Slide Bài giảng Toán V

XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ (Buổi 5)

Chương III

KỲ VỌNG TOÁN CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều và các tính chất

 Phương sai và covariance

.

3.1 KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Định nghĩa: Giá trị trung bình hay Kỳ vọng (Expectation) của biến ngẫu nhiên X là một con số được ký hiệu bởi E(X) hoặc μ và được xác định như sau:

Ví dụ 3.1 Cho X là biến ngẫu nhiên với bảng phân phối xác suất

X f(x)

-2 0.1

0 0.4

1 0.3

4 0.2

Hãy tìm kỳ vọng của X.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Chú ý 1) Kỳ vọng của X không nhất thiết là một số nằm trong tập giá trị của X. Thường là con số thuộc “khu vực” có phân phối xác suất lớn. 2) Trong Định nghĩa trên, khi tổng hoặc tích phân không hội tụ thì ta nói E(X) không tồn tại. 3) Kỳ vọng của X chỉ phụ thuộc vào phân phối xác suất của nó. Như vậy, hai biến ngẫu nhiên có phân phối như nhau thì có kỳ vọng bằng nhau.

Ví dụ 3.2 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ như sau:

x

2 khi

x

(0;1)

f x ( )

x

(0;1)

   0 khi 

Hãy tính μ?

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Ví dụ 3.3 Trong một trò chơi cờ bạc, người ta tung ngẫu nhiên ba đồng xu. Người chơi sẽ nhận được 5 USD nếu tất cả các đồng xu đều sấp hoặc đều ngửa, người chơi sẽ mất 3 USD nếu ngược lại. Người chơi hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu?

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều

Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x). Giá trị trung bình hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên u(X) là

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Ví dụ 3.5 Giả sử số lượng xe ôtô X đến cửa hàng rửa xe vào khoảng thời gian từ 4 giờ chiều đến 5 giờ chiều của một ngày thứ sáu khô ráo, là một biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất như sau:

Đặt u(X) = 2X - 1 là số tiền (tính theo USD) mà người chủ cửa hàng phải trả cho công nhân rửa xe. Người công nhân rửa xe hy vọng sẽ kiếm được bao nhiêu tiền trong khoảng thời gian nói trên? Ví dụ 3.6 Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là

2

,khi

x

 

( 1;2),

f x ( )

Hãy tìm kỳ vọng của g(X) = 4X + 3.

x

 

( 1;2) .

 x    3  0, khi 

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều

Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là f(x,y) và v = v(x,y) là hàm hai biến xác định trên tập giá trị của (X,Y). Ta thiết lập được biến ngẫu nhiên một chiều v(X,Y).

Định lý: Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đồng thời là f(x,y). Trung bình hay giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên v(X,Y) là

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Ví dụ 3.7 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X với tập giá trị {1, 2, 3}, biến ngẫu nhiên Y với tập giá trị là {1, 2, 3, 4} và Bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y như sau:

1 2 3 4 Y

X

Tìm kỳ vọng của X + Y, XY?

0.1 0.3 0 0 0 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0 1 2 3

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Ví dụ 3.8 Chọn ngẫu nhiên một điểm (X, Y) trong hình vuông [0; 1]×[0; 1] trên mặt phẳng toạ độ. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là

khi

yx ),(

]1;0[

]1;0[

yxf ),(

khi

yx ),(

]1;0[

]1;0[

1   0 

Tìm kỳ vọng của X2 + Y2.

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Các tính chất của kỳ vọng

Định lý: Cho a, b là hai số thực, X là biến ngẫu nhiên một chiều và u(x), v(x) là các hàm một biến xác định trên tập giá trị của X. Ta có: 1) E(aX + b) = aE(X) + b; 2) E[u(X) ± v(X)] = E[u(X)] ± E[v(X)]

Hệ quả E(aX) = aE(X); E(b) = b.

x

(1;2)

f x ( )

x

(1;2)

2( 1)  x   0 

Ví dụ 3.10 Nhu cầu hàng tuần về một loại đồ uống nào đó, tính theo đơn vị 1000 lít, tại một loạt cửa hàng là một biến ngẫu nhiên liên tục g(X) = X2 + X – 2, trong đó X có hàm mật độ là

Hãy tìm giá trị trung bình cho nhu cầu hàng tuần của loại đồ uống nói trên.

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Định lý: Kỳ vọng của tổng hoặc hiệu hai hay nhiều hàm của các biến ngẫu nhiên bằng tổng hoặc hiệu của kỳ vọng các hàm. Tức là,

Hệ quả: Cho g(X, Y) = X và h(X,Y) = Y, ta được

E X (

Y

)

E X (

)

E Y (

).

Định lý: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó

E XY (

)

E X E Y )

( ).

(

.

KỲ VỌNG CỦA BNN VÀ TÍNH CHẤT

Ví dụ 3.11 Tung một lúc hai con xúc sắc cân đối và đồng chất, một con có màu xanh và con còn lại có màu đỏ. Gọi X là số chấm xuất hiện trên con màu xanh và Y là số chấm xuất hiện trên con màu đỏ. Tính E(X + Y), E(XY).

.

3.2 PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BNN VÀ COVARIANCE…

3.2 A Phương sai của một biến ngẫu nhiên

Ví dụ 3.12 Gọi X là biến ngẫu nhiên biểu thị số xe ôtô được sử dụng cho mục đích kinh doanh chính thức trong một ngày làm việc nào đó. Phân phối xác suất của X tại công ty A là

và tại công ty B là

x f(x) 1 2 3 0,3 0,4 0,3

Tính kỳ vọng của mỗi biến ngẫu nhiên trên và so sánh hai giá trị thu được?

x f(x) 0 1 2 3 4 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1

.

PHƯƠNG SAI CỦA BNN

Định nghĩa: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f(x) và trung bình μ. Phương sai của X là một con số được ký hiệu là σ2

X và được xác định như sau:

• Số X – μ trong định nghĩa được gọi là độ lệch của X khỏi giá trị trung bình và do đó nếu giá trị của X thường lấy giá trị xung quanh giá trị trung bình thì phương sai nhỏ, trong trường hợp ngược lại thì nó lớn, nên phương sai là số đo độ phân tán của X quanh giá trị trung bình. • Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn.

.

PHƯƠNG SAI CỦA BNN

Công thức tính

Ví dụ 13 Tính phương sai của mỗi biến ngẫu nhiên sau đây:

x f(x) 1 2 3 0,3 0,4 0,3

x f(x) 0 1 2 3 4 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1

Hàm mật độ:

2( x  1), x  (0; 2)

f x ( )

0, x  (0; 2)    

.

PHƯƠNG SAI CỦA BNN

Định lý: Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất là f(x). Phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) là

)

2 ]

)

2  ( Xu

)

([ xu i

( Xu

)

( xf i

i

nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc;



)([ xu

2 ]

)( dxxf

2  ( Xu

)

( Xu

)



nếu X là bnn liên tục.

.

PHƯƠNG SAI CỦA BNN

Ví dụ 3.15 Tính phương sai của biến ngẫu nhiên u(X) = 2X + 3, trong đó X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất như sau

x f(x) 1 2 3 0,3 0,4 0,3

.

• Kỳ vọng biến ngẫu nhiên một chiều:  Định nghĩa về Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên một chiều;  Các định lý về + Kỳ vọng của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều; + Kỳ vọng của hàm hai biến ngẫu nhiên một chiều; + Các tính chất.

• Phương sai của biến ngẫu nhiên một chiều, phương sai của hàm một biến ngẫu nhiên một chiều.

CÁC Ý CHÍNH CỦA BUỔI 5