zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PPTX | Số trang:33

Báo xấu

405
lượt xem 41
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính" giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát, ma trận của ánh xạ tuyến tính tổng quát. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát a) Định nghĩa Cho X , Y là 2 kgvt trên ¡ . Ánh xạ T : X  Y được gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: 1) T ( x )   T (x ),  x  X ,    ¡ ; 2) T (x  y )  T (x )  T (y ),  x , y  X .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Chú ý • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT), ký hiệu T (x ) còn được viết là T x . • Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với: T (x   y )  T x   T y ,  x , y  X ,    ¡ . • T ( X )  Y . Trong đó  X , Y lần lượt là vector không của X và Y .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 2 VD 1. Cho ánh xạ T : ¡  ¡ được định nghĩa: T (x 1; x 2; x 3)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2). 3 Trong ¡ , xét x  (x 1; x 2; x 3), y  (y 1; y 2; y 3). Với   ¡ tùy ý, ta có: T (x   y )  T (x 1   y 1; x 2   y 2; x 3   y 3)  (x 1   y 1  x 2   y 2  x 3   y 3; 2x 1  2 y 1  3x 2  3 y 2)  (x 1  x 2  x 3; 2x 1  3x 2)   (y 1  y 2  y 3; 2y 1  3y 2)  T x   T y . 3 2 Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ ¡ vào ¡ .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 2. Cho ánh xạ f : ¡  ¡ xác định như sau: f (x ; y )  (x  y ; 2  3y ). Xét u  (1; 2), v  (0; 1) ta có:  f (u  v )  f (1; 1)  (1 1; 2  3.1)  (0; 5)    f (u )  f (v )  ( 1; 8)  (1; 1)  (0; 7)  f (u  v )  f (u )  f (v ). 2 2 Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ ¡ vào ¡ .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng: • Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy : T (x ; y )  (x ; 0), T (x ; y )  (0; y ). • Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : T (x ; y )  (x ; y ), T (x ; y )  ( x ; y ). • Phép quay 1 góc  quanh gốc tọa độO : T (x ; y )  (x cos  y sin  ; x sin   y cos ). y M a sin j + b cosj • b •M j a cosj - b sin j O a x
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 4. Gọi C [a ; b ] là tập hợp các hàm một biến số liên tục trên [a; b ]. Trên C [a ; b ], xác định phép toán cộng hai hàm số và nhân vô hướng thì C [a ; b ] là 1 kgvt. Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính: a T : C [a ; b ]  C [a ; b ], T f   f (x )dx ; a x S : C [a; b ]  C [a ; b ], Sf   f (t )dt , x  [a ; b ]. a VD 5. Cho A  M m ,n (¡ ), ta có: n TA : ¡  ¡ m , T A x  A x là ánh xạ tuyến tính.
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính  Định nghĩa Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y . • Tập {x  X : T x  Y } được gọi là nhân của T . Ký hiệu là KerT . Vậy KerT  {x  X : T x  Y }. • Tập T (X )  {T x : x  X } được gọi là ảnh của T . Ký hiệu là R angeT hoặc ImT . Vậy ImT  {T x : x  X }.
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Tính chất Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó: • KerT là không gian con của X ; • ImT là không gian con của Y ; • Nếu S là tập sinh của X thì T (S ) là tập sinh của ImT ; • T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT  { X }.  Định lý Cho ánh xạ tuyến tính T : X  Y , khi đó: dim(KerT )  dim(ImT )  dimX .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Ø Chú ý n m • Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT f : ¡  ¡ . • Khi n  m , ta gọi f : ¡ n  ¡ n là phép biến đổi tuyến tính (viết tắt là PBĐTT).
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính a) Định nghĩa n m Cho ánh xạ tuyến tính f : ¡  ¡ và hai cơ sở của ¡ n , ¡ m lần lượt là: B 1  {u 1, u 2, , u n } và B 2  {v1, v2, , vm }.  B2 B2  Ma trận A  M m ,n (¡ ): f (u 1) f (u 2) ... f (u n ) B2 được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B 1, B 2. B2 Ký hiệu là: [f ]B hoặc viết đơn giản là A . 1
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Cụ thể là, nếu:  f (u )  a v  a v  a v  ...  a v  1 11 1 21 2 31 3 m1 m  f (u )  a v  a v  a v  ...  a v 2 12 1 22 2 32 3 m2 m   ...........................................................   f (u n )  a1n v1  a 2n v 2  a 3n v 3  ...  am n vm a a ... a   11 12 1n    a a ... a   21 22 2n  B2   thì [f ]B   a 31 a 32 ... a 3n  . 1    M M M M a   m 1 am 2 ... amn 
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính  Trường hợp đặc biệt n Cho PBĐTT f : ¡  ¡ n và cơ sở B  {u 1, , u n }.  B B  Ma trận vuông A cấp n : f (u 1) f (u 2) ... f (u n ) B được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B . Ký hiệu là: [f ]B hoặc [f ] hoặc viết đơn giản là A . Chú ý n m Nếu A là ma trận của AXTT f : ¡  ¡ trong cặp n cơ sở chính tắc E n , E m thì f (x )  A x , x  ¡ .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 6. Cho AXTT f : ¡ 4  ¡ 3 xác định như sau: f (x ;y ;z ;t )  (3x  y  z ; x  2y  t ; y  3z  2t ). E3 4 Tìm ma trận A  [f ] ? Kiểm tra f (v )  A v, v  ¡ ? E4 Giải. Ta có:  f (e )  f (1; 0; 0; 0)  (3; 1; 0)  1  f (e )  f (0; 1; 0; 0)  (1; 2; 1) 2  .  f (e 3)  f (0; 0; 1; 0)  ( 1; 0; 3)   f (e 4)  f (0; 0; 0; 1)  (0; 1; 2)
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 1  1 0    E3   Vậy A  [f ]E  1  2 0 1 . 4    0 1 3  2 x y z t 4 • Sinh viên tự kiểm tra f (v )  A v, v  ¡ .
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 3 VD 7. Cho AXTT f : ¡  ¡ xác định như sau: f (x ; y )  (3x ; x  2y ; 5y ). E3 Tìm ma trận [f ] ? E2 3 0  3 0          A. 1  2; B. 1  2;      0  5 1  5 3 1 0  3 1 1      C.   ; D.   .  0  2  5  0  2  5
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 3 3 VD 8. Cho PBĐTT f : ¡  ¡ xác định như sau: f (x ; y ; z )  (3x  y  z ; x  2y ; y  3z ) . Tìm ma trận [f ]E ? 3  3 1  1  3 1  1         A. 1  2 0 ; B.  1  2 1 ;     1  1 3   1 0 3   3 1  1  3 1 0         C. 1  2 0  ; D.  1  2 1 .      0 1 3   1 0 3
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính VD 9. Cho PBĐTT f : ¡ 2  ¡ 2 có biểu thức: f (x ; y )  (2x  y ; 3y ). Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và cơ sở B  {u 1  (1; 2), u 2  ( 1; 3)} ? Giải. Ta có:  f (e )  f (1; 0)  (2; 0)  1 .   f (e2)  f (0; 1)  ( 1; 3) Gọi [f (e1)]B  (a ; b), [f (e2)]B  (c; d ) ta được:  (2; 0)  a (1; 2)  b( 1; 3)    ( 1; 3)  c(1; 2)  d ( 1; 3)
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 6 4  a  , b   , c  0, d  1. 5 5  6   0    B  5  Vậy f     . E  4   5 1
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 2 2 VD 10. Cho PBĐTT f : ¡  ¡ có ma trận của f đối với cơ sở F  {u 1  (1; 0), u 2  (1; 1)} là 1 2   A    . Hãy tìm biểu thức của f ? 3 4 Giải. Gọi biểu thức của f là: f (x ; y )  (ax  by ; cx  dy ).  f (u )  f (1; 0)  (a; c ),  Ta có:  1  f (u 2)  f (1; 1)  (a  b; c  d ).
Ø Chương 4. Ánh xạ tuyến tính   Do [f (u 1)]F [f (u 2)]F  A nên:  (a; c )  1(1; 0)  3(1; 1)    (a  b; c  d )  2(1; 0)  4(1; 1)  a  4, b  2, c  3, d  1. Vậy f (x ; y )  (4x  2y ; 3x  y ) .

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.