ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Bài giảng điện tử

TS. Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP. HCM — 2013.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67

Nội dung

1 Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh 2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ, cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67

Khái niệm tổng quát Ánh xạ

Định nghĩa Cho 2 tập hợp tùy ý E , F (cid:54)= ∅. Ánh xạ f giữa 2 tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x).

Định nghĩa

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67

Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu) nếu và chỉ nếu

(cid:26) f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E .

Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F là L(E , F ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) là ánh xạ tuyến tính.

∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x)

Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho bởi ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x 2

1 − x2, x2) không là ánh xạ tuyến tính.

Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x 2

1 − λx2, λx2) (cid:54)= λ(2x 2

1 − x2, x2), nếu λ (cid:54)= 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Định nghĩa Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là ánh xạ tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67

Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh

Định nghĩa Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó 1 Ker (f ) = {x ∈ E \f (x) = 0} = f −1(0) là

2

nhân của ánh xạ f . Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E ) là ảnh của ánh xạ f .

1

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó Im(f ) là không gian véctơ con của F 2 Ker (f ) là không gian véctơ con của E

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 67

Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 67

Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh

Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Cho f : P2(x) → R xác định bởi

1 (cid:82)

f (p(x)) =

p(x)dx.

0

1 Tìm Ker (f ) 2 Tìm dim(Ker (f ))

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

1 p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x) 1 (cid:82)

⇒ f (p(x)) =

(ax 2 + bx + c)dx

0

3 + b

2 + c = 0 ⇒ c = − a = a Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− a

3 − b 3 − b

2. Vậy 2) : ∀a, b ∈ R}

2 Ta có

2) = a(x 2 − 1

3 − b 3) + b(x − 1 2) 2 ĐLTT nên chúng là cơ sở của

ax 2 + bx + (− a 3, x − 1 và x 2 − 1 Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 2.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) 1 Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó 2 Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó

Ker (f ) = {(x1, x2, x3, x4) : x1 − x2 = 0, x2 + x3 = 0, x1 + x3 + 2x4 = 0}. Giải hệ phương trình này ta được x4 = 0, x1 = α, x2 = α, x3 = −α, ∀α ∈ R. Vậy Ker (f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở của Ker (f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker (f )) = 1.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Bước 1. Chọn cơ sở của E = R4 là e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Bước 2. Tính f (e1) = (1, 0, 1), f (e2) = (−1, 1, 0), f (e3) = (0, 1, 1), f (e4) = (0, 0, 2) Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có f (x1, x2, x3, x4) = f (x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4) = x1f (e1) + x2f (e2) + x3f (e3) + x4f (e4) ⇒ Im(f ) =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) >

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

→

   

   

   

   

0 1 1 −1 1 0 1 1 0 0 2 0

1 0 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0

Vậy (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f ) và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F = R3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó

f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, . . . , xn} ⊂ E

1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó

λixi. Khi đó

∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K : x =

n (cid:88)

n (cid:80) i=1 n (cid:88)

y = f (x) = f (

λixi) =

λif (xi) ∈< f (M) > .

i=1

i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K :

y =

λixi) ∈ f (< M >).

λif (xi) = f (

n (cid:80) i=1

n (cid:80) i=1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F .

Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó 1 Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ

thuộc tuyến tính

2 Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập

tuyến tính.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

λixi = 0. Khi đó

Chứng minh. 1. Nếu M PTTT thì ∃(λ1, λ2, . . . , λn) (cid:54)= (0, 0, . . . , 0) sao cho n (cid:80) i=1

f (

λixi) = f (0) = 0 =

λif (xi)

n (cid:80) i=1

n (cid:80) i=1

⇒ f (M) PTTT. 2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, . . . , xn} là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính.

Chứng minh. Giả sử

λif (xi) = 0

n (cid:80) i=1

⇒ f (

λixi) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên

n (cid:80) i=1

λixi = 0 mà M ĐLTT nên λi = 0, i = 1..n. (cid:4)

n (cid:80) i=1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 67

Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .

Chứng minh. Ta có f là song ánh=toàn ánh+đơn ánh. Vì f là toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F . Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy f (B) là cơ sở của F .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Xác định f (x1, x2, x3).

3 véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của R3 nên (x1, x2, x3) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

α −β

 

 

⇔

⇔

α = x1 + x2 + x3 β = γ =

= x1 β −γ = x2 γ = x3

x2 + x3 x3

Vậy f (x1, x2, x3) = αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) = (x1 + x2 + x3)(1, 1, 1) + (x2 + x3)(−2, −1, 0) + x3(2, 1, 3) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + 4x3)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Tìm cơ sở và số chiều của Ker (f ).

 

⇔

⇔ x1 = x2 = x3 = 0

x1 + x3

∀x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0 x1 − x2 + x3 = 0 = 0 x1 + x2 + 4x3 = 0

Ker (f ) = {0}. Dim(Ker (f )) = 0. (cid:64) cơ sở Ker (f ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).

Tìm cơ sở và số chiều của Im(f ).

Chọn cơ sở của R3 là (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1). Im(f ) =< f (1, 0, 0), f (−1, 1, 0), f (0, −1, 1) > =< (1, 1, 1), (−2, −1, 0), (2, 1, 3) >

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 26 / 67

Khái niệm tổng quát Ví dụ

 →

1 1 1 −2 −1 0 3 1 2

1 1 1 0 1 2 0 0 3

Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 0, 3). Dim(Im(f )) = 3.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 27 / 67

Khái niệm tổng quát Định lý về số chiều của nhân và ảnh

Định lý về số chiều của nhân và ảnh

Định lý Cho 2 K −kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có

rank(f ) + dim(ker (f )) = dim(E )

hay

dim(Im(f )) + dim(ker (f )) = dim(E )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 28 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính

Xác định ánh xạ tuyến tính

Định lý Giả sử E và F là 2 K -kgv, B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E và v1, v2, . . . , vn là n véctơ tùy ý của F . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n.

Chứng minh tồn tại ánh xạ tuyến tính: ∀x ∈ E ta có x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, xi ∈ K . Lập ánh xạ f : E → F , f (x) = x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 29 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính

Rõ ràng lúc này ta có f (e1) = 1.v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn = v1, f (e2) = v2, . . . f (en) = vn. Vậy luôn tồn tại ánh xạ f thỏa f (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Với x = x1e1 + x2e2 + . . . + xnen, y = y1e1 + y2e2 + . . . + ynen, ta có x + y = (x1 + y1)e1 + (x2 + y2)e2 + . . . + (xn + yn)en và λx = λx1e1 + λx2e2 + . . . + λxnen.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 30 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính

Do đó f (x +y ) = (x1+y1)v1+(x2+y2)v2+. . .+(xn+yn)vn = (x1v1+x2v2+. . .+xnvn)+(y1v1+y2v2+. . .+ynvn) = f (x) + f (y ). f (λx) = (λx1v1 + λx2v2 + . . . + λxnvn) = λ(x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn) = λf (x).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 31 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính

là duy nhất.

Chứng minh f Giả sử còn có g : E → F thỏa g (ei) = vi, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó ∀x ∈ E , ta có

g (x) = x1g (e1) + x2g (e2) + . . . + xng (en)

= x1v1 + x2v2 + . . . + xnvn = f (x).

Vậy g = f .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 32 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Giả sử E , F là 2 K -kgv, dimE = n, dimF = m, f ∈ L(E , F ). Giả sử B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Ánh xạ tuyến tính f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (ej), . . . , f (en).

Giả sử f (ej) =

akjfk =

m (cid:80) k=1

= a1jf1 + a2if2 + . . . + aijfi + . . . + amifm

(j = 1, 2, . . . , n).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 33 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính

Khi đó ma trận 

A =

     

     

. . . a1j a11 ... ... . . . . . . aij ai1 ... ... . . . am1 . . . amj

. . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . amn

được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở BC. Ký hiệu A = MatBC(f )

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 34 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Cho E , F là 2 K -kgv, ∀f ∈ L(E , F ). B = {e1, e2, . . . , en} là 1 cơ sở của E , C = {f1, f2, . . . , fm} là 1 cơ sở của F . Giả sử y = f (x) và X = [x]B = (x1, x2, . . . , xn)T hay xiei; Y = [y ]C = (y1, y2, . . . , ym)T hay x =

y =

ykfk và A = MatBC(f ). Hãy tìm mối liên

n (cid:80) i=1 m (cid:80) k=1

hệ giữa [x]B, [y ]C, MatBC(f )?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 35 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Ta có y = f (x) =

ykfk =

m (cid:80) k=1

= f (

akifk) =

xi(

xiei) =

xif (ei) =

n (cid:80) i=1

n (cid:80) i=1

m (cid:80) k=1

akixi)fk ⇒ yk =

akixi, k = 1, 2, . . . , m.

n (cid:80) i=1

m (cid:80) ( k=1

Hay

hoặc

n (cid:80) i=1 n (cid:80) i=1   

y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........ ym = am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn

ở dạng ma trận [y ]C = ABC[x]B.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 36 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : P2(x) → P1(x) xác định bởi f (p(x)) = p(cid:48)(x) + 3p(cid:48)(cid:48)(x). Cho B = {1, x, x 2} là cơ sở của P2(x) và C = {1, x} là cơ sở của P1(x). 1 Tìm ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong

cặp cơ sở B, C.

2 Tính f (3x 2 + 5x − 2) trực tiếp và thông qua A.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 37 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

1. Ma trận A của AXTT f trong cặp cơ sở B, C

(cid:19)

(cid:18) 0 0

f (x) = 1 + 3.0 = 1 ⇒ [f (x)]C =

Ta có f (1) = 0 + 3.0 = 0 ⇒ [f (1)]C = (cid:19) (cid:18) 1 0

(cid:19)

.

(cid:18) 6 2

f (x 2) = 2x + 3.2 = 6 + 2x ⇒ [f (x 2)]C = (cid:19)

Vậy A =

(cid:18) 0 1 6 0 0 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 38 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

2. Tính trực tiếp f (3x 2 + 5x − 2) = (6x + 5) + 3(6) = 23 + 6x. Tính thông qua A

p(x) = 3x 2 + 5x − 2 ⇒ [p(x)]B =

(cid:19)

[f (p(x))]C = A[p(x)]B =

 =

(cid:18) 0 1 6 0 0 2

−2 5 3  −2 5 3

(cid:19)

. Vậy f (3x 2 + 5x − 2) = 23 + 6x.

(cid:18) 23 6

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 39 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi

(f (x))T = Ax T , với A =

 . Tìm ma

1 −3 2 0 3 4 trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B = {(1, 1), (1, 2)} và C = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 40 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ta có

(cid:19)

=

(f (1, 1))T =

 . Ta

(cid:18) 1 1

1 −3 2 0 3 4

−2 2 7

cần khai triển véctơ (f (1, 1))T trong cơ sở C  

 = α

 + β

 + γ

 .

−2 2 7

1 1 1

1 0 0

1 0 1 Từ đó ta được α = 5, β = 2, γ = −9. Vậy [f (1, 1)]C = (5, 2, −9)T .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 41 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Tương tự ta cũng tính được 

[f (1, 2)]C =

 .

6 4 −15

Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B, C là

A =

6 4

 .

5 2 −9 −15

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 42 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian

Khi f ∈ L(E ). Khi đó f hoàn toàn được xác định bởi các véctơ f (e1), f (e2), . . . , f (ei), . . . , f (en) với B = {e1, e2, . . . , ei, . . . en} là 1 cơ sở của E .

Nếu f (ei) =

n (cid:80) k=1

akiek thì ma trận 

chính

A = MatB(f ) =

     

     

. . . a1n ... . . . . . . ain ... . . . . . . ann

a11 . . . a1i ... ... . . . ai1 . . . aii ... ... . . . an1 . . . ani là ma trận biểu diễn ánh xạ f trong cơ sở B của E .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 43 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cùng 1 không gian

Liên hệ tọa độ của véctơ qua ánh xạ tuyến tính

Nếu X = (x1, x2, . . . , xn)T = [x]B, Y = (y1, y2, . . . , yn)T = [y ]B, thì ta có Yn×1 = An×nXn×1 hay [y ]B = A[x]B.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 44 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B = {(1, 1), (1, 0)}.

e1 = (1, 1) ⇒ f (e1) = (3, 0); e2 = (1, 0) ⇒ f (e2) = (2, 1);

(cid:26) f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 45 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

⇔

⇔

  

  

a11 = 0 a21 = 3 a12 = 1 a22 = 1.

a11.1 + a21.1 = 3 a11.1 + a21.0 = 0 a121. + a22.1 = 2 a121. + a22.0 = 1

Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B = {(1, 1), (1, 0)} là

(cid:19)

A = MatB(f ) =

(cid:18) 0 1 3 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 46 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết f (1, 1) = (−1, 1), f (1, 0) = (1, 2). Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc.

Trong cơ sở chính tắc e1 = (1, 0) ⇒ f (e1) = (1, 2). e2 = (0, 1) = α(1, 1) + β(1, 0) ⇒ α = 1, β = −1 ⇒ f (e2) = f (1, 1) − f (1, 0) = (−1, 1) − (1, 2) = (−2, −1).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 47 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

⇔

⇔

(cid:26) f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2   

  

a11.1 + a21.0 = 1 a11.0 + a21.1 = 2 a12.1 + a22.0 = −2 a12.0 + a22.1 = −1

a11 = 1 a21 = 2 a12 = −2 a22 = −1.

Vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc là

(cid:19)

A =

(cid:18) 1 −2 2 −1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 48 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở

(cid:19)

B = {(1, 1), (−1, 1)} là A =

. Tìm

(cid:18) 1 −1 2 0

f (−1, 5).

Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) ⇒ α = 2, β = 3 ⇒ [x]B = (2, 3)T .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 49 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

= (−1, 6)T .

Từ đó ta có [f (−1, 5)]B = A.[x]B = (cid:19) (cid:18) 1 −1 2 0

(cid:19) (cid:18) 2 3

Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5)

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 50 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cặp cơ sở khác nhau

Ma trận của AXTT trong các cặp cơ sở khác nhau

1, e(cid:48)

2, . . . , e(cid:48) n}

m}

2, . . . , f (cid:48)

1, f (cid:48)

Cho ánh xạ tuyến tính f : E → F . Trong E có 2 cơ sở B = {e1, e2, . . . , en}, B(cid:48) = {e(cid:48) Trong F có 2 cơ sở C = {f1, f2, . . . , fm}, C(cid:48) = {f (cid:48) Gọi S ma trận chuyển cơ sở từ B vào B(cid:48), P ma trận chuyển cơ sở từ C vào C(cid:48). ABC là ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở B và C. Hãy tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cặp cơ sở B(cid:48) và C(cid:48)?

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 51 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cặp cơ sở khác nhau

Khi đó

[f (x)]C = ABC.[x]B ⇔ P[f (x)]C(cid:48) = ABC.S[x]B(cid:48)

⇔ [f (x)]C(cid:48) = P −1ABCS[x]B(cid:48). Như vậy, ma trận P −1ABCS là ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B(cid:48) và C(cid:48).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 52 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

1 = (1, 3), e(cid:48)

2 = (2, 5)}, trong R3 xét 2 cơ

1 = (1, 1, 2), f (cid:48)

2 = (1, 2, 1), f (cid:48)

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác định bởi f (x1, x2) = (x1 − x2, x1 + x2, 2x1 + x2). Trong R2 xét 2 cơ sở B = {e1 = (1, 2), e2 = (3, 4)}, B(cid:48) = {e(cid:48) sở C = {f1 = (1, 0, 1), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 1, 1)}, C(cid:48) = {f (cid:48) 3 = (1, 1, 1)}. Tìm ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B(cid:48) và C(cid:48).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 53 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ma trận chuyển cơ sở từ B sang B(cid:48) là

(cid:19)

7 2

S =

(cid:18) 5 2 −1

2 − 1

2

Ma trận chuyển cơ sở từ C sang C(cid:48) là

P =

1 1 1 0 2 1 1 0 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 54 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B, C là 

A =

−1 −1 0 −2 10 4

Ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B(cid:48), C(cid:48) là 

−1 

(cid:19)

7 2

=

A(cid:48) = P −1AS =

(cid:18) 5 2 − 1

2 − 1

2

1 1 1 0 2 1 1 0 0

−1 −1 0 −2 10 4

=

9 5 8 13 2 − 23 − 15

2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 55 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

2, . . . , e(cid:48)

1, e(cid:48)

Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E là 1 K -kgv. Giả sử B = {e1, e2, . . . , en}, B(cid:48) = {e(cid:48) n} là 2 cơ sở nào đó của E và A = MatB(f ), A(cid:48) = MatB(cid:48)(f ). Giả sử S = Pass(B, B(cid:48)) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B(cid:48). Khi đó ta cũng có A(cid:48) = S −1AS

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 56 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Định nghĩa Hai ma trận A và A(cid:48) được gọi là 2 ma trận đồng dạng nếu A(cid:48) = S −1AS.

Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E . A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f cơ sở B còn A(cid:48) là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở B(cid:48). Khi đó A, A(cid:48) đồng dạng với nhau.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 57 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

(cid:19)

B = {(1, 0), (1, 1)} là A =

. Tìm ma

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở (cid:18) 1 −3 4 1

trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B(cid:48) = {(0, 1), (2, 1)}.

Áp dụng công thức, ta có ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B(cid:48) là A(cid:48) = S −1AS trong đó S là ma trận chuyển từ cơ sở B vào B(cid:48).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 58 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

⇒

Tìm S. (cid:26) (0, 1) = s11(1, 0) + s21(1, 1) (2, 1) = s12(1, 0) + s22(1, 1)

(cid:19)

.

Vậy S =

⇒ S −1 =

(cid:26) s11 = −1; s21 = 1 s21 = 1; s22 = 1 (cid:19) (cid:18) −1 1 1 1

(cid:18) −1 2 1 2

1 2 1 2

(cid:19)

(cid:19)

(cid:19)

.

=

.

(cid:18) −1 1 1 1

Từ đó A(cid:48) = S −1AS = (cid:18) 1 −3 (cid:19) (cid:18) − 1 2 . 1 4 1 2

1 2 1 2

(cid:18) 7 2 − 1 2

7 2 3 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 59 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K ) là ma trận của f trong cặp cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ E và C = {f1, f2, . . . , fm} ⊂ F tức là A = MatBC(f ). Khi đó ta có

Im(f ) =< f (e1), f (e2), . . . , f (en) >,

rank(f ) = rank(AT ) = rank(A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 60 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về hạng của ma trận và ánh xạ tuyến tính

C , . . . , [f (en)]T

C , [f (e2)]T

C ) =

Chứng minh. Im(f ) =< f (B) >=< f (e1), f (e2), . . . , f (en) > ⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) = = rank([f (e1)]T rank(A1∗, A2∗, . . . , An∗) = rank(AT ) = rank(A). Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 61 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − 2x2 + x3 − x4, x1 + 2x2 + x3 + x4, 2x1 + 2x3). Tìm cơ sở, số chiều của Im(f ).

Chọn các cơ sở chính tắc B = {e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)} và C = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1)}

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 62 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

A = MatBC(f ) =

1 −2 1 −1 1 1 0 2

1 2

2 0 Imf =< f (e1), f (e2), f (e3), f (e4) > là không gian sinh bởi các hàng của ma trận AT 

→

AT =

   

   

   

   

1 1 2 −2 2 0 1 1 2 −1 1 0

1 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0

Vậy cơ sở của Im(f ) là (1, 1, 2), (0, 1, 1) và dim(Im(f )) = 2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 63 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Định lý về nhân của ánh xạ tuyến tính

Định lý Cho 2 K -kgv E và F , f : E → F là 1 ánh xạ tuyến tính. Giả sử A ∈ Mm×n(K ) là ma trận của f trong cặp cơ sở B = {e1, e2, . . . , en} ⊂ E và C = {f1, f2, . . . , fm} ⊂ F tức là A = MatBC(f ). Khi đó tọa độ của x ∈ Ker (f ) trong cơ sở B là nghiệm của hệ phương trình A[x]B = 0

x ∈ E , x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0 ⇔ [f (x)]C = 0 ⇔ A[x]B = 0. Vậy tọa độ của x ∈ Ker (f ) trong cơ sở B là nghiệm của hệ phương trình A[x]B = 0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 64 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết ma trận của f trong cơ sở B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 1)} là

AB =

1 2 3 2 1 0 2 4 6

Tìm cơ sở, số chiều của Ker (f ).

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 65 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

x ∈ Ker (f ) ⇔ f (x) = 0 ⇔ [f (x)]B = 0 ⇔ AB[x]B = 0. Giả sử [x]B = (x1, x2, x3)T . Khi đó 

 = 0 ⇔

 =

α −2α α

1 2 3 2 1 0 2 4 6

x1 x2 x3

x1 x2 x3

⇒ x = x1e1 + x2e2 + x3e3 = = α(1, 0, 0) − 2α(1, 0, 1) + α(1, 1, 1) = = (0, α, −α) = α(0, 1, −1) Vậy (0, 1, −1) là cơ sở của Ker (f ) ⇒ dim(Ker (f )) = 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 66 / 67

Ma trận của ánh xạ tuyến tính Ví dụ

THANK YOU FOR ATTENTION

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 67 / 67