Bài giảng Xác suất - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

103
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối, đại lượng ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên, một số phân phối một chiều quen thuộc... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất - Chương 3: Đại lượng ngẫu nhiên và hàm phân phối

CHƯƠNG III: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI § 1.ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.Định nghĩa: Một phép thử,  là không gian sự kiện sơ cấp liên kết với phép thử, một ánh xạ X: R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên liên kết với phép thử. Nói cách khác đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là một đại lượng có thể nhận giá trị này hay giá trị khác lệ thuộc vào phép thử. Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. X là số lần xuất hiện mặt sấp. X là biến ngẫu nhiên, nhận các giá trị (0, 1,2).
Kí hiệu : +Các đại lượng ngẫu nhiên được ký hiệu các bằng các chữ X, Y,Z,… +Các giá trị mà các đại lượng đó nhận được kí hiệu x,y,z,… Ví dụ 1:Gieo 2 đồng xu cân đối, đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị (0, 1,2). Hay người ta còn nói miền giá trị của X là D = ( 0,1,2) Ví dụ 2 : Một hộp bị đồng chất có 10 viên trong đó có 6 viên đỏ và 4 viên xanh. Bốc ngẫu nhiên 5 viên. X là số bi đỏ có trong 5 viên lấy ra, Y là số bi xanh trong 5 viên lấy ra . X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị D=( 0,1,2,3,4,5) Y là đ ại lượng ngẫu nhiên, nh ận các giá trị D=( 0,1,2,3,4)
2. Hàm phân phối a) X là đại lượng ngẫu nhiên. Ta gọi hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X, ký hiệu F(x), được xác định như sau : F(x) = P(X
3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: a) Định nghĩa : Nếu tập hợp các giá trị mà đại lượng ngẫu nhiên nhận các giá trị là tập hợp một số hữu hạn hoặc vô hạn nhưng đếm được. Khi đó đại lượng ngẫu nhiên được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Ví dụ 2: Gieo 2 đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt S,N . X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt S. X nhận các giá trị D=(0,1,2) . X là đại lượng ngẫu nhiên rới rạc.
b)Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc : X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị là D= {x1,x2,…,xn}. P1=P(x1), P2=P(x2),…,Pn=P(xn). Ta có bảng phân phối xác suất sau đây: X x1 … xn P(X) p1 … Pn Pi = 1, pi > 0,  x  X F(X)=P(X
Ví dụ 3: Một rổ trứng có 10 quả trong đó có 4 quả hỏng. Mua ngẫu nhiên 3 quả. X là số trứng hỏng trong 3 quả ta mua. Lập bảng phân phối xác suất. Xác định hàm phân phối F(X) Giải :X là số trứng hỏng trong 3 quả ta mua là một đại lượng ngẫu nhiên có t C3 ập giá tr 20 ị là D= (0,1,2,3) 1 P (0) 6 3 C 10 120 6 1 C4 C62 60 1 P (1) 3 C10 120 2 C 42 C61 36 3 P ( 2) 3 C10 120 10 3 C4 4 1 P (3) 3 C10 120 30
a)Bảng phân phối xác suất XX 0 1 2 3 P 1/6 1/2 3/10 1/30 b)Hàm phân phối xác suất 0 nếu x ≤ 0 1/6 nếu 0
2) Biến ngẫu nhiên liên tục: a) Định nghĩa : Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối là F(X). Nếu tồn tại hàm số f(x) xác định và không âm trên khoảng ( , +) sao cho :  F(X) =  f(t) dt + Khi đó ta nói X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục và f(x) là hàm mật độ xác suất. Nhận xét : Miền giá trị của đại lượng ngẫu nhiên liên tục là một khoảng hay một đọan
b)Tính chất của hàm mật độ: 1.0 f(x)  x R + 2. f(x) dx = 1   3. 
§ 2.CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1.Kỳ vọng toán: X là là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN). E(X) ta gọi kỳ vọng toán của X: n Nếu X là (ĐLNN)rời rạc thì E(X)= xi.Pi i 1 Nếu X là (ĐLNN) liên tục E(X) = xf ( x) dx
Ví dụ 4 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 0 1 2 P 0,1 0,2 0,2 0,5 E(X)= 1.0,1 + 0.0,2 + 1.0,2+2.0,5=1,1 Ý nghĩa của kỳ vọng là giá trị trung bình của phép thử khi mà phép thử càng lớn.
2.Phương sai: X là là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), E(X) là kỳ vọng. D(X) ta gọi là phương sai của X: n Nếu X là (ĐLNN)rời rạc thì D(X)= ( xi a ) 2 ( a E ( X )) i 1 Trong thực hành : D(X) = E(X2) (E(X)) 2 Nếu X là (ĐLNN) liên tục 2 D( X ) (x a ) f ( x) dx
Ví dụ 5 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối xác su X ất 1 0 1 2 P 0,1 0,2 0,3 0,4 Tìm D(X) E(X)= 1.0,1 + 0.0,2 + 1.0,3+2.0,4 = 1 D(X) = E(X2) – (E(X))2 = 21 = 1 Ý nghĩa của phương sai là độ phân tán của xác suất
3.Median( Trung vị): X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), là giá trị tại đó F(xi)≤ ½. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì F(xi)= ½ Ký hiệu Med[X]
Ví dụ 6 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 P 0,2 0,25 0,1 0,45 Trung vị Med[X] = 3 Ý nghĩa là điểm phân đôi xác suất thành hai nửa bằng nhau
4.Mode X là đại lượng ngẫu nhiên(ĐLNN), là giá trị tại đó xác suất đạt giá trị lớn nhất. Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì hàm mật độ đạt cực đại. Ký hiệu Mod[X]
Ví dụ 6 : Giả sử X là (ĐLNN) rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 P 0,1 0,2 0,5 0,2 Mod[X] = 3, *Ý nghĩa là điểm phân đôi xác suất thành hai nửa bằng nhau *N ếu phân phối củ a đại lượng ngẫu nhiên có tính đối
§ 3.MỘT SỐ PHÂN PHỐI MỘT CHIỀU QUEN THUỘC a.Định nghĩa :Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được gọi là phân phối nhị thức với tham số n, P(0
Ví dụ 6 :Một xạ thủ bắn 20 phát, xác suất trúng đích là 0,8 1.Tìm xác suất để 18 phát trúng bia 2.Tìm số phát trúng trung bình khi bắn 3.Tìm xác suất để ít nhất 18 phát trúng 4. Tìm số phát trúng có khả năng xẩy ra nhất
Giải :Gọi X là số phát bắn trúng bia trong 20 phát, X là ĐLNN có phân phối nhị thức n=20, p= 0,8 18 18 2 a)P(x=18) = C .0,8 .0,2 20 b)Số phát trúng bia trung bình trong 20 phát :E(X)= np =20.0,8 =16 c)P(18 ≤x 20) = P(x=18)+P(x=19) +P( x=20) = 18 C20 .0,818.0,2 2 19 C20 .0,819.0,21 20 C20 .0,820.0,2 0 = d) k=mod[X] = [np+p1]+1 = [20.0,8+0,81]+1=16