Chương 2(tt): Không gian Euclide
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
2.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
2.2 – Bù vuông góc của không gian con.
2.1 Tích vơ hướng
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký
hiệu <u,v> thỏa 4 tiên đề sau:
a.
( , ) < , ,
u v V u v v u

b.
( , ,w V) < , , ,
u v u v w u w v w

c.
( , , ) , ,
R u v V u v u v
d.
( ) , 0; , 0 0
u V u u u u u
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô
hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
Giải.
2.1. Tích vơ hướng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong không gian cho qui tắc
2
R
Ví dụ
1 2 2 1 2 2
( , ) ; ( , )
x x x R y y y R
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
, ( , ),( , ) 2 2 10
x y x x y y x y x y x y x y
1. Chứng tỏ <x,y> là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ
(2,1), (1, 1)
u v
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là
(2,1), (1, 1)
u v
, (2,1),(1, 1)
u v
2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
2.1. Tích vơ hướng
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2 2
1 1 1 2 2 2 2
( ) ; ( ) [x].
p x a x b x c q x a x b x c P
Trong không gian cho qui tắc
2
[x]
P
1
0
, ( ) ( )
p q p x q x dx
1. Chứng tỏ <p,q> là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của
2
( ) 2 3 1, ( ) 1
p x x x q x x
1
0
, ( ). ( )
p q p x q x dx
12
0
(2 3 1)( 1)
x x x dx
1
6
2. Tích vô hướng của hai véctơ <p,q> là