Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng, thể tích vật thể tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay, độ dài cung. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 4: Tích phân (p3)
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Trong mp cho miền
D giới hạn bởi
a x b y=f2(x)
f1( x) y f 2 ( x)
Từ định nghĩa tp b
xác định ta suy ra a
b y=f1(x)
S ( D) = ( f 2 ( x) − f1( x) ) dx
a
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y=x và y=5x-x2
(0 (5x − x ) − x ) dx
4
2
S ( D) =
32
=
3
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ta có thể dùng MatLab để giải Ví dụ trên như sau
Tìm giao điểm tức là cận tp bằng cách giải hpt:
f1=y-x
f2 = y-5*x+x^2
[x y] =solve(f1,f2)
Ta sẽ được ma trận với 2 nghiệm của hpt x=0, 4
và y=0, 4. Tức là ta có cận tp 0≤x ≤4
Để tính S(D), ta đi dùng lệnh
f=f1-f2
S=abs(int(f,0,4))
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi y2=2x và 2y=x2
2� x2 � = 4
S ( D) = � 2 x − � dx
� 2 � 3
0� �
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích miền phẳng
Ví dụ: Tính dt miền D giới hạn bởi x2+y2=8, 2x=y2, x>0
2� 2�
2 y 4
S ( D) = � 8 − y − dy = 2π +
�
� 2 � 3
−2 � �
- Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
a x b
Miền phẳng D giới hạn bởi
Quay quanh 0 y f ( x)
trục Ox tạo
thành vật thể
tròn xoay
n
V= π f 2 ( M k )∆xk
i =1
D quay quanh trục
Oy
b
V y = 2π xf ( x) dx
a
- Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D
giới hạn bởi 2y=x2, 2x+2y-3=0 quanh trục Ox
1� 2
�3 � x4 �
Vx = π � � − x �− �
dx
−3 �
�
�
2 � 4 �
�
272
= π
25
- Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
−2 x
hạn bởi y = e − 1, y = e− x + 1, x = 0 quanh trục Ox
( )
0 11
−x 2 −2 x 2
Vx = π (e + 1) − (e − 1) dx = π
− ln 2 4
- Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
−2 x −x
hạn bởi y = e − 1, y = e + 1, x = 0 quanh trục Oy
( )
0
−x −2 x
Vx = 2π x (e + 1) − (e − 1) dx
− ln 2
2 1
= 2π (ln 2 − )
4
- Ứng dụng của tích phân – Thể tích vật thể tròn xoay
Ví dụ: Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới
hạn bởi y=x2+1, y=5 quay quanh
a. Trục Oy b. Đt y=5
a. Quay quanh trục Oy:
( )
2
V y = 2π x 5 − ( x 2 + 1) dx
0
= 8π
b. Quay quanh đt y=5
Ta đổi hệ trục tọa độ để trục quay trùng với 1 trong
2 trục tọa độ 2 256
2 2 π
VX = π ( X − 4) dX =
0 15
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Phần đường cong y=f(x) với a≤x≤b quay quanh trục
Ox sẽ tạo thành 1 mặt cong.
b b
S = 2π �ydl = 2π �y 1 + y 2 dx
a a
Khi quay quanh trục Oy, ta đổi vai trò của x và y
bằng cách tính x=x(y) từ pt y=f(x)
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay ellipse
x2
+ y 2 = 1 quanh trục Ox
4
Đường ellipse
cũng nhận Ox là
trục đối xứng
nên ta cũng chỉ
cần lấy nửa
phía trên hoặc
dưới quay như
khi tính thể tích
vật thể tròn xoay
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Áp dụng công thức trên cho nửa trên ellipse tức là
đường cong :
y = 1 − x 2 / 4, −2 x 2
2 4 − x 2 16 − 3 x 2 2
S x = 2π � dx = π � 16 − 3 x 2 dx
−2 2 4 − x2 −2
8π 2
= 2π +
3 3
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
x
y= ( x − 12),1 x 12 quanh trục Ox
6
x − 12 x 3 x − 12
y = + =
12 x 6 12 x
12 x − 4 x + 4
S x = 2π dx
1 4 x 4 x
�143 �
= 2π � − ln12 �
�32 �
- Ứng dụng của tích phân – Diện tích mặt tròn xoay
Ví dụ: Tính dt mặt tròn xoay tạo ra khi quay cung
x = 4 − y 2 , −2 y 2 quanh trục Oy
2
S y = 2π x 1 + x 2 dy
−2
π
=
16
(
65ln 17 + 124 17 )
- Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Cho phần đường cong y=f(x), a≤x≤b. Độ dài phần
này là b
2
L = 1 + y dx
a
Ví dụ: Tính độ dài phần parabol y=x2 nằm dưới đt y=1
Phần parabol nằm dưới đt y=1 ứng với -1≤x≤1
1 ln( 5 + 2)
2
L= 1 + 4 x dx = + 5
−1 2
- Ứng dụng của tích phân – Độ dài cung
Ví dụ: Tính độ dài phần đường cong y 2 = 8 ( x − 1) 2
nằm trong parabol y2=2x , với x≤1 27
8( x − 1)2 35 3 129
2x = �x=
27 8
2 2(1 − x)
y=
3 3
1 35
L=2 dx
35−3 129 27
8
35 3 129 − 27
=
27 4
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
