Bài giảng Đại số tuyến tính Chương 4: Tài liệu của Lê Văn Luyện

Nội dung chương 4

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Chương 4

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Lê Văn Luyện

lvluyen@yahoo.com

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

1 / 86

lvluyen@yahoo.com

http://lvluyen.wordpress.com/dstt

Nội dung chương 4

Nội dung

Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. Định nghĩa

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

2 / 86

lvluyen@yahoo.com

1. Định nghĩa

1.1 Ánh xạ

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

3 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta viết f : X −→ Y x (cid:55)−→ y = f (x)

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

Ví dụ.

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.

1. Định nghĩa

• g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. n

1.1 Ánh xạ

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f (x).

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

Ví dụ.

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.

1. Định nghĩa

• g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. n

1.1 Ánh xạ

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f (x). Ta viết f : X −→ Y x (cid:55)−→ y = f (x)

Ví dụ.

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.

1. Định nghĩa

• g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. n

1.1 Ánh xạ

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

1. Định nghĩa

• g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. m • h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. n

1.1 Ánh xạ

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

Ví dụ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ.

1. Định nghĩa

m • h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. n

1.1 Ánh xạ

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

Ví dụ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ. • g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ.

1. Định nghĩa

1.1 Ánh xạ

Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).

Ví dụ.

• f : R → R xác định bởi f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh xạ. • g : R3 → R2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4 / 86

lvluyen@yahoo.com

• h : Q → Z xác định bởi h( ) = m không là ánh xạ. m n

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó

Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó

Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta viết: h = gof.

fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó

= f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x))

= 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2)

1. Định nghĩa

gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5.

1. Định nghĩa

= g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. gof (x) = g(f (x)

1. Định nghĩa

= (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1)

1. Định nghĩa

Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f (x) = g(x).

Ví dụ. Xét ánh xạ f (x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x2 − 1 từ R → R. Ta có f = g.

Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y (cid:48) → Z trong đó Y ⊂ Y (cid:48). Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi:

h : X −→ Z x (cid:55)−→ h(x) = g(f (x))

Ta viết: h = gof.

Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x2 + 2. Khi đó

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

5 / 86

lvluyen@yahoo.com

fog(x) = f (g(x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. gof (x) = g(f (x) = g(2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26)

f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1}

1. Định nghĩa

f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26)

f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1}

1. Định nghĩa

f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26)

f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1}

1. Định nghĩa

f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26)

f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1}

1. Định nghĩa

f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26)

f −1(1) = {0} f −1(2) = {−1, 1}

1. Định nghĩa

f −1(−5) = ∅ f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

1. Định nghĩa

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó:

• f (A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} được gọi là ảnh của A.

• f −1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B.

• f (X) được gọi là ảnh của ánh xạ f , ký hiệu Imf .

Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x2 + 1. Khi đó:

f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−2, −1]) = [2, 5]

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

6 / 86

lvluyen@yahoo.com

f ((1, 5)) = (2, 26) f −1(2) = {−1, 1} f −1([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] f ([−1, 3]) = [1, 10] f −1(1) = {0} f −1(−5) = ∅

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ. • f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh)

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Ví dụ. • f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh)

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. • f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ.

• f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ.

• f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

1. Định nghĩa

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ.

• f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh)

1. Định nghĩa

Phân loại ánh xạ

a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau.

Nghĩa là: ∀x1, x2 ∈ X, x1 (cid:54)= x2 ⇒ f (x1) (cid:54)= f (x2).

Ví dụ.

• f : N → R được xác định f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không đơn ánh)

b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y.

Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.

Ví dụ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

7 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f : R → R được xác định f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không toàn ánh)

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh)

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

Ánh xạ ngược

Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f (x) = y. Do đó tương ứng y (cid:55)−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy:

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

1. Định nghĩa

y − 1 Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . 2

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

lvluyen@yahoo.com

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

• g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

Ánh xạ ngược

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

1. Định nghĩa

y − 1 Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . 2

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh)

Ánh xạ ngược

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

1. Định nghĩa

y − 1 Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . 2

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Ví dụ.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

1. Định nghĩa

y − 1 Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . 2

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Ví dụ.

• f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

Ánh xạ ngược

Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

lvluyen@yahoo.com

nhất một phần tử x ∈ X thỏa f (x) = y. Do đó tương ứng y (cid:55)−→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọi đây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f ˘1. Như vậy:

1. Định nghĩa

y − 1 Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = . 2

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Ví dụ.

• f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

Ánh xạ ngược

Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

lvluyen@yahoo.com

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

1. Định nghĩa

c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.

Ví dụ.

• f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x2 + 1 (không song ánh)

Ánh xạ ngược

Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy

f −1 : Y −→ X y (cid:55)−→ f −1(y) = x sao cho f (x) = y

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

8 / 86

Ví dụ. Cho f : R → R với f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1(y) = .

y − 1 2 lvluyen@yahoo.com

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V ,

ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

1. Định nghĩa

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

1. Định nghĩa

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V ,

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

1. Định nghĩa

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

1. Định nghĩa

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

1. Định nghĩa

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

1. Định nghĩa

1.2 Ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên R. Ta nói f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa hai điều kiện dưới đây:

i) f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.

Nhận xét. Điều kiện i) và ii) trong định nghĩa có thể được thay thế bằng một điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.

Ký hiệu. • L(V, W ) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W .

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

9 / 86

lvluyen@yahoo.com

• Nếu f ∈ L(V, V ) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên V. Viết tắt f ∈ L(V ).

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2)

= (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2)

= f (u) + f (v).

1. Định nghĩa

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f (0) = 0;

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2)

= (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2)

= f (u) + f (v).

1. Định nghĩa

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

• f (0) = 0;

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2)

= (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2)

= f (u) + f (v).

1. Định nghĩa

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

• f (0) = 0;

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2)

= (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2)

= f (u) + f (v).

1. Định nghĩa

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

• f (0) = 0;

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

1. Định nghĩa

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

• f (0) = 0;

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f (u) + f (v).

1. Định nghĩa

Nhận xét. Nếu f ∈ L(V, W ) thì

• f (0) = 0;

• f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.

Ví dụ. Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z).

Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính.

Giải. ∀u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3. Ta có

f (u + v) = f (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

= (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2, 2x1 + 2x2 + z1 + z2) = (x1 + 2y1 − 3z1, 2x1 + z1) + (x2 + 2y2 − 3z2, 2x2 + z2) = f (u) + f (v).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

10 / 86

lvluyen@yahoo.com

Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự.

  α1 α2     thì Hơn nữa, nếu [u]B =   ...   αn f (u) = α1f (u1) + α2f (u2) + . . . + αnf (un).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho các vectơ:

u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

1. Định nghĩa

ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

Định lý. Cho V và W là hai không gian vectơ, B = {u1, u2, . . . , un} là cơ sở của V . Khi đó, nếu S = {v1, v2, . . . , vn} là một tập hợp của W thì tồn tại duy nhất một f ∈ L(V, W ) sao cho

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

11 / 86

lvluyen@yahoo.com

f (u1) = v1, f (u2) = v2, . . . , f (un) = vn.

Ví dụ. Trong không gian R3 cho các vectơ:

u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3). i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

1. Định nghĩa

ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

f (u1) = v1, f (u2) = v2, . . . , f (un) = vn.  

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

11 / 86

lvluyen@yahoo.com

thì Hơn nữa, nếu [u]B =         α1 α2 ... αn f (u) = α1f (u1) + α2f (u2) + . . . + αnf (un).

1. Định nghĩa

f (u1) = v1, f (u2) = v2, . . . , f (un) = vn.  

thì Hơn nữa, nếu [u]B =         α1 α2 ... αn f (u) = α1f (u1) + α2f (u2) + . . . + αnf (un).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho các vectơ:

u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

11 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3. ii) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

    1 −1 1 u1 1 0 1 Lập A = u2  =   .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập  2 −1 3 u3 tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

Lập A =   =   . 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3 tuyến tính.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

1. Định nghĩa

Lập     1 1 2 x 1 0 0 x − y − z −1 0 −1 y 0 1 0 2x + y − z (u(cid:62)   →   . 1 1 3 z 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.

1. Định nghĩa

  1 0 0 x − y − z 0 1 0 2x + y − z →   . 0 0 1 −x + z

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

3 |u(cid:62)) =

2 u(cid:62)

1 u(cid:62)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập   1 1 (u(cid:62)   2 x −1 0 −1 y 3 z 1 1

1. Định nghĩa

Giải.

a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là một cơ sở của R3.

   

Lập A =  =    .Ta có |A| = 1, suy ra B độc lập 1 −1 1 1 0 1 2 −1 3 u1 u2 u3

tuyến tính. Vì dimR3 = 3 bằng số vectơ của B nên B là một cơ sở của R3.

b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1) = (2, 1, −2); f (u2) = (1, 2, −2); f (u3) = (3, 5, −7).

3 |u(cid:62)) =

2 u(cid:62)

1 u(cid:62)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

12 / 86

lvluyen@yahoo.com

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B. Lập     1 1 (u(cid:62)   →   . 2 x −1 0 −1 y 3 z 1 1 1 0 0 x − y − z 0 1 0 2x + y − z 0 0 1 −x + z

Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (x − y − z)f (u1) + (2x + y − z)f (u2) + (−x + z)f (u3)

= (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2)

+ (−x + z)(3, 5, −7)

1. Định nghĩa 

= (x − y, y + 2z, x − 3z).



Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

13 / 86

lvluyen@yahoo.com

Vậy [u]B =   . x − y − z 2x + y − z −x + z

Vậy, ta có

f (u) = (x − y − z)f (u1) + (2x + y − z)f (u2) + (−x + z)f (u3)

= (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2)

+ (−x + z)(3, 5, −7)

1. Định nghĩa 

= (x − y, y + 2z, x − 3z).



Vậy [u]B =   . x − y − z 2x + y − z −x + z

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

13 / 86

lvluyen@yahoo.com

Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3.

1. Định nghĩa 



Vậy [u]B =   . x − y − z 2x + y − z −x + z

Suy ra u = (x − y − z)u1 + (2x + y − z)u2 + (−x + z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (x − y − z)f (u1) + (2x + y − z)f (u2) + (−x + z)f (u3)

= (x − y − z)(2, 1, −2) + (2x + y − z)(1, 2, −2)

+ (−x + z)(3, 5, −7)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

13 / 86

lvluyen@yahoo.com

= (x − y, y + 2z, x − 3z).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

1.1 Không gian nhân

1.2 Không gian ảnh

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

14 / 86

lvluyen@yahoo.com

Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f .

Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0.

2.1 Không gian nhân

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

15 / 86

lvluyen@yahoo.com

Kerf = {u ∈ V | f (u) = 0}

Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0.

2.1 Không gian nhân

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Kerf = {u ∈ V | f (u) = 0}

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

15 / 86

lvluyen@yahoo.com

Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f .

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

2.1 Không gian nhân

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Kerf = {u ∈ V | f (u) = 0}

Khi đó Kerf là không gian con của V , ta gọi Kerf là không gian nhân của f .

Nhận xét. Dựa vào Định nghĩa, ta được

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

15 / 86

lvluyen@yahoo.com

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0  x + y − z = 0  2x + 3y − z = 0 ⇔  3x + 5y − z = 0

    1 1 −1 1 0 −2 2 3 −1 0 1 1 Ma trận hóa, ˜A =   →   . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Tìm một cơ sở của Kerf.

 x + y − z = 0  2x + 3y − z = 0 ⇔  3x + 5y − z = 0

    1 1 −1 1 0 −2 2 3 −1 0 1 1 Ma trận hóa, ˜A =   →   . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

    1 1 −1 1 0 −2 2 3 −1 0 1 1 Ma trận hóa, ˜A =   →   . 3 5 −1 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

  ⇔  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0

  1 0 −2 0 1 1 →   . 0 0 0 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

  ⇔  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ma trận hóa, ˜A =   1 1 −1 2 3 −1 3 5 −1

Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

  ⇔ 

  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0  

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ma trận hóa, ˜A =    →  . 1 0 −2 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 2 3 −1 3 5 −1

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

  ⇔ 

  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0  

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ma trận hóa, ˜A =    →  . 1 0 −2 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 2 3 −1 3 5 −1 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

  ⇔ 

  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0  

Ma trận hóa, ˜A =    →  . 1 0 −2 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 2 3 −1 3 5 −1 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)

Tìm một cơ sở của Kerf.

Giải. Gọi u = (x, y, z) ∈ R3.

u ∈ Kerf ⇔ f (u) = 0

  ⇔ 

  x + y − z = 0 2x + 3y − z = 0 3x + 5y − z = 0  

Ma trận hóa, ˜A =    →  . 1 0 −2 1 0 1 0 0 0 1 1 −1 2 3 −1 3 5 −1 Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.

Nghiệm cơ bản của hệ là u1 = (2, −1, 1).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

16 / 86

lvluyen@yahoo.com

Vậy, Kerf có cơ sở là {u1 = (2, −1, 1)}.

Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f .

Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu

S = {u1, u2, . . . , um}

là tập sinh của V thì

f (S) = {f (u1), f (u2), . . . , f (um)}

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

là tập sinh của Imf.

2.1 Không gian ảnh

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

17 / 86

lvluyen@yahoo.com

Imf = {f (u) | u ∈ V }

Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu

S = {u1, u2, . . . , um}

là tập sinh của V thì

f (S) = {f (u1), f (u2), . . . , f (um)}

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

là tập sinh của Imf.

2.1 Không gian ảnh

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Imf = {f (u) | u ∈ V }

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

17 / 86

lvluyen@yahoo.com

Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f .

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

2.1 Không gian ảnh

Định nghĩa. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Ta đặt

Imf = {f (u) | u ∈ V }

Khi đó Imf là không gian con của W , ta gọi Imf là không gian ảnh của f .

Định lý. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu

S = {u1, u2, . . . , um}

là tập sinh của V thì

f (S) = {f (u1), f (u2), . . . , f (um)}

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

17 / 86

lvluyen@yahoo.com

là tập sinh của Imf.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3),

f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5),

f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nhận xét. Dựa vào định lý trên, để tìm cơ sở Imf , ta chọn một tập sinh S của V (để đơn giản ta có thể chọn cơ sở chính tắc). Khi đó Imf sinh bởi tập ảnh của S.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3),

f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5),

f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

Tìm một cơ sở của Imf.

Ta có

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3),

f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5),

f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3.

f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5),

f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3),

f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3), f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5),

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3), f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5), f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Cho f : R3 → R3 được xác định bởi:

f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.

Giải. Gọi B0 = {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R3. Ta có

f (e1) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3), f (e2) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5), f (e3) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

18 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta có Imf sinh bởi {f (e1), f (e2), f (e3)}.

  1 2 3 0 1 2   . 0 0 0

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

1 1 A =   =   → 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

   

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

1 1 A =   .   =   → 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

   

1 1 A =   .   =   → 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

   

1 1 A =   .   =   → 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

   

1 1 A =   .   =   → 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

   

1 1 A =   .   =   → 1 2 3 0 1 2 0 0 0 3 2 3 5 −1 −1 −1 Lập ma trận   f (e1) f (e2) f (e3)

Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.

Định lý. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính và V hữu hạn chiều. Khi đó dimImf + dimKerf = dimV.

Mệnh đề. Cho f : V → W là ánh xạ tuyến tính. Khi đó

i) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

19 / 86

lvluyen@yahoo.com

ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = W .

B ).

Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo cặp cơ sở B, B(cid:48), ký hiệu P = [f ]B,B(cid:48) (hoặc [f ]B(cid:48)

Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f ]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f ]B

Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z)

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f ]B,C.

Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở B(cid:48) = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

20 / 86

lvluyen@yahoo.com

P = ([f (u1)]B(cid:48) [f (u2)]B(cid:48) . . . [f (un)]B(cid:48)) .

Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f ]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f ]B

Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z)

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f ]B,C.

Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở B(cid:48) = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt

P = ([f (u1)]B(cid:48) [f (u2)]B(cid:48) . . . [f (un)]B(cid:48)) .

B ).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

20 / 86

lvluyen@yahoo.com

Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo cặp cơ sở B, B(cid:48), ký hiệu P = [f ]B,B(cid:48) (hoặc [f ]B(cid:48)

Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z)

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f ]B,C.

Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở B(cid:48) = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt

P = ([f (u1)]B(cid:48) [f (u2)]B(cid:48) . . . [f (un)]B(cid:48)) .

B ).

Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo cặp cơ sở B, B(cid:48), ký hiệu P = [f ]B,B(cid:48) (hoặc [f ]B(cid:48)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

20 / 86

lvluyen@yahoo.com

Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f ]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f ]B

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa. Cho V có cơ sở B = (u1, u2, . . . , un), W có cơ sở B(cid:48) = (v1, v2, . . . , vm) và f ∈ L(V, W ). Đặt

P = ([f (u1)]B(cid:48) [f (u2)]B(cid:48) . . . [f (un)]B(cid:48)) .

B ).

Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo cặp cơ sở B, B(cid:48), ký hiệu P = [f ]B,B(cid:48) (hoặc [f ]B(cid:48)

Nếu f ∈ L(V ) thì ma trận [f ]B,B được gọi là ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f ]B

Ví dụ. Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi

f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

20 / 86

lvluyen@yahoo.com

và cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)). Tìm [f ]B,C.

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 2 a (cid:18) 1 0 −5a + 2b Lập (v(cid:62) → . 3 5 0 1 3a − b b

(cid:19) (cid:18) −5a + 2b . Suy ra [v]C = 3a − b

Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 11 (cid:18) 6 (cid:18) 8 . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = −3 −6 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

(cid:19) (cid:19) (cid:18) 1 2 a (cid:18) 1 0 −5a + 2b Lập (v(cid:62) → . 3 5 0 1 3a − b b

(cid:19) (cid:18) −5a + 2b . Suy ra [v]C = 3a − b

Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 11 (cid:18) 6 (cid:18) 8 . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = −3 −6 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C.

(cid:19) (cid:18) 1 0 −5a + 2b . 0 1 3a − b

(cid:19) (cid:18) −5a + 2b . Suy ra [v]C = 3a − b

Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 11 (cid:18) 6 (cid:18) 8 . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = −3 −6 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) → Lập (v(cid:62) (cid:18) 1 2 a b 3 5

(cid:19) (cid:18) −5a + 2b . Suy ra [v]C = 3a − b

Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 6 (cid:18) 11 (cid:18) 8 . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = −3 −6 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) . → Lập (v(cid:62) (cid:18) 1 0 −5a + 2b 0 1 3a − b (cid:18) 1 2 a b 3 5

Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:19) (cid:19) (cid:19) (cid:18) 6 (cid:18) 11 (cid:18) 8 . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = −3 −6 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

(cid:19) Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) . → Lập (v(cid:62) (cid:18) 1 0 −5a + 2b 0 1 3a − b

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) . Suy ra [v]C = (cid:18) 1 2 a b 3 5 (cid:18) −5a + 2b 3a − b

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 11 8 . [f ]B,C = −3 −6 −4

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

(cid:19) Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) . → Lập (v(cid:62) (cid:18) 1 0 −5a + 2b 0 1 3a − b

(cid:19) . Suy ra [v]C = (cid:18) 1 2 a b 3 5 (cid:18) −5a + 2b 3a − b

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) (cid:19) (cid:19) . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:18) 6 −3 (cid:18) 11 −6 (cid:18) 8 −4

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Ta có

f (u1) = (0, 3), f (u2) = (−1, 3), f (u3) = (0, 4).

1 v(cid:62)

2 |v(cid:62)) →

(cid:19) Với v = (a, b) ∈ R2, tìm [v]C. (cid:19) . → Lập (v(cid:62) (cid:18) 1 0 −5a + 2b 0 1 3a − b

(cid:19) . Suy ra [v]C = (cid:18) 1 2 a b 3 5 (cid:18) −5a + 2b 3a − b

(cid:19) (cid:19) (cid:19) . [f (u1)]C = , [f (u2)]C = , [f (u3)]C = Lần lượt thay f (u1), f (u2), f (u3) ta có (cid:18) 6 −3 (cid:18) 11 −6 (cid:18) 8 −4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

21 / 86

lvluyen@yahoo.com

Vậy (cid:19) (cid:18) 6 . [f ]B,C = 11 8 −3 −6 −4

Giải.   1 −2 1 −1 1 2 1 1 =   [f ]B0,B(cid:48) 2 0 2 0

Ví dụ. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f (x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là:

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

(cid:19) (cid:18) 2 1 . [f ]B0 = 1 −4

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định bởi

f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

22 / 86

lvluyen@yahoo.com

Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc.

Ví dụ. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f (x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là:

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

(cid:19) (cid:18) 2 1 . [f ]B0 = 1 −4

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định bởi

f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z).

Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc.

Giải.  

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

22 / 86

lvluyen@yahoo.com

=   [f ]B0,B(cid:48) 1 −2 1 −1 1 2 1 1 0 0 2 2

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

(cid:19) (cid:18) 2 1 . [f ]B0 = 1 −4

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định bởi

f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z).

Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc.

Giải.  

=   [f ]B0,B(cid:48) 1 −2 1 −1 1 2 1 1 0 0 2 2

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

22 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ví dụ. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f (x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là:

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định bởi

f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z).

Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở chính tắc.

Giải.  

=   [f ]B0,B(cid:48) 1 −2 1 −1 1 2 1 1 0 0 2 2

Ví dụ. Cho f ∈ L(R2) xác định bởi f (x, y) = (2x + y, x − 4y). Khi đó ma trận biểu diễn f theo cơ sở chính tắc B0 là:

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

22 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) (cid:18) 2 . [f ]B0 = 1 1 −4

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B.

ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B.

ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

Định lý. Cho V và W là các không gian vectơ hữu hạn chiều; B, B(cid:48) và C, C(cid:48) tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W . Khi đó, với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có

ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B.

ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B.

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B.

ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B. ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B.

ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B. ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B. ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B.

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B. ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B. ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C[u]B. ii) [f ]B(cid:48),C(cid:48) = (C → C(cid:48))−1[f ]B,C(B → B(cid:48)).

Hệ quả. Cho B và B(cid:48) là hai cơ sở của không gian hữu hạn chiều V . Khi đó đối với mọi toán tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có

i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B[u]B. ii) [f ]B(cid:48) = (B → B(cid:48))−1[f ]B(B → B(cid:48)).

Ví dụ. Trong không gian R3 cho cơ sở

B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1))

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

23 / 86

lvluyen@yahoo.com

và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z). Tìm [f ]B.

Áp dụng hệ quả, ta có

[f ]B = (B0 → B)−1[f ]B0(B0 → B),

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

  1 0 2 1 2 3 trong đó (B0 → B) = (u(cid:62)  , do đó 0 1 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −1 2 −4 −1 1 −1 (B0 → B)−1 =   . 1 −1 2

Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R3, ta có

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

24 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f ]B0 =   . 2 1 2 −1 1 −1 2 −1 3

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

  1 0 2 1 2 3 trong đó (B0 → B) = (u(cid:62)  , do đó 0 1 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −1 2 −4 −1 1 −1 (B0 → B)−1 =   . 1 −1 2

Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R3, ta có

 

[f ]B0 =   . 2 1 2 −1 1 −1 2 −1 3

Áp dụng hệ quả, ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

24 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f ]B = (B0 → B)−1[f ]B0(B0 → B),

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −1 2 −4 −1 1 −1 (B0 → B)−1 =   . 1 −1 2

Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R3, ta có

 

[f ]B0 =   . 2 1 2 −1 1 −1 2 −1 3

Áp dụng hệ quả, ta có

[f ]B = (B0 → B)−1[f ]B0(B0 → B),

 

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

24 / 86

lvluyen@yahoo.com

trong đó (B0 → B) = (u(cid:62)  , do đó 1 0 2 1 2 3 0 1 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −1 2 −4 −1 1 −1   . 1 −1 2

Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R3, ta có

 

[f ]B0 =   . 2 1 2 −1 1 −1 2 −1 3

Áp dụng hệ quả, ta có

[f ]B = (B0 → B)−1[f ]B0(B0 → B),

 

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

trong đó (B0 → B) = (u(cid:62)  , do đó 1 0 2 1 2 3 0 1 1

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

24 / 86

lvluyen@yahoo.com

(B0 → B)−1 =

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Giải. Gọi B0 là cơ sở chính tắc của R3, ta có

 

[f ]B0 =   . 2 1 2 −1 1 −1 2 −1 3

Áp dụng hệ quả, ta có

[f ]B = (B0 → B)−1[f ]B0(B0 → B),

 

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

trong đó (B0 → B) = (u(cid:62)  , do đó 1 0 2 1 2 3 0 1 1

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

24 / 86

lvluyen@yahoo.com

−1 −1 (B0 → B)−1 =  .  2 −4 1 −1 2 1 −1

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2, biết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) và C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) là (cid:19) (cid:18) 2 1 −3 . [f ]B,C = 0 3 4

Tìm công thức của f.

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Giải.

Suy ra

     

−1 −1 [f ]B =      2 −4 1 −1 2 1 0 2 1 2 3 0 1 1 1 −1  2 1 2 −1  1 −1 2 −1  3    

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

25 / 86

lvluyen@yahoo.com

−8 −3 =     =   . 7 −13 2 −3 6 1 0 2 1 2 3 0 1 1 −1 1 −8 −1 1 −3 7 2 0 5 −3

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Suy ra

     

−1 −1 [f ]B =      2 −4 1 −1 2 1 0 2 1 2 3 0 1 1 1 −1  2 1 2 −1  1 −1 2 −1  3    

−8 −3 =     =   . 7 −13 2 −3 6 1 0 2 1 2 3 0 1 1 −1 1 −8 −1 1 −3 7 2 0 5 −3

Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2, biết ma trận biểu diễn của f trong cặp cơ sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) và C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) là (cid:19) . [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Tìm công thức của f.

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

25 / 86

lvluyen@yahoo.com

Giải. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Ta có (cid:19) (cid:18) 2 . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C = 0 (cid:19) (cid:18) 1 . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C = 3 (cid:19) (cid:18) −3 . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = 4

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.     1 1 1 x 1 0 0 x − y − z 1 0 1 y 0 1 0 2x + y − z Lập (u(cid:62)  →   .  1 1 0 z 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

(cid:19) (cid:18) 1 . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C = 3 (cid:19) (cid:18) −3 . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = 4

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.     1 1 1 x 1 0 0 x − y − z 1 0 1 y 0 1 0 2x + y − z Lập (u(cid:62)   →   . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C = (cid:18) 2 0

(cid:19) (cid:18) −3 . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = 4

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.     1 1 1 x 1 0 0 x − y − z 1 0 1 y 0 1 0 2x + y − z Lập (u(cid:62)  →   .  1 1 0 z 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.     1 1 1 x 1 0 0 x − y − z 1 0 1 y 0 1 0 2x + y − z Lập (u(cid:62)   →   . 1 1 0 z 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

(cid:19) . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3 (cid:18) −3 4

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

    1 1 1 x 1 0 0 x − y − z 1 0 1 y 0 1 0 2x + y − z Lập (u(cid:62)  →   .  1 1 0 z 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3 (cid:18) −3 4

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.

  1 0 0 x − y − z 0 1 0 2x + y − z →   . 0 0 1 −x + z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3 (cid:18) −3 4

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.  

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

Lập (u(cid:62)   1 1 1 x 1 0 1 y 1 1 0 z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −x + y + z x − y Vậy [u]B =   . x − z

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3 (cid:18) −3 4

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.    

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

Lập (u(cid:62)   .   → 1 0 0 x − y − z 0 1 0 2x + y − z 0 0 1 −x + z 1 1 1 x 1 0 1 y 1 1 0 z

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

(cid:19) . Cách 1. Do [f ]B,C = (cid:18) 2 1 −3 4 0 3

Ta có (cid:19) . Suy ra f (u1) = 2v1 + 0v2 = (2, 2). • [f (u1)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u2) = v1 + 3v2 = (7, 4). • [f (u2)]C =

(cid:19) . Suy ra f (u3) = −3v1 + 4v2 = (5, 1). • [f (u3)]C = (cid:18) 2 0 (cid:18) 1 3 (cid:18) −3 4

Cho u = (x, y, z) ∈ R3. Tìm [u]B.    

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 |u(cid:62)) =

Lập (u(cid:62)   .   → 1 0 0 x − y − z 0 1 0 2x + y − z 0 0 1 −x + z 1 1 1 x 1 0 1 y 1 1 0 z

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

26 / 86

lvluyen@yahoo.com

Vậy [u]B =   . −x + y + z x − y x − z

Vậy, ta có

f (u) = (−x + y + z)f (u1) + (x − y)f (u2) + (x − z)f (u3)

= (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1)

= (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R3 và R2. Áp dụng công thức ta có

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0).

1 v(cid:62)

2 ) =

Ta có (cid:19) (cid:18) 1 2 . • (C → C0)−1 = (C0 → C) = (v(cid:62) 1 1

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  1 1 1 1 0 1 • (B0 → B) = (u(cid:62)   . 1 1 0

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

27 / 86

lvluyen@yahoo.com

Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3.

Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R3 và R2. Áp dụng công thức ta có

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0).

1 v(cid:62)

2 ) =

Ta có (cid:19) (cid:18) 1 2 . • (C → C0)−1 = (C0 → C) = (v(cid:62) 1 1

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  1 1 1 1 0 1 • (B0 → B) = (u(cid:62)   . 1 1 0

Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (−x + y + z)f (u1) + (x − y)f (u2) + (x − z)f (u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

27 / 86

lvluyen@yahoo.com

= (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

1 v(cid:62)

2 ) =

Ta có (cid:19) (cid:18) 1 2 . • (C → C0)−1 = (C0 → C) = (v(cid:62) 1 1

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  1 1 1 1 0 1 • (B0 → B) = (u(cid:62)   . 1 1 0

Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (−x + y + z)f (u1) + (x − y)f (u2) + (x − z)f (u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1)

= (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R3 và R2. Áp dụng công thức ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

27 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0).

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  1 1 1 1 0 1 • (B0 → B) = (u(cid:62)   . 1 1 0

Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (−x + y + z)f (u1) + (x − y)f (u2) + (x − z)f (u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1)

= (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R3 và R2. Áp dụng công thức ta có

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0).

1 v(cid:62)

2 ) =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

27 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta có (cid:19) . • (C → C0)−1 = (C0 → C) = (v(cid:62) (cid:18) 1 2 1 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Suy ra u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3.

Vậy, ta có

f (u) = (−x + y + z)f (u1) + (x − y)f (u2) + (x − z)f (u3) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1)

= (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Cách 2. Gọi B0 và C0 lần lượt là cơ sở chính tắc của R3 và R2. Áp dụng công thức ta có

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0).

1 v(cid:62)

2 ) =

Ta có (cid:19) . • (C → C0)−1 = (C0 → C) = (v(cid:62) (cid:18) 1 2 1 1

 

3 ) =

2 u(cid:62)

1 u(cid:62)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

27 / 86

lvluyen@yahoo.com

• (B0 → B) = (u(cid:62)  .  1 1 1 1 0 1 1 1 0

Vậy

[f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0)   −1 1 1 (cid:19) (cid:18) 1 2 (cid:19) (cid:18) 2 1 −3 1 −1 0 =   1 1 0 3 4 0 −1 1   −1 1 1 (cid:19) (cid:18) 2 7 5 1 −1 0 =   2 4 1 0 −1 1 (cid:19) (cid:18) 10 −5 −3 = . 3 −2 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Suy ra f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

28 / 86

lvluyen@yahoo.com

  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B)−1 =   . 1 1 −1 1 1 0 0 −1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Suy ra f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B)−1 =   . 1 1 −1 1 1 0 0 −1 Vậy

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

28 / 86

lvluyen@yahoo.com

 −1 [f ]B0,C0 = (C → C0)−1[f ]B,C(B → B0)  (cid:19) =   (cid:18) 1 2 1 1 (cid:19) (cid:18) 2 1 −3 4 0 3 1 0 0 −1  1 1 −1 1  −1 (cid:19) =   (cid:18) 2 7 5 2 4 1 1 1 −1 1 1 0 0 −1 (cid:19) = . (cid:18) 10 −5 −3 1 3 −2

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

  −1 Suy ra (B → B0) = (B0 → B)−1 =   . 1 1 −1 1 1 0 0 −1 Vậy

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

28 / 86

lvluyen@yahoo.com

Suy ra f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z).

Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và

A,B.

[f −1]B,A = [f ]−1

Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì

B .

[f −1]B = [f ]−1

Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở của R3. Với f là toán tử tuyến tính trong R3 có   1 −1 2 1 0 2 [f ]B =   . 1 2 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Chứng minh f là song ánh và tìm f −1.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

29 / 86

lvluyen@yahoo.com

Mệnh đề. Cho V, W là hai không gian vectơ n chiều và f ∈ L(V, W ). Khi đó f là song ánh khi và chỉ khi tồn tại các cơ sở A, B lần lượt của V và W sao cho [f ]A,B khả nghịch.

Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì

B .

[f −1]B = [f ]−1

Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở của R3. Với f là toán tử tuyến tính trong R3 có   1 −1 2 1 0 2 [f ]B =   . 1 2 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Chứng minh f là song ánh và tìm f −1.

A,B.

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

29 / 86

lvluyen@yahoo.com

Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và [f −1]B,A = [f ]−1

Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở của R3. Với f là toán tử tuyến tính trong R3 có   1 −1 2 1 0 2 [f ]B =   . 1 2 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Chứng minh f là song ánh và tìm f −1.

A,B.

Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và [f −1]B,A = [f ]−1

Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

29 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f −1]B = [f ]−1 B .

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

A,B.

Hơn nữa, khi đó f −1 : W → V cũng là một ánh xạ tuyến tính và [f −1]B,A = [f ]−1

Đặc biệt, nếu V = W và A = B thì

[f −1]B = [f ]−1 B .

 Ví dụ. Cho B = (u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 2), u3 = (1, 2, 1)) là cơ sở của R3. Với f là toán tử tuyến tính trong R3 có 

[f ]B =  .  1 −1 2 0 2 1 2 1 1

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

29 / 86

lvluyen@yahoo.com

Chứng minh f là song ánh và tìm f −1.

Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có

[f ]B0 = (B → B0)−1[f ]B(B → B0)

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

= (B0 → B)[f ]B(B0 → B)−1.   1 1 1 1 1 2 Ta có (B0 → B) = (u(cid:62)  .  1 2 1

  3 −1 −1 −1 0 1 Suy ra (B0 → B)−1 =   . −1 1 0

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

30 / 86

lvluyen@yahoo.com

= −1. Suy ra [f ]B khả nghịch. Vậy f Giải. Ta có |[f ]B| = 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 là song ánh.

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

= (B0 → B)[f ]B(B0 → B)−1.   1 1 1 1 1 2 Ta có (B0 → B) = (u(cid:62)   . 1 2 1

  3 −1 −1 −1 0 1 Suy ra (B0 → B)−1 =   . −1 1 0

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= −1. Suy ra [f ]B khả nghịch. Vậy f Giải. Ta có |[f ]B| = 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 là song ánh.

Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

30 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f ]B0 = (B → B0)−1[f ]B(B → B0)

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

  1 1 1 1 1 2 Ta có (B0 → B) = (u(cid:62)  .  1 2 1

  3 −1 −1 −1 0 1 Suy ra (B0 → B)−1 =   . −1 1 0

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= −1. Suy ra [f ]B khả nghịch. Vậy f Giải. Ta có |[f ]B| = 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 là song ánh.

Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

30 / 86

lvluyen@yahoo.com

[f ]B0 = (B → B0)−1[f ]B(B → B0) = (B0 → B)[f ]B(B0 → B)−1.

  3 −1 −1 −1 0 1 Suy ra (B0 → B)−1 =   . −1 1 0

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= −1. Suy ra [f ]B khả nghịch. Vậy f Giải. Ta có |[f ]B| = 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 là song ánh.

Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có

[f ]B0 = (B → B0)−1[f ]B(B → B0) = (B0 → B)[f ]B(B0 → B)−1.  

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

30 / 86

lvluyen@yahoo.com

Ta có (B0 → B) = (u(cid:62)  .  1 1 1 1 1 2 1 2 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= −1. Suy ra [f ]B khả nghịch. Vậy f Giải. Ta có |[f ]B| = 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 là song ánh.

Gọi B0 là cơ sở chính tắc ta có

[f ]B0 = (B → B0)−1[f ]B(B → B0) = (B0 → B)[f ]B(B0 → B)−1.  

1 u(cid:62)

2 u(cid:62)

3 ) =

Ta có (B0 → B) = (u(cid:62)   .

 1 1 1 1 1 2 1 2 1 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

30 / 86

lvluyen@yahoo.com

Suy ra (B0 → B)−1 =   . 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1

  3 0 −2 −5 1 3 = Suy ra [f −1]B0 = [f ]−1   . −1 1 0

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y).

Vậy

     

[f ]B0 =       1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1    

=     3 1 5 4 3 6 4 1 7 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1  

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

31 / 86

lvluyen@yahoo.com

=   . 3 2 −2 3 2 −1 4 3 −3

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y).

Vậy

     

[f ]B0 =       1 −1 2 0 2 1 2 1 1 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1 1 1 1 1 1 2 1 2 1    

=     3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1 3 1 5 4 3 6 4 1 7  

=   . 3 2 −2 3 2 −1 4 3 −3

 

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

31 / 86

lvluyen@yahoo.com

=   . Suy ra [f −1]B0 = [f ]−1 B0 3 0 −2 3 0 −5 1 −1 1

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Vậy

     

[f ]B0 =       1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 −1 2 0 2 1 2 1 1 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1    

=     3 1 5 4 3 6 4 1 7 3 −1 −1 1 0 0 1 −1 −1  

=   . 3 2 −2 3 2 −1 4 3 −3

 

=   . Suy ra [f −1]B0 = [f ]−1 B0 3 0 −2 3 0 −5 1 −1 1

Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)

Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

31 / 86

lvluyen@yahoo.com

Vậy f −1(x, y, z) = (3x − 2z, −5x + y + 3z, −x + y).

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính: Chương 4 - Lê Văn Luyện

Chủ đề:

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính

Chương 4

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Nội dung

Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1. Định nghĩa

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

1. Định nghĩa

1.1 Ánh xạ

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.1 Ánh xạ

1.1 Ánh xạ

1.1 Ánh xạ

1.1 Ánh xạ

1.1 Ánh xạ

1.1 Ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

Phân loại ánh xạ

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2 Ánh xạ tuyến tính

1.2 Ánh xạ tuyến tính

2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

1.1 Không gian nhân

1.2 Không gian ảnh

2.1 Không gian nhân

2.1 Không gian nhân

2.1 Không gian nhân

2.1 Không gian ảnh

2.1 Không gian ảnh

2.1 Không gian ảnh

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi