Chöông 4
CAÙC QUY LUAÄT PHAÂN PHOÁI
4.1. CAÙC PHAÂN PHOÁI RÔØI RAÏC
1- Phaân phoái nhò thöùc
Ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc X = {0, 1, 2, …, n} goïi laø coù phaân
phoái nhò thöùc neáu toàn taïi soá sao cho:
Trong tröôøng hôïp naøy ta kyù hieäu X ~ B(n,p).
Ñònh nghóa treân laø hôïp lyù vì:
Theo ñònh lyù 1.8 chöông 1 ta coù:
Ñònh lyù 4.1. Neáu X laø soá laàn thaønh coâng trong daõy n pheùp thöû Bernoulli vôùi
xaùc suaát thaønh coâng p thì X ~ B(n,p).
Ta seõ chöùng minh ñònh lyù sau noùi veà caùc ñaëc tröng cuûa phaân phoái nhò thöùc.
)1,0(p
n,0 k,p1 q,qpC )k X(P p knkk
nk
1 )qp( qpC p kknk
n
0k
k
n
n
11
i
Chöông 4
„Ñònh lyù 4.2. Neáu X ~ B(n.p) thì E(X) = np vaø D(X) = npq.
„Chöùng minh. Töø ñònh nghóa ta coù:
„Theo coâng thöùc nhò thöùc Newton:
„
„Laáy ñaïo haøm hai veá theo x, sau ñoù nhaân caû hai veá vôùi x ta coù:
„
„ (4.1)
„Thay x = p vaøo (4.1) vôùi chuù yù p + q = 1 ta ñöôïc:
„ Baây giôø laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (4.1) theo x, sau ñoù nhaân hai veá
vôùi x:
n
0k
knkk
nqpkC)X(E
n
n
0k
knkk
n)qx(qxC
n
0k
1nknkk
n)qx(nxqxkC
n
0k
2n21nknkk
n
2)px(x)1n(n)qx(nx qxCk
Chöông 4
„Thay x = p vaøo ñaúng thöùc naøy, ta ñöôïc:
„töø ñoù: D(X) = E(X2) ‟ (E(X))2 = np + n(n ‟ 1)p2 ‟ n2p2
„ = np(1 ‟ p) = npq
„Nhaän xeùt. Theo ñònh lyù 1.9 chöông 1 ta coù:
„ mod(X) = [np ‟ q] hoaëc mod(X) = [np ‟ q] + 1
„Ví duï 4.1. Haøng ñoùng thaønh kieän moãi kieän 10 saûn phaåm, trong ñoù coù ba
„pheá phaåm. Khaùch haøng nhaän kieän haøng neáu laáy ngaãu nhieân ra hai saûn
„phaåm thì caûø hai saûn phaåm ñeàu toát. Khaùch haøng kieåm tra 100 kieän haøng.
„Goïi X laø soá kieän ñöôïc khaùch haøng nhaän. Tìm E(X), D(X), mod(X).
„Giaûi. Goïi p laø xaùc suaát moät kieän haøng kieåm tra ñöôïc nhaän, ta coù:
„
„Soá kieän ñöôïc nhaän laø soá laàn thaønh coâng trong daõy 100 pheùp thöû Bernoulli
„vôùi xaùc suaát thaønh coâng , do ñoù X ~ B(100; ). Töø ñoù:
n
0k
2knkk
n
22 p)1n(nnpqxCk )X(E
15
7
p
15
7
Chöông 4
„
„mod(X) = 46 hoaëc mod(X) = 47 (np ‟ q = 46,133)
„2- Phaân phoái sieâu boäi
„Ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = {0, 1, 2, ..., n} goïi laø coù phaân phoái sieâu boäi
neáu toàn taïi caùc soá töï nhieân N, M sao cho vaø:
„Trong tröôøng hôïp naøy ta kyù hieäu X ~ H(N,M,n).
„Ñònh nghóa treân laø hôïp lyù vì theo ñònh nghóa toå hôïp vaø quy taéc nhaân:
„
„Ñònh lyù 4.3. Neáu X ~ H(N,M,n) thì:
„
3
140
15
7
.100 np )X(E
9
224
15
8
.
15
7
.100 npq )X(D
NMn
n,0k,
C
CC
)kX(P p n
N
kn
MN
k
M
k
1
C
C
C
CC
pn
N
n
N
n
N
n
0k
kn
MN
k
M
n
0k
k
Chöông 4
„ E(X) = np,
„trong ñoù: , q = 1 ‟ p.
„Chöùng minh. Döïa vaøo coâng thöùc tính toå hôïp, deã daøng kieåm tra raèng:
„
„Töø ñoù ñaët j = k ‟ 1, ta coù:
„
„Töông töï, coù theå kieåm tra raèng:
„Töø ñoù ñaët j = k ‟ 2, ta coù:
1N
nN
npq)X(D
N
M
p
1n 1N
)1k()1n( MN
1k 1M
n
N
kn MN
k
M
C
CC
.n.
N
M
C
CC
.k
1n
0j 1n 1N
j)2n(
MN
j
1M
n
0k
kn.
N
M
C
CC
.n.
N
M
kp)X(E
2n
2N
)2k()2n(
MN
2k
2M
n
M
kn MN
k
M
C
CC
.
)1N(N
)1n(n)1M(M
C
C.C
)1k(k