Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Vector ngẫu nhiên - GV. Lê Văn Minh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1.231
lượt xem 57
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Vector ngẫu nhiên - GV. Lê Văn Minh trình bày các nội dung Vector ngẫu nhiên hai nhiều, Vector ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, Vector ngẫu nhiên hai chiều liên tục. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn nội dung của bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Vector ngẫu nhiên - GV. Lê Văn Minh

Chương 3 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều ĐN 3.1.1: Cho tnnn T, có kgxs Ω. Ánh xạ V: Ω→R2 được gọi là vector ngẫu nhiên, ký hiệu: V=(X,Y). Trong đó X,Y là 2 biến ngẫu nhiên. ĐN 3.1.2: Hàm ppxs đồng thời của cặp (X,Y) là VECTOR NGẪU NHIÊN hàm số F(x,y) được xác định bởi: F ( x, y )  P{ X  x, Y  y}, ( x, y  R) ThS Lê Văn Minh NỘI DUNG CHƯƠNG 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều 3.1 Vecto ngẫu nhiên hai nhiều ĐN 3.1.3: Cho vector nn (X,Y). Hàm pp lề của X 3.2 Vecto ngẫu nhiên hai chiều rời rạc và Y tương ứng là các hàm số: 3.3 Vecto ngẫu nhiên hai chiều liên tục FX ( x)  P{ X  x}, x  R FY ( y )  P{Y  y}, y  R ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 1
3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều ĐN 3.1.4: Biến ngẫu nhiên độc lập  Hệ số tương quan của 2 biến nn X và Y, ký hiệu Cho vector nn (X,Y) có hàm ppxsđt F(x,y) và các Corr(X,Y) là trị số xác định bởi hàm pp lề FX(x), FY(y). Hai bnn X và Y được gọi là độc lập nếu Cov( X , Y ) Corr ( X , Y )  VarX .VarY F ( x, y )  FX ( x).FY ( y )  Định lý 3.1.1 Cov( X , Y )  E ( X .Y )  EX .EY ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều 3.1 Vector ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai Định lý 3.1.2: Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y. Giả ĐN 3.1.5: Cho vector nn (X,Y). Người ta gọi hiệp sử X, Y độc lập. Khi đó: phương sai của vector nn (X,Y), ký hiệu: i ) E ( X .Y )  EX .EY Cov(X,Y) là trị số được xác định bởi: ii ) Var ( X  Y )  VarX  VarY iii ) Cov( X , Y )  0 Cov( X , Y )  E[( X  EX )(Y  EY )] iv) Corr ( X , Y )  0 Nếu X =Y thì Cov(X,X) = E(X-EX)2 = VarX ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 2
3.1Vector ngẫu nhiên hai chiều 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Định lý 3.1.3: trong đó: i ) Cov( X , Y )  Cov(Y , X ) pij  P( X  ai , Y  b j ) ii ) Var ( aX  bY )  a 2VarX  b 2VarY  2ab.Cov( X , Y ) 0  pij  1, i, j P  P    Pmn  1 11 12 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều ĐN 3.2.1 Bảng ppxs đồng thời ĐN 3.2.2: Cho vector nnrr (X,Y) có bảng ppxsđt Cho vector nnrr hai chiều (X,Y), trong đó:X= như 3.2.1. Người ta gọi bảng pp lề là bảng: a1,..,am và Y=b1,..,bn là các bnnrr. Bảng ppxsđt của vector (X,Y) là bảng: X a1 … am πi π1 … πm X Y b1 … bn Y b1 … bn a1 p11 … p1n Π’i Π’1 … Π’n … … … … trong đó: πi được tính bằng cách cộng theo dòng và Π’1 am pm1 … pmn tính bằng cách cộng theo cột của bảng 3.2.1. ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Hiệp phương sai của vector nnrr 2 chiều: ωk 1 chấm 2 chấm 3 chấm 4 chấm 5 chấm 6 chấm Cov( X , Y )  E[( X  EX )(Y  EY )]  E ( XY )  EX .EY X -3 -3 -3 3 3 3 m n Y 0 1 0 1 0 1 Với E ( XY )   ai b j Pij i 1 j 1 Pk 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ta tính: 1 1 1 p11  P{X  3,Y  0}  P{1 ch,3ch}  P(1 ch)  P(2 ch)    6 6 3 p12  P{ X  3, Y  1}  P{1 ch}  1/ 6 p21  P{ X  3, Y  0}  P{5ch}  1 / 6 1 1 1 p22  P{X  3, Y  1}  P{4 ch, 5 ch}  P(4ch)  P(5 ch)    6 6 3 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Ví dụ 3.2.1 Gọi tnnn T là tung con xúc sắc cân Bảng ppxs đồng thời: bằng một lần. Xét hai biến ngẫu nhiên có tương Y 0 1 quan: X  3 neáu 1,2,3 chaám -3 1/3 1/6 X   3 neáu 4,5,6 chaám 3 1/6 1/3  0 neáu 1,3,5 chaám Y  Bảng phân phối lề:  1 neáu 2,4,6 chaám Hãy tìm bảng ppxsdt của (X,Y), các bảng pp lề của X -3 3 Y 0 1 X và Y? πi 1/2 1/2 Π’j 1/2 1/2 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 4
3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Phân phối có điều kiện Biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập: Giả sử biến cố A đã xảy ra và P(A)>0. Phân phối X Cho vector ngẫu nhiên rời rạc X=(a1,..,am) và với điều kiện A là P(X=xi/A) và được xác định: Y=(b1,..,bn). Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập P ( X  xi , A) P ( X  xi / A)   PiA , (i  1, m) khi và chỉ khi: P ( A) P{ X  ai , Y  b j }  P{ X  ai }.P{Y  b j }, i  j Tương tự pp của Y theo điều kiện A: P (Y  y j , A) P ( X  y j / A)   PAj , ( j  1, n) P ( A) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 3.2 Vector ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Phân phối có điều kiện Ví dụ 3.2.2 Khảo sát tính độc lập của hai biến ngẫu Ví dụ 3.2.3 Xét lại Ví dụ 3.2.1 với A = (Y=0). nhiên X, Y ở ví dụ 3.2.1 Phân phối có điều kiện của X theo A: Ta có: P{ X  3, Y  0}  1 / 3 X -3 3 1 1 1 PiA 2/3 1/3 P{ X  3}.P{Y  0}  .  2 2 4 P ( X  3, Y  0) 1/ 3 2 Vì P{ X  3, Y  0}  P{ X  3}.P{Y  0} P ( X  3 / Y  0)    P 1A P(Y  0) 1/ 2 3 Nên X, Y không độc lập. P ( X  3 / Y  0)  P( X  3, Y  0) 1/ 6 1    P2A P (Y  0) 1/ 2 3 ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 5
Kỳ vọng có điều kiện 3.3 Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều  Hàm mật độ xác suất đồng thời Nếu biết pp điều kiện của X và Y thì kỳ vọng của X và Y với điều kiện A được tính như sau: Cho vector nn hai chiều (X, Y), có hàm ppxs m F(x,y). Người ta gọi vector (X,Y) là vector nnlt hai EX A  E ( X / A)   xi PiA chiều nếu tồn tại một hàm f(x,y) ≥ 0 , sao cho: i 1 n y x EYA  E (Y / A)   yi PAj j 1 F ( x, y )   f (u , v)dudv   Khi đó: f(u,v) gọi là hàm mđxs đồng thời của (X,Y) ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh Phương sai có điều kiện Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Phương sai của X và Y với điều kiện A, được xác Định lý 3.3.1: Cho vector nnlt (X,Y), có hàm định bởi: ppxsđt F(x,y) và hàm mđxsđt f(x,y). Khinđó: m VarX A  Var ( X / A)   ( xi  EX A ) 2 PiA   i 1 i)  f ( x, y )dxdy  1 n   VarYA  Var (Y / A)   ( yi  EYA ) 2 PAj  2 F ( x, y ) j 1 ii)  f ( x, y ) xy d b iii) P{a  X  b; c  Y  d }    f ( x, y )dxdy c a ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 6
Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Hàm mật độ lề của vector nnllt: Phương sai của X,Y:   Cho vector nnlt có hàm mđxsđt f(x,y). Khi đó:   ( x  EX ) 2 VarX  f ( x, y ) dxdy  Hàm mật độ lệ theo X:   2         x f ( x, y ) dxdy     xf ( x, y )dxdy  2  f X ( x)   f ( x, y )dy              ( y  EY ) 2  Hàm mật độ lệ theo Y: VarY  f ( x, y ) dxdy    fY ( y )   f ( x, y )dx 2       y f ( x, y )dxdy     yf ( x, y )dxdy  2           ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Vector ngẫu nhiên liên tục 2 chiều Kỳ vọng của bnnlt X,Y theo hàm mđxsđt f(x,y) của Hiệp phương sai của vector nnlt (X,Y): (X,Y):     Cov( X , Y )    ( x  EX )( y  EY ) f ( x, y)dxdy EX    xf ( x, y)dxdy            xyf ( x, y)dxdy  EX .EY EY    yf ( x, y)dxdy     ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 7