Bài giảng Lý thuyết xác suất Chương 3: Trường ĐH Sư phạm Hà Nội (ĐHSPHN)

CH◊ÃNG III VECTÃ NGàU NHIÊN

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

1 / 43

Khoa Toán Tin Tr˜Ìng §i hÂc S˜ ph§m Hà NÎi

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

3.1 VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

2 / 43

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

B£ng phân bË xác sußt Áng thÌi

Gi£ s˚ X và Y là hai BNN rÌi r§c và

X (⌦) = và Y (⌦) = . x1, x2, ..., xm} { y1, y2, ..., yn} {

FAB

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

3 / 43

Kí hiªu: pij = P[X = xi , Y = yj ].

Chú ˛:

pij = 1.

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Xi=1 Xj=1

Khi ó, b£ng phân bË xác sußt Áng thÌi cıa X và Y ˜Òc xác ‡nh nh˜ sau:

Y y1 y2 yn yj X · · · · · ·

x1 x2 p11 p12 p12 p22 p1n p2n p1j p2j

· · · xi · · · pi1 · · · pi2 · · · pij · · · pin

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

4 / 43

· · · xm · · · pm1 · · · pm2 · · · pmn · · · pmj · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Khi ó, b£ng phân bË xác sußt Áng thÌi cıa X và Y ˜Òc xác ‡nh nh˜ sau:

cột y2

Y y1 yn yj X · · · · · ·

p11 p12 p12 p22 p1n p2n p1j p2j

hàng

x1 x2 1 · · · xi · · · pi1 · · · pi2 · · · pij · · · pin

· · · xm · · · pm1 · · · pm2 · · · pmn · · · pmj · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Chú ˛:

pij = 1.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

4 / 43

Xi=1 Xj=1

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Ví dˆ

OKY XE 1

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

5 / 43

Gieo Áng thÌi ba Áng xu A, B, C cân Ëi Áng chßt. GÂi X là sË m∞t ng˚a xußt hiªn trên các Áng xu A và B. GÂi Y là sË m∞t ng˚a xußt hiªn trên c£ ba Áng xu A, B, C . Hãy l™p b£ng phân bË xác sußt Áng thÌi cıa X và Y .

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

A 1,4 1

LÌi gi£i

và Y (⌦) = . 0, 1, 2, 3 } { 0, 1, 2 } { Ta có: X (⌦) = Khi ó, b£ng phân bË xác sußt Áng thÌi cıa X và Y là:

gieo3đồng xu xuấthiện 1 mặt ngửatrên A B C Sáp 1h

Y 0 1 2 3 X

A N

s.TT EX Varx EY VAN 0 1

b N

PCXN

covlx.it

1 8 0

C S

S c S t

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

6 / 43

2 0 1 8 1 4 0 0 1 4 1 8 0 1 8

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Chú ˛

N∏u bi∏t phân bË xác sußt Áng thÌi cıa X và Y thì ta có th∫ tìm ˜Òc phân bË xác sußt cıa riêng X và Y .

pij = pi1 + pi2 + ... + pin P[X = xi ] =

Xj=1 m

cộngkatana

pij = p1j + p2j + ... + pmj P[Y = yj ] =

theohằng

Câyxảmất

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

7 / 43

theocột

Xi=1

‡nh l˛

Hai BNN rÌi r§c X và Y Îc l™p n∏u

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

P[X = xi ; Y = yj ] = P[X = xi ]P[Y = yj ].

Hai bi∏n ng®u nhiên Îc l™p

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

8 / 43

Hai BNN rÌi r§c X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc bi∏t mÎt thông tin v∑ giá tr‡ cıa X (ho∞c Y ) không có £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa Y (ho∞c X ).

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Hai bi∏n ng®u nhiên Îc l™p

Hai BNN rÌi r§c X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc bi∏t mÎt thông tin v∑ giá tr‡ cıa X (ho∞c Y ) không có £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa Y (ho∞c X ).

‡nh l˛

Hai BNN rÌi r§c X và Y Îc l™p n∏u

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

8 / 43 tắt

P[X = xi ; Y = yj ] = P[X = xi ]P[Y = yj ].

Covarian cıa X và Y :

cov(X , Y ) = E[(X E[X ])(Y E[Y ])] = E[XY ] E[X ]E[Y ]

= µ. xi yj pij

Xi=1 Xj=1

Hª sË t˜Ïng quan cıa X và Y :

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

cov(X , Y ) ⇢(X , Y ) = . X Y

Covarian và hª sË t˜Ïng quan

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

9 / 43

Cho hai BNN rÌi r§c X và Y . ∞t E[X ] = µ và E[Y ] = .

Hª sË t˜Ïng quan cıa X và Y :

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

cov(X , Y ) ⇢(X , Y ) = . X Y

Covarian và hª sË t˜Ïng quan

Cho hai BNN rÌi r§c X và Y . ∞t E[X ] = µ và E[Y ] = .

Covarian cıa X và Y :

cov(X , Y ) = E[(X E[X ])(Y E[Y ])] = E[XY ] E[X ]E[Y ] n

= µ. xi yj pij

gnihi.grtri xúcmátNỊỊỊ

VECTÃ NGàU NHIÊN

Khoa Toán Tin

K69E

9 / 43

Xi=1 Xj=1

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Covarian và hª sË t˜Ïng quan

Cho hai BNN rÌi r§c X và Y . ∞t E[X ] = µ và E[Y ] = .

Covarian cıa X và Y :

E[X ])(Y E[Y ])] = E[XY ] E[X ]E[Y ] n

ván

ETXYJ

= µ. xi yj pij

covlxiDEHJm

Hª sË t˜Ïng quan cıa X và Y : cov(X , Y ) = E[(X đũ Xi=1 Xj=1 tinh O

EEBtgtanyplx.it

VariantVar Ế

q a

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

9 / 43

rho

⇢(X , Y ) = . cov(X , Y ) X Y

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Chú ˛

1 ⇢(X , Y ) 1.  

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

10 / 43

N∏u X và Y Îc l™p thì ⇢(X , Y ) = 0. Tuy nhiên, i∑u ng˜Òc l§i không úng.

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Ví dˆ

Cho hai BNN rÌi r§c X và Y có b£ng phân bË xác sußt Áng thÌi nh˜ sau:

Y -1 0 1 X

-1

1 9 X 15 4 15 2 15

4 15 1 15 0 5 15 1 15 2 15 2 15 5 15 4 15 1 15 0 5 15

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

11 / 43

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Ta thßy X và Y không Îc l™p vì:

. = . P[X = 0; Y = 0] = = P[X = 0]P[Y = 0] = 5 15 4 15 4 45 2 15 6

M∞t khác, ta có hai b£ng phân phËi xác sußt cıa X và Y :

P -1 9 15 0 4 15 1 2 15

và

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

12 / 43

P -1 5 15 0 5 15 1 5 15

VectÏ ng®u nhiên rÌi r§c

Phân bË Áng thÌi và hª sË t˜Ïng quan

Khi ó,

E[X ] = và E[Y ] = 0, 7 15

xi yj pij = 0.

Suy ra, cov (X , Y ) = 0 ⇢(X , Y ) = 0.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

13 / 43

X X ) ÈLXYJ

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

3.2 VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

14 / 43

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

15 / 43

Trong nhi∑u bài toán th¸c t∏, chúng ta ph£i xét mÎt cách Áng thÌi mÎt hª gÁm n bi∏n ng®u nhiên liên tˆc X1, X2, ..., Xn. Khi ó, ta có th∫ coi hª này là mÎt bi∏n ng®u nhiên n chi∑u !X = (X1, X2, ..., Xn) hay còn gÂi là mÎt vectÏ ng®u nhiên n chi∑u vÓi các thành ph¶n X1, X2, ..., Xn.

Hàm phân bË F (x1, x2, ..., xn) cıa !X = (X1, X2, ..., Xn) còn ˜Òc gÂi là

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î

hàm phân bË xác sußt Áng thÌi cıa các BNN X1, X2, ..., Xn.

Hàm phân bË

Gi£ s˚ !X = (X1, X2, ..., Xn) là mÎt BNN n chi∑u. Hàm phân bË cıa !X là mÎt hàm n bi∏n F (x1, x2, ..., xn) xác ‡nh bi

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

16 / 43

F (x1, x2, ..., xn) = P[X1 < x1, ..., Xn < xn]

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î

Hàm phân bË

Gi£ s˚ !X = (X1, X2, ..., Xn) là mÎt BNN n chi∑u. Hàm phân bË cıa !X là mÎt hàm n bi∏n F (x1, x2, ..., xn) xác ‡nh bi

F (x1, x2, ..., xn) = P[X1 < x1, ..., Xn < xn]

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

16 / 43

Hàm phân bË F (x1, x2, ..., xn) cıa !X = (X1, X2, ..., Xn) còn ˜Òc gÂi là hàm phân bË xác sußt Áng thÌi cıa các BNN X1, X2, ..., Xn.

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm phân bË

F (x, y ) = P[X < x, Y < y ].

F (x, y ) là hàm không gi£m theo t¯ng bi∏n.

x,y

lim F (x, y ) = 0; F (x, y ) = 1. lim

lim lim F (x, y ) = FX (x); F (x, y ) = FY (y )

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

trong ó, FX (x), FY (y ) là các hàm phân bË cıa X và Y .

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

17 / 43

Tính chßt cıa hàm phân bË

F (x, y ) là hàm không gi£m theo t¯ng bi∏n.

x,y

lim F (x, y ) = 0; F (x, y ) = 1. lim

lim lim F (x, y ) = FX (x); F (x, y ) = FY (y )

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

trong ó, FX (x), FY (y ) là các hàm phân bË cıa X và Y .

Tính chßt cıa hàm phân bË

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm phân bË

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

17 / 43

F (x, y ) = P[X < x, Y < y ].

x,y

lim F (x, y ) = 0; F (x, y ) = 1. lim

lim lim F (x, y ) = FX (x); F (x, y ) = FY (y )

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

trong ó, FX (x), FY (y ) là các hàm phân bË cıa X và Y .

Tính chßt cıa hàm phân bË

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm phân bË

F (x, y ) = P[X < x, Y < y ].

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

17 / 43

F (x, y ) là hàm không gi£m theo t¯ng bi∏n.

lim lim F (x, y ) = FX (x); F (x, y ) = FY (y )

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

trong ó, FX (x), FY (y ) là các hàm phân bË cıa X và Y .

Tính chßt cıa hàm phân bË

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm phân bË

F (x, y ) = P[X < x, Y < y ].

F (x, y ) là hàm không gi£m theo t¯ng bi∏n.

x,y

F (x, y ) = 0; F (x, y ) = 1.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

17 / 43

lim !1 lim + !

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Tính chßt cıa hàm phân bË

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm phân bË

F (x, y ) = P[X < x, Y < y ].

F (x, y ) là hàm không gi£m theo t¯ng bi∏n.

x,y

F (x, y ) = 0; F (x, y ) = 1.

F (x, y ) = FX (x); F (x, y ) = FY (y )

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

17 / 43

lim lim + !1 ! 1 lim lim + + y ! ! trong ó, FX (x), FY (y ) là các hàm phân bË cıa X và Y .

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Ví dˆ

Cho BNN hai chi∑u (X , Y ) có hàm phân bË Áng thÌi:

y + e

0, e e F (x, y ) = i § c l ˜Ò u ng 1 0 ∏ n∏u x, y n . (

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

18 / 43

K69E

Xu Exp G 1

niu 8

flo

Ffa lim Hay

y to

tết mấy70

YN Exp X 1

FyG ftp.gFG.y

nếu yl O

Tìm hai hàm phân bË FX (x) và FY (y ).

Hàm m™t Î f (x1, x2, ..., xn) cıa !X = (X1, X2, ..., Xn) còn ˜Òc gÂi là hàm

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

m™t Î xác sußt Áng thÌi cıa các BNN X1, X2, ..., Xn.

Hàm m™t Î

Gi£ s˚ !X = (X1, X2, ..., Xn) là mÎt BNN n chi∑u. Hàm m™t Î cıa !X là mÎt hàm n bi∏n f (x1, x2, ..., xn) th‰a mãn Øng th˘c:

... f (t1, ..., tn)dt1...dtn. P[X1 < x1, ..., Xn < xn] =

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

19 / 43

Z Z

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Hàm m™t Î

Gi£ s˚ !X = (X1, X2, ..., Xn) là mÎt BNN n chi∑u. Hàm m™t Î cıa !X là mÎt hàm n bi∏n f (x1, x2, ..., xn) th‰a mãn Øng th˘c:

... f (t1, ..., tn)dt1...dtn. P[X1 < x1, ..., Xn < xn] =

Z Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

19 / 43

Hàm m™t Î f (x1, x2, ..., xn) cıa !X = (X1, X2, ..., Xn) còn ˜Òc gÂi là hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi cıa các BNN X1, X2, ..., Xn.

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi

f (x, y ) th‰a mãn Øng th˘c:

f (u, v )dudv . F (x, y ) = P[X < x, Y < y ] =

1 Z

f (x, y ) 0 x, y R và 8 2

f (x, y )dxdy = 1.

1 Z

@2F (x, y ) n∏u §o hàm này tÁn t§i t§i (x,y) f (x, y ) = @x@y 8 0 ∏ i. § c l ˜Ò u ng n <

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

20 / 43

Tính chßt cıa hàm m™t Î

f (x, y ) 0 x, y R và 8 2

f (x, y )dxdy = 1.

1 Z

@2F (x, y ) n∏u §o hàm này tÁn t§i t§i (x,y) f (x, y ) = @x@y 8 0 ∏ i. § c l ˜Ò u ng n <

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Tính chßt cıa hàm m™t Î

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi f (x, y ) th‰a mãn Øng th˘c:

f (u, v )dudv . F (x, y ) = P[X < x, Y < y ] =

1 Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

20 / 43

@2F (x, y ) n∏u §o hàm này tÁn t§i t§i (x,y) f (x, y ) = @x@y 8 i. § c l ˜Ò u ng n 0 ∏ <

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Tính chßt cıa hàm m™t Î

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi f (x, y ) th‰a mãn Øng th˘c:

f (u, v )dudv . F (x, y ) = P[X < x, Y < y ] =

1 Z

f (x, y ) 0 x, y R và 8 2

f (x, y )dxdy = 1.

1 Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

20 / 43

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Tính chßt cıa hàm m™t Î

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN hai chi∑u vÓi hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi f (x, y ) th‰a mãn Øng th˘c:

f (u, v )dudv . F (x, y ) = P[X < x, Y < y ] =

1 Z

f (x, y ) 0 x, y R và 8 2

f (x, y )dxdy = 1.

1 Z

n∏u §o hàm này tÁn t§i t§i (x,y)

K69E

20 / 43

i. § c l ˜Ò @2F (x, y ) @x@y ∏ 0 8 < f (x, y ) = u ng Khoa Toán Tin n VECTÃ NGàU NHIÊN

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

Tính chßt cıa hàm m™t Î

f (x, y )dx fX (x) = f (x, y )dy ; fY (y ) =

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

21 / 43

Z Z trong ó, fX (x), fY (y ) là các hàm m™t Î xác sußt cıa X và Y .

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm phân bË và hàm m™t Î...

TỆỆỆFGg dndy

if.tk g du dy

Ví dˆ

gcy

Cho BNN hai chi∑u (X , Y ) có hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi:

C x 2 + xy n∏u 0 < x < 1, 0 < y < 2 1 2 f (x, y ) = ◆ i § c l ˜Ò u ng 0 ✓ ∏ n 8 <

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

22 / 43

: Tìm h¨ng sË C và hàm phân bË F (x, y ).

‡nh nghæa

Hai BNN X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc BNN này nh™n mÎt giá tr‡

nào ó không £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa BNN kia.

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

F (x, y ) = FX (x)FY (y ).

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

S¸ Îc l™p cıa hai bi∏n ng®u nhiên

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

23 / 43

f (x, y ) = fX (x)fY (y ).

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

F (x, y ) = FX (x)FY (y ).

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

S¸ Îc l™p cıa hai bi∏n ng®u nhiên

f (x, y ) = fX (x)fY (y ).

‡nh nghæa

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

23 / 43

Hai BNN X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc BNN này nh™n mÎt giá tr‡ nào ó không £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa BNN kia.

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

S¸ Îc l™p cıa hai bi∏n ng®u nhiên

f (x, y ) = fX (x)fY (y ).

‡nh nghæa

Hai BNN X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc BNN này nh™n mÎt giá tr‡ nào ó không £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa BNN kia.

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

23 / 43

F (x, y ) = FX (x)FY (y ).

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

S¸ Îc l™p cıa hai bi∏n ng®u nhiên

‡nh nghæa

Hai BNN X và Y ˜Òc gÂi là Îc l™p n∏u viªc BNN này nh™n mÎt giá tr‡ nào ó không £nh h˜ng gì ∏n phân bË xác sußt cıa BNN kia.

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

F (x, y ) = FX (x)FY (y ).

‡nh l˛

Hai BNN X và Y Îc l™p khi và chø khi:

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

23 / 43

f (x, y ) = fX (x)fY (y ).

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

S¸ Îc l™p cıa hai bi∏n ng®u nhiên...

Ví dˆ

Gi£ s˚ (X , Y ) có hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi nh˜ sau:

i § c l f (x, y ) = ˜Ò u ng Ce ∏ 0 n∏u 0 < x < y . n (

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

24 / 43

1 ẴỬẶ g g da 1

Tìm h¨ng sË C và xét xem hai BNN X , Y có Îc l™p hay không?

ẲỄfkg dxdy

KEO

fxGD ffG.gg dy

7 60 fxa Ử fỀ

ẩn

thamsơ

dế núi se 0 nêu x EO

µể dy dế fểdy

nêu

2ể

fyfy

g O nêu YEO

f xã fyly

dễ Lễ nêu a y O nên ngượclại 0

fGay

KY khôngđộclập

Câu h‰i: hàm m™t Î Áng thÌi cıa U, V ˜Òc xác ‡nh nh˜ th∏ nào

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u

thông qua hàm m™t Î Áng thÌi cıa X , Y ?

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN 2 chi∑u và u(x, y ), v (x, y ) là hai hàm hai bi∏n cho tr˜Óc. Khi ó: c∞p BNN mÓi (U, V ) xác ‡nh bi

U = u(X , Y ), V = v (X , Y )

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

25 / 43

cÙng là mÎt BNN 2 chi∑u.

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u

Gi£ s˚ (X , Y ) là mÎt BNN 2 chi∑u và u(x, y ), v (x, y ) là hai hàm hai bi∏n cho tr˜Óc. Khi ó: c∞p BNN mÓi (U, V ) xác ‡nh bi

U = u(X , Y ), V = v (X , Y )

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

25 / 43

cÙng là mÎt BNN 2 chi∑u. Câu h‰i: hàm m™t Î Áng thÌi cıa U, V ˜Òc xác ‡nh nh˜ th∏ nào thông qua hàm m™t Î Áng thÌi cıa X , Y ?

2 xác ‡nh bi

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )).

B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 { } T

B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

S = D . (u, v ) : T { } 2

B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T

B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

J(u, v ) n∏u (u, v ) S, fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | | 2 fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )).

B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 { } T

B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

S = D . (u, v ) : T { } 2

B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T

B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

J(u, v ) n∏u (u, v ) S, fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | | 2 fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

2 xác ‡nh bi

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

S = D . (u, v ) : T { } 2

B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T

B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

J(u, v ) n∏u (u, v ) S, fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | | 2 fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

2 xác ‡nh bi

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 } { 1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )). B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = T

B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T

B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

J(u, v ) n∏u (u, v ) S, fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | | 2 fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

2 xác ‡nh bi

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 } { 1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )).

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

D . B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = T B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n (u, v ) : T S = { } 2

B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

J(u, v ) n∏u (u, v ) S, fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | | 2 fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

2 xác ‡nh bi

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 } { 1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )).

. }

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = T B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n D S = (u, v ) : T 2 { 1. B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

2 xác ‡nh bi

Ph˜Ïng pháp Íi bi∏n

2 vào R

B˜Óc 1: ∞t T là mÎt ánh x§ t¯ R

T (x, y ) = (u(x, y ); v (x, y )).

1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v ))

và ánh x§ ng˜Òc (x, y ) : fX ,Y (x, y ) > 0 } { 1(u, v ) = (x(u, v ); y (u, v )).

. }

B˜Óc 2: xác ‡nh mi∑n D = T B˜Óc 3: xác ‡nh mi∑n D S = (u, v ) : T 2 { 1. B˜Óc 4: tính Jacobian J(u, v ) cıa ánh x§ T B˜Óc 5: xác ‡nh hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

26 / 43

fX ,Y (x(u, v ); y (u, v )) | 2 fU,V (u, v ) = J(u, v ) | ∏ 0 n∏u (u, v ) n S, . i § c l ˜Ò u ng (

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

Ví dˆ

Cho hai BNN X và Y có hàm m™t Î Áng thÌi nh˜ sau:

i § f (x, y ) = ˜Ò c l e ∏ 0 n∏u x, y > 0 n . u ng (

∞t U = X + Y và Y = .

2 Ch˘ng minh: U và V Îc l™p.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

27 / 43

X X + Y 1 Tìm hàm m™t Î xác sußt Áng thÌi cıa U và V .

B˜Óc 1: xét ánh x§ T ˜Òc xác ‡nh bi

x T (x, y ) = (u, v ) vÓi u = x + y , v = . x + y

1(u, v ) = (x, y ) vÓi

1, ta có

B˜Óc 2: mi∑n D = (x, y ) : x > 0, y > 0 và T { } x = uv ; y = u(1 v ).

B˜Óc 3: t¯ mi∑n D và ánh x§ T

S = (u, v ) : uv > 0; u(1 v ) > 0 = (u, v ) : u > 0, 0 < v < 1 . { } { }

B˜Óc 4: Jacobian cıa ánh x§ T là

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

v u J(u, v ) = = u 1 v u

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

28 / 43

LÌi gi£i

1(u, v ) = (x, y ) vÓi

1, ta có

B˜Óc 2: mi∑n D = (x, y ) : x > 0, y > 0 và T { } x = uv ; y = u(1 v ).

B˜Óc 3: t¯ mi∑n D và ánh x§ T

S = (u, v ) : uv > 0; u(1 v ) > 0 = (u, v ) : u > 0, 0 < v < 1 . { } { }

B˜Óc 4: Jacobian cıa ánh x§ T là

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

v u J(u, v ) = = u 1 v u

LÌi gi£i

B˜Óc 1: xét ánh x§ T ˜Òc xác ‡nh bi

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

28 / 43

T (x, y ) = (u, v ) vÓi u = x + y , v = . x x + y

1, ta có

B˜Óc 3: t¯ mi∑n D và ánh x§ T

S = (u, v ) : uv > 0; u(1 v ) > 0 = (u, v ) : u > 0, 0 < v < 1 . { } { }

B˜Óc 4: Jacobian cıa ánh x§ T là

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

v u J(u, v ) = = u 1 v u

LÌi gi£i

B˜Óc 1: xét ánh x§ T ˜Òc xác ‡nh bi

1(u, v ) = (x, y ) vÓi

T (x, y ) = (u, v ) vÓi u = x + y , v = . x x + y

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

28 / 43

và T (x, y ) : x > 0, y > 0 } B˜Óc 2: mi∑n D = x = uv ; y = u(1 { v ).

B˜Óc 4: Jacobian cıa ánh x§ T là

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

v u J(u, v ) = = u 1 v u

LÌi gi£i

B˜Óc 1: xét ánh x§ T ˜Òc xác ‡nh bi

1(u, v ) = (x, y ) vÓi

T (x, y ) = (u, v ) vÓi u = x + y , v = . x x + y

1, ta có

và T (x, y ) : x > 0, y > 0 } { v ).

B˜Óc 2: mi∑n D = x = uv ; y = u(1 B˜Óc 3: t¯ mi∑n D và ánh x§ T

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

28 / 43

S = (u, v ) : uv > 0; u(1 = . { v ) > 0 } (u, v ) : u > 0, 0 < v < 1 } {

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 1: xét ánh x§ T ˜Òc xác ‡nh bi

1(u, v ) = (x, y ) vÓi

T (x, y ) = (u, v ) vÓi u = x + y , v = . x x + y

1, ta có

và T (x, y ) : x > 0, y > 0 } { v ).

B˜Óc 2: mi∑n D = x = uv ; y = u(1 B˜Óc 3: t¯ mi∑n D và ánh x§ T

S = (u, v ) : uv > 0; u(1 = . { v ) > 0 } (u, v ) : u > 0, 0 < v < 1 } {

B˜Óc 4: Jacobian cıa ánh x§ T là

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

28 / 43

v J(u, v ) = = u 1 v u u

B˜Óc 5: hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V là

n∏u u > 0, 0 < v < 1 ue fU,V (u, v ) = i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ . n (

B˜Óc 6: hàm m™t Î cıa U là

udv = ue

n∏u u > 0 ue fU (u) = fU,V (u, v )dv = 8 Z u n u < 0. 0 ∏ Z <

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

29 / 43

LÌi gi£i

B˜Óc 6: hàm m™t Î cıa U là

udv = ue

n∏u u > 0 ue fU (u) = fU,V (u, v )dv = 8 Z u n u < 0. 0 ∏ Z <

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 5: hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V là

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

29 / 43

i fU,V (u, v ) = § c l ˜Ò n∏u u > 0, 0 < v < 1 n . ue u ng ∏ 0 (

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 5: hàm m™t Î Áng thÌi cıa U và V là

i fU,V (u, v ) = § c l ˜Ò n∏u u > 0, 0 < v < 1 n . ue u ng ∏ 0 (

B˜Óc 6: hàm m™t Î cıa U là

udv = ue

n∏u u > 0 ue fU (u) =

fU,V (u, v )dv = u n u < 0. Z 0 ∏ Z 8 <

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

29 / 43

udux = 1

B˜Óc 7: hàm m™t Î cıa V là

n∏u 0 < v < 1 ue fV (v ) = fU,V (u, v )du = Z 8 i § c l ˜Ò u ng n . 0 ∏ Z <

: Ta có:

fU,V (u, v ) = fU (u).fV (v )

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

suy ra U, V là hai BNN Îc l™p.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

30 / 43

LÌi gi£i

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

udux = 1

B˜Óc 7: hàm m™t Î cıa V là

n∏u 0 < v < 1 ue fV (v ) =

i § c l ˜Ò fU,V (u, v )du = u ng Z 0 ∏ n . Z 8 <

Ta có:

: fU,V (u, v ) = fU (u).fV (v )

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

30 / 43

suy ra U, V là hai BNN Îc l™p.

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

Hª qu£

Gi£ s˚ hai BNN X và Y có hàm m™t Î Áng thÌi f (x, y ). Khió, hàm m™t Î cıa tÍng Z = X + Y ˜Òc xác ‡nh bi công th˘c

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

31 / 43

f (x, z x)dx. fZ (z) = Z

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

g O

f xp

a O

ngọlại

Ví dˆ

fmof

Exp(1) và Y Exp(1/2). Tìm ⇠ ⇠

fỄ X 0 fzGtf.ly e dn

a O

2 CO

e 70

f GI O ỂỆ

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

32 / 43

èt

fttzề eỄỆỂ

Cho X và Y là hai BNN Îc l™p vÓi X hàm m™t Î cıa tÍng Z = X + Y . ẩn thuở

B˜Óc 1: hàm m™t Î Áng thÌi cıa X và Y là

y 1 2 e n∏u x, y > 0 2 fX ,Y (x, y ) = 8

i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ n . ><

>: B˜Óc 2: hàm m™t Î cıa U = X , V = X + Y là

v u 1 2 e n∏u v > u > 0 fU,V (u, v ) = 8 2

i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ n ><

u + v 1 >: 2 e n∏u v > u > 0 . = 8 2

i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ n ><

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

33 / 43

LÌi gi£i

B˜Óc 2: hàm m™t Î cıa U = X , V = X + Y là

v u 1 2 e n∏u v > u > 0 fU,V (u, v ) = 8 2

i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ n ><

u + v 1 >: 2 e n∏u v > u > 0 . = 8 2

i § c l ˜Ò u ng 0 ∏ n ><

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 1: hàm m™t Î Áng thÌi cıa X và Y là

y 2 e n∏u x, y > 0

i § c l 1 2 0 ∏ n . u ng fX ,Y (x, y ) = 8 >< ˜Ò

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

33 / 43

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 1: hàm m™t Î Áng thÌi cıa X và Y là

y 2 e n∏u x, y > 0

i § c l u ng 1 2 0 ∏ n . fX ,Y (x, y ) = 8 >< ˜Ò

>: B˜Óc 2: hàm m™t Î cıa U = X , V = X + Y là

v u

2 e n∏u v > u > 0

1 2 0 ∏ n i § c l ˜Ò u ng fU,V (u, v ) = 8 ><

u + v 2 e n∏u v > u > 0 .

Khoa Toán Tin

K69E

33 / 43

∏ n i § c l ˜Ò u ng >: = 8 >< 1 2 0 VECTÃ NGàU NHIÊN

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

LÌi gi£i

B˜Óc 3: hàm m™t Î cıa V là

fV (v ) = fU,V (u, v )du

0 Z v 2

u + v 2 = e du Z 1 v 1 2

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

34 / 43

v 2 = e e 1 . !

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

EEXJỸ

Và

EEXJ Ở Ởxfa.pexdy EIXTEỄỄ

g dxdy

‡nh l˛

Cho hai BNN X và Y có hàm m™t Î Áng thÌi f (x, y ) và g (x, y ) là mÎt hàm hai bi∏n cho tr˜Óc. Khi ó, kì vÂng cıa BNN Z = g (X , Y ) ˜Òc tính bi công th˘c

g (x, y )f (x, y )dxdy . E[Z ] = E[g (X , Y )] =

1 Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

35 / 43

TÍng quát, cho các BNN X1, ..., Xn và a1, ..., an là các h¨ng sË. Khi

ó,

= ai Xi E ai E[Xi ].

" # Xi=1 Xi=1

Cho hai BNN X , Y Îc l™p. Khi ó,

E[XY ] = E[X ].E[Y ].

TÍng quát, cho các BNN X1, X2, ..., Xn Îc l™p. Khi ó,

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

E[X1X2...Xn] = E[X1].E[X2]....E[Xn].

‡nh l˛

Cho hai BNN X , Y và a, b là hai h¨ng sË. Khi ó,

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

36 / 43

E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ].

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Hàm cıa bi∏n ng®u nhiên hai chi∑u...

‡nh l˛

Cho hai BNN X , Y và a, b là hai h¨ng sË. Khi ó,

E[aX + bY ] = aE[X ] + bE[Y ].

TÍng quát, cho các BNN X1, ..., Xn và a1, ..., an là các h¨ng sË. Khi ó,

= ai Xi E ai E[Xi ].

" # Xi=1 Xi=1

Cho hai BNN X , Y Îc l™p. Khi ó,

E[XY ] = E[X ].E[Y ].

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

36 / 43

TÍng quát, cho các BNN X1, X2, ..., Xn Îc l™p. Khi ó,

E[X1X2...Xn] = E[X1].E[X2]....E[Xn].

N∏u f (x, y ) là hàm m™t Î Áng thÌi cıa (X , Y ) thì

1 Z

cov (X , Y ) = (x µ)(y )f (x, y )dxdy Z

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan

trong ó E[X ] = µ và E[Y ] = .

‡nh nghæa

Covarian cıa hai BNN X và Y là mÎt sË xác ‡nh bi công th˘c

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

37 / 43

cov (X , Y ) = E[(X E[X ])(Y E[Y ])].

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan

‡nh nghæa

Covarian cıa hai BNN X và Y là mÎt sË xác ‡nh bi công th˘c

cov (X , Y ) = E[(X E[X ])(Y E[Y ])].

N∏u f (x, y ) là hàm m™t Î Áng thÌi cıa (X , Y ) thì

1 Z trong ó E[X ] = µ và E[Y ] = .

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

37 / 43

cov (X , Y ) = (x µ)(y )f (x, y )dxdy Z

VÓi a, b là các h¨ng sË thì cov (aX , bY ) = abcov (X , Y ).

N∏u X , Y Îc l™p thì cov (X , Y ) = 0 nh˜ng ng˜Òc l§i ch˜a ch≠cã

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

úng.

Tính chßt

Thông th˜Ìng, ta s˚ dˆng công th˘c sau ∫ tính covarian cıa X , Y :

cov (X , Y ) = E[XY ]

E[X ].E[Y ] +

1 Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

38 / 43

= xyf (x, y )dxdy E[X ].E[Y ]. Z

N∏u X , Y Îc l™p thì cov (X , Y ) = 0 nh˜ng ng˜Òc l§i ch˜a ch≠cã

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

úng.

Tính chßt

Thông th˜Ìng, ta s˚ dˆng công th˘c sau ∫ tính covarian cıa X , Y :

cov (X , Y ) = E[XY ]

E[X ].E[Y ] +

1 Z

= xyf (x, y )dxdy E[X ].E[Y ]. Z

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

38 / 43

VÓi a, b là các h¨ng sË thì cov (aX , bY ) = abcov (X , Y ).

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

Tính chßt

Thông th˜Ìng, ta s˚ dˆng công th˘c sau ∫ tính covarian cıa X , Y :

cov (X , Y ) = E[XY ]

E[X ].E[Y ] +

1 Z

= xyf (x, y )dxdy E[X ].E[Y ]. Z

VÓi a, b là các h¨ng sË thì cov (aX , bY ) = abcov (X , Y ).

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

38 / 43

N∏u X , Y Îc l™p thì cov (X , Y ) = 0 nh˜ng ng˜Òc l§i ch˜a ch≠cã úng.

Tính chßt cıa ph˜Ïng sai:

Var = ai Xi ai aj cov (Xi , Xj )

# " Xi=1 Xi=1 Xi=1

i Var [Xi ] + 2



= a2 ai aj cov (Xi , Xj ).

Xi=1 X1

cov = ai Xi , bi Xi ai bj cov (Xi , Xj ).

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

! Xi=1 Xi=1 Xi=1 Xj=1

‡nh l˛

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

39 / 43

Cho các BNN X1, X2, ..., Xn và các h¨ng sË a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn. Khi ó, ta có:

cov = ai Xi , bi Xi ai bj cov (Xi , Xj ).

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

! Xi=1 Xi=1 Xi=1 Xj=1

‡nh l˛

Cho các BNN X1, X2, ..., Xn và các h¨ng sË a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn. Khi ó, ta có:

Tính chßt cıa ph˜Ïng sai:

Var = ai Xi ai aj cov (Xi , Xj )

# " Xi=1 Xi=1 n

= ai aj cov (Xi , Xj ). Xi=1 a2 i Var [Xi ] + 2

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

39 / 43

Xi=1 X1 

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

‡nh l˛

Cho các BNN X1, X2, ..., Xn và các h¨ng sË a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn. Khi ó, ta có:

Tính chßt cıa ph˜Ïng sai:

Var = ai Xi ai aj cov (Xi , Xj )

# " Xi=1 Xi=1 n

= ai aj cov (Xi , Xj ). Xi=1 a2 i Var [Xi ] + 2

Xi=1 X1 

cov = ai Xi , bi Xi ai bj cov (Xi , Xj ).

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

39 / 43

! Xi=1 Xi=1 Xi=1 Xj=1

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

Hª sË t˜Ïng quan

⇢(X , Y ),˜Òc‡nh

Hª sË t˜Ïng quan cıa hai BNN X và Y , kí hiªu bi nghæa bi công th˘c

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

40 / 43

⇢(X , Y ) = . cov (X , Y ) X Y

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

Tính chßt

Ta có: 1 ⇢(X , Y ) 1.   N∏u X , Y Îc l™p thì ⇢(X , Y ) = 0.

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

41 / 43

N∏u Y phˆ thuÎc tuy∏n tính vào X , nghæa là Y = aX + b, thì ⇢(X , Y ) = 1. ±

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

ﬁ nghæa cıa hª sË t˜Ïng quan

Hª sË t˜Ïng quan o m˘c Î phˆ thuÎc tuy∏n tính gi˙a X và Y .

Khoa Toán Tin

VECTÃ NGàU NHIÊN

K69E

42 / 43

⇢(X , Y ) càng g¶n 1 thì mËi quan hª tuy∏n tính càng ch∞t. | | ⇢(X , Y ) càng g¶n 0 thì s¸ phˆ thuÎc tuy∏n tính càng "l‰ng l¥o". | | ⇢(X , Y ) = 0 thì ta nói X và Y không t˜Ïng quan.

VectÏ ng®u nhiên liên tˆc

Covarian và hª sË t˜Ïng quan...

EX Varx

yfx

COVCKY

PCXÐ

ẤY

Ey vary

sfy

Ví dˆ

Cho X , Y là hai BNN vÓi hàm m™t Î Áng thÌi:

C sin(x + y ) n∏u 0 x, y ; ⇡ 2  