Chương 3
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
3.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có
của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, cách quãng nhau.
3.1.2 Bảng phân phối xác suất
Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2,··· , xi
và pi=P(X=xi)là xác suất của biến cố X nhận giá trị xi.
Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau:
Xx1x2··· xn
Pp1p2··· pn
Ví dụ 185 Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên
từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn
ra. Bảng phân phối xác suất của X là?
Giải Từ đề bài ta có
P(X= 0) = C2
6
C2
10
=1
3
P(X= 1) = C1
4C1
6
C2
10
=8
15
P(X= 2) = C2
4
C2
10
=2
15
Vậy
X 0 1 2
P1
3
8
15
2
15
45
46 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
3.1.3 Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 3.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu là
F(x)) là hàm số được xác định như sau:
F(x) = P(X < x) = X
xi<x
pi(3.1)
Ví dụ 186 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc Xcó bảng phân phối xác suất.
X0 1 2 3
Pp1=4
120 p2=36
120 p3=60
120 p4=20
120
Tìm hàm phân phối xác suất.
Giải. Áp dụng công thức (3.1), ta được:
TH1. x≤0 =⇒Kết quả 1:= 0.
TH2. 0< x ≤1 =⇒Kết quả 2:=Kết quả 1+p1=4
120.
TH3. 1< x ≤2 =⇒Kết quả 3:=Kết quả 2+p2=40
120.
TH4. 2< x ≤3 =⇒Kết quả 4:=Kết quả 3+p3=100
120.
TH5. 3< x =⇒Kết quả 5:=Kết quả 4+p4= 1.
Hàm phân phối xác xuất có các tính chất sau.
(a) Với mọi x∈R,0≤F(x)≤1.
(b) P(a≤X < b) = F(b)−F(a).
(c) F(−∞) = 0 và F(+∞) = 1.
Ví dụ 187 Một hộp có 8 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Từ hộp lấy ngẫu
nhiên 2 sp. Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu thu được.
3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 47
3.1.4 Mode
Định nghĩa 3.3 Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị của biến ngẫu nhiên
mà tại đó nó có nhiều khả năng xảy ra nhất.
Mode của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là Mod(X).
Mode của biến ngẫu nhiên rời rạc: Là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại
đó nó có xác suất lớn nhất.
Ví dụ 188 Cho bảng phân phối xác suất:
X -20000 10000 40000
P 0,36 0,48 0,16
Tìm Mod(X).
3.1.5 Kỳ vọng
Định nghĩa 3.4 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:
X x1x2··· xn
P p1p2··· pn
thì kỳ vọng của X(kí hiệu E(X)) được xác định bởi công thức:
E(X) =
n
X
i=1
xi.pi(3.2)
Ví dụ 189 Gọi Xlà số chấm khi gieo một con xúc sắc, có bảng phân phối xác
suất:
X 1 2 3 4 5 6
P1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Khi đó, kỳ vọng toán được xác định là:
E(X) = 1.1
6+ 2.1
6+ 3.1
6+ 4.1
6+ 5.1
6+ 6.1
6
Cho C là một hằng số, X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Từ định nghĩa kỳ vọng
ta rút ra được các tính chất sau của kỳ vọng:
i) E(C) =C
ii) E(CX) =C.E(X)
iii) E(X+Y) =E(X)+E(Y)
48 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
3.1.6 Phương sai
Định nghĩa 3.5 Phương sai của biến ngẫu nhiên bằng trung bình của bình
phương sự chênh lệch của những giá trị biến ngẫu nhiên so với trung bình của
nó. Kí hiệu: V AR(X).
Công thức:
V AR(X) =
n
X
i=1
x2
i.pi−[E(X)]2(3.3)
Tính chất
i) V AR(C) = 0
ii) V AR(C.X) = C2.V AR(X)
iii) V AR(X+Y) = V AR(X) + V AR(Y)nếu X, Y độc lập.
Ví dụ 190 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy
ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Phương sai V AR(X)bằng:
Ví dụ 191 Gieo một lần con súc sắc cân đối và đồng chất. X là số chấm ở mặt
xuất hiện. Phương sai là:
Ví dụ 192 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong
nhóm. X là số nữ được chọn. Tìm V AR(X).
Ví dụ 193 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu
nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai
V AR(X).
3.1.7 Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 3.6 Phương sai của một biến ngẫu nhiên là con số đặc trưng cho
sự phân tán của biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng của nó. Tuy nhiên, nó không
cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Chính vì điều này, người ta đưa ra một tham
số mới cũng có ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu
nhiên. Đại lượng này được gọi là độ lệch chuẩn.
Kí hiệu: σ(X).
Khi đó:
σ(X) = pV AR(X)(3.4)
3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 49
3.1.8 Bài tập
Bài tập 194 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ).
Lấy ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Kỳ vọng E(X)bằng
Bài tập 195 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong
nhóm. X là số nữ được chọn. Kỳ vọng E(X).
Bài tập 196 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn
ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai
V AR(X).
Bài tập 197 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con). Xác suất con trai là
0,51.Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh. Kỳ vọng X
Bài tập 198 Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3
sản phẩm loại A ; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A.
Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau
đó từ kiện thứ 2 lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm
loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì kỳ vọng, phương sai của
X là
Bài tập 199 Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến
khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi biết xác suất trúng đích là 0,6.
Gọi X là số viên đạn đã bắn. Tìm E(X), V AR(X).
Bài tập 200 Biến ngẫu nhiên X có phương sai là V AR(X)thì V AR(2X+ 4)
là
Bài tập 201 Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu
nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm
chọn ra. Bảng phân phối xác suất X là :
Bài tập 202 Lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô hàng II có 2 sản
phẩm tốt và 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ
vào lô hàng II, sau đó từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là
số sản phẩm tốt chọn được từ lô hàng II. Bảng phân phối xác suất của X là
Bài tập 203 Kiện hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, kiện hàng II có 2
sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I ra 1 sản phẩm
và từ kiện hàng II chọn ra 1 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm chọn được. Hàm
phân phối xác suất của F(x) = P(X < x)là