intTypePromotion=1

Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

0
111
lượt xem
22
download

Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Ánh xạ tuyến tính" cung cấp cho người học các kiến thức: Ánh xạ tuyến tính - Nhân và ảnh, ma trận của ánh xạ tuyến tính, xác định ánh xạ tuyến tính, ma trận của ánh xạ tuyến tính, liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Ánh xạ tuyến tính - TS. Lê Xuân Đại

  1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67
  2. Nội dung 1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67
  3. Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý E , F 6= ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x). Định nghĩa Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67
  4. Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu  f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E . Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 67
  5. Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67
  6. Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x12 − λx2, λx2) 6= λ(2x12 − x2, x2), nếu λ 6= 1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67
  7. Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67
  8. Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là nhân của ánh xạ f . 2 Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f . Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker (f ) là không gian véctơ con của E TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 67
  9. Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 67
  10. Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 67
  11. Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : P2(x) → R xác định bởi R1 f (p(x)) = p(x)dx. 0 1 Tìm Ker (f ) 2 Tìm dim(Ker (f )) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 67
  12. Khái niệm tổng quát Ví dụ 1 p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x) R1 2 ⇒ f (p(x)) = (ax + bx + c)dx 0 = + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 . Vậy a 3 b 2 Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R} 2 Ta có ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) = a(x 2 − 13 ) + b(x − 12 ) và x 2 − 31 , x − 12 ĐLTT nên chúng là cơ sở của Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 67
  13. Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker (f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 67
  14. Khái niệm tổng quát Ví dụ Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1), f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1), f (e4) = (0, 0, 2) Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) = x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4) ⇒ Im(f ) =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) > TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 67
  15. Khái niệm tổng quát Ví dụ     1 0 1 1 0 1  −1 1 0 0 1 1     →  0 1 1 0 0 2   0 0 2 0 0 0 Vậy (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f ) và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F = R3. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 67
  16. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn } ⊂ E 1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó n P ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x = λi xi . Khi đó i=1 n X Xn y = f (x) = f ( λi xi ) = λi f (xi ) ∈< f (M) > . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 i=1 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 67
  17. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : Pn n P y= λi f (xi ) = f ( λi xi ) ∈ f (< M >). i=1 i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 67
  18. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F . Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 67
  19. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó 1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67
  20. Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn ) 6= (0, 0, . . . , 0) sao cho Pn λi xi = 0. Khi đó i=1 n P n P f( λi xi ) = f (0) = 0 = λi f (xi ) i=1 i=1 ⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 67

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản