LÝ THUYẾT
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộmô Khí tượng
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
6.1 Hàm ước lượng của một tham số chưa biết
•Bài toán: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có phân bốF(x,θ) (hoặc
f(x,θ)), dạng của F(x,θ) đã biết nhưng chưa biết θ. Hãy xác định θ
•Thực tế, rất khó hoặc không thểxác định chính xác giá trịθ nên
người ta chỉ ước lượng nó thông qua tập mẫu của X
•Giảsửcó mẫu (X1, X2,…, Xn) của X, để thay thếcho θta lập đại
lượng thống kê ),...,,(
ˆ21 n
XXX
θ
•Định nghĩa: Đại lượng thống kê
được chọn dùng để thay thếcho tham sốθ được gọi là hàm ước
lượng của θ(hay ngắn gọn hơn là ước lượng của θ)
),...,,(
ˆ21 n
XXX
θ
•Chú ý: ),...,,(
ˆ21 n
XXX
θ
là hàm của (X1,..,Xn) Îbiến ngẫu nhiên
•Với mỗi (x1,…,xn) thì ),...,,(
ˆ21 n
XXX
θ
là một điểm trên trục số
),...,,(
ˆ21 n
XXX
θ
⇒còn gọi là ước lượng điểm của θ
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
6.1 Hàm ước lượng của một tham số chưa biết
•Ví dụ: Xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,…, Xn)
• Khi đó: ])[(][],[ 22
xxxx mXMXDDXMm −==≡=
σ
∑
=
=n
i
i
X
n
X
1
1
•Nói chung, ứng với một tham sốθcó thểcó nhiều cách ước
lượng khác nhau ÎCần chọn ước lượng nào tốt nhất
là một ước lượng mx
là các đặc trưng chính xác (các tham sốchính xác) của X
∑
=
−=≡ n
i
ixx XX
n
sD
1
22 )(
1
~là một ước lượng của Dx
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
6.1 Hàm ước lượng của một tham số chưa biết
•Định nghĩa: Hàm ước lượng
gọi là ước lượng không chệch nếu: ),...,(
ˆ1n
XX
θ
x
n
i
i
n
i
i
n
i
imXMXM
n
XM
n
X
n
MXM ===== ∑∑∑ ===
][][
1
][
1
]
1
[][
111
của tham sốθ được
•Ví dụ: Kỳvọng mẫu là ước lượng không chệch của kỳvọng mx
])([
1
])(
1
[][]
~
[
1
2
1
22 ∑∑ ==
−=−=≡ n
i
i
n
i
ixx XXM
n
XX
n
MsMDM
•Phương sai mẫu là ước lượng chệch của phương sai Dx
θθ
=)],...,(
ˆ
[1n
XXM
Vì Xinhận các giá trịcủa X và có cùng phân bốvới X nên
][][][ XMXMXM i==
CHƯƠNG 6. LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG
6.1 Hàm ước lượng của một tham số chưa biết
()
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−−−=⇒ ∑
=
n
i
iix XMXXMXM
n
DM
1
2
])[(])[(
1
]
~
[
()
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−−−−+−= ∑
=
n
i
ii XMXXMXXMXXMXM
n1
22 ])[])([(2])[(])[(
1
[]
]])[])([([
2
]])[([
1
])[(
1
1
1
2
1
2
∑
∑
∑
=
=
=
−−−
−+
−=
n
i
i
n
i
n
i
i
XMXXMXM
n
XMXM
n
XMXM
nx
n
i
x
n
i
xDD
n
D
ni=== ∑∑ == 11
11
][]])[[(]])[([
122 XDXMXMXMXnM
n=−=−=
][2]])[[(2
])][(])[[(
2
]])[(])[[(
2
2
1
XDXMXM
XMXnXMXM
n
XMXXMXM
n
n
i
ii
−=−−=
=−−−=
=−−−= ∑
=
][]
~
[XDDDM xx −=⇒