bài tập về bất đăng thức_03

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập về bất đăng thức_03', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập về bất đăng thức_03

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . 2 2 a b c Phân tích bài toán : 3 Từ giả thiết a,b,c dương thoả mãn a + b + c ≤ , gợi ý hướng giải bất đẳng thức trung bình cộng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . Đặt: x = 3 abc ≤ ,đẳng thức xảy ra khi x = . 2 2 2 2  1 x =  1 1 2 ⇒ α = 4 = 16 . Xét x 2 + 2 , chọn α > 0 sao cho:  1 x x x 2 =  αx 2  1 và số x 2 : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 16x 2 −15 16 1 17 1 1 1 17x x 2 + 2 = x 2 + 16. ≥ 1717 x 2  ⇒ x2 + ≥ 2 . 16x 2 2 32  16x  x x 17 2 −15 −15 −15 1 17a 1 17b 1 17c 17 17 17 ⇒ a2 + 2 ≥ ; b2 + 2 ≥ ; c2 + 2 ≥ Ŏ 32 32 32 a b c 2 2 2 17 17 17 1 17  17  17  17 17 17  3 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 1 1 ⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c  2 2 2 17 17     a b c 2 17   2 17   −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 () a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc ≥ = 2 .2 17 17 . 32 2 a b c 2 17 17 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 2 Cách khác :  1  1  1 Chọn : u =  a;  , v = b;  , w =  c;   a  b  c Dùng bất đẳng thức vecto u + v + w ≥ u + v + w 2 1 1 1 (a + b + c ) 1 1 1 1 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ + + +  ≥3 (abc)2 + 2 3 a b c  a b c (abc)2 3 2 ) ( a + b + c  2 1 Tương tự trên , ta đặt x = ≤ ≤ . 3 abc 3 4   -24- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 1 1 1 15 x1 15 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 .+ 2 16x 16x 16 x 16x x a b c 1 1 1 1 15 1 15 3 17 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = . 2 2 16x 24 2 a b c 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 2 Hướng phân tích khác : 2 2 1 1 1   1 1 1 (a + b + c ) (a + b + c ) 9 2 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ + + +  ≥ + 2  a + b + c  a b c  a b c 111 9 Lời bình : Nếu a, b, c > 0 , thì ++≥ . a b c a +b +c ( ) 2 a +b +c a 2 b2 c2 Tổng quát : Cho x , y, z > 0 và ba số a, b, c bất kỳ, ta luôn có : + + ≥ (Bất đẳng thức s- x +y +z x y z abc vac). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = . xyz 1 1 n2 1 ( ) Nếu : ai > 0, i = 1, n, n ∈ N ,thì a1 + a2 + ... + an  + + ... +  ≥ a  an  a1 + a2 + ... + an  1 a2 Tương tự: Cho 3 số thực dương x , y, z thoả mãn x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 x2 + + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82 . Đề thi Đại học khối A năm 2003 2 x y z 1 1 1 3 17 + b2 + + c2 + ≥ 3. a 2 + . 2 2 2 2 b c a  1 x = y =  1 2 ⇒ α = 1 = 16 Tương tự trên . Xét x 2 + 2 , chọn α > 0 sao cho:  1 x 2y 2 y x 2 = αy 2   1 và số x 2 : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân cho 17 số, trong đó 16 số là 2 16y −16 1 16 1 1 1 1 17x y 17 17 x + 2 = x 2 + 16. ≥ 1717 x 2  ⇒ x2 + ≥ 2 2 . 2 y2 32 16y  16y  y 2 17 −16 −16 −16 1 1 1 1 17a b 1 17b c 1 17c 17a 17 17 17 17 17 ⇒ a2 + 2 ≥ ; b2 + 2 ≥ ; c2 + 2 ≥ 32 32 32 b c a 2 2 2 17 17 17 -25- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 17  17 17 1 −16  1 −16 1 −16 −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 () a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b 17 c 17 + c 17 a 17  ≥ 32 abc ≥ = 2 2 2 17 2 17   32 2 b c a 2 17   217 17 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 2 a 2005 + b 2005 ≤ 1  Cho các số không âm a, b, x , y thỏa các điều kiện  2005 . Chứng minh rằng : + y 2005 ≤ 1 x  a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 Toán tuổi thơ 2 – số 27 Giải: Nhận xét : Các đa thức tham gia trong bài toán cùng bậc 2005 = 1975 + 30 , đồng thời số mũ của các biến tương ứng bằng nhau. 2005 2005 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho 1975 số a v à 3 0 số x 1975.a 2005 + 30.x 2005 2005 2005 1975 2005 30 ( )( ) () ≥ = a 1975 .x 30 1 .x a ( ) 1975 + 30 1975.b 2005 + 30.y 2005 (b ) . (y ) () 1975 30 ≥ = b 1975 .y 30 2 2005 2005 2005 Tương tự (1975 + 30 ) ( ) ( ) ( ) (3) () () Từ 1 và 2 suy ra 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 a 2005 + b 2005 ≤ 1 ( ) ( ) (4)  ⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 Từ  2005 + y 2005 ≤ 1 x   ( ) () () Từ 3 và 4 suy ra 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a 1975 = x 30, b 1975 = y 30 . a m +n + b m +n ≤ 1  Tổng quát : Cho các số không âm a, b, x, y thỏa các điều kiện  m +n . Chứng minh rằng : + y m +n ≤ 1 x  a m .x n + b m .y n ≤ 1 . Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx A= + +. z x y Giải: 2 2 2  xy   yz   zx  ( ) Ta có : A2 =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 . z  x  y  -26- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Ta được: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3. 1 xy yz xz Đẳng thức xảy ra ⇔ = = ⇒x =y =z = . z x y 3 1 Vậy min A = 3 đạt được khi x = y = z = . 3 Cho 3 số thực dương a,b,c thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Chứng minh rằng : 33 a b c +2 +2 ≥ b +c c +a a +b 2 2 2 2 2 Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 , vậy ta có thể suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như vậy điều kiện a,b,c không chính xác vì dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi 0 < a = b = c  1  ⇒ a, b, c ∈  0; 2 . a + b + c = 1 2 2  3  • Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán ?. Dễ thấy a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2, c 2 + a 2, a 2 + b 2 . Gợi ý ta đưa bài 33 a b c + + ≥ toán về dạng cần chứng minh : . 1−a 1−b 1−c 2 2 2 2 • Vì vai trò a,b, c như nhau và 2 ý phân tích trên gợi ý ta đưa đến cách phân tích a 332 ≥  a 1 − a 2 2 b ( ) 33 2 332 a b c + + ≥ a + b2 + c2 ≥ và cần chứng minh  b. 1−a 1−b 1−c 1 − b 2 2 2 2 2 2 c 332 ≥ c  1−c 2 2  • Ta thử đi tìm lời giải : ( ) ( ) ( ) 332 1 33 2 4 8 a 2 2 ≥ a⇔ ≥ a⇔ ≥ a 1 − a2 ⇔ ≥ a2 1 − a2 ⇔ ≥ 2a 2 1 − a 2 1−a 1−a 2 2 2 2 27 27 33 ( ) ( )( ) 2 2 2a 1 − a = 2a 2 1 − a 2 1 − a 2 2 Dễ thấy  ( )( ) 2a + 1 − a + 1 − a = 2 2 2 2  Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ( )( ) ( )( ) 2 = 2a 2 + 1 − a 2 + 1 − a 2 ≥ 3 3 2a 2 1 − a 2 1 − a 2 (1 − a ) 1 − a ⇔ 27 ≥ 2a (1 − a ) 232 8 2 ⇒ ≥ 2a 2 2 2 2 3 Tương tự cho các trường hợp còn lại. Giải : hs tự giải -27- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Phương pháp tiếp tuyến: a3 b3 c3 ( ) 1 + + ≥ a +b +c . Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) b c +a c a +b a b +c 2 Phân tích bài toán : • Đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng : a3 b3 c3 ( ) ( ) ( ) + m a + c + nb + + k b + a + pc + + i b + c + ja ≥ 0 . ( ) ( ) ( ) b c +a c a +b a b +c • Giả sử 0 < a ≤ b ≤ c . Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c . a3 ( ) + m a + c + nb ≥ 3 3 mna . Đẳng thức xảy ra khi Từ đó gợi mở hướng giải : ( ) b c +a   a3 1 ( ) m = = m a + c = nb  3  ( ) ( ) a 4 b c + a ⇔ = m a + a = na ⇔  ( ) 1 a a +a a = b = c n =    2 Tương tự cho các trường hợp khác . Giải : 3 a3 ( ) ( ) 1 1 3 1 1 a + b + c + a ≥ a . Đẳng thức xảy ra khi: = b = c +a . ( ) ( ) b c +a b c +a 2 4 2 2 4 b3 b3 ( ) ( ) 1 1 3 1 1 + c + b + a ≥ b . Đẳng thức xảy ra khi: = c = b +a . ( ) ( ) c a +b c a +b 2 4 2 2 4 c3 c3 ( ) ( ) 1 1 3 1 1 + a + b + c ≥ c . Đẳng thức xảy ra khi: = a = b +c . ( ) ( ) a b +c a b +c 2 4 2 2 4 a3 b3 c3 ( ) 1 + + ≥ a + b + c . Dấu đẳng thức xảy ra khi : Cộng vế theo vế ta được : ( ) ( ) ( ) b c +a c a +b a b +c 2 a =b =c > 0 Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . 7 a +1 + b +1 + c +1 < a. 2 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . a b c Giải: 7 a +1 + b +1 + c +1 < a. 2 -28- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn (a + 1) + 1 = a + 1 ( )  a + 1 = 1. a + 1 ≤  2 2 (b + 1) + 1 = b + 1  ⇒  a +b +c ( ) 7 b + 1 = 1. b + 1 ≤ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3=  2 2 2 2  ( ) c +1 +1 c  ( ) c + 1 = 1. c + 1 ≤ = +1  2 2   Đẳng thức xảy ra khi a + 1 = b + 1 = c + 1 = 1 ⇔ a = b = c = 0 ⇒ a + b + c = 0 ≠ 1 7 Vậy a + 1 + b + 1 + c + 1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 0 < a = b = c  1 1 ⇒ a = b = c = . Hằng số cần thêm là . khi  a + b + c = 1 3 3  • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 (a + b + c ) hay  1 1 1 1 1 1 a + + b + b + +c + c + +a +  3 3 3+ 3 3+ 3 3. S = a +b + b +c + c +a ≤ . 2 2 2 2      • Ta thử đi tìm lời giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  2 ( ) 1 1 a+ +b + a +b +  3 ( ) 3 3 2 3 3= 3≥ . a +b . = a +b  2 2 2 2 2 3      Tương tự cho các trường hợp còn lại . Cách khác : 1 a + b + m  1 (a + b ) m ≤ Giả sử với mọi m > 0 , ta luôn có : a + b =   . Vấn đề bây giờ ta dự 2 m  m đoán m > 0 bao nhiêu là phù hợp?. a + b = m  2 1 ⇔m = 3. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi  a = b =  3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân -29- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  (a + b ) + 2  AM _GM ( ) 3 2 3 3  a +b = . a +b . ≤ . 2 3 2 2  (b + c ) + 2   AM _GM ( ) 3 2 3 3  b +c = . b +c . ≤ . 2 3 2 2  (c + a ) + 2  AM _GM  ( ) 3 2 3 3  c +a = . c +a . ≤ . 2 3 2 2   ( ) 2 2 a + b + c + 3. 3 3 3= ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ .2 = 6 (đpcm). . 2 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra  2 a + b = 3  0 < a = b = c   1 2 2 ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = . Hằng số cần thêm là khi  a +b +c = 1 3 3 3    c + a = 2  3  • Từ giả thiết gợi ý ta đưa đến cách phân tích 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + 2 + 2 (b + c ) + 2 + 2 (c + a ) + 2 + 2 33 33 33 T = 3 a +b + 3b +c + 3c +a ≤ + + 3 3 3 Giải : Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân  ( ) 22 a +b + + 3 ( ) 93 22 33  a +b = 3 . a +b . . ≤ 4 33 3  ( )  22 b +c + + 3 ( ) 93 22 33  b +c = 3 . b +c . . ≤ 4 33 3  ( ) 22  c +a + + 3 ( ) 93 22 33  c + a = 4. c + a . 3. 3 ≤ 3 3   ( ) 9 2 a +b +c + 4 96 3 ⇒T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ = . = 18 (đpcm). . 3 3 4 3 43 -30- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 abc Phân tích bài toán : • Trường hợp tổng quát , giả sử 0 < a ≤ b ≤ c thoả mãn điều kiện a + b + c = 1 , dấu đẳng thức chỉ xảy ra 0 < a = b = c  1 ⇒a =b =c = . khi  a + b + c = 1 3  1 • Từ điều cần chứng minh ,gợi ý ta đưa đến cách phân tích với mọi m > 0 , ta luôn có : ma + ≥2 m. a  1 ma = a ⇔ m = 9. Đẳng thức xảy ra khi :  1 a =  3 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 • Vì thế mà T = a + b + c + + + = 9 a +b +c + + + − 8 a +b +c a b b a b b Giải :  1 9a + a ≥ 6   1 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân 9b + ≥ 6 b  9c + 1 ≥ 6   c ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ⇒T = 9 a +b +c + + + − 8 a + b + c ≥ 3.6 − 8 a + b + c = 10 (đpcm). a b b 1 Đẳng thức xảy ra khi : a = b = c = . 3 Bài tập tương tự Cho các số thực dương x , y, z và thỏa mãn mx + ny + pz ≥ d trong đó m, n, p, d ∈ ℝ . Tìm giá trị lớn nhất 2 2 2 biểu thức A = ax + by + cz Hướng dẫn : Thực hiện việc chọn điểm rơi : ax = by = cz = β 2 2 2 Chứng minh rằng nếu xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 . Phân tích bài toán : • Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3x 2, 3y 2 , z 2 , xy, yz, zx cho ta điều gì ?, phải chăng những hằng đẳng thức ( ) ( ) + (by ) 2 2 2 có dạng : ax − by ≥ 0 ⇔ ax ≥ 2axby ?. • Phân tích : -31- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 2 2 ax + ay ≥ 2axy .Đẳng thức xảy ra khi x = y 2 2 2 2 by + cz ≥ 2 bcyz .Đẳng thức xảy ra khi by = cz 2 2 2 2 cz + bx ≥ 2 cbzx . Đẳng thức xảy ra khi cz = bx  a + b = 3 a = 1   Bây giờ ta chọn a, b, c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2 a = bc  1  c =  2 Giải : 2 2 x + y ≥ 2xy .Đẳng thức xảy ra khi x = y 1 1 2 2 2 2 2y + z ≥ 2yz .Đẳng thức xảy ra khi 2y = z 2 2 1 1 2 2 2 2 z + 2x ≥ 2zx . Đẳng thức xảy ra khi z = 2x 2 2 ( ) Cộng vế theo vế ta được : 3x + 3y + z ≥ 2 xy + yz + zx ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 (đpcm). 2 2 2 x = y  2y 2 = 1 z 2   x = y = 1 2 ⇔ Đẳng thức xảy ra khi :  z = 2  1 z 2 = 2x 2  2 xy + yz + zx = 5  47 235 Cho 3 số thực dương x , y, z thoả mãn x + y + z = . Chứng minh rằng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trước hết ta để ý mối liên hệ giữa 3x 2, 4y 2, 5z 2 , x, y, z cho ta điều gì ?, gợi ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ được 12 ( ) biến đổi về dạng 3x 2 + m + 4y 2 + n + 5z 2 + p ≥ k, 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const • Phân tích : 3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . Đẳng thức xảy ra khi 3x 2 = m 4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . Đẳng thức xảy ra khi 4y 2 = n 5z 2 + p ≥ 2 5pz , p > 0 . Đẳng thức xảy ra khi 5z 2 = p -32- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  5 x =  3  3x 2 = m 5 y = 2  4 4y = n  z = 1  Bây giờ ta chọn x , y, z sao cho : 5z 2 = p ⇔ m = 25   3m = 4n = 5p  3   25 47 n = x + y + z =  4 12  p=5   Giải : 25 25 25 ≥ 2 3. x . Đẳng thức xảy ra khi 3x 2 = 3x 2 + . 3 3 3 25 25 25 4y 2 + ≥ 2 4. y . Đẳng thức xảy ra khi 4y 2 = . 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . Đẳng thức xảy ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 ( ) Cộng vế theo vế ta được 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 x + y + z − = (đpcm). 12 12  5 x = 3   5 Đẳng thức xảy ra khi y = . 4  z =1    ( 1 + a ) ( 1 + b ) (1 + c ) . Cho 3 số thực không âm a, b, c . Chứng minh rằng : 1 + 3 abc ≤ 3 Giải : (1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) ⇔ (1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) 1 + 3 abc ≤ 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 3 3 1.1.1 abc ⇔ + ≤1 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 3 3 1.1.1 abc Đặt : T = + (1 + a )(1 + b )(1 + c ) (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 3 3 1 1 1  1 a c 1 b T≤ + + +  + +   3 1 + a 1 + b 1 + c  3 1 + a 1 + b 1 + c  1 a + 1 b + 1 c + 1  1 T≤  + +  = .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c  3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c ≥ 0 . -33- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Tổng quát : ) ( Chứng minh rằng với mọi ai , bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có : (a )( ) ( ) a1a2 .......an + n b1b2 .......bn ≤ + b2 a1 + b2 ........ an + bn n n 1 1 1 1  Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 . a    b c   Giải : 1 1 1  1 − a  1 −b  1 − c  b + c c + a a + b VT =  − 1   − 1   − 1  = = . . . . a  b c   a  b  c  a b c     AM_GM 2 bc 2 ca 2 ab ≥ = 8 (đpcm) . . VT a b c Tổng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0  Cho  .Chứng minh rằng : x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1  1  1  1  1   − 1  − 1  − 1  ........  − 1 ≥ (n − 1)n . x  x      x2   x3 n  1  1 1 1 1 1 + + + ≥ 3 . Chứng minh rằng : abcd ≤ Cho 4 số thực dương a, b, c, d thoả mãn 1+a 1+b 1+c 1+d 81 Giải :  1 1 1 1 b c d ≥ 1 - + 1−  + 1 − + +  1+b   =    1+b 1+c 1+d 1+a  1+c  1+d   AM _GM 1 bcd 3 (1 + b )(1 + c )(1 + d ) ≥ 3 1+a 1 bcd ≥3  (1 + b )(1 + c )(1 + d ) 3 1 + a  1 cda ≥ 33 (1 + c )(1 + d )(1 + a ) 1 + b  Vậy:  1 dca ≥3 (1 + d )(1 + c )(1 + a ) 1 + c 3  1 abc  ≥ 33 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) 1 + d  -34- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 1 abcd ⇒ abcd ≤ ⇒ ≥ 81 (1 + a )(1 + b )(1 + c )(1 + d ) (1 + a )(1 + b )(1 + c )(1 + d ) 81 Tổng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0  Cho :  1 1 1 1 . Chứng minh rằng : 1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1  n 1 2 3 1 x 1x 2x 3...........x n ≤ . (n − 1)n Bài tương tự Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng : a2 b2 c2 3 3 a b c a b c + + ≥ 1. + + ≥. + + ≥. a. c. b. 1+b 1+c 1+a a +b b +c c +a a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn : a + b + c = 3 a.   ( )( ) 2 3 ab + bc + ca ≤ a + b + c ⇒ ab + bc + ca ≤ 3  a a(1 + b 2 ) − ab 2 ab 2 = =a −  a ab ⇒ ≥a − 1 + b 2 1 + b2 1 + b2 1+b 2 2 1 + b 2 ≥ 2b  bc 2 ca 2 b bc c ca =b − ≥b − , =c − ≥c − Tương tự : 1+c 1+c 2 1+a 1+a 2 2 2 2 2 ab + bc + ca 33 a b c + + ≥ a +b +c − ≥3− = . Cộng vế theo vế : 1+b 1+c 1+a 2 2 2 2 22 Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a.b.c = 1 . Chứng minh rằng : a3 b3 c3 3 1 1 1 + + ≥ + + ≤1 b. a. . (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 2 +a 2 +b 2 +c 4 a2 b2 c2 1 + + ≥ Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : b +c c +a a +b 2 Giải : a  b   c2 1 2 2 2 2 2 1 ( ) a b c + + ≥ ⇔ +a +  +b +  +c ≥ + a +b +c b + c    b +c c +a a +b 2  c + a  a + b 2  ( ) ( ) ( ) a2 + a b + c b2 + b c + a c2 + c a + b 1 ⇔ + + ≥ +1 b +c c +a a +b 2 ( ) ( ) ( ) a a +b +c b b +c +a c c +a +b 3 ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b 2 -35- www.mathvn.com