kẽ?
A. 144.
B. 720.
C. 6.
D. 72.
Lời giải
Chọn D
Câu 635: Có 4 bạn nam và 4 bạn nữ xếp vào 8 ghế được kê thành hàng ngang. Có bao nhiêu cách xếp
mà nam và nữ được xếp xen kẽ nhau?
B.
.
C.
.
A.
D. 8!.
) ( 2. 4! .
)2 ( 2. 4!
)2 ( 2. 8! Lời giải
Chọn B
Trang 161/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Để xác định, các ghế được đánh số từ 1 đến 8 như hình vẽ sau:
4! . 4! cách xếp.
TH1: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ, các bạn nữ ngồi ở các ghế ghi số chẵn. Có 4! cách xếp bạn nam, 4! cách xếp bạn nữ. Tất cả có (
) (
)
4! . 4! cách xếp.
TH2: Các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế ghi số lẻ. Có 4! cách xếp bạn nam, 4! cách xếp bạn nữ. Tất cả có (
) (
)
Vậy có tất cả
cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
)2 ( 2. 4!
Câu 636: Có 5 bạn học sinh trong đó có hai bạn Lan và Hồng. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh
trên thành một hàng dọc sao cho hai bạn Lan và Hồng đứng cạnh nhau?
A. 48.
B. 24.
C. 6.
D. 120.
Lời giải
Chọn A
Hai bạn Lan và Hồng đứng cạnh nhau ta có thể xem như một phần tử ta gọi là X. Khi đó trong
X có 2! cách xếp chỗ cho hai bạn Lan, Hồng.
.
Xếp X và ba bạn còn lại thành một hàng dọc: có 4! cách. Vậy số cách sắp xếp cần tìm là: 2!.4! 48=
Câu 637: Có bao nhiêu cách sắp xếp 9 học sinh thành một hàng dọc?
A.
99 .
B. 9! .
D. 90 .
C. 8!.
Lời giải
Chọn B
Số cách sắp xếp 9 học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của 9 phần tử. Vậy có 9! cách sắp xếp.
Câu 638: Từ các số 0;1; 2;3; 4;5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác
nhau?
B. 144 .
A. 300 .
C. 60 .
D. 180 .
Lời giải
.
a ≠
Chọn B Gọi số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau là: abcd ; (
)0
.
d ∈
∈ a A
d
d⇒ có 3 cách chọn. }
∈
cách chọn.
b c A a d ;
;
\
;b c⇒ có
12
2 A = 4
=
số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau.
{ } A = 0;1; 2;3; 4;5 Gọi { } 1;3;5 { \ 0; { Vậy có: 3.4.12 144
a⇒ có 4 cách chọn. }
Câu 639: Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau?
A. 207360 .
B. 17280 .
C. 120960 .
D. 34560 .
Lời giải
Chọn C
Gom 4 nữ sinh ngồi cạnh nhau thành một nhóm X. Xếp X và 6 nam sinh: có 7! cách.
Trang 162/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
=
cách.
Trong X, có 4! cách xếp nữ. Vậy có tất cả: 7!4! 102960
Câu 640: Một người gọi điện thoại nên quên mất chữ số cuối. Tính xác suất để người đó gọi đúng số
điện thoại mà không phải thử quá hai lần
A.
B.
C.
D.
1 5
1 10
19 90
2 9
Lời giải
Chọn A
Ω =
.
+) Số phần tử không gian mẫu là
10
+) Vì người đó gọị không quá hai lần nên kết quả thuận lợi để gọi đúng số điện thoại là AΩ = 1.
Vậy xác suất
.
P A = )
(
1 10
Câu 641: Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh, tính xác
suất để 3 học sinh được chọn có cùng giới tính.
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
80 119
29 119
39 119
90 119
Lời giải
Chọn B
Ta có số phần tử của không gian mẫu là:
cách chọn
n
) CΩ =
(
3 35
=
+
Số phần tử của biến cố A “Ba học sinh được chọn có cùng giới tính” là:
C
C
( n A
)
3 20
3 15
.
Xác suất của biến cố A là:
) ( P A =
29 119
Câu 642: Một nhóm học sinh gồm có 4 nam và 5 nữ, chọn ngẫu nhiên ra 2 bạn. Tính xác suất để hai bạn
được chọn có 1 nam và 1 nữ.
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
4 9
7 9
5 9
5 18
Lời giải
Chọn A
Chọn 2 bạn trong tổng số 9 bạn:
.
n
(
) 2 CΩ = 9
Gọi ⇒
.
:"A Hai bạn được Chọn có 1 nam và 1 nữ ". ( n A
)
=
=
=
.
)
( P A
5 9
1 1 = . C C 4 5 ) ( n A ) ( Ω n
1 1 C C . 4 5 2 C 9
Câu 643: Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất một lần. Xác suất xuất hiện mặt hai chấm là
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
1 2
1 3
1 6
1 4
Lời giải
Chọn C
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm.
Trang 163/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
Ta có
( ) 6 n Ω = ,
=
=
Suy ra
.
( P A
)
1 6
) 1 ( n A = . ( n A ( Ω n
) )
Câu 644: Một lớp có 35 học sinh, trong đó có 5 học sinh tên Linh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để học sinh tên Linh lên bảng bằng
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
1 7
1 35
1 5
1 175
Lời giải
Chọn B Số cách chọn một bạn học sinh trong lớp là 35 cách. Số cách chọn một bạn tên Linh trong 5 bạn là 5 cách.
Vậy xác suất để học sinh tên Linh lên bảng là
5 35
1 = . 7
Câu 645: Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau từ 15 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được
hai số có tổng là một số lẻ là:
.
.
B.
.
C.
.
D.
A.
8 15
4 15
1 7
1 14
Lời giải
Chọn B
Không gian mẫu
.
2 C = 15 105
.
Để tổng hai số là một số lẻ ta chọn 1 số lẻ và 1 số chẵn nên ta có 8.7 56=
=
Xác suất cần tìm là
.
56 105
8 15
Câu 646: Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 12 học sinh đó đi lao động. Xác suất để trong ba học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ là:
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
7 44
15 22
35 44
37 44
Lời giải
Chọn D
=
Số cáchChọn Da học sinh bất kì là
n
220
(
) 3 CΩ = 12
Số cáchChọn Da học sinh nam là
35
3 C = 7
=
Số cách chọn ra ba học sinh mà có ít nhất một học sinh nữ là
C
185
3 12
3 C− 7
=
P =
Xác suất để chọn được ba học sinh có ít nhất một học sinh nữ là
185 220
37 44
Câu 647: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp để phân tích mẫu. Xác suất để 3 hộp sữa được Chọn Có cả 3 loại là
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
3 11
1 110
3 55
1 22
Lời giải
Chọn A
Trang 164/165 - Chuyên đề B&T Pro 2020
Tổng số hộp sữa được gửi đến để kiểm nghiệm là 12 hộp sữa.
Chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ 12 hộp sữa thì mỗi một cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 12
phần tử. Các trường hợp đồng khả năng xảy ra. =
Số phần tử của không gian mẫu là:
.
n
220
(
) 3 CΩ = 12
=
.
Số phần tử của biến cố A là:
Biến cố A : “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”. Như vậy sẽ chọn 1 hộp sữa cam, 1 hộp sữa dâu và 1 hộp sữa nho. ( n A =
=
=
=
.
Xác suất của biến cố A là:
( P A
)
60 220
3 11
) 3.4.5 60 ) )
( n A ( Ω n
Câu 648: Một lớp học có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn một ban cán
sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự lớp có cả nam và nữ.
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
2625 9880
1425 1976
251 1976
450 988
Lời giải
Chọn C
=
Không gian mẫu có số phần tử:
.
n
9880
(
) CΩ =
3 40
Gọi biến cố A : “Ban cán sự lớp gồm 3 học sinh có cả nam và nữ”
Trường hợp 1: Ban cán sự có 1 nữ và 2 nam:
2 .C C 25
1 15
Trường hợp 2: Ban cán sự có 2 nữ và 1 nam:
1 .C C 25
2 15
⇒
=
+
=
.
7125
( n A
)
2 25
2 C C . 15
1 25
⇒
=
=
=
.
( P A
)
7125 9880
1425 1976
1 C C . 15 ) ( n A ( ) Ω n
Câu 649: Một em bé có bộ 7 thẻ chữ, trên mỗi thẻ có ghi một chữ cái, trong đó có 2 thẻ chữ T giống nhau, một thẻ chữ H, một thẻ chữ P, một thẻ chữ C, một thẻ chữ L và một thẻ chữ S. Em bé xếp theo hàng ngang ngẫu nhiên 7 thẻ đó. Xác suất em bé xếp được dãy theo thứ tự THPTCLS là
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
1 7
1 2 6!×
2 7!
1 7!
Lời giải
Chọn C
Hoán vị 7 chữ cái này ta được 1 dãy 7 chữ cái, tuy nhiên trong đó có 2 chữ T giống nhau nên
khi hoán vị 2 chữ T này cho nhau không tạo dãy mới.
Ω =
Vì vậy sẽ có:
dãy khác nhau.
7! 2!
=
Xác suất để tạo thành dãy THPTCLS là
.
P =
2 7!
1 7! 2!
Trang 165/165 - Lê Hoài Sơn - 0914114008
![Đề thi tiếng Anh tốt nghiệp THPT 2025 (Chính thức) kèm đáp án [mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250627/laphong0906/135x160/9121751018473.jpg)
![11 chủ đề ôn tập môn Toán lớp 2 [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250613/phuongnguyen2005/135x160/74791749803387.jpg)
