Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê trình bày các vấn đề của kiểm định giả thiết thống kê như khái niệm, tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê, miền bác bỏ giả thuyết, giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định, quy tắc kiểm định thống kê. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 8: Kiểm định giả thiết thống kê

CHÖÔNG 8 Kieåm ñònh giaû thieát thoáng keâ (3LT + 3BT) 1. Khaùi nieäm Giaû thieát thoáng keâ (giaû thieát) laø caùc phaùt bieåu lieân quan ñeán caùc soá ñaëc tröng cuûa ÑLNN, quy luaät phaân phoái cuûa ÑLNN, tính ñoäc laäp cuûa caùc ÑLNN… Kieåm ñònh laø döïa vaøo moät maãu cuï theå, thöïc hieän moät soá thuû tuïc ñeå ñöa ra quyeát ñònh chaáp nhaän hoaëc baùc boû giaû thieát thoáng keâ. Giaû thieát caàn kieåm ñònh kyù hieäu Ho. Giaû thieát phaûi chaáp nhaän neáu baùc boû Ho kyù hieäu laø H1.
Vì quyeát ñònh ñöa ra chæ döïa treân moät maãu cuï theå neân quyeát ñònh coù theå bò sai. Ta goïi sai laàm loaïi I laø quyeát ñònh baùc boû Ho trong khi Ho ñuùng, sai laàm loaïi II laø quyeát ñònh chaáp nhaän Ho trong khi Ho sai. Xaùc suaát maéc sai laàm loaïi I goïi laø möùc yù nghóa, kyù hieäu α. Ñeå tieán haønh thuû tuïc kieåm ñònh, tröôùc tieân ngöôøi ta xaây döïng tieâu chuaån kieåm ñònh nhö sau: Xeùt ÑLNN X vaø caùc giaû thieát Ho, H1. Xeùt maãu ngaãu nhieân X1, X2, …, Xn. Tieâu chuaån kieåm ñònh laø moät thoáng keâ G = G(X1, X2, …, Xn) ñöôïc choïn sao cho khi Ho ñuùng thì quy luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa ÑLNN G ñöôïc xaùc ñònh.
Vôùi möùc yù nghóa α, choïn mieàn baùc boû Ho laø Wα sao cho: P(G∈Wα /Ho) = α Sau khi laáy maãu cuï theå, haøm G coù giaù trò kieåm ñònh g. Quy taéc quyeát ñònh nhö sau: * g∈Wα : baùc boû Ho. * g∉Wα : chaáp nhaän Ho. 2. Kieåm ñònh soá ñaëc tröng toång theå 2.1 Kieåm ñònh trung bình toång theå 2.1.1 Kieåm ñònh hai phía (H1 : µ ≠ µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå kích thöôùc n, xeùt phaùt bieåu cho raèng giaù trò µo laø trung bình toång theå µ vôùi
möùc yù nghóa α. Ñeå xem phaùt bieåu treân coù chaáp nhaän ñöôïc hay khoâng, ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: Ho: µ = µo vôùi H1: µ ≠ µo TH1,2,3 n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Khi moät trong caùc tröôøng hôïp treân xaûy ra thì vôùi X −µ maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n, coù phaân phoái σ/ n Chuaån Chính Taéc hay ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái Chuaån Chính Taéc. Tröôøng hôïp chöa bieát σ thì thay bôûi S.
Phaân tích vaán ñeà theo caùch I Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo. Luùc naøy ÑLNN X − µo coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc, vì vaäy bieán σ/ n X − µo coá ≤ zα/2 xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vôùi α töø 5% σ/ n X − µo trôû xuoáng, ta cho raèng bieán coá ≤ zα/2 chaéc σ/ n chaén xaûy ra trong thöïc teá, töùc laø vôùi maãu cuï theå kích x − µo thöôùc n naøo cuõng phaûi coù ≤ zα/2. Neáu vôùi moät σ/ n x − µo maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy > zα/2 thì σ/ n
ñaây laø ñieàu voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. X − µo Khi coù phaân phoái Chuaån Chính Taéc thì σ/ n X − µo bieán coá > zα/2 vaãn coù theå xaûy ra vôùi xaùc suaát σ/ n α. Vaäy laäp luaän ñeå daãn ñeán ñieàu voâ lyù neâu treân coù theå bò sai vôùi xaùc suaát α, töùc laø quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho coù theå gaëp sai laàm vôùi xaùc suaát α.
Phaân tích vaán ñeà theo caùch II Keát quaû cuûa vieäc öôùc löôïng µ vôùi ñoä tin caäy 1–α cho thaáy bieán coá µ∈[ X – ε, X + ε], vieát caùch khaùc laø  X – µ≤ ε, xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo, thì bieán coá  X – µo≤ ε phaûi xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vôùi α töø 5% trôû xuoáng, ta cho raèng bieán coá  X – µo≤ ε chaéc chaén xaûy ra trong thöïc teá, töùc laø vôùi maãu cuï theå kích thöôùc n naøo ta cuõng phaûi coù  x – µo≤ ε. Neáu vôùi moät maãu cuï theå kích thöôùc n, ta thaáy  x – µo> ε thì ñaây laø ñieàu voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho. Ta coù:
x − µo  x – µo > ε = zα/2 σ ⇔ > zα/2 n σ/ n Vì ñoä tin caäy laø 1–α neân ngay khi Ho ñuùng, bieán coá  X – µo > ε vaãn coù theå xaûy ra vôùi xaùc suaát α. Vaäy laäp luaän ñeå daãn ñeán ñieàu voâ lyù neâu treân coù theå bò sai vôùi xaùc suaát α, töùc laø quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho coù theå gaëp sai laàm vôùi xaùc suaát α. Caùc phaân tích treân gôïi yù cho ta choïn: X − µo Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = σ/ n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi S) Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –zα/2)∩(zα/2, +∞)
TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, toång theå coù phaân phoái Chuaån X −µ Luùc naøy coù phaân phoái Student n–1 baäc töï S/ n do. Taát caû laäp luaän beân treân ñeàu aùp duïng ñöôïc, mieãn laø thay zα/2 bôûi t(n–1)α/2. Vaäy ta choïn: X − µo Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = S/ n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (–∞, –tα/2)∩(tα/2, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh hai phía trung bình toång theå (H1: µ ≠ µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn
(TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh coù trò tuyeät ñoái lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). x − µo Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: σ/ n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi s) Giaù trò tôùi haïn ñöôïc tra theo hai tröôøng hôïp: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Giaù trò tôùi haïn: zα/2 n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån Giaù trò tôùi haïn: t(n–1)α/2
Ví duï (1) Troïng löôïng ghi treân bao bì cuûa moät loaïi saûn phaåm 6Kg. Laáy ngaãu nhieân 121 saûn phaåm vaø caân thöû thì tính ñöôïc troïng löôïng trung bình laø 5,975Kg vaø phöông sai laø 5,7596. Vôùi möùc yù nghóa 5% thì troïng löôïng ghi treân bao bì coù chaáp nhaän ñöôïc khoâng? Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: H o: µ = µ o "Troïng löôïng ghi treân bao bì chaáp nhaän ñöôïc" H1: µ ≠ µo "Troïng löôïng ghi treân bao bì khoâng chaáp nhaän ñöôïc" Ta coù: n = 121 x = 5,975 µo = 6 s2 = 5,7596 ⇒ s = 2,399
x − µo Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = = –0,1146 s/ n Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = zα/2 = z0,025 = 1,96 =NORMSINV(1–0,025) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Troïng löôïng ghi treân bao bì chaáp nhaän ñöôïc (vôùi möùc yù nghóa 5%). (2) Ñöôøng kính cuûa moät chi tieát maùy ñöôïc saûn xuaát theo chuaån laø 3,02cm. Laáy ngaãu nhieân 25 chi tieát vaø ño thöû thì tính ñöôïc ñöôøng kính trung bình laø 3,14cm vôùi ñoä leäch chuaån laø 0,275cm. Vôùi ñoä tin caäy 95% haõy cho bieát caùc chi tieát saûn xuaát coù ñuùng chuaån khoâng ?
Ta caàn kieåm ñònh giaû thieát: H o: µ = µ o "Caùc chi tieát saûn xuaát ñuùng chuaån" H 1: µ ≠ µ o "Caùc chi tieát saûn xuaát khoâng ñuùng chuaån" Ta coù: n = 25 x = 3,14 µo = 3,02 s = 0,275 x − µo Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = = 2,1818 s/ n Giaù trò tôùi haïn: 1–α = 95% ⇒ TH = t(n–1)α/2 = t(24)0,025 = 2,0639 =TINV(0,025*2; 24) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH thoaû, quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho, chaáp nhaän giaû thieát H1.
Caùc chi tieát saûn xuaát khoâng ñuùng chuaån (vôùi ñoä tin caäy 95%). 2.1.2 Kieåm ñònh phaûi (H1 : µ > µo) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: µ = µo vôùi H1: µ > µo TH1,2,3 n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Khi moät trong caùc tröôøng hôïp treân xaûy ra thì vôùi X −µ maãu ngaãu nhieân kích thöôùc n, coù phaân phoái σ/ n Chuaån Chính Taéc hay ñöôïc xaáp xæ vôùi phaân phoái
Chuaån Chính Taéc. Tröôøng hôïp chöa bieát σ thì thay bôûi S. X − µo Giaû ñònh Ho ñuùng, töùc laø µ = µo. Do coù σ/ n X − µo phaân phoái Chuaån Chính Taéc neân bieán coá ≤ zα σ/ n xaûy ra vôùi xaùc suaát 1–α. Vì vaäy neáu vôùi moät maãu cuï x − µo theå kích thöôùc n, ta thaáy > zα thì ñaây laø ñieàu σ/ n voâ lyù, chöùng toû giaû ñònh µ = µo sai. Vaäy neáu daáu hieäu naøy xaûy ra ta quyeát ñònh baùc boû giaû thieát Ho.
x − µo Khi > zα xaûy ra, töùc laø khi baùc boû Ho, thì σ/ n x−µ x − µo x−µ ta vaãn coù ≤ zα, do ñoù > . Ñieàu naøy σ/ n σ/ n σ/ n chöùng toû khi baùc boû giaû thieát Ho thì µ > µo. Vaäy ta choïn: X − µo Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = σ/ n (Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi S) Mieàn baùc boû Ho: Wα = (zα, +∞) TH4 n ≤ 30, chöa bieát phöông sai toång theå σ2, toång theå coù phaân phoái Chuaån
Phaân tích töông töï treân vôùi phaân phoái Student, ta choïn: X − µo Tieâu chuaån kieåm ñònh: G = S/ n Mieàn baùc boû Ho: Wα = (tα, +∞) Toùm taét – Kieåm ñònh phaûi trung bình toång theå (H1: µ > µo) Cho tröôùc moät maãu cuï theå vaø möùc yù nghóa α. Ta tính giaù trò kieåm ñònh (KÑ) vaø tra giaù trò tôùi haïn (TH). Neáu giaù trò kieåm ñònh lôùn hôn giaù trò tôùi haïn thì baùc boû Ho (KÑ > TH). x − µo Coâng thöùc tính giaù trò kieåm ñònh: σ/ n
(Neáu chöa bieát σ thì thay bôûi s) Giaù trò tôùi haïn ñöôïc tra theo hai tröôøng hôïp: n > 30 hoaëc "n ≤ 30, bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån" Giaù trò tôùi haïn: zα n ≤ 30, chöa bieát σ2 vaø toång theå coù phaân phoái Chuaån Giaù trò tôùi haïn: t(n–1)α Ví duï Troïng löôïng cuûa moät con gaø khi xuaát chuoàng ñöôïc choïn ngaãu nhieân laø ÑLNN coù phaân phoái Chuaån. Tröôùc ñaây, troïng löôïng trung bình laø 1,7Kg. Ngöôøi ta aùp duïng phöông phaùp chaên nuoâi môùi vaø caân thöû 25
con gaø xuaát chuoàng thì tính ñöôïc troïng löôïng trung bình laø 1,87Kg vaø phöông sai laø 0,25. Haõy cho nhaän xeùt veà phöông phaùp chaên nuoâi môùi vôùi möùc yù nghóa 5%. Do gaø taêng troïng neân ta kieåm ñònh giaû thieát: H o: µ = µ o "Phöông phaùp chaên nuoâi môùi khoâng laøm gaø taêng troïng" H1: µ > µo "Phöông phaùp chaên nuoâi môùi laøm gaø taêng troïng" Ta coù: n = 25 x = 1,87 µo = 1,7 s2 = 0,25 ⇒ s = 0,5 x − 1,7 Giaù trò kieåm ñònh: KÑ = = 1,7 s/ n
Giaù trò tôùi haïn: α = 5% ⇒ TH = t(n–1)α = t(24)0,05 = 1,711 =TINV(0,05*2; 24) Ñieàu kieän baùc boû Ho laø KÑ > TH khoâng thoaû, quyeát ñònh chaáp nhaän giaû thieát Ho. Phöông phaùp chaên nuoâi môùi khoâng laøm gaø taêng troïng (vôùi möùc yù nghóa 5%). 2.1.3 Kieåm ñònh traùi (H1 : µ < µo) Töø döõ lieäu cuûa moät maãu cuï theå, vôùi möùc yù nghóa α cho tröôùc, ta caàn kieåm ñònh: Ho: µ = µo vôùi H1: µ < µo