BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH
NĂM 2009
CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
4.1 Khái niệm về ổn định
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số
4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.1 Định nghĩa
Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)
Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống.
Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.1 Định nghĩa
Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.
Phân biệt ba trạng thái cân bằng:
- Biên giới ổn định
- ổn định
- và không ổn định
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c
4.1.1 Định nghĩa
a
b d
Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu vị trí c. Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định.
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH c
4.1.1 Định nghĩa
a
b d
Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng.
Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
n
d
...
tca )( n
a n
a 1
1
a 0
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
n
tdc )( dt
dt
dt
m
d
...
)(
(4.1)
b 0
b 1
b m
1
trb m
m trd )( m
1 tr )( 1
m
tdr )( dt
dt
dt
1
m
m
sG )(
(4.2)
1
n
n
Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng tổng quát: 1 n tcd tc )( )( 1 n
... ...
sB )( )( sA
bsb 1 m m asa 1 n
sb 0 sa 0
sb 1 sa 1
n
Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng: sC )( )( sR
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
tc )(
t )(
(4.3)
tc )( 0
qđ c
Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:
Trong đó:
- c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập
- cqđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ.
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
n
t )(
(4.4)
tp ie
c qđ
i
i
Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống:
1 Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính:
n
n
1
sA )(
...
0
(4.5)
sa 0
sa 1
asa n 1 n
pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, …, n
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
Zero là nghiệm của phương trinh B(s) = 0. Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, …, m.
t 0)(
(4.6)
cqđ
lim t
Hệ thống ổn định nếu:
t )(
(4.7)
cqđ
lim t
Hệ thống không ổn định nếu:
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
Trong phương trình (4.4) hệ số i là hằng số phụ thuộc vào thông số của hệ và trạng thái ban đầu.
j
(4.8)
p i
i
i
nếu pi là nghiệm phức
tp i
(Hệ ở biên giới ổn định)
e i
lim t
nếu pi là nghiệm thực
i Nếu i = 0
i Nếu i > 0 Hệ không ổn định
Nếu i < 0 Hệ ổn định 0 t 2 Me cos( ) t i i
Nghiệm cực pi được viết dưới dạng:
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số:
1. Phần thực của nghiệm cực dương i > 0
2. Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0
Im
Mặt phẳng S
Re
0
3. Phần thực của nghiệm cực âm i < 0
Phân bố cực trên mặt phẳng S
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nhiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống.
n
n
Kết luận:
...
(4.9)
0
sA )(
asa n 1 n
sa 0
sa 1
1 – Hệ thống ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm: Re[pi] < 0, i < 0 các nghiệm nằm bê trái mặt phẳng phức: 1
2 – Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái)
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
3 – Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm có phần thực bằng không còn lại là các nghiệm có phần thực âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên trục ảo).
Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S. Đáp ứng quá độ có thể do động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực.
4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH
4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính
Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo một các nào đó. Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định:
1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz.
2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode.
3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỷ đạo nghiệm số.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.1 Điều kiện cần
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.
3
Ví dụ: hệ thống có phương trình đặc trưng:
s
3 2 s
s 2
01
4
không ổn định
s
2 2 s
s 5
03
4
3
2
không ổn định
s
s 4
s 5
s 2
01
chưa kết luận được
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
1
n
...
sA )(
0
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
sa 1
asa 1 n n
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n sa 0
Muốn xét tính ổn định tính ổn định của hệ thống thei tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc:
- Bảng Routh có (n + 1) hàng.
- Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn.
- Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẽ.
1,2
i
c ij
c i
j 1,2
c . i i
,1
j
1
Với
c i c i 1,1
- Phần ở hàng i cột j của bảng Routh (i > 3) được tính theo công thức:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
sn
-
c11= a0
c12=a2
c13=a4
c14=a6
sn-1
-
c21=a1
c22=a3
c23=a5
c24=a7
3
sn-2
-
c31=c12-3c22
c32=c13-3c23
c33=c14-3c24
c34=c15-3c25
c 11 c
21
21
sn-3
-
4
c41=c22-4c32
c42=c23-4c33
c43=c24-4c34
c44=c25-4c35
c c
31
-
-
-
-
-
-
-
c
2 ,1
n
s0
cn1=cn-2,2-ncn-1,2
n c
n
1,1
Bảng Routh:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
Phát biểu tiêu chuẩn Routh
Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặc phẳng phức.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4
3
2
s
s 4
s 5
s 2
01
Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
s4
1
1
5
S3
4
0
2
5
2
S2
1
3
1 4
9 2
S1
0
2
1
4
8 9
10 9
S0
1
5
1 4 8 9 81 20
Bảng Routh Giải:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
R(s)
C(s)
G(s)
H(s)
sG )(
sH )(
50 2 s )(3
ss (
s
)5
1
s
2
Ví dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
1
sHsG )(
0)(
1
.
0
ss (
s
)5
(
s
)2
1
50 2 s )(3
2
ss (
s )(3
s
s )(5
)2
50
0
4
3
2
5 s
s 6
s 16
s 31
s 30
50
0
Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
4
3
2
s 6
s 16
s 31
s 30
50
0
5 s 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
30
s5
1
16
50
s4
6
31
16
31 10, 83
0
S3
3
30
50
21, 67
1 6
1 6
31
21, 67
18, 99
S2
50
4
6 10, 83
21, 67
50
6, 84
5
S1
0
10, 83 18, 99
1 6 6 10, 83 10, 83 18, 99
S0
50
Bảng Routh:
Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có 2 nghiệm nằm bên phải mặt phằng phức, do đó hệ thống không ổn định.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
R(s)
C(s)
G(s)
sG )(
2
K s
ss (
s )(1
)2
Ví dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ. Hãy xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
1
sG
0)(
1
0
2
K s
ss (
s )(1
)2
( 2 ss
s
s )(1
)2
K
0
3
2
4 s
s 3
s 3
Ks 2
0
Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
3
2
4 s
s 3
s 3
Ks 2
0
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
s4
1
3
K
S3
3
2
0
3
2
S2
K
3
1 3
7 3
S1
0
2
4
1 3 9 7
9 K 7
S0
K
Bảng Routh:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
2
K
0
0
K
14 9
K
9 7 0
Điều kiện để hệ thống ổn định:
Các trường hợp đặc biệt:
Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi sốdương, nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
3
4
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
s 8
03
s 4
s
s 2
Bảng Routh
Ví dụ 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình 2 đặc trưng là:
3
s4
1
4
0
s3
2
8
4
8
0
3
s2
3
1 2
1 2
s2
3
>0
8
3
0
s1
0
4
2
2
s0
3
Giải:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.
Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
pdA s ( ) ds
- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàm trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là Ap(s).
-Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có . Sau đó quá trình tính các hệ số chính là các hệ số của toán tiếp tục.
Chú ý: nghiệm của đa thức Ap(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
5
4
3
2
s
s 4
s 8
s 8
7
s
04
Ví dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo của của mặt phẳng phức?
4
3
2
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
s
s 4
s 8
s 8
7
s
04
7
s5
1
8
4
s4
4
8
3
s3
8
8
6
7
4
6
1 4
1 4
8
6
4
s2
4
4
s1
0
6
4
0
5
4 6 6 4
1 4 4 6 6 4
s1
8
0
3
0
3
S0
5
4 8
4 8
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 5 Bảng Routh Giải:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
s )(
2
s 4)(
4
s 8
0
4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh
sA p
dA p ds
Đa thức phụ:
2
4)( s
04
s
j
sAp
Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:
Kết luận:
- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
- Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo.
- Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3.
Hệ thống ở biên giới ổn định.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
1
n
...
sA )(
0
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
sa 1
asa 1 n n
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: n sa 0
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:
- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n
- Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an.
- Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
0
0
0 0
a 3 a 2 a 1 a 0
a 5 a 4 a 3 a 2
a 7 a 6 a 5 a 4
0
na
a 1 a 0 0 0
- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.
3
s
4 2 s
s 3
02
Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là
Hỏi hệ thống có ổn định không?
0
Giải:
a 3 a 2 a 1
0 a 3
a 1 a 0 0
024 031 240
Ma trận Hurwitz:
4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ
4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
10
2
a 1
11
a 3 a 2
24 2134 31
a 1 a 0
0
10
20
3
a 3
a 3 a 2
24 2 31
a 1 a 0
2
a 3 a 2 a 1
0 a 3
a 1 a 0 0
Các định thức:
Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.1 Khái niệm
Ks
0
s
(4.10)
Xét hệ thống có phương trình đặc tính 42
Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K:
K = 0: s1 = 0 s2 = - 4
K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732
K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414
K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3
K = 4: s1 = - 2 s2 = - 2
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.1 Khái niệm
K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j
K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414
K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732
K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2
Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Im s
4.3.1 Khái niệm
+ 2j
+ 1j
Re
0
- 2
- 1
- 4
- 3
- 1j
- 2j
Định nghĩa:
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 đến .
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
C(s)
G(s)
H(s)
Xét hệ thống có sơ đồ khối sau: R(s)
1
(
(4.11)
0)( Muốn áp dụng các quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng:
1
K
0
(4.12)
sN )( )( sD
Phương trình đặc tính của hệ: sHsG ).
trong đó K là thông số thay đổi.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
KG
0
sN )( )( sD
Đặt:
1
0)(
sG 0
Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s), phương trình (4.12) trở thành:
1)(
Điều kiện biên độ
)12(
l
sG 0 sG )( 0
Điều kiện pha
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Sau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12);
Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s).
Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
l (
...)2 ,1 ,0
(4.13)
l )12( mn
m
n
Quy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi:
z i
Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A xác định bởi:
p i
zero
i
1
OA
(4.14)
cùc mn
1 i mn
0
Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: dK ds
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Quy tắc 8: Giao điểm của quỷ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây:
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz.
m
n
(4.15)
)
arg(
arg(
p
p
)
j
z i
z i
j
j
- Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.
Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: 0 180
i
1
i i
1 j
Dạng hình học của công thức trên là: j = 1800 + ( góc từ các zero đến cực pj) - ( góc từ các cực còn lại đến cực pj).
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +
K
.
1
(4.16)
sN )( sD )(
Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
R(s)
C(s)
G(s)
sG )(
K )(2 s
ss (
)3
Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 +
1
sG
0)(
1
0
(1)
K )(2 s
ss (
)3
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Các cực: ba cực: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3
Các zero: không có.
QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Khi K +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
l (
)0
3
l (
)1
l )12( mn
l )12( 03
3
l (
)1
3
1 2
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
zero
)2(0[
0)3(
OA
cùc mn
0-3
5 3
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
0 0
3
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình - Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
s )(2
)3 (
s
ss (
dK dK ds ds 2 s 5
s )6
2
s 3(
s 10
)6
k dK ds
)
2
s 3(
s 10
0)6
Ta có (1)
0
549,2 lo¹i ( 785,0
dK ds
s 1 s2
Do đó
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
Áp dụng tiêu chuẩn Routh
3 s
5 2 s
Ks 6
0
(2)
s3
1
6
s2
K
5
6
s1
0
3
1 K 5
1 5
s0
K
Ta có (1)
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
K
0
0
K
30
1 5 0
6 K
Điều kiện để hệ thống ổn định:
Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30.
5
3
2
s
s 5
s 6
30
0
6
j
j
6
s 1 s 2 s 3
Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Cách 2:
3
2
(
) j
(5
j )
(6
j )
K
0
3
5 2 j
6
j
K
0
3
6 2 K 5
0 0
Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j. Thay s = j vào phương trình (1) ta được:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Im s
0
6j
0
6
Re
30
K K
0
- 3
- 2
6j
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
sG )(
2
K 8 s
)20
ss (
Ví dụ 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 +
1
sG
0)(
1
0
(1)
2
K 8 s
)20
ss (
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2
Các zero: không có.
QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Khi K +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
l (
)0
3
l (
)1
l )12( mn
l )12( 03
3
l (
)1
3
1 2
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
4(0[
j
j 0)2_4(
OA
cùc mn
)2 0-3
8 3
0
dK ds
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: zero
Ks 0 20 3 2 s 8 s )20
2
s 16
)20
s 3(
Ta có (1)
2
s 3(
s 16
0)20
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 8 2 3 s s K s ( dK ds
0 0
33,3 00,2
dK dK ds ds
s 1 2s
Do đó Do đó
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Vậy, quỷ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập.
2
)1(
s 8
20
Ks
0
3
2
3 s Thay s = jta được:
) j
(8
(
) j
(20
) j
K
0
3
8 2 j
20
j
K
0
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
0
0
2 K 8 0 3 20 0
20 160
K K
s
j
20
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Vậy, giao điểm của QĐNS và trục ảo là:
0 180
)
arg(
2
p 2
p 1
p 2
p 3
1800
) 4
4
j
]0)2
arg[(
j
)2
4(
j
arg( arg[(
)]2
1
0 180
tg
o 5,63
2 4
90
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
Im s
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
j
20
+j2
-63,50
Re
-2
0
-4
-3
Vẽ QĐNS của hệ thống:
-1
- j2
j
20
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
sG )(
sK ( 2 )(3 s
)1 s 8
)20
ss (
Ví dụ 9: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 +
1
sG
0)(
1
0
(1)
sK ( 2 )(3 s
)1 s 8
)20
ss (
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Các cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4 j2
Các zero: z1 =1 QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Khi K +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:
l (
)0
3
l (
)1
l 2( )1 mn
l 2( )1 14
3
l (
)1
3
1 2
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
zero
OA
cùc mn )3(0[
4(
4(
j
)]2
)1(
j )2 1-4
10 3
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:
0
2
- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
ss (
s )(3
s 8
)20
sK (
dK ds 0)1
2
ss (
)20
K
s )(3 s (
s 8 )1
Ta có (1)
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4
3
2
s 3
s 26
s 88
60
2
dK ds
s (
s 77 )1
4
3
2
s 3
s 26
s 77
s 88
60
0
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
0
dK ds
67,3 66,0
j 05,1 j 97,0
s 2,1 3,4s
Do đó
Vậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
2
)1(
ss (
s )(3
s 8
)20
sK (
0)1
3
2
4 s
s 11
s 44
60(
KsK
)
0
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.
2
(
4 j 0
(11
3 ) j
(44
) j
60(
jK )(
)
K
0
3
4
11
2 j
44
60(
jK )
K
0
Thay s = jta được:
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
0
0 893,5
322 j 314,1
7,61
K K K
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
s
893,5j
Vậy, giao điểm cần tìm là:
Hệ số khuếch đại giới hạn là: Kgh = 322
4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số
Im s
0 180
(
)
3
1
893,5j
180
4 2 6,116
3 4,153(3,146
)90
o7,33
o7,33
3
1
3
Re
+j2 2 0
-4
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p3
-2
-1
-3 4
- j2
893,5j
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.1 Nguyên lý góc quay
n
n
1
sA )(
...
0
(4.17)
sa 0
sa 1
asa 1 n n
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:
sA )(
)(
(
)...(
)
pspsa 0 1 2
nps
Đa thức A(s) được viết dưới dạng:
Với p1, p2, …,pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính.
jA (
)
)(
j
)...(
j
)
ja ( 0
p 1
p 2
np
Thay s = j vào phương trình (4.17) ta có:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.1 Nguyên lý góc quay
Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm.
j
+ - Pn - m Pm
0 +
j
(j-Pn - m) (j-Pm)
n
arg
( jA
)
arg(
j
)
ip
Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)
i
1
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.1 Nguyên lý góc quay
n
arg
arg(
)
)
ip
Khi tần số thay đổi từ - đến + thì sự thay đổi góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ là:
( jA
1
i
j Ký hiệu chỉ sự thay đổi góc quay.
arg(
arg(
)
mnp )
mp
j
j
Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:
arg
)
mn ( m )
(
mn )2
jA (
Hệ có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.1 Nguyên lý góc quay
Nguyên lý góc quay:
arg
)
jA (
mn 2 2
2.
Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc là (n – 2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số biến thiên từ - đến +
Véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n – m) và nghiệm phải (m) nhân với khi biến thiên từ - đến +.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
arg
)
jA (
mn 2 2
2.
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số biến thiên từ 0 đến +
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số biến thiên từ 0 đến +, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống.
n
n
1
sA )(
...
0
(4.18)
sa 0
sa 1
asa 1 n n
Chứng minh: Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính:
Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
arg
n
)
(4.19)
jA (
Theo nguyên lý góc quay:
arg
)
(4.20)
jA ( ) 0
jA arg ( 0
Vì A(j) và A(-j) là phức liên hợp nên:
)
n
jA arg ( 0
2
Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
Im
Im
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
n = 2
Re
= 0
0
n = 1
0 = 0
n = 5 Re
n = 4
n = 3 n = 1 n = 3 n = 4 n = 2
Hệ không ổn định Hệ ổn định
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
jA (
P )(
)
jQ
)(
Xây dựng biểu đồ Mikhailov Thay s = j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo:
Trong đó: P() là hàm chẵn với : P(-) = P()
1
n
n
...
( jA
j )
)
)
(
Q() là hàm lẻ với : Q(-) = - Q()
( ja 1
a n
a n
1
Từ biểu thức A(j) nhận được bằng cách thay s = j vào mẫu số hàm truyền: ) ( ja 0
Ta nhận thấy A(j) chính là đường chéo của đa giác có cạnh tương ứng bằng akn-k và các cạnh vuông góc với nhau.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
3 3
2 2
jA ( ( jA
) )
) )
) )
) )
ja ( ( ja 0 0
ja ( ( ja 1 1
ja ( ( ja 2 2
a a 3 3
Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3 Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 3
Im
2 11a
12a
3 10a
Re
0
3a
( jA )
Cho biến thiên từ 0 đến bằng phương pháp xây dựng toàn bộ biểu đồ đa thức đặc tính A(j).
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
sKsDsA )( )(
)(
Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành hai thành phần:
sA )(
1(
1)(
1)(
)
KsDK )(
0
sT 1
sT 2
sT 3
Ví dụ:
)
K
jA arg ( 0
jD ( ) 0
T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tính Kgh
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số
jA (
P )(
)
jQ
)(
Xây dựng biểu đồ:
2 25,11)( P 2 Q )( )1,06,2.(
Im
K
gh
K gh 0)
P ( ) 0 ? Q ( 0
Re
= 0
0
1
Kgh
0
6,2 1,0
5,31
ghK
6,2 1,0
25,11
Từ đó suy ra:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
R(s)
C(s)
G(s)
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặc ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Tiêu chuẩn Nyquist
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Im
(-1, j0)
Re
= 0
(1)
0
(2)
(3)
Ví dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Vì G(s) ổn định trên trên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquyst G(j) của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì vậy:
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Chú ý: đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng. Để xác định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay không ta vẽ thêm cung -/2 bán kính vô cùng lớn ( là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở)
sG )(
)(1
)(1
)1
K sT 2
sTs ( 1
sT 3
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền của hệ hở là:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
jQ()
(-1, j0)
P()
0
(1)
G(j)
(2)
(3)
= 0
Giải: tủy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst của hệ hở có thể có một trong ba dạng sau:
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Vì hệ kín không có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên:
Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.
Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.
Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.
4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode
R(s)
C(s)
G(s)
Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định không?
0
Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.
0
GM M
Hệ thống ổn định
