Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tập bài giảng Xác suất thống kê gồm 4 chương sau, cung cấp cho sinh viên những nội dung, kiến thức về: chương 3 - Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc; chương 4 - Đại lượng ngẫu nhiên liên tục; chương 5 - Thống kê và dữ liệu; chương 6 - Lý thuyết ước lượng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chương 3 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 3.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được, cách quãng nhau. 3.1.2 Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất chỉ dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1 , x2 , · · · , xi và pi = P (X = xi ) là xác suất của biến cố X nhận giá trị xi . Quy luật này được thể hiện dưới dạng bảng sau: X x1 x2 · · · xn P p1 p2 · · · pn Ví dụ 185 Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra. Bảng phân phối xác suất của X là? Giải Từ đề bài ta có 2 C6 1 P (X = 0) = 2 = C10 3 1 1 C C 8 P (X = 1) = 4 2 6 = C10 15 2 C4 2 P (X = 2) = 2 = C10 15 Vậy X 0 1 2 1 8 2 P 3 15 15 45
46 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 3.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu là F(x)) là hàm số được xác định như sau: F (x) = P (X < x) = pi (3.1) xi
3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 47 3.1.4 Mode Định nghĩa 3.3 Mode của một biến ngẫu nhiên là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó nó có nhiều khả năng xảy ra nhất. Mode của biến ngẫu nhiên X được kí hiệu là Mod(X). Mode của biến ngẫu nhiên rời rạc: Là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó nó có xác suất lớn nhất. Ví dụ 188 Cho bảng phân phối xác suất: X -20000 10000 40000 P 0,36 0,48 0,16 Tìm M od(X). 3.1.5 Kỳ vọng Định nghĩa 3.4 Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất: X x1 x2 · · · xn P p1 p2 · · · pn thì kỳ vọng của X (kí hiệu E(X)) được xác định bởi công thức: n E(X) = xi .pi (3.2) i=1 Ví dụ 189 Gọi X là số chấm khi gieo một con xúc sắc, có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 5 6 P 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 Khi đó, kỳ vọng toán được xác định là: 1 1 1 1 1 1 E(X) = 1. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. 6 6 6 6 6 6 Cho C là một hằng số, X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Từ định nghĩa kỳ vọng ta rút ra được các tính chất sau của kỳ vọng: i) E(C) =C ii) E(CX) =C.E(X) iii) E(X+Y) =E(X)+E(Y)
48 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.1.6 Phương sai Định nghĩa 3.5 Phương sai của biến ngẫu nhiên bằng trung bình của bình phương sự chênh lệch của những giá trị biến ngẫu nhiên so với trung bình của nó. Kí hiệu: V AR(X). Công thức: n V AR(X) = x2 .pi − [E(X)]2 i (3.3) i=1 Tính chất i) V AR(C) = 0 ii) V AR(C.X) = C 2 .V AR(X) iii) V AR(X + Y ) = V AR(X) + V AR(Y ) nếu X, Y độc lập. Ví dụ 190 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Phương sai V AR(X) bằng: Ví dụ 191 Gieo một lần con súc sắc cân đối và đồng chất. X là số chấm ở mặt xuất hiện. Phương sai là: Ví dụ 192 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm. X là số nữ được chọn. Tìm V AR(X). Ví dụ 193 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai V AR(X). 3.1.7 Độ lệch chuẩn Định nghĩa 3.6 Phương sai của một biến ngẫu nhiên là con số đặc trưng cho sự phân tán của biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng của nó. Tuy nhiên, nó không cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Chính vì điều này, người ta đưa ra một tham số mới cũng có ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Đại lượng này được gọi là độ lệch chuẩn. Kí hiệu: σ(X). Khi đó: σ(X) = V AR(X) (3.4)
3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 49 3.1.8 Bài tập Bài tập 194 Trong hộp có 5 bi đánh số từ 1 đến 5 (các bi có cùng kích cỡ). Lấy ngẫu nhiên 2 bi. X là tổng số viết trên 2 bi lấy ra. Kỳ vọng E(X) bằng Bài tập 195 Một nhóm gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong nhóm. X là số nữ được chọn. Kỳ vọng E(X). Bài tập 196 Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai V AR(X). Bài tập 197 Một bà mẹ sinh 2 con (mỗi lần sinh 1 con). Xác suất con trai là 0, 51. Gọi X là số con trai trong 2 lần sinh. Kỳ vọng X Bài tập 198 Có hai kiện hàng, kiện thứ nhất có 8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm loại A ; kiện thứ hai có 6 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm loại A. Lần đầu lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở kiện thứ nhất bỏ vào kiện thứ hai, sau đó từ kiện thứ 2 lấy ra 2 sản phẩm (lấy không hoàn lại). Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra từ kiện thứ hai. Thì kỳ vọng, phương sai của X là Bài tập 199 Một xạ thủ có 3 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi biết xác suất trúng đích là 0,6. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Tìm E(X), V AR(X). Bài tập 200 Biến ngẫu nhiên X có phương sai là V AR(X) thì V AR(2X + 4) là Bài tập 201 Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra. Bảng phân phối xác suất X là : Bài tập 202 Lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô hàng II có 2 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II, sau đó từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được từ lô hàng II. Bảng phân phối xác suất của X là Bài tập 203 Kiện hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, kiện hàng II có 2 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I ra 1 sản phẩm và từ kiện hàng II chọn ra 1 sản phẩm. Gọi X là số phế phẩm chọn được. Hàm phân phối xác suất của F (x) = P (X < x) là
50 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 204 Một nhóm hướng dẫn viên du lịch có 7 người trong đó gồm 4 người biết tiếng Anh và 3 người biết tiếng Nhật. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số người biết tiếng Nhật trong 3 người được chọn. a) Lập bảng phân bố xác suất b) Tính E(X) và V AR(X). Bài tập 205 Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0, 992 và người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0, 008. Một công ty bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả là 15.000U SD, phí bảo hiểm là 130U SD. Số tiền lời trung bình của công ty khi bán bảo hiểm cho người đó là: Bài tập 206 Cho BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất: X -1 0 2 4 5 P 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 Giá trị của P [(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là Bài tập 207 Cho BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng của X là: Bài tập 208 Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị phương sai của X là: Bài tập 209 Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất:  0 khi x ≤ 1 F (x) = 0, 19 khi 1 < x ≤ 2 1 khi 2 < x  Bảng phân phối xác suất của X là: Bài tập 210 Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 3k 2k 0,4 0,1 trong đó k là hằng số. Kỳ vọng của X là:
3.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 51 Bài tập 211 Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X -1 0 1 2 P 3k 2k 0,4 0,1 1 trong đó k là hằng số. Tính P (X ≤ ). 2 Bài tập 212 Số khách vào một cửa hàng trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên X với 2k + 1 P (X = k) = trong đó k = 0, 4. Tính xác suất trong một giờ có từ 2 đến 25 4 người vào cửa hàng Bài tập 213 Số khách vào một cửa hàng trong 1 giờ là biến ngẫu nhiên X với 2k + 1 P (X = k) = trong đó k = 0, 4. Tính số khách trung bình đến cửa hàng 25 trong 1 giờ. Bài tập 214 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X a 0,1 0,3 0,4 2 P 0,3 0,2 0,2 0,2 0,1 Giá trị của tham số a để E(X)=0,3 là: Bài tập 215 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 0 0,1 0,3 0,4 0,7 X a 0,2 b 0,2 0,1 Giá trị của tham số a và b để E(X)=0,2 là: Bài tập 216 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 1 2 4 a P 0,2 0,5 0,2 0,1 Giá trị của tham số a > 4 để V AR(X) = 1, 4225 là: Bài tập 217 Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X 1 2 3 4 P 0,15 a 0,35 b Giá trị của hai tham số a và b để V AR(X) = 1, 01 là:
52 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bài tập 218 Một nghệ nhân mỗi ngày làm hai loại sản phẩm độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2. Biết rằng nếu thành công thì nghệ nhân sẽ kiếm lời từ sản phẩm A là 300.000 đồng và B là 450.000 đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do sản phẩm A là 190.000 đồng và do B là 270.000 đồng. Hãy tính xem trung bình nghệ nhân kiếm được bao nhiêu tiền mỗi ngày? Bài tập 219 Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người dân ở độ tuổi 40 thì sau 1 năm có 996 người còn sống. Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho những người ở độ tuổi này với giá 1,5 triệu đồng, nếu người mua bảo hiểm chết thì số tiền bồi thường là 300 triệu đồng. Giả sử công ty bán được 40.000 hợp đồng bảo hiểm loại này (mỗi hợp đồng ứng với 1 người mua bảo hiểm) trong 1 năm. Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu? Bài tập 220 Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc máy lạnh X thì lời 850.000 đồng nhưng nếu chiếc máy lạnh đó phải bảo hành thì lỗ 1.000.000 đồng. Biết xác suất máy lạnh X phải bảo hành của cửa hàng là p = 15%, tính mức lời trung bình khi bán 1 chiếc máy lạnh X? Bài tập 221 Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc tivi thì lời 500.000 đồng nhưng nếu chiếc tivi đó phải bảo hành thì lỗ 700.000 đồng. Tính xác suất tivi phải bảo hành của cửa hàng để mức lời trung bình khi bán 1 chiếc tivi là 356.000 đồng? Bài tập 222 Nhu cầu X (kg) hằng ngày của 1 khu phố về 1 loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phối xác suất X 30 31 32 33 P 0,15 0,25 0,45 0,15 Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 33 kg loại thực phẩm này với giá 25.000 đồng/kg và bán ra với giá 40.000 đồng/kg. Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 15.000 đồng/kg mới bán hết hàng. Tiền lời trung bình của cửa hàng này về loại thực phẩm trên trong 1 ngày là Bài tập 223 Nhu cầu X (kg) hằng ngày của 1 khu phố về rau sạch có bảng phân phối xác suất X 25 26 27 28 P 0,2 0,4 0,3 0,1 Một cửa hàng trong khu phố nhập về mỗi ngày 28 kg rau sạch với giá 10.000 đồng/kg và bán ra với giá 15.000 đồng/kg. Nếu bị ế, cuối ngày cửa hàng phải bán hạ giá còn 7.500 đồng/kg mới bán hết hàng. Tiền lời trung bình của cửa hàng này về loại rau sạch trong 1 ngày là:
3.2. Phân phối nhị thức 53 3.2 Phân phối nhị thức 3.2.1 Công thức Bernoulli Giả sử ta thực hiện một phép thử nào đó n lần độc lập và giống nhau. Trong mỗi phép thử chỉ có một trong hai khả năng xảy ra. Biến cố A xảy ra với xác suất là p, hoặc biến cố A không xảy ra với xác suất là q = 1 − p. Khi đó, xác suất để trong n lần thực hiện phép thử biến cố A xảy ra k lần là P (X = x) = Cn .px .q n−x x (3.5) Định nghĩa 3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , N } với xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli (3.5) được gọi là có phân phối nhị thức với tham số N và p. Kí hiệu: X ∼ B(N, p). 3.2.2 Các tham số đặc trưng Nếu X có phân phối nhị thức B(N, p) thì: Trung bình: E(X) = N p. Phương sai: V ar(X) = N pq. Giá trị mode: N p − q ≤ M od(X) ≤ N p + p. Ví dụ 224 Tỷ lệ phế phẩm do một máy sản xuất ra là 15%. a. Cho máy đó sản xuất 5 sản phẩm. Tìm xác suất để được không quá một phế phẩm. b. Cho máy đó sản xuất 10 sản phẩm. Tìm xác suất để số chính phẩm sản xuất ra sai lệch so với số chính phẩm trung bình
54 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.2.3 Bài tập Bài tập 225 Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới là p = 0, 8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có 6 bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới này. Bài tập 226 Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới là p = 0, 8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có từ 4 đến 5 bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới này. Bài tập 227 Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới là p = 0, 8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Xác suất có nhiều nhất 8 bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới này. Bài tập 228 Xác suất một bệnh nhân được chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới là p = 0, 8. Giả sử có 10 bệnh nhân. Số bệnh nhân có khả năng chữa bệnh thành công với kỹ thuật mới này lớn nhất Bài tập 229 Theo một nghiên cứu gần đây của phòng Đào tạo, 40% sinh viên Công Nghiệp có khả năng tự học. Chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên để hỏi. Xác suất ít nhất 1 sinh viên được hỏi có khả năng tự học. Bài tập 230 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất có 1 phế phẩm là 2%. Cho máy sản xuất ra 10 sản phẩm. Xác suất trong 10 sản phẩm đó có đúng 3 phế phẩm là: Bài tập 231 Xác suất có bệnh của những người chờ khám bệnh tại 1 bệnh viện là 12%. Khám lần lượt 20 người này, hỏi xác suất có ít nhất 2 người bị bệnh là bao nhiêu? Bài tập 232 Xác suất có bệnh của những người chờ khám bệnh tại 1 bệnh viện là 62%. Khám lần lượt 20 người này, hỏi xác suất có nhiều nhất 18 người bị bệnh là bao nhiêu? Bài tập 233 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất có 1 phế phẩm là 4%. Cho máy sản xuất ra 12 sản phẩm, hỏi khả năng cao nhất có bao nhiêu phế phẩm? Bài tập 234 Xác suất có bệnh của những người chờ khám bệnh tại 1 bệnh viện là 72%. Khám lần lượt 61 người này, hỏi khả năng cao nhất có mấy người bị bệnh? Bài tập 235 Một nhà vườn trồng 8 cây lan quý, với xác suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,6. Số cây lan quý chắc chắn nhất sẽ nở hoa trong 1 năm là:
3.2. Phân phối nhị thức 55 Bài tập 236 Một gia đình nuôi n con gà mái đẻ với xác suất đẻ trứng của mỗi con gà trong 1 ngày là 0,85. Để chắc chắn nhất mỗi ngày có 100 con gà mái đẻ trứng thì số gà gia đình đó phải nuôi là: Bài tập 237 Một nhà vườn trồng 121 cây mai với xác suất nở hoa của mỗi cây trong dịp tết năm nay là 0,75. Giá bán 1 cây mai nở hoa là 0,5 triệu đồng. Giả sử nhà vườn bán hết những cây mai nở hoa thì trong dịp tết năm nay nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? Bài tập 238 Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt n ứng viên, với xác suất được chọn của mỗi ứng viên 0,56. Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 ứng viên là 0,1794 thì số người phải kiểm tra là bao nhiêu ? Bài tập 239 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm với xác suất có 1 phế phẩm là 4%. Cho máy sản xuất n sản phẩm thì thấy xác suất có ít nhất 1 phế phẩm lớn hơn 30%. Giá trị nhỏ nhất của n là: Bài tập 240 Đề thi trắc nghiệm môn XSTK có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án của mỗi câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó trả lời đúng 10 câu hỏi ? Bài tập 241 Đề thi trắc nghiệm môn XSTK có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án của mỗi câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó trả lời đúng từ 5 đến 7 câu hỏi? Bài tập 242 Đề thi trắc nghiệm môn XSTK có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 0,4 điểm và nếu sai thì bị trừ 0,1 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án của mỗi câu hỏi. Tính xác suất để sinh viên đó đạt 4 điểm ? Bài tập 243 Đề thi trắc nghiệm môn XSTK có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 0,4 điểm và nếu sai thì bị trừ 0,1 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án của mỗi câu hỏi. Tính số đểm trung bình sinh viên này đạt được. Bài tập 244 Đề thi trắc nghiệm môn XSTK có 25 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng thì được 0,4 điểm và nếu sai thì bị trừ 0,1 điểm. Một sinh viên kém làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 đáp án của mỗi câu hỏi. Tính số điểm mà sinh viên này đạt được là chắc nhất
56 Chương 3. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 3.3 Phân phối Poisson 3.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.8 Biến ngẫu nhiên X có tập giá trị X(Ω) = {0, 1, · · · , n, · · · } được gọi là có phân phối Poisson với tham số µ(µ > 0) nếu µx −µ P (X = x) = e (3.6) x! Kí hiệu: X ∼ P (µ) 3.3.2 Các tham số đặc trưng Nếu X ∼ P (µ) thì Trung bình: E(X) = µ Phương sai: V ar(X) = µ Giá trị mode: µ − 1 ≤ M od(X) ≤ µ. Ví dụ 245 Một trạm điện thoại trung bình nhận được 100 cuộc gọi trong 1 giờ. Xác suất để trạm nhận được nhiều hơn 2 cuộc gọi trong 1 phút là? textbfGiải Gọi X là số cuộc gọi nhận được trong thời gian 1 phút. Khi đó, X ∼ P ( 5 ). Ta cần tính P (X > 2). 3 P (X > 2) = 1 − P (X = 0) − P (X = 1) − P (X = 2) 5 0 5 5 1 5 2 e− 3 × 53 e− 3 × 3 e− 3 × 53 = 1− − − 0! 1! 2! = 0, 2340 3.3.3 Bài tập Bài tập 246 Một bến xe khách trung bình có 40 xe xuất bến trong 1 giờ. Xác suất để trong 1 phút có 2 xe xuất bến là: Bài tập 247 Một bến xe khách trung bình có 70 xe xuất bến trong 1 giờ. Xác suất để trong 5 phút có 3 xe xuất bến là: Bài tập 248 Một trạm điện thoại trung bình nhận được 900 cuộc gọi trong 1 giờ. Xác suất để trạm nhận được đúng 32 cuộc gọi trong 2 phút là: Bài tập 249 Quan sát thấy trung bình 5 phút có 15 khách hàng vào 1 siêu thị nhỏ. Tìm xác suất để có nhiều hơn 2 khách vào siêu thị trong 30 giây? Bài tập 250 Quan sát thấy trung bình 1 phút có 2 ôtô đi qua trạm thu phí. Xác suất có 6 ôtô đi qua trạm thu phí trong 3 phút là:
Chương 4 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 4.1 Biến ngẫu nhiên liên tục 4.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 4.1 Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của lắp đầy một khoảng hay một số khoảng hay toàn bộ R. Ví dụ 251 Các biến sau là biến ngẫu nhiên liên tục: Nhiệt độ không khí tại một thời điểm nào đó. Sai số khi đo lường một đại lượng vật lý nào đó. Khoảng thời gian giữa 2 ca cấp cứu của một bệnh viện. 4.1.2 Hàm mật độ xác suất Hàm số y = f (x) xác định trên R được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu nó thỏa 2 tính chất sau: i) f (x) là hàm số không âm, +∞ ii) f (x)dx = 1. −∞ Về mặt hình học, việc tìm hàm mật độ f (x) có thể xem là việc tìm hàm số f (x) không âm mà diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x) và trục hoành bằng 1. Diện tích này đặc trưng cho tất cả khả năng xảy ra của phép thử. Từ ý nghĩa hình học này ta rút ra tính chất quan trọng của hàm mật độ xác suất như sau: b P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx (4.1) a Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong đoạn [a, b] bằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, đồ thị y = f (x) và các đường thẳng x = a, x = b. Từ ý nghĩa hình học của tính chất trên, ta dễ dàng rút ra một số kết quả sau: P (a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) (4.2) 57
58 Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 252 Giả sử tuổi thọ của một loại côn trùng là biến ngẫu nhiên liên tục X (đơn vị là tháng) có hàm mật độ xác suất: 0 nếu x ∈ [0; 2] / f (x) = m(x − 2) nếu x ∈ [0; 2] 1. Tìm tham số m 2. Tính tỉ lệ côn trùng chết trước khi nó được 1 tháng tuổi. Giải 1) Ta có: +∞ 0 2 +∞ f (x)dx = 1 ⇐⇒ f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx = 1 −∞ −∞ 0 2 2 ⇐⇒ f (x)dx = 1 0 2 ⇐⇒ m (x − 2)dx = 1 0 1 1 ⇐⇒ m = 2 =− . − 2)dx 2 0 (x Vậy 0, khi x ∈ [0, 2], / f (x) = − 1 (x − 2), 2 khi x ∈ [0, 2]. 2) Theo đề bài ta có: 1 P (0 ≤ X < 1) = f (x)dx 0 1 1 = − (x − 2)dx = 0.75. 0 2
4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục 59 4.1.3 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 4.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu là F(x)) là hàm số được xác định như sau: x F (x) = P (X < x) = f (t)dt (4.3) −∞ Ví dụ 253 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất:  0 nếu x ≤ 0    x nếu 0 < x ≤ 1 f (x) = 2 − x nếu 1 < x ≤ 2    0 nếu 2 < x Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. Hướng dẫn: x Ta có X là biến ngẫu nhiên liên tục nên F (x) = f (t)dt. −∞ TH1. Nếu x ≤ 0 thì F (x) = 0. TH2. Nếu 0 < x ≤ 1 thì 0 x 0 x t2 x x2 F (x) = f (t)dt + f (t)dt = 0dt + tdt = 0 = . −∞ 0 −∞ 0 2 2 TH3. Nếu 1 < x ≤ 2 thì 0 1 x F (x) = f (t)dt + f (t)dt + f (t)dt −∞ 0 1 0 1 x = 0dt + tdt + (2 − t)dt −∞ 0 1 1 t2 = 0 + + 2t − |x 1 2 2 x2 = 2x − − 1. 2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là  0 nếu x ≤ 0,   2 x  nếu 0 < x ≤ 1, F (x) = 2 2x − x2 − 1 nếu 1 < x ≤ 2,  2   1 nếu 2 < x.
60 Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 4.1.4 Mode Mode của biến ngẫu nhiên liên tục: Là giá trị của biến ngẫu nhiên mà tại đó hàm mật độ đạt giá trị cực đại. 4.1.5 Kỳ vọng Định nghĩa 4.3 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f(x) thì kỳ vọng của X được xác định bằng công thức: +∞ E(X) = xf (x)dx (4.4) −∞ Tính chất: Cho C là một hằng số, X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Từ định nghĩa kỳ vọng ta rút ra được các tính chất sau của kỳ vọng: i) E(C) =C ii) E(CX) =C.E(X) iii) E(X+Y) =E(X)+E(Y) Ví dụ 254 Giả sử thời gian sống của một loài sinh vật là biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính bằng giờ) có hàm mật độ xác suất: 0 nếu x ∈ [0; 2] / f (x) = m(x − 2) nếu x ∈ [0; 2] Tính thời gian sống trung bình của loài sinh vật đó. Hướng dẫn: • Ta xác định tham số m +∞ 1 f (x)dx = 1 ⇔ m = − 2 −∞ 0 nếu x ∈ [0; 2] / Khi đó, hàm f (x) = 1 − 2 (x − 2) nếu x ∈ [0; 2] Ta có f(x) là hàm không âm. Vậy giá trị m tìm ở trên là thỏa điều kiện bài toán. • Thời gian sống trung bình của loài sinh vật đó chính là E(X) +∞ 2 E(X) = xf (x)dx = 3 −∞
4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục 61 4.1.6 Phương sai Định nghĩa 4.4 Phương sai của biến ngẫu nhiên bằng trung bình của bình phương sự chênh lệch của những giá trị biến ngẫu nhiên so với trung bình của nó. Kí hiệu: V AR(X). Công thức: +∞ V AR(X) = x2 f (x)dx − [E(X)]2 (4.5) −∞ Tính chất i) V AR(C) = 0 ii) V AR(C.X) = C 2 .V AR(X) iii) V AR(X + Y ) = V AR(X) + V AR(Y ) nếu X, Y độc lập. 4.1.7 Độ lệch chuẩn Định nghĩa 4.5 Phương sai của một biến ngẫu nhiên là con số đặc trưng cho sự phân tán của biến ngẫu nhiên quanh kỳ vọng của nó. Tuy nhiên, nó không cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Chính vì điều này, người ta đưa ra một tham số mới cũng có ý nghĩa giống như phương sai, nhưng cùng đơn vị với biến ngẫu nhiên. Đại lượng này được gọi là độ lệch chuẩn. Kí hiệu: σ(X). Khi đó: σ(X) = V AR(X) (4.6) Ví dụ 255 Trọng lượng của một loại sản phẩm là X (đơn vị kg) có hàm mật độ xác suất như sau: 3 2 16 (x − 1) khi x ∈ [2; 3] f (x) = 0 khi x ∈ [2; 3] / Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của X. Giải Ta có: +∞ 3 3 E(X) = xf (x)dx = x(x2 − 1)dx = 2, 5781 16 −∞ 2 +∞ 3 3 E(X 2 ) = x2 f (x)dx = x2 (x2 − 1)dx = 6, 725 16 −∞ 2 Vậy V AR(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 0, 0784 và σ(X) = V AR(X) = 0, 28
62 Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 4.1.8 Bài tập Bài tập 256 X có hàm mật độ xác suất kx2 , x ∈ [0; 1] f (x) = . 0 , x ∈ [0; 1] / Tìm k để hàm f(x) là hàm mật độ khi đó tìm kỳ vọng E(X). Bài tập 257 X có hàm mật độ xác suất 4x3 x ∈ [0; 1] f (x) = . 0 , x ∈ [0; 1] / Tìm phương sai VAR(X). Bài tập 258 X có hàm mật độ xác suất 2(x+2) 5 , x ∈ [0, 1] f (x) = . 0, x ∈ [0, 1] / Tìm kỳ vọng E(X), phương sai VAR(X) Bài tập 259 X có hàm mật độ xác suất 2 (x − 1) , x ∈ [1; 2] f (x) = 0, x ∈ [1; 2] / Tìm kỳ vọng E(X), phương sai VAR(X). 2 (x − 1) , x ∈ [1; 2] Bài tập 260 X có hàm mật độ xác suất f (x) = Tìm 0, x ∈ [1; 2] / kỳ vọng của BNN g(X) = X 2 + X − 2. x2 3, x ∈ [−1; 2] Bài tập 261 X có hàm mật độ xác suất f (x) = Tìm kỳ 0, x ∈ [−1; 2] / vọng của g(X) = 4X + 3. x2 3, −1 < x < 2 Bài tập 262 X có hàm mật độ xác suất f (x) = Tìm 0 , x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 phương sai của g(X) = 4X+3. ax + b, x ∈ [0, 1] Bài tập 263 X có hàm mật độ xác suất f (x) = Tìm 0, x ∈ [0, 1] / a ,b để kỳ vọng E(X)= 2.
4.1. Biến ngẫu nhiên liên tục 63 4x3 , x ∈ [0; 1] Bài tập 264 X có hàm mật độ xác suất f (x) = 0, x ∈ [0; 1] / Biết Y = 3X + 4. Tìm P1 = P (11/2 < Y < 7) Bài tập 265 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 2 − 2x2 x ∈ [0; 1] f (x) = 0 x ∈ (0; 1) / Hàm phân phối của X là: Bài tập 266 Biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 3x2 x ∈ [0; 1] f (x) = 0 x ∈ (0; 1) / Phương sai của X là: Bài tập 267 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 1 x ∈ [0; 1] f (x) = 0 x ∈ [0; 1] / Hàm phân phối của X là: Bài tập 268 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 5x4 x ∈ [0; 1] f (x) = 0 x ∈ (0; 1) / Phương sai của X là: Bài tập 269 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 2x 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 0 x ∈ (0; 1) / Hàm phân phối của X là: Bài tập 270 Cho biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm mật độ 1 2x x ∈ [0; 2] f (x) = 0 x ∈ (0; 2) / Phương sai của X là: Bài tập 271 Biến ngẫu nhiên X liên tục có hàm phân phối   0  x1  Hàm mật độ của X là:
64 Chương 4. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 4.2 Phân phối đều 4.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 4.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trong [a, b] nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: 1 b−a khi x ∈ [a; b] f (x) = (4.7) 0 khi x ∈ [a; b] / Kí hiệu: X U [a; b]. 4.2.2 Tham số đặc trưng và hàm phân phối Khi X U [a; b] thì: a+b 1. Kỳ vọng toán E(X) = 2 (b−a)2 2. Phương sai V AR(X) = 12 3. M od(X) là bất kì điểm nào trên [a; b]  0  khi x < a 4. Hàm phân phối:F (x) x−a khi a ≤ x ≤ b  b−a 1 khi x > b  Ví dụ 272 Ở một trạm xe buýt, chiếc xe đầu tiên khởi hành lúc 7 giờ và cứ sau 15 phút sẽ có một xe khác khởi hành. Một hành khách đến trạm xe buýt trong khoảng thời gian từ 8 giờ đến 8 giờ 30 phút. Tính xác suất để hành khách này phải đợi ít hơn 5 phút. Giải Gọi X là thời gian đến trạm xe buýt của hành khách. Vì hành khách đến trạm xe buýt một điểm thời gian nào đó trong khoảng thời gian từ 8 giờ đến 8 giờ 30 phút với một xác suất như nhau nên ta nói X có phân phối đều trên [0, 30] (phút). Khi đó hàm mật độ xác suất của X là 0 nếu x ∈ [0; 30] / f (x) = 1 30 nếu x ∈ [0; 30] Hành khách này sẽ đợi ít hơn 5 phút, nếu đến trạm xe buýt trong khoảng thời gian từ 8 giờ 10 phút đến 8 giờ 15 phút hoặc từ 8 giờ 25 phút đến 8 giờ 30 phút. Vậy: 1 P (A) = P (10 < X < 15) + P (25 < X < 30) = 3