Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 Các phân phối xác suất thông dụng nhằm trình bày về phân phối chuẩn, phân phối nhị thức, phân phối Poisson, định lý giới hạn trung tâm và một số luật phân phối xác suất thông dụng khác.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Phụng (ĐH Ngân hàng TP.HCM)
- Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
1 Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng
Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñònh nghóa (Normal Distribution)
Bnn X coù phaân phoái chuaån, ñöôïc kí hieäu X ∼ N(µ; σ 2 ), coù haøm mñxs
(x − µ)2
1 −
f(x, µ, σ) = √ e 2σ 2
σ 2π
1 X(Ω) = R
2 ModX = MedX = EX = µ
3 VarX = σ 2
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ví duï: Ñoà thò minh hoïa cho haøm mñxs f(x,4,1):
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñònh nghóa (Standard Normal Distribution)
Tröôøng hôïp µ = 0, σ = 1 ta ñöôïc X ∼ N(0; 1). Khi ñoù X coù phaân phoái
x2
1 −
chuaån chuaån taéc vôùi haøm mñxs f(x) = √ e 2 (Haøm Gauss)
2π
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñoà thò cuûa haøm Gauss
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
z
Haøm ϕ(z) = f(x)dx (Haøm Laplace). Giaù trò cuûa haøm Laplace laø dieän tích
0
cuûa mieàn sau:
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
z
Haøm Laplace ϕ(z) = f(x)dx coù ñoà thò nhö sau
0
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Moät soá tính chaát cuûa haøm Gauss vaø haøm Laplace:
f(−x) = f(x), ∀x
ϕ(−x) = −ϕ(x), ∀x
ϕ(+∞) = 0, 5, ϕ(−∞) = −0, 5
Khi tính toaùn laøm troøn ñeán soá leû thöù 5 ta coù:
f(x) ≈ 0, x ≥ 4, 76
ϕ(x) ≈ 0, 5, x ≥ 4, 42
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñònh lyù
X ∼ N(µ; σ 2 ) ⇔ aX + b ∼ N(aµ + b; (aσ)2 ) (a = 0).
X ∼ N(0; 1) :
b b a
P(a ≤ X ≤ b) = f(x)dx = f(x)dx − f(x)dx = ϕ(b) − ϕ(a).
a 0 0
X−µ
X ∼ N(µ; σ 2 ) =⇒ ∼ N(0; 1) :
σ
a−µ X−µ b−µ
P(a ≤ X ≤ b) = P( ≤ ≤ )
σ σ σ
b−µ a−µ
= ϕ( ) − ϕ( ).
σ σ
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ví duï:
Moät trang traïi troàng thöû nghieäm 2 gioáng taùo A vaø B cho thaáy taùo thu
hoaïch cuûa 2 gioáng naøy coù ñöôøng kính toái ña (cm) laàn löôït tuaân theo phaân
phoái chuaån N(8,35;48,65) vaø N(8,21;12,26). Taùo loaïi I laø taùo coù ñöôøng
kính toái ña khoâng nhoû hôn laø 8cm. Haõy cho bieát gioáng taùo naøo cho tæ leä
taùo loaïi I cao hôn?
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Quy taéc nσ
Cho bnn X ∼ N(µ; σ 2 )
n=2: P(|X − µ| ≤ 2σ) = 2ϕ(2) ≈ 95, 45%
n=3: P(|X − µ| ≤ 3σ) = 2ϕ(3) ≈ 99, 73%
n=6: P(|X − µ| ≤ 6σ) = 2ϕ(6) ≈ 99, 999999803%
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Phaân phoái Bernoulli
Trong moät pheùp thöû, xaùc suaát ñeå bieán coá A xaûy ra laø P(A) = p. Goïi X laø
soá laàn bieán coá A xaûy ra trong pheùp thöû ñoù. Ta noùi X tuaân theo luaät phaân
phoái Bernoulli, kí hieäu X ∼ B(1; p).
X 0 1
Ta coù: Luaät phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø , vôùi q = 1 − p.
P q p
Töø ñoù ta ñöôïc:
E(X) = p, Var(X) = E(X2 ) − E(X)2 = p − p2 = p(1 − p) = pq.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Phaân phoái nhò thöùc
Ñònh nghóa (Binomial Distribution)
Thöïc hieän n pheùp thöû ñoäc laäp, cho bieát bieán coá A xaûy ra ôû moãi pheùp thöû
vôùi xaùc suaát khoâng ñoåi laø p.
Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra trong soá n pheùp thöû, Xi laø soá laàn bieán coá
A xaûy ra ôû pheùp thöû thöù i. Khi ñoù X = X1 + X2 + · · · + Xn coù phaân phaân
phoái nhò thöùc, kí hieäu X ∼ B(n; p).
Ta coù
1 X(Ω) = {0..n}
2 P(X = k) = Ck pk qn−k vôùi k ∈ X{Ω}, q = 1 − p
n
n n
3 EX = E(Xi ) = np, VarX = Var(Xi ) = npq
i=1 i=1
4 ModX = nk vôùi (n + 1)p − 1 ≤ nk ≤ (n + 1)p
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Phaân phoái nhò thöùc
Ví duïï:
Moät ngöôøi thöïc hieän moãi loaït baén 5 phaùt ñaïn vaøo moät muïc tieâu coá ñònh,
xaùc suaát ñeå ngöôøi ñoù baén truùng muïc tieâu ôû moãi phaùt baén laø 0,3.
a. Tính xaùc suaát ngöôøi ñoù coù baén truùng muïc tieâu ôû moãi loaït baén.
b. Neáu ngöôøi ñoù thöïc hieän 300 loaït baén, soá loaït baén truùng muïc tieâu nhieàu
khaû naêng nhaát laø bao nhieâu? Tính soá loaït baén truùng muïc tieâu trung bình
cuûa ngöôøi ñoù.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù (Poisson)
Xeùt moät daõy bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp
{Xn } : Xn ∼ B(n; p(n)), n.p(n) = λ. Khi ñoù Xn → P(λ).
Trong ñoù P(λ) laø phaân phoái Poisson vôùi thoâng soá λ. X ∼ P(λ) thoûa
1 X(Ω) = N
λk
2 P(X = k) = e−λ .
k!
3 EX = VarX = λ
4 ModX = nk vôùi λ − 1 ≤ nk ≤ λ
Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn vaø p khaù
nhoû sao cho np < 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ P(λ) vôùi λ = np
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Xaáp xæ phaân phoái nhò thöùc baèng phaân phoái Poisson
Ví duïï:
Moät maùy saûn xuaát saûn phaåm töï ñoäng vôùi khaû naêng saûn xuaát ra moät pheá
phaåm ôû moãi laàn saûn xuaát laø 0, 1%. Cho maùy naøy saûn xuaát 1000 saûn
phaåm. Tính xaùc suaát
a. Coù ñuùng 2 pheá phaåm trong soá ñoù.
b. Coù ít nhaát 5 pheá phaåm trong soá ñoù.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñònh lyù (Ñònh lyù Lyapunov (Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm))
Cho (Xn ) laø caùc daõy caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp, coù caùc kyø voïng
E(Xi ) = µi höõu haïn, vaø caùc phöông sai Var(Xi ) = σi2 höõu haïn.
n
E |Xi − µi |2+δ
i=1
Neáu ∃δ > 0 : lim = 0 (ñieàu kieän Lyapunov)
n→∞ s2+δ
n
1 n n
thì (Xi − µi ) −→ N(0; 1) hay Xi −→ N(mn ; s2 )
n
sn i=1 i=1
n n
, vôùi mn = µi , s2 =
n σi2 .
i=1 i=1
Trong thöïc haønh, ta thöôøng xeùt tröôøng hôïp ñôn giaûn laø δ = 1.
n
YÙ nghóa: Khi moät ñaïi löôïng ngaãu nhieân X = Xi maø khoâng coù bieán
i=1
ngaãu nhieân naøo trong caùc Xi , 1 ≤ i ≤ n chieám öu theá so vôùi caùc bieán
ngaãu nhieân coøn laïi thì ñaïi löôïng ngaãu nhieân X seõ tuaân theo luaät phaân
phoái chuaån vôùi kyø voïng mn vaø phöông sai s2 .n
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñònh lyù (Ñònh lyù Leùvy)
Cho X1 , X2 , . . . , Xn laø caùc bieán ngaãu nhieân ñoäc laäp, cuøng phaân phoái vôùi
kyø voïng µ vaø ñoä leäch chuaån σ höõu haïn. Khi ñoù Sn −→ N(nµ; nσ 2 ), vôùi
Sn − nµ
Sn = X1 + X2 + · · · + Xn hay √ −→ N(0; 1).
σ n
Ñònh lyù (Moivre-Laplace)
Xeùt bieán ngaãu nhieân X ∼ B(n; p). Khi ñoù X −→ N(np; npq), vôùi
X − np
q = 1 − p hay √ −→ N(0; 1).
npq
n
Chöùng minh: Ta coù X = Xi , vôùi Xi ∼ B(1; p). AÙp duïng ñònh lyù giôùi
i=1
haïn trung taâm ta coù ñöôïc ñònh lyù Moivre-Laplace.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
Ñieàu naøy coù nghóa trong thöïc haønh khi X ∼ B(n; p) vôùi n ñuû lôùn sao cho
√
np ≥ 5, nq ≥ 5 thì ta coù theå xaáp xæ X ∼ N(µ; σ 2 ) vôùi µ = np, σ = npq.
1 k−µ
P(X = k) ≈ f( )
σ σ
k2 − µ k1 − µ
P(k1 ≤ X < k2 ) ≈ ϕ( ) − ϕ( ) ≈ P(k1 < X ≤ k2 )
σ σ
Ví duï
1. Moät daây chuyeàn saûn xuaát coù tæ leä saûn phaåm loaïi A chieám 69%. Cho
daây chuyeàn naøy saûn xuaát 500 saûn phaåm, tính xaùc suaát trong soá ñoù:
a. Coù ít nhaát 330 saûn phaåm loaïi A.
b. Coù töø 330 ñeán 360 saûn phaåm loaïi A.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
- Phaân phoái chuaån
Phaân phoái nhò thöùc
Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng Phaân phoái Poisson
Ñònh lyù giôùi haïn trung taâm
Moät soá luaät phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng khaùc
2. Moät nhaø maùy saûn xuaát daây xích, ñoä daøi cuûa maét xích ñöôïc ñònh
nghóa sao cho ñoä daøi daây xích baèng toång ñoä daøi cuûa caùc maét xích. Cho
bieát moãi daây xích coù 50 maét xích.
a. Cho bieát ñoä daøi moãi maét xích coù phaân phoái chuaån vôùi ñoä daøi trung
bình laø 1,2cm vaø ñoä leäch chuaån laø 0,01cm. Tính tæ leä daây xích cuûa daây
chuyeàn saûn xuaát coù ñoä daøi sai leäch khoâng quaù 0,1cm so vôùi ñoä daøi trung
bình cuûa daây xích.
b. Cho bieát ñoä daøi cuûa moãi daây xích coù phaân phoái chuaån vôùi ñoä daøi
trung bình laø 58,5cm vaø ñoä leäch chuaån laø 0,08cm. Tính tæ leä maét xích cuûa
daây chuyeàn saûn xuaát coù ñoä daøi sai leäch quaù 0,02cm so vôùi ñoä daøi trung
bình cuûa maét xích.
Nguyeãn Ngoïc Phuïng - Tröôøng Ñaïi Hoïc Ngaân Haøng TPHCM XAÙC SUAÁT THOÁNG KEÂ
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
