Bài giảng Toán hàm nhiều biến

Chia sẻ: Đường Văn Cường | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:239

Thêm vào BST

Báo xấu

460
lượt xem 147
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm hàm hai biến hay n biến, n ≥ 3, khá trừu tượng đối với các tân sinh viên. Nếu chỉ bằng phương pháp thuyết trình, giảng viên trình bày tuần tự khái niệm, định nghĩa, các công thức thì rõ ràng sinh viên sẽ tiếp thu một cách thụ động, kém hiệu quả. Chúng ta có thể tổ chức theo nhóm hoặc bằng sự trợ giúp của công nghệ thông tin ôn tập lại khái niệm hàm một biến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán hàm nhiều biến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG
Chương I: Hàm số nhiều biến Số tiết: 10 lý thuyết + 5 bài tập, thảo luận 1.1. Khái niệm mở đầu 1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số 1.3. Cực trị của hàm số nhiều biến số
1.1. Khái niệm mở đầu 1.1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số Định nghĩa Ta gọi hàm số của n biến số xác định trên D, ký hiệu f: D → R, là quy luật cho ứng mỗi x = (xÀ , x, , ..., xn) ∈ D với u = f(xớ, x, , ..., xn) ∈ R. Ví dụ: f: R 2 → R x1 + x2 x = ( x1, x2 ) a f ( x ) = 2 x1 + x2 2
1.1.2. Miền xác định của hàm số nhiều biến số Miền xác định của hàm số u = f(M), ký hiệu Df, là tập các điểm M để f(M) có nghĩa. Ví dụ . Trong R2, với f(x, y) = 1 − x 2 − y 2 thì Df = {(x, y): x2 + y2 ≤ 1}. 3 x Trong R , với f(x, y, z) = thì 1 − x 2 − y2 − z2 Df = {(x, y, z): x2 + y2 + z2 < 1}.
1.1.3. Tập hợp trongR n Giả sử M(x1, x2, ..., xn) và N(y1, y2, ..., yn) ∈ Rn n • Khoảng cách : d(M, N) = ∑ (x k − y k )2 . k =1 • ε - lân cận của M tập Uε(M) = {N ∈Rn : d(M, N) < ε}. • Lân cận của M, ký hiệu U(M), là mọi tập hợp chứa một Uε(M) nào đó của M • M được gọi là điểm trong của tập E nếu tồn tại U ε(M) nằm trọn trong E. •Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.
• Ta gọi quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập: ` E = {N ∈Rn : d(M0, N) < r} • Ta gọi là mặt cầu tâm M0 bán kính r là tập ∂E = {N ∈Rn : d(M0, N) = r} • Ta gọi quả cầu đóng tâm M0 bán kính r là tập E = {N ∈Rn : d(M0, N) ≤ r} • Tập hợp E được gọi là bị chặn nếu tồn tại quả cầu nào đó chứa nó
1.1.4. Giới hạn của hàm số nhiều biến số Định nghĩa 1: Hàm f(M) có giới hạn là L khi M → M0 khi và chỉ khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì |f(M) – L| < ε . Định nghĩa 2: Hàm f(M) có giới hạn là +∞ khi M → M0 khi và ch ỉ khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì |f(M)| >ε. Định nghĩa 3: Hàm f(M) có giới hạn là −∞ khi M → M0 khi và ch ỉ khi ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, M0) > 0 sao cho d(M0, M) < δ thì |f(M)| > -ε.
• Ví dụ: Tính giới hạn x2 y a) lim 2 x →0 x + y 2 y →0 x2 y b) lim 4 x →0 x + y 2 y →0
1.1.5. Tính liên tục của hàm số nhiều biến số Định nghĩa. Giả sử f(x) xác định trong lân cận của điểm M0 ∈D. Ta nói f(x) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn lim f ( M ) = f(M0). M →M 0 Với M0(x0, y0), khi đó:  số gia của đối: ∆x = x – x0, ∆y = y – y0,  số gia riêng theo biến x: ∆xf = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0 ),  số gia riêng theo biến y: ∆yf = f(x0, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ),  số gia toàn phần: ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0 ).
• f(M) liên tục trong D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D . Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm  xy x + y x + y ≠0 f(x, y) =   0 x + y =0 
1.2. Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số 1.2.1. Đạo hàm riêng Cho u = f(x, y) xác đ ịnh trong miền D và M0(x0, y0) ∈D. Nếu cố đ ịnh y = y0 mà hàm m ột biến của x là f(x, y0) khả vi tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đ ạo hàm riêng của f đối với x tại M0. ∂f ∂u Ký hiệ f x '(x 0 , y0 ), u: (x 0 , y 0 ) , (x 0 , y 0 ) , tức là ∂x ∂x ∂f f (x 0 + ∆x, y0 ) − f (x 0 , y0 ) (x 0 , y 0 ) = lim . ∂x ∆x → 0 ∆x • Đạo hàm riêng của f đ ối với y tại M0 và được ký hiệu là ∂f ∂u f y '(x 0 , y 0 ) hay (x 0 , y0 ) hoặc (x 0 , y 0 ) . ∂y ∂y
• Định lý: 0 0 Giả sử hàm số f(x,y) khả vi tại (x ,y ) và có các đạo 0 0 hàm riêng tại (x ,y ). Khi đó công thức đạo hàm toàn phần là: ∂f ∂f f ' ( x0 , y0 ) ( u , v ) = ( x0 , y0 ) u + ( x0 , y0 ) v ∂x ∂y
1.2.2. Đạo hàm của hàm số hợp Cho ϕ: R2 ⊇ D ∋ (x, y) → (u(x, y), v(x, y)) ∈R2, f: Rϕ ∋ (u, v) → f(u, v) ∈ R. Khi đó foϕ: D ∋ (x, y) → f(ϕ(x, y)) = f(u(x, y),v(x, y)) được gọi là hàm hợp của f với ϕ. Ví dụ:
∂f ∂f Định lý: Nếu f có các đạo hàm riêng , liên tục ∂u ∂v trong Dϕ và các hàm u, v có các đạo hàm riêng ∂u ∂u ∂v ∂v , , , trong D, thì tồn tại các đạo hàm riêng ∂x ∂y ∂x ∂y ∂f ∂f , trong D và ∂x ∂y  ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v  ∂x =  ∂u + ∂x ∂v ∂x  ∂f ∂f ∂u ∂f ∂v  = +  ∂y  ∂u ∂y ∂v ∂y
 u 'x u 'y  • Đặt A=  gọi là matrận  v 'x v 'y  Jacobicủa u,v đối với x,y
Ví dụ Cho f = eulnv, với u = xy, v = x2 + y2. ∂f ∂f u 1 ∂u ∂v ∂u ∂v = e ln v, u =e , = y, = 2x, = x, = 2y . ∂u ∂v v ∂x ∂x ∂y ∂y Do đó 2xe xy ∂f ∂x u ( )  u  1 = e ln v y +  e  2x = ye xy ln(x 2 + y 2 ) + 2 v x + y2 = e xy ∂f 2ye xy xy  ∂y u ( )  u 1 xy 2 2 = e ln v x +  e  2y = xe ln(x + y ) + 2  v x +y 2 =e  
1.2.3. Vi phân toàn phần Ta nói f(x, y) khả vi tại (x0, y0) nếu có th ể biểu diễn ∆f = A∆x + B∆y + α∆x + β∆y, trong đó: A và B là những hằng số ch ỉ phụ thuộc x0 và y0, α và β dần tới 0 khi cả∆x và ∆y dần tới 0. Ký hiệu : df = A∆x + B∆y, và gọi là vi phân toàn phần của f tại (x0, y0). Hàm f(x, y) được gọi là khả vi trong miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D. Rõ ràng, nếu f khả vi tại (x0, y0) thì nó liên tục tại (x0, y0).
Định lý : Nếu các đạo hàm riêng của f(x, y) liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x0, y0) và df = fx'(x0, y0)∆x + fy'(x0, y0)∆y. 1.02 Ví dụ Tính gần đúng arctg . 0.95
1.2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn a) Khái niệ hàm ẩn m Cho phương trình F(x, y) = 0, trong đó F: R2 ⊇ U → R. Nếu với mỗi giá trị x = x0 ∈I, có m ột (hay nhiều) y0 sao cho F(x0, y0) = 0 thì ta nói phương trình F(x, y) = 0 xác định một (hay nhiều) hàm ẩn y theo x ∈I. Nói khác đi, ∀x∈I, (x, f(x)) ∈U và F(x, f(x)) = 0. Ví dụ : Từ phương trình x 2 + y 2 = 1 , ta có y = ± 1 − x 2 . Từ xy + yx = a (x > 0, y > 0, a > 0) ta không thể tìm được dạng tường minh của hàm ẩn, m ặc dù nó có thể tồn tại.
b) Đạo hàm hàm ẩn dy dy Fx ' Fx '+ Fy ' = 0 . Vì F'y ≠ 0, ta có =− . dx dx Fy ' Ví dụ: F(x, y, z) = ez + xy + x2 + z3 – 1 = 0. Ta có Fx' = y + 2x, Fy' = x, Fz' = ez +3z2. Vì Fz' ≠ 0 ∀z, nên phương trình trên xác định một hàm ẩn z = f(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng 2x + y x zx ' = − z ,z y ' = − z . e + 3x 2 e + 3z 2