1
VECTOR NGẪU NHIÊN
Chương 3
NỘI DUNG CHƯƠNG
3.1 Vecto ngẫu nhiên hai nhiều
3.2 Vecto ngẫu nhiên hai chiềurờirạc
3.3 Vecto ngẫu nhiên hai chiều liên tục
ThS Lê Văn Minh
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
ĐN 3.1.1: Cho tnnn T, có kgxs Ω. Ánh xạV:
Ω→R2đượcgọi là vector ngẫunhiên,kýhiệu:
V=(X,Y). Trong đóX,Ylà2biếnngẫu nhiên.
ĐN 3.1.2: Hàm ppxs đồng thờicủacặp (X,Y) là
hàm sốF(x,y)đượcxácđịnh bởi:
(, ) { , }, (, )
F
xy PX xY y xy R

ThS Lê Văn Minh
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
ĐN 3.1.3: Cho vector nn (X,Y). Hàm pp lềcủaX
và Y tương ứng là các hàm số:
() { },
() { }, y
X
Y
F
xPXxxR
F
yPYy R


ThS Lê Văn Minh
2
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
ĐN 3.1.4: Biến ngẫu nhiên độc lập
Cho vector nn (X,Y) có hàm ppxsđt F(x,y) và các
hàm pp lềFX(x), FY(y). Hai bnn X và Y đượcgọilà
độclậpnếu
(, ) (). ()
XY
F
xy F x F y
ThS Lê Văn Minh
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
Hiệp phương sai
ĐN 3.1.5: Cho vector nn (X,Y). Người ta gọi hiệp
phương sai của vector nn (X,Y), ký hiệu:
Cov(X,Y) là trị số được xác định bởi:
Nếu X =Y thì Cov(X,X) = E(X-EX)2 = VarX
(,) [( )( )]Cov X Y E X EX Y EY
ThS Lê Văn Minh
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
Hệsốtương quan của2biến nn X và Y, ký hiệu
Corr(X,Y) là trịsốxác định bởi
Định lý 3.1.1
(,)
(,) .
Cov X Y
Corr X Y VarX VarY
(,) (.) .Cov X Y E X Y EX EY
ThS Lê Văn Minh
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều
Định lý 3.1.2: Cho hai biếnngẫu nhiên X, Y. Giả
sửX, Y độclập. Khi đó:
) ( . ) .
) ( )
) ( , ) 0
) ( , ) 0
i E X Y EX EY
ii Var X Y VarX VarY
iii Cov X Y
iv Corr X Y

ThS Lê Văn Minh
3
3.1Vector ngẫu nhiên hai chiều
Định lý 3.1.3:
22
) ( , ) ( , )
) ( ) 2 .Cov( , )
iCovXY CovYX
ii Var aX bY a VarX b VarY ab X Y

ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
ĐN 3.2.1 Bảng ppxs đồng thời
Cho vector nnrr hai chiều (X,Y), trong đó:X=
a1,..,amvà Y=b1,..,bnlà các bnnrr. Bảng ppxsđtcủa
vector (X,Y) là bảng:
XYb1…b
n
a1p11 …p
1n
…………
ampm1 …p
mn
ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
trong đó:
11 12
(,)
01,,
1
ij i j
ij
mn
p
PX aY b
pij
PP P



ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
ĐN 3.2.2: Cho vector nnrr (X,Y) có bảng ppxsđt
như 3.2.1. Người ta gọi bảng pp lề là bảng:
trong đó: πiđược tính bằng cách cộng theo dòng và Π’1
tính bằng cách cộng theo cộtcủabảng 3.2.1.
Xa
1…a
m
πiπ1…πm
Yb
1…b
n
Π’iΠ’1…Π’n
ThS Lê Văn Minh
4
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Hiệp phương sai của vector nnrr 2 chiều:
Với
(,) [( )( )] ( ) .Cov X Y E X EX Y EY E XY EX EY
11
()
mn
ijij
ij
EXY abP


ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Ví dụ3.2.1 Gọi tnnn T là tung con xúc sắc cân
bằng mộtlần. Xét hai biếnngẫu nhiên có tương
quan:
Hãy tìm bảng ppxsdt của (X,Y), các bảng pp lềcủa
XvàY?
3 neáu 1,2,3 chaám
3 neáu 4,5,6 chaám
0 neáu 1,3,5 chaám
1 neáu 2,4,6 chaám
X
Y
ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Ta tính:
ωk1 chấm2 chấm3 chấm4 chấm5 chấm6 chấm
X-3-3-3333
Y 010101
Pk1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
11
111
{ 3, 0} {1 ch,3ch} (1 ch) (2 ch) 663
pPX Y P P P

12 {3,1}{1 ch}1/6pPX Y P

21 { 3, 0} {5ch} 1/ 6pPX Y P

22
111
{ 3, 1} {4 ch, 5 ch} (4ch) (5 ch) 663
pPXY P P P

ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Bảng ppxs đồng thời:
Bảng phân phối lề:
XY01
-3 1/3 1/6
3 1/6 1/3
X-3 3
πi1/2 1/2
Y01
Π’j1/2 1/2
ThS Lê Văn Minh
5
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập:
Cho vector ngẫu nhiên rờirạcX=(a
1,..,am)và
Y=(b1,..,bn). Hai biếnngẫu nhiên X, Y độclập
khi và chỉkhi:
{,}{}.{},
ij i j
P
XaYb PXaPYb ij
ThS Lê Văn Minh
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều
Ví dụ 3.2.2 Khảo sát tính độc lập của hai biến ngẫu
nhiên X, Y ở ví dụ 3.2.1
Ta có:
Nên X, Y không độclập.
{3,0}1/3
11 1
{3}.{0}.
22 4
P
XY
PX PY


Vì { 3, 0} { 3}. { 0}PX Y PX PY 
ThS Lê Văn Minh
Phân phối có điều kiện
GiảsửbiếncốAđãxảyravàP(A)>0.PhânphốiX
vớiđiềukiệnAlàP(X=xi/A) và đượcxácđịnh:
Tương tựpp củaYtheođiềukiệnA:
(,)
(/) ,(1,)
()
i
iiA
PX x A
PX x A P i m
PA

(,)
(/) ,(1,)
()
j
jAj
PY y A
PX y A P j n
PA

ThS Lê Văn Minh
Phân phối có điều kiện
Ví dụ 3.2.3 Xét lại Ví dụ 3.2.1 với A = (Y=0).
Phân phối có điều kiện của X theo A:
X-33
PiA 2/3 1/3
1A
2A
(3,0)1/32
(3/0) (0) 1/23
(3,0)1/61
(3/0) (0) 1/23
PX Y
PX Y P
PY
PX Y
PX Y P
PY




ThS Lê Văn Minh