intTypePromotion=3

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:33

0
264
lượt xem
38
download

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính" giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát, ma trận của ánh xạ tuyến tính tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

  1. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát   a) Định nghĩa    Cho  X , Y  là 2 kgvt trên  ¡ . Ánh xạ T : X  Y  được  gọi là  ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu  thỏa mãn 2 điều kiện sau:     1) T ( x )   T (x ),  x  X ,    ¡ ;     2) T (x  y )  T (x )  T (y ),  x , y  X . 
  2. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Chú ý  • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT),     ký hiệu T (x ) còn được viết là T x .  • Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với:  T (x   y )  T x   T y ,  x , y  X ,    ¡ .  • T ( X )  Y . Trong đó   X , Y  lần lượt là vector không     của  X  và Y . 
  3. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 2  VD 1. Cho ánh xạ T : ¡  ¡  được định nghĩa:  T (x 1; x 2; x 3)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2).  3  Trong  ¡ , xét x  (x 1; x 2; x 3), y  (y 1; y 2; y 3).   Với    ¡  tùy ý, ta có:    T (x   y )  T (x 1   y 1; x 2   y 2; x 3   y 3)   (x 1   y 1  x 2   y 2  x 3   y 3;                        2x 1  2 y 1  3x 2  3 y 2)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2)                (y 1  y 2  y 3; 2y 1  3y 2)  T x   T y . 3 2    Vậy ánh xạ T  là ánh xạ tuyến tính từ  ¡  vào  ¡ . 
  4. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2  VD 2. Cho ánh xạ  f : ¡  ¡  xác định như sau:  f (x ; y )  (x  y ; 2  3y ).   Xét u  (1; 2), v  (0; 1) ta có:   f (u  v )  f (1; 1)  (1 1; 2  3.1)  (0; 5)             f (u )  f (v )  ( 1; 8)  (1; 1)  (0; 7)    f (u  v )  f (u )  f (v ).  2 2   Vậy ánh xạ  f  không phải là AXTT từ  ¡  vào  ¡ . 
  5. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng:  • Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy :  T (x ; y )  (x ; 0), T (x ; y )  (0; y ).  • Phép đối xứng qua trục Ox , Oy :  T (x ; y )  (x ; y ), T (x ; y )  ( x ; y ).  • Phép quay 1 góc   quanh gốc tọa độO   :  T (x ; y )  (x cos  y sin  ; x sin   y cos ).  y M a sin j + b cosj • b •M j a cosj - b sin j O a x
  6. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  VD 4. Gọi C [a ; b ] là tập hợp các hàm một biến số liên  tục trên  [a; b ]. Trên C [a ; b ], xác định phép toán cộng  hai hàm số và nhân vô hướng thì C [a ; b ] là 1 kgvt.    Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính:  a T : C [a ; b ]  C [a ; b ], T f   f (x )dx ;  a x S : C [a; b ]  C [a ; b ], Sf   f (t )dt , x  [a ; b ].  a  VD 5. Cho  A  M m ,n (¡ ), ta có:  n TA : ¡  ¡ m , T A x  A x  là ánh xạ tuyến tính. 
  7. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính   Định nghĩa     Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y .  • Tập {x  X : T x  Y } được gọi là nhân của T .     Ký hiệu là KerT .     Vậy KerT  {x  X : T x  Y }.  • Tập T (X )  {T x : x  X } được gọi là ảnh của T .     Ký hiệu là R angeT  hoặc  ImT .     Vậy  ImT  {T x : x  X }. 
  8. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Tính chất     Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó:  • KerT  là không gian con của  X ;  • ImT  là không gian con của Y ;  • Nếu S  là tập sinh của  X  thì T (S ) là tập sinh của ImT ;  • T  là đơn ánh khi và chỉ khi KerT  { X }.   Định lý     Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó:    dim(KerT )  dim(ImT )  dimX .  
  9. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Ø Chú ý  n m • Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT  f : ¡  ¡ .  •  Khi  n  m ,  ta  gọi  f : ¡ n  ¡ n   là  phép  biến  đổi  tuyến tính (viết tắt là PBĐTT). 
  10. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính   a) Định nghĩa  n m    Cho ánh xạ tuyến tính  f : ¡  ¡  và hai cơ sở của  ¡ n , ¡ m  lần lượt là:  B 1  {u 1, u 2, , u n } và B 2  {v1, v2, , vm }.   B2 B2    Ma trận A  M m ,n (¡ ):  f (u 1) f (u 2) ... f (u n )    B2   được gọi là ma trận của AXTT  f  trong cặp cơ sở B 1, B 2.  B2    Ký hiệu là: [f ]B  hoặc viết đơn giản là A .  1
  11. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính    Cụ thể là, nếu:   f (u )  a v  a v  a v  ...  a v  1 11 1 21 2 31 3 m1 m  f (u )  a v  a v  a v  ...  a v 2 12 1 22 2 32 3 m2 m     ...........................................................   f (u n )  a1n v1  a 2n v 2  a 3n v 3  ...  am n vm a a ... a   11 12 1n    a a ... a   21 22 2n  B2   thì [f ]B   a 31 a 32 ... a 3n  .  1    M M M M a   m 1 am 2 ... amn 
  12. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Trường hợp đặc biệt  n    Cho PBĐTT  f : ¡  ¡ n  và cơ sở B  {u 1, , u n }.   B B    Ma trận vuông A  cấp n :  f (u 1) f (u 2) ... f (u n )   B   được gọi là ma trận của PBĐTT  f  trong cơ sở B .    Ký hiệu là: [f ]B  hoặc [f ] hoặc viết đơn giản là A .   Chú ý  n m  Nếu A  là ma trận của AXTT  f : ¡  ¡  trong cặp  n  cơ sở chính tắc E n , E m  thì  f (x )  A x , x  ¡ . 
  13. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  VD 6. Cho AXTT  f : ¡ 4  ¡ 3 xác định như sau:  f (x ;y ;z ;t )  (3x  y  z ; x  2y  t ; y  3z  2t ).  E3 4 Tìm ma trận  A  [f ] ? Kiểm tra  f (v )  A v, v  ¡ ?  E4  Giải. Ta có:   f (e )  f (1; 0; 0; 0)  (3; 1; 0)  1  f (e )  f (0; 1; 0; 0)  (1; 2; 1) 2  .   f (e 3)  f (0; 0; 1; 0)  ( 1; 0; 3)   f (e 4)  f (0; 0; 0; 1)  (0; 1; 2)
  14. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 1  1 0    E3   Vậy A  [f ]E  1  2 0 1 .  4    0 1 3  2 x y z t 4 • Sinh viên tự kiểm tra  f (v )  A v, v  ¡ . 
  15. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 3  VD 7. Cho AXTT  f : ¡  ¡  xác định như sau:  f (x ; y )  (3x ; x  2y ; 5y ).  E3   Tìm ma trận [f ]  ?  E2 3 0  3 0          A. 1  2;        B. 1  2;       0  5 1  5   3 1 0  3 1 1      C.   ;      D.   .   0  2  5  0  2  5
  16. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 3  VD 8. Cho PBĐTT  f : ¡  ¡  xác định như sau:  f (x ; y ; z )  (3x  y  z ; x  2y ; y  3z ) .    Tìm ma trận [f ]E  ?  3  3 1  1  3 1  1         A. 1  2 0 ;      B.  1  2 1 ;      1  1 3   1 0 3     3 1  1  3 1 0           C. 1  2 0  ;      D.  1  2 1 .       0 1 3   1 0 3
  17. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  VD 9. Cho PBĐTT  f : ¡ 2  ¡ 2 có biểu thức:  f (x ; y )  (2x  y ; 3y ).  Hãy tìm ma trận của  f  trong cặp cơ sở chính tắc E  và     cơ sở B  {u 1  (1; 2), u 2  ( 1; 3)} ?   Giải. Ta có:   f (e )  f (1; 0)  (2; 0)  1 .    f (e2)  f (0; 1)  ( 1; 3)   Gọi [f (e1)]B  (a ; b), [f (e2)]B  (c; d )  ta được:   (2; 0)  a (1; 2)  b( 1; 3)      ( 1; 3)  c(1; 2)  d ( 1; 3)
  18. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 6 4                  a  , b   , c  0, d  1.  5 5  6   0    B  5  Vậy  f     .  E  4   5 1
  19. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2  VD 10. Cho PBĐTT  f : ¡  ¡  có ma trận của  f           đối với cơ sở F  {u 1  (1; 0), u 2  (1; 1)} là  1 2          A    . Hãy tìm biểu thức của  f  ?  3 4  Giải. Gọi biểu thức của  f  là:  f (x ; y )  (ax  by ; cx  dy ).   f (u )  f (1; 0)  (a; c ),   Ta có:  1    f (u 2)  f (1; 1)  (a  b; c  d ).
  20. Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính    Do  [f (u 1)]F [f (u 2)]F  A  nên:   (a; c )  1(1; 0)  3(1; 1)      (a  b; c  d )  2(1; 0)  4(1; 1)               a  4, b  2, c  3, d  1.  Vậy  f (x ; y )  (4x  2y ; 3x  y ) . 

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản