bài tập về bất đăng thức_05

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập về bất đăng thức_05', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập về bất đăng thức_05

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 15 1. a + b + c + ++≥ . 2 abc 1 1 1 3 17 2. a 2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . 2 2 a b c 1 1 1 3 17 + + ≥ 3. a 2 + b2 + c2 + . b2 c2 a2 2 Gi i: 1 1 1 15 1. a + b + c + ++≥ 2 abc 111 1 1 Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 =6 3 abc . abc 3 3 abc abc 3 ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > Du ( trái gi thi t ) . 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ 2 2 2  1 111 1 1 Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x = 2 abc x 3  abc  1 x =  2 ⇒ α = x2 = 1 . Ta ch n α > 0 sao cho:  x = 1 4 α x  Bài gi i:  1   111 1 1 9 15 a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − = 2 2 abc x x x    1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . 2 2 a b c Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = . 2 2 2 2  1 x =  1 1 2 Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  ⇒ α = 4 = 16 . x 2 = 1 x x  αx 2  www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 và s x 2 : ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là Áp d ng b t 2 16x −1 5 16 1 17 1 1 1 17x x + 2 = x + 16. ≥ 17 x  ⇒ x2 + ≥ 2 2 2 2 . 17 2 2 32  16x  16x x x 17 2 −15 −15 −15 1 17a 1 17b 1 17c 17 17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ a2 32 b2 32 c2 32 2 2 2 17 17 17 1 17  17  17  17 17 17  3 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 1 1 ⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c  2 2 2 17 17     a b c 2 17   2 17   −5 15 () 1 1 1 3 17 3 17 3 17 a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc ≥ = 2 .2 17 17 . 32 2 a b c 2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 Cách khác :  1  1  1 Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c;   a  b  c ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w Dùng b t 2 1 1 1 (a + b + c ) 1 1 1 1 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ + + +  ≥3 (abc)2 + 2 3 a b c  a b c (abc )2 3 2 ) ( a + b + c  2 1 tx= ≤ ≤ . 3 abc Tương t trên , ta 3 4   1 1 1 1 1 15 x1 15 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 .+ a2 16x 16x 16 x 16x x b c 1 1 1 1 15 1 15 3 17 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = . 2 2 16x 24 2 a b c 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 + + ≥ 3. a 2 + b2 + c2 + . 2 2 2 2 b c a  1 x = y =  1 2 ⇒ α = 1 = 16 Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  1 x 2y 2 y x 2 = αy2   www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 và s x 2 : ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là Áp d ng b t 2 16y −16 1 16 1 1 1 1 17x 17 y 17 x 2 + 2 = x 2 + 16. ≥ 1717 x 2  ⇒ x2 + 2 ≥ 2 . 2 32 16y  16y  y y 2 17 −16 −16 −16 1 1 1 1 17a b 1 17b c 1 17c a 17 17 17 17 17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ b2 32 c2 32 a2 32 2 2 2 17 17 17 17  17 17 1 −16  1 −16 1 −16 −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 () a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b +c  ≥ 32 abc ≥ = 2 2 2 17 c 17 17 a 17 17 2 17   32 2 b c a 2 17   2 17 17 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 111 + + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Cho x , y, z > 0 và th a mãn xyz 1 1 1 P= + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z thi i h c kh i D năm 2007 Gi i:  2005 + b 2005 ≤ 1 a Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng : + y 2005 ≤ 1 x   a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1 Toán tu i thơ 2 – s 27 Gi i: Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n tương ng b ng nhau. 2005 2005 ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x Áp d ng b t www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1975.a 2005 + 30.x 2005 (a ) . (x ) () 1975 30 ≥ = a 1975 .x 30 1 2005 2005 2005 (1975 + 30 ) 1975.b 2005 + 30.y 2005 (b ) . (y ) () 1975 30 ≥ = b 1975 .y 30 2 2005 2005 2005 Tương t (1975 + 30 ) (1) và (2 ) suy ra 1975. (a ) ( ) ( ) (3) + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 2005 T a 2005 + b 2005 ≤ 1 ( ) ( ) (4)  ⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 T  2005 +y ≤1 2005 x  ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a ) .x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 1975 T ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 . Du a m +n + b m +n ≤ 1  T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng : + y m +n ≤ 1 x   a m .x n + b m .y n ≤ 1 . Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: xy yz zx A= + +. z x y Gi i: 2 2 2  xy   yz   zx  ( ) Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 . 2 z  x  y  ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Áp d ng b t Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3. 1 xy yz xz ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = . z x y 3 1 V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = . 3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : 33 a b c +2 + 2 2≥ . b +c c +a a +b 2 2 2 2 Phân tích bài toán : www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c   1 ⇒ a,b,c ∈  0; 2 . 3 a + b2 + c2 = 1     • Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa 33 a b c + + ≥ bài toán v d ng c n ch ng minh : 1−a 1 −b 1−c 2 2 2 2 • Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích a 32 ≥ a  1−a 2 2  b 33 2 2 2 (a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 . a b c + + ≥  1−a 1 −b 1−c 2 2 2 2  c 32 ≥  c 1 − c 2 2  • Ta th i tìm l i gi i : 32 1 33 2 4 8 a ≥ a⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 1−a 1−a 2 2 2 2 27 27 33 2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )  D th y  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2 2 2  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) 2 8 ⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 3 27 Tương t cho các trư ng h p còn l i. Gi i : a3 b3 c3 1 ≥ (a + b + c ) + + Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 Phân tích bài toán : • ng th c c n ch ng minh ưa v d ng : a3 b3 c3 + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 . + m (a + c ) + nb + c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) • Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D ng th c x y ra khi a = b = c . oán www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a3 + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi T ó g i m hư ng gi i : b (c + a ) m = 1  a3 = m (a + c ) = nb  3  a 4 b (c + a ) = m (a + a ) = na ⇔  ⇔ a (a + a ) n = 1 a = b = c   2 Tương t cho các trư ng h p khác . Gi i : a3 a3 1 1 3 1 1 + b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) . b (c + a ) 2 b (c + a ) 2 4 2 4 3 3 1 1 3 1 1 b b + c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) . c (a + b ) 2 c (a + b ) 2 4 2 4 c3 c3 1 1 3 1 1 + a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) . a (b + c ) 2 a (b + c ) 2 4 2 4 3 3 3 1 a b c ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi : + + C ng v theo v ta ư c : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 a =b =c > 0 +b +c = 1 . Ch ng minh r ng : Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 7 a +1 + b +1 + c +1 < a. 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . 111 d. a + b + c + + + ≥ 10 abc Gi i: 7 a. a + 1 + b + 1 + c + 1 < 2 ( )  a +1 +1 ( ) a + 1 a + 1 = 1. a + 1 ≤ =  2 2 ( )  b +1 +1 b a +b +c  ( ) 7 b + 1 = 1. b + 1 ≤ = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3= 2 2 2 2  ( ) c +1 +1 c  ( ) c + 1 = 1. c + 1 ≤ = +1  2 2   +1 = b +1 = c +1 = 1 ⇔ a = b = c = 0 ⇒ a +b +c = 0 ≠ 1 ng th c x y ra khi a 7 V y a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Phân tích bài toán : www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c 1  1 ⇒ a = b = c = . H ng s c n thêm là . khi  a + b + c = 1 3 3  n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 (a + b + c ) hay • T gi thi t g i ý ta ưa 1 1 1 1 1 1  c + +a +  a + +b + b + +c + 3 3. 3 3+ 3 3+ 3 S = a +b + b +c + c +a ≤ .  2 2 2 2    • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 1 2  3  (a + b ) + 3  3 a + 3 +b + 3 3 2 . (a + b ) . = a + b = ≥  2 2 2 2 2 3    Tương t cho các trư ng h p còn l i . Cách khác : 1 a +b + m (a + b ) m ≤ m  2  . V 1 a +b = Gi s v i m i m > 0 , ta luôn có : n bây gi ta   m   oán m > 0 bao nhiêu là phù h p?. d a + b = m 2  1 ⇔m = 3. D th y ng th c x y ra khi  a = b =  3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân (a + b ) + 2   AM _GM 3 2 3 . (a + b ) . 3  a +b = ≤ . 2 3 2 2   2 3 (b + c ) + 3  2 AM _GM  3 . (b + c ) .  b +c = ≤ . 2 3 2 2   2 3 (c + a ) + 3  2 AM _GM 3  c +a = . (c + a ) . ≤ . 2 3 2 2    2 3 2 (a + b + c ) + 3. 3 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ = .2 = 6 ( pcm). . 2 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra  2 a + b = 3  0 < a = b = c 2   1 2 ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = . H ng s c n thêm là khi  a + b + c = 1 3 3 3    2 c + a = 3  • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + 2 + 2 (b + c ) + 2 + 2 (c + a ) + 2 + 2 3 3+ 3 3+ 33 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 3 3 . Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân  22 ( ) a +b + + 3 93 22 ( ) 33  a +b = 3 . a +b . . ≤ 4 33 3   22 ( ) b +c + + 3  9 22 ( ) 33  b + c = 3 .3 b + c . . ≤ 4 33 3   22 (c + a ) + +  9 22 33  3 c + a = 3 .3 (c + a ) . . ≤ 4 33 3    9 2 (a + b + c ) + 4 3 9 6 3 ⇒T = 3 a +b + 3 b +c + 3 c +a ≤ = . = 18 ( pcm). . 3 4 3 43 1 ng th c x y ra khi a = b = c = Du . 3 111 d. a + b + c + + + ≥ 10 abb Phân tích bài toán : +b +c • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a = 1, d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c 1  ⇒a =b =c = . khi  a + b + c = 1 3  1 •T n cách phân tích v i m i m > 0 , ta luôn có : ma + ≥2 m. i u c n ch ng minh ,g i ý ta ưa a ma = 1  a ⇔ m = 9. ng th c x y ra khi :  a = 1  3 111 111 • Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) www.mathvn.com abb abb
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 9a + 1 ≥ 6  a   1 9b + ≥ 6 b  9c + 1 ≥ 6   c 111 ⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm). abb 1 ng th c x y ra khi : a = b = c = . 3 Bài t p tương t Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n nh t bi u th c A = ax + by + cz 2 2 2 β Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz = 2 2 2 Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 Phân tích bài toán : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng 2 2 th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?. • Phân tích : ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2 cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2  a + b = 3 a = 1     Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2   c = 1 a = bc    2 Gi i : x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y 1 1 2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2 2 2 12 1 z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2 2 2 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm). x = y  1 2y 2 = z 2 x = y = 1   2 ⇔ ng th c x y ra khi :  z = 2 1  z 2 = 2x 2  2 xy + yz + zx = 5  235 47 x +y +z . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ = Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) 2 2 2 • Phân tích : 3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m 4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n 5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p 5  x = 3 2  3x = m y = 5 2  4 4y = n z = 1   ⇔ Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p  m = 25   3m = 4n = 5p  3   25 x + y + z = 47 n = 4    12 p = 5  Gi i : 25 25 25 3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = . 3 3 3 25 25 25 4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = . 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm). 12 12 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 5  x = 3  5  ng th c x y ra khi y = . 4  z = 1   (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 Gi i : 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 1 + 3 abc ≤ 3 3 1.1.1 abc ⇔ + ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 3 1.1.1 abc +3 t:T = (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 1  1 a c 1 1 1 b T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  3    1 a + 1 b + 1 c + 1  1 T≤  + + = .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c  3  D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 . T ng quát : ( ) Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có : a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )  1 n   1 1 1  Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 . a  b c  Gi i :  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b 1 1 1 = a . b . c VT =  − 1   − 1   − 1  =  . . a  b c   a  b  c  2 bc 2 ca 2 ab AM_GM ≥ = 8( . . VT pcm) a b c T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0  Cho  . x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1  www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1  1  1  1  Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n . x  x      x2   x3 n  1  1 1 1 1 + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng : Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn 1+a 1 +b 1+c 1 +d 1 abcd ≤ . 81 Gi i :  1 1 1 1 b c d ≥ 1 -  + 1 −  + 1 − + + = 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d 1 AM _GM bcd ≥ 33 (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 1+a 1 bcd ≥3  (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 3 1 + a  1 cda ≥ 33 (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) 1 + b  V y:  1 dca ≥3 1 + c (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) 3   1 abc ≥ 33 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 + d  1 abcd 1 ≥ 81 ⇒ abcd ≤ ⇒ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81 T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0  Cho :  1 1 1 1 1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1  n 1 2 3 1 Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ . (n − 1)n Bài tương t Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng : 3 a b c + + ≥. a. 1+b 1+c 1+a 2 2 2 2 www.mathvn.com