Phép toán ma trận, ma trận khả nghịch, định
thức và quy tắc Cramer
Dr. Nguyen Van Hoi
University of Information Technology
Ngày 8 tháng 9 năm 2023
1 / 18
Phép toán ma trận
❒Cộng: A= (aij )m×nvà B= (bij )m×n, khi đó
A+B= (aij +bij )m×n
a11 +b11 a12 +b12 · · · a1n+b1n
a21 +b21 a22 +b22 · · · a2n+b2n
.
.
..
.
.....
.
.
am1+bm1am2+bm2· · · amn +bmn
❒Nhân với số thực α∈R,
αA= (αaij )m×n=
αa11 αa12 · · · αa1n
αa21 αa22 · · · αa2n
.
.
..
.
.....
.
.
αam1αam2· · · αamn
2 / 18
❒Nhân hai ma trận: A= (aij )m×pvà B= (bij )p×n, khi đó
AB =C= (cij )m×n,
với
cij =
p
X
k=1
aik bkj =hai1ai2· · · aipi
b1k
b2k
.
.
.
bpk
.
❒Một số tính chất:
(i) AB =BA và A(BC )=(AB)C.
(ii) A(B+C) = AB +AC và kAB =A(kB).
3 / 18
Ma trận chuyển vị
Xét ma trận A= (aij )m×n. Đổi hàng thành cột, cột thành hàng
ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, kya hiệu là
AT(hoặc At).
A=
1 2 3 4
2 1 1 0
3 0 2 1
4−103
AT=
1 2 3 4
210−1
3 1 2 0
4 0 1 3
❒Tính chất:
(i) (A+B)T=AT+BT;(kA)T=kAT.
(ii) (AB)T=BTAT;(AT)−1= (A−1)T
(iii) rank(A) = rank(AT).
4 / 18
Ma trận nghịch đảo
Nghịch đảo của ma trận vuông Acấp nlà ma trận vuông Bcấp
nthỏa
AB =In,BA =In,
với Inlà ma trận đơn vị. Trong trường hợp đó, ta ký hiệu
B=A−1và Ađược gọi là ma trận khả nghịch.
❒Akhả nghịch nếu và chỉ nếu
rref (A) = In
hoặc tương đương
rank(A) = n.
5 / 18