Chöông 3
CAÙC ÑAËC TRÖNG CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG
NGAÃU NHIEÂN
Töø phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ngöôøi ta ruùt ra caùc soá ñaëc tröng
cho moät maët naøo ñoù cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân. Caùc soá naøy goïi laø caùc ñaëc
tröng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân.
3.1. KYØ VOÏNG
1- Ñònh nghóa kyø voïng
Cho X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân rôøi raïc coù caùc baûng phaân phoái xaùc
suaát:
Khi ñoù ta goïi kyø voïng cuûa X laø soá:
(3.1)
X x1 x2 ... xn ...
P p1 p2 ... pn ...
1n
nnnn2211 px...px...pxpx)X(E
Chöông 3
•Trong tröôøng hôïp coù voâ haïn xn thì ta noùi X coù kyø voïng vaø E(X) laø kyø
voïng cuûa noù neáu chuoãi (3.1) hoäi tuï tuyeät ñoái.
• Vì , neân:
•
•Do ñoù E(X) laø moät giaù trò trung bình cuûa caùc xi, moãi xi ñöôïc tính vôùi tyû
•troïng piA.
• Vaäy: kyø voïng cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân laø trung bình theo xaùc suaát
•caùc giaù trò coù theå nhaän cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoù.
• Tröôøng hôïp X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc thì vai troø cuûa haøm
•maät ñoä xaùc suaát f(x) gioáng nhö baûng phaân phoái xaùc suaát, toång (1) töông
•öùng vôùi tích phaân . Do ñoù:
• Neáu X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân lieân tuïc coù haøm maät ñoä f(x) thì kyø
•voïng cuûa X laø soá:
(3.2)
Ta noùi X coù kyø voïng neáu tích phaân (3.2) hoäi tuï tuyeät ñoái.
n
n1p
ii xmax)X(Exmin

dx)x(xf

dx)x(xf)X(E
Chöông 3
•Ví duï 3.1. Chuøm chìa khoaù coù saùu chìa, trong ñoù coù hai chìa môû ñöôïc
cöûa. Thöû töøng chìa (thöû xong boû ra ngoaøi) cho ñeán khi môû ñöôïc cöûa. Tìm
soá laàn thöû trung bình môû ñöôïc cöûa.
•Giaûi. Goïi X laø soá laàn ñeå môû ñöôïc cöûa. Ta caàn tìm E(X). Ta coù:
• X = {1, 2, 3, 4, 5}
• Goïi Ai laø bieán coá laàn thöù i môû ñöôïc cöûa ( ). Khi ñoù:
•
5,1i
3
1
6
2
)A(P )1X(P 1
15
4
5
2
.
6
4
)A/A(P).A(P )AA(P )2X(P 1
2
1
2
1
15
2
)AAAA(P )4X(P 4
321
15
1
)AAAAA(P )5X(P 5
4321
Chöông 3
•Baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X laø:
•
•Töø ñoù:
•
•Soá laàn thöû trung bình laø 2,33.
•Ví duï 3.2. Cho X laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân coù haøm maät ñoä:
•
•tìm kyø voïng cuûa X.
•Giaûi.
•2- Tính chaát cuûa kyø voïng
•Ñònh lyù 3.1. Vôùi moïi ñaïi löôïng ngaãu nhieân X,Y vaø haèng soá C ta coù:
3
1
15
4
15
2
15
1
X 1 2 3 4 5
P
15
1
3
7
15
1
.5
15
2
.4
15
1
.3
15
4
.2
3
1
.1)X(E
]1,0[xneáu0
]1,0[xneáux2
)x(f
3
2
3
x2
dxx2dx)x(xf)X(E
1
0
3
1
0
2
Chöông 3
• (i) E(C) = C
• (ii) E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• (iii) E(CX) = CE(X)
• (iv) E(XY) = E(X)E(Y) neáu X vaø Y ñoäc laäp.
•Chöùng minh
• (i) Baûng phaân phoái xaùc suaát cuûa X = C laø:
•Do ñoù E(X) = C.1 = C.
•(ii) Neáu X vaø Y rôøi raïc coù baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi nhö trong
muïc 2 phaàn 2.3 chöông 2 vaø X + Y coù baûng phaân phoái xaùc suaát nhö trong
muïc 3 phaàn 2.4 chöông 2 thì:
X C
P 1
s
1k
s
1k zyx
ijk
*
kk
kji
pzpz )YX(E