Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Chương 4.1 - Phạm Thành Chung

CHƯƠNG 4. MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ HỌC

♣ Các khái niệm cơ bản (số bậc tự do của cơ hệ, lực suy rộng,...)

♣ Nguyên lý công ảo ♣ Nguyên lý d’Alembert

♣ Nguyên lý d’Alembert-Lagrange ♣ Phương trình Lagrange loại 2

Người trình bày: Phạm Thành Chung

Bộ môn Cơ học ứng dụng, Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 1 / 91

Nơi lấy bài giảng và hỏi đáp trực tuyến

http://tiny.cc/CHKT2-ME3011-CnCDT-K57S

hoặc

http://groups.google.com/group/CHKT2-ME3011-CnCDT-K57S?hl=vi

Email liên hệ: phthanhchung@gmail.com

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 2 / 91

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 3 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 3 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 3 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Định nghĩa về liên kết

Liên kết là các điều kiện ràng buộc chuyển động của các chất điểm và các vật rắn thuộc hệ.

Các điều kiện ràng buộc này:

thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình hoặc các bất phương trình.

độc lập với các lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động.

(cid:73) Tiếp theo: Ba thí dụ về liên kết

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 4 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 1 về liên kết

Tời kéo vật nặng

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 5 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 1 về liên kết

Tời kéo vật nặng

v = r ω

=⇒

f (s, ϕ) = s − r ϕ = 0

(1)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 5 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 6 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 6 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 2 về liên kết

Bánh xe lăn không trượt

=⇒

(2)

vC = r ω

f (xC , ϕ) = xC − r ϕ = 0

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 6 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 3 về liên kết

Cơ cấu 4 khâu bản lề

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 7 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Thí dụ 3 về liên kết

Cơ cấu 4 khâu bản lề

(3)

(cid:126)l1 + (cid:126)l2 = (cid:126)l0 + (cid:126)l3

=⇒

(4)

f1(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ2 − l3 cos ϕ3 − l0 = 0 = 0 f2(ϕ1, ϕ2, ϕ3) = l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2 − l3 sin ϕ3

(cid:66) Dạng thường gặp của phương trình liên kết

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 7 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Dạng thường gặp của phương trình liên kết

(k = 1, 2, . . . , r )

(5)

fk (q1, q2, . . . , qm) = 0 ,

Khi các liên kết được biểu diễn dưới dạng1 phương trình (5) thì chúng được gọi là liên kết hình học, giữ và dừng.

Tổng quát:

(6)

fs (qk ,

˙qk , t) ≥ 0

(cid:66) Phân loại liên kết

1phương trình ràng buộc các toạ độ suy rộng của hệ Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Học kỳ 20132 8 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Phân loại liên kết

Liên kết giữ và liên kết không giữ

liên kết không giữ

fs (qk ,

˙qk , t) > 0 :

liên kết giữ

fs (qk ,

˙qk , t) = 0 :

Liên kết hôlônôm2 (liên kết hình học) và liên kết không hôlônôm

liên kết không hôlônôm

fs (qk ,

˙qk , t) = 0 :

liên kết hôlônôm

fs (qk , t) = 0 :

Liên kết dừng và liên kết không dừng3

liên kết không dừng

fs (qk , t) = 0 :

liên kết dừng

fs (qk ) = 0 :

(cid:66) Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

2http://en.wikipedia.org/wiki/Holonomic_constraints 3http://en.wikipedia.org/wiki/Rheonomous_constraint Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 9 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Liên kết và phân loại. Cơ hệ tự do / không tự do

Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Cơ hệ tự do là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của các chất điểm và các vật rắn thuộc hệ có thể nhận các giá trị tuỳ ý. Cơ hệ không tự do (cơ hệ chịu liên kết): (ngược lại...).

Hệ hôlônôm: một cơ hệ không tự do mà chỉ chịu các liên kết hôlônôm. Hệ không hôlônôm: (ngược lại) nếu trong cơ hệ tồn tại ít nhất một liên kết không hôlônôm.

Trong kỹ thuật ta thường hay gặp các cơ hệ chịu các liên kết hôlônôm (liên kết hình học), giữ và dừng.

(cid:66) 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 10 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 10 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo

Di chuyển khả dĩ4 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé của chất điểm từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết. Ký hiệu d (cid:48)(cid:126)r .

Di chuyển ảo5 của chất điểm là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng của chất điểm từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết tại thời điểm khảo sát. Ký hiệu δ(cid:126)r .

(cid:66) Thí dụ

4Nghĩa của từ “khả dĩ”: có khả năng, coi như, xem như, có thể chấp nhận 5Nghĩa của từ “ảo”: không có thật, tưởng tượng, “ảo ảnh”, “thế giới ảo”, “máy tính

ảo”, “cái này ảo quá!”

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 11 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Thí dụ

Xét một chất điểm P di chuyển trên sàn của một thang máy đang chuyển động lên phía trên với vận tốc (cid:126)u. Chất điểm chịu liên kết không dừng (phương trình sàn thang máy). Di chuyển ảo δ(cid:126)r nằm trên sàn thang máy. Di chuyển thực của chất điểm P là α(cid:126)u (với α > 0). Di chuyển khả dĩ của điểm P là d(cid:126)r = δ(cid:126)r + α(cid:126)u và d (cid:48)(cid:126)r = δ(cid:126)r − α(cid:126)u.

(cid:66) Một số chú ý

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 12 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Chú ý

Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng bé phù hợp với liên kết, không quan tâm đến lực tác dụng, còn di chuyển thực vô cùng bé vừa phù hợp với liên kết vừa bị chi phối bởi lực tác dụng. ⇒ Di chuyển thực vô cùng bé là trường hợp riêng của di chuyển khả dĩ. Di chuyển ảo là di chuyển vô cùng bé tưởng tượng mà phù hợp với liên kết tại thời điểm khảo sát ⇒ Trong phương trình liên kết, thời gian t xem là cố định, δt = 0. Nếu liên kết dừng thì các di chuyển ảo sẽ trùng với các di chuyển khả dĩ và khi đó di chuyển thực vô cùng bé là một trường hợp riêng của di chuyển ảo. Nếu liên kết là không dừng thì di chuyển ảo là di chuyển hoàn toàn do tưởng tượng, không thể xảy ra trong thực tế. Khi đó di chuyển thực vô cùng bé không nằm trong tập di chuyển ảo.

(cid:66) Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 13 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Phương trình ràng buộc các thành phần di chuyển ảo

Một chất điểm P dịch chuyển trên một mặt Σ đang chuyển động. Phương trình liên kết là phương trình của Σ di chuyển trong không gian ba chiều Oxyz

f (x, y , z, t) = 0

(7)

⇒ df =

dx +

dy +

dz +

dt = 0

(8)

∂f ∂x

∂f ∂y

∂f ∂z

∂f ∂t

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 14 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

df = ∂f

∂x dx + ∂f

∂y dy + ∂f

∂z dz + ∂f

∂t dt = 0

Trong đó các thành phần dx, dy, dz là tọa độ của di chuyển thực d(cid:126)r . Tại thời điểm t, xét tập các vị trí của điểm P’ rất gần với P và phù hợp với liên kết

(9)

(cid:126)r = x(cid:126)i + y(cid:126)j + z(cid:126)k (cid:126)r (cid:48) = (cid:126)r + δ(cid:126)r = (x + δx)(cid:126)i + (y + δy )(cid:126)j + (z + δz)(cid:126)k

(10)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 14 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Do toạ độ điểm P’ phải thoả mãn phương trình liên kết tại thời điểm t nên

f (x + δx, y + δy , z + δz, t) = 0

(11)

khai triển Taylor ⇒

f (x + δx, y + δy , z + δz, t) = f (x, y , z, t)+ + ∂f ∂x δx + ∂f ∂z δz + · · · = 0

∂y δy + ∂f

∂f

bỏ qua VCB bậc cao, sử dụng (7) ⇒

∂x δx + ∂f

∂y δy + ∂f

∂z δz = 0

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 14 / 91

∂f

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

(12)

∂x δx + ∂f

∂y δy + ∂f

∂z δz = 0

(12) là phương trình ràng buộc của di chuyển ảo δ(cid:126)r .

Di chuyển ảo δ(cid:126)r còn được gọi là biến phân của véctơ (cid:126)r .

(cid:66) Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 14 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo của vật rắn

Di chuyển khả dĩ của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé của vật rắn từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết. Ký hiệu d (cid:48)(cid:126)rC , d (cid:48) (cid:126)ϕ, ... Di chuyển ảo của vật rắn là những di chuyển vô cùng bé tưởng tượng của vật rắn từ vị trí đang xét sang các vị trí lân cận mà phù hợp với liên kết tại thời điểm đang xét. Ký hiệu δ(cid:126)rC , δ (cid:126)ϕ, ...

(cid:66) Số bậc tự do của cơ hệ

⇒ Di chuyển ảo của cơ hệ6

6Khi cơ hệ chỉ chịu các liên kết dừng thì di chuyển ảo sẽ trùng với di chuyển khả dĩ. Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Học kỳ 20132 15 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.2 Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ

Số bậc tự do của cơ hệ

Số bậc tự do của cơ hệ là số tối đa các di chuyển ảo độc lập tuyến tính của cơ hệ.

(cid:66) 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Chú ý: (i) Đối với hệ chịu các liên kết hôlônôm, số tối đa các toạ độ suy rộng độc lập tuyến tính đủ để xác định vị trí của cơ hệ cũng bằng số bậc tự do của nó. (ii) Còn đối với hệ chịu liên kết không hôlônôm, số các toạ độ suy rộng độc lập đủ để xác định vị trí của cơ hệ có thể lớn hơn số bậc tự do của cơ hệ.

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 16 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Nội dung

1 Các khái niệm cơ bản

Liên kết và phân loại liên kết. Cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do Di chuyển ảo và bậc tự do của cơ hệ Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

2 Nguyên lý công ảo

3 Nguyên lý d’Alembert

4 Nguyên lý d’Alembert - Lagrange

5 Phương trình Lagrange loại 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 16 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Công ảo là công của các lực tác dụng lên cơ hệ sinh ra trong một di chuyển ảo của cơ hệ

(cid:88)

(13)

δA =

δA( (cid:126)Fk ) =

(cid:88) (cid:126)Fk .δ(cid:126)rk

Liên kết lý tưởng là các liên kết giữ, mà công ảo của tất cả các phản lực liên kết trong di chuyển ảo bất kỳ của cơ hệ đều bằng không

(14)

(cid:88) (cid:126)F c

k .δ(cid:126)rk = 0

1 , (cid:126)F a

2 , . . . , (cid:126)F a N .

Lực suy rộng Xét một hệ cơ học chịu tác dụng của các lực hoạt động (cid:126)F a Biểu thức công ảo có dạng

(cid:33)

N (cid:88)

f (cid:88)

(cid:32) N (cid:88)

f (cid:88)

δA =

(15)

δqi =

Qi .δqi

(cid:126)F a k .δ(cid:126)rk =

(cid:126)F a k .

∂(cid:126)rk ∂qi

i=1

i=1

k=1

k=1

Qi được gọi là lực suy rộng ứng với toạ độ suy rộng qi .

Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 17 / 91 (cid:66) Ba phương pháp tính lực suy rộng Cơ học kỹ thuật II (ME3010)

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Ba phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa.

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt δqi (cid:54)= 0, δqj = 0 (j (cid:54)= i) và tính δA = [. . .] .δqi ⇒ Qi = [. . .] Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = − ∂Π ∂qi

(cid:66) Thí dụ áp dụng

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 18 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Bài toán: Một con lắc toán học khối lượng m2, dài l được nối vào con trượt A khối lượng m1. Con trượt được nối vào tường bằng lò xo với hệ số cứng là c. Cho biết con trượt A có thể trượt không ma sát trên nền nhẵn. Hãy tìm các lực suy rộng của cơ hệ.

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 19 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải:

Hệ khảo sát gồm (?) Các toạ độ suy rộng: (?) Các lực hoạt động (lực sinh công): (?)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 20 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải:

Hệ khảo sát gồm con trượt A và chất điểm B.

Các toạ độ suy rộng: (?)

Các lực hoạt động: (?)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 21 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải:

Hệ khảo sát gồm con trượt A và chất điểm B. Các toạ độ suy rộng: q1 = xA, q2 = ϕ. Các lực hoạt động: (?)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 22 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải:

Hệ khảo sát gồm con trượt A và chất điểm B. Các toạ độ suy rộng: q1 = xA, q2 = ϕ. Các lực hoạt động: lực F (t), trọng lực m2g và lực đàn hồi của lò xo.

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 23 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải: (tiếp theo)

Chọn phương pháp (?)

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 24 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Ba phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp7

Phương pháp 1: Tính theo công thức định nghĩa.

Phương pháp 2: Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt δqi (cid:54)= 0, δqj = 0 (j (cid:54)= i) và tính δA = [. . .] .δqi ⇒ Qi = [. . .] Phương pháp 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Qi = − ∂Π ∂qi

7(nhắc lại nội dung này) Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 25 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải: (tiếp theo)

Chọn phương pháp 2: - Cho hệ thực hiện8 một di chuyển ảo δxA (cid:54)= 0, δϕ = 0 ta có

δA = F (t)δxA − cxAδxA ⇒ QxA = F (t) − cxA

- Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA = 0, δϕ (cid:54)= 0 ta có

δA = −m2gl sin ϕδϕ ⇒ Qϕ = −m2gl sin ϕ

8Phương pháp 2: “Cho cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo đặc biệt (cid:54)= 0, δqj = 0 (j (cid:54)= i) và tính δA = [. . .] .δqi ⇒ Qi = [. . .]”

δqi

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 26 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải: (thêm)

i = − ∂Π ∂qi

i = [. . .]

Đề xuất phương pháp kết hợp 2 & 3: Tính lực suy rộng của các lực có thế Q Π Tính công ảo của các lực không thế δA∗ = [. . .] .δqi ⇒ Q ∗ Cuối cùng

Qi = Q ∗

i −

∂Π ∂qi

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 27 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

= F (t)

Lời giải: (thêm) Tính toán: - Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA (cid:54)= 0, δϕ = 0 ta có δA∗ = F (t)δxA ⇒ Q ∗ xA

- Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo δxA = 0, δϕ (cid:54)= 0 ta có

δA∗ = 0 ⇒ Q ∗

ϕ = 0

- Thế năng của cơ hệ

Π =

cx 2

A − m2gl cos ϕ

1 2

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 28 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản 1.3 Công ảo. Liên kết lý tưởng. Lực suy rộng

Một thí dụ tính lực suy rộng

Lời giải: (thêm) Tính toán:

= F (t)

Q ∗ xA Q ∗

ϕ = 0

Π =

cx 2

A − m2gl cos ϕ

1 2

- Lực suy rộng

−

= −m2gl sin ϕ

= F (t) − cxA; Qϕ = Q ∗

ϕ −

QxA = Q ∗ xA

∂Π ∂ϕ

∂Π ∂xA (cid:66) Các bài toán liên quan tính lực suy rộng

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 29 / 91

§1. Các khái niệm cơ bản Bài tập và thảo luận

Các bài toán liên quan tính lực suy rộng

Các bài toán về thiết lập phương trình vi phân chuyển động sử dụng phương trình Lagrange loại 2.

Chương 16. Bài tập Cơ học kỹ thuật.9 Thí dụ: Bài 16-7, 9,...

(cid:66) §2. Nguyên lý công ảo

9Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Quang Hoàng, Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Minh

Phương: Bài tập Cơ học kỹ thuật. NXB Giáo dục Việt Nam, 2010.

Cơ học kỹ thuật II (ME3010) Chương 4. Một số nguyên lý cơ học Học kỳ 20132 30 / 91