Bài giảng Xác suất thống kê - Phan Trung Hiếu

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

210
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê" trình bày các nội dung: Đại cương về giải tích tổ hợp, đại cương về xác suất, biến ngẫu nhiên, một số phân phối xác suất quan trọng, lý thuyết mẫu và ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết thống kê. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê - Phan Trung Hiếu

9/2/2015 Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1): XÁC SUẤT Dự lớp đầy đủ: 10 điểm. THỐNG KÊ Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1 điểm. Giảng viên: Phan Trung Hiếu Chỉ được vắng 1 ngày có phép. 45 tiết -Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3): Tự luận, không được sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6): LOG Tự luận, không được sử dụng tài liệu. O 2 Điểm cộng, trừ giờ bài tập: Điểm cộng, trừ giờ bài tập: -Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ: -Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1 Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần. câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không Khi không có SV xung phong lên làm thì GV trừ điểm). sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ Chỉ được cộng tối đa 2 điểm. trên xuống: -Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần. 3 4 Trang web môn học: Nội dung: SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp. tuần, điểm quá trình trên trang web sau: Chương 1: Đại cương về Xác suất. Chương 2: Biến ngẫu nhiên. https://sites.google.com/site/sgupth Chương 3: Một số phân phối xác suất quan trọng. Chương 4: Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số. Chương 5: Kiểm định giả thuyết thống kê. 5 6 1
9/2/2015 Tài liệu học tập: Dụng cụ hỗ trợ học tập: [1] Bài giảng trên lớp. Máy tính FX 500MS, FX 570MS, [2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng FX 570ES, FX 570ES Plus. dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011. [4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh, Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011. Các tài liệu tham khảo khác. 7 8 I. Tập hợp: Chương 0: 1.1. Khái niệm: ĐẠI CƯƠNG VỀ -Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy, không có định nghĩa. GIẢI TÍCH TỔ HỢP -Sự gom góp một số đối tượng lại với nhau Giảng viên: Phan Trung Hiếu cho ta hình ảnh của tập hợp. Các đối tượng này trở thành phần tử của tập hợp. Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong giờ môn XSTK tại phòng A… . LOG O 10 1.2. Ký hiệu: 1.3. Các phương pháp xác định tập hợp: ▪ Tập hợp: A, B, C,…,X, Y, Z,…  Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn ▪ Phần tử: a, b, c,…,x, y, z,… (đếm được, thấy được cụ thể) ▪ x là một phần tử của tập hợp A: x  A Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 1 và ▪ x không là một phần tử của tập hợp A: x  A bé hơn 6: ▪ A : số phần tử của tập hợp A. A   2, 3, 4, 5  3A 5 A 0 A A 4 11 12 2
9/2/2015 Ví dụ 2: Tập hợp các số tự nhiên bé hơn Trưng tính: 1000: - Nêu bật tính chất đặc trưng của các phần tử B  0, 1, 2, …, 997, 998, 999  trong tập hợp. - Hay dùng khi số phần tử là vô hạn. 500  B B 1000 Ví dụ 1: Tập hợp các số tự nhiên chẵn: Chú ý: Phương pháp liệt kê A   x x   và x  2  - Không quan tâm thứ tự liệt kê. 10  A 101  A 4  A - Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không lặp lại. 13 14 Ví dụ 2: Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai B = { x | x là sinh viên đang học môn XSTK tại môn thể thao là cầu lông và bóng bàn. Có 5 phòng A…..} bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng ký  Giản đồ Venn: là một đường cong khép kín, chơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả hai không tự cắt. môn. Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thể Ví dụ 1: thao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thể 3 3 A 2 7 thao. 7 bạn đăng ký 5 7 A A 4 CL 3 2 2 BB A  2,3, 4,5 3 bạn không đăng ký 15 16 1.4. Tập hợp con: A là tập con của B, ký hiệu: I. Tập hợp: A B  BA Ví dụ: A  {1, 2, 3, 5, 7} A chứa trong B B chứa A BA B  {1, 5}  A A  B  x  A  x  B CA B C  {1, 2, 8} 17 18 3
9/2/2015 1.5. Tập hợp rỗng:  1.6. Tập hợp bằng nhau: -Là tập hợp không chứa một phần tử nào. Ví dụ 1: A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng A  B A…. mà có số tuổi lớn hơn 80}  A   A B B  A Ví dụ 2: B   x x   và x 2  1  B   Quy ước:  là tập con của mọi tập hợp. Chú ý: ( X ) là tập tất cả các tập con của X. ( X )  { A A  X }. ( X )  2n , n: số phần tử của X. 19 20 II. Các phép toán tập hợp: 2.2. Phép hợp: 2.1. Phép giao: A  B   x | x  A hay x  B A  B   x | x  A và x  B A B A B A B A B A B  A B   (A và B rời nhau) 22 21 2.3. Phép lấy hiệu: II. Các phép toán tập hợp: A \ B   x | x  A và x  B Ví dụ: A  {1, 2, 3, 4} A B B  {3, 4, 5, 6, 7} C  {2, 8, 9} A\ B A  B  {3, 4} A  B  {1, 2,3, 4,5,6, 7} A  C  {2} A  C  {1, 2,3, 4,8,9} BC   B  C  {2,3, 4,5,6,7,8,9} 23 24 4
9/2/2015 2.4. Phép lấy bù: II. Các phép toán tập hợp: Ví dụ: A   x  X | x  A A  {1, 2, 3, 4} B  {3, 4, 5, 6, 7} A X C  {6, 7, 8, 9} A \ B  {1, 2} C \ B {8, 9} A A\C  A A\ A   Nhận xét: A A   C\ A C B\ B A A  X 25 26 II. Các phép toán tập hợp: III. Các tính chất: Ví dụ: Cho X là tập hợp tất cả các số nguyên 3.1. Phân phối: dương, A là tập hợp các số nguyên dương lớn A   B  C   A  B   A  C hơn 10. Hỏi A  ? A   B  C   A  B   A  C Giải 3.2. De Morgan: X  {1, 2, 3, 4, 5,....} AB  A B A  {11, 12, 13, 14, 15,....} A B  AB A   x  X | x  A  1, 2, 3, 4,...,10 3.3: A A X B A B A B  B   B  A  B  A  27 Ví dụ 1: Có 4 quần Jean và 3 quần tây. Hỏi có IV. Quy tắc đếm: mấy cách chọn 1 quần để mặc mặc? 4.1. Quy tắc cộng: Giải TH1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. Công việc TH2: Chọn 1 quần tây từ 3 quần tây: 3 cách. 1  n1 cách Vậy có: 4 + 3 = 7 cách. Phương án 2  n cách Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8 2 thực hiện (Trường hợp)   quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóa k  nk cách khác nhau. Một học sinh được chọn 1 quyển. n1  n 2  ...  nk cách Hỏi có bao nhiêu cách chọn. 10 + 8 + 6 = 24 cách. 30 29 5
9/2/2015 4.2. Quy tắc nhân: Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ mi khác nhau. Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ để Công việc mặc? Giải 1  n1 cách Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean: 4 cách. 2  n 2 cách thực hiện Bước Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi: 3 cách.   k  nk cách Vậy có: 4  3  12 cách. n1  n 2  ...  nk cách 32 31 Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh Tóm lại: chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán. Nhà -Khi thực hiện một công việc có nhiều phương trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xong dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và công việc. Khi đó, ta dùng quy tắc cộng. 1 học sinh chuyên Toán. Hỏi có bao nhiêu cách -Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua lập một đoàn như trên? nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng 12  18  216 cách. quy tắc nhân. 33 34 V. Giải tích tổ hợp: 5.2. Tổ hợp ( C nk ): 5.1. Hoán vị: n vật khác nhau xếp vào n chỗ khác Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật. nhau theo một thứ tự nhất định hoặc đổi chỗ n n! vật khác nhau. n ! cách. C nk  cách. Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 3 người vào k !(n  k )! (0  k  n; k , n  ) a) Một bàn dài có 3 chỗ ngồi: 3!  6 cách Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao b) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi: 2!  2 cách nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp. C 40 3  9880 cách. c) Một bàn tròn có 3 chỗ ngồi có đánh số: 3!  6 cách Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách rút ra 3 lá bài từ bộ bài 52 lá? C 523  22100 cách. 35 36 6
9/2/2015 k 5.3. Chỉnh hợp (An ): Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người. Có bao Từ n vật khác nhau, chọn (bốc, rút, lấy) ra k vật nhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớp rồi rồi xếp vào k chỗ khác nhau trưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong trào nếu:  Xếp có lặp lại, có hoàn lại n k cách. a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúc  Xếp không lặp lại, không hoàn lại nhiều chức danh? 403  64000 cách. n! b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chức Ank  cách. danh? A40 3  59280 cách. (n  k )! (0  k  n; k , n  ) Nhận xét: Ank  Cnk . k ! 37 38 Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2 người, một người lau bảng, một người quét lớp VI. Một vài ví dụ tổng hợp: Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1 cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người? chiếc ghế dài có 5 chỗ. Có bao nhiêu cách xếp: A52  20 cách. a) Năm người vào ghế? Ví dụ 3: Có 5 bức tranh khác nhau. Hỏi có mấy b) Sao cho C ngồi chính giữa? c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế? cách: Giải a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường? C 53 cách. a) Xếp 5 SV vào 5 chỗ: 5! cách. b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên b) B1: Xếp C ngồi chính giữa: 1 cách. tường?A53 cách. B2: Xếp 4 SV còn lại vào 4 chỗ còn lại: 4! cách. Vậy có: 4! cách. c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế: 2! cách. B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách. 39 Vậy có: 2! 3! cách. 40 Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh 3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người, văn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau. nhóm 3 có 3 người? Giải Giải B1:Chọn 4 người từ 10 người để lập nhóm 1: Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4! cách. C104 cách. Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách. B2:Chọn 3 người từ 6 người để lập nhóm 2: Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6! cách. C63 cách. Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách. B3:Chọn 3 người từ 3 người còn lại để lập nhóm 3: Vậy có: 4! 2! 6! 3! cách. C33 cách. Vậy có: C104 . C63 .C33 cách. 42 41 7
9/2/2015 Ví dụ 4: Trong một bình có 4 bi đỏ và 3 bi xanh. Ví dụ 5: Từ 7 nam và 4 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra 6 Lấy ra 2 bi. Có bao nhiêu cách để 2 bi lấy ra người trong đó: a) có 3 nam và 3 nữ. cùng màu? Giải b) có đúng 2 nữ. TH1: Lấy được 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ:C42 cách. c) có ít nhất 2 nữ. d) có nhiều nhất 2 nữ. TH2: Lấy được 2 bi xanh từ 3 bi xanh: C32 cách. e) có không quá 1 nữ. Vậy có: C42  C32 cách. Giải a) B1:Chọn 3 nam từ 7 nam: C73 cách. B2:Chọn 3 nữ từ 4 nữ: C43 cách. Vậy có: C73 .C43 cách. b) B1:Chọn 2 nữ từ 4 nữ: C42 cách. B2:Chọn 4 nam từ 7 nam: C74 cách. Vậy có: C42 .C74 cách. 43 44 c) có ít nhất 2 nữ ( 2 nữ) Ví dụ 6: Trong một bình có 4 bi đỏ, 5 bi trắng, 6 bi vàng. TH1: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách. Lấy ra 4 bi. Có bao nhiêu cách để số bi lấy ra không đủ 3 TH2: chọn 3 nữ và 3 nam: C43 .C73 cách. màu? Giải TH3: chọn 4 nữ và 2 nam: C44 .C72 cách. Lấy 4 bi trong 15 bi: C154 cách. Vậy có: C42 .C74  C43 .C73  C44 .C72 cách. Số cách để 4 bi lấy ra có đủ 3 màu: d) có nhiều nhất 2 nữ ( 2nữ) TH1: Lấy được 1 Đ, 1 T, 2 V: C41 .C51 . C62 cách. TH1: chọn 6 nam:C76 cách. TH2: Lấy được 1 Đ, 2 T, 1 V: C41 .C52 .C61 cách. TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C75 cách. TH3: Lấy được 2 Đ, 1 T, 1 V: C42 . C51 .C61 cách. TH3: chọn 2 nữ và 4 nam: C42 .C74 cách.  Có: C 41 .C51 .C62  C41 .C52 .C61  C42 .C51 .C61 cách để số bi Vậy có: C76  C41 .C75  C42 .C74 cách. lấy ra có đủ cả 3 màu. e) có không quá 1 nữ ( 1 nữ) Vậy có: C154   C4 .C51 .C62 C41 .C52 .C61  C 42 .C51.C6  1 1 TH1: chọn 6 nam: C76 cách. TH2: chọn 1 nữ và 5 nam: C41 .C 75 cách. Vậy có:C76  C41 .C 75 cách. 45  645 cách thỏa yêu cầu. 46 Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là 20 nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán nam. Hỏi có mấy cách? sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viên Giải học tập, 1 ủy viên đời sống nếu: B1: Chọn 2 nam từ 3 nam rồi xếp vào 2 chỗ đầu a) Chọn bất kỳ. A304 cách. 3 tiên: A32 cách. b) Lớp trưởng là nữ. 10.A29 cách. 3 c) Có đúng 1 nam.20.C10 .4! cách. B2: Chọn 3 chỗ từ 4 chỗ còn lại rồi xếp 3 người d) Toàn là nữ. A104 cách. còn lại vào 3 chỗ đó: A43 cách. e) Có ít nhất 1 nam. A304  A104 cách. Vậy có: A32 . A43 cách. 47 48 8
9/2/2015 I. Hiện tượng ngẫu nhiên: Chương 1: Hiện tượng tất định: Hiện tượng ngẫu nhiên: ĐẠI CƯƠNG VỀ là những hiện tượng là những hiện tượng mà XÁC SUẤT mà khi thực hiện dù được thực hiện trong trong cùng một điều cùng một điều kiện như Giảng viên: Phan Trung Hiếu kiện như nhau sẽ nhau vẫn có thể cho cho kết quả như nhiều kết quả khác nhau. nhau. biết trước kết quả không biết trước được LOG sẽ xảy ra kết quả sẽ xảy ra O 2 -Hiện tượng ngẫu nhiên là đối tượng khảo sát 1.2. Không gian mẫu ( ):Tập hợp tất cả các của lý thuyết xác suất. kết quả có thể xảy ra của phép thử. -Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu Ví dụ 1: nhiên được gọi là “thực hiện một phép thử”. ▪ T: tung một con súc sắc 1.1. Phép thử (T ):thí nghiệm, phép đo, sự quan    {1, 2,3, 4,5,6}|  | 6. sát hiện tượng nào đó mà kết quả của nó không ▪ T: tung một đồng xu thể dự đoán trước được.    {S , N } |  | 2. Ví dụ: T: tung một con súc sắc ▪ T: tung hai đồng xu T: mua 1 tờ vé số    {SS , SN , NS , NN }|  | 4. Ví dụ 2: T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy ▪ T: tung 2 con súc sắc |  | 6  6  36. 3 4 Ví dụ 3: 1.3. Biến cố: là tập con của không gian mẫu. ▪ Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Thường được ký hiệu là A, B, C,… Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Ví dụ 1: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi T: tung một con súc sắc   {1, 2,3, 4,5,6}. |  | C102  45. A: “Súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm” Ví dụ 4:  A  {2, 4, 6} | A | 3. ▪ Một kho có 50 sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Khi nào biến cố T: Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ 50 sản phẩm A xảy ra? |  | C 50 1  50. Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra. 5 6 1
9/2/2015 Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Ví dụ 3: T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi |  | C102  45. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được 2 bi đỏ”   {1, 2,3, 4, 5, 6}. | A | Số cách lấy được 2 bi đỏ  C 42  6. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số chấm B: “Lấy được 2 bi khác màu” không vượt quá 6” | B | C 61C 41  24.  A {1, 2,3, 4,5,6} . Chú ý: B: “Súc sắc xuất hiện mặt 7 chấm”  A   : biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).  B  .  A  : biến cố không thể (không bao giờ xảy ra). 8 7 II. Phép toán trên các biến cố: Ví dụ: Theo dõi 3 con gà mái đẻ trứng trong một ngày. 2.1. Quan hệ kéo theo: D0 :“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày” D1 :“Có 1 con gà đẻ trứng trong một ngày” A  B : biến cố A kéo theo biến cố B D2 :“Có 2 con gà đẻ trứng trong một ngày” D3 :“Có 3 con gà đẻ trứng trong một ngày” A  B  A xảy ra thì suy ra B xảy ra B: “Có nhiều hơn 1 con gà đẻ trứng trong một ngày”. Trong các biến cố Di (i  0, 3) trên, biến cố A nào kéo theo biến cố B? D0  B D1  B D2  B D3  B B  9 10 2.2. Quan hệ tương đương: 2.3. Tổng của các biến cố: A  B : biến cố A tương đương với biến cố B AB  AB A  B A + B xảy ra  có ít nhất 1 trong hai biến cố A  B  A, B xảy ra B  A  hoặc A,  A xảy ra thì suy ra B xảy ra A B hoặc B, và ngược lại. hoặc cả A và B đều xảy ra.  11 12 2
9/2/2015 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. 2.4. Tích của các biến cố: A: “Sinh viên A đậu”. A.B  A  B B: “Sinh viên B đậu”. A.B xảy ra  A xảy ra VÀ B xảy ra C: “Có ít nhất một sinh viên đậu”  C  A  B. Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đỏ. Lấy (tất cả) ngẫu nhiên ra 3 bi. T: “3 bi lấy ra là 3 bi trắng”. Đ: “3 bi lấy ra là 3 bi đỏ”. A B A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau”  A  T  Đ.  13 14 Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK. Ví dụ 3: Một thợ săn bắn 2 viên đạn vào một con A: “Sinh viên A đậu”. thú. B: “Sinh viên B đậu”. A1 : “Viên đạn thứ 1 trúng con thú”. C: “SV A và SV B đều đậu”  C  AB . A2 :“Viên đạn thứ 2 trúng con thú”. Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy. A: “Con thú bị trúng đạn”. A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”. Chọn câu đúng: B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”. a ) A  A1 b ) A  A2 c ) A  A1  A2 C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy” d ) A  A1.A2  C  AB . e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng. 15 16 Ví dụ 4:Có 2 hộp bi. Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi III. Quan hệ giữa các biến cố: đỏ. Hộp II có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu 3.1. Xung khắc: nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi. T1 : “Bi lấy từ hộp I là bi trắng”. A và B xung khắc T2 : “Bi lấy từ hộp II là bi trắng”.  A và B không bao giờ cùng xảy ra. A: “2 bi lấy ra là bi trắng”.  AB   Chọn câu đúng: a ) A  T1 b ) A  T2 c ) A  T1.T2 d ) A  T1 T2 A B e) Cả 3 câu a, b, c đều đúng.  17 18 3
9/2/2015 Ví dụ 1: Ví dụ 2: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 1 lá. T: tung một con súc sắc A: “Lấy được lá ách”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm”. B: “Lấy được lá cơ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. Chọn câu đúng: a) A và B xung khắc. b) A và B không xung khắc. b) A và C xung khắc. c) B và C không xung khắc. d) Tất cả đều sai. 19 20 Ví dụ 3: Bộ bài có 52 lá. Lấy ngẫu nhiên ra 2 lá. 3.2. Đối lập: A: “Lấy được 2 lá ách”. A và B được gọi là đối lập nhau B: “Lấy được 2 lá cơ”.  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra Chọn câu đúng: (có 1 và chỉ 1) a) A và B xung khắc. Ký hiệu: A là biến cố đối (lập) của biến cố A. b) A và B không xung khắc. A : “Không xảy ra biến cố A”. AA   A A AA   21  22 Ví dụ 1: Ví dụ 2: T: tung một đồng xu T: tung một con súc sắc A: “Xuất hiện mặt ngửa”. A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút chẵn”. B: “Xuất hiện mặt xấp”. B: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút lẻ”. C: “Súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm”.  A và B đối nhau. Chọn câu đúng: a) A và B không xung khắc. b) A và B đối nhau. c) B và C không xung khắc. d) B và C đối nhau. 23 24 4
9/2/2015 Ví dụ 3: Nhận xét: T: tung một con súc sắc đều không xảy ra A và B A: “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút ít nhất là 4”.  A và B đều xảy ra không đối nhau. Chọn câu đúng: a)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút là 3”.  đối nhau  xung khắc. b) A  1, 2, 3 .  c)A : “Súc sắc xuất hiện mặt có số nút nhiều nhất  A xảy ra  A không xảy ra. là 3”. d) Cả hai câu b và c đều đúng. 25 26 Ví dụ 4: Có 2 sinh viên đi thi. Đặt Si : “Sinh viên i thi đậu”. (i=1,2) IV. Các tính chất của biến cố: Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Si :  A  B  B  A; A.B  B. A a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”. A  S1.S 2  ( A  B)  C  A  ( B  C ); ( A.B ).C  A.( B.C ) b) B: “Không có ai thi đậu”. B  S 1.S 2 c) C: “Có ít nhất 1 sinh viên thi đậu”. C  S1  S 2  A.( B  C )  A.B  A.C ; d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu”. D  S1.S 2  S1.S 2  A  B  A  B  B; A.B  A e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu”. E  S1.S 2  A  A  ; A. A   f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu”. F  S1.S 2  S 1.S2  A  A  A; A    A; A. A  A; A.   g) G: “Có sinh viên thi đậu”.G  S1  S2  C  A  B  A.B; A.B  A  B h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”.  A A H  S 1.S 2  S1.S 2  S 1.S 2  B  F  B. A B. A B  ( B. A)  ( B. A) 27 B 28 V. Nhóm đầy đủ các biến cố: Ví dụ 1: A, A là một nhóm đầy đủ. A1 , A2 , A3 ,..., An   là nhóm đầy đủ Ví dụ 2: Một hộp có 6 bi trắng, 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. A1  A2  A3  ...  An   T: “Lấy được viên trắng”.  AAi j   khi i  j Đ: “Lấy được viên đỏ”. X: “Lấy được viên xanh”.  luôn luôn có đúng 1 biến cố xảy ra.  {T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ. A1 A2 ...  An 30 29 5
9/2/2015 VI. Định nghĩa xác suất: 6.1. Định nghĩa cổ điển: |A| Xác suất của một biến cố là một con số đặc P (A)  trưng cho khả năng xảy ra khách quan của || biến cố đó. | A |: số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra. Ký hiệu: |  |: số các kết quả có thể xảy ra của phép thử. P(A): xác suất của biến cố A. Chú ý:  0  P (A)  1, A  P ( )  1  P ( )  0  P (A)  1  P (A) 32 31 Ví dụ 2: Từ một hộp đựng 20 quả cầu đỏ, 5 Ví dụ 1: Lớp học có 30 học sinh, trong đó có 10 quả cầu đen, 2 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp. Tính xác đồng thời 4 quả. Tính xác suất để: suất để người được chọn là nam. Giải a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen. T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ. |  |C 30 1  30. c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ. d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu. A: “Người được chọn là nam”| A |C 201  20. e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu. | A | 20  P (A)    0, 6667. Giải |  | 30 T: lấy ngẫu nhiên ra 4 quả từ 27 quả |  | C 27 4  17550. 33 34 a) A: “4 quả cầu lấy ra cùng màu đen” c) C: “4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”. | A | C  5 4 5 C : “4 quả cầu lấy ra không có quả đỏ”. |A| 5  P (A)    0, 0003. | C | C 74  35 |  | 17550 |C | 35 b) B: “4 quả cầu lấy ra có 3 quả màu đỏ”  P (C )   |  | 17550 | B |C 20 3 .C 71  7980 | B | 7980  P (C )  1  P (C )  P (B )    0, 4547. |  | 17550 35 3503  1   0,998. 17550 3510 35 36 6
9/2/2015 d) D: “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu” ChúV.ý (Điều Địnhkiện của định nghĩa xácnghĩa cổ điển): suất: | D | C C  4850 4 20 4 5  Các kết quả trong không gian mẫu  phải | D | 4850 đồng khả năng xảy ra.  P (D )    0, 2764.  Không gian mẫu  phải hữu hạn. |  | 17550 e) E: “4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu” E : “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”. E D  P (E )  1  P (E ) 4850 254  1   0, 7236. 17550 351 37 38 6.2. Định nghĩa theo thống kê: Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút -Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi. hiện k lần thì tỷ số Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thì k xác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng: : Tần suất của biến cố A. n 91 -Trong thực tế, khi n đủ lớn thì  0,91 100 k P( A)  n 39 40 Ví dụ 2: T: tung một đồng xu. 6.3. Định nghĩa theo hình học: Xét một phép thử đồng khả năng, không gian S: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”  P (S )  0,5 mẫu có vô hạn phần tử và được biểu diễn thành N: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa” P (N )  0,5 một miền hình học  có độ đo xác định (độ dài, Dùng định nghĩa theo quan điểm thống kê để diện tích, thể tích). kiểm chứng: Người thí Số lần Số lần Tần Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền . nghiệm tung ngửa suất A: điểm M thuộc miền S   P (N )  0,5  Buffon 4040 2048 0,5069 độ đo của S Pearson 12000 6019 0,5016 P( A)  Pearson 24000 12012 0,5005 độ đo của  41 42 7
9/2/2015 Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình 6.4. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn: tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm. -Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác Giải suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trong A: điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp thực tế nó không xảy ra trong một phép thử. 22 3 -Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác S   3 cm 2 4 suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trong ??? 1 ???  r cm  S S  cm 2 thực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử. 3 3  /3   P ( A)    0,6046. 3 3 3 43 44 6.5. Xác suất có điều kiện: Chú ý: P( AB ) P( AB)  P( B | A)  P( A | B)  P( B)  P ( B)  0  P( A)  P( A | B)  1  P ( A | B) P(A|B): xác suất để A xảy ra biết B đã xảy ra. B: thông tin.  P( A1  A2 | B )  P( A1 | B)  P( A2 | B) nếu A1 và A2 xung khắc. 45 46 Giải Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn Toán 3 2 2 Văn giỏi cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên 1 bạn. Tính xác suất: a) chọn được bạn giỏi Toán. T: chọn ngẫu nhiên 1 bạn từ 10 bạn b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán. |  | C101  10. c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn. a) A: “Chọn được bạn giỏi Toán” d) chọn được bạn không giỏi môn nào. | A | C 51  5. e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn |A| 5 được bạn giỏi Toán?  P (A)    0,5. |  | 10 47 48 8
9/2/2015 b) B: “Chọn được bạn chỉ giỏi Toán” d) D: “Chọn được bạn không giỏi môn nào” | B | C 31  3. | D | C 31  3. |B | 3 |D | 3  P (B )    0,3.  P (D )    0,3. |  | 10 |  | 10 c) C: “Chọn được bạn giỏi ít nhất một môn” e) V: “Chọn được bạn giỏi Văn” | C | C 71  7. P(V|A )=? |C | 7  P (C )    0, 7. P (V .A) |  | 10 P (V | A)  P (A) 50 49 V.A: “Chọn được bạn giỏi cả 2 môn” Ví dụ 2: Cho một hộp đựng 8 bi gồm: 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi (lấy không hoàn |V .A |C 21  2. lại). Tính xác suất để lần thứ hai lấy được bi đỏ biết lần thứ nhất đã lấy được bi đỏ? 2  P (V .A)   0,2 Giải 10 Đ1 : “Lần thứ nhất lấy được bi đỏ”. P (V .A) 0, 2 Đ2 : “Lần thứ hai lấy được bi đỏ”.  P (V | A)    0, 4. P (A) 0,5 P Đ2 | Đ1  4  0,5714. 7 51 52 Ví dụ 3: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa, Giải trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa. Một Mi : “Người đó mở được khóa ở lần thứ i”. người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa (i  1,2,3) 1 khóa cho đến khi nào mở được mới dừng. a) P (M 1 )  . a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần 10 đầu tiên. b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần 1 b) P M2 | M 1  thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa. 9 c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều 1 không mở được khóa. c) P M3 | M 1 .M 2   8 53 54 9
9/2/2015 6.6. Biến cố độc lập: Chú ý: Nếu A và B độc lập với nhau thì Hai biến cố được gọi là độc lập nếu sự xảy  A và B cũng độc lập với nhau. ra hay không xảy ra của biến cố này không  A và B cũng độc lập với nhau. làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.  A và B cũng độc lập với nhau. Ví dụ 1: A, B độc lập  P( A | B)  P ( A) T: tung 2 đồng xu. hoặc A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”. P ( B | A)  P ( B ) B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt sấp”. Hệ quả:  A và B độc lập. A, B độc lập  P( A.B)  P ( A).P( B ) 55 56 Ví dụ 2: T: tung 1 đồng xu. Giải A: “Xuất hiện mặt sấp”. Lấy mẫu Lấy mẫu B: “Xuất hiện mặt ngửa”. có hoàn lại không hoàn lại  A và B không độc lập. Lần 1 lấy ra quan sát Lần 1 lấy ra quan rồi bỏ trở lại vào hộp, sát rồi để ra ngoài Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2 sau đó lấy tiếp lần 2. luôn, sau đó lấy tiếp bi đỏ và 8 bi xanh. Lấy lần lượt 2 bi. lần 2. a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ? b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ? 58 57 Lấy mẫu Lấy mẫu Nhận xét: có hoàn lại không hoàn lại Lấy mẫu Lấy mẫu a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”. có hoàn lại không hoàn lại P (Đ1)  2 Kết quả 10 Kết quả độc lập nhau b) Đ2: “Lần thứ 2 lấy được bi đỏ”. không độc lập nhau Đ2 = Đ2 |Đ1 + Đ2 |Đ1 P (Đ2)  2 P(Đ2) = P (Đ2 |Đ1)  P (Đ2 |Đ1) 10 1 2 1 = 9 + 9= 3 59 60 10
9/2/2015 7.2. Công thức nhân xác suất: VII. Các công thức tính xác suất: 7.1. Công thức cộng xác suất: P (A.B )  P (A | B ).P (B )  P (B | A).P (A) P (A  B )  P (A)  P (B )  P (AB )  Đặc biệt: Nếu A, B độc lập thì P (A.B )  P (A).P (B )  Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc AB   thì Tổng quát: P (A  B )  P (A)  P (B ) P (AA 1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 | A1 ).P (A3 | AA 1 2 )...P (An | AA 1 2 ...An 1 ) Tổng quát: Nếu A1,A2,…,An đôi một xung Hệ quả: Nếu A1,A2,…,An độc lập (toàn bộ) khắc thì P (A  A  ...  A )  P (A )  P (A )  ...  P (A ) với nhau thì 1 2 n 1 2 n P (AA 1 2 ...An )  P (A1 ).P (A2 ).P (A3 )...P (An )  Hệ quả: P (A)  1  P (A); P (A)  1  P (A) 62 61 Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II Giải hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động Đ1: “Động cơ I chạy tốt” cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7.  P (Đ1)  0,8  P( Ñ1 )  1  P( Ñ1 )  1  0,8  0,2. Tính xác suất để: Đ2: “Động cơ II chạy tốt” a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt. b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt.  P (Đ2 )  0, 7 P( Ñ 2 )  1  P( Ñ2 )  1  0,7  0,3. c) Có động cơ chạy tốt. a) A: “Cả 2 động cơ đều chạy tốt” d) Có 1 động cơ chạy tốt.  A  Đ1.Đ2 P (A) P ( Đ1.Đ2 )  P (Đ1).P (Đ2 ) (Vì Đ1 và Đ2 độc lập)  0,8. 0, 7  0,56. 63 64 c) Cách 1: C: “Có động cơ chạy tốt” b) B: “Cả 2 động cơ đều không chạy tốt” = “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”  C  Đ1 +Đ2  B  Đ1. Đ2  P (C )  P ( Đ1 +Đ2 )  P ( Đ1) +P (Đ2 ) - P (Đ1.Đ2 )  P (B )  P ( Đ1.Đ2 )  0,8 + 0, 7 - 0,56 (Vì Đ1 và Đ2 độc lập)  P ( Đ1).P (Đ2 )  0,94.  0, 2. 0, 3  0, 06. 65 66 11
9/2/2015 Cách 2: Dùng biến cố đối lập Ví dụ 2: Có hai hộp, mỗi hộp chứa một số sản C: “Không có động cơ nào chạy tốt”  C  B phẩm bao gồm 2 loại chính phẩm và phế  P (C )  1  P ( C ) phẩm. Xác suất lấy được 1 chính phẩm từ hộp I là 0,2; từ hộp II là 0,3. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi  1  P (B )  1  0, 06  0,94. hộp ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để: d) D: “Có 1 động cơ chạy tốt” a) Lấy được 2 chính phẩm.  D  Đ1.Đ2 + Đ1.Đ2 b) Lấy được 1 bi chính phẩm và 1 phế phẩm. Giải  P (D )  P(Đ1).P(Đ2) +P(Đ1).P(Đ2) C1: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp I”.  0,8  0, 3  0, 2  0, 7  0,38.  P (C 1 )  0, 2  P (C 1 )  1  P (C 1 )  1  0, 2  0,8. C2: “Lấy được 1 chính phẩm từ hộp II”.  P (C 2 )  0, 3  P (C 2 )  1  P (C 2 )  1  0, 3  0, 7. 67 68 a) A: “Lấy được 2 chính phẩm”  A  C1 .C2 P (A) P ( C1 .C2 )  P (C1).P (C2 ) (Vì C1 và C2 độc lập)  P (C1 ).P (C 2) + P (C 1) .P (C2 )  0, 20,3  0,06. b) B: “Lấy được 1 chính phẩm và 1 phế phẩm”  0, 2.0, 7  0,8.0,3  B  C1 .C 2 + C 1 .C2  0,38.  P (B )  P (C1 .C 2 + C 1 .C2)  P (C1 .C 2)+ P (C 1 .C2 ) (Vì C1.C 2 và C 1 .C2 xung khắc) 69 70 Ví dụ 3: Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ Giải thanh toán M và N. Tỉ lệ khách hàng của ngân M: “Khách hàng sử dụng thẻ loại M”. N: “Khách hàng sử dụng thẻ loại N”. hàng sử dụng thẻ loại M, N tương ứng là 60%, Ta có: P(M)=0,6 ; P(N)=0,55 ; P(M.N)=0,3. 55% và cả hai loại là 30%. Chọn ngẫu nhiên 1 a) A: “Người đó có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”. khách hàng của ngân hàng. Tính xác suất người A= M + N đó:  P(A) = P(M + N) = P(M) + P(N) – P(M.N) a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng. = 0,6 + 0,55 – 0,3 = 0,85. b) Chỉ sử dụng loại thẻ M. b) B: “Người đó chỉ sử dụng loại thẻ M”. c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.  B  M .N d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng. P( B )  P (M .N )  P ( M )  P ( M .N )  0, 6  0,3  0, 3. 71 72 12